(完整)高二数学空间向量测试题
高二数学测试题—空间向量（5）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、
B 、
C 一定共面的是
（ ）
A ．OC O
B OA OM ++= B ．O
C OB OA OM --=2
C ．OC OB OA OM 31
21++
= D ．OC OB OA OM 3
1
3131++=
2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则 （ ）
A ．c b a -+
B ．c b a +-
C ．c b a ++-
D ．c b a -+-
3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）
A ．n m //
B ． n m ⊥
C ．n m n m 也不垂直于不平行于,
D ．以上三种情况都可能
4．设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另
一个基底的向量是
（ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ．b a 或 5．对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的重要条件是
（ ）
A ．b a =
B ．b a -=
C ．a b λ=
D ．b a λ= 6．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （ ） A ．0° B ．45°
C ．90°
D ．180°
7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是
（ ）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．不确定
8．已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+=
（ ）
A ．21
,
51 B ．5，2
C ．2
1,51--
D ．-5，-2
9．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+= （ ）
A ．-15
B ．-5
C ．-3
D ．-1
10．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么
直线AM 与CN 所成角的余弦值是
（ ）
A ．5
2
-
B ．
5
2
C ．
5
3 D ．
10
10 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= . 12．已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a
AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .
13．已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=
-==的夹角为 .
14．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为
.
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．如图，M 、N 、E 、F 、G 、H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点，若此四面体的对棱相
等，求)()2(;)1(MG NH EF GH EF +⋅的夹角与（12分）
16．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD.(12分)
17．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C
求证：AB1=A1C（12分）
18．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
（12分）
19．正四棱锥S —ABCD 中，所有棱长都是2，P 为SA 的中点，如图 （1）求二面角B —SC —D 的大小；
（2）如果点Q 在棱SC 上，那么直线BQ 与PD 能否垂直？
请说明理由（14分）
20．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，
M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点， （1）求;的长BN
（2）求;,cos 11的值><CB BA （3）.:11M C B A ⊥求证（14分）。
高二数学空间向量测试题.doc
高二数学空间向量测试题班级___________ 姓名___________ 学号___________ 分数___________一、选择题（共 10 小题）1、已知直线a平行于平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是（）。
（A）空集（B）二条平行直线（C）一条直线（D）一个平面2、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。
（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定3、下列命题中正确的是（）。
（A）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线（B）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交（C）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行（D）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直4、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。
（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定5、三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心6、从平面α外一点P引直线与α相交，使P点与交点的距离等于1，这样的直线（）。
（A）仅可作两条（B）可作无数条（C）可作一条或无数条和不能作（D）仅可作1条7、若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，△ABC的边长为1，则PC和平面ABC所成的角是（）。
（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°8、直线l与平面α内的两条直线垂直，那么l与α的位置关系是（）。
（A）平行（B）lα（C）垂直（D）不能确定9、三棱锥P－ABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心10、棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高与截得该棱台的棱锥的高之比为( )A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.3∶4二、填空题（共 5 小题）1、已知△ABC ，点P 是平面ABC 外的一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，那么点O 一定是△ABC的 。
高二数学空间向量试题答案及解析
高二数学空间向量试题答案及解析1.如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得，为的中点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）【解析】（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.（5）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，又边长为2，由于，在中，，（Ⅱ）,（Ⅲ）解法一：过，连接AE，，即二面角的余弦值为.解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则显然，平面的法向量为设：平面的法向量，由,，∴二面角的余弦值为.【考点】（1）空间中线面垂直的判定；（2）三棱锥的体积公式；（3）利用空间向量证明线线垂直和求夹角.2.如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，.⑴当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；⑵当的值为多少时，二面角的大小是45.【答案】（1），（2）.【解析】（1）此小题考查用空间向量解决线面角问题，只需找到面的法向量与线的方向向量，注意用好如下公式：，且线面角的范围为：；（2）此小题考查的是用空间向量解决面面角问题，只需找到两个面的法向量，但由于点坐标未知，可先设出，利用二面角的大小是45，求出点坐标，从而可得到的长度，则易求出其比值.