判断函数关系
2023年中考数学《函数图像的信息获取和判断的秒杀方法》专项题型解析
2023年中考数学《函数图像的信息获取和判断的秒杀方法》专项题型解析◆题型一：函数图像的判断判断函数的图像并不需要把每段函数的解析式完整的求出来！秒杀方法：1.判断一次函数关系:只要判断出结果的未知数的次数，并不需要把解析数求出来，当次数是1时即为一次函数，然后通过k判断结果；2.判断二次函数关系：一般在求面积的时候，会有两个含未知数的式子相乘，即结果为二次函数关系，然后通过该二次项系数的正负判断函数的开口方向即可；3.判断反比例函数关系：只要判断出结果的未知数是不是在分母里即可。
【例1】如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,BC=4√3cm,E是AD的中点，连接BE，CE．点P 从点B出发，以√3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s 的速度沿BE-EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）【答案】D【解析】由题意得：BE=4cm，bc=4√3cm，则Q从B到E需要4s，从E到C需要4s，共8s；P从B到C需要4s。
①当Q在线段BE上运动时，如图，作QF⊥BC，BP=t，QF=12BQ=√32t，则y=12⋅BF⋅QF，即可得函数为二次函数，且二次项系数＞0，开口向上，排除AC；②4s时，P到达终点，不再运动；点Q依然在运动，所以面积公式里只有一个变量，则对应函数为一次函数，因此选D。
1．（2013·湖南衡阳·中考真题）如图所示，半径为的圆和边长为的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为，圆与正方形重叠部分阴影部分的面积为S，则S与的函数关系式的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】观察图形，在运动过程中，S随的变化情况，得到开始随时间的增大而增大，当圆在正方形内时改变，而重合面积等于圆的面积不变，再运动，随的增大而减小，根据以上结论判断即可．【详解】解：∵半径为的圆沿水平线从左向右匀速穿过正方形，开始至完全进入正方形S随时间的增大而增大，∴选项A、D错误；∵当圆在正方形内时，改变，重合面积等于圆的面积，S不变，再运动，S随的增大而减小，∴选项C错误，选项B正确；故选：B．【点睛】本题主要考查动图形问题的函数图象，熟练掌握函数图象形状变化与两图形重合部分形状、大小变化的关系，是解决此题的关键．2．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，根据相似比可知：，即，解得：EF=2（3-x），则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF 为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．【详解】过点C作CM⊥AB于N，，在等腰中，，，①当时，如图，，，，∴，y随x的增大而增大；②当时，如图，，∴当时，y是一个定值为1；③当时，如图，，，,当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，故选：B．【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．4．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，∴直线EO垂直BC，∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，∴S=；当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，∴直线OF∥BC，∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，∴S=；故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．5．（2022·广西河池·统考中考真题）东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是()A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从而可以解答本题．【详解】因为对边的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，故适合表示y与t的对应关系的是选项C．故选：C．【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分0≤x≤1，1<x<2，2≤x≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G，∵∠A=60°，AE=AF=x，∴AG=x，由勾股定理得FG=x，∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线；当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，∴AH=，由勾股定理得DH=，∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段；当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI=(3-x)，∴y= AB×DH -CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线；观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．7．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意易得，，则有，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可．【详解】解：∵，∴，由题意知：，∴，由折叠的性质可得：，当点P与AB中点重合时，则有，当点P在AB中点的左侧时，即，∴与重叠部分的面积为；当点P在AB中点的右侧时，即，如图所示：由折叠性质可得：，，∴，∴，∴，∴与重叠部分的面积为；综上所述：能反映与重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．8．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为，小正方形与大正方形重叠部分的面积为，若，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案．