2019年4月广西南宁、梧州等八市2019届高三高考联合调研考试数学(理)试题(解析版)
专题13 平面向量-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(原卷版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________． 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ．故答案为：23． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为：12． 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．专题13 平面向量CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【命题意图】主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力和方程思想、数形结合思想的运用．【命题规律】在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大． 【答题模板】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； （2）若a ∥b （a ≠0），则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择． 【知识总结】 1．向量的有关概念向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫作向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作 AB u u u r，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．向量的长度（模）：向量AB u u u r 的大小即向量AB u u u r 的长度（模），记为|AB u u u r|．（1）向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． （2）任意向量a 的模都是非负实数，即|a |≥0．（3）向量不能比较大小，但|a |是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小． 2．几种特殊向量 特殊向量 定义备注零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的． 单位向量长度等于1个单位的向量 单位向量记作a 0，a 0=||aa ． 平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量． 相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a ，b 为相反向量，则a =–b ．说明：（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0；（2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量； （4）与向量a 平行的单位向量有两个，即向量||a a 和–||a a ． 3．平面向量运算的坐标表示运算坐标表示和（差） 已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a –b =（x 1–x 2，y 1–y 2）． 数乘 已知a =（x 1，y 1），则λa =（λx 1，λy 1），其中λ是实数．任一向量的坐标已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB u u u r=（x 2–x 1，y 2–y 1）．说明：（1）相等的向量坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 4．平面向量共线的坐标表示（1）如果a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件为x 1y 2–x 2y 1=0．（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点共线的充要条件为（x 2–x 1）（y 3–y 1）–（x 3–x 1）（y 2–y 1）=0，或（x 2–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 2–y 1），或（x 3–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 3–y 1）． 5．向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零． （2）向量数量积的性质设a ，b 为非零向量，它们的夹角为θ，则①设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a =a ·e =|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b =0；③当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a ，b 反向时，a ·b =–|a ||b |．特别地，a ·a =a 2=|a |2或|a ④|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a 与b 共线，即a ∥b 时等号成立；⑤cos θ=·||||a ba b ． （3）向量数量积的运算律 ①交换律：a ·b =b ·a ；②数乘结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）； ③分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c ． （4）平面向量数量积的几何意义 ①一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫作向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫作向量a 在向量b 的方向上的投影． ②a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 ①θ为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线； ②θ为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线；③当a ·b >0时，cos θ>0，则θ是锐角或θ=0°（此时cos θ=1）； ④当a ·b <0时，cos θ<0，则θ是钝角或θ=180°（此时cos θ=–1）． 【方法总结】1．只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． （1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到1122,.λμλμ=⎧⎨=⎩2．平面向量的线性运算的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3．向量的线性运算（1）向量的线性运算集中体现在三角形中，可构造三角形，利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，得出含相关向量的关系式． （2）向量线性运算的常用结论：①在△AB C 中，若D 是BC 的中点，则AD u u u r =12（AC u u u r +AB u u u r）；②O 为△ABC 的重心的充要条件是OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r=0；③四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB u u u r +DC u u u r =2EF u u u r．4．利用共线向量定理解题的策略（1）a ∥b ⇔a =λb （b ≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔,AB AC u u u r u u u r共线．（3）若a 与b 不共线且λa =μb ，则λ=μ=0．（4）OA u u u r =λOB uuu r +μOC u u u r（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则λ+μ=1．5．利用平面向量基本定理解题的策略（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．注意：（1）若a ，b 为非零向量，且a ∥b ，则a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．（2）零向量和共线向量不能作基底，基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．6．向量坐标运算问题的一般思路（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算． （2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．7．求向量模长利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）a2=a·a=|a|2或|a（2）|a±b；（3）若a=（x，y），则|a8．求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；（3）利用绝对值三角不等式||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围．9．求向量夹角问题的方法（1）定义法：当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ=·||||a ba b求得；（2）坐标法：若已知a=（x1，y1）与b=（x2，y2），则cos<a，b，<a，b>∈[0，π]．10．用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．11．平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查，解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．1．【广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，()1,2=-b ，则·(2)-=a a b A ．5 B ．6 C ．7D ．82．