试题解析：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，⑴因为为中点，则，设是平面的一个法向量，则，得，取，则，设直线与平面的法向量的夹角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；⑵设，设是平面的一个法向量，则，取，则，是平面的一个法向量，，得，即，所以当时，二面角的大小是.【考点】运用空间向量解决线面角与面面角问题，要掌握线面角与面面角的公式，要注意合理建系.3.在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则__________．【答案】.【解析】直接利用空间两点间的距离公式可得，解之得，即为所求.【考点】空间两点间的距离公式．4. A(5，-5，-6)、B(10，8，5)两点的距离等于 .【答案】.【解析】∵，，由空间中两点之间距离公式可得：.【考点】空间坐标系中两点之间距离计算.5.如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）由已知中F为CD的中点，易判断四边形ABCD为平行四边形，进而AF∥BC，同时EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中点O，连接SO，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面SAC与平面ACF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．（1）分别是的中点，．又，所以．，……2分四边形是平行四边形．．是的中点，．……3分又，，平面平面……5分（2）取的中点，连接，则在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系．则有，，，，，．…7分设平面的法向量为，由．取，得．……9分平面的法向量为．10分…11分而二面角的大小为钝角，二面角的余弦值为．【考点】1．用空间向量求平面间的夹角；2．平面与平面平行的判定．6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为 ()．A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1），可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），∴•＝2×2−2×2−1×1＝−1，|| ＝ 3， | |＝3;∴cos＜,＞＝，所以sin＜,＞=．故选B .【考点】用空间向量求平面间的夹角.7.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3).【解析】解法一（向量法）（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；（3）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解法二（几何法）（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH＝AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．.试题解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，∴＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF⊥FD.(2)解：设平面PFD的法向量为n=(x，y，z)，由得令z=1，解得：x=y=.∴n=.设G点坐标为(0,0，m)，E，则，要使EG∥平面PFD，只需·n=0，即，得m=，从而满足AG=AP的点G即为所求．(3)解：∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为n= .∴.故所求二面角A－PD－F的余弦值为.【考点】1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系；3.直线与平面平行的判定．8.已知三棱柱，平面，，，四边形为正方形，分别为中点．（1）求证：∥面；（2）求二面角——的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）只要证出∥，由直线与平面平行的判定定理即可得证（2）建立空间直角坐标系，利用求二面角的公式求解试题解析：（1）在中、分别是、的中点∴∥又∵平面，平面∴∥平面（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，平面的一个法向量设平面的一个法向量为则即取.∴∴二面角的余弦值是.【考点】直线与平面平行的判定定理，在空间直角坐标系中求二面角9.如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中，棱，分别为的中点.（1）求>的值；（2）求证：【答案】（1）>的值为；（2）证明过程详见试题解析.【解析】（1）先以C为原点建立空间坐标系，由已知易求出，进而可求>的值；（2）由（1）所建立的空间坐标系可写出、、的坐标表示，即可知，从而得证.试题解析：以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为轴、轴、轴，建立坐标系（1）依题意得,∴∴ ,∴>= 6分(2) 依题意得∴,∴,,∴ ,∴,∴∴ 12分【考点】空间坐标系、线面垂直的判定方法.10.如右图，正方体的棱长为1．应用空间向量方法求：⑴求和的夹角⑵．【答案】（1）（2）对于线线垂直的证明可以运用几何性质法也可以运用向量法来证明向量的垂直即可。
高二空间向量练习题及答案
高二空间向量练习题及答案空间向量是高中数学的一个重要内容，掌握空间向量的概念和运算方法对于解决几何问题有着重要的作用。
下面是一些高二空间向量的练习题及其答案，帮助大家巩固和提升空间向量的学习。
一、选择题1. 设向量a=2i-j+3k，向量b=-3i+j+2k，则a·b的值为：A. -11B. 11C. -9D. 9答案：A2. 设向量a=2i-3j+k，向量b=-i+2j-3k，则a与b的夹角为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：C3. 已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+2j-4k，则a与b的数量积等于：A. -17B. 17C. -3D. 3答案：B4. 设向量a=3i+4j-2k，向量b=i-3j+5k，则a×b的结果为：A. 23i+2j-13kB. -23i-12j+13kC. 23i-12j+13kD. -23i+2j+13k答案：C5. 向量a=3i+j+k，向量b=2i-4j-2k，求向量a与向量b的和向量c，并求c的模长。
A. 向量c=5i-3j-k，|c|=√35B. 向量c=5i-3j-k，|c|=√33C. 向量c=5i-5j-3k，|c|=√31D. 向量c=5i-3j-k，|c|=√31答案：D二、填空题1. 向量a=2i+3j-4k，向量b=5i-2j+k，求a+b的结果为________。
答案：7i+j-3k2. 向量a=2i-3j+k，向量b=-i+j+2k，求a与b的夹角的余弦值为________。
答案：-1/√143. 设向量a=3i-4j+2k，向量b=2i-3j+k，求a×b的结果为________。
答案：-5i-4j-1k4. 设向量a=-i+2j+k，d是一条过点A(1，2，3)且与向量a垂直的直线方程，则d的方程为_______。
答案：x-2y+z-3=05. 已知平行四边形的两条对角线的向量分别为a=2i-j+k和b=-3i+4j-2k，求平行四边形的面积为_______。
高二数学选修2-1空间向量试卷及答案
AA 1 DCB B 1C 1图高二数学（选修2-1）空间向量试题宝鸡铁一中 司婷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030B ．21C ．1530D ．10154．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ）A ．515 B ．55 C ．552 D ．1055．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）A ．a 42 B ．a 82 图图C ．a 423 D ．a 22 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（ ）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）A ．621B ．338 C60210 D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，ο90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．32B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）A ．3π B ．6πC ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ）A ．66 B ．3316 C ．316D ．1611．有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C一定共面；③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底。