【详解】解：根据题意，设小正方形运动的速度为v，由于v分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-vt×1=4-vt（vt≤1）；②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3；③小正方形穿出大正方形，S=2×2-（1×1-vt）=3+vt（vt≤1）．分析选项可得，A符合，C中面积减少太多，不符合．故选：A．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．9．（2022·浙江台州·统考中考真题）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断．【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)；在公园，停留4min，然后匀速步行6min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)；故选：C．【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解函数图象表示的意义，明白各个过程对应的函数图象．10．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先求出当点落在AB上时，t的值，分或两种情形，分别求出S的解析式，可得结论．【详解】解：如图1中，当点落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．，，，，是等边三角形，，是等边三角形，，，，，，，，是等边三角形，，，，，四边形CMPN是平行四边形，，，，如图2中，当时，过点M作于K，则，．如图3中，当时，，观察图象可知，选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．11．（2022·山东济宁·三模）如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意，分三段（，，）分别求解与的解析式，从而求解．【详解】解：当时，分别在线段，此时，，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；当时，分别在线段，此时，底边上的高为，，为一次函数，图象为直线；当时，分别在线段，此时，底边上的高为，，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；结合选项，只有B选项符合题意，故选：B【点睛】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．12．（2022·甘肃平凉·校考二模）如图，在中，，点以每秒的速度从点出发，沿折线运动，到点停止，过点作，垂足为，的长与点的运动时间秒的函数图像如图所示，当点运动秒时，的长是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据图可判断，，则可确定时的值，利用的值，可求出．【详解】解：由图可得，，，当时，如图所示：此时，故B，，．故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据图得到、的长度，此题难度一般．13．（2022·广东深圳·深圳市海滨中学校考模拟预测）如图①，已知Rt△ABC的斜边BC和正方形DEFG的边DE都在直线l上（BC＜DE），且点C与点D重合，△ABC沿直线l向右匀速平移，当点B与点D重合时，△ABC停止运动，设DG被△ABC截得的线段长y与△ABC平移的距离x之间的函数图像如图②，则当x＝3时，△ABC和正方形DEFG重合部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由图形可知，当点H和点D重合时，DG被截得的线段长最长，即CH=1；当点B和点D重合时，BC=4，由此可解△ABC；画出当x=3时的图形，利用相似可得出结论．【详解】解：如图①，过点A作AH⊥BC于点H，∴∠AHB=∠AHC=∠BAC=，∴∠ABH+∠BAH=∠BAH+∠HAC=，∴∠ABH=∠HAC，∴△ABH∽△CAH，∴AH：HC=BH：AH，结合图①可知，当点H和点D重合时，DG被截得的线段长最长，即CH=1；当点B和点D重合时，由函数图像可得：BC=4，∴BH=3，∴AH：1=3：AH，即（负值舍去），当x=3时，，如图②，∴设与DG的交点为M，由，则，∴，∴1：3=MD：，即，∴故选：C．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及相似三角形的性质与判定，解题关键是得出BC和DM的长．14．（2022·青海·统考一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的关系用图象描述大致是()A．B．C．D．【答案】D【分析】该题属于分段函数，根据图象需要得出：点在边上时，随的增大而减小；当点在边上时，随的增大而增大；当点在线段上时，随的增大而减小；当点在线段上时，随的增大而增大．【详解】解：如图，过点作于点．在中，，．①点在边上时，随的增大而减小．故A、B错误，不符合题意；②当点在边上时，随的增大而增大；③当点在线段上时，随的增大而减小，点与点重合时，最小，但是不等于零．故C错误，不符合题意；④当点在线段上时，随的增大而增大．故D正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象的含义，即会识图．15．（2021·宁夏银川·统考一模）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】依题意，可以知道路程先逐渐变大，再保持不变，然后逐渐变小直至为0．则可以作出判断．【详解】解：由题意可以看出点P在从O到A过程中，s随t的增大而增大；点P在上时，s等于半圆O的半径，即s随t的增大而保持不变；点P从B到O的过程中，s随t的增大而逐渐减少直至为0．只有选项C符合实际情况．故选：C．【点睛】此题考查了函数图像的识别，应抓住s随t变化的本质特征：从0开始增大，到达边线后不变，然后到达B点后开始减小直到0．16．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图1，在中，，，．点D从A 点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．