第二章 轴向拉伸与压缩 第一节轴力
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材料力学第二章轴向拉伸和压缩 ppt课件
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40
[例2-5-3] 如图为简易吊车，AB和BC均为圆形钢杆， 已知d1=36mm,d2=25mm, 钢的许用应力[σ]=100MPa。 试确定吊车的最大许可起重量。
解：1 计算杆AB、BC的轴力
X 0 : FN 2 FN 1 cos 30 0
Y 0 : FN 1 cos 60 W 0
FN 1 2W FN 2 3W
2 求许可载荷
FN max A[ ]
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41
当AB杆达到许用应力时
FN max
A1 [
]
d
2 1
4
[
]
Wmax
1 2
FN max
d12 [
8
]
362 106 100 106
50.9kN
8
当BC杆达到许用应力时
20
三、斜截面上的内力和应力
F
F
F
Fα
假定横截面的面积为A，α斜截面的面积为A α ，则有
A
A
cos
F F
p
F A
F cos
A
cos
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21
(c)
将应力 p 分解：
正应力： p cos cos 2
剪应力：
p
sin
cos sin
20
FNCD =30-2B =30+30-20=40kN
轴力图画在正下方，并与荷载图相对应！ C处虽然截面面积有变化，但该处没有集中力作用，轴力图不会发生突变！
轴力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。
C 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩 第一部分
基于下列实验现象有“平面假设”
现象： 直线保持为直线。 相互垂直的直线依旧相互垂直。->无切应变 纵向线段伸长，横向线段缩短。 长度相等的纵向线段伸长后依旧相等。 长度相等的横向线段缩短后依旧相等。 即变形分布均匀，依据胡克定律应力分布也 均匀。
平面假设
根据表面变形情况，可以由表及里的做出 假设，即横截面间只有相对移动，相邻横 截面间纵线伸长相同，横截面保持平面， 此假设称为平面假设（Plane CrossSection Assumption）。
问题
（1）图示的曲杆，问公式 （2-2）是否适用？
2）图示杆由钢的和铝牢固 粘接而成，问公式（2-2） 是否适用？
（3）图示有凹槽的杆，问 公式（2-2）对凹槽段是否 适用？
σ
变截面杆横截面上的应力
F
F
应力集中 (Stress Concentration)
例：图示杆1为横截面为圆形的钢杆，直径d=16mm，杆2 为横截面为正方形的木杆，边长为100mm。在节点B处作 用20kN的力，试求1、2杆中的应力。
r ∆r o
θ
∆s
s
应力与变形的一般关系
正应力在正应力方向引起线应变，不引 起切应变 切应力引起切应变，在切应力方向不引 起线应变 这里作为结论直接给出，感兴趣可在课 后研究证明之。
轴拉伸实验
平面假设（基于实验观察）
a d e a a d e a b c b b c c d e b c d e
例 题
解：1、2杆都为二力杆，是简单拉 压问题，取节点B进行受力分析： 由节点B的平衡可得：
F N1 3 = G = 15kN 4 F N2 5 = − G = −25kN 4
A 2m
1.5m 1 2 C FN1 FN2 B G
材料力学--轴向拉伸和压缩
2、轴力图的作法：以平行于杆轴线的横坐标（称为基
线）表示横截面的位置；以垂直于杆轴线方向的纵坐
标表示相应横截面上的轴力值，绘制各横截面上的轴 FN
力变化曲线。
x
§2-2 轴力、轴力图
三、轴力图
FN
3、轴力图的作图步骤：
x
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；
②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；
③标注正负号、各控制截面处 、单位及图形名称。
FN
4、作轴力图的注意事项： ①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐； ②正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④整个轴力图比例一致。
50kN 50kN 50kN
第二章 轴向拉伸和压缩
第二章
轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§2 — 1 概述
§2 — 2 轴力 轴力图
目
§2 — 3 拉（压）杆截面上的应力
§2 — 4 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
录
§2 — 5 材料在拉伸与压缩时的力学性质
§2 — 6 拉（压）杆的强度计算
