八年级数学上寒假作业：分式的基本性质学习提升--1
18．李丽从家到学校的路程为s，无风时她以平均a米/秒的速度骑车，便能按时到达，当风速为b米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前_______出发．
19．（数学与生产）永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要a天完成，若甲组单独完成需要b天，乙组单独完成需_______天．
A． B． C．- D．
26．下列各式中，正确的是（）
A． = ; B． = ; C． = ; D． =
27．下列各式中，正确的是（）
A． B． =0 C． D．
28．计算 =_________．
29．公式 ， ， 的最简公分母为（）
A．（x-1）2B．（x-1）3C．（x-1）D．（x-1）2（1-x）
13．当x_______时，分式 的值为正；当x______时，分式 的值为负．
14．下列各式中，可能取值为零的是（）
A． B． C． D．
15．使分式 无意义，x的取值是（）
A．0B．1C．-1D．±1
16．已知y= ，x取哪些值时：
（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．
第一讲：分式的基本性质的应用学习
练习一
1．_______统称为整式．______和______统称为有理式
分式的基本性质为：______．字母表示为：____________
2.下列各式 ， ， x+y， ，-3x2，0中，是分式的有______；是整式的有______；
是有理式的有______．
3下列分式，当x取何值时有意义．
（1） ；（2） （3）
4当x_______时，分式 的值为零．
5当x______时，分式 的值为1；当x_______时，分式 的值为-1．
6分式 ，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式的值为零．
7不改变分式的值，使分式 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）
8不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）
30．已知a2-4a+9b2+6b+5=0，求 - 的值．
练习四---妙法求解题
31．已知x2+3x+1=0，求x2+ 的值．
32已知x+ =3，求 的值．
33．若 ，且3x+2y－z=14,求x, y , z
34、若 __________。
35．已知 + = ，则 + 等于（）
A．1B．-1C．0D．2
36.若 的值均扩大为原来的2倍，则 的值如何变化
37.若把分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）
A、扩大3倍B、不变C、缩小3倍D、缩小6倍
三.解答题
1.计算：Leabharlann （1）8x2y4·（－）÷（－）（2）·
（3）÷（4）÷÷（x－1）2
20．若分式 -1的值是正数、负数、0时，求x的取值范围．
练习三
21．已知 - =3，求 的值．
22..化简的结果是（）
A．B．C．D．
23.计算（a2－16）÷的结果是（）
A．(a＋4)2B．(a－4)2C．1D．－1
24.若＝，则的值为（）
A．B．C．D．
25．根据分式的基本性质，分式 可变形为（）
9分式 ， ， ， 中是最简分式的有（）
10约分：（1） ；（2） ．
11通分：（1） ， ；（2） ， ．
练习二
11．有理式① ，② ，③ ，④ 中，是分式的有（）
A．①②B．③④C．①③D．①②③④
12．分式 中，当x=-a时，下列结论正确的是（）
A．分式的值为零；B．分式无意义
C．若a≠- 时，分式的值为零；D．若a≠ 时，分式的值为零
八年级数学上册分式分式分式的基本性质分式的基本性质
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八年级上册数学15.1.2 分式的基本性质
(2) x x
y y
(
x2
x
y2 y )2
;
(3) x2 1 x2 x
x (
x
1; )
(4) a2
2a 1 1 a
1 a;
(5) m2 3m 2 ( m 2 ) .
m2 m
m
2.把下列各式通分.
(1) 2 ， 1 ;(2) x ， 1
;
3a2 6ab2
5abc 5ac2
5ac2 ；
15ab2c
5abc
9 6x
9
（x 3）（x （x 3）2
3)
x 3. x3
（3）6x2 12xy 6 y2 3x 3y
（6 x （3 x
y）2 y）
（2 x
y）.
知识点3 通分
15.1 分式
15.1.2 分式的基本性质
R·八年级上册
新课导入
• 你知道分数的基本性质吗？由此你是否能联 想出分式的基本性质呢？
• 学习目标： 1．能说出分式的基本性质. 2．能利用分式的基本性质将分式变形. 3．会用分式的基本性质进行分式的约分和通分.