(1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：变量a（cm）0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4变量h（cm）0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2．根据探究的结果，解答下列问题：①当时，________；当时，________．②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来．③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”）A．变量h是以a为自变量的函数B．变量a是以h为自变量的函数(2)如图3，记线段DE与的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积为s．①分别求出当和时，s关于a的函数表达式；②当时，求a的值．【答案】(1)①1.5；1或3；②见解析；③A(2)①当时，；当时，；②或【分析】（1）①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值即可填写，②图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来即可；③根据函数的定义即可判断；（2）①如图，当时，，得到阴影部分是三角形ADE的面积:；当时，，得到阴影部分的面积是三角形BDE的面积：．②当时，令，解得a；当时，令，解得a即可求解；（1）解：①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值，当时， 1.5；当时，1或3．故答案为：1.5；1或3；②连线如图2-1、图2-2所示：③根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，所以变是h是以a为自变量的函数，故A选项符合，故选：A.（2）①如图3，当时，，∴阴影部分的面积：；当时，，∴阴影部分的面积：．∴当时，；当时，．②当时，令，解得或（不符合题意，舍去）．当时，令，解得或（不符合题意，含去）．∴当时，或．【点睛】本题考查了函数图像，写函数关系式，理解函数的定义以及表示方法，会根据三角形的面积公式得出函数关系式是解题的关键．◆题型二：根据已知图像获取相关信息把图像和运动情况结合起来，了解每一个转折点，每条线的具体含义。
初中数学 什么是函数关系
初中数学什么是函数关系初中数学中，函数关系是一个重要的概念。
函数关系描述了两个集合之间的对应关系，其中一个集合的每个元素对应着另一个集合的唯一元素。
在这篇文章中，我们将详细介绍函数关系的概念、性质以及在数学中的应用。
一、函数关系的定义函数关系是指两个集合之间的对应关系，其中一个集合的每个元素对应着另一个集合的唯一元素。
通常，我们用字母x表示第一个集合的元素，用字母y表示第二个集合的元素。
函数关系可以用以下形式表示：y = f(x)，其中f表示函数。
函数关系可以通过多种方式表示，包括集合、点集、映射和图表等。
下面我们将讨论这些表示方法。
1. 集合表示法：函数关系可以用一个集合表示，其中包含了所有的有序对(x, y)。
例如，{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}就表示了一个函数关系，其中x的值分别对应着y的值。
2. 点集表示法：函数关系可以用一组点来表示，其中每个点的横坐标对应着x 的值，纵坐标对应着y的值。
例如，(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)就表示了一个函数关系。
3. 映射表示法：函数关系可以用一个映射来表示，其中每个输入x都对应着一个输出y。
例如，f(x) = 2x就表示了一个函数关系，其中输入x的值经过函数f 的处理后，得到输出y的值。
4. 图表表示法：函数关系可以用一个图表来表示，其中横轴表示x的值，纵轴表示y的值。
图表上的点表示函数关系中的有序对。
通过观察图表上的趋势，我们可以了解函数的性质和规律。
二、函数关系的性质函数关系具有以下几个重要的性质：1. 定义域和值域：函数关系中的定义域是指所有可能的输入值x的集合，值域是指所有可能的输出值y的集合。
函数关系的定义域和值域可以通过集合表示法来表示。
2. 单射性：如果函数关系中的每个x值对应着唯一的y值，那么这个函数关系是单射的。
也就是说，不会出现两个不同的x值对应着相同的y值。
3. 满射性：如果函数关系中的每个y值都有对应的x值，那么这个函数关系是满射的。
如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？ 精选文档
所以 f ( x )的定义域为 {x | x ? ? 3，且 x ? ? 2}
注意 ①研究一个函数一定在其定义域内研究，所 以求 定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域 常常由其实际背景决定， 若只给出解析式 时,定
义域就是使这个式子有意义的实数 x的集合.
探究结论
(1) 如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R
（2）求 f (? 3)、f (2) 的值
3
（3）当 a ? 0 时，求 f (a)、f (a ? 1) 的值
自变量x在其定义域内任取一个确定的值 时a ，对应 的函数值用符号 表f (示a)。
格式省略
练习： P21 ）练习 1、2
问题： 如何判断两个函数是否相同？
【例2】下列函数中哪个与函数 y=x是同一个函数？
(1)能 (2)不能 (3)能 (4)不能 (5)不能 (6)不能
判断下列图象能表示函数图象的是（ D ）
y y
0
x
(A) y
0
x
(B) y
0
x
(C)
0
x
(D)
环节4：区间的概念
请阅读课本 P18关于区间的内容
设a,b 是两个实数，而且a<b, 我们规定：
(1)、满足不等式a≤x≤b 的实数x的集合叫做闭区间，
判断正误
1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与
之对应
√
2、函数的定义域和值域一定是无限集合
×
3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定 √
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于 (a) 表示当x = a 时，函数f (x) 的值，是一个常量 √
相同函数的判断
求函数定义域 当函数是由解析式给出的，求函数的定义域就是求使 解析式有意义的自变量的取值集合。 （1）负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大 于或等于零 例：
