21.2 二次函数的图象和性质(1)
归纳总结，理解应用
1,函数y=x2的图象是一条关于y轴对称的曲线, 这条曲线叫做抛物线。
2,由图知,抛物线y=x2的开口向上,y轴 是它的对称轴,对称轴与抛物线的交点 叫抛物线的顶点,顶点坐标为(0，0);从 图象看,抛物线y=x2的顶点是图象的最 低点,当x=0时,y最小值=0
3,在下面给出的图形中,画出y=-x2 的图象,并仿照刚才的分析,说出此 函数的性质。
3、当a<0时,开口向下 __,当x>0时,y随着x的增大而减小 ____,当x<0时,y随 着x的增大而_____, 增大 此时,抛物线有最____ 大 值。
二次函数y=ax2的性质：ห้องสมุดไป่ตู้
y=ax2 (a≠0) 图 象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值 a>0 y
O
a<0 y
x
O
x 向下 (0 ,0) y轴
… -3 …
-2
-1
0
1
2
3
… …
9
4
1
0
1
4
9
y
2、描点
10
y=x2
8 6
3、连线
4 2
-3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
?
-4
2、观察这个图象有什么特征? 3、你能画出y=-x2的图象吗?
观察y=x2的图象，思考下列问题 (1)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称 轴是什么？ (2)图象有最低点吗?如果有, 最低点的坐标是什么? (3)当x<0时,随着x值的增大, y的值如何变化？当x>0呢？
6．观察与思考：函数 y
2 与函数 y x2 ， y 2 x 的图象有哪些 共同点和不同点？请与同学交流．
x2 ，y 2x2
1 2 1 2 分别比较函数y x 与y x ; y x 与y x ; 2 2 y 2 x 2与y 2 x 2的图象,指出它们之间相同与不同之处.
4、观察二次函数 y=x2与y=-x2的图象有 什么共同的特征?
y 6 4 2 x 2 4 6 8
y = x2
-8
-6
-4
-2
0 -2 -4 -6
y=-x2
5、画出二次函数 y=2x2与y=-2x2的图象
y 6 4 2 x 2 4 6 8
y=2x2
-8
-6
-4
-2
0 -2 -4 -6
y=-2x2
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
向上 (0 ,0) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
课堂练习
1、二次函数y=x2的图像开口 向上 ，对称 轴是 y轴所在的直线 ，顶点是 原点(0,0) 。x取任 何实数，对应的y值总是 非负 数。 2、点A（2，-4）在函数y=-x2的图像上，点A （-2，-4）。 在该图像上的对称点的坐标是 1 2 1 2 3、二次函数y= x 与 y=- x 的图像关于 2 2 X 轴 ___ 对称。 4、若点A（1，a）B（b，9）在函数y=x2 的图像上，则a= 1 ,b= ±3 .
21.2二次函数图象和性质(1)
【y= ax2 的 图象和性质 】
知识回顾：
1、函数图象的画法？步骤？
2、一次函数的图象是什么样子的呢？如何
画？需要描几点？ 3、函数y=x2的图像是什么样子呢?又如何画
呢？
1、列表： 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计 算相应的y值,完成下表：
x y= x2
O
x
7．练一练：
（１）分别说出下列函数图象的开口方向、
1 2 3 2 2 y 3x , y x , y 5 x , y x 3 4
2
顶点坐标与对称轴：
（２）填空： 2 ①当 x 0 时，函数 y 7 x 的值随着自 变量的增大而 ；当x＝ 时，函数值 最 ，最 值是 ； 2 2 ②当 x 0 时，函数 y x 的值随着自变量 3 的增大而 ；当＝ 时，函数值 最 ，最 值是 ． 2 （３）已知二次函数 y ax 的图象经过点P （２，３），你能确定它的开口方向吗？你 能确定a的值吗？试试看．
例1．函数
y (k 2) x
k 2 k 4
是关于x的二次
函数． ①求k的值； ②k为何值时，抛物线有最低点； ③x在什么范围内，y随x增大而增大．
例2．已知△ABC中，AD⊥BC于D，若BC=xcm， AD=2xcm， ①写出△ABC的面积S关于x的函数关系式，并写 出x的取值范围； y ②画出图中函数的图象．
12
12
2
2
8
10
10
6
8
8
4
6
6
2
4
4
-15
2
-10
2
-5
5
-2
-10 -5 5 10
5
10
15
1
-4
-2
-2
-6
-4
-4
-8
-6
-6
y x2
二次函数y=ax2的性质：
1、抛物线y=ax2的顶点是 （0,0） , 对称轴是 y轴 .