• 学习重、难点： 重点：分式的基本性质及运用，分式的符号法则. 难点：分式基本性质的运用——约分和通分.
xy y
6x2
2x
（2）1 a ，2a b 2ab b2 .
ab a2b a2
a2b
观察上题中的两个分式在变形前后的分子、
分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联
想到什么？
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x2
2 b
3 n 2 y
有什么发现？ 变号的规则是怎样的？
人教版数学八年级上册1：分式的基本 性质
人教版数学八年级上册1：分式的基本 性质
a b
=
a b
=
a b
a b
a b =
a a
b
b
分式的分子、分母和分式本身的
符号，同时改变其中任意两个，分式 的值不变。
人教版数学八年级上册1：分式的基本 性质
（1）ab ab
(a
2a2b ab ) , 2aa2 b
(2
ab b2)
a2b
÷x
×b
（2）x2
x2
xy
x y
( x ) , x2
x 2x
( 1 ) x2
人教版数学八年级上册1：分式的基本 性质
÷x
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运用新知
• 练一练填一填：
（ 1 ） x xy 3 （ xy2） ， 3x26 x23xy（ x2 x ） y；
a （ 2 ） a 1 b （ a 2 b ） ， 2 a a 2b （ 2aba 2 b b2） （ b 0 ） .
人教版数学八年级上册1：分式的基本 性质
人教版数学八年级上册1：分式的基本 性质
利用分式基本性质将分式等值变形小技巧： 小结：
看分母如何变，想分子如何变； 看分子如何变，想分母如何变.
的？
(1)
b
bm(m0)
2a 2am
解：∵
∴
人教版数学八年级上册1：分式的基本 性质
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解：
∵ ∴
思考:为什么n≠0？
八年级上册《分式》知识点归纳与总结
八年级上册《分式》知识点归纳与总结主讲 王老师一、分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B 0≠）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0,0B ≠）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ∙∙=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
初二数学分式基础与提升练习 (1)
一、分式的性质及运算提高练习题 要使分式241312a a a -++没有意义，求a 的值. 3、x 为何值时，分式23455x x x x ++-+值为零？2、若分式25011250x x -++有意义，则x ；若分式25011250x x -++无意义，则x ；4、把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y++ （2）22923x x y +5、化简：232428_______416n n n n n x x x x x +++-=++．6、已知,5212=+x x 求142+x x 的值7、计算：⋅+++++++)3)(2(1)2)(1(1)1(1x x x x x x 已知311=-y x ，求分式yxy x y xy x ---+2232的值。
8、已知3x －4y －z ＝0，2x ＋y －8z ＝0，求2222x y z xy yz xz+-++的值．10、y y y y y y y y 4)44122(22-÷+--+-+ 11、)1214()11(22-----+÷+x x x x x x12、化简求值：,)]3(232[x yx y x x yx y x x -÷--++-其中5x ＋3y ＝0．13、已知.0)255(|13|2=-+-+b a b a 求2232332).6().()3(a b b a ab b a -÷--的值．14、已知,10345252---=++-x x x x B x A 试求实数A 、B 的值15、若分式1212+-b b 的值是负数，则b 满足（ ）A ．b ＜ B ．b ≥1 C ．b ＜1 D ．b ＞1 16、实数a 、b 满足ab ＝1，设,11,1111bb a a N b a M +++=+++=则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜N D ．不确定17、=+=+-2221,015x x x x 则若 。
考点01 分式的性质与运算-2020-2021 学年八年级数学上学期高频考点专题突破(解析版)