y x,(x0)
（2）分式中分母不能为0
例： y x1,(x1) x1
（3）零次幂的底数不为0
例： yx20,(x2)
（4）如果f(x)是由几部分数学式子构成，那么函数 的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合
A中都是痴情数，嫁入B中唯一从
都很专 一
A中每一个数在B中都有唯一 的数和他对应，可以一对一，
多对一，但不能一对多
相同函数的判定
函数的三个构成要素：定义域、对应关系、值域
一个函数当定义域和对应关系确定以后，那么他的值域 也就随之确定。因为值域是定义域通过对应关系得到的
所以要判断两个函数是否相同，只需要看定义域和对应 关系是否相同。例书本例2、练习册考2共研经典
2
例： y 1 7x 3 x2 5
抽象函数定义域
• 例已知函数f(x)的定义域是[-1,4]，求函数f（2x+1)的 定义域。
• 解：已知f(x)的定义域是[-1,4]
• 即 1x4
• 故对于f（2x+1)应有 12x14
• 所以
22x3,即 -1x3 2
• 所以f(2x+1）的定义域是[-1, 3 ]
函数定义
第一，两个非空数集A,B
第二，具有对应关系 f 第三，对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有 唯一确定的数f(x)与之对应 结论：f：A→B为从集合A到B的一个函数，记作 y=f(x),x∈A
AB是两个数集，A是 函数定义域
函数诗
AB之间有一个对应关系， 使两个数集发生联系
判断函数依赖关系的七大方法
判断函数依赖关系的七大方法判断函数之间的依赖关系是在编程和软件设计中的一个重要任务，它有助于理解代码的结构、优化性能、管理复杂性以及进行代码重构。
以下是几种判断函数之间依赖关系的方法：1. 静态代码分析静态代码分析是在不运行代码的情况下检查代码的技术。
通过扫描源代码，可以识别出函数之间的调用关系、数据流动以及依赖项。
现代IDE（集成开发环境）和专门的代码分析工具通常提供此类功能，包括函数依赖图、调用树等可视化工具。
2. 调用图调用图是一种图形表示，展示了函数或方法之间的调用关系。
在调用图中，节点代表函数或方法，而边表示从一个函数到另一个函数的调用。
通过分析调用图，可以清晰地看到哪些函数依赖于其他函数。
3. 参数和返回值函数的参数和返回值也是判断依赖关系的重要指标。
如果函数A的返回值是函数B的参数之一，那么可以说函数B依赖于函数A的输出。
同样，如果函数B的参数直接来自于函数A的输出或内部状态，那么也存在依赖关系。
4. 全局变量和共享资源全局变量和共享资源（如数据库连接、文件句柄等）的使用也可以导致函数之间的隐式依赖。
如果两个或多个函数访问或修改同一个全局变量，那么它们之间就存在依赖关系。
尽管这种依赖关系可能不太明显，但它们在大型项目中往往会导致难以跟踪的问题。
5. 依赖注入和接口在面向对象编程中，依赖注入和接口的使用可以帮助显式地定义函数或类之间的依赖关系。
通过依赖注入，可以将依赖项（如其他类的实例）作为参数传递给函数或构造函数，从而清晰地表明哪些组件是必需的。
接口则定义了一组方法，但不实现它们，而是由实现接口的类来具体实现。
这有助于定义清晰的依赖关系边界。
6. 单元测试单元测试不仅可以验证代码的正确性，还可以揭示函数之间的依赖关系。
如果一个函数在单元测试中失败，并且失败的原因与另一个函数的行为有关，那么这两个函数之间就存在依赖关系。
7. 代码审查和重构定期的代码审查和重构活动有助于识别和理解函数之间的依赖关系。
怎么判断函数的增减趋势
怎么判断函数的增减趋势要判断一个函数的增减趋势，我们首先需要了解函数的增减特点以及求导数的概念。
本文将从函数的定义、导数的概念、导数与函数的关系以及判断函数增减趋势的方法来详细阐述。
一、函数的定义函数是数学中一个常见的概念，它描述了两个数集之间的一种特殊关系。
通常用f(x)来表示一个函数，其中x是自变量，f(x)是对应的函数值。
换句话说，f(x)代表了自变量x与它的函数值之间的一一对应关系。
二、导数的概念导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点上的变化率。
假设有一个函数f(x)，若其在x=a处的导数存在，那么我们可以用f'(a)或\frac{{df}}{{dx}} _{x=a}来表示这个导数值。
导数可以理解为函数的瞬时变化率，它告诉我们函数在某一点上的斜率。
三、导数与函数的关系导数与函数的关系可以通过函数的图像来理解。
在一个函数的图像上，导数可以表示为一个切线的斜率。
当导数为正时，函数图像是递增的，表示函数在该点附近上升；当导数为负时，函数图像是递减的，表示函数在该点附近下降；导数为零时，表示函数图像在该点处达到极大值或者极小值。
四、判断函数的增减趋势的方法根据导数的概念和导数与函数的关系，我们可以通过判断函数的导数的正负性来确定函数的增减趋势。
下面介绍两种常见的方法：1. 一阶导数法一阶导数法是最基本且常见的方法。
首先，我们需要求得函数的一阶导数。
然后，对一阶导函数的符号进行讨论。
若导数大于零，则函数在这个区间上是递增的；若导数小于零，则函数在这个区间上是递减的；若导数等于零，则函数在这个点处取极大值或者极小值。
2. 二阶导数法二阶导数法是一种更进一步的判断函数增减趋势的方法。
同样地，我们需要求得函数的二阶导数。
然后，对二阶导函数的符号进行讨论。
若二阶导数大于零，则函数在这个区间上是上凸的，说明函数在该区间上是递增的；若二阶导数小于零，则函数在这个区间上是下凸的，说明函数在该区间上是递减的；若二阶导数等于零，则函数在这个点处形态不明确。
判断两个函数相等的条件
判断两个函数相等的条件
1. 定义域得一样呀！就好比两个人要去同一个地方，路线都不一样那怎么能行呢？比如说函数 f(x)=x 和 g(x)=x，它们定义域都是全体实数，这就是相等的第一步呀！
2. 对应关系得一致呀！这就像一场比赛，规则得相同才行呀！比如
f(x)=2x，g(x)=2x，它们的对应关系就是一样的嘛！
3. 值域也不能忽视呀！这就好像收获的成果，得一样才有可比性呀！像f(x)=x²值域是非负的，另一个函数值域不同那就不行啦！
4. 函数的性质也得相符呀！这就如同人的性格，得差不多才好比较嘛！比如都是奇函数或者都是偶函数。
5. 图像也很重要呀！如果图像都长得不一样，那还能说是相等的函数吗？就像两个人的外貌差别很大，你能说他们是同一个人吗？
6. 特殊值也要能对上呀！这就像密码，对不上就不行呢！比如说在某个点的函数值都不一样，那肯定不相等啦！
7. 连续性也得考虑呀！不能一个连续一个间断呀，那多别扭呀！好比走路，一个顺顺当当，一个老是停顿，能一样吗？
8. 可导性也不能落下呀！就像车能不能顺利开动，能导和不能导差别可大啦！
9. 周期性也得一致呀！这跟时钟的转动似的，节奏不一样可不行！