y x2
2、当a>0时,开口向____, 上 当x>0时,y随着x 的增大而______, 增大 当x<0时,y随着x的增大而 减小 此时,抛物线有最___ _____, 小 值。
【2019年人教版】21.2二次函数y=a(x+h)2+k的图象与性质【教案】
21.2 二次函数y ＝a(x+h)2+k 的图象与性质【教案】一．知识要点：1．如图①，将抛物线y ＝221x -沿y 轴向下平移1个单位，就得到抛物线y ＝221x -－1． 由图象可知，抛物线y ＝ax 2+k 与y ＝ax 2的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同．抛物线y ＝ax 2+k 可由抛物线y ＝ax 2沿y 轴方向平移 k 个单位得到．当k >0时，向上平移；当k <0时，向下平移．2．如图②，将抛物线y ＝221x -沿x 轴向左平移1个单位，就得到y ＝2121）（+-x ；向右平移1个单位就 得到y ＝2121）（--x ．由图象可知，抛物线y ＝a (x +h )2与y ＝ax 2的形状、开口大小和开口方向相同，只 是位置不同．抛物线y ＝a (x +h )2可由抛物线y ＝ax 2沿x 轴方向平移h 个单位得到，当h >0时，向左平 移；当h <0时，向右平移． 3．如图③，将抛物线y ＝221x -先向下平移1个单位，再向左平移1个单位，就得到y ＝11212-x -）（+ 由图象可知，抛物线y ＝a (x +h )2与y ＝ ax 2形状相同，位置不同．抛物线y ＝a (x +h )2+k 有如下特点： （1）a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下； （2）对称轴是直线x ＝－h ； （3）顶点坐标是（－h ，k ）． 4．抛物线平移法则：（1）平移不改变开口大小和方向，即a 不变； （2）顶点坐标与对称轴发生改变．二．重难点分析：重点是抛物线的平移法则．难点是通过平移掌握抛物线y ＝a (x +h )2+k 的图象和性质．突破难点的方法， 就是反复画图象作比较，培养动手能力．三．精选例题：1．在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝221x 和y ＝3212-x 的图象． 【解】列表2．在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝221x 和y ＝32212--x ）（的图象． 【解】列表3．填表．根据图象回答：（1）观察函数y ＝x 2、y ＝(x －1)2和y ＝(x +1)2的图象，它们的开口方向如何？ 顶点坐标、对称轴分别是什么？（2）对于同一个y 值，这三个函数对应的x 值之间有什么关系？这三个 函数的图象在位置上有什么关系？（3）当x 分别取何值时，函数y ＝x 2、y ＝(x －1)2和y ＝(x +1)2取得最小值？最小值分别是多少？【解】（1）开口向上、顶点分别为（0，0）、（1，0）、（－1，0）；对称轴分别为：y 轴、x ＝1、x ＝－1．（2）x 的值依次大1．把抛物线y ＝ (x+1)2向右平移1个单位得到y ＝x 2；把y ＝x 2向右平移1个单 位得到y ＝(x －1)2．（3）当x 分别取0，1，－1时，最小值均为0． 5．抛物线y ＝2(x +1)2 －3的顶点坐标是（ D ）A ．（1，－3）B ．(－1，3)C ．（－2，－3）D ．(－1，－3) 6．由抛物线y ＝5x 2 +1平移得到抛物线y ＝5(x +3)2+1，需把抛物线y ＝5x 2 +1（ C ） A ．向上平移3个单位 B ．向下平移3个单位 C ．向左平移3个单位 D ．向左平移3个单位7．将抛物线y ＝3x 2向上平移3个单位再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ A ） A ．y ＝3(x +2)2 +3 B ．y ＝3(x －2)2+3 C ．y ＝3(x +2)2 －3 D ．y ＝3(x －2)2 －3．把抛物线把抛物线y ＝12212--）（-x 经平移得y ＝221x -，则它是（ C ）． A ．向右平移2个单位，向下平移1个单位 B ．向右平移2个单位，向上平移1个单位 C ．向左平移2个单位，向上平移1个单位 D ．向左平移2个单位，向下平移1个单位．将抛物线y ＝x 2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ B ） A ．y ＝(x +2)2 +2 B ．y ＝(x +2)2 －2 C ．y ＝(x －2)2 +2 D ．y ＝(x －2)2 －2．已知二次函数y ＝2(x －3)2 +1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－3；③ 其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x < 3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个。
九年级上册(沪科版)数学教学课件：21.2.2 第1课时
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
三 二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究
解析式 y=2x2-1
-1
y=2x2
+1
y=2x2+1
点的坐标 (x,2x2-1 ) 函数对应值表
(x, 2x2 )
x y=2x2-1 y=2x2 y=2x2+1
… -1.5 -1 … x
… 3.5 1 … 4.5 2 … 5.5 3
… 2x2-1
6
5
y=2x2+1
4
3
y=2x2
2
1
y=2x2-1
-6
-4
-2
o
2
-1
4
x6
y
5
4
y 2x2 1
3
解析式
2
y 2x2
1
y=2x2-1
-6
-4
-2
o
2
4
6x
对称轴右侧y随x增大而增大.
-1
形状 开口方向 对称轴 顶点坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性
y=2x2-1 抛
y=2x2
物
y=2x2+1 线
y1
1 3
x2
2
y 1 x2 3
对称轴右侧y随x增大而减小 _____________________________
21.2二次函数的图象和性质
练习：
1．将抛物线y＝-8x2先向左平移2个单位，再向下平移4个 单位后，得到抛物线的解析式为_________________．
2．抛物线y＝－9(x＋2)2-5的开口方向是___________，对
称轴是___________，当x＝_______时，y有最_____值 ________，当___________时，y随x的增大而增大，当 ___________时，y随x的增大而减小。 3. 若一抛物线形状与y＝2x2＋7x相同，顶点坐标是（4，2）则其解析式为_____________________.