考点1、分式的性质与运算知识框架⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩分式的定义分式的相关概念分式的基本性质分式的约分与通分分式的混合运算分式的判定分式有意义和无意义的条件分式值为零分式值为整数的相关问题分式的求值（一）分式的规律探索分式的基本性质（一）分式的基本性质（二）分式的基本性质（三）最简分式最简公分母分式的混合运算分式的求值（基础知识点整数指数幂重难二）点题型整式指数幂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩基础知识点知识点1-1 分式的定义分式：一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式． 分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． 注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。
②整式B 作为分母，则整式B ≠0. ③只要最终能转化为AB形式即可.④B 中若无字母，则变成系数乘A ，为整式. 1．（2020·重庆南开中学校初二期末）下列代数式中属于分式的是（ ） A ．2021B ．54x C ．3xx y+ D ．23a b+ 【答案】C【分析】根据分式的定义即可求出答案．【解析】解：根据分式的定义3xx y+属于分式，故选：C ． 【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型．2．（2020·河南孟津·初二期中）下列各式：1x ，15（x ﹣1），12，3x y +，a +12，222x x，293x x --分式共有（ ） A ．5个 B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【分析】根据分式的定义依次判断后即可解答．【解析】根据分式的定义可知，1x ，3x y +，222x x，293x x --的分母中都含有字母，属于分式，共4个．故选B ．【点睛】本题考查了分式的定义，熟练运用分式的定义是解决问题的关键．3．（2020·海东市教育研究室初二期末）给定一列分式：3x y ，52x y -，73x y，94x y -，…根据你发现的规律，试写出第6个分式为__________．第n （n 为正整数）个分式为__________．【答案】136x y- 211(1)n n n x y ++-⋅【分析】根据“分式分子及分母对应的底数及其指数的数字规律以及符号的规律”即可得出第6个分式和第n 个分式．【解析】解：观察分式3x y ，52x y -，73x y，94x y -，…，可以得出分子得底数为x 指数为序数的2倍加1，分母的底数为y 指数等于序数，当序数为偶数时符号为负，序数为奇数时符号为正，即符号为1(1)n +-，故第6个分式为136x y-，第n （n 为正整数）个分式为：211(1)n n n x y ++-⋅．故答案为：136x y-，211(1)n n n x y ++-⋅．【点睛】本题考查了分式的定义，探索与表达规律．注意观察每一个分式的分子、分母以及符号的变化，然后找出的规律．知识点1-2 分式的相关概念 1）分式AB有意义的条件：分母不为0，即B ≠0 2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A =0且B ≠0 3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB >0 4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB <0 1．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中期中）代数式121x -中的x 取值范围是（ ） A ．x 12≥B ．x 12>C ．x 12≠ D ．12≠-【答案】C【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，再求解即可． 【解析】解：由题意得，2x ﹣1≠0，解得，x ≠12．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列出不等式是解答本题的关键． 2．（2020·安徽泗县·初二期末）当x ______时，分式2134x x +-无意义． 【答案】43=【分析】根据分母为0时分式无意义进行求解即可． 【解析】由题意得3x -4=0，解得：x=43，故答案为：=43． 【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分母为0时，分式无意义． 3．（2020·贵州铜仁伟才学校初二月考）无论a 取什么值时，下列分式总有意义的是（ ）A ．21a a+B ．11a +C ．211a a ++D ．