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，(),2x =b 且·(2)3-=a a b ，则实数x 的值为A ．12-B ．12C ．3-D ．33．【广西钦州市2019届高三4月综合能力测试（三模）数学】已知平面向量,AB AC u u u r u u u r的模都为2，,90AB AC =ouu u r uuu r ，若()0BM MC λλ=≠u u u u v u u u u v ，则()AM AB AC +=uuu r uu u r uuu r gA ．4B ．2C D ．04．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，120ABC =o ∠，则DE AC ⋅u u u v u u u v的值为 A ．4 B ．–3C D ．5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ= A ．2 B ．-2 C ．12 D ．1-26．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知向量(2,1),(1,7)=-=a b ，则下列结论正确的是 A ．⊥a b B ．∥a b C ．()⊥-a a bD ．()⊥+a a b7．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)()AN AC R λλ=-∈u u ur u u u r ，设()f BN CM λ=⋅u u u r u u u u r ，当函数()f λ的最大值为–2时，a =A ．3 B ．C D ．8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》数学】已知向量()1,2=a ，()2,m =b ，且⊥a b ，则m = A ．4 B ．1 C ．1-D ．4-9．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第七次模拟考试数学】已知向量=a b ,a b 间的夹角为34π，则2-=a bA BC D 10．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知向量,a b 的夹角为2π，且()2,1=-a ，2=b ，则2+=a bA ．B ．3C D11．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】设向量(1,)x x =-a ，(1,2)=-b ，若∥a b ，则x =A ．32- B ．–1 C ．23 D ．3212．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知向量,a b 满足()+=⊥+a a b a a b ，则a 与b 的夹角是A ．56π B ．23π C ．π3D ．6π13．【云南省红河州2018届高三复习统一检测数学】在ABC △中，2CM MB =u u u u r u u u r ，AN CN =+0u u u r u u u r，则A ．2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．2376MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC ．1263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u rD ．7263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u r14．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】已知向量()1,1=-a ，()8,k =b ，若∥a b ，则实数k =__________．15．【广西柳州高级中学2017–2018学年高三5月模拟考试数学】已知向量()2,3=a ，(),6m =-b ，若⊥a b ，则|2|+=a b __________．16．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知向量=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =__________．17．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知向量()1,5=a ，()2,1=-b ，(),3m =c ．若()⊥+b a c ，则m =__________．18．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】设向量(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，则实数x 的值是__________．19．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=__________．20．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知1=b ，2⋅=a b ，则向量(2)-⋅=a b b __________．21．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u v u u u v u u u v ，则||OP uuu v ＝__________．22．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】已知向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1），若∥a b ，π02α<<，则=α__________． 23．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】如图，已知AB 为圆C 的一条弦，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r，则AB u u u r =______．24．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ=__________．25．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】在ABC △中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r (),x y ∈R ，且21x y +=，则ABC △的面积的最大值为_____．26．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知O 为原点，点()2,3A ，()1,5B ，(),3C m ，若AB OC ⊥u u u r u u u r ，则实数m =__________．27．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】直线230x y +-=与圆22220x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则||OA OB +=u u u r u u u r__________．28．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】已知向量()()1,1,,2m =-=a b ，若5-=a b ，则实数m =__________． 29．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，若()2-⊥a b a ，则t =__________．30．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =u u u r u u u r ．则AB AD ⋅=u u u r u u u r __________． 31．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知向量()(),1,3,2x ==-a b ，a b，则x __________．若∥。
《高考真题》专题21 圆锥曲线综合-2019年高考文数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 【答案】（1）见解析；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=．专题21 圆锥曲线综合于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+．设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±． 当t =0时，||EM =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP ．于是1||(22xFA x ===-．同理2||=22x FB -． 所以1214()32FA FB x x +=-+=． 故2||=||+||FP FA FB ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、数学运算．圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系，也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 【答案】（1）不会，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-． 又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况．（2）BC 的中点坐标为（2122x ，），可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-． 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-．联立22(21)22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，， 所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（122m --，），半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 【名师点睛】解答本题时，设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=，由根与系数的关系得122x x =-，矛盾，所以不存在；求出过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长．直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-=； （2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．