1 2 y x 2 2 –5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 顶点从(0,0)移到了 –3 (0,–2)，开口方向 –4 和对称轴没变。 –5
5 4 3 2 1
y
1 2 y x 2
x 1 2 3 4 5
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，开口方向 和对称轴没变。
1 1 2 2 抛物线 y x 如何平移得到抛物线 y x 2 2 2 1 2 y x 2 ？平移前后它们的开口方向、对称轴 2
复习：
1. 抛物线y＝7(x-4)2对称轴是_______,顶点坐 标是______,开口方向____。 2.抛物线y＝-6x2＋1对称轴是________,顶点 坐标是______,开口方向____。
1 2 1 2 3. 抛物线y＝ x 如何平移得到抛物线y＝ x ＋1？ 2 2 1 如何平移得到抛物线y＝ (x-2)2？ 2 1 1
归纳反思：
y ax k
2
2 1. y
y a x h
2
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，二次项系数a决定 抛物线的形状。
二次函数的图像与性质(1)
4.在y轴左侧，y都随着x的增大而减小；
在y轴右侧，y都随着x的增大而增大。
不同点：
1.顶点不同
2.最小值不同
你还能得出哪些结论呢？大胆的说出来！
想一想
二次函数y=2x2，y=2x2+1 和y=2x2-1，它们的图像 有什么联系呢？能通过怎 样的变换得到呢？
问题2
在同一平面直角坐标系中，怎 样画出函数y=-x2，y=-x2+1和 y=-x2-1图像呢？
学习心得交流
（1）这节课大家在交流、活动过程中有 哪些体验和收获？
（2）对函数y=ax2+k与y=ax2的图像的画 法和性质还有哪些困惑？a，c的取值 对二次函数的图像和性质有何影响？
巩固练习
课本第12-13页练习
课后作业
习题21.2 第1题
下课了， 同学们再见！
想一想
二次函数y=ax2与y=ax2+k 的图像有什么联系呢？ 可以通过怎样的变换得到？
归纳总结
1.抛物线y=ax2+k与y=ax2的形状， 开口方向和开口大小相同，只 是位置不同。
2.抛物线y=ax2+k可以看成抛物线 y=ax2 沿着y轴方向平移 k 个单 位得到。当k>0时，向上平移； 当k<0时，向下平移。
3.当x取何值时，二次函数y=2x2，y=2x2+1和 y=2x2-1取得最小值？最小值分别是多少？
观察
二次函数y=2x2，y=2x2+1和y=2x2-1图像有什么相同点和不同 点？
相同点：
1.都是抛物线，且开口大小，开口方向都相同
2.都是轴对称图形，且对称轴都是y轴
3.图像都有最低点，函数都有最小值
冀州市五中九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.2二次函数的图象和性质1二次函数y=ax2
21.2 二次函数的图象和性质1.二次函数y=ax 2的图象和性质【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x 2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=-x 2的图象，并能够比较与y=x 2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度】培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.【教学重点】会画y=ax 2的图象，理解其性质.【教学难点】结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.一、情景导入，初步认知一次函数y=kx+b 和反比例函数x k y（k ≠0）图象是什么形状？有哪些性质呢？那么二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.二、思考探究，获取新知1.试着画出y=x 2的图象.【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.2.观察二次函数y=x 2的图象，回答下列问题.（1）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？（3）当x ＜0时，随着x 的增大，函数y 如何变化？当x ＞0时呢？【归纳结论】二次函数y=ax 2的图象是一条关于y 轴对称，过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线叫做抛物线.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.3.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=21x 2和y=2x 2的图象. 解：（1）列表.（2）描点、连线.4.探究.（1）观察二次函数y=21x 2和y=2x 2的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、何时下降？ （2）你能根据函数y=21x 2和y=2x 2的图象的共同特点，总结出二次函数y=ax 2(a ＞0)的性质吗？ 【归纳结论】二次函数y=ax 2(a ＞0)的图象及性质为：5.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x 2、y=-21x 2和y=-2x 2的图象.仿照上面的表格，总结出y=ax 2(a ＜0)的性质.6.对比函数y=x 2和y=-x 2、y=21x 2和y=-21x 2、y=2x 2和y=-2x 2的图象，指出它们的相同与不同之处.7.思考：（1）a ＞0与a ＜0时，函数y=ax 2的图象有什么不同？（2）|a|的大小对函数y=ax 2的图象的开口大小有什么影响？（3）二次函数的图象是什么形状？【归纳结论】1.抛物线y=ax 2(a ≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点；2.a ＞0时，抛物线y=ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；3.a ＜0时，抛物线y=ax 2的开口向下.顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.【教学说明】让学生自己去观察分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.三、运用新知，深化理解1.已知函数y=(m-2)x m2-7是二次函数，且开口向下，则m= -3 .【分析】它是二次函数，所以m 2-7=2,得m=±3,且开口向下，所以m-2＜0,得m ＜2.即：m=-3.2.已知抛物线y=ax 2经过点A （-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （-1，-4）是否在此抛物线上.【分析】（1）把a 的值求出即可；（2）把B 的坐标代入，等式成立则是在此抛物线上，否则不在.解：（1）把（-2，-8）代入y=ax 2中得：a=-2.∴解析式为：y=-2x 2（2）把（-1，-4）代入y=-2x 2中等式不成立，∴点B （-1，-4）不在此抛物线上.3.