211a a ++ 【答案】D【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可． 【解析】解：A 、当a ＝0时，分式21a a+无意义，故此选项错误； B 、当a ＝−1时，分式11a +无意义，故此选项错误； C 、当a ＝−1时，分式211a a ++无意义，故此选项错误；D 、无论a 为何值，分式211a a ++都有意义，故此选项正确；故选D ． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 4．（2020·晋州市第三中学月考）已知分式6x nx m-++（m ，n 为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（ ）A ．m ＝1B ．n ＝8C ．p ＝3D ．q ＝﹣1【答案】D【分析】将表格中的数据依次代入已知分式中进行计算即可．【解析】由表格中数据可知：A 、当x ＝﹣1时，分式无意义，∴﹣1+m ＝0，∴m ＝1．故A 不符合题意； B 、当x ＝1时，分式的值为1，∴6111n-+=+，∴n ＝8，故B 不符合题意； C 、当x ＝p 时，分式的值为0，∴6801p p -+=+，∴p ＝43，故C 不符合题意；D 、当x ＝q 时，分式的值为﹣1，∴6811q q -+=-+，∴q ＝95，故D 错误，从而D 符合题意．故选：D ． 【点睛】本题考查分式无意义的条件，分式的值，可利用直接代入法进行求解． 5．（2020·河南唐河·初二期末）下列说法错误的是（ ） A ．当3x ≠时，分式453x x +-有意义 B ．当1x =时，分式11x x +-无意义 C ．不论a 取何值，分式221a a+都有意义 D ．当1x =时，分式11x x -+的值为0 【答案】C【分析】分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.【解析】解：A 选项当30x -≠，即3x ≠时，分式453x x +-有意义，故A 正确； B 选项当10x -=，即1x =时，分式11x x +-无意义，故B 正确；C 选项当20a ≠，即0a ≠时，分式221a a+有意义，故C 错误； D 选项当10x -=，且10x +≠即1x =时，分式11x x -+的值为0，故D 正确.故选C. 【点睛】本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.6．（2020·湖南岳阳·期中）若分式11x x -+的值为0，则（ ） A ．1x =± B ．1x =C ．1x =-D ．0x =【答案】B【分析】根据分式的值为0的条件,列式求解即可.分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.【解析】解：由题意得：|x|-1=010x ⎧⎨+≠⎩解得：x=1故答案为B 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，即：（1）分子等于0；（2）分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题. 知识点1-3 分式的基本性质 1）分数的性质（特点）如下：①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）. 2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）： ①分式分母也不能为零②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。
《15.1.2分式的基本性质》作业设计方案-初中数学人教版12八年级上册
《分式的基本性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对分式基本性质的理解，通过实际操作加深对分式概念及运算规则的掌握，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
二、作业内容1. 基础练习：（1）理解分式的概念，能够正确识别分式并表述其组成要素。
（2）掌握分式的基本性质，包括分式的约分与通分，并能正确运用这些性质进行计算。
（3）通过练习题，巩固分式的加减法运算，并能够熟练运用分式的基本性质进行化简。
2. 拓展应用：（1）设计实际生活场景，如测量、分配等问题，运用分式知识进行建模和计算。
（2）通过小组合作，设计含有分式运算的实际问题解决方案，培养学生团队协作和解决问题的能力。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 基础练习部分需对每道题目进行详细的解答过程展示，不得只写答案。
3. 拓展应用部分需详细描述实际生活场景及解题过程，体现分式知识的实际应用。
4. 作业需在规定时间内完成并按时提交。
5. 作业需字迹工整，格式规范。