§2 — 7 拉（压）杆超静定问题
FN
作轴力图的注意事项： ①多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直接法； ②基线‖轴线，正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，比例一致，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
§2 — 8 连接件的实用计算
§2-1 概述 §2-1 概述
——轴向拉伸或压缩，简称为拉伸或压缩，是最简单也是做基本的变形。
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
02轴向拉伸与压缩1-轴力图应力
§1—5. 杆件变形的基本形式（Basic Forms of Bar’s Deformation）
四,弯曲(Bending): 在包含杆轴的纵向平面内，在杆轴两端
作用一对等值反向的力偶，则杆的横截面发 生绕垂直于杆轴的中性轴转动，变形后的杆 轴线在纵向平面内成为曲线，这种变形形式
称为弯曲。
梁式桥的横梁 和纵梁、屋顶梁、 桥式起重机的大梁、火车轮轴等受力时主要发生弯曲变形。
(+ )
10
AB段 BC段
∑ Fx = 0
FN1 = F1 = 10kN
∑ Fx = 0 FN 2 + F2 = F1
F4
25 CD段
FN 2 = F1 − F2 =
10 − 20 = −10kN
∑ Fx = 0
FN3 = F4 = 25kN
x
2、绘制轴力图。
目录
•§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
杆的受力简图为
拉伸
压缩
F
FF
F
目录
•§2-1 轴向拉伸和压缩的概念
目录
§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
外力：
按 体积力:是连续分布于物体内部各点的力
外
力
如物体的自重和惯性力
作
如油缸内壁的压力，水坝受
用 的 方
面积力:
分布力：到的水压力等均为分布力 集中力：若外力作用面积远小于物体表
式
面的尺寸，可作为作用于一点
F3
目录
§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
F
a
a
F
切、留、代、平 求内力
M
FS＝− F M = −Fa
FS
目录
•§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
材料力学之轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§1 轴向拉伸与压缩的概念
拉伸
压缩
受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合 变形特征：轴向伸长或缩短
§2 内力、截面法、轴力及轴力图
1、内力的概念
固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性质所决
定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)
附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力
以AB杆为研究对象
mA 0
FNFBNCBC 9101k8N 5 0
以CDE为研究对象
mE 0
FNCD 40kN
20kN 18kN 4m
FNCD sin 300 8 FNBC 8 20 4 0
30O FNCD C
FNBC
B 4m
BC
FNBC ABC
CD
FNCD ACD
书中例题
注意：1.轴力是杆横截面上分布内力系的合力，其作用线也与杆件的轴
线重合，所以称为轴力。 2.静力学中的力或力偶的可传性原理，在用截面法求内力的过程
中是有限制的。
内力的正负号规则
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
FN
FN
FN
FN
FN
FN
拉力为“正” 压力为“负”
例题 2.1
2.12
2.1×105MPa，设在结点A处悬挂一重物F＝100kN，试求
结点A的位移δA。
X 0
FNAC
FNAB
F
2 cos
FNAC sin FNAB sin 0
B1
2 C
Y 0 FNAC cos FNAB cos F 0
FNAB FNAC
αα
DLAB
§1 轴向拉伸与压缩的概念
拉伸
压缩
受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合 变形特征：轴向伸长或缩短
§2 内力、截面法、轴力及轴力图
1、内力的概念
固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性质所决
定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)
附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力