【命题意图】主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．【命题规律】圆锥曲线是高考的必考内容，主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用，圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题，综合性较强，常与向量、圆等知识结合，难度较大．在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧，注意掌握． 【知识总结】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （或x ）得到一个关于x （或y ）的一元二次方程，即联立两个方程得00Ax By C Fx y ++=⎧⎨=⎩，（，），消去y （或x ）得ax 2+bx+c=0（或ay 2+by+c=0）．以ax 2+bx+c=0为例进行讨论． （1）当a ≠0时，设一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线l 与圆锥曲线C 相交；Δ=0⇔直线l 与圆锥曲线C 相切；Δ<0⇔直线l 与圆锥曲线C 相离．（2）当a=0，b ≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合．注意：直线与椭圆（或圆）只有一个公共点是直线与椭圆（或圆）相切的充要条件，而直线与双曲线（或抛物线）只有一个公共点只是直线与双曲线（或抛物线）相切的必要不充分条件．结论：（1）过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．（2）过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．2．圆锥曲线中弦的相关问题（1）弦长的求解①当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；②当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点，则弦长1–x2|y1–y2|（k≠0）；③当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．（2）弦中点问题圆锥曲线以P（x0，y0）（y0≠0）为中点的弦所在直线的斜率如下表：其中k=1212y y x x --（x 1≠x 2），（x 1，y 1），（x 2，y 2）为弦的端点坐标．【方法总结】1．直线与圆锥曲线的位置关系问题的常见类型及解题策略： 一是判断位置关系；二是依据位置关系确定参数的范围．这两类问题在解决方法上是一致的，都是将直线与圆锥曲线方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解．（1）直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与圆锥曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．（2）直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要通过数形结合求解． 2．与圆锥曲线有关的弦长、面积和弦中点问题 （1）有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法①解决涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时，往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． ②面积问题常采用S 三角形=12×底×高求解，其中底往往是弦长，而高用点到直线的距离公式求解即可，注意选择容易坐标化的弦长为底．有时也可根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．有关求多边形的面积问题，常转化为求三角形的面积问题进行求解．③求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．（2）弦中点问题的解决方法 ①用“点差法”求解弦中点问题的步骤②对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．点差法的用途：（i）已知弦的中点，求弦所在的直线的斜率或方程；（ii）求弦（过定点或平行于某条弦）的中点的轨迹方程；（iii）寻找圆锥曲线方程中系数的关系．3．与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题（1）最值问题的求解方法①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．②建立不等式模型，利用基本不等式求最值．③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．（2）求参数取值范围的常用方法①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数取值范围．③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的取值范围．④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．4．与圆锥曲线有关的定点、定值问题（1）求解定点问题常用的方法①“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．③求证直线过定点（x0，y0），常利用直线的点斜式方程y–y0=k（x–x0）来证明．（2）求解定值问题常用的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．5．有关存在性问题的求解策略（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在并设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在．（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．（3）解决存在性问题时要注意解题的规范性，一般先作出结论，后给出证明（理由）．注意：存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率2e =，过点(),0A a -和()0,B b． （1）求椭圆M 的方程；（2）过点()1,0E 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，且点D 位于第一象限，当3CEDE=时，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）1y x =-．【解析】（1）据题知，直线AB 的方程为0bx ay ab -+=．依题意得2e ⎧=⎪==⎪⎩．解得22a =，21b =，所以椭圆M 的方程为2212x y +=．（2）设()11,C x y ，()22,D x y （20x >，20y >）， 设直线l 的方程为()1x my m =+∈R ．代入椭圆方程整理得：()222210m y my ++-=．2880m ∆=+>，∴12222m y y m +=-+，12212y y m =-+．① 由3CEDE=，依题意可得：123y y =-，② 结合①②得222222132m y m y m =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，消去2y 解得1m =，1m =-（不合题意）．所以直线l 的方程为1y x =-．【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知曲线C 上动点M与定点()F的距离和它到定直线1:l x =-，若过()0,1P 的动直线l 与曲线C相交于A B ，两点．（1）说明曲线C 的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）曲线C 是椭圆，它的标准方程为22142x y +=；（2）存在点02Q（，）满足题意． 【解析】（1）设动点M 坐标为M x y （，），点M到直线1:l x =-d ．依题意可知2MF d=2=， 化简得22142x y +=，所以曲线C 是椭圆，它的标准方程为22142x y +=．（2）①当直线l 与y 轴垂直时，由椭圆的对称性可知PA PB =，又因为QA PA QBPB=，则QA QB =，从而点Q 必在y 轴上．②当直线l 与x 轴垂直时，则((,0,A B ，由①可设()()000,,1Q y y ≠，由QA PA QBPB==01y =（舍去），或02y =． 则点Q 的坐标只可能是02Q （，）．下面只需证明直线l 斜率存在且02Q （，）时均有QA PA QBPB=即可．设直线l 的方程为1y kx =+，代入22142x y +=得()2221420k x kx ++-=．设112212122242,2121k Ax y B x y x x x x k k +-=-++（，），（，），＝， 所以121212112x x k x x x x ++==， 设点B 关于y 轴对称的点坐标22'B x y （，）-，因为直线QA 的斜率11111211QA y kx k k x x x --===-， 同理得直线'QB 的斜率22'222211QB y kx k k x x x --===-+--， '12112220QA QB k k k k k x x ⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭，'QA QB k k =，三点,,'Q A B 共线．故12'QA QA x PA QBQB x PB===．所以存在点02Q （，）满足题意．【名师点睛】本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型．3．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】已知椭圆2222:1(0)x y N a b a b +=>>经过点(0,1)C，且离心率为2．（1）求椭圆N 的方程； （2）直线1:3l y kx =-与椭圆N 的交点为,A B 两点，线段AB 的中点为M ，是否存在常数λ，使AMC ABC λ=⋅∠∠恒成立，并说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析．【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y N a b a b +=>>经过点()0,1C，所以1,2c b a ==又因为222,a c b -=可解得1,c a ==，焦距为22,c = 所求椭圆的方程为2212x y +=．