四、作业评价1. 教师将对作业进行批改，评价学生的完成情况和正确性。
2. 评价标准包括知识点的掌握程度、解题思路的正确性、计算过程的规范性以及答案的准确性。
3. 对于优秀作业，将在课堂上进行展示，鼓励并表扬学生的优秀表现。
4. 对于存在问题的地方，教师将给出详细的批改意见和指导建议。
五、作业反馈1. 教师将根据作业情况，对学生在分式基本性质学习中的薄弱环节进行重点讲解和辅导。
2. 通过学生的作业反馈，调整后续的教学计划和教学方法，以更好地满足学生的学习需求。
3. 鼓励学生通过作业反馈提出自己的疑问和建议，以便教师更好地改进教学质量。
4. 作业反馈将作为学生学期末评定的参考依据之一。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生在学习《分式的基本性质》时所掌握的知识点，通过练习和思考，加深对分式概念、性质及运算的理解，并能够灵活运用分式性质解决实际问题。
人教版八年级数学上15.1.2分式的基本性质(教案)
-分式的约分：学会寻找分子与分母的公因式，进行约分，简化分式。
-分式的乘方：理解并运用分式乘方的性质，掌握分子分母分别乘方的操作。
举例：讲解分式的乘法法则时，强调分子相乘、分母相乘的步骤，通过具体例子使学生理解并掌握这一重点。
2.教学难点
-分式的约分：对于含有多个变量的分式，找出公因式并进行约分是学生的难点。
-分式的乘除运算：在分式乘除过程中，学生容易混淆乘除法则，特别是分式相除时，易将除法转换为乘法时出错。
-分式的乘方：在分式乘方过程中，学生可能会忘记对分子分母分别进行乘方操作。
举例1：针对约分难点，可以通过列举多个含有复杂公因式的分式，指导学生通过分解因式找出公因式，并进行约分。
人教版八年级数学上15.1．2分式的基本性质（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学上15.1．2分式的基本性质，主要包括以下内容：
1.分式的定义：分子与分母均为整式的形式，其中分母不为零。
2.分式的分子、分母与分式值之间的关系：当分子、分母同乘（或除以）一个不为零的整式时，分式的值不变。
3.分式的约分：将分子、分母的公因式约掉，使分式简化。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分式的基本性质和分式的乘除法则这两重点。对于难点部分，如分式的约分，我会通过具体例子和步骤解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式相关的实际问题，如超市打折、速度与时间的关系等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，通过实际分割物品来演示分式的比例分配原理。
八年级数学分式综合提高试题
初二数学分式综合进步冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：分式综合进步1. 分式的定义和根本性质.2. 分式的运算.3. 根据运算顺序和法那么，进展分式的混合运算.二、知识要点：1. 分式的意义分式有意义或者是无意义关键取决于分母. 当分母等于0时，分式无意义. 当分母不等于0时，分式有意义，从而将分式的问题转化为方程或者不等式.2. 分式值为零的条件分式值等于0的条件是分子等于0，而分母不等于0.3. 分式的根本性质是分式运算和变形的重要根据，如分式的通分、约分等都是利用分式的根本性质进展的恒等变形. 同时分式的根本性质也是今后解分式方程的根据.4. 分式的乘除运算重点掌握分式的乘法运算，因为分式的除法也要转化为乘法来进展，当分式的乘除统一成乘法运算后，由于乘除是同一级运算，在运算中应按从左到右的顺序进展，同时，分子与分母能分解因式的要分解因式，以便约分.5. 分式的加减运算分式的加减运算与分数的加减运算一样，包括同分母和异分母分式相加减两种情况，重点掌握异分母分式的加减. 异分母分式的加减运算，一般步骤是：〔1〕对各分母进展因式分解；〔2〕确定公分母，通分；〔3〕按同分母分式加、减运算的法那么进展运算；〔4〕化简运算结果.6. 考前须知〔1〕因为0不能做除数，所以只有当分式的分母不为0时，分式才有意义；当分子的值等于0而分母的值不为0时，分式的值才等于0.〔2〕对分式进展约分时，假如分子和分母是多项式，那么要先把分子和分母分解因式.〔3〕几个分式通分时，一般选取较简单的公分母.〔4〕分式运算的结果应尽可能简单.7. 分式与分数有许多类似的地方，如概念、根本性质、约分、通分及运算法那么等，所以，我们在学习分式的过程中，要注意分式与分数的联络与区别.三、重点难点：本节重点内容是分式有意义的条件、分式值为零的条件，分式的加减乘除运算. 难点是：〔1〕分式值为零的同时必须保证分母不为零. 〔2〕分式求值的技巧：①先化简，再代入求值；②根据条件对所求分式进展变形.四、考点分析：分式的化简与计算是中考的热点问题，每年各地区中考都要考察. 主要考察分式的化简与运算才能. 