梁的弯曲应力与强度计算
弯曲强度的计算公式
弯曲强度的计算公式
弯曲强度是材料在受到弯曲加载时能够抵抗断裂的能力。
它是衡量材料在弯曲应力下的稳定性和可靠性的重要指标。
计算弯曲强度的公式取决于所使用的材料和几何形状。
对于简单的弯曲情况，如梁的弯曲，可以使用欧拉-伯努利理论来计算弯曲强度。
该理论假设梁在弯曲时保持线弹性，并且材料的应力分布是线性的。
根据这个理论，可以使用以下公式计算梁的最大弯曲应力：
σ = (M * c) / I
其中，σ是最大弯曲应力，M是弯矩，c是梁的截面最大距离（也称为截面臂），I是梁的截面惯性矩。
对于复杂的几何形状和非均匀材料的弯曲情况，需要使用更为复杂的公式。
例如，对于不均匀材料的弯曲，可以使用蒙特卡洛方法或有限元分析来计算弯曲强度。
此外，不同类型的材料具有不同的弯曲强度计算公式。
例如，对于金属材料，可以使用杨氏模量和屈服强度来计算弯曲强度。
对于混凝土材料，可以使用弯曲抗剪强度和弯曲抗拉强度来计算弯曲强度。
总之，计算弯曲强度需要考虑材料的机械性能、几何形状和加载条件。
准确计算弯曲强度对于工程设计和结构分析至关重要，以确保结构的稳定性和安全性。
弯曲梁的剪应力计算及强度计算
近似均匀分布
例 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用 截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面, 试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为 140mm,宽为100mm,面积为14000mm2。
解： 1.最大弯曲剪应力。
最大弯曲剪应力发生 在中性轴上。中性轴 一侧的部分截面对中 性轴的静矩为：
Sz ycA
S z,m a (2 xm 0 1 m m 2 4 0 m m 5 )2 m 2m 0 9 m .0 2 14 m 5 03 m 2
最大弯曲剪应力：
(2).腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力
1、 弯曲正应力强度条件
弯曲正应力强度条件为：
maxW Mz max
要求梁内的最大弯曲正应力σmax不超过材料在 单向受力时的许用应力[σ]
利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算： 正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。
2、 弯曲剪应力强度条件
最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态， 相应的强度条件为：
梁的弯矩如图示，在横截面D与B上，分别 作用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二 截面均为危险截面。
截面D与B的弯曲正应力分布分别如图示。 截面D的a点与截面B的d点处均受压；而截面 D的b点与截面B的c点处均受拉。
由于|MD|>|MB|，|ya|>|yd|,| 因此 |σa|>|σd|
即梁内的最在弯曲压应力σc,max发生在截面D 的a点处。至于最大弯曲拉应力σt,max, 究竟发生 在b点处，还是c点处，则须经计算后才能确定。
6-4.2梁的剪应 力及强度计算
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
梁的剪应力及其强度条件梁的弯曲应力与强度计算剪应力计算公式
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
梁的应力和强度计算
梁的应力和强度计算1.梁的基本假设梁的基本假设包括：梁材料是均匀各向同性的，梁截面是平面截面，梁的纵向伸缩变形可以忽略，梁的横向收缩变形可以忽略，梁截面平面保持平直。
2.梁的受力分析在进行梁的应力和强度计算之前，需要对梁的受力进行分析。
常见的梁的受力包括弯曲、剪切和轴向拉压等。
2.1弯曲弯曲是梁的一种主要受力状态，发生在梁受到弯矩作用时。
对于弯曲受力的梁，可以运用梁弯曲理论进行应力和强度计算。
常见的梁弯曲理论包括欧拉-伯努利梁理论和延性梁理论。
2.2剪切剪切是梁的另一种重要受力状态，发生在梁上部分截面受到剪力作用时。
剪切力引起梁截面上的剪应力，可以通过剪切变形理论进行计算。
2.3轴向拉压轴向拉压发生在梁上部分截面受到轴向拉力或压力作用时。
轴向拉力或压力引起梁截面上的轴向应力，可以通过轴向变形理论进行计算。
3.梁的应力分析根据梁的基本假设和受力分析，可以进行梁的应力分析。
梁的应力分析包括黄金区和非黄金区的判断、应力分布的计算和强度设计的确定。
3.1黄金区和非黄金区判断黄金区是指梁截面上应力最大的区域，通常位于材料的纤维处。
在黄金区内，应力达到梁材料的屈服强度。
非黄金区则是指其他区域，应力小于屈服强度。
3.2应力分布计算根据梁的受力和应力分析，可以计算出梁截面上的应力分布。
应力分布的计算可以通过梁的几何形状、外力和边界条件以及材料的性质来确定。
常见的应力分布包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力等。
4.梁的强度设计梁的强度设计是根据计算得到的应力分布进行的。
根据材料的强度，可以确定梁的尺寸和形状，以满足梁的极限状态和使用状态的要求。
总结起来，梁的应力和强度计算是梁力学中的基本问题，包括梁的受力分析、应力分布计算和强度设计等内容。
通过合理的计算和设计，可以确保梁的安全和可靠性，提高结构的性能。
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。
在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。
本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。
首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：σ=M*y/I其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。
梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。
弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：σ_b=M*y/I其中，σ_b表示弯曲应力。
剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：τ=V*Q/(b*t)其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。
轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：σ_a=N/A其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。
梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。
在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。
弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。
根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。
剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。
根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。
轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。
轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。
在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。
总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。
通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。
梁的应力和强度计算
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
工程力学第8章梁的弯曲应力与强度计算
