高中数学 《算法初步》教案 北师大版必修3
算法初步复习课
（1）教学目标
（a）知识与技能
1.明确算法的含义，熟悉算法的三种基本结构：顺序、条件和循环，以及基本的算法语句。
2.能熟练运用辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、排序、进位制等典型的算法知识解决同类问题。
（b）过程与方法
在复习旧知识的过程中把知识系统化，通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中进一步理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（c）情态与价值
算法内容反映了时代的特点，同时也是中国数学课程内容的新特色。
中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就。
现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力，算法进入中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴，也就成为了中国数学课程的一个新的特色。
（2）教学重难点
重点：算法的基本知识与算法对应的程序框图的设计
难点：与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写
（3）学法与教学用具
学法：利用实例让学生体会基本的算法思想，提高逻辑思维能力，对比信息技术课程中的程序语言的学习和程序设计，了解数学算法与信息技术上的区别。
通过案例的运用，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。
面临一个问题时，在分析、思考后获得了解决它的基本思路（解题策略），将这种思路具体化、条理化，用适当的方式表达出来（画出程序框图，转化为程序语句）。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
一.本章的知识结构
二.知识梳理
(1)四种基本的程序框
终端框（起止框）
输入.输出框
处理框
判断框
(2)三种基本逻辑结构
顺序结构条件结构循环结构
(3)基本算法语句
（一）输入语句
单个变量
多个变量
（二）输出语句
（三）赋值语句
（四）条件语句
IF-THEN-ELSE 格式
当计算机执行上述语句时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就
执行THEN 后的语句1，否则执行ELSE 后的语句2。
其对应的程序框图为：（如上右图）
IF-THEN 格式
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF 后的条件进行判断，如果
条件符合，就执行THEN 后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。
其对应的程序框图为：（如上右图）
（五）循环语句
（1）WHILE 语句
IF 条件 THEN 语句 END IF WHILE 条件 循环体 WEND
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。
WHLIE 后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。
当计算机遇到WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE 与WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。
这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND 语句后，接着执行WEND 之后的语句。
因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。
其对应的程序结构框图为：（如上右图）
（2）UNTIL 语句
其对应的程序结构框图为：
(4)算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术
案例2 秦九韶算法
案例3 排序法：直接插入排序法与冒泡排序法
案例4 进位制
三.典型例题
例1 写一个算法程序,计算1+2+3+…+n 的值(要求可以输入任意大于1的正自然数) 解：INPUT “n=”;n
i=1
sum=0
WHILE i<=n
sum=sum+i
i=i+1
WEND
PRINT sum
END
思考：在上述程序语句中我们使用了WHILE 格式的循环语句，能不能使用UNTIL 循环？
例2 设计一个程序框图对数字3,1,6,9,8进行排序(利用冒泡排序法)
DO 循环体 LOOP UNTIL 条件
思考：上述程序框图中哪些是顺序结构？哪些是条件结构？哪些是循环结构？例3 把十进制数53转化为二进制数.
解：53＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20
＝110101（2）
例4 利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数。
解：6497＝3869×1＋2628
3869＝2628×1＋1241
2628＝1241*2＋146
1241＝146×8＋73
146＝73×2＋0
所以3869与6497的最大公约数为73
最小公倍数为3869×6497/73＝344341
思考：上述计算方法能否设计为程序框图？
练习:P40 A(3) (4)
（5）评价设计
作业：P40 A（5）(6)。
高中数学 第二章《算法初步》全部教案 北师大版必修3
北师大版高中数学必修3第二章《算法初步》全部教案第一课时 §2。
1.1 算法的基本思想一、教学目标：1．知识与技能：（1）通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义；（2）能够用语言叙述算法；（3）会写出将自然数分解成素因数乘积的算法；（4）会写出求两个自然数的最大公因数的算法和两个自然数的最小公倍数的算法。
2．过程与方法：通过对物品价格的猜测，体会猜测者的基本思路，得到一个一般步骤，而这个步骤就是一个算法。
结合具体问题，模仿算法步骤，写出将自然数分解成素因数乘积的算法和求两个自然数的最大公因数的算法，从而体会算法的基本思想，了解算法的含义。
3．情感态度与价值观：通过本节的学习，使学生对算法的思想有一个初步的认识,体会算法的基本思想——程序化思想，在归纳概括中培养学生的逻辑思维能力，从而进一步体会算法与现实世界的密切关系。
二、教学重点与难点：重点：体会算法的思想，了解算法的含义； 难点：能够用语言来叙述算法。
三、学法与教法：学法：学生通过对具体问题的感受，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，从而更好地完成本节课的教学目标。
教法：探究讨论法。
四、教学过程（一）、创设情景章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”。
算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。
但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。
如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。
菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。
在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。
(古代的计算工具：算筹与算盘. 20世纪最伟大的发明：计算机，计算机是强大的实现各种算法的工具。
高中数学算法初步教案北师大版
高中数学第二章算法初步教案北师大版必修3整体设计教学分析前面学习了算法、算法框图与几种算法语句，本节课作为本章的小结，旨在和学生一路站在全章的高度，以算法思想为灵魂，以问题解决为主线，以典型例题为操作平台，以巩固知识、发展能力、提高素养为目的对本章作全面的温习总结，帮忙学生进一步提高对算法的理解和熟悉，优化知识结构．三维目标1．对本章知识形成知识网络，提高学生的逻辑思维能力，培育学生的归纳能力．2．熟练应用算法、算法框图与大体算法语句来解决问题，培育学生的分析问题和解决问题的能力，慢慢学会用数学方式去熟悉世界、改造世界．重点难点教学重点：应用算法、算法框图与大体算法语句解决问题．教学难点：形成知识网络．课时安排1课时教学过程导入新课思路1(情境导入)．大家都熟悉围棋高手“石佛”李昌镐吧，他曾经打遍天下无敌手．他的技术很全面，但他最厉害的技术是“官子”，他的“官子”层次分明，可以说滴水不漏，可谓世界第一．咱们的这次温习也要像围棋中的“官子”，也要做到层次分明滴水不漏．思路2(直接导入)．前面咱们学习了算法、算法框图与大体算法语句等内容，今天咱们对本章知识、方式、数学思想进行全面系统的总结与温习．推动新课新知探究提出问题1．请同窗们自己梳理本章知识结构．2．回顾算法的概念及特征．3．回忆算法框图的三种逻辑结构．4．总结算法语句．讨论结果：1.本章知识结构如图1.图12．算法的概念：广义的算法是指完成某项工作的方式和步骤，那么咱们可以说洗衣机的利用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法，等等．在数学中，算法一般是指依照必然规则解决某一类问题的明确有限的步骤．此刻，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．算法的特征：(1)肯定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”．“不重”是指不是可有可无的、乃至无用的步骤，“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务．(2)逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣、分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续．(3)有穷性：算法要有明确的开始和结束，当抵达终止步骤时所要解决的问题必需有明确的结果，也就是说必需在有限步内完成任务，不能无穷制的持续进行．3．顺序结构、选择结构、循环结构． 4．(1)条件语句：If 条件 Then 语句1Else 语句2End If当计算机执行上述语句时，首先对If 后边的条件进行判断，若是知足条件，那么执行语句1，再执行End If 以后的语句即结束条件语句；若是不知足条件，那么执行语句2，再执行End If 以后的语句即结束条件语句．(2)For 语句：For 循环变量＝初始值 To 终值 循环体NextFor 语句适用于预先知道循环次数的循环结构． (3)Do Loop 语句： Do循环体Loop While 条件为真Do Loop 语句适用于预先不知道循环次数的循环结构． 应用示例例1 如图2所示，该语句运行后输出的结果为__________．图2解：该算法框图的运行进程是： A ＝1 S ＝1S ＝1＋9＝10 A ＝1＋1＝2 A ＞2不成立 S ＝10＋9＝19 A ＝2＋1＝3 A ＝3＞2成立 输出S ＝19 答案：19点评：解决同一个问题，可以有多种算法，那么就有多种算法框图和语句，再就是不同版本的教科书算法语句的语言形式也不相同，因此高考试题中通常不会考查画算法框图或编写程序．由于学习本章的目的是体会算法的思想，所以已知算法框图或语句，判断其结果是高考考查本章知识的主要形式，这也是课程标准和考试说明对本章的要求．其判断方式是具体运行所给的算法框图或程序，即可取得算法的结果. 变式训练1．给出语句，那么其功能是__________．i ＝2 sum ＝0 Dosum ＝sum ＋i i ＝i ＋2Loop While i ＜100 输出sum答案：计算2＋4＋6＋…＋98的值 2．下列语句的功能是__________S ＝0 k ＝1 DoS ＝S ＋1/k k ＝k ＋1Loop While k≤100 输出S答案：求1＋12＋13＋…＋1100的值例2已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤－1，log 3x ＋1，－1<x <2，x 4，x ≥2，试设计一个算法，输入x 的值，求对应的函数值．分析：对输入x 的值与－1和2比较大小，即分类讨论． 解：算法如下： 1．输入x 的值．2．当x ≤－1时，计算y ＝2x－1，不然执行下一步．3．当x ≥2时，计算y ＝x 4，不然执行下一步． 4．计算y ＝log 3(x ＋1)． 5．输出y .点评：分段函数是高考考查的重点，在考虑算法步骤时，要用到分类讨论思想，这为温习算法框图和算法语句打好了基础. 变式训练给出下列算法： 1．输入x 的值．2．当x ≤－2时，计算y ＝－x －2，不然执行下一步． 3．当x ≥0时，计算y ＝x ＋1，不然执行下一步． 4．计算y ＝3. 5．输出y .该算法的功能是__________．答案：已知函数y ＝⎩⎨⎧－x －2，x ≤－2，3，－2<x <0，x ＋1，x ≥0，输入x 的值，求对应的函数值例3 图3是表示求解方程x2－(a＋1)x＋a＝0(a∈R，a是常数)进程的算法框图．请在标有序号(1)(2)(3)(4)处填上你以为适合的内容将框图补充完整．(1)__________；(2)____________；(3)__________；(4)__________．图3分析：观察算法框图可知，所解方程是一元二次方程，先计算判别式Δ＝(a＋1)2－4a ＝(a－1)2，所以(1)处填(a－1)2；计算判别式Δ的大小后，再判断其符号，由于Δ＝(a－1)2，则只需判断a是不是等于1即可，则(2)有两种填法a＝1或a≠1，当(2)处填a＝1时，(3)处填x1＝x2＝1，(4)处填x1＝a，x2＝1；当(2)处填a≠1时，(3)处填x1＝a，x2＝1，(4)处填x1＝x2＝1.答案：(1)(a－1)2(2)a＝1 (3)x1＝x2＝1 (4)x1＝a，x2＝1或(1)(a－1)2(2)a≠1 (3)x1＝a，x2＝1 (4)x1＝x2＝1点评：用适合的内容补充完整框图是高考考查的重点，尤其是选择结构和循环结构不仅是考查的重点，也是这种问题的难点，应重点训练．知能训练1．图4中算法框图表示的语句所输出的结果是( )．图4A．11 B．12 C．132 D．1 320分析：该语句算法框图的运行进程是：i＝12S＝1i＝12≥10成立S＝1×12＝12i＝12－1＝11i＝11≥10成立S＝12×11＝132i＝11－1＝10i＝10≥10成立S＝132×10＝1 320i＝10－1＝9i＝9≥10不成立输出S＝1 320答案：D2．给出下面的语句： 输入m ，n Dor ＝m MOD n m ＝n n ＝rLoop While r≠0输出m当输入168,72时，输出的结果是( )． A ．168 B ．72 C ．36 D ．24 答案：D 拓展提升数学的美是令人惊异的！如三位数153，它知足153＝13＋53＋33，即这个整数等于它列位上的数字的立方的和，咱们称这样的数为“水仙花数”．请您设计一个算法，找出大于100，小于1 000的所有“水仙花数”．(1)用自然语言写出算法； (2)画出算法框图．分析：由于需要判断大于100，小于1 000的整数是不是知足等于它列位上的数字的立方的和，所以需要用循环结构．解：(1)算法步骤如下： 1．i ＝101；2．若是i不大于999，则执行第3步，不然算法结束；3．若这个数i 等于它列位上的数字的立方的和，则输出这个数； 4．i ＝i ＋1，返回第2步． (2)算法框图，如图5所示．