高中数学解题八个思维模式和十个思维策略

高中数学解题八种思维模式

和十种思维策略

引言

“数学是思维的体操”

“数学教学是数学(思维)活动的教学。”

学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。

高中数学思维中的重要向题

它可以包括:

高中数学思维的基本形式

高中数学思维的一般方法

高中数学中的重要思维模式

高中数学解题常用的数学思维策略

高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究;

高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究;

高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性

高中数学思维的基本形式

从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维

一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。

二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形想象是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造。8图式想象是以数学直感为基础的对

数学图式表象的加工与改造。9关于联想和猜想，它们既是数学形象思维中想象推理不同表现形式，也是数学形象思维的重要方法。

三数学直觉思维的基本形式1、直觉是运用有关知识组块和形象直感对当前问题进敏锐的分析、推理，并能迅速发现解决向题的方向或途径的思维形式。2。灵感（或顿悟）是直觉思维的另一种形式。直觉思维是一种敏锐、快速的综合思维，既需要知识组块和逻辑推理的支持，也需形象、经验和似真推理的推动。

意识又可分为显意识与潜意识。直感是显意识，而灵感是潜意识。

思维的基本规律

一反映同一律：等值变形，等价变换

二思维相似律：同中辨异，异中求同

数学思维的特性

一数学思维的概括性数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质特征和规律，能够把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。

二数学思维的问题性数学思维的问题性是与数学知识的问题性相联结的，定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的队任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏。数学解题的思维过程是数学问题的变换过程，数学问题的推广、引申和应用过程，是新的数学问题发现和解决的过程，也是数学思维的深化过程和数学知识的发展过程。

三数学思维的相似性数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。解决数学问题的根本思想在于寻求客观事物的数学关系和结构的样式，从已解决的问题中概括出思维模式，再用模式去处理类似问题。并进而形成新模式，构成相似系列，即各种概念、命题与方法的相似链。

数学思维的材料与结果

数学思维的材料就有外部材料与内部材料的区分

外部材料是指数学思维的对象，即现实世界中存在的数量关系、空间形式以及由此引申发展的各种结构关系。例如各种具体的思维目标：数学的概念、命题、定理、公式、法则，数学问题初始状态中的图形、符号和语言文字等。

内部材料是指思维主体已有的数学知识和经验，是储存于人脑的认知结构中的信息块。其中数学知识信息块由一些明晰的数学概念和关系结构组成，而数学经验信息块是一种带有模糊性质的思维“相似块”。

数学思维能力的评价标准

广阔性：发散思维

深刻性：收敛思维—集中思维和分析思维

灵活性：辨证思维，进退互用，正难则反，倒顺相通

敏捷性：直觉思维，转化化归，识别模式，反应速度，熟练程度

独创性：创新思维—直觉思维和发散思维中，解题方法新颖独特。

批判性：独立思考，善于提问，总结回顾，调控思维进程

等六个方面，是高中数学思维能力的评价标准

高中数学思维的关联系统

关联系统的三个方面包含的主要内容是：

数学关系—数学知识，数学经验和数学语言等；

心理关系—动机与意志，情感、情境与兴趣，性格与态度，精神与作风等；

社会条件一社会与时代的政治、经济、文化背景与主体的关系及其影响。

高中数学思维的一般方法

(一)观察与实验

(二)比较、分类与系统化

(三)归纳、演绎与数学归纳法

(四)分析与综合

(五)抽象与概括

(六)一般化与特殊化

(七)模型化与具体化

(八)类比与映射

(九)联想与猜想

高中数学中的重要思维模式

一逼近模式把问题归结为条件与结论之间因果关系的演绎；选择适当的方向逐步

逼近目标。正向逼近一顺推演绎法、逆向逼近一逆求分析法、双向逼近一分析综合法或两头夹法、反面逼近-反证法、模糊逼近一尝试探索法、近似逼近一极限法等。

二叠加模式采用化整为零、以分求合的思想对问题进行横向分解或纵向分层实施各个击破而使问题获解的思维方式。其思维程序是：（1）把问题归结为若干种并列情形的总和或者播入有关的环节构成一组小问题；（2）处理各种特殊情形或解决各个小问题，将它们适当组合、叠加而得到问题的一般解。爬坡法、逻辑划分法（分类、分域进行讨论和枚举、穷举都是它的别称）、中途点法、辅助定理法等都是此类，4容斥原理、抽屉原理与重叠原则，以及负向的叠加可称为叠减，在某种程度上也体现了登加模式的思想。

三变换模式变换模式是通过适当变更问题的表达形式使其由难化易、由繁化简，从而最终达到解决问题的思维方式。其思维程序是：（1）选择适当的变换，等价的或不等价的（加上约束条件），以改变问题的表达形式，（2）连续进行有关变换，注意整个过程的可控制性和变换的技巧，直至达到目标状态。所谓等价变换，是指把原问题变更为新问题，使两者的答案完全相同。不等价变换则指新问题扩大或缩小了原问题的允许值范围。包括代数变换—代数式的恒等变形、代数换元法、方程与不等式的同解变换与可控制变换等；三角变换—三角式的恒等变形、三角换元法、万能变换等，几何变换—合同变换（即平移、对称与旋转）、相似变换（包括位似变换）、反演变换等。

四映射模式映射模式是把问题从本领域（或关系系统）映射到另一领域，在另一领域中获解后再反演回原领域使问题解决的思维模式，它与变换模式在本质上是一致的，但变换通常是指从一个数学集合到它自身的映射。几何法：把数、式的问题归结为形的问题加以解决；解析法：把几何问题归结为代数问题加以解决；复数法与向量法一把几何或代数、三角问题归结为复数或向量向题加以解决；模拟法：把数学问题转化为物理问题或其他学科问题加以解决，其他如极坐标法、参数法等也属于映射模式的范围。

五方程模式方程模式（又称函数模式）是通过列方程（或方程组）与解方程（或方程组）来确定数学关系或解决问题的思维方式。方程模式是反映客观事物数量关系的一种重要数学模型，它是沟通已知元素与未知元素之间的辩证联系的一种基本方法。其思维程序是：（1）把问题归结为确定一个或几个未知量；（2）列出已知量与未知量之间按照条件必须成立的所有关系式（即方程）；（3）解所得的方程或方程组得出结果。方程模式的思想通常适用于解决有关方程、函数与不等式等方面的许多问题，这是因为这三种数学对象之间存在某种相似和性，在一定条件下是可以相互转化、相互为用的。

六交轨模式交轨模式是通过分离问题的条件以形成满足每个条件的未知元素的轨迹（或集合），再通过叠加来确定未知元素而使向题解决的思维方式。交轨是一种特殊的叠加，通常的叠加是求出集合才的并，而交轨的叠加是求出集合的交。交轨模式与方程模式也具有部分相通的关系，方程组与不等式组等内容既可以用交轨观点去看待，也可以用方程观点去分析，它们之间的区别仅是观察问题时所强调的侧重面的不同。交轨模式下的具体模式主要有：1、轨迹相交法：它包括双轨迹模式、相似形模式、辅助图形模式及三轨迹模式等。双轨迹模式是：“把问题简化为作一个点。然后把条件分为两体部分，使每一部分变成未知点的一条轨迹；而每一条轨迹必须是一条直线或者是一个圆”。2、交集法一把向题的解归结成由几个条件所决定，每一个条件都可以确定出某种元素的一个集合，这些集合的交集元素就是所求的解。