10. 单调性也得一样呀！一个一直上升，一个有升有降，那肯定不是相等的函数呀！就像爬山，一个顺利登顶，一个走走停停。
我的观点结论就是：只有在定义域、对应关系、值域、函数性质、图像、特殊值、连续性、可导性、周期性、单调性等各个方面都满足条件，两个函数才能算是相等呀！。
3.1 函数的概念及其表示(学生版)
第三章《函数概念与性质》3.1函数的概念及其表示【知识梳理】知识点一函数的有关概念函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A定义域x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间概念(a ，b 为实数，且a<b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ]2．其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )知识点四函数的表示方法知识点五分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【基础自测】1．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()A．1B．0C．－1D．22．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x＋2B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x－1D．f(x)＝3x＋43．函数y＝x1＋x的大致图象是()4．函数y＝6－x|x|－4的定义域用区间表示为________．5．已知f (n )－3，n ≥10，n ＋5)，n <10，则f (8)＝________.【例题详解】一、函数关系的判断例1(1)下列各式中，表示y 是x 的函数的有（）①()3y x x =--；②y =；③1,01,0x x y x x -≤⎧=⎨+≥⎩；④1,0,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(2)设{|04}M x x =≤≤，{|40}N y y =-≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则()f x 的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．跟踪训练1下列对应中：（1）x y →，其中{}21,1,2,3,4y x x =+∈，{}10,y x x x N ∈<∈；（2）x y →，其中2y x =，[)0,x ∈+∞，R y ∈；（3）x y →，其中y 为不大于x 的最大整数，x R ∈，y Z ∈；（4）x y →，其中1y x =-，*x ∈N ，*y N ∈.其中，是函数的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（3）（4）二、求函数的定义域、函数值命题角度1求函数的定义域例2(1)函数y =）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．][(),31,-∞-⋃+∞D ．][(),13,∞∞--⋃+(2)已知函数()1f x +的定义域为[1,7]，则函数()(2)h x f x =）A ．[4,16]B ．(,1][3,)-∞⋃+∞C ．[1,3]D ．[3,4]跟踪训练2(1)函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞B ．(,3)(3,3)-∞--C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞(2)已知函数()f x ，则函数()()13y f x f x =--的定义域为（）A ．()2,11B ．()2,13C ．()2,15D ．()4,11命题角度2求函数值例3(1)已知函数()1f x x x=+，则()()1010f f -+的值是（）．A ．20-B ．0C ．1D ．20(2)已知2211x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则(3)f =_________．跟踪训练3(1)已知定义域为R 的函数()23f x x =-，()3g x x =，则()()1f g -=________.(2)已知函数3()3=+++cf x ax bx x，若()4f t =，则()f t -=（）A ．4-B ．2-C ．2D ．0三、同一个函数的判定例4(1)下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩B ．()f x =()g x x=C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()f x =，()g x 跟踪训练4和函数2()f x x =是同一函数的是（）A ．2()(1)f x x =+B ．()f x x =C ．3()x f x x=D ．(){,0,(0)()x x x x x x f x -≤>=四、求函数解析式命题角度1换元法例5(1)已知1111f x x⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()f x =________________．(2)若函数11x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x =____________．跟踪训练5(1)已知21,1x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭求()f x =____________．(2)已知()21232f x x x +=++，求()f x 的解析式．命题角度2配凑法例6(1)若1)f x +=+，则()f x 的解析式为（）A ．2()f x x x =-B ．2()1(0)f x x x =-≥C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()f x x x=+(2)已知3311()f x x x x+=+，则()f x =_____.(3)已知f (x －1x )＝x 2＋21x ，则f （x +1x）＝________.跟踪训练6(1)已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x .(2)已知22111(x x f x x x++=+，求()f x 的解析式.