图5课堂小结(1)温习有关算法步骤、算法框图、算法语句的重点题型． (2)总结有关算法步骤、算法框图、算法语句的思想方式． 作业温习参考题二 A 组 5,6.设计感想本节通过引入强调进行小结的重要性，通过大量生动活泼的例题对本章进行系统的总结，通过出色的点评渗透算法的大体思想，使学生的知识取得进一步巩固，使学生的思想方式不断升华．备课资料人机大战的启迪人类的许多进步之所以产生，多半是发明了一个更好、更有力的工具．物质工具使工作速度加速并令人们从重体力劳动中摆脱出来，而信息工具则扩大人们的智力．物质工具如犁、起重机、推土机、内燃机、电动机等，是人的四肢的延伸，而计算机是人的大脑的延伸．它最初只能进行数值计算，但随着其发展，应用范围不断扩大．它不仅能够进行计算，还能进行记忆、判断、推理、设计、控制、自动化处置等．一句话，只如果能输入计算机里的信息，它都能依照人的要求对信息进行迅速而圆满的处置．因此，计算机也被称为电脑．在短短十几年的时间里，咱们经历了计算机深切生活每一个角落的进程，深深感受到了计算机多方面的壮大的功能．其中，国际象棋大师卡斯帕罗夫与IBM“深蓝”的人机大战的结果曾引发世人注视和激烈讨论，留下了有关计算机与人的关系的各种思考．1989年，美国IBM公司成立了“深蓝”(Deep Blue)项目小组，开始着手研究有关计算机下棋方面的技术，其实就是设计下棋的算法．其目的是证明它具有能够处置复杂博弈模式的能力，而真正的用意是，以此作为一个模型，将并行技术深切到其他各类复杂应用领域.1988年，“深蓝”的前身“沉思”(Deep Thought)在华裔科学家许峰雄等人的开发下，已经具有与人进行国际象棋比赛的能力．“深蓝”在开始设计时就以超越“沉思”为目的，特别在运算速度与处置能力部份．通过不断的尽力，1996年2月，现今最优秀的国际象棋棋手、世界冠军卡斯帕罗夫与“深蓝”计算机展开了第一次真正的比赛．比赛为六局对抗赛．虽然卡斯帕罗夫最终以4∶2的比分取胜，但今天计算机所达到的能力，也实在让全世界吃了一惊．尤其是第一局，“深蓝”以获胜来了个“开门红”．卡斯帕罗夫在赛后承认，“深蓝”是必需认真对待的强敌，他说：“我没有料到它如此难以对付，我输掉第一局超级幸运，因为那是给我发出的最严重警告．”由于卡斯帕罗夫战胜“深蓝”，他预言：“在严肃、经典的比赛中，计算机在本世纪没有赢棋的机缘．”但是，卡斯帕罗夫对计算机技术的飞速发展估量错了．仅仅一年后，“深蓝”就战胜了这位大师.1997年5月人机大战重开．前五局战平，5月11日第六局决胜局的比赛，卡斯帕罗夫仅走了19步便向“深蓝”认输．“深蓝”重达吨，拥有32个节点，每一节点有8块专门为进行国际象棋对弈设计的处置器，从而拥有每秒运算超过2亿步的惊人速度．为了使“深蓝”能拥有更多的资源计划棋步，开发小组聚集了一个开放棋局的数据库，输入了100年来世界顶级棋手的棋局，另外还有残局数据库，即最后五步时的走法，形成了聚集10亿个棋局的数据库．自1996年在输给卡斯帕罗夫以后，美国特级大师本杰明加盟“深蓝”，将他对象棋的理解编成语句输入“深蓝”，且在1997年的比赛中，每场对局结束后，小组都会按照卡斯帕罗夫的情况相应地修改特定的参数．“深蓝”在比赛中，不会倦怠、不会有心理和情绪上的起伏，只是若无其事地进行高速准确的运算．因此，卡斯帕罗夫的对手并非是“深蓝”主机，而是一群人如何运用电脑的硬、软件来向一个人的智慧和反映挑战．电脑的胜利说究竟是人脑的胜利．可是“深蓝”的这次胜利，毕竟标志着计算机技术又上了一个新台阶，更准确地说，这次“深蓝”胜利，是人脑通过电脑胜过人脑．它也反过来让人们思考，什么是思维的本质？它第一次让人类如此真切地感受到了电脑与人的相异却又能够与人对抗的能力，这种力量还会从人们此后的尽力中取得滋养从而不断壮大．有人曾将人机大战称为捍卫人类尊严的比赛，这次“深蓝”获胜，绝不意味人类的尊严丧失殆尽．许峰雄博士说得好：“棋王卡斯帕罗夫的胜利是为人类的过去赢了一盘棋；今年，‘深蓝’胜卡斯帕罗夫，是为人类的未来赢了一盘棋．”另外，深具意义的是，“深蓝”证明了人类的极限．超越人类的极限是一件很大的事情，人类就是在不断超越自己的极限中而进步的．。
高中数学北师大版必修3第二章《算法初步》(算法的基本思想)word教案
算法的基本思想一、教学内容：新课程高中数学（北师大版）必修3第二章《算法初步》第一节：算法的基本思想。
二、教学目标：1、通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义及其基本特征；2、通过分析具体问题，抽象出算法的过程，培养抽象概括能力、语言表达能力和逻辑思维能力；3、通过算法的学习，进一步让学生体验到数学与现实世界的关系、数学与计算机技术的关系、提高学生学习数学的兴趣。
三、教学重点：1、了解算法的含义及其基本特征；2、掌握算法的表示形式。
四、教学难点：算法的表示形式。
五、教学方法：任务驱动法。
六、教学过程：（一）情景导入：在与学生的寒暄中引入今天的课题，并让学生来猜猜老师衣服的价格，提出问题：“怎样才能在有限的次数范围内猜中衣服的价格呢？”师：采用对半价格区间去猜数比较合理，在数学上我们称这种方法为“二分法”下节课我们要重点学习这种方法的应用。
师：可见我们在处理一个问题时，若是有一个好的指导思想，我们在具体行动中就不会显得很盲目，按照既定的策略，在有限的步骤内就可以达到目的。
今天我们这节课的课题就是研究有关解决问题的基本思想方法，在数学上，我们称之为“算法”。
这里的“算法”不是指狭义上的计算方法，而是广义范围内一切解决问题的思想方法。
下面我们再通过几个实例来体会一下算法的基本思想及其算法具有哪些特征。
（二）新课：师：我们先看一下书上的例子例：请设计算法，将936分解成素因素的乘积。
师：请同学们在最短的时间内分解好，提问。
=⨯⨯⨯⨯⨯生：9362223313师：请用语言描述你的思路过程。
若是学生很难用语言描述，老师要及时引导。
解：算法步骤如下：1. 判断936是否为素数：否=⨯2. 确定936的最小素因数：2. 93624683. 判断468是否为素数：否=⨯⨯4. 确定468的最小素因数：2. 936222345. 判断234是否为素数：否=⨯⨯⨯6. 确定234的最小素因数：2. 9362221177. 判断117是否为素数：否=⨯⨯⨯⨯8. 确定234的最小素因数：3. 9362223399. 判断39是否为素数：否=⨯⨯⨯⨯⨯10.确定234的最小素因数：3. 936222331311. 判断13是否为素数：是素数,分解结束 .师：以上就是分解素因数的一个算法，其实算法就是解决问题的一系列步骤，依照这些步骤，按部就班就可以完成任务。
数学北师大版必修3教案： 第二章算法初步2.1 含解析
§2 算法的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构整体设计教学分析用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.流程图用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚、步骤更直观也更精确.为了更好地学习流程图，我们需要掌握程序框的功能和作用，需要熟练掌握三种基本逻辑结构.三维目标1.熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.2.通过模仿、操作、探索，经历通过设计流程图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中，理解流程图的三种基本逻辑结构：顺序结构、选择结构、循环结构.3.通过比较体会流程图的直观性、准确性.重点难点教学重点：流程图的画法.教学难点：流程图的画法.课时安排2课时教学过程第1课时顺序结构导入新课思路1（情境导入）.我们都喜欢外出旅游，优美的风景美不胜收，如果迷了路就不好玩了，问路有时还听不明白，真是急死人，有的同学说买张旅游图不就好了吗，所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来直观、准确，本节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天我们开始学习流程图.思路2（直接导入）.用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学习流程图.推进新课新知探究提出问题（1）什么是流程图？（2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能.（3）说出输入、输出框的图形符号与功能.（4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能.（5）说出判断框的图形符号与功能.（6）说出流程线的图形符号与功能.（7）说出连接点的图形符号与功能.（8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能.（9）什么是顺序结构？讨论结果：（1）流程图又称程序框图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.在流程图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序. （2）椭圆形框：表示程序的开始和结束，称为终端框（起止框）.表示开始时只有一个出口；表示结束时只有一个入口. （3）平行四边形框：表示一个算法输入和输出的信息,又称为输入、输出框，它有一个入口和一个出口. （4）矩形框：表示计算、赋值等处理操作，又称为处理框（执行框），它有一个入口和一个出口. （5）菱形框：是用来判断给出的条件是否成立，根据判断结果来决定程序的流向，称为判断框，它有一个入口和两个出口. （6）流程线：表示程序的流向.（7）圆圈：连接点.表示相关两框的连接处，圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起.(9)很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构.顺序结构对应的流程图,如图1所示：图1应用示例例1 尺规作图,确定线段AB 一个5等分点.分析：确定线段AB 的5等分点,是指在线段AB 上确定一点M,使得AM=51AB.同学们都熟悉解决这个问题的方法：第一,从A 点出发作一条与原直线不重合的射线;第二,任取射线上一点C,并在射线上作线段AD,使AD=5AC;第三,连接DB,并过C 点作BD 的平行线交AB 于M,M 就是要找的5等分点. 这个过程也需要一步一步来实现.作法：作图步骤如下：1.如图2,从已知线段的左端点A 出发,作一条射线AP;图22.在射线上任取一点C,得线段AC;3.在射线上作线段CE=AC;4.在射线上作线段EF=AC;5.在射线上作线段FG=AC;6.在射线上作线段GD=AC,那么线段AD=5AC;7.连接DB;8.过C 作BD 的平行线,交线段AB 于M,这样点M 就是线段AB 的一个5等分点. 这个实现过程可以用图3来表示.图3点评：通常,为了使算法结构更加清晰,可借助图来帮助描述算法.图的特点是直观、清楚,便于检查和交流.顺序结构的图见图4.通常,像这样的图叫作流程图.图4例2 已知一个三角形三条边的边长分别为a ，b ，c ，利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法，并画出流程图.（已知三角形三边边长分别为a,b,c ，则三角形的面积为S=))()((c p b p a p p ---，其中p=2cb a ++.这个公式被称为海伦—秦九韶公式） 算法分析：只需先算出p 的值，再将它代入分式，最后输出结果.因此只用顺序结构应能表达出算法.算法步骤如下：1.输入三角形三条边的边长a,b,c.2.计算p=2cb a ++. 3.计算S=))()((c p b p a p p ---.4.输出S. 流程图如下：图5点评：很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是最简单的逻辑结构，它是任何一个算法都离不开的基本结构. 变式训练下图所示的是一个算法的流程图，已知a 1=3，输出的b=7,求a 2的值.图6解：根据题意221a a +=7, ∵a 1=3,∴a 2=11, 即a 2的值为11. 知能训练写出通过尺轨作图确定线段AB 的一个5等分点的流程图. 解：利用我们学过的顺序结构得流程图如下：图7点评：这个算法步骤具有一般性，对于任意自然数n ，都可以按照这个算法的思想，设计出确定线段的n 等分点的步骤解决问题，通过本题学习可以巩固顺序结构的应用. 拓展提升如下给出的是计算101614121++++ 的值的一个流程图，其中处理框内应填入的是___________.图8答案：S=S+101课堂小结1.掌握流程图的画法和功能.2.掌握顺序结构的应用，并能解决与顺序结构有关的流程图的画法. 作业习题2—2 A 组 1.设计感想首先，本节的引入新颖独特，旅游图的故事阐明了学习流程图的意义.通过丰富有趣的事例让学生了解了什么是流程图，进而激发学生学习流程图的兴趣.本节设计题目难度适中，逐步把学生带入知识的殿堂，是一节好的课例.(设计者：张新军)第2课时选择结构导入新课思路1（情境导入）.我们以前听过这样一个故事，野兽与鸟发生了一场战争，蝙蝠来了，野兽们喊道：你有牙齿是我们一伙的，鸟们喊道：你有翅膀是我们一伙的，蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法，如果野兽赢了，就加入野兽这一伙，否则加入另一伙，事实上蝙蝠用了分类讨论思想，在算法和流程图中也经常用到这一思想方法，今天我们开始学习新的逻辑结构——选择结构.思路2（直接导入）.前面我们学习了顺序结构，顺序结构像是一条没有分支的河流，奔流到海不复回，事实上多数河流是有分支的，今天我们开始学习有分支的逻辑结构——选择结构. 推进新课新知探究提出问题（1）举例说明什么是分类讨论思想？（2）什么是条件结构？（3）试用流程图表示条件结构.讨论结果：（1）例如解不等式ax>8(a≠0),不等式两边需要同除a,需要明确知道a的符号，但条件没有给出，因此需要进行分类讨论，这就是分类讨论思想.（2）在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.选择结构就是处理这种过程的结构.（3）用流程图表示条件结构如下.选择结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称为选择结构（或分支结构），如图1所示.执行过程如下：条件成立，则执行A框；不成立，则执行B框.图1注：无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行.应用示例例1 通常说一年有365天,它表示地球围绕太阳转一周所需要的时间,但事实并不是这样简单.根据天文资料,地球围绕太阳转一周所需要的精确时间是365.242 2天,称之为天文年.这个误差看似不大,却引起季节和日历之间难以预料的大变动.在历法上规定四年一闰,百年少一闰,每四百年又加一闰.如何判断某一年是不是闰年呢?请设计一个算法,解决这个问题,并用流程图描述这个算法.分析：设y为年份,按照历法的规定,如果y为闰年,那么或者y能被4整除不能被100整除,或者y能被400整除.对于给定的年份y,要确定它是否为闰年,需要进行判断,判断的结果决定后面的步骤,像这样的结构通常称作选择结构.选择结构的算法流程图可以用图2来表示.图2解：算法步骤如下：1.若y不能被4整除,则输出“y不是闰年”.2.若y能被4整除，则判断y是否能被100整除：(1)若y不能被100整除,则输出“y是闰年”;(2)若y能被100整除，则判断y是否能被400整除；①若y能被400整除，则输出“y是闰年”;②若y不能被400整除，则输出“y不是闰年”.这个算法的流程图如下：图3变式训练任意给定3个正实数,设计一个算法,判断以这3个正实数为三边边长的三角形是否存在,并画出这个算法的流程图.