8梁的弯曲应力和强度计算

取 d =145mm。
内容回顾
正应力强度计算 1.最大正应力： 2.弯曲正应力强度条件： 3.强度计算：三方面①校核强度 ②设计截面 ③许可荷载 4.步骤：
内力图 找危险截面 确定危险点 最大应力
Ⅱ新的问题 剪应力强度计算
三、弯曲剪应力 由于分布复杂，与截 面形状有关，故对不同截 面分别研究。
1、矩形截面梁 （1）假设
S A yc 120 (90 50) (50 40 / 2) 336 10 mm
* Za 3
* Q max S Za ta 0.25MPa bI Z
3
（2） 计算剪应力
tb 0
3Q max tc 2A 3 3 5.25 10 0.36MPa 2 120 180
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
弯曲正应力计算
三、计算题
6、简支梁受集中力P=20kN作用，梁截面形状，尺寸如图，它 的轴惯性矩为IZ=7.6×106mm4，试求此梁最大拉应力。
解：（1）作弯矩图， 求最大弯矩
M max 7.5kN m
（2）计算最大拉应力 因危险截面的弯矩为正，故截面下端受 最大拉应力：
解：
（1）作内力图
M max 39kN m
（2）校核梁的强度
Q max 17kN
bh 2 WZ 2.4 105 cm3 6
（2）校核梁的正应力强度
s max
M max 39 106 162.5MPa 5 WZ 2.4 10
s max s 170MPa
弯曲应力问题
一、填空题（每空1分）
11.矩形截面弯曲切应力公式为 t

FQ S bI Z
* Z
中性轴 截面上的最大切应力发生在________。
弯曲应力问题
一、填空题（每空1分）
11.矩形截面梁受集中力P作用，在图示各点中，最大拉应
力在________点，最大压应力在________点，最大切应力 4 2
一、单项选择题
14．矩形截面受纯弯曲作用的梁，横截面上的正应力分布 规律是（ D ）
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
第六章 梁 的 弯 曲 应 力
一、引言 1、弯曲应力的组成 Q M
t
s
Q
2、应力、内力的关系
tdA Q s dA y M
二、纯弯曲梁横截面上的正应力
1、纯弯曲概念
CD段：Q＝0 M＝0
t0
纯弯曲 AC 、BD段：
s0
Q
Q＝0 M＝0
t0
s0
剪切弯曲（横力弯曲）
2、实验现象与假设 （1）实验现象
安全
弯曲正应力强度计算
六、综合计算题
矩形截面外伸梁受力如图所示，已知材料的容许应力［σ］ =28MPa， P=38kN，M=10kN· m，试校核梁强度。
解：（1）作内力图
M max 14kN m
（2）校核梁的强度
s max
31MPa s
∴ 不安全
M max 6 M max WZ bh 2
圆形： IZ =πD4/64
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广 〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料 〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关 抗弯截面模量
三方面强度计算
① 校核强度
s max
M max WZ
s
安全
s
不安全
② 设计截面
WZ
M max
s
③ 确定许可荷载
M max WZ s
例、矩形截面外伸梁，所受荷载如图，截面高为250mm， 宽为100mm。已知[s] =40MPa, 试校核梁的强度。
解：
1 在________点。
弯曲应力问题
二、单项选择题（每小题1分）
11.梁发生平面弯曲时其横截面绕（ D ）旋转。 A.梁的轴线 B.横截面上的纵向对称轴 C.中性层与纵向对称面的交线 D.中性轴
弯曲应力问题
二、单项选择题（每小题1分）
11.(a)、(b)两根悬臂梁的荷载，长度都一样，而截面直径不
弯曲正应力强度计算
六、综合计算题
如图所示一圆形截面木梁，木材的容许应[σ]=10MPa，试 选择圆木的直径d。
解：（1）作弯矩图
（2）求直径d
M max 3kN m
s max
M max 32M max s 3 WZ d
32M max
d 3
s
145mm
梁需满足
s max s
（设计） （校核）
t max t
需要校核切应力的三种情况： ①小跨度梁，或支座处附近作用大荷载；
q F
挑梁
需要校核切应力的三种情况：
②焊接或铆接的组合截面梁，腹板宽高比小于型钢；
③木梁
例题：如图所示矩形截面外伸梁，已知截面宽b=100mm，截面高 h=120mm，P=30kN，q=6kN/m,材料[s]=170MPa，[t]=100MPa， 试校核梁的强度。
M max 6kN m
s max
M max M max bh 2 WZ 6 9 MPa
二、弯曲梁的正应力强度计算 1、正应力强度条件 （1）上下对称截面
h
b
对于脆性材料 [s+ ]< [s- ]，为节约材料，以达到充分 利用，常设计成上下不对称截面。 （2）上下不对称截面
2、正应力强度计算
t amax 一样，求它们的最大弯曲切应力之比 t bmax
A. 4∶1 C. 8∶1 B. 12∶1 D. 2∶1
A