以AB杆为研究对象
mA 0
FNFBNCBC 9101k8N 5 0
以CDE为研究对象
mE 0
FNCD 40kN
20kN 18kN 4m
FNCD sin 300 8 FNBC 8 20 4 0
30O FNCD C
FNBC
B 4m
BC
FNBC ABC
CD
FNCD ACD
书中例题
注意：1.轴力是杆横截面上分布内力系的合力，其作用线也与杆件的轴
线重合，所以称为轴力。 2.静力学中的力或力偶的可传性原理，在用截面法求内力的过程
中是有限制的。
内力的正负号规则
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
FN
FN
FN
FN
FN
FN
拉力为“正” 压力为“负”
例题 2.1
2.12
2.1×105MPa，设在结点A处悬挂一重物F＝100kN，试求
结点A的位移δA。
X 0
FNAC
FNAB
F
2 cos
FNAC sin FNAB sin 0
B1
2 C
Y 0 FNAC cos FNAB cos F 0
FNAB FNAC
αα
DLAB
材料力学 第二章
方向规定：拉 + 压 -
工程实际中，杆件所受外力可能很复杂，这时 杆件各段的轴力将各不相同，这时需分段用截面法计 算轴力。为了直观地表达轴力随横截面位置的变化 情况，用平行于杆件轴线的坐标表示各横截面的位 置，以垂直于杆轴线的坐标表示轴力的数值，所绘 制的图形称为轴力图。 【例】 绘制如图直杆的轴力图。已知
所谓内力是指当构件受 外力作用而发生变形时，构 件的一部分对另一部分的附 加作用力。 求解内力的普遍方法是 截面法： 假想截开（任意留取） 受力分析（内力外化） 平衡求力。 定义：轴力-----轴向内力分量。 符号： FN
FN作用线与杆的轴线一致，方向如图所示。 由于在截开截面处，左右两侧截面上的内力互 为作用力和反作用力，因此大小相等方向相反。 为使左右两侧截面上的内力具有相同的正负号， 必须规定轴力的的正负。轴力的正负由杆的变 形确定。当轴力的方向与横截面的外法线方向 一致时，杆件受拉伸长，其轴力为正；反之， 杆件受压缩短，其轴力为负。通常未知轴力按 正向假设，由计算结果确定实际指向。
平均线应变--每单位 长度的变形，无量纲
绝对变形
相对变形
l l1 - l l l
线应变以伸长时为正，缩短时为负。
d1
F
l l1
d
F
2、横向变形
横向绝对变形 横向线应变
d d1 - d
Hale Waihona Puke d dd13、胡克定律
FN l A l 试验表明：
F l l1
d
F
当杆内应力不超过材 料的某一极限值 （“比例极限”）时
•
§2-3
拉压杆的应力---正应力与切应力
应力是指内力在截面上的分布集度，通常将应力 分解为垂直于截面的分量正应力σ和相切于截面的分 量切应力τ。 1、拉伸试验： 杆件的横截 面在变形后仍保 持为平面，且仍 与杆的轴线垂直。 这个假设称为
轴向拉伸和压缩.ppt
第三节 强度计算
根据强度条件，可以解决的三类实际工程问题。
1、校核杆件强度 已知：Nmax，A，[σ]。验算构件是否满足强度条件 2、设计截面 已知：Nmax，[σ]。根据强度条件，求：A 3、确定最大载荷 已知：A，[σ]。根据强度条件，求： Nmax
第三节 强度计算
例题1 一直径d =14mm的圆杆，许用应力[σ]=170MPa,受轴向拉力 P =2.5kN作用，试校核此杆是否满足强度条件。
P 200
11
N11 A11
17.5103 0.2 0.2
4.375105 Pa
G1 1
1
N22 P G1 G2 27.5kN
22
N22 A22
27.5103 0.4 0.4
1.719105 Pa
2
G2
400 2
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
3、斜横向线仍保持为直线，—变形后横截面仍保 持为平面（平截面假设）。
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
横截面上的应力分布：
F
σ
1、正应力的概念：
内力在横截面上的分布集度
N
A
单位：
帕斯卡 Pa （=N/m2）
常用单位： MPa=106 Pa GPa=109 Pa
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
8kN N33
解：
X 0
N11 N 22
60 18 6
0
N33 8 18 6 0
N11 6kN
N22
12kN
N33 4kN
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
3、轴力图
反映轴力与截面位置关系的图线
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆的内力与轴力图(工程力学课件)
例题2 设一直杆AB 沿轴向受力如图示。 已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN，试做轴力图。
P1
1
P2 2
P3
N
1
2kN
+
2
-
x
1kN
➢ 2.内力：由外力引起杆件内部之间的相互作用力。