算法分析：判断以3个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在,只需验证这3个数中任意两个数的和是否大于第3个数.这个验证需要用到条件结构.算法步骤如下：1.输入3个正实数a,b,c.2.判断a+b>c,b+c>a,c+a>b是否同时成立.若是,则存在这样的三角形;否则,不存在这样的三角形.流程图如图4：图4点评：根据构成三角形的条件，判断是否满足任意两边之和大于第三边，如果满足则存在这样的三角形，如果不满足则不存在这样的三角形.这种分类讨论思想是高中的重点，在画流程图时，常常遇到需要讨论的问题，这时要用到选择结构.例2 设计一个求解一元二次方程ax 2+bx+c=0的算法，并画出流程图表示. 算法分析：我们知道，若判别式Δ=b 2-4ac>0，则原方程有两个不相等的实数根 x 1=a b 2∆+-,x 2=ab 2∆--； 若Δ=0，则原方程有两个相等的实数根x 1=x 2=－ab2; 若Δ<0，则原方程没有实数根.也就是说，在求解方程之前，可以先判断判别式的符号，根据判断的结果执行不同的步骤，这个过程可以用条件结构实现.又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算x 1和x 2之前，先计算p=a b 2-，q=a2∆. 解决这一问题的算法步骤如下： 1.输入3个系数a ，b ，c. 2.计算Δ=b 2-4ac.3.判断Δ≥0是否成立.若是，则计算p=a b 2-，q=a2∆；否则，输出“方程没有实数根”，结束算法.4.判断Δ=0是否成立.若是，则输出x 1=x 2=p ；否则，计算x 1=p+q ，x 2=p-q ，并输出x 1，x 2. 流程图如下：图5例3 设计算法判断一元二次方程ax 2+bx+c=0是否有实数根，并画出相应的流程图. 解：算法步骤如下：1.输入3个系数：a ，b ，c.2.计算Δ=b 2-4ac.3.判断Δ≥0是否成立.若是，则输出“方程有实根”；否则，输出“方程无实根”.结束算法. 相应的流程图如下：图6点评：根据一元二次方程的意义，需要计算判别式Δ=b 2－4ac 的值.再分成两种情况处理：（1）当Δ≥0时，一元二次方程有实数根；（2）当Δ＜0时，一元二次方程无实数根.该问题实际上是一个分类讨论问题，根据一元二次方程系数的不同情况，最后结果就不同.因而当给出一个一元二次方程时，必须先确定判别式的值，然后再用判别式的值的取值情况确定方程是否有解.该例仅用顺序结构是办不到的，要对判别式的值进行判断，需要用到条件结构. 变式训练设计算法，求ax+b=0的解，并画出流程图.解：对于方程ax+b=0来讲，应该分情况讨论方程的解.我们要对一次项系数a 和常数项b 的取值情况进行分类，分类如下： （1）当a≠0时，方程有唯一的实数解是ab -； （2）当a=0，b=0时，全体实数都是方程的解； （3）当a=0，b≠0时，方程无解.联想数学中的分类讨论的处理方式，可得如下算法步骤： 1.判断a≠0是否成立.若成立，输出结果“解为ab -”. 2.判断a=0，b=0是否同时成立.若成立，输出结果“解集为R ”.3.判断a=0，b≠0是否同时成立.若成立，输出结果“方程无解”，结束算法. 流程图如下：图7点评：这是选择结构叠加问题，选择结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”“条件2”“条件3”……都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作. 知能训练1.设计算法，找出输入的三个不相等实数a 、b 、c 中的最大值，并画出流程图. 解：算法步骤： 1.输入a ，b ，c 的值.2.判断a>b 是否成立，若成立，则执行第三步；否则执行第四步.3.判断a>c 是否成立，若成立，则输出a ，并结束；否则输出c ，并结束.4.判断b>c 是否成立，若成立，则输出b ，并结束；否则输出c ，并结束. 流程图如下：图82.“特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式.某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：f=⎩⎨⎧>⨯-+⨯≤.50,85.0)50(53.050,50,53.0ωωωω其中f （单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量（单位：千克）. 试画出计算费用f 的流程图.分析：这是一个实际问题，根据数学模型可知，求费用f 的计算公式随物品重量ω的变化而有所不同，因此计算时先看物品的重量，在不同的条件下，执行不同的指令，这是选择结构的运用，是二分支选择结构. 其中，物品的重量通过输入的方式给出.解：算法流程图如下图.图9拓展提升有一城市，市区为半径为15 km 的圆形区域，近郊区为距中心15—25 km 的范围内的环形地带，距中心25 km 以外的为远郊区，如图10所示.市区地价每公顷100万元，近郊区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元，输入某一点的坐标为(x,y)，求该点的地价,并画出流程图.图10分析：由该点坐标(x ，y)，求其与市中心的距离r=22y x +，确定是市区、近郊区，还是远郊区，进而确定地价p.由题意知，p=⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤<.25,20,2515,60,150,100r r r解：流程图如下：图11课堂小结1.理解选择结构的特点.2.能用学过的选择结构解决常见的算法问题.作业习题2—2 A组 3.设计感想本节采用引人入胜的方法引入正课，选用的例题难度适中，有的经典实用，有的新颖独特，每个例题都是很好的素材.选择结构是逻辑结构的核心，是培养学生逻辑推理的好素材，本节设计符合新课标精神，难度设计略高于教材.(设计者：刘菲)。
北师大版高中必修3第二章算法初步教学设计
北师大版高中必修3第二章算法初步教学设计教学目标本章节的教学目标包括：•了解算法的基本概念；•掌握算法的分类及特点；•掌握冒泡排序、选择排序、插入排序等基本排序算法的实现方法；•能够分析算法的时间复杂度及其影响因素；•应用所学算法解决问题。
教学内容1.算法基础•什么是算法？•算法的基本特点及分类。
2.排序算法•冒泡排序；•选择排序；•插入排序。
3.算法分析•时间复杂度；•算法效率分析；•研究算法时间复杂度的影响因素。
4.算法的应用•用算法解决实际问题。
教学方法本章节主要采用讲授、演示、练习相结合的教学方法，具体如下：1.讲授方法通过PPT、白板等介绍算法概念、原理及分类等知识点。
2.演示方法通过示例展示排序算法的具体实现过程，让学生了解算法的具体操作过程，掌握算法的实际应用。
3.练习方法通过编写实际代码练习算法，培养学生分析算法、解决问题的能力。
教学重点1.掌握算法的基本概念；2.掌握基本排序算法的实现方法；3.掌握算法分析方法。
教学难点1.算法的应用；2.算法时间复杂度及其影响因素分析。
教学评价1.能够解释算法的基本概念；2.能够编写冒泡排序、选择排序、插入排序等基本排序算法；3.能够分析算法的时间复杂度及其影响因素；4.能够应用所学算法解决实际问题。
教学计划课时教学内容教学方式学时1 算法基础讲授 12-3 冒泡排序、选择排序、插入排序的实现方法演示 24 算法分析讲授 15-6 算法分析的实践练习 27-8 算法的应用讲授 2 总结本章教学主要涉及算法基础、排序算法实现、算法分析及应用等方面。
通过讲授、演示和练习相结合的方式，让学生从理论到实践，从表面到深层次地理解和掌握算法的基本知识和实际应用，为学生今后深入学习计算机科学奠定了坚实的基础。
高中数学 第二章 算法初步 2.1 算法的基本思想教案 北师大版必修3
第二章算法初步算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础．随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并融入社会生活的方方面面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养．需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想．在这一章中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验算法框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计算法框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力．算法作为新名词，在以前的数学教科书中没有出现过，但是算法本身，同学们并不陌生．解方程的算法、解不等式的算法、因式分解的算法，都是同学们熟知的内容．只是算法的基本思想、特点，学习算法的必要性等问题没有专门涉及．因此，本章中的算法的基本思想，将针对同学们熟悉的一些问题，分析解决这些具体问题的算理，整理出相应问题的解决步骤，然后抽象概括出更具一般意义的算法．通过这个过程，让学生体会算法的程序化思想．同时，针对同样的问题，我们给出不同的算法，让同学们意识到：同一个问题可能存在着多种算法，算法之间有优劣之分．接下来，通过求方程近似解，让同学们意识到学习算法的必要性——将问题的解决过程即算法交给计算机完成，能够极大地提高效率．接下来，介绍算法的基本结构．顺序结构和选择结构是学生比较容易接受的，循环结构则比较难以理解．分析造成理解困难的原因之一是变量以及对变量的处理——赋值．在循环结构的学习中，总结了循环结构的三个要素——循环变量、循环体和循环的终止条件，并提供了可供学生模仿、操作的算法算法框图．排序算法可以说是应用最广泛的算法了，而且又易于理解，便于接受，是算法教学的良好素材．教科书选择这个问题作为专题来讨论，给学生提供了一个完整的分析、设计算法的过程，也给了学生一个应用前面所学的关于变量和结构的知识的机会．在前面的学习中，我们分别用自然语言和算法框图来描述算法，这两种方式各有优缺点．要将算法最终交给计算机执行，需要用程序语言来表述算法，程序语言有很多种，但是有一些基本语句是这些语言都要用到的：输入输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，在本章的最后介绍了这几种基本语句．值得注意的是：1．注重对算法基本思想的理解．算法是高中数学课程中的新内容，其思想非常重要，但并不神秘．例如，运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程本质上就是算法．本模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系，形式化地表示算法，在条件允许的学校，使其能在计算机上实现．为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成算法框图；为了能在计算机上实现，还需要将自然语言或算法框图翻译成计算机语言．本模块的主要目的是使学生体会算法的思想，提高逻辑思维能力．不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计．2．算法教学必须通过实例进行．使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句．有条件的学校，应鼓励学生上机尝试运行程序．在实例的选择中，我们要把握这样一些原则：亲和原则：选取的例子要贴近学生，或者来自学生的生活实践，或者是学生所学过的数学知识．趣味性原则：选取的实例一般要有丰富的背景，本身要有趣味性．基础性原则：问题本身的算理并不难，只要蕴涵丰富的算法思想即可．可操作性原则：所选取问题的算法一般能在计算机上实现．3.算法教学要注意循序渐进，先具体再抽象，先了解算理，再描述算法．通常，我们说一个算法越是抽象，有一般意义，应用就越广泛，越能体现算法本身的应用价值．但是，作为教学意义上的算法则不同，一定要从具体问题出发分析算法的算理及算法步骤，然后抽象概括出一般意义的算法，画出算法算法框图，并在这个过程中，学习使用变量、赋值，学习更好地表述算法，以便在计算机上操作执行．算法的教学中，变量的理解、赋值的应用、循环结构的理解是重点和难点，教师要注意分散这些难点．学生对算法思想的认识、概念的把握、知识的灵活应用及能力的形成不是一次完成的，而是要把这些作为教学目标渗透在整章的学习中．整体设计教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但其没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“算法是解决某一类问题的步骤和程序．”为了让学生更好地理解这一概念，教科书用5个例子来说明算法的实质．教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固．三维目标1．正确理解算法的概念，掌握算法的基本特点．2．通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路．3．通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：算法的含义及应用．教学难点：写出解决一类问题的算法．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊．此人如何将动物完好地转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法．思路 2.大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念．思路 3.算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算科学的重要基础．在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具．如听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据都能通过计算机实现，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．推进新课新知探究提出问题1．解二元一次方程组有几种方法？2．结合实例⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1，② 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤．3．结合实例⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1，② 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤．4．请写出解一般二元一次方程组的步骤．5．根据上述实例谈谈你对算法的理解．6．请同学们总结算法的特征．7．请思考我们学习算法的意义．讨论结果：1．代入消元法和加减消元法．2．回顾二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1②的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：第一步，①＋②×2，得5x ＝1.③第二步，解③，得x ＝15.第三步，②－①×2，得5y ＝3.④第四步，解④，得y ＝35.第五步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝35.3．用代入消元法解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1，②我们可以归纳出以下步骤：第一步，由①得x ＝2y －1.