（2）在常数2,λ=使AMC ABC λ∠=∠恒成立．证明如下：由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160,0,k x kx ∆+--=>设()()1122,,,A x y B x y 则1212221216,918918k x x x x k k -+==++ 又因为()()1122,1,,1,CA C x y x B y =-=-所以()()12121212441133x x y y x x kx CA CB kx ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪⎪⎭⎝⋅ ⎝⎭()()21212416139k x x k x x =+-++()2221641219183918k k k k k-=+⋅-⋅++1609+=，所以CA CB ⊥ 因为线段AB 的中点为M ，所以，所以MC MB =，所以2.AMC ABC ∠=∠ 存在函数2,λ=使2AMC ABC ∠=∠恒成立．【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．4．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】设D 是圆22:16O x y +=上的任意一点，m 是过点D 且与x 轴垂直的直线，E 是直线m 与x 轴的交点，点Q 在直线m上，且满足2|||EQ ED =．当点D 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点(2,3)P ，过(2,0)F 的直线l 交曲线C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）见解析．【解析】（1）设点(),Q x y ，()00,D x y，因为2EQ =，点Q 在直线m 上， 所以0x x =，0y y =．① 因为点D 在圆O ：2216x y +=上运动，所以220016x y +=．②将①式代入②式，得曲线C 的方程为2211612x y +=．（2）由题意可知l 的斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =-， 令8x =，得M 的坐标为()8,6k ．由()22116122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()()222243161630k x k x k +-+-=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则有21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+．③ 记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ， 从而11132y k x -=-，22232y k x -=-，3631822k k k -==--． 因为直线AB 的方程为()2y k x =-，所以()112y k x =-，()222y k x =-，所以1212123322y y k k x x --+=+--1212121132222y y x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪----⎝⎭()12121242324x x k x x x x +-=-⨯-++．④把③代入④，得()221222221644323211633244343k k k k k k k kk k -++=-⨯=---+++． 又312k k =-，所以1232k k k +=， 故直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．【名师点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学】思想，考查了计算能力，属于中档题．5．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 为椭圆C 上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，有114AF BF +=，且12F AF ∠的最大值π3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若A '是A 关于x 轴的对称点，设点(4,0)N ，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，问直线A E '与x 轴是否交于一定点．如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）定点(1,0)Q ．【解析】（1）因为点A 为椭圆上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ， 所以12AF BF =，又114AF BF +=，所以2124BF BF a +==，2a =所以． 又12F AF ∠的最大值为3π，知当A 为上顶点时，12F AF ∠最大， 所以2a c =，所以1c =，所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由题知直线NA 的斜率存在，设直线NA 的方程为()4y k x =-．由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222433264120k x k x k +-+-=．因为直线NA 与椭圆交于,N A 两点， 所以()()()22223244364120k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 设()11,A x y ，()22,E x y ，则()11,A x y '-，且21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+，① 由题意得，直线A E '的方程为()212221y y y y x x x x +-=--，令0y =得()()221221y x x x x y y -=-+，将()114y k x =-，()224y k x =-代入上式整理得()121212248x x x x x x x -+=+-．将①代入上式，得222222641232244343132843k k k k x kk -⨯-⨯++==-+，所以直线A E '与x 轴交于定点()1,0Q ．【名师点睛】（1）解答解析几何问题的方法是把题目信息坐标化，然后通过代数运算达到求解的目的，由于在解题中需要用到大量的计算，所以采取相应的措施以减少计算量，如“设而不求”、“整体代换”等方法的利用．（2）解决定点问题时，可根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点． 6．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知抛物线22y x =，过点(2,4)A -的直线l 交抛物线于B 、C 两点，设O 为坐标原点，点1(,0)2P ．（1）求tan PAO ∠的值；（2）若PAB △，PBC △，PAC △的面积成等比数列，求直线l 的方程．【答案】（1）2tan 21PAO =∠；（2）直线l 的方程为20x y +-=或9380x y -+=． 【解析】（1）由题意直线AO ，AP 斜率均存在，且2AO k =-，481522AP k =-=-+． ∴()tan tan PAO AOP APO ⎡⎤∠=π-∠+∠⎣⎦()()tan 1OA APOAAPk k AOP APO k k-=-∠+=--⋅-()8225821125-+=-=--⋅． 故2tan 21PAO ∠=． （2）由（1）知点P 为抛物线的焦点据题意，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()()420y k x k -=+≠．由()242,2,y k x y x ⎧-=+⎪⇒⎨=⎪⎩()()2222482240k x k k x k ++-++=． 设()11,B x y 、()22,C x y ，则有2122482k k x x k +-+=-，()212224k x x k +=， ()()2222482424k k k k ∆=+--+()244810k k =-+->．若PAB △，PBC △，PAC △的面积成等比数列，则AB ，BC ，AC 成等比数列，∴AB BC BCAC=，即12121222x x x x x x +-=-+．∴()()2212121524x x x x x x +=+++∴()22222244825k k k k k +⎛⎫+--=⨯ ⎪⎝⎭2248224k k k ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭， 整理得29810k k +-=，解得1k =-或19k =，均满足>0∆． 故直线l 的方程为20x y +-=或9380x y -+=．【名师点睛】本题主要考查了直线的倾斜角以及直线与抛物线的弦长问题，属于难题．对于直线与圆锥曲线的弦长的计算：（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求出弦长；（2）由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，消去y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程．设直线与圆锥曲线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，直线斜率为k，则弦长公式为1212AB x x y y =-=-，结合韦达定理即可求解． （3）当直线经过圆锥曲线的焦点时，可利用焦点弦来求弦长．7．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点()10F c -，，()20F c ，，设P ，Q 分别是椭圆C 的上、下顶点，且四边形12PF QF的面积为． （1）求椭圆C 的方程；（2）当b c >时，A ，B 为椭圆C 上的动点，且PA PB ⊥，试问：直线AB 是否恒过一定点？若是，求出此定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=或2214x y +=；（2）恒过定点0，⎛ ⎝⎭． 【解析】（1）依题意，四边形12PF QF的面积为则142b c ⨯⨯⨯=bc = 又四边形12PF QF，记内切圆半径为r ，由2r π=，得2r =，由bc ar ==得2a =，又2224a b c =+=，且bc =故1b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩或1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22143x y +=或2214x y +=．