已知y=(k+2)42-+k k x 是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大.（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴.解：（1）由题意，得解得k=2.（2）二次函数为y=4x 2，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴.4.已知正方形周长为Ccm ，面积为Scm 2.（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1cm 2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4cm 2.【分析】此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内.解：（1）由题意，得S=161C 2(C ＞0). 列表：描点、连线，图象如图：（2）根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm.（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2.【教学说明】学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师更正、强调.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题21.2”中第1、2题.本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识.整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣.25.2用列举法求概率第1课时用列表法求概率【知识与技能】初步掌握直接列举法计算一些简单事件的概率的方法.【过程与方法】通过用列举法求简单事件的概率的学习，使学生在具体情境中分析事件.计算其发生的概率，解决实际问题.【情感态度】体会概率在生活实践中的应用，激发学习数学的兴趣，提高分析问题的能力.【教学重点】熟练掌握直接列举法计算简单事件的概率.正确理解和区分一次试验中包含两步或两个因素的试验.【教学难点】能不重不漏而又简洁地列出所有可能的结果.一、情境导入，初步认识1.复习回顾①概率的意义；②对于试验结果是有限等可能的事件的概率的求法.2.多媒体展示扫雷游戏，引入课题.二、典例精析，掌握新知我们在日常生活中，常常会用掷硬币的方式来决定游戏的胜负，下列请同学们思考下面的这种游戏规则是否公平.例老师向空中抛掷两枚同样的硬币，如果落地后一反一正，老师赢；如果落地后都只正面时，同学们赢，请问你们觉得这个游戏公平吗？【教学说明】对“游戏是否公平”实际是看两方出现的概率大小如何.所以解决本题的关键是，分别计算出“一正一反”与“都是正面”的概率各是多少并比较，这里教师要引导学生条理清楚地列举出所有可能的结果，学生思考交流.解：我们利用表格的形式，列举出所有可能的结果.∴这游戏不公平.问：“同时掷两枚硬币”与“先后掷一枚硬币”这两种试验的所有可能一样吗？答案：一样.三、运用新知，深化理解1.在“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：20个商标牌中，有5个商标牌背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻，有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）2.从甲、乙、丙三人中任意选两名代表参加会议，甲被选中的概率为（）3.在一个布袋里装有红、白、黑三种颜色的玻璃球各一个，它们除颜色外，没有其他区别，先从布袋中取出一个球，放回袋中并搅匀，再从袋中取一个球，则两次取出的恰好都是红球的概率是_____.4.袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其他差别，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个.求下列事件的概率；（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球；（2）两次都摸到相同颜色的小球；（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球.5.在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个9位数：258396417，让参与者猜商品价格，被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位数中从左到右连在一起的某4个数字.如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中，任意猜一个，求他猜中该商品的概率.【教学说明】本练习着重演练用列举法求简单事件的概率，可先让学生自主完成，再选派几名学生作答，教师再予以评点.【答案】1.B【解析】所有剩下的商标共20-2=18个，其中有奖的有5-1=4个，所以它第三次翻牌获奖的概率为4/18=2/9.2.C【解析】分析所有的可能结果为（甲、乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙）.事件A包含的结果为（甲、乙），（甲，丙）,（乙，甲），（丙，甲）共4个，故P（A）=4/6=2/3.3.1/9【解析】所有可能出现的结果有（红，红）、（红，白）、（红，黑）、（白，红）、（白，白）、（白，黑）、（黑，红）、（黑，白）、（黑，黑）共有9种，所以P（都是红球）=1/9.4.（1）1/4（2）1/2（3）1/25.所有可能结果有:2583,5839,8396,3964,9641,6417,其中只有一种是该商品的价格，所以猜中该商品的概率为1/6.四、师生互动，课堂小结1.本堂课你学到了什么知识，有哪些收获？2.你能不重不漏地列举出事件发生的所有可能吗？3.你能正确求出P（A）=m/n吗？【教学说明】围绕上述问题，教师引导学生交流归纳.用列举法求简单事件概率的一般步骤，重点是要让学生掌握方法.1.布置作业：从教材“习题25.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.本节课通过以学生喜闻乐见的扫雷、掷硬币等游戏为载体，充分调动了学生的学习欲望，将学生摆在了真正的主体位置上，充分发挥了他们的主观能动性，从而让学生在趣味中掌握本节课的知识.生活中有许多有关概率的问题，本节课的学习亦能让学生尝试用概率的知识去解决生活中的问题，从而体会到概率知识在生活中的应用价值.2.本节课还通过普通列举法与列表法，对找出包含两个因素的试验结果的对比，让学生感受到列表法的作用与长处，使学生易于接受知识.3.教师引导学生交流归纳知识点，看学生能否会不重不漏地列举出事件发生的所有可能，能否找出事件A中包含几种可能的结果，并能求P（A），教学时要重点突出方法.二次函数说课稿（一）一、教材分析：1、教材所处的地位：二次函数是湘教版初中数学九年级（下册）的内容，在此之前，学生已经学过了函数及一次函数的内容，对于函数已经有了初步的认识。
沪教版九年级数学上册第21章课件：21.2.2 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_1 _＞__y_2_＞__y_3___.