③第二步，把③代入②，得2(2y －1)＋y ＝1.④第三步，解④得y ＝35.⑤第四步，把⑤代入③，得x ＝2×35－1＝15.第五步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝35.4．对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2， ①②其中a 1b 2－a 2b 1≠0，可以写出类似的求解步骤：第一步，①×b 2－②×b 1，得(a 1b 2－a 2b 1)x ＝b 2c 1－b 1c 2.③第二步，解③，得x ＝b 2c 1－b 1c 2a 1b 2－a 2b 1. 第三步，②×a 1－①×a 2，得(a 1b 2－a 2b 1)y ＝a 1c 2－a 2c 1.④第四步，解④，得y ＝a 1c 2－a 2c 1a 1b 2－a 2b 1. 第五步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝b 2c 1－b 1c 2a 1b 2－a 2b 1，y ＝a 1c 2－a 2c 1a 1b 2－a 2b 1.5．算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法，等等．在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤．现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．6．算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”．“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务．②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续．③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行．7．在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法．也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法．算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果．因此算法是计算科学的重要基础．应用示例思路11在给定素数表的条件下，设计算法，将936分解成素因数的乘积．(4 000以内的素数表见教科书附录1)分析：1.查表判断936是否为素数：(1)如果936是素数，则分解结束；(2)如果936不是素数，则进行第2步．2．确定936的最小素因数：2. 936＝2×468.3．查表判断468是否为素数：(1)如果468是素数，则分解结束；(2)如果468不是素数，则重复上述步骤，确定468的最小素因数．重复进行上述步骤，直到找出936的所有素因数．解：算法步骤如下：1．判断936是否为素数：否．2．确定936的最小素因数：2. 936＝2×468.3．判断468是否为素数：否．4．确定468的最小素因数：2. 936＝2×2×234.5．判断234是否为素数：否．6．确定234的最小素因数：2 936＝2×2×2×117.7．判断117是否为素数：否．8．确定117的最小素因数：3. 936＝2×2×2×3×39.9．判断39是否为素数：否．10．确定39的最小素因数：3. 936＝2×2×2×3×3×13.11．判断13是否为素数：13是素数，所以分解结束．分解结果是936＝2×2×2×3×3×13.点评：以上步骤是解决素因数分解问题的一个过程，只要依照这一系列步骤，都能解决这个问题．我们把这一系列步骤称为解决这个问题的一个算法.变式训练设计一个算法，求840与1 764的最大公因数．分析：我们已经学习了对自然数进行素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的．解答这个问题需要按以下思路进行．首先，对两个数分别进行素因数分解：840＝23×3×5×7， 1 764＝22×32×72.其次，确定两数的公共素因数：2,3,7.接着，确定公共素因数的指数：对于公共素因数2,22是1 764的因数，23是840的因数，因此22是这两个数的公因数，这样就确定了公共素因数2的指数为2.同样，可以确定出公因数3和7的指数均为1.这样，就确定了840与1 764的最大公因数为22×31×71＝84.解：算法步骤如下：1．先将840进行素因数分解：840＝23×3×5×7；2．然后将1 764进行素因数分解：1 764＝22×32×72；3．确定它们的公共素因数：2,3,7；4．确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1；5．最大公因数为22×31×71＝84.例2 一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元．你能用天平(不用砝码)将假银元找出来吗？分析：最容易想到的解决这个问题的一种方法是：把9枚银元按顺序排成一列，先称前2枚，若不平衡，则可找出假银元；若平衡，则2枚银元都是真的，再依次与剩下的银元比较，就能找出假银元．图1解：按照下列步骤，就能将假银元找出来：1．任取2枚银元分别放在天平的两边．如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第2步．2．取下右边的银元，放在一边，然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．这种算法最少要称1次，最多要称7次．是不是还有更好的办法，使得称量次数少一些？我们可以采用下面的方法：图21．把银元分成3组，每组3枚．2．先将两组分别放在天平的两边．如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里．3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．点评：经分析发现，后一种算法只需称量2次，这种做法要明显好于前一种做法．当然，这两种方法都具有一般性，同样适用于n枚银元的情形．这是信息论中的一个模型，可以帮助我们找出某些特殊信息．从上面的问题中可以看出，同一个问题可能存在着多种算法，其中一些可能要比另一些好．在实际问题和算法理论中，找出好的算法是一项重要的工作．思路2例1 (1)设计一个算法，判断7是否为质数；(2)设计一个算法，判断35是否为质数．分析：(1)根据质数的定义，可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．解：(1)①用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.②用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.③用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.④用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.⑤用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数．(2)类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：①用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.②用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.③用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.④用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数．点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1 997是否为质数就比较麻烦了，因此，我们需要寻找更实用的算法步骤.变式训练请写出判断n(n＞2)是否为质数的算法．分析：对于任意的整数n(n＞2)，若用i表示2～(n－1)中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i除n，得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，再执行同样的操作．这个操作一直要进行到i的值等于(n－1)为止．解：1.给定大于2的整数n.2．令i＝2.3．用i除n，得到余数r.4．判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．5．判断“i＞(n－1)”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第3步.例2 写出用“二分法”求方程x2－2＝0 (x＞0)的近似解的算法．分析：令f(x)＝x2－2，则方程x2－2＝0 (x＞0)的解就是函数f(x)的零点．“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间[a，b]〔满足f(a)·f(b)＜0〕“一分为二”，得到[a，m]和[m，b]．根据“f(a)·f(m)＜0”是否成立，取出零点所在的区间[a，m]或[m，b]，仍记为[a，b]．对所得的区间[a，b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a，b]“足够小”，则[a，b]内的数可以作为方程的近似解．解：1.令f(x)＝x2－2，给定精度d.2．确定区间[a，b]，满足f(a)·f(b)＜0.3．取区间中点m＝a＋b 2.4．若f(a)·f(m)＜0，则含零点的区间为[a，m]；否则，含零点的区间为[m，b]．将新得到的含零点的区间仍记为[a，b]．5．判断[a，b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步．当d近似解．实际上，上述步骤也是求2的近似解的一个算法．点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”．数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法．如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……变式训练求方程f(x)＝x3＋x2－1＝0在区间[0,1]上的近似解，精度为0.01.解：根据上述分析，可以通过下列步骤求得方程的近似解：1．因为f(0)＝－1，f(1)＝1，f(0)·f(1)＜0，则区间[0,1]为有解区间，精度1－0＝1＞0.01；2．取[0,1]的区间中点0.5；3．计算f(0.5)＝－0.625；4．由于f(0.5)·f(1)＜0，可得新的有解区间[0.5,1]，精度1－0.5＝0.5＞0.01；5．取[0.5,1]的区间中点0.75；6．计算f(0.75)＝－0.015 625；7．由于f(0.75)·f(1)＜0，可得新的有解区间[0.75,1]，精度1－0.75＝0.25＞0.01；……当得到新的有解区间[0.75,0.757 82]时，由于|0.757 82－0.75|＝0.007 82＜0.01，该区间精度已满足要求，所以取区间[0.75,0.757 82]的中点0.753 91，它是方程的一个近似解.例3 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊．此人如何将动物转移过河？请设计算法．分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中应尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势．解：具体算法如下：算法步骤：1．人带两只狼过河，并自己返回．2．人带一只狼过河，自己返回．3．人带两只羚羊过河，并带两只狼返回．4．人带一只羚羊过河，自己返回．5．人带两只狼过河．点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的．这就要求我们在写算法时应精练、简洁、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性．本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的问题经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使问题变得简单，而且可以提高工作效率.变式训练喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．如何安排这几个步骤？请给出两种算法，并加以比较．分析：本题主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题．解：算法一：1．洗刷水壶．2．烧水．3．洗刷茶具．4．沏茶．算法二：1．洗刷水壶．2．烧水，烧水的过程当中洗刷茶具．3．沏茶．上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学．点评：解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法.知能训练设计算法判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有实数根．解：算法步骤如下：1．输入一元二次方程的系数：a，b，c.2．计算Δ＝b2－4ac的值．3．判断Δ≥0是否成立．若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法．点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法，并且具有确定性、逻辑性、有穷性．拓展提升中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算．设通话时间为t (分钟)，通话费用为y (元)，如何设计一个程序，计算通话的费用？解：算法分析：数学模型实际上为y 关于t 的分段函数．关系式如下：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.22，0<t ≤3，0.22＋0.1t －3，t >3，t ∈Z ，0.22＋0.1[t －3]＋1，t >3，t ∉Z .其中[t －3]表示取不大于t －3的整数部分．算法步骤如下：1．输入通话时间t .2．如果t ≤3，那么y ＝ 0.22；否则判断t ∈Z 是否成立，若成立执行y ＝ 0.2＋0.1× (t －3)；否则执行y ＝ 0.2＋0.1×( [t －3]＋1)．3．输出通话费用y .课堂小结1．正确理解算法这一概念．2．结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法．作业课本本节练习1、练习2.设计感想本节的引入精彩独特，让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习．算法是本章的重点也是本章的基础，是一个较难理解的概念．为了让学生正确理解这一概念，本节设置了大量学生熟悉的事例，让学生仔细体会反复训练．本节的事例有古老的经典算法，也有几何算法等，因此这是一节很好的课例．备课资料备选习题中国古代有一个著名的算法案例：鸡兔49个头，100条腿往地里走，问鸡兔各多少？请写出计算鸡兔数的算法．分析：求解鸡兔的问题简单直观，却包含着深刻的算法思想．应用解二元一次方程组的方法来求解鸡兔同笼问题．解：算法如下：1．设有鸡x 只，兔y 只，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝49，2x ＋4y ＝100.①② 2．将方程组中的第一个方程两边乘以－2加到第二个方程中去，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝49，4－2y ＝100－49×2， 解得y ＝1.3．将y ＝1代入①，得x ＝48.因此鸡有48只，兔有1只．。
