工程力学第九章梁的应力及强度计算
工程力学 (杨庆生 崔芸 龙连春 著) 科学出版社 课后答案 第9章
m ( F ) 0 P 1 Q 0.5 0 Q 2 P
mA ( F ) 0 1.5Q 3.5P 5 FB 0 FB 1.3P mB ( F ) 0 1.5P 3.5Q 5FA 0 FA 1.7 P
课
P 2. 4 4 2. 4 9.6(kN m) 2 8 2 P =2.561(kN ) FN cos 2 2 22 2.42
w.
9.6
A
25
-
2.561
+
FN （kN
25
z
co
）
FQ D2
M
M 图（ kN .m ）
m
P/2
补充 2： 水塔盛满水时连同基础总重量为 G， 在离地面 H 处， 受一水平风力合力为 P 作用， 圆形基础直径为 d,基础埋深为 h，若基础土壤的许用应力[σ]=300kN/m ，试校核基础的承载
梁上各横截面上轴力弯矩均为常2510253应力分析判危险点如右所示图整个横截面上均有n引起的均布的拉应力my引起后拉前压的弯曲应力mz引起上拉下压的弯曲应力点于d100025pa1010101010206060mpa140mpa四点的应力值
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ww
w.
max
（4）强度计算选择槽钢的型号：
1）忽略轴力项的正应力，仅由弯曲项选槽钢的型号：
工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的 狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切 应力仍用下式计算：
τ
FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁截 开，并保留下部脱离体，由于脱离 体侧面上存在竖向切应力τ ，根据 切应力互等定理可知，在脱离体的
顶面上一定存在切应力τ '，且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧 面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的 总和，如图所示。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀 分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式 相同，即
τ
FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼 缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的 惯性矩；δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实 践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力 的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小 箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上 （或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹 板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上） 翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其 横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称 为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力 的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
工程力学高斌第九章答案
15kN . m
5kN . m
15kN . m
-
Q qa/2 +
-
qa/2 + x
qa/2
M q a 2/8 +
-
x
q a 2/8
5. 设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图及载荷图。已知梁上设有作用集中力偶。 (a)
4kN q=1kN/m
3kN
Q
3kN
2kN
3kN
1kN
A
B
1kN
C
D
x
5
3kN 2m 2m 4m
3
2
⎡ 50 × 2003 ⎤ 150 × 503 Iz = ⎢ + 50 × 200 × 53.62 + + 50 × 150 × 71.4 2 ⎥ mm 4 12 ⎣ 12 ⎦ = 10180 cm 4
根据弯曲正应力强度条件
M
0.8p
σ max
M = ymax ≤ [σ ] , M≤[σ].Iz/ymax Iz
解：梁的弯矩图如图， 弯矩的两个极值分别为
µ1 = 0.8P , MA =2P×1.4 - P×2= 0.8P µ2 = 0.6 P , MC = -0.6 P
截面对形心轴的惯性矩为
8
(Iz =bh /12 + Ah1 , h1 腹 = 153.6–100=53.6mm ,h1 翼 =200-153.6+25 =71.4mm )
实心圆截面梁的最大应力
σ max =
空心圆截面最大应力
′ = σ max
空心圆截面梁比实心圆截面梁的最大正应力减少了
′ σ max − σ max 159 − 93.6 = = 41.1% σ max 159
工程力学梁的正应力强度条件及其应用1
ymax
对矩形截面
Wz
bh3 12 h2
bh2 6
Wz
bh2 6
对圆形截面
Wz