以填空题、选择题为主，解答题中常和二次根式等其他知识结合在一起进展考察. 题目的难度以简单题和中等题为主.【典型例题】例1.以下式子中，哪些是整式，哪些是分式？a＋b 3，1x＋2，3y2－2，a＋ba－b，10π，－18，x－yxy.分析：看一个式子是否为分式，关键是看其分母中有无字母，有那么是，没有那么不是.解：整式有：a ＋b 3，3y 2－2，10π，－18. 分式有：1x ＋2，a ＋b a －b ，x －y xy. 评析：a ＋b 3虽是分数的形式，但分母中不含有字母，所以它不是分式，对于10π来说，分母中含有字母π. 但π是一个常数，所以它不是分式，而是整式.例2. 分式a 2－1a 2＋2a ＋1有意义的条件是__________，等于0的条件是__________. 分析：当分母a 2＋2a ＋1≠0时，分式有意义；当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋1≠0a 2－1＝0 时，分式的值是0. 解：当a 2＋2a ＋1≠0，即a ≠－1时，分式有意义；当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋1≠0a 2－1＝0 时，即a ＝1时，分式的值是0. 评析：结合详细问题，纯熟应用分式有意义和分式值为0的条件.例3. 以下计算x 2－1x 2－2x ＋1÷x ＋1x －1·1－x x ＋1的解答过程是否正确？假设正确，请写出每一步的根据；假设不正确，请指出错误的原因，并纠正.解：原式＝〔x ＋1〕〔x －1〕〔x －1〕2÷〔－1〕＝1＋x 1－x. 分析：此题属于乘除混合运算，这是典型的运算顺序错误，同级运算要从左到右依次进展，先把除法转化成乘法，然后按顺序运算.解：此解答过程错误. 原因是只看到了能约分就约分而无视了运算顺序.正确解答过程如下：原式＝〔x ＋1〕〔x －1〕〔x －1〕2·x －1x ＋1·1－x x ＋1＝1－x 1＋x. 评析：分式的乘除混合运算与有理数的乘除混合运算一样，对同级运算一定要按从左到右的顺序进展运算.例4. 计算：〔1〕〔1x －2－1〕÷3－x x 2－4， 〔2〕〔x －1x －y 〕2－〔x ＋1x －y〕2. 分析：〔1〕式含有括号，应先算括号里面的，再算除法，〔2〕式虽含有括号，但括号里面的运算比拟烦琐，由于此式符合平方差公式，所以可尝试使用公式.解：〔1〕〔1x －2－1〕÷3－x x 2－4＝〔1x －2－x －2x －2〕÷3－x x 2－4＝3－x x －2×〔x ＋2〕〔x －2〕3－x＝x ＋2〔2〕〔x －1x －y 〕2－〔x ＋1x －y〕2 ＝〔x －1x －y ＋x ＋1x －y 〕〔x －1x －y －x －1x －y〕 ＝2x ·－2x －y＝－4x x －y.例5. y ＝x 2－2x ＋1x 2－1÷x 2－x x ＋1－1x＋1，试说明在右边代数式有意义的条件下，不管x 取何值，y 的值不变.分析：要说明y 的值不变，必须先化简右边的代数式.解：因为y ＝x 2－2x ＋1x 2－1÷x 2－x x ＋1－1x＋1 ＝〔x －1〕2〔x ＋1〕〔x －1〕·x ＋1x 〔x －1〕－1x＋1＝1x －1x＋1 ＝1.所以在右边代数式有意义的条件下，不管x 为何值，y 的值不变，即y ＝1.评析：利用分式的运算法那么对右边整理，可以化繁为简，找出结论.例6. 从甲地到乙地有两条路，每条路都是3km . 其中第一条是平路，第二条有1km 的上坡路，2km 的下坡路. 小刚在上坡路上的骑车速度为a km /h ，在平路上的骑车速度为2a km /h ，在下坡路上的骑车速度为3a km /h ，那么：〔1〕当走第二条路时，他从甲地到乙地需要多长时间是？〔2〕从甲地到乙地他走哪条路花费的时间是少？少用多少时间是？分析：根据时间是、速度与路程的关系，可用分式表示出小刚从甲地到乙地走第二条路所用的时间是；再把从甲地到乙地走每条路所用时间是分别表示出来，然后作差即可.解：〔1〕当走第二条路时，小刚从甲地到乙地需要1a ＋23a ＝53a〔h 〕. 〔2〕小刚走第一条路时所用时间是为32a〔h 〕. 由于53a －32a ＝16a ＞0，所以53a ＞32a，所以他从甲地到乙地走第一条路花的时间是少，少用了16ah . 评析：在比拟两个代数式的大小时，一般情况下是作差，通过差的正负来判断它们的大小.【方法总结】1. 分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，转化过程中必须保证分式的值不变.2. 解分式乘除法的一般步骤：〔1〕假设分式的分子或者分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘或者颠倒除式后相乘，然后约去公因式，化为最简分式或者整式.〔2〕假设分子、分母为多项式，先分解因式、约分，再化为最简分式或者整式.3. 假设只有分子或者分母中含有负号，一般将负号移到分式前，特别是分子、分母的公因式互为相反数时，约分只需改变其中一项的符号，再在分式本身前添负号. 