高二数学测试题――空间向量
高二数学测试题――空间向量一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若11,,,CA a CB b CC C A B ====则（ ）A ．a b c +-B ．a b c -+C ．a b c -++D ．a b c -+-3．若向量,(,m a b n a b R λμλμλ=+∈垂直向量和向量且、则)0≠μ（ ）A ．//m nB ． m n ⊥C ．,m n m n 不平行于也不垂直于D ．以上三种情况都可能4．设向量{,,}a b c 是空间一个基底，则一定可以与向量,p a b q a b =+=-构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．a b 或5．对空间任意两个向量,(),//a b b o a b ≠的重要条件是（ ）A ．a b =B ．a b =-C ．b a λ=D ．a b λ=6．已知向量(0,2,1),(1,1,2),a b a b ==--则与的夹角为（ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定8．已知(1,0,2),(6,21,2),//,a b a b λλμλμ=+=-若则与的值分别为（ ）A ．21,51 B ．5，2 C ．21,51-- D ．-5，-29．已知32,2,53a i j k b i j k a b =+-=-+则与的数量积等于（ ）A ．-15B ．-5C ．-3D ．-110．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53 D ．1010 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= .12．已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若||,,a a AB a AC a=⊥⊥且则向量的坐标为 .13．已知,a b 是空间二向量，若||3,||2,||a b a b a b ==-则与的夹角为 . 14．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若,OA OB OC OG λλ++=则的值为.三、解答题（本大题共6题，共76分）15．如图，M 、N 、E 、F 、G 、H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点，若此四面体的对棱相等，求(1);(2)()EF GH EF NH MG ⋅+与的夹角（12分）16．如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点，求证：MN ⊥平面PCD.(12分)B17．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C求证：AB 1=A 1C （12分）AA 118．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
高二数学空间向量数学题
高二数学空间向量专题练习一、选择题1．若两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为V 1＝(1，0，－1)，V 2＝(－3，0，3)，则l 1和l 2的位置关系是()A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不确定2．若a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2，0，4)，则a 与b 的夹角的余弦值为()A ．48585B ．6985C ．－1515D ．03．若直线l 的一个方向向量a ＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量b ＝(1，1，－1)，则()A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l ⊂αD ．A ，C 都有可能4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA →|＝|PB →|，则P 点坐标为()A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)5．若平面α，β的法向量分别为m ＝(2，－3，5)，n ＝(－3，1，－4)，则()A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交，但不垂直D ．以上均不正确6.如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC ＝()A ．62B ．6C ．12D ．1447.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与AB 1夹角的余弦值为()A ．55B ．53C ．255D ．358．[2022·宁夏石嘴山三模]在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．33B．23C．32D．229．[2022·浙江温州二模]如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过EF的平面α分别交棱DA、BC于G、H(不同于A、B、C、D)，P、Q分别是棱BC、CD上的动点，则下列命题错误的是()A．存在平面α和点P，使得AP∥平面αB．存在平面α和点Q，使得AQ∥平面αC．对任意的平面α，线段EF平分线段GHD．对任意的平面α，线段GH平分线段EF二、填空题10．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________．11．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，则以AB→，AC→为邻边的平行四边形的面积为________．12．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D1点到平面A1BD的距离为________．13．[2022·湖北鄂南模拟预测]已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为23.以D为坐标原点，以DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴建立空间直角坐标系，动点M(a，b，0)满足直线MD1与AA1所成夹角为π6，ab的最大值为()A．14B．12C．1D．214．[2022·浙江嘉兴模拟预测]如图，在矩形ABCD中，AB＝3BC，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，将△EBF，△GDH分别沿直线EF，HG翻折形成四棱锥B′AEFC，D′ACGH，下列说法正确的是()A.异面直线EB′，GD′所成角的取值范围是(0，π]6B．异面直线EB′，GD′所成角的取值范围是(0，π]2C．异面直线FB′，HD′所成角的取值范围是(0，π]2]D．异面直线FB′，HD′所成角的取值范围是(0，π315．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则α与l所成角的正弦值为________．16.如图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，BC＝22，AB＝2，SA＝SB＝3.求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为________.答案1．A ∵V 1＝－13V 2，∴l 1∥l 2.2．C ∵|a |＝22＋（－2）2＋（－2）2＝23，|b |＝22＋02＋42＝25，a ·b ＝2×2＋(－2)×0＋(－2)×4＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－423×25＝－1515.3．A ∵a ＝2b ，∴a 与b 共线，∴l ⊥α.4．C 由题意可设点P 的坐标为(0，0，z )由|PA →|＝|PB →|得（1－0）2＋（－2－0）2＋（1－z ）2＝（2－0）2＋（2－0）2＋（2－z ）2解得z ＝3.故选C.5．C ∵m 与n 不共线，且m ·n ＝－6－3－20≠0，∴α与β相交但不垂直．6．C ∵AB ＝BC ＝6，∠ABC ＝120°，∴AC ＝63，建立如图所示的空间直角坐标系，其中O 为AC 的中点，则P (0，－33，6)，C (0，33，0)∴|PC |＝（0－0）2＋（33＋33）2＋62＝12.7．A 设BC ＝1，则B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，A (2，0，0)，B 1(0，2，1)BC 1＝(0，2，－1)，AB 1＝(－2，2，1)BC 1·AB 1＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×1＝3.