山西大学物理学考研633量子力学真题

07年量子力学

一、基本概念与原理

1.采用原子单位描述氢原子的性质，其中长度单位波尔半径

A me a （）==22，氢原子基态电子能量为eV E （）=1（取无穷远处为势能零点）

。2.质量为m 、频率为ω的一维谐振子的基态能量本征函数为（），其第n 个激发态的能量本征值（）=n E 。

3.量子力学最基本的对易关系是坐标x 、动量p 的对易关系（），这说明坐标和动量满足海森堡测不准关系（）。

4.守恒定律与对称性紧密相关，体系的空间平移不变性导致（）守恒，空间旋转不变性导致（）守恒，这些守恒的物理量一定与体系的哈密顿量对易。

5.写出不考虑自旋情况下描述氢原子的波函数（），其中三个量子数的物理意义分别是：（）决定氢原子的能级，（）决定氢原子角动量的大小，（）决定角动量的方向。

6.薛定谔绘景中波函数随时间变化，写出其动力学演化方程（）。海森堡绘景中（）随时间变化，写出其动力学演化方程（）。

二、判断题

1.两个自旋21的粒子总自旋可以为21。（×）

2.自旋轨道耦合对哈密顿量的修正部分与轨道角动量对易。（×）

3.若A 与B 为反厄米算符，则[]B A ,为厄米算符。（×）

4.系统具有旋转不变性，则其能量本征态也是角动量算符平方的本征态。（√）

5.角动量算符的z 方向分量∧z L 与)(2

2∧∧+y x L L 对易。（√）

6.波函数的导数仍然是一个波函数。（√）

7.反常塞曼效应的原因是自旋轨道耦合。（√）

8.一维谐振子和无限什方势阱中能级都是等距分布的。（×）

9.Born 近似较适用于高能粒子散射，而分波法较适用于低能粒子散射。（√）

10.可观测量的动力学变量在量子力学中用幺正算符表示。（×）三、磁场中电子自旋：一个自旋21的粒子处于常磁场中，其哈密顿算符为→

→→→?-=?-=B B H B B B σμμ，

1）证明系统的能量本征值与磁场矢量)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θB B =→的方向），（?θ无关。

2）求出系统的两个旋量本征态。

3）若系统处于对应正本征值的本征态上，求算符y σ的期待值。

四、角动量的矩阵表示：

在),(2∧

∧z L L 的共同表象中，以m l ,为基矢，23=l 的子空间是四维的。

1）求2∧L 、∧z L 、∧x L 、∧y L 在此四维空间中的矩阵表示。

2）用矩阵方法求出与∧y L 的最大本征值相应的本征态，并说明其矩阵元的物理意义。五、定态微扰论：设系统的哈密顿算符为4

2222

12x x m m p H λω++=其中ωλ 《，将非线性力的势能部分4

x λ作为微扰，试用微扰论求准确到二级的基态能级近似值。【提示：)(2a a m x +=+ω

】六、两电子波函数：

考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的活反对称的。由于电子的费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）必须是反对称的。

1）假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符为：→

→→+=21s s S 。求：2→S 和→z S 的本征值。

2）假设空间部分波函数是对称的，求：对应自旋部分波函数、2→S 和→z S 的本征值。

3）假设两电子系统哈密顿量为：→→?=21s s J H ，分别针对1,2两种情形，求系统的能量。

七、一维问题：考虑质量为m 的粒子在半壁无限高势阱中的运动??

???-∞=a x a x ma x x V ＞＜＜＜,00,320,)(22 1）在其中可能存在束缚态的个数。

2）在最高能量的束缚态发现粒子在阱外（＞a x ）的几率。（提示：方程1)8(cot 2-=-z z 的解分别为2.7859，5.52145，7.95732）

)

(x V x

a

a -08年量子力学

一、基本概念与原理

1）量子力学中力学量用（）算符表示，这些算符的本征函数具有（）性和（）性。坐标和动量的测不准关系为（）。这说明坐标和动量满足对易关系（），他们不能有（）。

2）外加强磁场会破坏自旋轨道耦合，原子谱线分裂为奇数条，此为（）效应，在弱磁场中分裂为偶数条，此为（）效应，在外加电场中谱线的分裂称为（）效应。

3）两个角动量1J 和2J 耦合为总角动量J ，未耦合表象中（）组成体系的力学量完全集，耦合表象中（）组成体系的力学量完全集，它们之间的展开系数称为（）。给定角量子数1j ，