t max
4Q 4Q 3 A 3R 2
三、弯曲梁的强度计算
2、弯曲梁的剪应力强度计算 （1）剪应力强度条件
t max
* QS Z t bI Z
**几种常见截面梁的剪应力 7.5 106 88 86.8MPa 88 6 7.6 10 IZ
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力.
解：（1） 作剪力图、弯矩图 （2）求最大正应力
1、作内力图，求最大弯矩
M max 20kN.m
M max 10kN.m
2、求最大正应力
M max 20 10 s max M max 19.2MPa 2 100 250 s max Wz Wz 6 3、校核强度
在正、负弯矩作用下，截面抗弯模量相同 6
s max 19.2MPa s 40MP
Q 工字钢截面： t max I t d Z * SZ 3Q 矩形截面： t max 2A 4Q 熟记** 圆形截面： t max 3A 2Q 圆环截面： t max A
（2）弯曲梁的强度计算 梁的强度涉及到正应力和切应力两个强度问题， 一般按正应力强度设计，再用切应力强度校核。
〖1〗几何变形关系
各层纵向纤维的线应变与该点距中性层距离成正比
〖2〗物理关系 弹性范围内，单向应力假设
横截面上的正应力沿截面高度成线性分布的规律
〖3〗正应力计算公式 Z轴（中性轴）——形心轴
梁纯弯曲时横截面正应力计算公式：
M－所求截面的弯矩 y－所求应力到中性轴的距离 IZ－截面对中性轴的惯性矩
矩形：IZ =bh3/12
鱼腹梁
弯曲应力小结
正应力s： s 弯矩M
强度计算 M max s s 最大正应力： max Wz
My （沿截面高度呈线性分布） IZ
①校 核 强 度 ②选择截面尺寸
内 力
剪力FQ
③确定许可荷载
Q SZ 切应力t ： t b IZ
对剪切（横力）弯曲：
h b D
z
矩形：
圆形：
空心圆截面：
d 外径为D，内径为d, D
IZ WZ ymax
D 64

4
d4

D 2

D 3
32
1
4
例题：图示一空心矩形截面悬臂梁受均布荷载作用。已知梁跨 l=1.2m，均布荷载集度q=20kN/m，横截面尺寸为H=12cm， B=6cm，h=8cm，b=3cm。试求此梁外壁和内壁最大正应力。 解：（1）作弯矩图， 求最大弯矩
（3）校核梁的剪应力强度
t max
3Q max 3 17 103 2.125MPa 2A 2 100 120
t max t 100MPa
∴ 安全
四、提高梁的弯曲强度的措施
弯曲正应力是控制梁的主要因素
1、更换材料： [s] 2、合理安排梁的受力情况：
(1)合理布置支座
M
max
ql 2 20 1.2 2 2 2 14.4kN m
（2）计算截面的惯性矩
BH bh IZ 736cm 4 12 12
3
3
（3）计算应力
s 外 max
M max H 14.4 10 12 10 4 IZ 2 736 10 2