|BC 1|＝5，|AB 1|＝3，∴cos 〈BC 1，AB 1〉＝BC 1·AB 1|BC 1||AB 1|＝35×3＝55.8.A 如图，正方体内三棱锥A BCD 即为满足题意的鳖臑A BCD ，以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则B (0，0，0)，A (0，0，1)，C (0，1，0)，D (1，1，0)，M (12，12，12)，则BM →＝(12，12，12)，CD →＝(1，0，0)，cos 〈BM →，CD →〉＝BM →·CD →|BM →|·|CD →|＝1234＝33，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33.9．D对于A ，当AP ∥EH 时，因为AP ⊄平面α，EH ⊂平面α，此时AP ∥平面α，A 对；对于B ，当AQ ∥FG 时，因为AQ ⊄平面α，FG ⊂平面α，此时AQ ∥平面α，B 对；对于C ，取AC的中点O ，GH 的中点为M ，设AG →＝λAD →，CH →＝μCB →，则有OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋12AB →＝OA →＋12(OB →－OA →)＝12(OA →＋OB →)，同理可得OF →＝12(OC →＋OD →)＝12(－OA →＋OD →)，OM →＝12(OG →＋OH →)，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋λAD →＝OA →＋2λOF →，OH →＝OC →＋CH →＝OC →＋μCB →＝OC →＋2μOE →＝2μOE →－OA →，所以OG →＋OH →＝2λOF →＋2μOE →，所以，OG →＝－OH →＋2λOF →＋2μOE →，因为E 、F 、G 、H 四点共面，则2λ＋2μ－1＝1，所以λ＋μ＝1，所以，2OM →＝OG →＋OH →＝2λOF →＋2μOE →，则OM →＝λOF →＋μOE →＝λOF →＋(1－λ)OE →，所以，OM →－OE →＝λ(OF →－OE →)，可得EM →＝λEF →，即M 、E 、F 三点共线，即GH 的中点在EF 上，即线段EF 平分线段GH ，C 对；对于D 选项，若线段GH 平分线段EF ，又因为线段EF 平分线段GH ，则四边形EGFH 为平行四边形，事实上，四边形EGFH 不一定为平行四边形，故假设不成立，D 错．10．(5，13，－3)解析：设D (x ，y ，z )，由题意得AD →＝BC →，∴(x －4，y －1，z －3)＝(1，12，－6)＝5，＝13，＝－3，∴D (5，13，－3).11．73解析：AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，∴AB →·AC →＝－2＋3＋6＝7，|AB →|＝14，|AC →|＝14.又cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴平行四边形的面积S ＝|AB →|×|AC →|×sin 〈AB →，AC →〉＝73.12.233解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0，0，2)，A 1(2，0，2)，D (0，0，0)，B (2，2，0)，∴D 1A 1＝(2，0，0)，DA 1＝(2，0，2)，DB →＝(2，2，0).设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DA 1＝2x ＋2z ＝0，·DB →＝2x ＋2y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，∴点D 1到平面A 1BD 的距离是d ＝|D 1A 1·n ||n |＝23＝233.13.D 正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为23，可得D 1(0，0，23)，AA 1＝DD 1＝(0，0，23)，点M (a ，b ，0)，则MD 1＝(－a ，－b ，23)，由动点M (a ，b ，0)满足直线MD 1与AA 1所成夹角为π6，可得cos 〈MD 1，AA 1〉＝1223×a 2＋b 2＋12＝32，整理得a 2＋b 2＝4，由a 2＋b 2＝4≥2ab ，可得ab ≤2，当a ＝b ＝2时取等号，即最大值为2.14．C 建立如图所示空间直角坐标系，由题意得，B ′和D ′在平面ABCD 中的投影分别在BB 1和DD 1上(如图所示)，因为AB ＝3BC ，令AB ＝23，则BC ＝2，由比值可知，B ′的x ，y ，z 坐标比值为1∶3∶2，所以令B ′坐标为(b ，3b ，2b )，因为B ′在平面ABCD 中的投影在BB 1上，所以b ∈(0，32)，同理可得D ′坐标为(23－d ，2－3d ，2d )，E (3，0，0)，G (3，2，0)，F (0，1，0)，H (23，1，0)，则EB ′→＝(b －3，3b ，2b )，GD ′→＝(3－d ，－3d ，2d )，cos 〈EB ′→，GD ′→〉＝|EB ′→·GD ′→||EB ′→|·|GD ′→|，解得cos 〈EB ′→，GD ′→〉＝|3（b ＋d ）－3|3，因为b 和d 的范围均为(0，32)，所以cos 〈EB ′→，GD ′→〉∈(0，1)，即夹角范围是(0，π2)，故A ，B 错误；同理可得cos 〈FB ′→，HD ′→〉＝|3（b ＋d ）－1|8b 2－23b ＋1×8d 2－23d ＋1∈[0，1)，因为异面直线所成角范围是(0，π2]，则夹角范围是(0，π2].即C 正确，D 错误．15.216解析：设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|n ·a |n ||a ||＝|2×1＋1×2＋1×3|22＋12＋12·12＋22＋32＝216.16.2211解析：如图所示，作SO ⊥BC ，垂足为O ，连接AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD .由SA ＝SB ，可得OA ＝OB .又由∠ABC ＝45°，得△ABO 为等腰直角三角形，OA ⊥OB .建立如图所示空间直角坐标系O －xyz ，则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (0，－2，0)，S (0，0，1)，D (2，－22，0)，DS →＝(－2，22，1)，SA →＝(2，0，－1)，SB →＝(0，2，－1).设平面SAB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，n ·SA →＝0，n ·SB →＝021－z 1＝0，21－z 1＝0，令z 1＝2，得n ＝(1，1，2).设直线SD 与平面SAB 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈DS →，n 〉|＝|DS →·n ||DS →||n |＝|－2＋22＋2|11×2＝2211.所以直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值为2211.。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
()高二数学空间向量测试题
高二数学测试题—空间向量〔5〕一、选择题：〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕1．A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，以下条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是〔〕A．OM OA OB OC B．OM2OA OBOCC．OM OA1OB1OC D．OM1OA1OB1OC233332．直三棱柱ABC—A1B1C1中，假设CA a,CBb,CC1C,那么A1B〔〕A．a b c B．ab cC．a bc D．a b c3．假设向量m垂直向量a和b,向量n a b(,R且、0)那么〔〕A．m//n B．m nC．m不平行于n,m也不垂直于n D．以上三种情况都可能4．设向量{a,b,c}是空间一个基底，那么一定可以与向量p a b,qa b构成空间的另一个基底的向量是〔〕A．a B．b C．c D．a或b5．对空间任意两个向量a,b(b o),a//b的重要条件是〔〕A．ab B．a b C．b a D．a b6．向量a (0,2,1),b(1,1,2),那么a与b的夹角为〔〕A．0°B．45°C．90°D．180°7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC0,ABAD0,ACAD0那么△BCD是〔〕A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定8．a(1,0,2),b(6,21,2),假设a//b,那么与的值分别为〔〕．C．1 1,5 21 1,5 2B．5，2D．-5，-29．a3i 2j k,b i j 2k,那么5a与3b的数量积等于〔〕A．-15B．-5C．-3D．-110．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是〔〕22A．B．55310C．D．510二、填空题〔本大题共4小题，每题6分，共24分〕11．假设A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，那么m+n=.12．A〔0，2，3〕，B〔-2，1，6〕，C〔1，-1，5〕，假设|a|3,且a AB,a AC,那么向量a的坐标为.13．a,b是空间二向量，假设|a|3,|b| 2,|a b| 7,那么a与b的夹角为.14．点G是△ABC的重心，O是空间任一点，假设OA OB OC OG,那么的值为.三、解答题〔本大题共6题，共76分〕15．如图，M、N、E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，假设此四面体的对棱相等，求(1)EF与GH的夹角;(2)EF(NH MG)〔12分〕16．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD.(12分)17．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C求证：AB1=A1C〔12分〕30°，求这条线段18．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是与这个二面角的棱所成的角。