2j ，总角动量角量子数j 的取值范围为（）

，J 的三个分量满足对易关系（）。4）采用原子单位描述氢原子的性质，其中长度单位波尔半径 A me a （）==22，氢原子基态电子能量为eV E （）=1（取无穷远处为势能零点）

。不考虑自旋情况下描述氢原子的波函数),(?θψlm nl nlm Y R =，其中三个量子数的物理意义分别是：（），（），（），第n 个能级的简并度为（）。

5）全同粒子原理要求多粒子体系的波函数为对称和反对称，对费米子我们有（）原理，即两个全同的费米子不能占据同一个状态，对玻色子在极低温下则可能出现（），即所有粒子凝聚在同一个量子态上。

6）变分法可以用来求体系的基态能量的上限，对氦原子问题，我们通常选取（）为变分参量，这样求得的基态能量结果优于微扰法，其原因是（）。

7）电偶极近似下，光谱线的跃迁中角量子数与磁量子数的选择定则为（）。

二、一维问题：我们知道在一维δ势阱中仅存在一个宇称为偶的束缚态。考虑如图所示的双

δ势阱)]()([)(a x a x x V -++-=δδα（其中a ，α为正的实数）

。对2 =α和ma 42 =α，求其中可能出现的束缚态个数。（提示：利用图解法分别考虑宇称为偶和奇两种情况，波函数导数在a ±处不连续)(2△2'a m ±-=ψαψ

）。

三、矩阵力学：某三能级系统的哈密顿量和其他两个力学量A 和B 的矩阵表示为

????? ??=200020001ω H ，????? ??=200001010λA ，????

? ??=010100002μB 其中，为正的实数。

1）求上面三个算符的本征值和归一化的本征态。

2）若系统0=t 时刻从一个一般的态出发

????

? ??=321)0(c c c ψ其中1232221=++c c c 。求H 、A 、B 的期待值。

3）求t 时刻在态)(t ψ上测量三个力学量H 、A 、B 的可观测值和几率。

四、自旋单态和三重态：考虑两个电子组成的系统。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分的自旋部分）必须是反对称的。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。

1）假设假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符为：→→→+=21s s S 。求：2→S 和→

z S 的本征值。

2）假设空间部分波函数是对称的，求：对应自旋部分波函数、2→S 和→z S 的本征值。

3）假设两电子系统哈密顿量为：→

→?=21s s J H ，分别针对1,2两种情形，求系统的能量。五、定态微扰论：设体系的哈密顿算符为：2202220212x m dx d m H ω+-=∧

收到微扰的∧'

H 作用。

1）对bx H =∧'

（其中b 为小量）求能量的二级修正和本征函数的一级修正。

2）对2'bx H =∧求能量的二级修正，精确求解此模型，并和微扰结果比较。（提示：)(2a a m x +=+ω

）

09年量子力学

一、基本概念与原理

1）量子力学中力学量用（）算符表示，这些算符的本征函数具有（）性和（）性。坐标和动量的测不准关系为（）。这说明坐标和动量满足对易关系（），他们不能有（）。

2）外加强磁场会破坏自旋轨道耦合，原子谱线分裂为奇数条，此为（）效应，在弱磁场中分裂为偶数条，此为（）效应，在外加电场中谱线的分裂称为（）效应。

3）两个角动量1J 和2J 耦合为总角动量J ，未耦合表象中（）组成体系的力学量完全集，耦合表象中（）组成体系的力学量完全集，它们之间的展开系数称为（）。给定角量子数1j ，

2j ，总角动量角量子数j 的取值范围为（）

，J 的三个分量满足对易关系（）。4）采用原子单位描述氢原子的性质，其中长度单位波尔半径 A me a （）==22，氢原子基态电子能量为eV E （）=1（取无穷远处为势能零点）