北师大版高中高二数学必修3《算法初步》教案及教学反思
北师大版高中高二数学必修3《算法初步》教案及教学反思一、教学内容概述本节课的教学内容为《算法初步》，是高中高二数学必修3的一部分。
主要包括算法的概念、常见算法的分类、算法的思路以及问题的解法。
学生需要掌握算法的基本概念，理解常见的算法分类，学会利用具体的案例来解决问题。
在本课的教学过程中，着重培养学生的算法思维能力和实际解决问题的能力。
二、教学目标1.掌握算法的基本概念和常见的算法分类。
2.了解算法在实际问题中的应用。
3.培养学生的算法思维能力。
4.提高学生的实际运用算法进行问题解决的能力。
三、教学过程1. 导入环节我首先通过一个简单的小问题导入本节课的内容：假设你要在电脑里存储一些数据，如何更好地进行数据管理？通过这个问题引导学生思考如何应用算法来进行数据管理。
然后我向学生介绍了本节课的教学内容：算法初步。
我解释了什么是算法以及算法的重要性。
在此基础上，我向学生介绍了常见的算法分类以及算法的思路。
2. 讲解及演示我通过PPT讲解了各种算法分类的特点、应用以及实现方法，并结合具体的案例进行演示。
在演示过程中，我让学生自己动手模拟数据来实践演算法。
通过实践操作，学生可以更深刻地理解算法的思路和应用。
同时，我也让学生分享自己对于算法的理解和应用经验，鼓励他们在实际操作中不断地思考和总结。
3. 练习及测试在演示和讲解完毕之后，我设置了一些练习题来巩固学生掌握的知识，并通过一些测试题来检验学生的学习成果。
测试题设置了多种不同难度的问题，包括选择题、填空题和解答题等，帮助学生更全面地掌握算法的基本概念和使用方法。
4. 总结最后，我通过一些问题来总结本节课所学的内容，以便学生回顾整个学习过程并让他们更加深刻地理解算法的重要性和应用。
同时，我还向学生介绍了如何在日常生活中进行算法思维的应用，鼓励他们发挥创造力、勇于努力，将所学应用到生活中去。
四、教学反思通过本节课的教学，我发现学生在算法的理解和应用方面存在一些困难。
高中数学 第二章 算法初步 2.1 算法的基本思想教案 北师大版必修3
第一节算法的基本思想本节教材分析一、三维目标1、知识与技能(1)通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义；(2)能够用语言叙述算法；(3)会写出将自然数分解成素因数乘积的算法；(4)会写出求两个自然数的最大公因数的算法和两个自然数的最小公倍数的算法．2．过程与方法通过对物品价格的猜测，体会猜测者的基本思路，得到一个一般步骤，而这个步骤就是一个算法．结合具体问题，模仿算法步骤，写出将自然数分解成素因数乘积的算法和求两个自然数的最大公因数的算法，从而体会算法的基本思想，了解算法的含义．3．情感态度与价值观通过本节的学习，使学生对算法的思想有一个初步的认识,体会算法的基本思想——程序化思想，在归纳概括中培养学生的逻辑思维能力，从而进一步体会算法与现实世界的密切关系．二、教学重点：算法的含义及应用．三、教学难点：写出解决一类问题的算法．四、教学建议算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤．”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法．教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固．新课导入设计导入一一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊．该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法．导入二大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念．导入三算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础．在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具．听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．【教学过程】1.情境导入：算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。
北师大版必修3高中数学第二章《算法初步》word教案
第二章算法初步§1算法的基本思想(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义；(2)能够用语言叙述算法；(3)会写出将自然数分解成素因数乘积的算法；(4)会写出求两个自然数的最大公因数的算法和两个自然数的最小公倍数的算法．2．过程与方法通过对物品价格的猜测，体会猜测者的基本思路，得到一个一般步骤，而这个步骤就是一个算法．结合具体问题，模仿算法步骤，写出将自然数分解成素因数乘积的算法和求两个自然数的最大公因数的算法，从而体会算法的基本思想，了解算法的含义．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对算法的思想有一个初步的认识，体会算法的基本思想——程序化思想，在归纳概括中培养学生的逻辑思维能力，从而进一步体会算法与现实世界的密切关系．●重点难点重点：体会算法的思想，了解算法的含义；难点：能够用语言来叙述算法．(教师用书独具)●教学建议学习是在原有知识的基础上，在新旧知识的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展．结合本节课的具体内容，采用启发式教学法，小组合作学习法，计算机辅助教学等教学法．本节课按照“提出问题—解决问题”的思路来设计教学程序，以学生为主体，在合作中学习和体会算法的基本思想，发展学生的创造性思维．同时考虑不同学生的个性差异和发展层次，让各层次学生都得到发展．通过多媒体演示提高课堂效率，进一步体现算法思想．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何用自然语言叙述用二分法求近似解的过程⇒引导学生回顾用二分法求近似解的步骤，并尝试用自然语言叙述⇒通过引导，让学生自主探究，发现算法的概念及特征⇒通过例1的讲解让学生进一步明确算法的特征⇒通过例2及例3的讲解，让学生进一步体会算法设计的关键及应注意的问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所掌握的知识，并进行反馈、矫正【问题导思】 电视娱乐节目中，有一种有趣的“猜数”游戏：竞猜者如在规定的时间内猜出某种商品的价格(或重量等)，就可获得该件商品．现有一商品，价格在0～8 000元之间，采取怎样的策略才能在较短的时间内猜出正确的答案呢？解决这个问题有多种途径，其中一种较好的方法是： 第一步 报“4 000”．第二步 若主持人说：“高了”(说明答数在0～4 000之间)，就报“2 000”；否则(答数在4 000～8 000之间)报“6 000”．第三步 重复第二步的报数方法，直至得到正确结果． 1．竞猜者每一步的报价有一定的规则吗？【提示】 有，报价为上一个有效范围的中间值． 2．猜出这种商品的步骤是有限的吗？ 【提示】 是．算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．一般来说，“用算法解决问题”都是可以利用计算机帮助完成的．在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法．这种解决问题的思想方法称为算法的基本思想．1.确定性：算法的每一步必须是确切定义的，且无二义性，算法只有唯一的一条执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出．2．有穷性：一个算法必须在执行有穷次运算后结束．在所规定的时间和空间内，若不能获得正确结果，其算法也是不能被采用的．3．可行性：算法中的每一个步骤必须能用实现算法的工具——可执行指令精确表达，并在有限步骤内完成，否则这种算法也是不会被采纳的．4．输入：算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一步骤．5．输出：算法一定能得到问题的解，有一个或多个结果输出，达到求解问题的目的，没有输出结果的算法是没有意义的．此外，还要求算法应具有通用性：算法应适用于某一类问题中的所有个体，而不是只能用来解决一个具体问题.有下列说法：①从济宁到乌鲁木齐旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；③方程x2－1＝0有两个实根；④求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6,6＋4＝10得最终结果是10.其中，算法的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【思路探究】结合算法的概念和特征→逐一验证→得出结论【自主解答】①中说明了从济宁到乌鲁木齐的行程安排，完成任务；②中给出了一元一次方程这一类问题的解决方法；④中给出了求1＋2＋3＋4的一个过程，最终得出结果；对于③这个问题，并没有说明如何去算．故①②④是算法，③不是算法．【答案】 C1．本题中的说法涉及生活中的方法和数学中的解题过程，①②④均体现了算法的特点，即符合“一系列步骤”．2．判断一个说法是否是算法，关键是看它有无步骤，且每步是否是明确、有效，能否在有限步之内完成．对算法的理解不正确的是( )A．一个算法包含的步骤是有限的B．一个算法中每一步都是明确可操作的，而不是模棱两可的C．算法在执行后，结果应是明确的D．一个问题只可以有一个算法【解析】由算法的不唯一性可知D错．【答案】 D求18的所有正约数，请设计两种算法．【思路探究】分别对1,2,3，…，18逐一检验或者对18进行因数分解，写出相关步骤即可．【自主解答】法一 1.1是18的正约数，将1列出；2．2是18的正约数，将2列出；3．3是18的正约数，将3列出；4．4不是18的正约数，将4删除；…18．18是18的正约数，将18列出．法二 1.18＝2×9；2．18＝2×32；3．列出18的所有正约数，1,2,3,32,2×3,2×32.1．解决一个问题可以有多个算法，可以选择其中最优的，最简单的步骤的算法．2．本例两种算法都符合题意，但法二运用了因数分解原理，这样步骤就比法一少了许多，因此更为科学．本题体现了算法的特征：(1)一个算法往往具有代表性，能够解决一类问题；(2)算法不是唯一的；(3)两个算法里面各自体现了不同的思想内涵．设计一个算法，求出840×1 764的最大公约数．【解】算法步骤如下：1．将840进行质因数分解得840＝23×3×5×7；2．将1 764进行质因数分解得1 764＝22×32×72；3．确定它们的公共质因数：2,3,7；4．确定公共质因数2,3,7的指数分别为：2,1,1；5．最大公约数为22×31×71＝84.写出解方程－4－5＝0的一个算法．【思路探究】本题是求一元二次方程的解的问题，方法很多，只要把平时的固有解法有条理、清晰地写出来，即为解该方程的算法．下面分别用因式分解法、配方法和求根公式法写出这个问题的三个算法．【自主解答】算法1：1．将方程左边因式分解，得(x－5)(x＋1)＝0；①2．由①，得x－5＝0或x＋1＝0；②3．由②，可得x＝5或x＝－1.算法2：1．移项，得x2－4x＝5；①2．①式两边同时加4并配方，得(x－2)2＝9；②3．②式两边开平方，得x－2＝±3；③4．解③式，得x＝5或x＝－1.算法3：1．计算方程的根的判别式，并判断其符号：Δ＝(－4)2－4×1×(－5)＝35＞0；2．将a＝1，b＝－4，c＝－5代入求根公式x＝－b±b2－4ac2a，得x1＝5，x2＝－1.1．本题体现了算法的不唯一性．2．比较以上三个算法，可以看出算法3最简单，步骤最少，并且具有通用性．因此我们在设计算法时，首先考虑是否有公式可以利用．利用公式解决问题是最理想的方法，有时要综合各方面的因素选择一种比较好的算法．写出解方程组{2x－3y＝8，① x＋y＝－1 ②的一个算法．【解】算法1：1．将方程②的两边同时乘以3，得3x＋3y＝－3；③2．将方程①和③的两边分别相加，方程左、右两边再同时除以5，得x＝1；④3．将x＝1代入②，方程两边再同时加－1，得y＝－2；4．输出结果{x＝1， y＝－2.算法2：1．将方程②中的y移项，用y的式子表示x得x＝－1－y；③2．将③代入①，并化简，得y＝－2；④3．将④代入③，得x＝1；4．输出结果{x＝1， y＝－2.写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．【思路探究】可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1＋2＋…＋n＝n n＋12进行，也可以根据加法运算律简化运算过程．【自主解答】算法1：1．计算1＋2得到3；2．将第1步中的运算结果3与3相加得到6；3．将第2步中的运算结果6与4相加得到10；4．将第3步中的运算结果10与5相加得到15；5．将第4步中的运算结果15与6相加得到21；算法2：1．取n＝6；2．计算n n＋12；3．输出运算结果．1．对于数值型计算问题的算法，可以借助数学公式采用数学计算的方法，将过程分解成清晰的步骤，使之条理化即可．2．应注意多个数进行四则运算时应分步计算，依次进行，直到算出结果．写出求2×4×6×8×10的一个算法．【解】算法步骤如下：1．计算2×4，得到8；2．将第一步的运算结果8与6相乘，得到48；3．将第二步的运算结果48与8相乘，得到384；4．将第三步的运算结果384与10相乘，得到3840.无分类讨论或不全面致误设计一个解方程ax2＋bx＋c＝0的算法．【错解】小华采用的算法描述如下：1．计算Δ＝b2－4ac；2．若Δ＜0，则输出“方程无实根”；3．若Δ＞0，则输出方程的根．【错因分析】上述算法中有两处错误：第一步是没有考虑a是否为0，显然a＝0时，方程无判别式，上述算法无效；第二步错误是漏掉了Δ＝0的情况．【防范措施】解方程时首先要考虑方程的类型，x的最高次幂的系数是否为0，若是二次方程讨论Δ时一定要全面．【正解】 1.输入a，b，c的值．2．若a＝0，b≠0，则输出方程的根x＝－c b ；若a＝b＝0，c≠0，则输出“方程无实根”；若a＝b＝c＝0，则输出“方程有无数个实根”．3．若a≠0，计算Δ＝b2－4ac：若Δ＜0，则输出“方程无实根”；若Δ≥0，则输出方程的根x1＝－b－Δ2a，x2＝－b＋Δ2a.1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．算法设计的要求(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果.1．下列关于算法的说法中，正确的是( )A．算法就是某个问题的解题过程B．算法执行后可以不产生确定的结果C．解决某类问题的算法不是唯一的D．算法可以无限地操作下去【解析】算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确的、有效的，而且能够在有限步内完成．