（2）因为b c >，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，则(0P ，设()11A x y ，，()22B x y ，，由题意知直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为y kx m =+，则由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()2224384120k x kmx m +++-=， 则122843km x x k -+=+，212241243m x x m -=+，()()()222264434120*k m k m ∆=-+->，由PA PB ⊥，可得0AP PB ⋅=，即()()(1212000x x y y--+=，即()12121230x x y y y y +++=，又11y kx m =+，22y kx m =+，所以2222224124124343m k m k k k --+-++222283043k m m k +++=+，0=，解得m =m =，又7m =-满足()*式， 故直线AB方程为7y kx =-， 所以直线AB恒过定点0⎛ ⎝⎭，．【名师点睛】本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和椭圆的关系以及转化思想，考查了向量坐标表示垂直，是一道中档题．8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，点A 在椭圆上，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 、M 、N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求出该定值．【答案】（1）22184x y +=；（2）【解析】（1）由题有22222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩，∴28a =，24b =，∴椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）当直线PN 的斜率k 不存在时，直线PN的方程为x =x =从而有PN =所以1122S PN OM ==⨯= 当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为()0y kx m m =+≠，()11,P x y ，()22,N x y ， 将直线PN 的方程代入椭圆C 的方程，整理得()222124280kxkmx m +++-=，所以122412km x x k -+=+，21222812m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+， 由OM OP ON =+，得2242,1212kmm M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭． 将M 点的坐标代入椭圆C 方程得2212m k =+．又点O 到直线PN的距离为d =12PN x =-，∴12S d PN m x x =⋅=⨯-124x x === 综上，平行四边形OPMN的面积S 为定值【名师点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．9．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，右顶点是()2,0A ，离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆交于两点,M N （,M N 不同于点A ），若0AM AN ⋅=，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）右顶点是()2,0A ，离心率为12， 所以12,2c a a ==，∴1c=，则b = ∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）当直线MN 斜率不存在时，设:MN l x m =，与椭圆方程22143x y +=联立得：y =MN =设直线MN 与x 轴交于点B ，MB AB =2m =-，∴27m =或2m =（舍），∴直线m 过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭； 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 斜率为k ，()()1122,,,M x y N x y ，则直线():0MN y kx b k =+≠，与椭圆方程22143x y +=联立，得()2224384120k x kbx b +++-=，122843kb x x k +=-+，212241243b x x k -=-+，()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++， ()()()22284434120,kb k b k ∆=-+->∈R ，0AM AN ⋅=，则()()11222,2,0x y x y --=，即()121212240x x x x y y -+++=， ∴2274160b k kb ++=，∴27b k =-或2b k =-， ∴直线2:7MN l y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()2y k x =-，∴直线过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭或()2,0舍去， 综上知直线过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭． 【名师点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．10．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一）数学】抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p ．（1）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（2）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上．【答案】（1）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（2）详见解析．【解析】（1）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-．（2）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-．∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+．由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上．【名师点睛】本题考查了求抛物线方程和直线与圆锥曲线方程的交点，用导数求切线方程的斜率． 11．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知抛物线2:4C x y =，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ． （1）当M 的坐标为（0，–1）时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程； （2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M ．【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明．【解析】（1）当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=．① 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±．代入方程①，解得A （2，1），B （–2，1）．设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =．故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB x k =，切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-，即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-，即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-．① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-．②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+uuu r ，2220(,1)4x MB x x =-+uuu r ，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++uuu r uuu r22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=． 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【名师点睛】本题考查利用直线与抛物线的位置关系，求出切线的斜率，又考查了利用导数，研究抛物线的切线问题，同时考查了求过三点的圆的方程．考查了方程思想、数学运算能力．12．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知抛物线22(0)y px p =>上一点3,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭到它的准线的距离为52． （1）求p 的值；（2）在直线l 上任意一点(),2P a -作曲线C 的切线，切点分别为,M N ，求证：直线MN 过定点． 【答案】（1）2；（2）证明见解析．【解析】（1）抛物线220E y px p =>：（）的准线为2px =-， 由已知得32M m ，⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为52， ∴35222p +=，∴2p =，∴E 方程24y x =， （2）由已知可设112222l x m y l x m y =+=+：，：，由2142y x x m y ⎧=⎨=+⎩，化简得21480y m y --=， 设1122A x y C x y （，），（，），则1214y y m +=，∴12M y m =，又2122M x m =+，即()211222M m m +，， 同理可得：()222222N m m +，， ∴()()()211222122122102222MN m m k m m m m m m -==+≠++-+， ∴()211121222MN y m x m m m -=--+：，即()1212122y x m m m m =-++，∵12l l ，的斜率之积为–2， ∴12112m m ⋅=-，即1212m m =-， ∴()1213MN y x m m ：=-+即直线MN 过定点30（，）， 当120m m +=时，不妨设1200m m ><，，则12m m ==，直线MN 也过点()30，， 综上，即直线MN 过定点()30，． 