d 4
d
64 2
d 3
32
Wz
d 3
32
各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的 数值，可以在型钢表中查得。
为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的
最大正应力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力
强度条件为
σmax
M max Wz
σ
二、三种强度问题的计算
σmax
M max Wz
σ
（1）强度校核 （2）选择截面 （3）确定许用荷载
σmax
M max Wz
σ
Wz
M max σ
M max Wz σ
例题10-2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m， b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许 用正应力[σ]=10MPa，校核该梁的强度。
σc,max
MC Iz
y1
2.7 103 0.072 0.573105
33.9 106 Pa
33.9MPa [σc]
由以上分析知该梁满足强度要求。
例题10−4 如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的 许用应力[σ ]=150MPa，试选择工字钢的型号。
解：先画出弯矩图如图b所示。 梁的最大弯矩值为
y1
1.8103 0.072 0.573105
22.5106 Pa
22.5MPa
梁的内力与应力(图片版)
σ=FbA，其中F为作用在梁上的力，b 为梁的宽度，A为梁的横截面积。
描述
正应力表示梁在承受拉伸或压缩时， 截面上产生的应力。
剪应力
剪应力
与截面相切的应力，主要由于剪 切而产生。
描述
剪应力表示梁在承受剪切时，截面 上产生的应力。
公式
τ=FsA，其中Fs为作用在梁上的剪 力，A为梁的横截面积。
弯曲应力
致梁发生断裂或严重变形。
强度失效的原因可能包括材料缺 陷、设计不当或制造工艺问题等。
弯曲失稳
弯曲失稳是指梁在受到垂直于 轴线的横向力作用时，发生弯 曲变形并最终失去稳定性。
弯曲失稳通常发生在梁的长度、 跨度较大或支撑不足时，导致 梁发生过大弯曲和扭曲。
弯曲失稳的原因可能包括梁的 刚度不足、支撑条件不当或外 力过大等。
。
混凝土
适用于桥梁、房屋和基础设施 等需要承受较大荷载且稳定性
要求较高的场合。
木料
适用于临时建筑、小型建筑和 家庭装修等需要较低承载能力
的场合。
其他材料
如铝合金、玻璃钢等，适用于 特殊场合和特定需求。
优化设计
截面优化
根据梁的跨度、承载能力和稳定性要求，选择合适的截面尺寸和 形状，以减小材料用量和提高承载能力。
梁的内力与应力(图片 版)
目录 CONTENT
• 梁的简介 • 梁的内力 • 梁的应力 • 梁的强度与稳定性 • 梁的设计与优化 • 梁的案例分析
01
梁的简介
梁的种类
01
02
03
简支梁
简支梁是两端支撑在支座 上的单跨梁，其载荷作用 在跨中位置。
连续梁
连续梁是多跨梁，载荷可 以作用在任意位置。
悬臂梁
工程力学第九章
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9.4
梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。
一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。
一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max
(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小
结
max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2
梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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My Iz
(9.4)
《工程力学》项目9平面弯曲
项目9 剪切与挤压
• 任务9.4 平面弯曲梁横截面上的应力 • 梁的横截面上只有弯矩而剪力为零的平面弯曲称为纯弯
曲，如图 9-20梁上CD段；而横截面上既有弯矩也有剪力 的平面弯曲称为横力弯曲或剪力弯曲，如图 9-20梁上AC、 DB段。
图 9-20
项目9 剪切与挤压
9.4.1纯弯曲时梁横截面上的应力 1.实验现象 2.假设及推理 • 研究纯弯曲时梁横截面上的应力，可
式（9-2），即可确定截面上的剪力和弯矩为
3
FS2
YA
qa 4
M2
YAa
3 qa2 4
项目9 剪切与挤压
• 3-3截面：将杆件截面右侧的所有的外力给屏蔽起来，如图
9-7（d）所示，取截面的左侧为研究对象，即可确定截面上
的剪力和弯矩为
FS3
YA
P
3 qa qa 4
1 4
qa
M3
YAa
P0
3 4
9-4（b）所示。 外伸梁：梁的支撑情况同简支梁，但梁的一端或两端伸出支座
之外，如图 9-4（c）所示。
图9-4
项目9 剪切与挤压
• 任务9.2 梁弯曲的内力
• 9.2.1梁弯曲内力——剪力和弯矩
• 根据力系的平衡条件，可确定在留 下部分的截面上的内力为平行于横 截面的剪力和作用在纵向对称面内 的内力矩即弯矩。根据平衡方程可 得剪力与弯矩的大小，即
• 为了直观清楚地显示沿梁轴线方向的各截面剪力和 弯矩的变化情况，可绘制剪力图和弯矩图。对剪力 图，正值画在轴线的上侧，负值画在轴线的下侧； 对弯矩图正值画在轴线的下侧，负值画在轴线的上 侧，即弯矩坐标正向向下。
项目9 剪切与挤压