如2a －1b 〔1－2a 〕＝－1－2a b 〔1－2a 〕＝－1b . 【模拟试题】〔答题时间是：60分钟〕一. 选择题1. 在以下各式3a 2π，x 22x ，34a ＋b ，〔a ＋3〕÷〔x －1〕，－m 2，a m 中，是分式的有〔 〕 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个2. 要使分式3x 3x －7有意义，那么x 的取值范围是〔 〕 A. x ＝73 B. x ＞73 C. x ＜73 D. x ≠733. 假设分式x 2－42x －4的值是零，那么x 等于〔 〕 A. 2 B. －2 C. ±2 D. 0*4. 假如分式61＋x的值是正整数，那么整数x 的值的个数是〔 〕 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个5. 有游客m 人，假如每n 个人住一个房间，结果还有一个人无房住，那么客房的间数为〔 〕A. m －1nB. m n －1C. m ＋1nD. m n＋1 6. 把a 千克盐溶于b 千克水中，得到一种盐水，假设有这种盐水x 千克，那么其中含盐〔 〕A. ax a ＋b 千克B. bx a ＋b 千克C. a ＋x a ＋b 千克D. ax b千克7. 假设︱x ︱－1x 2＋2x －3的值是零，那么x 的值是〔 〕 A. ±1B. 1C. －1D. 不存在 8. 化简2x x 2－4－1x －2的结果是〔 〕A. 1x ＋2B. 1x －2C. 3x －2x 2－4D.3x ＋2x 2－4 **9. 假设a ＞0＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝1，M ＝b ＋c a ，N ＝a ＋c b ，P ＝a ＋b c，那么M ，N ，P 之间的大小关系是〔 〕A. M ＞N ＞PB. N ＞P ＞MC. P ＞M ＞ND. M ＞P ＞N10. 现有m 个同学a min 可完成教室里的清洁任务，那么这样的〔m ＋n 〕个同学〔假定每人效率一样〕完成教室的清洁任务需要时间是〔单位：min 〕为〔 〕A. a ＋mB. ma m ＋nC. a m ＋nD. m ＋n am二. 填空题1. 当x ＝__________时，分式3－2x x －3的值是零. 2. 假设分式x (1－2x )2有意义，那么x 的取值为__________. 3. 某人打靶，有m 次每次打中a 环，有n 次每次打中b 环，那么此人平均每次打中靶的环数是__________.4. 计算：〔xy －x 2〕÷x －y xy＝__________. 〔x ≠y 〕 5. 当x ＝__________时，分式1x －3没有意义. 6. 计算：⎝⎛⎭⎫b a 2－ab ＋a b 2－ab ·ab a 2－b 2＝__________. 7. 锅炉房储存了c 天用的煤m 吨，要使储存的煤比预定的天数多用d 天，每天应当节约__________吨煤.8. 假设a ＝23，a 2－2a －3a 2－7a ＋12的值等于__________. **9. ：1a ＋1b ＝5a ＋b ，那么b a ＋a b＝__________. 10. 观察以下各式：21×2＝21＋2，32×3＝32＋3，43×4＝43＋4，54×5＝54＋5，……，想一想：什么样的两数之积等于这两数之和？设n 表示正整数. 用关于n 的等式表示出这个规律为：__________×__________＝__________＋__________.三. 解答题1. 当x 为何值时，以下分式有意义？〔1〕x 23－x ；〔2〕－x x 2＋1；〔3〕1x 2－162. 化简：〔1〕x 2＋y 2x －y －2xy x －y， 〔2〕〔a 2a －2－4a －2〕·1a 2＋2a， 〔3〕9－a 2a 2＋6a ＋9÷a 2－3a a ＋3＋1a. 3. 解以下各题：〔1〕求代数式的值：3x ＋6x 2＋4x ＋4÷x －2x ＋2－1x －2，其中x ＝－6. 〔2〕先化简，再求值：2a 2－4×〔a 2＋44a －1〕÷〔12－1a 〕，其中a ＝12. 4. 小颖每天上学、放学有2条路可选择：一条是平路，长3千米，另一条是1千米上坡路，1千米平路，1千米下坡路. 小颖在平路上的骑车速度是v 千米/小时，上坡路上的骑车速度是12v 千米/小时，下坡路上的骑车速度为2v 千米/小时. 〔1〕当小颖走平路时，从家到，需要多长时间是？当她走另一条路呢？〔2〕她走哪条路花费的时间是较少？少用多少时间是？*5. 我们把分子为1的分数叫做单位分数. 如12，13，14…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如12＝13＋16，13＝14＋112，14＝15＋120，… 〔1〕根据对上述式子的观察，你会发现15＝1□＋1○. 请写出□，○所表示的数； 〔2〕进一步考虑，单位分数1n〔n 是不小于2的正整数〕＝1△＋1☆，请写出△，☆所表示的式，并加以验证.