命题角度3待定系数法例7(1)已知f （x ）是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+，求f （x ）.(2)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 解析式.跟踪训练7(1)已知()f x 是一次函数，且()332f x x -=-，求()f x ．(2)已知一次函数()f x 满足()()312237f x f x x =+--+，求函数()f x 的解析式．(3)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+=+，求函数()f x 的解析式．命题角度4构造方程组法例8(1)若函数()f x 满足()1221f x f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()2f =（）A ．13-B ．23C ．83D ．12(2)已知()f x 满足()()23f x f x x +-=，求()f x 的解析式.跟踪训练8(1)已知()1221f x f x x ⎛⎫⎪⎝=⎭+-+，求函数()f x 的解析式．(2)已知2()2()f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式.五、函数的图象例9作出下列函数的图象.(1)1({21012})y x x =-∈--,,,,；(2)211x y x +=-；(3)2|2|1y x x =-+．(4)已知函数()22,23,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩.(i)在所给坐标系中作出()y f x =的简图；(ii)解不等式()12f x <.跟踪训练9作出函数()|2||5|f x x x =+--的图像．六、分段函数求值例10(1)已知函数()21,0x x f x x ⎧-≤⎪=>，若()3f a =，则a 的值为（）AB ．2C ．9D ．-2或9(2)已知函数()f x 的解析式22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，(i)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(ii)若()2f a =，求a 的值；跟踪训练10(1)已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （）A ．12-B ．0C ．1D ．2(2)已知函数()223,11,1111,1x x f x x x x x⎧⎪+<-⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩.(i)求((2))f f -的值；(ii)若()032f x =，求0x 的值.七、解分段函数不等式例11(1)已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()()2,00,2-⋃D ．()()2,02,-+∞ (2)设函数()22,,,.x x a f x x x a ⎧<=⎨≥⎩若()11>f ，则a 的取值范围为______．跟踪训练11(1)已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩,则使得()1f x ≥的x 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞(2)已知函数242,1()23,1x x x f x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则满足不等式()()21f a f a <+的a 的取值范围是___________.八、分段函数的实际应用例12某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产()*Nx x ∈百台，需另投入生产成本()R x 万元．当年产量不足46百台时，()23260R x x x =+；当年产量不小于46百台时，()4900501483020R x x x =+-+．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．跟踪训练12电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产x 万件该电子元件，需另投入成本()f x 万元，且2132,04,4()64938,420.x x x f x x x x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完．(1)求该电子厂这种电子元件的利润y （万元）与生产量x （万件）的函数关系式；(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值．【课堂巩固】1．（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是（）A ．B ．C ．D ．2．（多选）下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（）A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数3．若函数()f x =()21f x -的定义域为（）A ．()0,2B ．[)(]2,00,2-U C ．[]22-,D ．[]0,24．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．()f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与()211x g x x -=-C ．()xfx x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()1f t t =-与()1g x x =-5．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞ D ．()(),31,3-∞- 6．（多选）下列选项中正确的有（）A ．2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数B ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-≤⎩表示同一函数C ．函数()y f x =的图象与直线2x =的交点最多有1个D ．若()|||1|f x x x =--，则102f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7．