算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是一般与特殊，抽象与具体的关系．解决某一问题的算法不是唯一的，故选C.【答案】 C2．下列语句表达中是算法的有( )①从济南到巴黎，可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达；②利用公式S ＝12ah ，计算底为1、高为2的三角形的面积；③12x ＞2x ＋4；④求M (1,2)与N (－3，－5)两点连线所在直线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式求得方程．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ①②④表达的是算法，③表达的不是算法． 【答案】 C3．比较两个实数a 与b 的大小的一个算法为： (1)若a －b >0，则a >b ； (2)________________； (3)若a －b <0，则a <b .请将上面的算法补充完整．【答案】 若a －b ＝0，则a ＝b4．求两底半径分别为2和4，高为4的圆台的表面积及体积，写出该问题的算法． 【解】 算法步骤如下： 1．取r 1＝2，r 2＝4，h ＝4；2．计算l ＝ r 2－r 1 2＋h 2；3．计算s ＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)·l 与V ＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h ；4．输出运算结果.一、选择题1．下列对算法的理解不正确的是( )A ．算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)B ．算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果C ．算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它们的优点是一种通法D ．任何问题都可以用算法来解决【解析】 并不是所有的问题都可以用算法来解决，只有步骤明确，且是有限运算等才可以用算法解决．【答案】 D2．计算下列各式中的s 值，能设计算法求解的是( ) (1)s ＝1＋2＋3＋ (100)(2)s ＝1＋2＋3＋…＋100＋…；(3)s ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N )． A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(2)(3) D ．(1)(2)(3)【解析】 (1)(3)能设计算法求解．但(2)不能设计算法求解．原因是s 是无限多个正整数相加，步骤无限步，不符合算法的特征．【答案】 B3．想泡茶喝，当时的情况是：火已经生起了，凉水和茶叶也有了，开水没有，开水壶要洗，茶壶和茶杯要洗，下面给出了四种不同形式的算法过程，你认为最好的一种算法是( )A ．洗开水壶，灌水，烧水，在等待水开时，洗茶壶、茶杯、拿茶叶，等水开了后泡茶喝B ．洗开水壶，洗茶壶和茶杯，拿茶叶，一切就绪后，灌水，烧水，坐等水开后泡茶喝C．洗开水壶，灌水，烧水，坐等水开，等水开后，再拿茶叶，洗茶壶、茶杯，泡茶喝D．洗开水壶，灌水，烧水，再拿茶叶，坐等水开，洗茶壶、茶杯，泡茶喝【解析】解决一个问题可以有多种算法，可以选择其中最优、最简单、步骤尽可能少的算法．选项中的四种算法中都符合题意．但算法A运用了统筹法原理，因此这个算法要比其余的三种算法科学．【答案】 A4．给下面一个算法：(1)给出三个数x、y、z；(2)计算M＝x＋y＋z；(3)计算N＝13 M；(4)得出每次计算结果．则上述算法是( )A．求和 B．求余数C．求平均数 D．先求和再求平均数【解析】由算法过程可知，M为三数之和，N为这三数的平均数，故选D.【答案】 D5．下面是某个问题的算法过程：1．比较a与b的大小，若a＜b，则交换a，b的值；2．比较a与c的大小，若a＜c，则交换a，c的值；3．比较b与c的大小，若b＜c，则交换b，c的值；4．输出a，b，c.该算法结束后解决的问题是( )A．输入a，b，c三个数，按从小到大的顺序输出B．输入a，b，c三个数，按从大到小的顺序输出C．输入a，b，c三个数，按输入顺序输出D．输入a，b，c三个数，无规律地输出【解析】通过第1步和第2步可以发现，a为最大值，通过第3步可以看出，c为最小值，可知输出的三个数是按从大到小的顺序输出．【答案】 B二、填空题6．在下面求15和18的最小公倍数的算法中，其中不恰当的一步是________．(1)先将15分解素因数：15＝3×5；(2)然后将18分解素因数：18＝32×2；(3)确定它们的所有素因数：2,3,5；(4)计算出它们的最小公倍数：2×3×5＝30.【解析】正确的应该是：先确定素因数的指数：2,3,5的指数分别为1,2,1；然后计算出它们的最小公倍数：2×32×5＝90.【答案】(4)7．下列是用“二分法”求方程x2－5＝0的近似解的算法，请补充完整．1．令f(x)＝x2－5，给定精度d.2．确定区间(a，b)，满足f(a)f(b)＜0.3．取区间中点m＝________.4．若f(a)f(m)＜0，则含零点的区间为(a，m)；否则，含零点的区间为(m，b)．将新得到的含零点的区间仍记为(a，b)．5．判断(a，b)的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步．【解析】区间(a，b)的中点，就是a与b的平均数a＋b 2.【答案】a＋b 28．给出下列算法：1．输入x的值．2．当x＞4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步．3．计算y＝4－x.4．输出y.当输入x＝0时，输出y＝________.【答案】 2三、解答题9．解关于x的方程ax＋2＝0(a∈R)，写出算法．【解】算法如下：(1)移项，得ax＝－2.(2)当a≠0时，x＝－2a，输出x，结束算法；当a＝0时，输出方程无实根，结束算法．10．写出求a、b、c三个数中最小的数的算法．【解】(1)比较a、b的大小，若a<b，则记m＝a，若b<a，则记m＝b；(2)比较m与c的大小，若m<c，则m为最小数，若c<m，则c为最小数；(3)输出结果．11．某节目中有一种“猜数”游戏：竞猜者在规定的时间内猜出某种商品的价格就可获得该件商品．现有一商品，价格在0～8 000元之间，采取怎样的策略才能在较短的时间内说出正确的答案呢？【解】算法步骤如下：第一步：报“4 000元”．第二步：若主持人说“高了”(说明答数在1～4 000之间)，就报“2 000元”，否则(答数在4 000～8 000之间)报“6 000元”．第三步：重复第二步的报数方法，取中间数，直至得到正确结果．(教师用书独具)被我国著名数学家华罗庚教授用作“统筹法”的引子的“烧开水泡壶茶喝”的问题：某人想泡壶茶喝，火已经生了，凉水和茶叶都有了．需要做的是洗烧水壶，洗茶壶和茶杯，烧开水．洗烧水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，泡茶需要1分钟．这个人为了尽快喝到茶水，应该怎样安排“烧开水泡壶茶喝”的步骤？最短多长时间后这个人能喝到茶水？【自主解答】这个人为了尽快喝到茶水的算法步骤是：1．洗烧水壶；2．烧开水；3．在等待烧开水的过程中，分别依次完成洗茶壶、洗茶杯；4．泡茶．因此，最短17分钟后这个人才能喝到茶水．田忌赛马的故事人人皆知：齐国大将田忌与齐威王约定赛马，他们把各自的马分成上、中、下三等．比赛的时候，上等马对上等马，中等马对中等马，下等马对下等马．由于齐威王每个等级的马都比田忌的强，三场比赛下来，田忌都失败了．田忌垂头丧气正准备离开马场时，他的好朋友孙膑招呼他过来，拍着他的肩膀说：“从刚才的情形看，齐威王的马比你的马快不了多少，你再同他赛一次，我有办法让你取胜．”请你设计出孙膑用同样的马使田忌获胜的算法．【解】在齐威王的马比田忌的马快不了多少的情况下，孙膑采用的算法如下：第一步：让田忌拿下等马对齐威王的上等马，第一场输了；第二步：让田忌拿上等马对齐威王的中等马，胜了第二场；第三步：让田忌拿中等马对齐威王的下等马，又胜了一场．§2算法框图的基本结构及设计2．1 顺序结构与选择结构2．2 变量与赋值(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解算法框图的概念，掌握各种框图符号的功能．(2)了解顺序结构和选择结构的概念，能用算法框图表示顺序结构和选择结构．2．过程与方法(1)通过学习算法框图的各个符号的功能，培养学生对图形符号语言和数学文字语言的转化能力．(2)学生通过模仿、操作、探索，经历设计算法框图表达解决问题的过程，在具体问题的解决过程中理解流程图的结构．3．情感、态度与价值观学生通过动手，用算法框图表示算法，进一步体会算法的基本思想，体会数学表达的准确与简洁，培养学生的数学表达能力和逻辑思维能力．●重点难点重点：各种算法框图功能，算法的顺序结构与选择结构．难点：选择结构的算法框图．(教师用书独具)●教学建议学生首次接触算法框图，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采取问题导入式教学，即“创设情境，提出问题——讨论问题，提高方案——交流方案，解决问题——模拟练习，运用问题——归纳总结，完善认识”，通过对问题的探究过程让学生掌握新知识，同时在解决问题的过程中掌握新知识的应用和解题过程，提高学生独立解题的能力．在教师的引导下，充分发挥学生的主观能动性，从问题入手，通过分析问题、交流方案、解决问题、运用问题的探索过程，让学生全程参与到问题的探索中，一方面注重培养学生严谨的逻辑思维能力和语言组织能力，另一方面，通过交流方案提高学生的合作意识，共同来完成教学目标．●教学流程创设情境，提出问题，以问题为切入点开展教学，引发学生思考，调动学生学习的积极性⇒引导学生分析用自然语言描述的算法的优缺点．引入流程图的概念及特征⇒引导学生对学过的分段函数及顺序结构观察、思考交流它们之间的联系与区别⇒通过例1的教学引导学生掌握画算法框图规则及应用顺序结构设计算法的技巧和方法，体会框图在设计中的优越性⇒通过例2及其变式训练的讲解，使学生进一步明确选择结构的特征，认识选择结构⇒通过例3及变式训练，使学生掌握用赋值语句设计算法掌握如何设置变量和给变量赋值⇒归纳小结，完善认识引导学生进一步理解顺序结构、选择结构及算法框图，归纳作算法框图的步骤，整体把握本节所学知识⇒学生独立完成当堂双基达标，巩固本节所学知识，并进行反馈、矫正1.号表示操作的内容，带箭头的线表示操作的先后顺序．2．图框的名称及功能：【问题导思】已知球的半径为R.1．设计一个算法，求球的表面积和体积．【提示】第一步，输入球半径R.第二步，计算S＝4πR2.第三步，计算V＝43πR3.第四步，输出S，V.2．上述算法有何特点？【提示】按照顺序从上到下进行．按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．其算法框图如下：【问题导思】2012年元旦期间，某商品进行团购优惠活动：购买5件或5件以下，每件88元；超过5件，超过的部分按每件8折优惠．1．若某人购买x件，试写出购物总费用y与购买件数x的关系式．【提示】y＝{88x， 440＋70.4 x－5 ，x≤5， x>5.2．设计上述问题的算法时，应注意什么？【提示】注意判断购买的件数对购物费用的影响．3．上述问题若画算法框图，只用顺序结构能完成吗？【提示】不能．在一个算法中，有时需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称为选择结构．其算法框图如下：一次考试中，某同学的语文，数学，英语，物理，化学的成绩分别是，b，c，d，e.设计一个计算该同学的总分和平均分的算法，并画出算法框图．【思路探究】先算出总分，再算平均分，最后输出结果，因此只用顺序结构就能表达出算法．【自主解答】算法步骤如下：1．输入该同学的语文，数学，英语，物理，化学的成绩：a，b，c，d，e；2．计算S＝a＋b＋c＋d＋e；3．计算W＝S 5；4．输出S和W.算法框图如图所示：1．解决本题时，可先写出解决该问题的方法步骤，然后写成算法步骤，再根据算法步骤画出相应的算法框图．2．顺序结构是按步骤依次执行的一种算法结构，它不含有选择判断，不循环执行，是最简单且任何结构都少不了的基本结构．已知圆的半径，设计一个算法求圆的周长和面积的近似值，并用算法框图表示．【解】算法步骤如下：1．输入圆的半径R；2．计算L＝2πR；3．计算S＝πR2；4．输出L和S.框图如图所示：已知函数y＝2－1，<0， ＋1，0≤<1， ＋2，≥1，写出求该函数函数值的算法，并画出算法框图．【思路探究】(1)该函数是分段函数，因此当给出一个自变量x的值时，需先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值．(2)画程序框图时，必须采用选择结构，因为函数解析式分了三段，所以需要两个判断框，即进行两次判断．【自主解答】算法步骤如下：1．输入x；2．如果x<0，则y＝2x－1，输出y；否则，执行第三步；3．如果x<1，则y＝x2＋1，输出y；否则，执行第四步；4．y＝x3＋2x；5．输出y.程序框图如图所示：1．设计算法框图时，首先设计算法分析(自然语言)，再将算法分析转化为算法框图(图形语言)．如果已经非常熟练地掌握了画算法框图的方法，那么可以省略算法分析直接画出算法框图．2．在处理分段函数问题的过程中，当x取不同范围内的值时，函数值也不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，所以在算法框图中需要设计选择结构．已知函数y＝{－x＋1，x>0， 0，x＝0， x＋3，x<0，输入自变量x的值，设计算法求对应函数值，并画出算法框图．【解】算法步骤如下：(1)输入x；(2)若x>0，则y＝－x＋1，并转到(4)；否则执行(3)；(3)若x＝0，则y＝0；否则y＝x＋3；(4)输出y.算法框图如图所示：设计一个算法，使得任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出，画出框图．【思路探究】可采用赋值语句对经历大小比较之后的变量重新赋值，赋值后再与另一个数比较．【自主解答】用a、b、c表示输入的3个整数，为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a、b、c表示，并使a≥b≥c，具体算法步骤为：1．输入3个整数a、b、c；2．将a与b比较，并把小者赋予b，大者赋予a；3．将a与c比较，并把小者赋予c，大者赋予a，此时a已是三者中最大的；4．将b与c比较，并把小者赋予c，大者赋予b，此时a、b、c已按从大到小的顺序排列好；5．按顺序输出a、b、c.框图如图所示．用赋值语句编写算法时，应注意以下两点：(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，并且赋值号左右不能互换．(2)不能利用赋值语句进行代数式(或符号)的演算(如化简、因式分解等)，如y＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．给定三个函数y1＝x2－1，y2＝2x－1，y3＝－x2＋3x，对于给出的一个x值，分别计算它们的函数值，并输出它们中最大的一个，设计一个解决该问题的算法，并画出算法框图．【解】算法步骤如下：1．输入x；2．y1＝x2－1；3．y2＝2x－1；4．y3＝－x2＋3x；5．如果y2≥y1，则y1＝y2，否则执行第六步；6．如果y3≥y1，则y1＝y3，否则执行第七步；7．输出最大值y1.算法框图如图所示：。
高中数学 复习课(二)算法初步教学案 北师大版必修3