• 【例 9-2】图 9-8（a）所示的简支梁受均布荷载作用，试 作其剪力图和弯矩图。
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工程力学第九章梁的应力及强度计算-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII课时授课计划掌握弯曲应力基本概念；掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算；掌握弯曲剪应力强度校核。
教学过程：复习：1、复习刚架的组成及特点。
2、复习平面静定刚架内力图的绘制过程。
新课：第九章梁的应力及强度计算第一节纯弯曲梁横截面上的正应力一、纯弯曲横梁截面上的正应力计算公式平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察现象：（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
2、假设（1）平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，只是绕某一轴旋转了一个角度，且仍与变形后的梁轴曲线垂直。
中性层：梁纯弯曲变形后，在凸边的纤维伸长，凹边的纤维缩短，纤维层中必有一层既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。
注意：中性层是对整个梁而言的；中性轴是对某个横截面而言的。
中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。
各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。
3、推理纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。
二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知ρεσyEE =⋅=通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。
三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式梁在纯弯曲时的正应力公式：ZI My=σ 式中：σ——梁横截面上任一点的正应力；M ——该点所在横截面的弯矩；Iz ——横截面对其中性轴z 的惯性矩；矩形Z I =123bh ；圆形Z I =644D πy ——所求正应力点到中性轴的距离。
正应力的单位为：Pa 或MPa ，工程上常用MPa 。
公式表明：梁横截面上任一点的正应力σ与截面上的弯矩M 和该点到中性轴的距离成正比，而与截面对中性轴的惯性矩 IZ 成反比。
在中性轴上（y=0），正应力为零。
离中性轴越远，正应力越大。
在横截面上、下边缘各点处（y=ymax ），正应力达到最大值。
应力σ的正负号直接由弯矩M 的正负来判断。
M 为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M 为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件一、弯曲正应力的强度条件等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即zW M max max=σ对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。
为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax 不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：][max maxσσ≤=zW M二、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数1、常用截面的惯性矩I Z惯性矩是截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。
它是与截面的形状及尺寸相关的几何量。
123bh I Cz =123hb I Cy =644D I I C C y z π==2、常见截面的抗弯截面系数(d D I I工字型的抗弯截面系数5mm3（2）截面设计当已知荷载和所用材料（即已知M 和 [σ]）时，可根据强度条件，设计截面尺寸。
][maxσM W z ≥求出W Z 后，进一步根据所用梁的截面形状来确定尺寸。
若采用型钢时，则可由型钢表查得所用型钢的型号。
（3）计算许可载荷若已知梁的材料及截面尺寸（即已知[σ]和W Z ），则可根据强度条件确定梁的许用弯矩[M]。
z W M ⋅≤][][σ根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。
在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[σ]，但以不超过[σ]的5%为限。
即%5%100][][max <⨯-σσσ3、进行强度计算时应遵循的步骤（1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。
（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。
（3）确定危险点（4）依据强度条件，进行强度计算。
第三节 梁的剪应力强度条件一、概念梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。