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向
y 2 x 32 向上
y 2 x 22
y 3 x 12
4
向上 向下
对称轴 直线x=3 直线x=2 直线x=1
2
···
－8
－4.5
－2
1 2
y
0
1 2
－2
···
－4 －2 0 －2 －4
2 4x
－6
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线 开口方向
y 1 x 12
2
y 1 x2 2
y 1 x 12
2
向下 向下 向下
对称轴 直线x=-1 直线x=0 直线x=1
顶点坐标 ( -1 , 0 ) (0,0) ( 1, 0)
练一练
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物 线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函 数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
与 y 1 (x 2)2 的图象．
2
解：先列表：
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x2 2
9 ··· 2
2
1 20
1 2
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计1
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计1一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2节的内容。
这部分教材主要介绍二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性等。
教材通过例题和练习题帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了二次函数的定义和一般形式，对二次函数有一定的了解。
但是，学生可能对二次函数的图象和性质的概念和规律还不够清晰，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性等。
2.过程与方法：学生能够通过观察、分析和归纳二次函数的图象和性质，培养数形结合的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与学习活动，克服困难，增强对数学学习的信心和兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数的图象和性质的概念和规律。
2.教学难点：开口方向、对称轴、顶点、增减性的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题和情境，引发学生的兴趣和思考，引导学生观察和分析二次函数的图象和性质。
2.引导发现法：教师引导学生通过观察、分析和归纳，自主发现二次函数的图象和性质的规律。
3.练习法：通过适量的练习题，巩固学生对二次函数的图象和性质的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质的实例和规律。
2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的理解和掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引入二次函数的图象和性质的概念。
例如，可以提出一个关于抛物线的问题，让学生思考抛物线的开口方向和顶点位置。
2.呈现（15分钟）教师通过课件展示一些二次函数的图象，让学生观察和分析开口方向、对称轴、顶点等特征。
同时，教师引导学生通过观察和分析，归纳出二次函数的增减性规律。
3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
21.2)y=a(x+h)2的图象和性质
位置
开口方向 增减性 最值
当x=-h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=-h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
开口大小
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2（x-3）2 y= −2（x+3）2 y= −2（x-2）2
y= 3（x+1）2
二次函数的图像和性质
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
上节复习
y＝ax2+k
图象
a>0
a<0
k>0
k<0
k>0
k<0
开口向下 开口向上 开口 ︱a︱越大，开口越小；︱a︱越小，开口越大 关于y轴对称 对称性 顶点
(0,k)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
X=-1
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
二次函数y=a(x+h)2的性质：
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x+h)2 (a>0) 抛物线
在对称轴(直线:x=-1)左侧 (即x<-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而减少,. 顶点是最低点,函数 有最小值.当x=-1时, 最小值是0..
y 3x 2
y 3x 1
2
在对称轴(直线:x=-1)右侧 (即x>-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而增大,.
九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计
21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
九年级数学上册尖子生同步培优专题21.2(1)二次函数y=ax2的图象和性质
