8习题课-微分中值定理与导数应用

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(2) 函数的极值及其求法
定义设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是(a,b)内的一个点,
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
取一点D,使 DM 1 .以D为圆心, 为半径作
k 圆(如图), 称此圆为曲线在点M处的曲率圆.
1, k 1.
k
D是曲率中心, 是曲率半径.
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(7) 方程近似解 ① 二分法 ② 切线法
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二、典型例题
例1. 设函数
在
内可导, 且
证明在
定理(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义使导数为零的点(即方程f ( x) 0的实根)叫做函数f ( x)的驻点. 驻点和不可导点统称为临界点.
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定理(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而x ( x0 , x0 ) ,
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数 , 则点 x0, f ( x0 ) 是拐点的必要条件是
f "( x0 ) 0.
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方法设函数f ( x)在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0, (1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点; (2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
2! 4! 6!
(2n)!
ln(1 x) x x2 x3 (1)n xn1 o( xn1 )
23
n1
1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn o( xn ) n!
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实际问题求最值应注意:
1)建立目标函数; 2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值．
(4) 曲线的凹凸与拐点
定义设f ( x)在区间 I 上连续,如果对 I 上任意
两点x1, x2 ,恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
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6、导数的应用
(1) 函数单调性的判定法
定理设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导. 10如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调增加； 20 如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调减少.
即 f '() 0
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2、拉格朗日中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f ( x) 在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,那末在(a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立. 有限增量公式.
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求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x); (2) 求驻点，即方程 f ( x) 0 的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号或 f ( x) 在该点的符号,判断极值点; (4) 求极值.
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(3) 最大值、最小值问题
步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
第三章中值定理与导数的应用习题课
➢ 1 主要内容 ➢ 2 典型习题
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一、主要内容
Cauchy 中值定理
F(x) x
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
Lagrange 中值定理
1 n!
f
(n)
( x0
)(x
x0
)n
1 (n1)!
f
(n1) (
)(x
x0 )n1
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（2）. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
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1、罗尔中值定理
罗尔（Rolle）定理如果函数 f ( x) 在闭区间 [a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b),那末在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数f ( x) 在该点的导数等于零，
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及x ( x0 , x0 )时, f '( x) 符
20. 0 , ,00,1 ,0型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 ( 0 ), ( ) .
0
注意：洛必达法则的使用条件.
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5、泰勒中值定理
泰勒(Taylor)中值定wk.baidu.com 如果函数 f ( x)在含有 x0 的某个开区间(a, b)内具有直到(n 1)阶的导数,则
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(5) 函数图形的描绘
利用函数特性描绘函数图形. 第一步确定函数 y f ( x) 的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数 f '( x) 和二阶导数 f "( x) ;
第二步求出方程 f '( x) 0和 f "( x) 0 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
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函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
y f ( x0 x) x (0 1).
增量y的精确表达式.
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推论如果函数f ( x)在区间I上的导数恒为零, 那末f ( x)在区间I上是一个常数.
3、柯西中值定理
柯西（Cauchy）中值定理如果函数 f ( x)及F ( x)
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,且F ' ( x)
当 x 在(a, b)内时, f ( x) 可以表示为( x x0 ) 的一
个n次多项式与一个余项Rn ( x) 之和:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 ) ( 2!
x
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中 Rn( x)
号相同,则 f ( x)在x0处无极值.
定理(第二充分条件)设 f ( x)在x0 处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极小值.
例2. 设在上连续, 在证明至少存在一点
内可导, 且使
证: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0.
设辅助函数 (x) x2 f (x)
显然
在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至
少存在一点
使
( ) 2 f ( ) 2 f ( ) 0
即有
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f (a) f (b)
Rolle 定理
n0
Taylor 中值定理
常用的泰勒公式
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数图形的描绘; 曲率;求根方法.
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1 微分中值定理及其应用
（1）微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f (a) f (b) 拉格朗日中值定理
例3.
且
试证存在
证: 欲证
f ( )
ab
f () , 即要证 2
f
( )(b
内有界.
证: 取点 x0 (a ,b), 再取异于 x0 的点 x (a ,b), 对
为端点的区间上用拉氏中值定理, 得
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
f (x0 ) f ( ) x x0
f (x0 ) M (b a) K (定数) 可见对任意 x (a ,b) , f (x) K , 即得所目录证上一.页下一页退出
f (n1) ( )
(x (n 1)!
x0 )n1
(
在 x0 与 x 之间)
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常用函数的麦克劳林公式
sin x x x 3 x5 (1)n x 2n1 o( x 2n2 )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x 2 x4 x6 (1)n x 2n o( x 2n )
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内至少
有一点(a b),使等式
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f '( F '(
) 成立. )
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4、洛必达法则
10. 0型及型未定式 0
定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
2
2
那末称 f ( x) 在 I 上的图形是（向上）凹的;
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如果对区间I 上任意两点 x1, x2 ,恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x) 在 I 上的图形是（向上）凸的;
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在(a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的;
f ( ) 0
y F (x)y xf (x) f (a) f (b)
柯o 西a 中值b定x理
f ( ) f (b) f (a)
ba F(x) x
y n 0y f (x)
泰勒中值定理
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F( )
f (x) f (x0 ) o f a(x0 )(x bx0x)
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定理1 如果f ( x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶
导数, 若在(a , b)内 (1) f ( x) 0,则f ( x)在[a,b]上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则f ( x)在[a,b]上的图形是凸的;
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
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(6) 弧微分曲率曲率圆
10. 弧微分 ds 1 y2dx.
20.曲率 K lim d .
s0 ds
曲率的计算公式
y
k
3.
(1 y2 )2
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30.曲率圆
定义设曲线y f ( x)在点M ( x, y)处的曲率为 k(k 0).在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧
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第三步确定在这些部分区间内 f '( x) 和 f "( x) 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点（可列表进行讨论）；
第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;
第五步描出与方程 f '( x) 0 和 f "( x) 0 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形.