（多选）已知函数25,1(),12x x f x x x +<-⎧=⎨-<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．()11f -=D ．若()3f x =，则x8．（多选）已知函数()35,0,1,0,x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若()()2f f a =，则实数a 的值为（）A ．2-B ．43-C ．-1D ．19．求函数()f x +=______________________10．已知函数()f x 是一次函数且(())2()2f f x f x x +=--，则函数()f x 的解析式为_________．11．若()211f x x -=+，则()0f =____________，()f x =_____________.12．已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.13．设函数21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩，则(3)f -=________.14．已知函数()(4),f x x x x R =-∈.（1）把函数()f x 写成分段函数的形式；（2）在给定的坐标系内作函数()f x 的图象.15．已知函数()2,0,2,0,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩解不等式2()f x x ≤16．已知函数f (x )＝222x x x +⎧⎪⎨⎪⎩(1)(12)(2)x x x ≤--<<≥(1)求{}f f f ⎡⎤⎣⎦的值；(2)求()3f a =，求a 的值；(3)画出函数的图像．【课时作业】1．下列函数中，相同的一组是（）A．y =2y =B．y =，y =C ．21y x =+，4211x y x -=-D ．21y x =-，4211x y x -=+2．已知函数)22f x +=+，则()f x 的最小值是（）A ．1-B ．2C ．1D ．03．设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（）A ．()111x xx +-≠B ．()111x xx +-≠C ．()111xxx +≠--D ．()211xx x ≠-+4．已知一次函数()f x 满足(2)2(21)94f x f x x +-+=--，则()f x 解折式为（）A ．()24f x x =--B ．()23f x x =-+C ．()34=+f x x D ．()32f x x =-+5．一次函数()f x 满足：()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=，则()1f =()A ．1B ．2C ．3D ．56．设22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.若()3f x =，则x 的值为（）.A ．1BC．D ．327．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为（）A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝213x －4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋38．已知函数2,(){2,0x x f x x x +≤=-+>，则不等式2()f x x ≥的解集是（）A ．[1,1]-B ．[2,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]-9．（多选）若函数()()221120x f x x x--=≠，则下列结论正确的是（）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()()()2411f x x x =≠-D ．()221411x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-（0x ≠且1x ≠）10．（多选）已知函数2+2,<1()=+3,1x x f x x x -≥⎧⎨⎩，则（）A ．3f f ⎡⎤=⎣⎦B ．若()1f x =-，则=2x 或3x =-C ．()2f x <的解集为()(),01,-∞⋃+∞D ．x ∀∈R ，()a f x >，则3a ≥11．若函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则函数()()g x f x =______．12．已知集合0|A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，2|0,1x B x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，则A B = ________.13．已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________14．若一次函数()f x 满足：对任意x 都有()()221221xf x f x x x ++=++，则()f x 的解析式为______________．15．已知函数24,0(),0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，若()4f m =，则m =___________．16．设1,()2(1),1,x f x x x <<=-≥⎪⎩若()(1)f a f a =+，则()f a =________．17．设定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()g x =___________.18．已知()1,11x x f xx +≤⎧⎪=>，若()()1f x f x >+，则x 的取值范围是___________.19．求下列函数的定义域(1)y ；(2)y =(3)y x x=-（0a >）.20．根据下列条件，求()f x 的解析式.(1)已知)225fx =+(2)已知()()2232f x f x x x+-=-(3)已知()f x 是二次函数，且满足()()()01,12f f x f x x=+-=21．已知函数()()211x x f x x -=-；(1)作出该函数的图象；(2)写出该函数的值域．22．已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩(1)求()()1f f 的值；(2)若()2f a =，求a 的值；(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数()f x 的定义域和值域．。