(完整版)高中数学空间向量训练题
高中数学空间向量训练题（含解析）一．选择题1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向量= ，= ，= ，则=（）A．+ +B．+ +C．+ +D．+ +2．已知=（ 2，﹣ 1，2），=（﹣ 1， 3，﹣ 3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2B．3C． 4D．63．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣ 14D． 145．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线6．已知平面α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣ 6 C．6D．7．已知，则的最小值是（）第 1页（共 40页）8．有四个命题：①若 =x +y ，则与、共面；②若与、共面，则 =x +y ；③若 =x +y，则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则=x +y ．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C． 3 D．49．已知向量 =（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D． 810．以以下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（）A．B．C．D．11．正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二．填空题（共 5 小题）12．已知向量=（ k， 12，1）， =（4，5，1），=（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k=．13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则?的最大值为．14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是=（ 2，﹣ 1，﹣ 4），=（4，2，0），=（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的选项是．15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系，若P，A，B，C 四点共面，则 x+y+z=．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC ⊥ l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD=．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明 PC丄 AD；（Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面PAD⊥底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（Ⅰ）求证：平面 PQB⊥平面 PAD；（Ⅱ）若 M 为棱 PC的中点，求异面直线AP 与 BM 所成角的余弦值．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点．（1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；（2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．20．如图，四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥侧面 PAB，△ PAB是等边三角形， DA=AB=2， BC=，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证： PE⊥CD；（Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦值．21．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E 为 AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 PCD；（Ⅱ）求二面角 C﹣PB﹣ E 的余弦值；（Ⅲ）在线段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点M 的地址；若不存在，说明原由．22．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC， EA⊥EB．（Ⅰ）求证： AB⊥DE；（Ⅱ）求直线 EC与平面 ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出；若不存在，说明原由．23．如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°， AC1∩ A1C=O．（Ⅰ）求证： BO⊥平面 AA1C1C；（Ⅱ）求二面角 A﹣BC1﹣B1的余弦值．24．如图，在四棱锥P﹣ ABCD中， PA⊥平面，四边形ABCD为正方形，点M， N 分别为线段PB，PC上的点， MN⊥PB．（Ⅰ）求证： MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C﹣AN﹣D 大小为时，求PN的长．上的点，且 CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD（Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．（1）求证： GF∥平面 ADE；（2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2，E 是 PB 上任意一点．（Ⅰ）求证： AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．28．如图，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， AB⊥B1C．（Ⅰ）证明： AC=AB1；（Ⅱ）若 AC⊥ AB1，∠ CBB1=60°， AB=BC，求二面角 A﹣A1B1﹣ C1的余弦值．29. 已知四棱锥P— ABCD ， PB⊥ AD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为120°.（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的余弦值.PCDBA30 如图，在三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中， AA 1⊥底面ABC ，∠ ACB=90°，AC=BC=1 ， AA 1=2，D 是棱AA 1的中点．（Ⅰ）求证：B1C 1∥平面 BCD ；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ C1CD 的体积；（Ⅲ）在线段BD 上可否存在点Q，使得 CQ ⊥ BC 1？请说明原由．31 如图，在三棱锥A﹣ BCD中， O、 E 分别为 BD、 BC中点， CA=CB=CD=BD=4，AB=AD=2（1）求证： AO⊥面 BCD（2）求异面直线 AB 与 CD所成角的余弦值（3）求点 E 到平面 ACD的距离．32 在三棱柱ABC﹣ A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形， AB=2， AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明： BC⊥AB 1；（2）若 OC=OA，求直线 CD与平面 ABC所成角的正弦值．2018 年 01 月 20 日 shu****e168的高中数学组卷参照答案与试题解析一．选择题（共11 小题）1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向量= ，= ，= ，则=（）A．+ +B．+ +C．+ +D．+ +【解答】解：以以下图，= +，=（+），=，=﹣，=．∴= += +=+ （﹣）=+=×（ + ） + ×=++=+ + ．应选： C．2．