。不考虑自旋情况下描述氢原子的波函数),(?θψlm nl nlm Y R =，其中三个量子数的物理意义分别是：（），（），（），第n 个能级的简并度为（）。

5）电偶极近似下，光谱线的跃迁中角量子数与磁量子数的选择定则为（）。

6）写出量子跃迁的费米黄金规则公式（），说明式中各个因子的物理意义，（），（）。

二、一维问题：质量为m 的粒子位于宽度为a 的无限深势阱中，其初始波函数为

a

x a x a x ππψsin )cos 1(58)0,(+=1）求在0t t =时刻的波函数和体系的平均能量。

2）在0t t =时，在势阱左半部（20a x ≤≤）发现粒子的几率是多少？三、谐振子相干态：一维谐振子的产生与消灭算符定义为：

)(2∧∧+∧-=

p m i x m a ωω ，)(2∧∧∧+=p m i x m a ω

ω 由∧a 和+∧a 构成厄米算符∧+∧=a a N ，其本征值为粒子数n ，本征态n 称为数态或FOCK 态。相干态定义为消灭算符的本征态，ααα=∧a ，其中α为任意复数。1）向其他任意的波函数一样，α可表示成各能量本征态的线性叠加，n c n n ∑∞==0α，求叠加系数（注意归一化）。2）在α态上计算x ，2x ，p ，2p ，验证相干态满足最小测不准关系2△△ =?p x 。

3）考虑时间演化n e n t n iE -→，证明态)(t α仍是∧

a 的本征态，但是本征值随时间演化ααωt i e t =)(。

四、角动量表象变换：

在),(2∧

∧z L L 的共同表象中，以m l ,为基矢，1=l 的子空间是三维的。

1）求∧x L 、∧y L 在此三维空间中的矩阵表示。

2）用矩阵方法求它们的本征值和归一化的本征函数。

3）分别写出使∧x L 、∧y L 作为对角形式的变换矩阵。4）若粒子处于状态????

? ??-=321141χ，求在此状态下测量∧x L 得到测量值为0的几率。五、定态微扰论：设系统的哈密顿算符为

4

2222

12x x m m p H λω++=其中ωλ 《，将非线性力的势能部分4

x λ作为微扰，试用微扰论求准确到二级的基态能级近似值。【提示：)(20

a a m x +=+ω 】

10年量子力学

一、（50分）基本概念与原理（每空两分）1）采用原子单位描述氢原子的性质，其中长度单位波尔半径 A me a （）==22，氢原子基态电子能量为eV E （）=1（取无穷远处为势能零点）

。不考虑自旋情况下描述氢原子的波函数),(?θψlm nl nlm Y R =，其中三个量子数的物理意义分别是：（）决定氢原子的能级，（）决定氢原子角动量的大小，（）决定角动量的方向。

2）将6个全同的玻色子放在频率为ω的简谐势中，系统可能的最低能量为（），因为玻色子服从玻色—爱因斯坦统计，在极低温下，则可能出现（），即所有粒子凝聚在同一个量子态上。若在其中放6个自旋为21的费米子（如电子），系统可能的最低能量为（），因为对费米子我们有（）原理，即两个全同的费米子不能占据同一个状态。

3）守恒定律与对称性紧密相关，体系的空间平移不变性导致（）守恒，空间旋转不变性导致（）守恒，这些守恒的物理量一定与体系的哈密顿量对易。

4）变分法可以用来求体系的基态能量的上限，对氦原子问题，我们通常选取（）为变分参量，这样求得的基态能量结果优于微扰法，其原因是（）。5）写出全同粒子的至少三种内禀属性，，。量子全同粒子的特性是（），这种特性对描述全同粒子体系状态的波函数加上了什么限制：。6）两个21=s 的自旋∧1S 和∧2S 耦合为1=s 与0=s 的总自旋∧∧∧+=21S S S ，写出∧1S 和∧

2S 的共同本征态，，，。

7）中心力场的弹性散射问题中，入射粒子束可以近似用一个平面波来描述，波函数在+∞→r 处的渐进行为是（），计算散射截面的方法中，（）适用于低能散射，（）适用于高能散射。

二、（25分）一维问题：考虑入射粒子在一维阶跃势???=0

,0,0)(0＞＜x V x x V 上的散射问题（00＞V ）。分别对入射粒子能量0V E ＞和0V E ＜，求反射率和折射率。

三、（25分）磁场中的电子自旋：假设一个定域电子（忽略电子轨道运动），在均匀磁场中运动，磁场→B 沿z 轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能为：→

→?-=B V μ，这里

→→

-=s m e g e s 2μ（2=s g ）为电子的磁距：自旋用泡利算符∧∧=σ2 s 表示，???? ??=∧0110x σ，???? ??-=∧00i i y σ，???? ??-=∧1001z σ。