复习课(二) 算法初步填空题．涉及题型有算法功能判断型、条件判断型以及输出结果型，属于中、低档题．[考点精要]1．算法框图中的程序框2．算法的三种基本逻辑结构①顺序结构：②选择结构：③循环结构：[典例] (1)执行如图所示的算法框图，若输入n的值为6，则输出S的值为( ) A．105 B．16C．15 D．1(2)如图，若f (x )＝log 3x ，g (x )＝log 2x ，输入x ＝0.25，则输出的h (x )＝( )A ．0.25B ．2log 32C ．－12log 23D ．－2(3)如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.A ＋B2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 [解析] (1)执行过程为S ＝1×1＝1，i ＝3；S ＝1×3＝3，i ＝5；S ＝3×5＝15，i ＝7≥6，跳出循环．故输出S 的值为15.(2)当x ＝0.25时，f (x )＝log 314∈(－2，－1)，g (x )＝log 214＝－2，∴f (x )＞g (x )，∴h (x )＝g (x )＝－2，故选D.(3)结合题中算法框图，当x ＞A 时，A ＝x 可知A 应为a 1，a 2，…，a N 中最大的数，当x ＜B 时，B ＝x 可知B 应为a 1，a 2，…，a N 中最小的数．[答案] (1)C (2)D (3)C [类题通法]解答算法框图问题，首先要弄清算法框图结构，同时要注意计数变量和累加变量，在处理循环结构的框图时，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．[题组训练]1．执行如图所示的算法框图，输出的S 的值为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．0解析：选D 程序运行第一次：T ＝1，S ＝0；运行第二次：T ＝1，S ＝－1；运行第三次：T ＝0，S ＝－1；运行第四次：T ＝－1，S ＝0；－1<0，循环结束，输出S ＝0.2．若如图所示的算法框图输出的S 的值为126，则条件①为( )A ．n ≤5B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤8解析：选B 由题知，第一次循环后，S ＝2，n ＝2；第二次循环后，S ＝6，n ＝3；第三次循环后，S ＝14，n ＝4；第四次循环后，S ＝30，n ＝5；第五次循环后，S ＝62，n ＝6；第六次循环后，S ＝126，n ＝7，满足S ＝126，循环结束．所以条件①为n ≤6，故选B.3．执行如图所示的算法框图，输出的n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B a ＝1，n ＝1时，条件成立，进入循环体；a ＝32，n ＝2时，条件成立，进入循环体；a ＝75，n ＝3时，条件成立，进入循环体；a ＝1712，n ＝4时，条件不成立，退出循环体，此时n 的值为4.1．下列给出的赋值语句中正确的是( ) A ．0＝M B ．x ＝－x C ．B ＝A ＝－3D ．x ＋y ＝0解析：选B 赋值语句不能计算，不能出现两个或两个以上的“＝”，且变量在“＝”左边，故选B.2．如下图所示的算法框图输出的结果是( )A ．1B ．3C ．4D ．5解析：选C 由a ＝1， 知b ＝a ＋3＝4， 故输出结果为4.3．执行如下图所示的算法框图，若输入－2，则输出的结果为( )A ．－5B ．－1C ．3D ．5解析：选C 根据题意，该框图的含义是求分段函数的函数值．当x >2时，y ＝log 2x ；当x≤2时，y＝x2－1.若输入－2，满足x≤2，得y＝x2－1＝3，故选C.4．如图所示的算法框图的功能是( )A．求a，b，c中的最大值B．求a，b，c中的最小值C．将a，b，c由小到大排列D．将a，b，c由大到小排列解析：选A 逐步分析框图中各图框的功能可知，此程序的功能为求a，b，c中的最大值．故选A.5．(陕西高考)如图所示，当输入x为2 006时，输出的y＝( )A．28 B．10C．4 D．2解析：选B 由题意，当x＝－2时结束循环．故y＝3－(－2)＋1＝10.6．(北京高考)执行如图所示算法框图，输出的k值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B k ＝0，a ＝3，q ＝12；a ＝32，k ＝1；a ＝34，k ＝2；a ＝38，k ＝3；a ＝316<14，k＝4，故k ＝4.7．下边算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该算法框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝________.解析：a ＝14，b ＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b ＝18－14＝4； 第二次循环：14≠4且14>4，a ＝14－4＝10； 第三次循环：10≠4且10>4，a ＝10－4＝6； 第四次循环：6≠4且6>4，a ＝6－4＝2； 第五次循环：2≠4且2<4，b ＝4－2＝2； 第六次循环：a ＝b ＝2，跳出循环，输出a ＝2. 答案：28．下述算法语句的运行结果为________．N ＝1 S ＝0Do S ＝S ＋N N ＝N ＋1Loop While S ≤10 输出N －1.解析：S ＝1＋2＋3＋4＋5时循环停止，此时输出5. 答案：59．执行如图所示的算法框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为________．解析：第一次循环，s ＝11×(1×2)＝2，i ＝4，k ＝2；第二次循环，s ＝12×(2×4)＝4，i ＝6，k ＝3；第三次循环，s ＝13×(4×6)＝8，i ＝8，k ＝4.此时退出循环，输出s 的值为8. 答案：810．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，输出的结果s ＝________.解析：程序在运行过程中各变量的值如下： 第一次循环：当n ＝1时，得s ＝1，a ＝3； 第二次循环：当n ＝2时，得s ＝4，a ＝5； 第三次循环：当n ＝3时，得s ＝9，a ＝7， 此时n ＝3，不再循环，所以输出s ＝9. 答案：911．定义n ！＝1×2×3×…×n ，画求10！的值的算法框图． 解：12．某商场实行优惠措施，若购物金额x 在800元以上(包括800元)，则打8折，若购物金额x 在800元以下500元以上(包括500元)，则打9折；否则不打折．设计算法的算法框图，要求输入购物金额x ，能输出实际交款额．解：本题的实质是求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.8x ，x ≥800，0.9x ，500≤x <800，x ，x <500的值．算法框图如下：复习课(三) 概 率且常与统计等问题综合考查．[考点精要]1．互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)当事件A 与B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，当事件A 与B 对立时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解．2．古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P (A )＝mn求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．[典例] 柜子里有3双不同的鞋，随机地取出 2只，试求下列事件的概率： (1)取出的鞋不成双； (2)取出的鞋都是左脚的； (3)取出的鞋都是同一只脚的；(4)取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双．[解] 用A 1，A 2；B 1，B 2；C 1，C 2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，则从6只鞋中取2只所有的取法有：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 1C 2， A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 2C 2， B 1B 2，B 1C 1，B 1C 2， B 2C 1，B 2C 2， C 1C 2，共15种．(1)取出的鞋不成双的所有取法有：A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 1C 2， A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 2C 2，B 1C 1，B 1C 2，B 2C 1，B 2C 2，共12种．其概率为P 1＝1215＝45.(2)取出的鞋都是左脚的所有取法有：A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1，共3种．其概率为P 2＝315＝15.(3)取出的鞋都是同一只脚的所有取法有：A1B1，B1C1，A1C1，A2B2，A2C2，B2C2，共6种．其概率为P3＝615＝25.(4)取出的鞋一只左脚的，一只右脚的但不成双的所有取法有：A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1，共6种．其概率为P4＝615＝25.[类题通法]在古典概型中，计算概率的关键是准确找到基本事件的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把基本事件一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出基本事件的数目．[题组训练]1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.2．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有： {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.[考点精要]1．几何概型的基本特征：基本事件的无限性、每个事件发生的等可能性． 2．几何概型的概率计算公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果构成的区域长度面积或体积.[典例] (1)在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？(2)在半径为1的圆内，过一条直径上任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．(3)以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率． [解] (1)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，取圆内接等边△BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD 上时，|BE |＞|BC |，而劣弧CD 的弧长是圆周长的13，所以由几何概率公式得P (A )＝13.(2)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，不妨在过等边△BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD 时就是边长，弦长大于|CD |长的条件是圆心O 到弦的距离小于|OF |，由几何概率公式得P (A )＝12×22＝12.即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是12.(3)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，作等边三角形的内切圆，当以小圆上任一点为切点作弦时，弦长等于等边三角形的边长，所以弦长超过内接三角形边长时，当且仅当弦的中点在小圆内，小圆半径为12，所以由几何概率公式得P (A )＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝14.即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.[类题通法]三个题目都是在圆内任意作弦使得弦长超过圆内接等边三角形的边长，但三个题目中由于“等可能”的含义不同，得到的概率不同．因而在解决几何概率问题时，必须找准观察角度，明确随机选取的含义，判断好基本事件的等可能性．[题组训练]1．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34 B.23 C.13D.14解析：选A 不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上. 若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16 B.14 C.38D.12解析：选B 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14. 3．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率 ，p 2为事件“|x－y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 3＜p 1C ．p 3＜p 1＜p 2D ．p 3＜p 2＜p 1解析：选B 满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2＜p 3＜p 1.1．一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是( )A.18 B.78 C.38D.58解析：选B 所有的基本事件为：(红，红，红)，(红，红，蓝)，(红，蓝，红)，(蓝，红，红)，(红，蓝，蓝)，(蓝，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，蓝)，共8个．三次都是蓝球的基本事件只有1个，其概率是18，根据对立事件的概率之间的关系，所求的概率为1－18＝78.选B.2．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率为( ) A.38 B.13 C.23D.25解析：选D 直线在y 轴上的截距大于1，则b ∈(1,3]，故所求概率P ＝3－13－－＝25. 3．从含有a ，b ，c 的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )A.310B.112C.4564D.38解析：选D 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }． 4．有4根木棍长度分别为2,5,7,10，从这4根木棍中任取3根，则所取的3根木棍首尾相接能构成一个三角形的概率为( )A.14B.13C.12D.25解析：选A 从4根木棍中任取3根，基本事件有(2,5,7)，(2,5,10)，(2,7,10)，(5,7,10)，共4个，能构成三角形的只有(5,7,10)这一个基本事件，故所求概率P ＝14.5．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离都大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8D ．