已知=（ 2，﹣ 1，2），=（﹣ 1， 3，﹣ 3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2B．3C． 4D．6【解答】解：∵=（2，﹣ 1， 2），=（﹣ 1，3，﹣ 3），=（13，6，λ），三个向量共面，∴，∴（ 2，﹣ 1，2）=x（﹣ 1，3，﹣ 3）+y（13，6，λ）∴解得：应选： B．3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【解答】解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，第10页（共 40页）4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣ 14D． 14【解答】解：由于向量，且，属于=﹣8﹣6+x=0，解得 x=14；应选： D．5．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线【解答】解： A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=x +y +z，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是x+y+z=1，而=++，因此P，A，B，C四点不共面．应选： A．6．已知平面α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣ 6 C．6D．【解答】解：∵α∥β，且平面α的法向量是 =（2，3，﹣ 1），平面β的法向量是 =（ 4，λ，﹣ 2），∴即存在实数μ使得，即（ 2，3，﹣ 1）=（4μ，λμ，﹣ 2μ），解得μ=，λ=6应选 C．7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：=（﹣ 1﹣t， t﹣1，﹣ t），∴==≥，当且仅当t=0时取等号．∴的最小值是．应选： A．8．有四个命题：①若 =x +y ，则与、共面；②若与、共面，则=x +y；③若=x +y，则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则=x +y．其中真命题的个数是（）A．1B．2C． 3D．4【解答】解：若=x +y ，则与，必然在同一平面内，故①对；若=x +y ，则、、三向量在同一平面内，∴ P、M、A、B 共面．故③对；若=x +y ，则与、共面，但若是，共线，就不用然能用、来表示，故②不对；同理④也不对．∴真命题的个数为 2 个．应选： B．9．已知向量=（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D． 8【解答】解：设向量，的夹角为θ，=，=，∴ cosθ===．∴ sin θ==．∴以，为邻边的平行四边形的面积S=??sin θ==，应选： B．10．以以下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以 D 为坐标原点，直线DA，DC， DD1分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则D1（ 0， 0，1），E（1，1，0）， A（ 1， 0， 0），C（0，2，0）．=（ 1， 1，﹣ 1）， =（﹣ 1，2，0），=（﹣ 1， 0， 1），设平面 ACD1的法向量为=（a，b，c），则，取 a=2，得=（ 2， 1， 2），点 E 到平面 ACD1的距离为：h===．应选： C．11．正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ A1BC1是等边三角形， A1B1=BB1=B1C1，∴B1在平面 A1BC1上的射影为△ A1 BC1的中心 O，设正方体棱长为 1，M 为 A1C1的中点，则 A1B= ，∴ OB= BM==，∴ OB1==，∴ sin∠B1BO==，即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，∵DD1∥BB1，∴直线 DD1与平面11 所成角的正弦值为．A BC应选： A．二．填空题（共 5 小题）12．已知向量=（ k， 12，1），=（4，5，1），=（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k=．【解答】解：∵向量=（ k， 12，1）， =（4，5，1），=（﹣ k，10，1），∴=（4﹣k，﹣ 7，0）， =（﹣ 2k，﹣ 2， 0）．又 A、B、C 三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则?的最大值为．【解答】解：连接 PO，可得? ==++=﹣，当获取最大值时，?获取最大值为=．故答案为：．14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是=（ 2，﹣ 1，﹣ 4），=（4，2，0），=（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③是平面 ABCD的法向量；④∥．其中正确的选项是①②③ ．【解答】解：由 =（2，﹣ 1，﹣ 4），=（ 4， 2， 0）， =（﹣ 1，2，﹣ 1），知：在①中，=﹣2﹣2+4=0，∴⊥，∴ AP⊥AB，故①正确；在②中，? =﹣4+4+0=0，∴⊥，∴ AP⊥AD，故②正确；在③中，由 AP⊥AB， AP⊥ AD，AB∩AD=A，知是平面 ABCD的法向量，故③正确；在④中，=（ 2， 3， 4），假设存在λ使得 =，则，无解，∴∥．故④不正确；综上可得：①②③正确．故答案为：①②③．15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系，若 P，A，B，C 四点共面，则 x+y+z= 1 ．【解答】若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足向量关系式：，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是： x+y+z=1，故答案为： 1．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC ⊥l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD= 26 ．【解答】解：∵平面α⊥平面β，且α∩β=l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，AC⊥l， BD⊥ l，AB=6，BD=24，AC=8，∴=，∴=（）2==64+36+576=676，∴CD=26．故答案为： 26．三．解答题（共12 小题）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明 PC丄 AD；（Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．【解答】（本小分 13 分）明：（Ⅰ）∵在△ ADC中， AD=2，AC=1，DC=222∴ AC +AD =CD ，∴ AD⊥ AC，⋯（1 分）如，以点 A 原点建立空直角坐系，依意得 A（0，0，0）， D（ 2， 0， 0），C（0，1，0），B（，，0），P（0，0，2），得=（0，1， 2）， =（2，0，0），∴=0，∴ PC⊥AD．⋯（4 分）解：（Ⅱ），，平面 PCD的一个法向量=（ x， y， z），，不如令 z=1，得=（1，2，1），可取平面 PAC的一个法向量=（1，0，0），于是 cos＜＞==，从而 sin＜＞=，因此二面角 A PC D 的正弦．⋯（8分）（Ⅲ）点 E 的坐（ 0， 0， h），其中 h∈[ 0，2] ，由此得=（），由=（2， 1，0），故，∵ 足异面直BE与 CD所成的角 30°，∴=cos30°=，解得h=，即AE=．⋯（13分）18．如，在四棱 P ABCD中，底面 ABCD直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面 PAD⊥底面ABCD， Q AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（Ⅰ）求：平面 PQB⊥平面 PAD；（Ⅱ）若 M 棱 PC的中点，求异面直AP 与 BM 所成角的余弦．【解答】解：（Ⅰ）∵ AD∥ BC，BC= AD，Q AD 的中点，∴四形 BCDQ平行四形，可得CD∥BQ．∵∠ ADC=90°，∴∠ AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴BQ⊥平面 PAD．∵ BQ? 平面 PQB，∴平面 PQB⊥平面 PAD．（Ⅱ）∵ PA=PD，Q 为 AD 的中点，∴ PQ⊥ AD．∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴ PQ⊥平面 ABCD．（注：不证明 PQ⊥平面 ABCD直接建系扣 1 分）因此，以 Q 为原点、 QA、QB、QP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，以以下图则 Q（0，0，0）， A（1，0， 0），P（0，0，），B（0，，0）， C（﹣ 1，， 0）∵ M 是 PC中点，∴ M （﹣，，）∴=（﹣ 1，0，），=（﹣，﹣，）设异面直线 AP 与 BM 所成角为θ，则 cosθ=|cos＜，＞| ==．