1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：χχ∧=??H t

i 2）假设0=t 时，电子自旋指向x 轴正向，即2

=∧x s ，求0＞t 时，自旋∧s 的平均值。3）求0＞t 时，电子自旋指向y 轴负向，即2

-=∧y s 的几率是多少？四、（25分）角动量的矩阵表示：

在),(2∧

∧z L L 的共同表象中，以m l ,为基矢，23=l 的子空间是四维的。

1）求2∧L 、∧z L 、∧x L 、∧y L 在此四维空间中的矩阵表示。

2）用矩阵方法求出与∧y L 的最大本征值相应的本征态，并说明其矩阵元的物理意义。

五、（25分）定态微扰论：质量为m 的粒子位于宽度为a 的无限深势阱中，在势阱中心的地方受到δ函数势的微扰)2

()('a x x H -=αδ其中α为常数，求准确至二阶的第n 个激发态能量修正值以及基态波函数的一阶修正。

11年量子力学

一、（50分）基本概念与原理（每空两分）

1）两个角动量1J 和2J 耦合为总角动量J ，未耦合表象中（）组成体系的力学量完全集，耦合表象中（）组成体系的力学量完全集，它们之间的展开系数称为（）。

2）原子的正常塞曼效应谱线分裂为奇数条，其原因是（）；反常塞曼效应谱线分裂为偶数条，其原因是（）。

3）守恒定律与对称性紧密相关，体系的空间平移不变性导致（）守恒，空间旋转不变性导致（）守恒，这些守恒的物理量一定与体系的哈密顿量对易。4）采用原子单位描述氢原子的性质，其中长度单位波尔半径 A me a （）==22，氢原子基态电子能量为eV E （）=1（取无穷远处为势能零点）

。不考虑自旋情况下描述氢原子的波函数),(?θψlm nl nlm Y R =，其中三个量子数的物理意义分别是：（），（），（），第n 个能级的简并度为（）。5）写出全同粒子的至少三种内禀属性，，。量子全同粒子的特性是（），这种特性对描述全同粒子体系状态的波函数加上了什么限制：。6）两个21=s 的自旋∧1S 和∧2S 耦合为1=s 与0=s 的总自旋∧∧∧+=21S S S ，写出∧1S 和∧

2S 的共同本征态，，，。

7）中心力场的弹性散射问题中，入射粒子束可以近似用一个平面波来描述，波函数在+∞→r 处的渐进行为是（），计算散射截面的方法中，（）适用于低能散射，（）适用于高能散射。

二、（25分）一维问题：质量为m 的粒子位于宽度为a 的一维无限深势阱中，???∞=a

x x a x x V ＞＜，＜＜,00,0)(在0=t 时，粒子的波函数为

???-=ψa

x x a x x a Ax x ＞＜＜＜,0,00),()0,(1）写出或求出定态能量n E 与归一化的定态波函数)(x n ψ。

2）求归一化系数A 。

3）粒子在)0,(x ψ上能量取值为n E 的几率分布及平均能量。

4）任意0＞t 时刻粒子波函数),(t x ψ的函数表达式。

三、（25分）微扰论：设体系的哈密顿算符为：

2202220212x m dx d m H ω+-=∧

收到微扰的∧'

H 作用。

1）对bx H =∧'（其中b 为小量）求能量的二级修正和本征函数的一级修正。

2）对2'bx H =∧求能量的二级修正，精确求解此模型，并和微扰结果比较。（可能用到的矩阵元公式：01,1,)1(2

1ωδδm n n x n n n n nn -+++=）四、（25分）矩阵力学：

某三能级系统的哈密顿量有下式表示

????

? ??=a b c b a H 0000其中a 、b 、c 为实数。

1）用矩阵方法求H 的本征态和归一化的本征矢量

2）如果系统初态在????

? ??=010)0(ψ，求t 时刻的态)(t ψ3）如果系统初态在????

? ??=100)0(ψ，求t 时刻的态)(t ψ五、（25分）证明：

1.算符∧Q 的正交归一完备的本征态方程为n q n Q n =∧，其中??=3,2,1n ，证明算符∧Q 可以展开成谱分解公式n n q Q n n ∑=

∧。

2.反厄米算符定义为∧+∧-=Q Q ，证明反厄米算符的本征值为虚数。

3.证明两个厄米算符的对易子为反厄米算符，两个反厄米算符的对易子也是反厄米算符。