方法技巧专题29 极坐标与参数方程的应用(解析版)

方法技巧专题29 极坐标与参数方程的应用

解析篇

【一】轨迹方程的问题

1.例题

【例1】在极坐标系中，已知圆的圆心(6,)3

C π，半径3r =，Q 点在圆C 上运动．以极点为直角坐标系原点，极轴

为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）求圆C 的参数方程；

（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程． 【解析】（1）由已知得，圆心(6,)3

C π

的直角坐标为C ，3r =， 所以C

的直角坐标方程为22(3)(9x y -+-=，

所以圆C

的参数方程为33cos 3sin x y θ

θ

=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．

（2）由（1）得，圆C

的极坐标方程为26(cos )270ρρθθ-+=， 即2

12sin()276

ρρθπ=+-，设(),P ρθ，()1,Q ρθ，

根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=，

将152ρρ=

代入C 的极坐标方程，得225120sin()10806

ρρθπ

-++=， 即动点p 轨迹的极坐标方程为2

25120sin()10806

ρρθπ-++=．

【例2】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,

2sin x y αα

=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；

（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程. 【解析】（1）圆C 的参数方程为22cos ,

2sin x y αα

=+⎧⎨

=⎩（α为参数），

转换为直角坐标方程为：()2

224x y -+=， 转换为极坐标方程为：4cos ρθ=. （2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，

设OA 的中点坐标为()00,ρθ，所以()00,2A ρθ， 所以0024cos ρθ=，即002cos ρθ=，

所以OA 中点所在的曲线的极坐标方程为2cos ρθ=．

【例3】已知圆C 经过点P )3,

2(π

，圆心C 为直线ρsin )3

(π

θ-＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 【解析】解法1在直线的极坐标方程ρsin )3

(π

θ-

＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2，所以C(2，0)．

因为△POC 是边长为2的正三角形，所以圆C 的半径r ＝2. 因为圆C 经过极点O ，所以圆C 极坐标方程为ρ＝4cos θ.

解法2以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C(2，0)，

所以圆C 的半径PC ＝（2－1）2＋（0－3）2＝2， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

2.巩固提升综合练习

【练习1】 （2019年高考全国Ⅱ卷理数）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=

3

θπ

时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．

【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3

ρπ

==[来源:Z|xx|]

由已知得||||cos

23

OP OA π

==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos()||23

OP ρθπ-==，[来源学科网ZXXK]

经检验，点(2,)3P π在曲线cos()23

ρθπ-=上． 所以，l 的极坐标方程为cos()23

ρθπ-=．

（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是[,]42

ππ． 所以P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,[,]42

ρθθππ=∈．[来源学*科*网]

【练习2】在极坐标系中，已知圆C 经过点P )4

,22(π

，圆心为直线ρsin(θ－π

3)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极

坐标方程．

【解析】在直线方程ρsin (θ－π

3

)＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2，所以圆心为C(2，0)．

在△POC 中，由余弦定理，得圆C 的半径r ＝CP ＝2. 圆C 经过极点，其极坐标方程为ρ＝4cos θ.

【练习3】 （2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,

)4

C 3π

，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2

π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．

（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；

（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =

P 的极坐标．

【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为

2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．

所以1M 的极坐标方程为π2cos (0)4

ρθθ=≤≤

， 2M 的极坐标方程为π3π

2sin ()44ρθθ=≤≤，

3M 的极坐标方程为3π

2cos (π)4

ρθθ=-≤≤．

（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知

若π04θ≤≤，则2cos θ=π6

θ=；

若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；

若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6

θ=．

综上，P 的极坐标为π)6或π)3或2π)3或5π

)6

．

【二】转化中的应用问题 [来源学科网]