沪科版2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优专题21.2（1）二次函数y=ax2的图象和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线y ＝3（x +1）2+1的顶点所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表，那么下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．abc ＜0 3．已知二次函数223y x x =-+-，那么下列关于该函数的判断正确的是（） A ．该函数图象有最高点(0,3)-B ．该函数图象有最低点(0,3)-C ．该函数图象在x 轴的下方；D ．该函数图象在对称轴左侧是下降的. 4．已知a 是方程x 2﹣2x ＝1x的实数根，则直线y ＝ax+1﹣a 的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数2b y cx a =+与反比例函数ab y x=在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d二、填空题7．如果一条抛物线经过点A （2，5），B （﹣3，5），那么它的对称轴是直线_____． 8．如果抛物线经过点(1,0)A -和点()5,0B ，那么这条抛物线的对称轴是直线___________．9．已知二次函数2228y a x a x a =++（a 是常数，a ≠0），当自变量x 分别取-6、-4时，对应的函数值分别为y 1、y 2，那么y 1、y 2的大小关系是：y 1__ y 2（填“>”、“<”或“=”）． 10．已知二次函数22(2)y x =+，如果2x >-，那么y 随x 的增大而__________． 11．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 对称轴为直线x ＝3，如果点A （0，4）为此抛物线上的一点，那么当x ＝6时，y ＝__．12．如图，抛物线的对称轴为直线x ＝1，点P 、Q 是抛物线与x 轴的两个交点，点P 在点Q 的右侧，如果点P 的坐标为（4，0），那么点Q 的坐标为_____．13．如果二次函数2(1)(0)y a x a =-≠的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是__________.14．已知点P （x 0，m ），Q （1，n ）在二次函数y ＝（x +a ）（x ﹣a ﹣1）（a ≠0）的图象上，且m ＜n 下列结论：①该二次函数与x 轴交于点（﹣a ，0）和（a +1，0）；②该二次函数的对称轴是x ＝12； ③该二次函数的最小值是（a +2）2； ④0＜x 0＜1．其中正确的是_____．（填写序号）三、解答题15．已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点()()()1,5,1,9,0,8A B C -．求这个二次函数的解析式，开口方向，对称轴和顶点坐标．16．已知函数1)3)y x x =---((. （1）指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图像.17．已知二次函数241y x x =--.（1）将函数241y x x =--的解析式化为()2y a x m k =++的形式，并指出该函数图像顶点B 坐标；（2）在平面直角坐标系中xOy 中，设抛物线241y x x =--与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x 轴交点为A .求四边形OABC 的面积.18．在平面直角坐标系xOy 中，将点1(,)P a b a -定义为点(,)P a b 的“关联点”. 已知点(,)A x y 在函数2y x 的图像上，将点A 的“关联点”记为点1A .（1）请在如图基础上画出函数22y x =-的图像，简要说明画图方法；（2）如果点1A 在函数22y x =-的图像上，求点1A 的坐标；（3）将点2(,)P a b na -称为点(,)P a b 的“待定关联点”（其中0n ≠），如果点(,)A x y 的“待定关联点”2A 在函数2y x n =-的图像上，试用含n 的代数式表示点2A 的坐标. 19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）自变量x 的值和它对应的函数值y 如表所示：（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m 的值；（2）设该二次函数图象与x 轴的左交点为B ，它的顶点为A ，该图象上点C 的横坐标为4，求△ABC 的面积．20．我们知道：抛物线y ＝a （x+m ）2+n （其中a ，m 、n 是常数，且a≠0）可以由抛物线y ＝ax 2平移得到；类似的：y ＝k x m ++n （其中k ，m ，n 是常数，且k≠0）的图象也可以由反比例函数y ＝k x的图象平移得到．如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0），（0，3），点D 是OA 的中点．连接OB ，CD 交于点E ，函数y ＝6k x -+n 的图象经过B ，E 两点． （1）求此函数的解析式；（2）过线段BE 中点M 的一条直线与此函数的图象交于P ，Q 两点（P 在线段BC 上方），若四边形BPEQ 面积为16，求点P 的坐标．参考答案1．B【分析】根据抛物线y ＝3（x +1）2+1，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．【详解】解：∵抛物线y ＝3（x +1）2+1，∴该抛物线的顶点是（﹣1，1），在第二象限，故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.2．D【分析】根据图表信息，先确定出抛物线的对称轴，进而求得开口方向，从而确定a 的符号，进一步求得b 的符号，根据图象经过（0，6）求得c 的符号，即可判断abc ＜0正确．【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x ＝012 ＝12， ∵在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，∴抛物线的开口向下，则a ＜0， ∵﹣2b a ＝12， ∴b ＞0，∵x ＝0时，y ＝6，∴与y 轴的交点为（0，6），∴c ＝6＞0，∴abc ＜0，故选项D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，仔细分析图表数据，判断出抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点是解题关键，也是本题的突破口．3．C【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】∵二次函数y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，∴该函数图象有最高点（1，-2），故选项A错误，选项B错误；该函数图象在x轴下方，故选项C正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；故选：C．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．A【分析】方程x2﹣2x＝1x的实数根，实际就是抛物线y1＝x2﹣2x，与双曲线y2＝1x交点的横坐标，通过画两个函数的图象，确定a的取值范围，再根据a的取值范围确定直线所经过的象限，从而确定位置，做出选择．【详解】解：设y1＝x2﹣2x，y2＝1x，抛物线y1＝x2﹣2x，与双曲线y2＝1x的图象如图所示：方程x2﹣2x＝1x的实数根，实际就是抛物线y1＝x2﹣2x，与双曲线y2＝1x交点的横坐标，抛物线y1＝x2﹣2x，与x轴的交点为O（0，0），A（2，0），由两个图象可得，交点B的横坐标一定要大于2，即：a＞2，当a＞2时，1﹣a＜0，直线y＝ax+1﹣a的图象过一、三、四象限，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，利用图象法比较直观的得出结论，于是函数中常用的方法．