数学中的函数关系
数学中的函数关系数学中的函数关系是研究不同数值之间的依赖关系的重要领域。
函数关系是数学中最基本和最常见的数学概念之一，它在解决实际问题、描述自然界中的多种现象以及推导出各种数学定理和公式等方面都起着重要的作用。
本文将从函数关系的定义、分类、性质和应用等方面进行论述，并探讨函数关系在数学中的重要性。
一、函数关系的定义在数学中，函数关系是指根据一个或多个自变量的取值，确定一个唯一的因变量的取值的规则。
换句话说，函数关系描述了自变量和因变量之间的对应关系。
通常用符号表示，形如“y = f(x)”或“f :D → R”，其中“x”为自变量，“y”为因变量，“f”为函数名称，“D”为定义域，“R”为值域。
二、函数关系的分类函数关系可以按照定义域和值域的性质进行分类。
根据定义域的不同，函数关系可分为实数函数、整数函数、有理函数、无理函数和三角函数等。
根据值域的不同，函数关系可分为一次函数、二次函数、多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
三、函数关系的性质函数关系具有多种重要的性质。
首先，函数关系必须满足定义域上的唯一性，即每一个自变量的取值都对应一个唯一的因变量的取值。
其次，函数关系可以是线性的，即自变量的变化与因变量的变化成比例关系。
另外，函数关系可以是单调的，即随着自变量的增大或减小，因变量的取值也相应地增大或减小。
还有，函数关系可以是周期性的，即一定范围内的自变量的变化会循环地对应一定范围内的因变量的取值。
四、函数关系的应用函数关系具有广泛的应用价值。
在数学中，函数关系被广泛用于解决实际问题，如经济学中的成本、利润和需求曲线分析，物理学中的速度、加速度和力的关系等。
另外，函数关系还被应用于描述自然界中的多种现象，如生物学中的种群增长模型，化学中的反应速率和平衡浓度等。
此外，函数关系还被用于推导出各种数学定理和公式，如微积分中的导数和积分等。
五、函数关系在数学中的重要性函数关系是数学中最基本和最常见的数学概念之一，它在数学的各个分支中都有广泛的应用。
函数的奇偶性与对称性的判断
函数的奇偶性与对称性的判断函数是数学中的重要概念，用于描述数值之间的关系。
在数学中，函数的奇偶性与对称性是其中一个重要的性质。
本文将探讨如何判断函数的奇偶性和对称性，并介绍相关的概念和方法。
一、奇函数与偶函数的定义在介绍奇函数和偶函数之前，首先我们需要了解什么是自变量和因变量。
在函数中，自变量是指函数的输入值，而因变量是指函数的输出值。
1. 奇函数：对于一个函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，即将自变量取相反数的结果仍然等于取原自变量的相反数后的函数值，那么该函数就是奇函数。
2. 偶函数：对于一个函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，即将自变量取相反数的结果等于原自变量的函数值，那么该函数就是偶函数。
根据定义，奇函数与偶函数在自变量取相反数后的函数值不同，这是奇函数和偶函数之间的主要区别。
二、奇函数和偶函数的图像特点奇函数和偶函数都具有一定的图像特点，通过观察函数图像可以判断函数的奇偶性。
1. 奇函数的图像特点：- 奇函数的图像关于坐标原点对称，即关于原点对称；- 如果函数图像上有一个点(x, y)，那么图像上也会存在一个对应的点(-x, -y)。
2. 偶函数的图像特点：- 偶函数的图像关于y轴对称；- 如果函数图像上有一个点(x, y)，那么图像上也会存在一个对应的点(-x, y)。
通过观察函数的图像特点，我们可以初步判断函数的奇偶性。
三、判断函数奇偶性的方法除了通过观察函数的图像特点外，还可以通过计算函数表达式来判断函数的奇偶性。
1. 基本方法：- 对于奇函数，可以用等式f(-x) = -f(x)来验证其奇性，如果等式成立，则函数是奇函数；- 对于偶函数，可以用等式f(-x) = f(x)来验证其偶性，如果等式成立，则函数是偶函数。
2. 具体判断方法：- 对于多项式函数，奇次幂的项对应奇函数，偶次幂的项对应偶函数；- 对于三角函数和指数函数，奇函数和偶函数的特性可以根据函数的具体性质来判断。
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判断一个关系是否是函数。
如果是函数，则判断函数是否是入射，满
射和一一映射
程序源代码
#include<stdio.h>
void main()
{
int a[10][10],i,j,col[10],row[10];
int m,n,k=0,s=0;
printf("请输入关系矩阵的行数和列数:\n");
scanf("%d %d",&m,&n);
printf("请输入关系矩阵:\n");
for(i=0;i<m;i++)
for(j=0;j<n;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(j=0;j<n;j++) /*对矩阵每列求和*/
{
col[j]=0;
for(i=0;i<m;i++)
col[j]+=a[i][j];
}
for(i=0;i<m;i++) /*对矩阵每行求和*/
{
row[i]=0;
for(j=0;j<n;j++)
row[i]+=a[i][j];
}
for(j=0;j<n;j++) /*判断一个关系是否是函数*/
{
if(col[j]!=1) break;
else k++;
}
if(k!=n) printf("此关系不是函数:\n");
else
{
if(m==n) /*判断函数是否是一一映射*/
{
for(i=0;i<m;i++)
{
if(row[i]==1) s++;
if(row[i]!=1) break;
}
if(s==m) printf("此关系是函数，该函数是一一映射，同时也是入射和满射:\n");
if(s!=m) printf("此关系是函数，但该函数不是一一映射:\n");
}
if(m<n) /*判断函数是否是满射*/
{
for(i=0;i<m;i++)
{
if(row[i]>=1) s++;
else break;
}
if(s==m) printf("此关系是函数，该函数是满射:\n");
else printf("此关系是函数，但该函数不是满射:\n");
}
if(m>n) /*判断函数是否是入射*/
{
for(i=0;i<m;i++)
{
if(row[i]==1||row[i]==0) s++;
else break;
}
if(s==m) printf("此关系是函数，该函数是入射:\n");
else printf("此关系是函数，但该函数不是入射:\n");
}
}
}。