➢ 3.截面法：截面法是显示和确定内力的基本方法。
截面法求内力的步骤
截取
用一个假想的截面，将 杆件沿需求内力的截面 处截为两部分；取其中 任一部分为研究对象。
代替
用内力来代替弃去部分 对选取部分的作用。
平衡
用静力平衡条件，根 据已知外力求出内力。
轴力N——轴向拉压时横截面上的内力。规定拉力为正，压力为负。
用截面法求1-1截面上的轴力：
P
N
X 0
NP0
x
N P(拉力)
例题1
设一直杆 AB 沿轴向受力如图示。
已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN, 试求杆各段的轴力。
P1
1
P2 2
P3
P1
1NБайду номын сангаас
1
2
x
x
N2
P3
1-1截面： X 0, N1 P1 0,
2-2截面： X 0, N2 P3 0,
第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力 第三节 轴向拉（压）杆的强度计算 第四节 轴向拉（压）杆的变形计算 第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
➢ 1.轴向拉（压）杆件
• 受力特点：作用在杆件上的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合。 • 变形特点：杆件沿轴向发生伸长或缩短。 • 外力：外力作用在杆件上的荷载和约束反力。
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40kN B
55kN 25kN C D
20kN
E
10
FAy A
求1截面的内力
1
FA
A
40kN B
55kN 25kN C D
20kN E
1
FA
FN1
FN1 FA 0
FN1 FA 10(kN)
在拉（压）杆横截面上，只存在一个作用线与杆的轴线重合的 内力，称为轴力，记作 FN
11
注意：轴力符号的规定 （1）若轴力的指向背离截面，则规定为正的，称为拉力 m F FN
40kN A 600 B 300 50
55kN 25kN C 500 D 400
20kN E
FN （kN ）
10
+
20
+ x
5
FNmax 50(kN)
发生在BC段内任一横截面上
16
m
m
6
②代替
m
m
m
m m m
任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截 面上相应的内力（力或力偶）代替.
7
③平衡
m
m
m
m m m
对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆 在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是
外力）.
8
例 1 一等直杆其受力情况如图所示，求1、 2 、3、4截面的内力
3
判断下列杆件哪些属于轴向拉伸（压缩）？
F
F
F
F F
F
F F
4
第二章
轴向拉伸与压缩
第二节 轴力与轴力图
一、内力与截面法
内力：外力引起的构件内部相连部分之间的相互作用力 截面法：分析计算内力的基本方法 截面法的基本思路： 截开杆件，暴露内力，根据平衡原理确定内力
5
截面法步骤: ① 截开: 在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二.
1
2
3
4
40kN A 600 B 300
ห้องสมุดไป่ตู้
55kN 25kN C 500 D 400
20kN E
9
解: 求支座反力
F
x
0
FA 40 55 25 20 0
FA 10kN
40kN A 600 B 300 55kN 25kN C 500 D 400 20kN E
FA Ax
MA
3
20kN D
E
FN 3 25 20 0
FN3
25kN
20kN
FN3 5(kN)
14
求4截面的轴力
4
FA
40kN
55kN 25kN
20kN
4
FN4 20(kN)
FN4
20kN
15
三、轴力图 表达轴力随横截面位置变化规律的图线
1 1 1 2 3 4
AB段： FN1=10kN（拉力） BC段： FN2=50kN （拉力） CD段： FN3= - 5kN（压力） DE段： FN4=20kN（拉力） O
轴向拉伸与压缩
第一节 引言
轴向拉伸与压缩是一种工程中常见的杆件的基本变形，例如
压 杆
1
F1
A
C
F1
A
B
C
F
B
C
F2
F2
2
轴向拉伸（压缩）的受力特点：
外力或外力合力的作用线与杆的轴线重合 轴向拉伸（压缩）的变形特点： 杆件沿轴线方向伸长（缩短）
F F
F F
拉杆 压杆
承受轴向拉伸（压缩）的杆件称为拉（压）杆
m （2）若轴力的指向指向截面，则规定为负的，称为压力
m
FN F
m
12
求2截面的轴力
FA
A 40kN B
2
55kN 25kN C
2
20kN D
E
FA
40kN
FN2
FN2 FA 40 0
FN2 FA 40 50(kN)
13
求3截面的轴力
3
FA
A
40kN B
55kN 25kN C