对剪应力的分布作如下假设：(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q 同向且平行； (2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：bI QS z z*=τ式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；Q—该截面上的剪力；b—需求剪应力作用点处的截面宽度；Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
剪应力的单位与正应力一样。
剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。
二、矩形截面横梁截面上的剪应力如图所示高度h大于宽度b的矩形截面梁。
横截面上的剪力Q沿y轴方向作用。
)4(2)]2(21[)2(22*yhbyhyyhbSz-=-+⋅-=将上式带入剪应力公式得：)4(222yhIQz-=τ上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。
在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，其值为AQbhQbhQhIQhyhIQzz5.1231288)4(232222max==⨯==-=τ即AQ5.1max=τ式中：*maxzS——工字形截面中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩；max/zzSI——可以直接由型钢表中查取（书P261），代入上式进行计算；b——腹板的宽度，可以查型钢表确定。
四、圆形截面横梁截面上的最大剪应力圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
AQ⋅=34maxτ其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
例1矩形截面简支梁如图,已知：l=2m，h=15cm，b=10cm，h1=3cm，q=3kN/m。
试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最大剪应力。
3*43323625.55.410281012151012cmyScmbhczz=⨯⨯=A==⨯==IMPabSQzzAk252.01010102810102361031433=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=I=τMPaAQ3.01010151035.15.123max=⨯⨯⨯⨯==τ解：1.求剪力：QA=3kN2.求K点剪应力：3.求最大剪应力：A Blqyzohbh1ycK3kN3kNQ图五、梁的剪应力强度校核梁的剪应力强度条件为：][*max max max ττ≤⋅=b I S Q z z在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。
但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
但在下列几种情况下，还需作剪应力强度校核：（1）梁的跨度很短而又受到很大的集中力作用，或在支座附近作用有较大的集中荷载，此时梁的最大弯矩较小，但最大剪力却很大。
（2）工字梁的腹板宽度很小，或某些铆接或焊接的组合截面钢梁中，其腹板宽度与高度之比小于一般型钢截面的相应值时，此时腹板上的剪应力可能较大。
（3）木梁。
由于木材在顺纹方向的抗剪强度很差，当横截面中性轴上有较大的剪应力时，根据剪应力互等定理，梁的中性层上也产生较大的剪应力，可能使木材沿顺纹方向破坏。
第四节 提高梁弯曲强度的措施一、提高梁弯曲强度的措施根据弯曲正应力的强度公式，减小梁的工作应力的途径：A 、降低最大弯矩值MmaxB 、增加截面的抗弯截面系数W Z（1）合理安排梁的支座与荷当荷载一定时，梁的最大弯矩Mmax 与梁的跨度有关，因此，应合理安排支座。
如果结构允许，应尽可能合理地布置梁上的荷载。
把梁所受的一个集中力分为几个较小的集中力，梁的最大弯矩就会明显减小。
（2）采用合理的截面形1）从应力分布规律考虑应使截面面积较多的部分布置在离中性轴较远的地方。
从应力分布情况看，工字形、槽形等截面形状比面积相等的矩形截面更合理，而圆形截面又不如矩形截面。
凡是中性轴附近用料较多的截面就是不合理截面。
2）从抗弯截面系数W Z考虑应在截面面积相等的条件下，使得抗弯截面系数W Z尽可能地增大(I Z越大越好)，由式Mmax=[σ] W Z可知，梁所能承受的最大弯矩Mmax与抗弯截面系数W Z成反比。
所以，从强度角度看，当截面面积一定时，W Z值越大越有利。
3）从材料的强度特性考虑应合理的布置中性轴位置，使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的容许应力。
对抗拉和抗压强度相等的材料，一般采用对称于中性轴的截面形状，如矩形、工字形、槽形、圆形等。
对抗拉和抗压强度不相等的材料，一般采用菲对称截面形状，使中性轴偏向强度较低的一边，如T字形、槽形等。
（3）等强度梁将梁制成变截面梁，使各截面上的最大弯曲正应力与材料的许用应力[σ]相等或接近。
小结：1、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律2、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式3、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数4、梁的正应力强度条件及应用5、梁的剪应力强度校核6、提高梁弯曲刚度和强度的措施课后作业：书P170 8-1、8-3（d）。