5．D【解析】试题分析：根据二次函数的图象得到a ＞0，b ＞0，c ＜0，再根据一次函数和反比例函数图象与系数的关系作出判断：∵抛物线y=ax 2+bx+c 开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴为直线x=02b a-<，∴b ＞0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0.∵c ＜0，02b a >，∴一次函数2b y cx a=+的图象过第一、二、四象限. ∵ab ＞0，∴反比例函数ab y x=分布在第一、三象限． ∴一次函数2b y cx a =+与反比例函数ab y x =在同一坐标系内的大致图象是选项D. 故选D ．考点：1.二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系；2.不等式的性质. 6．D【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，故选：D ．【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．x=-12． 【分析】因为A （2，5），B （﹣3，5）的纵坐标相同，A 、B 关于x ＝232-＝﹣12对称，即可求抛物线的对称轴．【详解】解：因为A （2，5），B （﹣3，5）的纵坐标相同，∴A 、B 关于x ＝232-＝﹣12对称， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣12， 故答案为：x ＝﹣12． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 8．2x =【分析】观察点(1,0)A -和点()5,0B 两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B 两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB 中点且平行于y 轴的直线，求AB 中点坐标即可得.【详解】解：∵一条抛物线经过点（-1，0）、（5，0），∴这两点关于对称轴对称，∴x=1522即x=2．故答案是：x=2．【点睛】本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.9．>【分析】先求出抛物线的对称轴为4x =-，由20a >，则当4x <-，y 随x 的增大而减小，即可判断两个函数值的大小.【详解】解：∵二次函数2228y a x a x a =++（a 是常数，a ≠0）， ∴抛物线的对称轴为：22842a x a=-=-， ∵20a >，∴当4x <-，y 随x 的增大而减小，∵64-<-，∴12y y >；故答案为：>.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题.10．增大【分析】由二次函数解析式可求得其对称轴，结合二次函数的增减性可求得答案．【详解】∵y=2（x+2）2，∴抛物线开口向上，且对称轴为x=-2，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，∴当x ＞-2时，y 随x 的增大而增大，故答案为：增大．【解答】解：【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．11．4【分析】首先根据对称轴方程确定点A 和点（6，a ）关于对称轴对称，然后求得其纵坐标的值即可．【详解】解：∵抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 对称轴为直线x ＝3，如果点A （0，4）为此抛物线上的一点， ∴点A （0，4）和点（6，a ）关于对称轴对称，∴a ＝4，∴当x ＝6时，y ＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定两点关于对称轴对称，难度不大． 12．（﹣2，0）．【分析】根据抛物线的对称轴结合点P 的横坐标，即可求出点Q 的横坐即可；【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，点P 的坐标为（4，0），∴点Q 的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，∴点Q 的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，掌握二次函数的图象是解题的关键.13．0a >【分析】由题意得：二次函数2(1)(0)y a x a =-≠的图像开口向上，进而，可得到答案.【详解】∵二次函数2(1)(0)y a x a =-≠的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，∴二次函数2(1)(0)y a x a =-≠的图像开口向上，∴0a >.故答案是：0a >【点睛】本题主要考查二次函数图象和二次函数的系数之间的关系，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.14．①②④．【分析】（1）根据二次函数的解析式，求出与x 轴的交点坐标，即可判断①；（2）用与x 轴交点的横坐标相加除以2，即可求证结论②；（3）将二次函数交点式转化为顶点式，得到顶点坐标，即可求证③；（4）讨论P 点分别在对称轴的左侧和右侧两种情况，根据函数的增减性，计算x 0的范围即可.【详解】①∵二次函数y ＝（x +a ）（x ﹣a ﹣1），∴当y ＝0时，x 1＝﹣a ，x 2＝a +1，即该二次函数与x 轴交于点（﹣a ，0）和（a +1，0）． 故①结论正确； ②对称轴为：12122x x x +==． 故②结论正确；③由y ＝（x +a ）（x ﹣a ﹣1）得到：y ＝（x ﹣12）2﹣（a +12）2，则其最小值是﹣（a +12）2，故③结论错误；④当P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随x 的增大而减小，由m ＜n ，得0＜x 0≤12； 当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得12＜x 0＜1， 综上所述：m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1．故④结论正确．故答案是：①②④．【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数不同形式解析式之间的相互转化，正确理解掌握二次函数的性质.15．228y x x =--+；开口向下；对称轴：直线1x =-；顶点坐标()1,9-【分析】将三个点坐标代入二次函数解析式，可求出a ，b ，c 的值，得到解析式，再根据二次函数的性质判断开口方向，对称轴和顶点坐标.