试题答案一. 选择题1. B2. D3. B4. C5. A6. A7. C8. A9. D 提示：因为a ＋b ＋c ＝1，所以a ＋b ＝1－c ，所以P ＝1－c c ＝1c －1；同理M ＝1a－1；N ＝1b －1. 由于a ＞0，所以1a ＞0. 因为c ＜b ＜0，所以1b ＜1c ＜0. 即1a ＞1c ＞1b，所以M ＞P ＞N. 此题也可取特殊值〔如a ＝4，b ＝－1，c ＝－2〕代入比拟.10. B二. 填空题1. 322. x ≠123. ma ＋nb m ＋n4. －x 2y5. 36. 1b －a7. md c (c ＋d )8. －12 9. 3 10. n ＋1n ，n ＋1，n ＋1n，n ＋1三. 解答题1.〔1〕x ≠3〔2〕任意数〔3〕x ≠±42. 〔1〕x －y 〔2〕1a 〔3〕原式＝－a －3a ＋3×a ＋3a (a －3)＋1a＝0 3. 〔1〕原式＝2x －2＝－14〔2〕原式＝1a ＋2＝254. 〔1〕走平路时, 需要v3〔小时〕. 走另一条路时, 需要.72v 〔小时〕〔2〕走平路花费的时间是较少, 少12v〔小时〕 5. 〔1〕□表示的数为6，○表示的数为30；〔2〕△表示的式为n ＋1，☆表示的式为n 〔n＋1〕. 所以1n ＋1＋1n (n ＋1)＝n n (n ＋1)＋1n (n ＋1)＝n ＋1n (n ＋1)＝1n创作；朱本晓2022年元月元日励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
八年级数学上册-分式
分式的基本性质学习目标1．理解并掌握分式的基本性质，利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形 2． 了解分式约分步骤和依据，掌握分式约分的方法学习重难：1.分式的基本性质; 2. 利用分式的基本性质约分. 一． 复习旧知1．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)3+x x (2) 421+x (3)1122---x x (4)152-x2．分解因式（1）__________2=-ab a （2）___________1682=+-x x （3）___________814=-m （4）_________1282=+-a a 3． 把下列分数化为最简分数：812=____；12545=____；2613=_____ 4．分数的基本性质：分数的分子或分母同乘以（或______）同一个_____的数，分数的值_____。
思考：由此你能想出分式的基本性质吗？二． 预习新知1．分式的基本性质：分式的 与 乘（ ）同一个 的整式，分式值不变。
用式子表示为：()A B BC =，()()A B B C=÷2．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的 约去，叫做分式的约分。
3．最简分式：分子与分母没有 的分式，叫做最简分式1681622++-a a a 二.活动探究1.分式基本性质的理解应用（1）不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90 （2）下列等式：①()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a b c+;④m n m --=-m nm-中,成立的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④2、.判断下列约分是否正确？为什么？（1）22++xy xy =0 （2）xy x 632+=331y+ （3）21262a a a +=a 32 （4）22112x x x -+-=11+-x x3、分式434y xa+，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、约分：232123x y z xy - 22699x x x ++-； 223)()(6)()(x y y x y x y x ab -+-+-三、课堂检测 1.（1）()222ba ab c= （2）)(y x xy 225= 2.当m_______时，1)1)(3()3(-=---x x x m x m 成立，根据是_________________3.如果把分式yx x+中的x 、y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 扩大3倍 B 不变 C 缩小为原来的31 D 缩小为原来的614.约分（1） 222322xy y x y x x -- （2） 2521668a b a a - （3 ） )()2(24)()2(3222y x x y y x y x --+--5、不改变分式的值，使分子和分母中x 的最高次项的系数为正，并把分子和分母的多项式按x 的降幂排列。