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸 和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀， 产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作 用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应 力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切 应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲 应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起 重机的吊臂、汽车的车身 等，梁的强度计算是保证 其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会 导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度 、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁 可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此 ，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影 响。
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
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引用记号 则
max
Mmaxymax Iz
Wz
Iz y max
max
Mmax Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
13
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz y max
bh 3 / 12 h/2
bh 2 6
单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
4
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众 多纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部纤 维的缩短，中间必定有一层纤 维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也 不缩短的一层纤维。
中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称 面。（横截面绕中性轴转动）
c,max
Mmaxy2 Iz
(30 N 0 m 2 )(0 4 5 .8 1 .-1 8.0 6 m 5 4) 2 1 2 0 m 38.44MPa
12
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
3
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.1 纯弯曲时横截面上的正应力 实验观察变形
纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧 缩短，凸侧伸长。 横向线(mm、nn): 仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。
平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变 形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
ydd dy (a)
物理关系：
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。
当应力小于比例极限时，由胡克定律知
E
将 (a) 代入上式，得 E y
(b)
ห้องสมุดไป่ตู้
式(b)表明横截面上任意一点的正应力σ 与该点到中性轴的距离 y
成正比。
在中性轴上：y＝0， σ＝0。
7
8 梁的弯曲应力与强度计算
中性轴垂直于纵向对称面。
5
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
变形几何关系： 设横截面的对称轴为y 轴，向下为 正，中性轴为 z 轴（位置未定）。
b byd
b b d x O O O O d
ydd dy (a)
式(a)表明线应变ε与它到中性层的距 离 y 成正比。
6
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
例： 已知 l=1m，q=6kN/m，10号槽 钢。求最大拉应力和压应力。
解：（1）作弯矩图 Mmax1 2q2l300N0m
（2）由型钢表查得，10号槽钢
Iz 25.6cm4 b4.8cmy1 1.52cm
（3）求最大应力
t,max
Mmaxy1 Iz
(30N 0 2m 0 5 ).1 1(6.5-08m 21 4 02m)17.18MPa
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。以 中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的公 式就可适用。
10
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力 在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
1 M
EI z
EIz 称为梁的弯曲刚度。
9
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
1 M EI z
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
M y Iz
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为
正，即为拉应力，若为负则为压应力。
但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正 应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大， 足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
My Iz
11
8 梁的弯曲应力与强度计算
8
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
My AzdA0
(d)
Mz AydAM
(e)
zdAE yzdA0
A
A
AyzdAIyz0 (自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
将式(b)代入式(e)，得
M ydAE y2dA
A
工程力学
8 梁的弯曲应力与强度计算
1
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
2
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。
对于直径为 D 的圆形截面
Wz
Iz y max
D 4 / 64
D/2
D 3 32
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
Wz
Iz y max
D4(14)/64 D3 (14)
D/2
32
14
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
如果梁的最大工作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就 是安全的。因此，梁弯曲时的正应力强度条件为
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
静力学关系
FN
dA
A
My
zdA
A
Mz
ydA
A
FN
dA0
A
(c)
My AzdA0
(d)
Mz AydAMe
(e)
将式 E y 代入式(c)，得
AdAAEydA0
E
＝常量，
E
y dA 0
A
Sz 0
z 轴（中性轴）通 过截面形心。
梁的轴线在中性层内，其长度不变。
max
Mmax Wz
对于抗拉和抗压强度相等的材料 (如炭钢)，只要绝对值最大 的正应力不超过许用弯曲应力即可。
对于抗拉和抗压不等的材料 (如铸铁)，则最大的拉应力和最 大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。
15
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
例：20a工字钢梁。若 16M 0 P，a试求许可荷载 F 。