【详解】解：将()()()1,5,1,9,0,8A B C -代入二次函数解析式得，598a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得128a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴函数解析式为228y x x =--+∵0a <∴抛物线开口向下 对称轴为12b x a=-=-， 将x=-1代入解析式得y=9，所以顶点坐标为（-1,9）.【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，熟练掌握基本概念是解题的关键.16．（1）开口向下，顶点(2,1)，当2x ≤，y 随x 的增大而增大，当2x ≥，y 随x 的增大而减小；（2）见解析【分析】(1)根据二次函数的系数的意义和二次函数的性质，即可得到答案；(2)根据描点法，画出图象，即可.【详解】（1）∵a=-1<0，∴函数图像的开口向下，∵221)3)=43(2)1y x x x x x =----+-=--+((， ∴顶点坐标是：(2,1)，∵抛物线的对称轴是：直线x=2，∴当2x ≤，y 随x 的增大而增大，当2x ≥，y 随x 的增大而减小；（2）当x=-1，0，1，2，3，4时，y=-8，-3，0，1，0，-3；如图所示：【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质和描点法画图象，是解题的关键. 17．（1）()225y x =--，B （2，－5）；（2）6.【分析】（1）利用配方法把将二次函数y=x 2-4x-1的解析式化为y=a （x+m ）2+k 的形式，利用二次函数的性质即可得出答案；（2）求出C 点，A 点坐标，则四边形OABC 的面积可求出．【详解】解：（1）()224125y x x x =--=--，该函数图象顶点B 坐标为（2，-5）；（2）如图，令y=0，x=-1，∴C （0，-1），∵B （2，-5），∴A （2，0），∴四边形OABC 的面积()6126122AB OC OA =⨯+⨯=⨯⨯= ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．18．（1）见解析，将图中的抛物线2y x 向下平移2个单位长，可得抛物线22y x =-；（2）（2,2）；（3）(1,1)n -【分析】（1）利用图像的平移规律，将2y x 向下平移2个单位长度即可得到22y x =-（2）先根据题意求出1(,)A x y x -，再代入到22y x =-中，联合A 代入到2y x 即可求出答案.（3）将2A 代入2y x n =-中解出x 的值，可点2A 的坐标即可用含n 的代数式表示.如图将图9中的抛物线2y x 向下平移2个单位长，可得抛物线22y x =-画法：①列表；②描点（五点画图法）；③用光滑的曲线连接这五个点.（2）由题意，得点(,)A x y 的“关联点”为1(,)A x y x -由点(,)A x y 在抛物线2y x 上，可得2(,)A x x ，21(,)A x x x -又∵1(,)A x y x -在抛物线22y x =-上，∴222x x x -=-解得2x =.将2x =代入21(,)A x x x -，得1(2,2)A（3）点(,)A x y 的“待定关联点”为22(,)A x x nx -，∵22(,)A x x nx -在抛物线2y x n =-的图像上，∴22x nx x n -=-.∴0n nx -=,(1)0n x -=.又∵0n ≠，∴1x =.当1x =时，21x nx n -=-，故可得2(1,1)A n -.【点睛】本题主要考查二次函数，读懂题意，理解关联点的意义是解题的关键.19．（1）该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为（2，﹣1），m 的值是3；（2）△ABC 的面积是3.【分析】（1）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m 的值；（2）根据表格中的数据和题意，可以写出点B 、点A 和点C 的坐标，再求出直线AC 和x 轴的交点，即可得到△ABC 的面积．解：（1）由表格可知，该函数有最小值，当x ＝2时，y ＝﹣1，当x ＝4和x ＝0时的函数值相等，则m ＝3，即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为（2，﹣1），m 的值是3；（2）由题意可得，点B 的坐标为（1，0），点A 的坐标为（2，﹣1），点C 的坐标为（4，3），设直线AC 的函数解析式为y ＝kx+b ，2143k b k b +=-⎧⎨+=⎩，得25k b =⎧⎨=-⎩， 所以直线AC 的函数解析式为y ＝2x ﹣5，当y ＝0时，0＝2x ﹣5，得x ＝2.5，则直线AC 与x 轴的交点为（2.5，0），故△ABC 的面积是：(2.51)3(2.51)|1|22-⨯-⨯-+＝3． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．（1）函数的关系式为：y ＝36x -+2；（2）点P 的坐标为（7，5） 【分析】（1）求出直线OB 的关系式和直线CD 的关系式，进而求出交点E 的坐标，再把点E 、B 的坐标代入，求出k 、n 的值，即可确定函数关系式，（2）求出点M 的坐标，根据函数图象的平移规律和反比例函数的图象的对称性，可以得到三角形PMB 的面积为四边形BPEQ 面积的四分之一，再根据三角形PMB 的面积与点P 的坐标之间的关系列方程求解即可，【详解】解：（1）由题意得，B （9，3），D （4.5，0），设直线OB 的函数关系式为y ＝kx ，将B （9，3）代入得，9k ＝3，解得，k ＝13，∴y ＝13x ， 设直线CD 的关系式为y ＝kx+b ，把C （0，3）、D （4.5，0）代入得，34.50b k b =⎧⎨+=⎩，解得，k ＝﹣23，b ＝3， ∴y ＝﹣23x+3， 由题意的，13233y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得，x ＝3，y ＝1， ∴E （3，1），把B （9，3）、E （3，1）代入函数y ＝6k x -+n 得， 3313k n k n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩，解得，k ＝3，n ＝2， ∴函数的关系式为：y ＝36x -+2． （2）∵E （3，1），B （9，3），M 是BE 的中点，∴M （6，2）根据反比例函数图象的对称性可知，MB ＝ME ，MP ＝MQ ，∴四边形PEQB 是平行四边形，∴S △PMB ＝14S 四边形PEQB ＝4， 设点P 的坐标为（x ，36x -+2）， 由题意得，12（36x -+1）（9﹣x ）＝4， 整理得，x 2﹣4x ﹣21＝0，解得：x ＝7，或x ＝﹣3（舍去），当x ＝7时，36x -+2＝5， 因此点P 的坐标为（7，5）【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图象和性质，图形的平移以及一元二次方程的应用，将点的坐标转化为线段的长，用坐标表示面积，列出方程求解是常用的方法。