∴异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点．（1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；（2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．【解答】（本分 12 分）解：（ 1）明：∵ SD⊥平面 ABCD，∴ SD⊥AB，又 AD⊥AB，AD∩SD=D，∴ AB⊥平面 SAD，⋯（6 分）（2）以 D 原点，分以 DA、DC、 DS x，y， z 建立空直角坐系，如，AB=2， A（ 2， 0，0），S（0，0，2），B（1，2，0），E（1，0，0），故=（2，0， 2），=（2， 2， 0），=（1，0， 1），⋯（ 8 分）平面 BED的一个法向量=（x，y，z），由得，取=（1， 1， 1），⋯（10 分）直 SA与平面 BED所成角θ，因 cos==，因此 sin θ=，即直 SA与平面 BED所成角的正弦⋯（ 12 分）20．如，四棱 P ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥ 面 PAB，△ PAB是等三角形， DA=AB=2， BC=，E是段AB的中点．（Ⅰ）求： PE⊥CD；（Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦．【解答】解：（Ⅰ）∵ AD⊥ 面 PAB，PE? 平面 PAB，∴ AD⊥EP．又∵△ PAB是等三角形， E 是段 AB 的中点，∴ AB⊥EP．∵AD∩ AB=A，∴ PE⊥平面 ABCD．∵CD? 平面 ABCD，∴ PE⊥ CD．⋯（ 5 分）（Ⅱ）以 E 原点， EA、EP分 y、 z ，建立如所示的空直角坐系．E（0，0，0）， C（ 1， 1， 0），D（ 2，1，0），P（0，0，）．=（2， 1， 0），=（0，0，），=（1， 1，）．=（x，y，z）平面 PDE的一个法向量．由，令 x=1，可得=（ 1， 2，0）．⋯（ 9 分）PC与平面 PDE所成的角θ，得=因此 PC与平面 PDE所成角的正弦．⋯（12分）21．如，在四棱 P ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求：平面 PAD⊥平面 PCD；（Ⅱ）求二面角 C PB E 的余弦；（Ⅲ）在段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点 M 的地址；若不存在，明原由．【解答】解：（Ⅰ）明：由已知平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥ AD，且平面PAD∩平面 ABCD=AD，因此 PA⊥平面 ABCD．因此 PA⊥CD．又因BE⊥AD，BE∥CD，因此 CD⊥AD．因此 CD⊥平面 PAD．因 CD? 平面PCD，因此平面 PAD⊥平面 PCD．⋯（4 分）（Ⅱ）作 Ez⊥AD，以 E 原点，以的方向分x，y的正方向，建立如所示的空直角坐系 E xyz，点 E（0，0，0）， P（ 0， 2，2）， A（0， 2， 0），B（2，0，0）， C（ 1， 2， 0），D（0，2，0）．因此，，．平面 PBC的法向量=（ x，y，z），因此即令 y=1，解得=（ 2， 1， 3）．平面 PBE的法向量=（a，b，c），因此即令 b=1，解得=（ 0， 1， 1）．因此 cos＜＞=．由可知，二面角 C PB E 的余弦．⋯（10分）（Ⅲ）“ 段 PE上存在点 M，使得 DM∥平面 PBC”等价于“”．因，，λ∈（0，1），M （0，2λ 2，2 2λ），．由（Ⅱ）知平面 PBC的法向量=（ 2， 1， 3），因此．解得．因此段 PE上存在点 M ，即 PE中点，使得 DM∥平面 PBC．⋯（ 14 分）22．如，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC， EA⊥EB．（Ⅰ）求： AB⊥DE；（Ⅱ）求直 EC与平面 ABE所成角的正弦；（Ⅲ）段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出；若不存在，明原由．【解答】（Ⅰ ）明：取 AB 中点 O，接 EO，DO．因 EB=EA，因此 EO⊥ AB．⋯（1 分）因四形 ABCD直角梯形， AB=2CD=2BC， AB⊥ BC，因此四形 OBCD正方形，因此 AB⊥OD．⋯（2 分）因 EO∩OD=O因此 AB⊥平面 EOD．⋯（3 分）因 ED? 平面 EOD因此 AB⊥ED．⋯（4 分）（Ⅱ）解：因平面 ABE⊥平面 ABCD，且 EO⊥AB，平面 ABE∩平面 ABCD=AB因此 EO⊥平面 ABCD，因 OD? 平面 ABCD，因此 EO⊥OD．由 OB，OD，OE两两垂直，建立如所示的空直角坐系O xyz．⋯（5 分）因△ EAB等腰直角三角形，因此 OA=OB=OD=OE， OB=1，因此 O（0，0，0）， A（ 1，0，0），B（1，0，0）， C（ 1， 1， 0），D（0，1，0），E（ 0， 0， 1）．因此，平面 ABE的一个法向量．⋯（7 分）直 EC与平面 ABE所成的角θ，因此，即直 EC与平面 ABE所成角的正弦．⋯（ 9 分）（Ⅲ）解：存在点 F，且，有 EC∥平面 FBD．⋯（10 分）明以下：由，，因此．平面 FBD的法向量=（a，b，c），有因此取 a=1，得 =（ 1，1，2）．⋯（ 12 分）因=（1，1， 1）?（1，1，2）=0，且 EC?平面 FBD，因此 EC∥平面 FBD．即点 F 足，有 EC∥平面 FBD．⋯（ 14 分）23．如，三棱柱 ABC A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°，AC1∩ A1C=O．（Ⅰ）求： BO⊥平面 AA1C1C；（Ⅱ）求二面角 A BC1B1的余弦．【解答】明：（Ⅰ ）依意，四形 AA1C1C 菱形，且∠ AA1C1=60°∴△ AA1C1正三角形，又∠ BAC1=60°，∴△ BAC1正三角形，又 O AC1中点，∴BO⊥ AC1，∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C，平面 ABC1∩平面 AA1C1C=AC1，∵BO? 平面 AA1CC1，∴ BO⊥平面 AA1C1C．⋯（4 分）解：（Ⅱ）以 O 坐原点，建空直角坐系，如，令 AB=2，，C1（，，）010∴，平面 BB1 1的一个法向量，C由得，取 z=1，得⋯（9分）又面 ABC1的一个法向量∴⋯（11 分）故所求二面角的余弦⋯（ 12 分）24．如，在四棱P ABCD中， PA⊥平面，四形ABCD正方形，点M， N 分段PB，PC上的点， MN⊥PB．（Ⅰ）求： MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C AN D 大小，求PN的．【解答】（Ⅰ ）明：在正方形ABCD中， AB⊥BC，∵PA⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD，∴ PA⊥ BC．∵AB∩PA=A，且 AB，PA? 平面 PAB，∴BC⊥平面 PAB， BC⊥PB，∵MN⊥PB，∴ MN∥BC，则 MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）解：∵ PA⊥平面 ABCD，AB，AD? 平面 ABCD，∴ PA⊥AB，PA⊥ AD，又 AB⊥AD，如图，以 A 为原点， AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则C（2，2，0）， D（ 0， 2， 0），B（2，0，0），P（0，0，2）．设平面 DAN 的一个法向量为 =（x，y，z），平面 CAN的一个法向量为 =（a，b，c），设 =λ，λ∈[ 0， 1] ，∵=（2，2，﹣2），∴=（2λ，2λ，2﹣2λ），又 =（0，2，0），∴，取 z=1，得=（，0，1），∵=（0，0，2）， =（2，2，0），∴，取 a=1 得，到=（1，﹣ 1，0），∵二面 C﹣ AN﹣ D 大小为，∴ | cos＜，＞| =cos=，∴ | cos＜，＞| =|| =|| =，解得λ=，∴，则 PN=．25．如题图，三棱锥 P﹣ABC中，PC⊥平面 ABC，PC=3，∠ ACB=．D，E分别为线段AB，BC 上的点，且 CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD（Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．【解答】（Ⅰ ）证明：∵ PC⊥平面 ABC，DE? 平面 ABC，∴ PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE= ，∴△CDE为等腰直角三角形，∴ CD⊥DE，∵ PC∩CD=C，DE垂直于平面 PCD内的两条订交直线，∴DE⊥平面 PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ CDE为等腰直角三角形，∠ DCE=，过点 D 作 DF 垂直 CE于 F，易知 DF=FC=FE=1，又由已知 EB=1，故 FB=2，由∠ ACB=得DF∥AC，，故AC= DF=，以 C 为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0）， P（ 0， 0， 3），A（， 0， 0），E（0，2，0）， D（1， 1，0），∴ =（1，﹣ 1，0）， =（﹣ 1，﹣ 1，3）， =（，﹣ 1， 0），设平面 PAD的法向量=（ x， y， z），由，故可取=（2， 1， 1），由（Ⅰ）知 DE⊥平面 PCD，故平面 PCD的法向量可取=（1，﹣ 1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值为．