【名师点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线过定点问题的综合应用，属于难档题．判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ；（2）点斜式()0,y k x x =-直线过定点()0,0x ．13．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点为12,F F ，点(),P mn 在椭圆C 上．（1）设点P 到直线:4l x =的距离为d ，证明：2dPF 为定值；（2）若02,,m A B <<是椭圆C 上的两个动点（都不与P 重合），直线,PA PB 的斜率互为相反数，求直线AB 的斜率（结果用n 表示）【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）由已知，得224,3a b ==，所以2221c a b =-=，即()()121,0,1,0F F -， 因为点(),P m n 在椭圆22:143x y C +=上，所以22143m n +=，即22314m n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又2PF ==142m ==-， 所以242142m dPF m -==-为定值． （2）当02m <<时，则0n ≠，直线,PA PB 的斜率一定存在．设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的斜率为k ，则PA 的方程为()y n k x m -=-，即y kx k m n =-+，与椭圆C 的方程223412x y +=，联立组成方程组，消去y ，整理得()()22348kxk km n x +--()24120km n +--=，由韦达定理，得()21241234km n m x k--⋅=+，于是()()21112412,34km n x y kx km n k m--==-++，根据直线PB 的斜率为k -，将上式中的k 用k -代替， 得()()()()22222412412,3434km n km n x k mk m---+-==⎡⎤++-⎣⎦22y kx km n =-++，于是()()1212km km y y kx n kx n -=-+--++()122k x x km =+-，()()()()222241*********km n km n k km k m k m ⎡⎤--+-⎢⎥=+-++⎢⎥⎣⎦()()()22222282423434k m n m k k k m +--+=⋅+()222824634n m k k m--=⋅+， ()()()()2212224124123434km n km n x x k mk m--+--=-++()()()()22224163434km n km n kmn k m k m⎡⎤--+⎣⎦==-++，注意到223412m n +=得221243n m -=，于是m = 因此，直线AB 的斜率为()221212824616ABn m k y y k x x kmn---==--2223412638842m n m m mn mn n n-+====．【名师点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，设而求的思想，准确计算是得解，是中档题．14．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>直线10x y +-=被圆222x y b +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点P ，使得PA PB ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标和PA PB ⋅的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）5,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，716-．【解析】（1）∵椭圆C的离心率为2，∴a =， ∵圆222x y b +=的圆心到直线10x y +-=的距离为2d ==， ∴直线10x y +-=被圆222x y b +=截得的弦长为== 解得1b =，故a ==C 的方程为2212x y +=．（2）设(),0P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，当直线l 与x 轴不重合时，设l 的方程：1x my =+．由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-=，1221222212m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∴12242x x m +=+，2122312m x x m -=++，()()1122,,PB x t y t A y P x ⋅=-⋅-()2121212x x t x x t y y =-+++22234112m t t m ---=+++222413312t m t m +⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-+++， 当4123t +=，即54t =时，PA PA ⋅的值与m 无关，此时716PA PB ⋅=-． 当直线l 与x 轴重合且54t =时，552,0,044P P B A ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎭⎝⎭25721616=-=-． ∴存在点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭，使得PA PB ⋅为定值716-．【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能。
广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学(文)试卷及解析
……装…………○_____姓名：___________班……装…………○广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合A ={x|x 2−4x ＜0}，B ={-1,0,1,2}，则A ∩B =( )A. {-1,0}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}2.若复数z 满足zi=1+i ，i 是虚数单位则|z |=( ) A. 1B. √2C. √3D. 23.若向量a ⃑⃑ =(2,3),b ⃑⃑ =(−1,2),则a ⃑⃑ ·(a ⃑⃑⃑⃑⃑ −2b ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=( ) A. 5B. 6C. 7D. 84.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m 万,各县人口占比如图.其中丙县人口为70万.则去年年底甲县的人口为( )A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万5.已知双曲线C:x 2a 2−y 23=1(a >0)的一个焦点为（2，0），则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. y=±x B. y =±√2xC. y=±√3x D. y =±2x6.某几何体的三视图，如图，则该几何体的体积为（ ）答案第2页，总17页○…………线…………○○…………线…………○A. 3B. 4C. 5D. 67.已知数列{a n }満足: a 1=1,a n+1=3a n −2，则a 6=( )A. 0B. 1C. 2D. 68.巳知将函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π2)的图象向左平移φ个単位长度后.得到函数g (x )的图象.若g (x )是偶函数.则f (π3)=( )A. 12B. √22C. √32D. 19.已知x,y 满足条件{2x −y ≥0x +y −1⩾0x ⩽m若z =x+2y 的最小值为0,则m =( )A. 1B. 2C. 3D. 410.函数y =2sinxcosx −√3cos2x 的单调增区间是( )A. [kπ−5π12,kπ+π12](k ∈Z) B. [kπ−π6,kπ+π3](k ∈Z)C. [kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)D. [kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)11.已知抛物线x 2=2py （p ＞0）的准线方程为y =−1，ΔABC 的顶点A 在抛物线上，B ，C 两点在直线y =2x −5上，若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ －AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√5，则ΔABC 面积的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 12D. 112.设过点P(－2，0)的直线l 与圆C:x 2+y 2−4x −2y +1=0的两个交点为A ，B ，若8PA⃑⃑⃑⃑⃑ =5AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|AB |=（ ） A. 8√55B. 4√63C. 6√65D. 4√53第II 卷（非选择题）装…………○…………订…………○…………姓名：___________班级：___________考号：___________装…………○…………订…………○…………请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.曲线y=xe x −2x 2+1在点（0,1）处的切线方程为________.14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=7，则S 9=_______.15.