应力与强度计算

第三章 应力与强度计算

一.容提要

本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计算。

1．拉伸与压缩变形 1.1 拉（压）杆的应力

1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力

拉压杆件横截面上只有正应力σ，且为平均分布，其计算公式为

N F

A

σ= (3-1)

式中N F 为该横截面的轴力，A 为横截面面积。

正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件：

（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；

（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀；

（4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角0

20α≤时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。

1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1）

图3-1

拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力

cos p ασα= (3-2)

正应力 2

cos ασσα=（3-3）

切应力1

sin 22

ατα=

（3-4） 式中σ为横截面上的应力。

正负号规定：

α 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。

ασ 拉应力为正，压应力为负。

α

τ对脱离体一点产生顺时针力矩的

α

τ为正，反之为负。

两点结论：

（1）当00

α=时，即横截面上，

α

σ达到最大值，即()

max

α

σσ

=。当α=0

90时，即

纵截面上，

α

σ=0

90=0。

（2）当0

45

α=时，即与杆轴成0

45的斜截面上，

α

τ达到最大值，即

max

()

2

α

α

τ=

。

1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律

（1）变形及应变

杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。

图3-2

轴向变形

1

l l l

∆=-

轴向线应变

l

l

ε

∆

=

横向变形

1

b b b

∆=-

横向线应变

b

b

ε

∆

'=

正负号规定伸长为正，缩短为负。

（2）胡克定律

当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即

E

σε

=（3-5）

或用轴力及杆件的变形量表示为

N

F l

l

EA

∆=(3-6)

式中EA称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。

公式(3-6)的适用条件：

(a)材料在线弹性围工作，即

p

σσ〈；

(b)在计算l∆时，l长度其N、E、A均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即

1

n

i i

i i i

N l

l

E A

=

∆=∑(3-7)

(3)泊松比

当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即

ε

ν

ε

'

=(3-8)

1.3 材料在拉（压）时的力学性能

1.3.1低碳钢在拉伸时的力学性能

应力——应变曲线如图3-3所示。

图3-3 低碳钢拉伸时的应力－应变曲线

卸载定律:在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。如图3-3中dd’直线。

冷作硬化：材料拉伸到强化阶段后，卸除荷载，再次加载时，材料的比例极限升高，而塑性降低的现象，称为冷作硬化。如图3-3中d’def曲线。图3-3中，of’为未经冷作硬化，拉伸至断裂后的塑性应变。d’f’为经冷作硬化，再拉伸至断裂后的塑性应变。

四个阶段四个特征点，见表1-1。

表1-1 低碳钢拉伸过程的四个阶段

阶段图1-5

中线段

特征点说明

弹性阶段oab

比例极限

p

σ

弹性极限

e

σ

p

σ为应力与应变成正比的最高应力

e

σ为不产生残余变形的最高应力

屈服阶段bc

屈服极限

s

σ

s

σ为应力变化不大而变形显著增加时的最低

应力

强化阶段ce

抗拉强度

b

σ

b

σ为材料在断裂前所能承受的最大名义应力局部形变阶段ef 产生颈缩现象到试件断裂

主要性能指标，见表1-2。

性能性能指标说明

弹性性能弹性模量E

当

p

E

σ

σσ

ε

≤=

时，

强度性能

屈服极限

s

σ材料出现显著的塑性变形