26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．（1）求证： GF∥平面 ADE；（2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．【解答】解法一：（ 1）如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，∵G 是 BE的中点，∴ GH∥ AB，且 GH= AB，又∵ F 是 CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且 DF= AB，即 GH∥DF，且 GH=DF，∴四边形 HGFD是平行四边形，∴ GF∥ DH，又∵ DH? 平面 ADE，GF?平面 ADE，∴ GF∥平面 ADE．（ 2）如图，在平面BEG内，过点 B 作 BQ∥ CE，∵BE⊥EC，∴ BQ⊥BE，又∵ AB⊥平面 BEC，∴ AB⊥BE，AB⊥ BQ，以 B 为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A（0，0，2）， B（ 0， 0， 0），E（2，0，0）， F（ 2， 2， 1）∵ AB⊥平面 BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面 AEF的法向量．又=（2，0，﹣ 2），=（2，2，﹣ 1）由垂直关系可得，取 z=2 可得．∴ cos＜，＞==∴平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取 AB 中点 M ，连接 MG，MF，又G 是 BE的中点，可知 GM∥AE，且 GM= AE又AE? 平面 ADE，GM?平面 ADE，∴GM∥平面 ADE．在矩形 ABCD中，由 M， F 分别是 AB， CD的中点可得 MF∥AD．又AD? 平面 ADE，MF?平面 ADE，∴ MF∥平面ADE．又∵ GM∩MF=M，GM? 平面 GMF，MF? 平面GMF∴平面 GMF∥平面 ADE，∵GF? 平面 GMF，∴ GF∥平面 ADE（ 2）同解法一．第30页（共 40页）27．如，在四棱P ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2，E 是 PB 上任意一点．（Ⅰ）求： AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角 A PB D 的余弦，若 E PB的中点，求 EC与平面 PAB所成角的正弦．【解答】（I）明：∵ PD⊥平面 ABCD，AC? 平面 ABCD∴PD⊥AC又∵ ABCD是菱形，∴ BD⊥ AC，BD∩PD=D∴AC⊥平面 PBD，∵ DE? 平面 PBD∴AC⊥DE⋯（6 分）（ II）解：分以OA， OB， OE 方向x， y， z 建立空直角坐系，PD=t，由（ I）知：平面 PBD的法向量，令平面PAB 的法向量，根据得∴因二面角 A PB D 的余弦，，即，∴⋯（9 分）∴EC与平面 PAB所成的角θ，∵，∴⋯（12 分）28．如，三棱柱 ABC A1B1C1中，面 BB1C1C 菱形， AB⊥B1C．（Ⅰ）明： AC=AB1；（Ⅱ）若 AC⊥ AB1，∠ CBB1=60°， AB=BC，求二面角 A A1B1C1的余弦．【解答】解：（1）连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO，∵侧面 BB1 C1C 为菱形，∴BC1⊥B1C，且 O 为 BC1和 B1C 的中点，又∵ AB⊥ B1 C，∴ B1C⊥平面 ABO，∵ AO? 平面 ABO，∴ B1C⊥ AO，又B10=CO，∴ AC=AB1，（2）∵ AC⊥ AB1，且 O 为 B1C 的中点，∴ AO=CO，又∵ AB=BC，∴△ BOA≌△ BOC，∴ OA⊥OB，∴ OA， OB，OB1两两垂直，以 O 为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|| 为单位长度，的方向为 y 轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠ CBB1°，∴△ 1 为正三角形，又，=60CBB AB=BC∴ A（ 0， 0，）， B（ 1， 0， 0，）， B （，，），（，，）00 C 001∴=（0，，），= =（1，0，），==（﹣ 1，，0），设向量=（x，y，z）是平面 AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面 A1 B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴ cos＜，＞== ，∴二面角 A﹣A1B1﹣ C1的余弦值为29. 已知四棱锥P— ABCD ， PB⊥ AD，侧面PAD为边长等于 2 的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（ 1）求点P 到平面ABCD的距离；（ 2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.PCDBA（传统法）解（ 1）：以以下图，作 PO⊥平面 ABCD ，垂足为点 O. 连接 OB、 OA、OD ， OB 与 AD 交于点 E，连接 PE.PDCEO BA∵AD ⊥ PB，∴ AD⊥ OB.∵P A=PD ，∴ OA=OD .于是 OB 均分 AD ，点 E 为 AD 的中点，∴ PE ⊥AD. 由此知∠ PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角，∴∠ PEB=120°，∠ PEO=60°. 由已知可求得 PE= 3，33，即点 P 到平面 ABCD 的距离为3 .∴PO=PE·sin60°=3×=222（2）（空间向量法）解法一：以以下图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点， x 轴平行于 DA .zPGCDOEyBAxP（ 0，0，333， 0）， PB 中点 G 的坐标为（ 0，33，3），连接 AG.）， B（ 0，2244又知 A（ 1，3，0）， C（－ 2，3 3，0） . 22由此获取 GA =（1，－3，－3），44PB =（0，3 3，－3）， BC =（－2，0，0）.22于是有 GA · PB =0， BC · PB =0，∴ GA ⊥ PB ， BC ⊥ PB . GA ， BC 的夹角 θ 等于所求二面角的平面角.于是 cos θ=GA BC|GA || BC |=－2 7，7由于题目中的二面角为钝角，因此所求二面角的大小为－2 7 。
高二数学空间向量试题
高二数学空间向量试题1.如图，正三棱柱中，是的中点，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）想要解决这个问题，需要构造平行线，连结交于，连结，则又平面平面（Ⅱ）解决本题的关键是构造二面角的平面角，过作的垂线，过作的垂线，则就是二面角的平面角，然后根据条件计算出 .试题解析：（Ⅰ）连结交于，连结，则分别是，的中点，又平面平面（Ⅱ）过作的垂线，垂足为，则，且面，过作的垂线，垂足为，则，连结，则就是二面角的平面角，且，即二面角的余弦值为【考点】线面平行的判定，二面角.2.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，,，点分别为、、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）线面平行的证明主要是走线面平行的判定定理这条路，因此必须在平面内寻找到一条与平行的直线，借助平几知识，这条直线不难找到；（2）在证明垂直关系时，如果几何证明有困难，也可从向量考虑；（3）求二面角的大小，主要是走向量这条路，它有固定步骤：首先求两个面的法向量，其次求法向量的余弦值进而得法向量的夹角，然后根据二面角是锐角还是钝角，决定其大小.试题解析：（1）证明：连接，是的中点，过点，为的中点，，又面，面，平面；（2）在直角中，，，，棱柱的侧棱与底面垂直，且，以点为原点，以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则，，，，，，，，；（3）依题意得，，，，，，，，设面的一个法向量为，由，得，令，得，同理可得面的一个法向量为，故二面角的平面角的余弦值为.【考点】空间向量与立体几何.3.如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．【答案】(1)；(2)【解析】因为直线AB、AC、两两垂直，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，（1）向量分别为直线A1B与C1D的方向向量，求出的坐标，由空间两向量夹角公式可得向量夹角的余弦值；（2）设平面的法向量为，又，根据法向量定义求出平面的一个法向量，因为平面，取平面的一个法向量为，先求出与夹角的余弦值，又平面ADC1与平面ABA1夹角与与夹角相等或互补。