1－π8解析：选D 分别以A ，B ，C ，D 为圆心，1为半径作圆，圆与菱形ABCD 重合部分的面积为2×π×12×112＋2×π×12×512＝π，而菱形ABCD 的面积为8，所以所求概率为8－π8＝1－π8.6.一只受伤的丹顶鹤向如图所示(直角梯形)的区域上空飞来，其中AD ＝ 2 km ，DC ＝2 km ，BC ＝1 km ，丹顶鹤随机地落在该区域上任意一处，若落在扇形沼泽区域ADE 以外，丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是( )A.12－π15 B ．1－π10C ．1－π6D ．1－3π10解析：选B 过点D 作DF ⊥AB 于点F ，在Rt△AFD 中，易知AF ＝1，∠A ＝45°. 梯形ABCD 的面积S 1＝12×(2＋2＋1)×1＝52，扇形ADE 的面积S 2＝(2)2×π×18＝π4，故丹顶鹤生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝52－π452＝1－π10.7．从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．解析：设两名女生为a 1，a 2，两名男生为b 1，b 2，则所有可能的结果如下：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，共12种，其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况，所以所求概率为P ＝412＝13.答案：138．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与抛物线y ＝x 2＋1有交点的概率是________．解析：易知过点(0,0)与抛物线y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知概率为P ＝416＝14.答案：149．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的概率为________．解析：基本事件为6×6＝36，P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P ＝36×6＝112.答案：11210．某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和D ，E 两种型号的乙品牌电脑，希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑．(1)写出所有选购方案；(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？(直接写出结果即可)解：(1)画出树状图如图：则选购方案为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )．(2)A 型号电脑被选中的情形为(A ，D )，(A ，E )，即基本事件为2种，所以A 型号电脑被选中的概率为P ＝26＝13.11．已知甲袋中有1只白球、2只红球，乙袋中有2只白球、2只红球，现从两袋中各取一球．(1)求两球颜色相同的概率； (2)求至少有一只白球的概率．解：将甲袋中1只白球记为a 1,2只红球记为b 1，b 2；乙袋中2只白球记为a 2，a 3,2只红球记为b 3，b 4，所以“从两袋中各取一球”所包含的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，共有12种．(1)设A 表示“从两袋中各取一球，两球颜色相同”，所以事件A 包含基本事件(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，共6种．所以P (A )＝612＝12.(2)设B 表示“从两袋中各取一球，至少有一只白球”，所以事件B 包含基本事件(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，共8种，所以P (B )＝812＝23.12．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某校有学生4 500人，其中高三学生有1 500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为( )A ．50人B ．100人C ．150人D ．20人解析：选B 因为该抽样是分层抽样，所以应在高三学生中抽取1 500×3004 500＝100(人)．2．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )A ．2B ．7C ．8D ．128解析：选C 由算法框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8.3．阅读下面的算法框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C S ＝10，i ＝0，i ＝i ＋1＝1，S ＝S －i ＝10－1＝9，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝2，S ＝S －i ＝9－2＝7，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝3，S ＝S －i ＝7－3＝4，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝4，S ＝S －i ＝4－4＝0，满足S ≤1，输出i ＝4.4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析：选B 记3件合格品为a 1，a 2，a 3,2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．故其概率为P (A )＝610＝0.6.5.如图，正方形ABCD 的边长为2，△EBC 为正三角形．若向正方形ABCD 内随机投掷一个质点，则它落在△EBC 内的概率为( )A.32B.34C.12D.14解析：选B 正方形的面积为4，S △EBC ＝12×2×3＝3，所以，质点落在△EBC 内的概率为34. 6．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：选B 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为m ，则15m＝0.3，m ＝50.7．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，两张标签上的数字之和为奇数的概率是( )A.25B.35C.1225D.925解析：选C 基本事件的总数为25个，其中两张标签上的数字之和为奇数的情况有：(1,2)，(2,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，共12个，所以所求概率为P ＝1225.8.甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别为x 甲，x 乙，则下列叙述正确的是( )A ．x 甲>x 乙；乙比甲成绩稳定B ．x 甲>x 乙；甲比乙成绩稳定C ．x 甲<x 乙；乙比甲成绩稳定D ．x 甲<x 乙；甲比乙成绩稳定 解析：选C 由题意可知，x 甲＝15×(72＋77＋78＋86＋92)＝81， x 乙＝15×(78＋88＋88＋91＋90)＝87.故x 甲<x 乙．又由方差公式可得s 2甲＝15×[(81－72)2＋(81－77)2＋(81－78)2＋(81－86)2＋(81－92)2]＝50.4，s 2乙＝15×[(87－78)2＋(87－88)2＋(87－88)2＋(87－91)2＋(87－90)2]＝21.6，因为s 2乙<s 2甲，故乙的成绩波动较小，乙的成绩比甲稳定． 9．阅读下列程序： 输入x ； If x ＜0 Then y ＝π2x ＋3ElseIf x ＞0 Then y ＝－π2x ＋5Else y ＝0 End If End If 输出y .如果输入x ＝－2，则输出结果y 为( )A ．3＋πB ．3－πC ．π－5D ．－π－5解析：选B 输入x ＝－2，则x ＝－2＜0成立，则y ＝π2×(－2)＋3＝－π＋3，则输出3－π.10．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )A.23B.12C.16D.13解析：选D 如图给4块试验田分别标号为A 1，A 2，B 1，B 2.基本事件为：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)122B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)共6个基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”的基本事件有：(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，共2个．∴P (A )＝26＝13.11．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916解析：选D 设AB ，AC 上分别有点D ，E 满足AD ＝34AB 且AE ＝34AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A 到BC 的距离的34，∴DE到BC 的距离等于△ABC 高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916. 12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体平均值为3，中位数为4B ．乙地：总体平均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体平均值为2，总体方差为3解析：选D 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13.为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是________．解析：抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)(小时)时间内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5，3.0)(小时)时间内的人数是10 000×0.25＝2 500，抽样比是10010 000＝1100，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×1100＝25.答案：2514．已知变量x ，y 的回归方程为y ＝bx ＋a ，若b ＝0.51，x ＝61.75，y ＝38.14，则回归方程为________．解析：因为a ＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5，所以回归方程为y ＝0.51x ＋6.647 5. 答案：y ＝0.51x ＋6.647 515．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56.答案：5616．设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，则方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数的概率为________．解析：已知点(p ，q )组成了边长为6的正方形，S 正方形＝62＝36. 由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数得Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0，即p 2＋q 2≥1.所以当点(p ，q )落在“正方形内且单位圆外”的阴影区域时，方程的两根都是正数．由图可知，阴影部分面积d ＝S 正方形－S 圆＝36－π.所以原方程两根都是实数的概率为1－π36.答案：1－π36三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率． 解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.18．(本小题满分12分)(广东高考)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5，∴直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则0.45＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．19．(本小题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．解：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，没有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B 1，B 2}，共1个． 所以所求的概率P ＝1－110＝910.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.20．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)计算甲班的样本方差；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．解：(1)甲班的平均身高为x ＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的样本方差为s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，用(x ，y )表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学的身高，则所有的基本事件有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件， 故P (A )＝410＝25.21．(本小题满分12分)目前全世界面临能源紧张问题，降低油耗成为汽车制造厂家技术革新的目标．下表提供了某品牌汽车在技术革新后连续行驶x (百公里)与相应的油耗y (L)的几组对照数据.(1)(2)若该品牌汽车在技术革新前行驶5百公里的油耗为33 L ．试根据(1)求出的回归方程，预测现在汽车行驶5百公里比技术革新前降低多少升油耗．解：(1)根据表中数据可分别求得：x ＝2.5，y ＝15.6，∑i ＝14x i y i ＝186.4，∑i ＝14x 2i ＝30.所以b ＝186.4－4×2.5×15.630－4×2.52＝6.08. a ＝15.6－6.08×2.5＝0.4.所以回归方程为y ＝6.08x ＋0.4.(2)把x ＝5代入(1)中所求的回归方程，估计该品牌汽车在技术革新后行驶5百公里的油耗为5×6.08＋0.4＝30.8 L ，比技术革新前油耗降低了33－30.8＝2.2 L.22．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的。