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=−1，则输出的T =________．16.已知函数f(x)={|lnx |,x >0x +1,x ≤0，若函数y =f(x)−a 2有3个零点，则实数a 的取值范围是_____．三、解答题（题型注释）17.已知在△ABC 中. A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,若a 2+b 2−c 2=8，△ABC 的面积为2√3.(1)求角C 的大小; (2)若c=2√3,求sinA +sinB 的值.18.一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.答案第4页，总17页…○…………订………※装※※订※※线※※内※※答※※题…○…………订………(1)求出y 关于x 的线性回归方程ŷ=b ̂x +â； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：b ̂=∑(x i −x ̅)ni=1(y i −y ̅)∑(x i −x̅)2p i=1=∑x i ei=1y i −nx̅y ̅∑x zl n i=1−n(x̅)z ,â=y ̅−b ̂x ̅ 19.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB =AC ，M 是侧面AA 1C 1C 的对角线的交点，D ，E 分别是AB ，BC 中点（1）求证：MD//平面A 1BC 1； （2）求证：平面MAE ⊥平面BCC 1B 120.已知曲线C 上动点M 与定点F(−√2，0)的距离和它到定直线l 1:x =−2√2的距离的比是常数√22，若过P (0,1)的动直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点 （1）说明曲线C 的形状，并写出其标准方程； （2）是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |=|PA||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 21.已知函数f(x)=ax 2−x −2lnx(a ∈R)(1)若函数f(x)的一个极值点为x =1，求函数f(x)的极值(2)讨论f(x)的单调性.22.[选修4-4:坐标系与参数方程] 已知曲线l 的参数方程为{x =2+35t y =1−45t (t 为参数)，以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4√2cos(θ−π4 ).(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设P(2，1).直线l与曲线C交于点A，B.求|PA||PB|的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+3|−2（1）解不等式f(x)<|x−1|；（2）若∃x∈R，使得f(x)≥|2x−1|+b成立，求实数b的取值范围答案第6页，总17页参数答案1.C【解析】1.求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可． 解：由A 中不等式变形得：x （x ﹣4）＜0， 解得：0＜x ＜4，即A ＝（0，4）， ∵B ＝{﹣1，0，1，2}， ∴A ∩B ＝{1，2}， 故选：C ． 2.B【解析】2.根据复数的代数运算法则，求出复数z ，再求它的模长即可． 解：∵复数z 满足zi =1+i ，（i 为虚数单位），∴z =1+i i=1−i ，∴|z |=√12+(−1)2=√2．故选：B ． 3.A【解析】3.由向量的坐标运算可得a →−2b →的坐标，结合数量积的坐标运算可得结果． 解：∵a ⃑⃑ =(2，3)，b ⃑⃑ =(−1，2)， ∴a →−2b→=(2，3)−(−2，4)＝（4，−1），∴a ⃑⃑ ·(a ⃑⃑ −2b ⃑⃑ )=8−3＝5 故选：A ． 4.C……外…………○学……内…………○【解析】4.根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果. 由统计图可得，丙县人口占四个县总人口的20%， 又丙县人口为70万，所以四个县总人口为7020%=350万，因甲县人口占四个县总人口的52%， 所以甲县的人口为350×52%=182万.故选C 5.C【解析】5.先由双曲线的一个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程. 因为双曲线C:x 2a −y 23=1(a >0)的一个焦点为（2，0）， 所以a 2+3=4，故a 2=1，因此双曲线的方程为x 2−y 23=1，所以其渐近线方程为y =±√3x .故选C 6.C【解析】6.由三视图可知，该几何体为正方体割去了一个四棱柱，进而可得其体积.由三视图可知，该几何体为棱长为2的正方体割去了一个四棱柱A 1D 1LI −B 1C 1KJ 故所求体积为：23−(1+2)×12×2=5故选：C 7.B答案第8页，总17页【解析】7. 由a 1=1，a n+1=3a n −2可得a 2=1，以此类推，即可得出结果. 因为a 1=1，a n+1=3a n −2，所以a 2=3−2=1，以此类推可得a 3=3a 2−2=1，a 4=3a 3−2=1，a 5=3a 4−2=1，a 6=3a 5−2=1.故选B 8.A【解析】8.先由题意写出g (x )=sin (2x +3φ)，根据g (x )是偶函数求出φ，即可得出结果. 由题意可得：g (x )=sin (2x +3φ)，因为g (x )是偶函数，所以3φ=π2+kπ(k ∈Z)，即φ=π6+kπ3(k ∈Z)，又0<φ<π2，所以0<π6+kπ3<π2，解得−12<k <1，所以k =0，故φ=π6；所以f (π3)=sin (2×π3+π6)=12.故选A 9.B【解析】9.根据约束条件作出可行域，将目标函数z =x +2y 化为y =−12x +z2，结合图像以及z =x +2y 的最小值，即可求出结果.由约束条件{2x −y ≥0x +y −1≥0x ≤m作出可行域，○…………线…………○…_○…………线…………○…又目标函数z=x +2y 表示直线y =−12x +z2在y 轴截距的二倍，因此截距越小，z 就越小； 由图像可得，当直线y=−12x +z2过点A 时，在y 轴截距最小；由{x =mx +y −1=0 解得A(m ，1−m)， 所以z min =m +2(1−m )=2−m ，又z=x +2y 的最小值为0，所以2−m =0，解得m =2.故选B 10.D【解析】10.化简函数可得y ＝2sin （2x −π3），把“2x −π3”作为一个整体，再根据正弦函数的单调增区间，求出x 的范围，即是所求函数的增区间．y =2sinxcosx −√3cos 2x =sin2x −√3cos 2x =2sin （2x −π3），由−π2+2k π≤2x −π3≤π2+2k π得，k π−π12≤x ≤k π+5π12（k ∈z ），∴函数的单调增区间是[k π−π12，k π+5π12]（k ∈z ），故选：D ． 11.D【解析】11.先由题意求出p ，得到抛物线方程，再由|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ －AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√5得|CB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√5，设点A 到直线BC 的距离答案第10页，总17页为d ，故ΔABC 面积为S ∆ABC =12|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |d =√5d ，由点到直线的距离公式求出d 的最小值即可得出结果. 因为抛物线x 2=2py （p ＞0）的准线方程为y =−1，所以p =2，抛物线方程为x 2=4y ；又|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ －AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√5，所以|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√5， 设点A 到直线BC 的距离为d ， 故ΔABC 面积为S ∆ABC=12|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |d =√5d ， 因为A 在抛物线上，设A(x ，14x 2)， 则d=|2x−14x 2−5|√5=24√5=24√5≥√5，故S ∆ABC =√5d ≥1.故选D 12.A【解析】12.先设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为x=my −2，联立直线与圆的方程，根据韦达定理以及8PA⃑⃑⃑⃑⃑ =5AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，可求出m ，再由弦长公式即可求出结果. 由题意，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为x=my −2，由{x 2+y 2−4x −2y +1=0x =my −2得(m 2+1)y 2−(8m +2)y +13=0，则y 1+y 2=8m+2m 2+1，y 1y 2=13m 2+1，又8PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =5AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以8(x 1+2，y 1)=5(x 2−x 1，y 2−y 1)，故8y 1=5(y 2−y 1)，即y 2=135y 1，代入y 1y 2=132得：y 12=52，故y 22=16925×52， 又(y 1+y 2)2=(8m+2m 2+1)2，即y 12+y 22+2y 1y 2=19425×5m 2+1+26m 2+1=(8m+2m 2+1)2，整理得：m 2−40m +76=0，解得m =2或m =38，又|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√3m 2+8m−12m 2+1， 当m =2时，|AB |=8√55；当m=38时，|AB |=8√55；综上|AB|=8√55.故选A13.y=x+1【解析】13.求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程．解：求导函数可得，y′＝（1+x）e x−4x当x＝0时，y′＝1∴曲线y=xe x−2x2+1在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝x，即y=x+1．故答案为：y=x+1．14.63【解析】14.由等差数列的前n项和公式可得S9=9a5，即可求出结果.=9a5=63.因为a5=7，所以S9=9(a1+a9)2故答案为6315.65【解析】15.执行程序框图，依次写出每次循环得到的T，a，i值，当i=6时，程序终止即可得到结论．执行程序框图，T＝0，a＝﹣1，i＝1，满足条件i≤5，执行循环，T＝0，a＝﹣1，i＝1；满足条件i≤5，执行循环，T＝1，a＝0，i＝2；满足条件i≤5，执行循环，T＝1，a＝1，i＝3；满足条件i≤5，执行循环，T＝4，a＝2，i＝4；满足条件i≤5，执行循环，T＝20，a＝3，i＝5；满足条件i≤5，执行循环，T＝65，a＝4，i＝6；此时，不满足条件i≤5，退出循环输出T的值为65．故答案为：65．答案第12页，总17页○…………订…………○…※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………订…………○…16.[−1 ，0)∪(0，1]【解析】16.先作出函数f(x)图像，根据函数y=f(x)−a 2有3个零点，得到函数f(x)的图像与直线y =a 2有三个交点，结合图像即可得出结果. 由题意，作出函数f(x)={|lnx |,x >0x +1,x ≤0的图像如下，因为函数y=f(x)−a 2有3个零点，所以关于x 的方程f (x )−a 2=0有三个不等实根； 即函数f(x)的图像与直线y =a 2有三个交点，由图像可得：0<a 2≤1，解得−1≤a <0或0<a ≤1.故答案为[−1 ，0)∪(0，1] 17.（1）π3；（2）32【解析】17.(1)由三角形的面积为2√3得到12absinC =2√3，由余弦定理以及a 2+b2−c 2=8得到2abcos C =8，进而可求出tanC ，得到角C ；(2)由(1)的结果，先求出ab ，根据c=2√3，即可求出a +b ，再由正弦定理可得sinA +sinB =asinC c+bsinC c，即可求出结果.（1）由ΔABC 的面积为2√3可得 12absinC =2√3，由a 2+b 2−c 2=8及余弦定理可得2abcos C =8，故tanC =√3,C =π3;(2)∵C=π3,2abcosC =8,∴ab =8又a 2+b 2−c 2=8,c =2√3，可得a +b =6由正弦定理，a sinA=b sinB =c sinC ,得sinA +sinB =asinC c+bsinC c=(a +b)sinC c=3218.（1）y ̂=3x −8.5；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【解析】18.（1）先由题中数据求出x ，y ，再根据b ̂=∑(x i −x)(y i −y)ni=1∑(x i −x)2n i=1=∑x i y i −nxyni=1∑x i 2−n(x)2n i=1,a ̂=y ̂−b ̂x 求出b ̂和a ̂，即可得出回归方程； （2）将x=8.5代入回归方程，即可求出预测值.（1）由题中数据可得x =11.5, y =26，∑x i y i =1211,4i=1∑x i 2=5344i=1∴b̂=∑x i y i −4xy 4i=1∑x i 2−4(x)24i=1=1211−4×11.5×26534−4×11.52=155=3, 故â=y −b ̂x =26−3×11.5=−8.5，∴y ̂=3x −8.5 （2）由（1）得，当x=8.5时，ŷ=17，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 19.（1）见证明；（2）见证明【解析】19.（1）要证MD //平面A 1BC 1，即证MD//BC 1，利用中位线定理可得MD//BC 1； （2）要证平面MAE ⊥平面BCC 1B 1，即证AE ⊥平面BCC 1B 1，即证AE ⊥BC ，BB 1⊥AE .（1）∵M 棱柱的侧面AA 1C 1C 对角线的交点，∴M 是AC 1中点． ∵D 是AB 中点，∴MD//BC 1 ∵MD ⊄平面A 1BC 1，BC ⊂C 平面A 1BC 1∴MD //平面A 1BC 1（2）∵AB=AC ，E 是BC 中点，∴AE ⊥BC ．∵AA 1⊥平面ABC ，AE⊂平面ABC ，∴AA 1⊥AE ．∵在棱柱中BB //AA ，∴BB ⊥AE ．答案第14页，总17页∵BB 1∩BC =B ，BB 1，BC ⊂平面BCC 1B 1∴AE ⊥平面BCC 1B 1. ∵AE⊂平面MAE ，∴平面MAE ⊥平面BCC 1B 1．20.（1）曲线C 是椭圆，它的标准方程为x 24+y 22=1；（2）存在点Q （0，2）满足题意【解析】20.（1）先设动点M 坐标为M （x ，y ），根据题意列出等式√√2)22x+22=√22，化简整理即可求出结果；（2）分情况讨论如下：当直线l 与y 轴垂直时，易得点Q 必在y 轴上.；当直线l 与x 轴垂直时，易得点Q 的坐标只可能是Q （0，2）；再证明直线l 斜率存在且Q （0，2）时均有|QA ||QB |=|PA ||PB |即可. （1）设动点M 坐标为M （x ，y ）点M 到直线l 1:x =−2√2的距离为d ．依题意可知|MF |d=√22则√√2)22|x+2√2|=√22 化简得x 24+y 22=1所以曲线C 是椭圆，它的标准方程为x 24+y 22=1 （2）①当直线l 与y 轴垂直时，由椭圆的对称性可知|PA |=|PB |，又因为|QA ||QB |=|PA ||PB |,则|QA |=|QB | 从而点Q 必在y 轴上.②当直线l 与x 轴垂直时，则A(0,√2),B(0,−√2)，由①可设Q(0,y 0),(y 0≠1)，由|QA ||QB |=|PA ||PB |得0√2|y 0+√2=√2−1√2+1，解得y 0=1（舍去），或y 0=2． 则点Q 的坐标只可能是Q （0，2）．下面只需证明直线l 斜率存在且Q （0，2）时均有|QA ||QB |=|PA||PB |即可. 设直线l 的方程为y=kx +1，代入x 24+y 22=1得(2k 2+1)x 2+4kx −2=0. 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1+x 2＝−4k 2k +1,x 1x 2=−22k +1所以1x1+1x 2=x 1+x 2x 1x2=2k 设点B 关于y 轴对称的点坐标B′（−x 2，y 2）因为直线QA的斜率k QA=y1−2x1=kx1−1x1=k−1x1同理得直线QB′的斜率k QB′=y2−2−x2=kx2−1−x2=−k+1x2k QA−k QB′=2k−(1x1+1x2)=2k−2k=0k QA=k QB′，三点Q,A,B′共线.故|QA||QB|=|QA||QB′|=|x1||x2|=|PA||PB|.所以存在点Q（0，2）满足题意．21.（1）f(x)的极小值为f(1)=12，没有极大值（2）见解析【解析】21.（1）求出导函数，根据x=1是函数f(x)的一个极值点求出a=32，然后再讨论函数的单调性，进而可得极值．（2）求出导函数，然后根据实数a的取值情况讨论函数的单调性．（1）∵f(x)=ax2−x−2lnx(x>0)，∴f′(x)=2ax−1−2x，∵x=1是函数f(x)的一个极值点，∴f′(1)=2a−1−2=0，解得a=32．∴f′(x)=3x−1−2x=3x2−x−2x =(x−1)(3x+2)x，∴当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0．∴f(x)的单调减区间为(0,1]，单调增区间为[1,∞)，∴f(x)的极小值为f(1)=32−1=12，没有极大值．（2）由题意得f′(x)=2ax−1−2x=2ax2−x−2x(x>0)，①当a≤0时，f′(x)<0对x>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．②当a>0时，由f′(x)=0，即2ax2−x−2=0，得x1=1−√1+16a4a ,x2=1+√1+16a4a，显然x1<0,x2>0，且当0<x<x2时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x>x2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上可得，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；答案第16页，总17页当a>0时，f(x)在(0,1+√1+16a4a)上单调递减，在(1+√1+16a4a,+∞)上单调递增． 22.（1）(x −2)2+(y −2)2=8；（2）7【解析】22. （1）先将ρ=4√2cos(θ−π4)化为ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，进而可得出其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入（1）的结果，整理得到t 2+85t −7＝0，再设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，进而可得|PA |·|PB |=|t 1t 2|，即可求出结果.（1）由ρ=4√2cos (θ−π4)得ρ=4cosθ+4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，又x=ρcosθ，y =ρsinθ，∴x 2+y 2=4x +4y 即曲线C 的直角坐标方程为(x −2)2+(y −2)2=8．（2）将{x =2+35t y =1−45t代入C 的直角坐标方程，得925t 2+(−45t −1)2=8，∴t 2+85t −7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， ∴t 1t 2=−7．则|PA |·|PB |=|t 1t 2|=7. 23.（1）{x |x <0}；（2）(−∞，32].【解析】23.（1）分三种情况讨论，即可求出结果；（2）先由题意得，|x +3|−|2x −1|−2≥b ，令g(x)=|x +3|−|2x −1|−2，求出g(x)的最小值，即可得出结果. （1）由f(x)<|x −1|，可得|x +3|−2<|x −1|，当x≥1时，x +3−2<x −1不成立，当−3<x <1时，x +3−2<1−x ，∴−3<x <0，当x≤−3时，−x −3−2<1−x ，−5<1成立，∴不等式f(x)<|x−1|的解集为{x|x<0}．（2）依题意，|x+3|−|2x−1|−2≥b，令g(x)=|x+3|−|2x−1|−2={x−6,x≤−33x,−3<x<12−x+2,x≥12，易知g(x)max=g(12)=32，则有32≥b，即实数b的取值范围是(−∞，32].。
广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学(理)试卷及解析
…………装………___________姓名：______…………装………广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合A={x |x 2−x −6≥0}，集合B ={0,1,2,3,4}，则A ∩B ＝（ ）A. {4}B. {3,4}C. {2,3,4}D. {0,1,2,3,4}2.若复数z 满足(1+z)(1+i)=1+2i ，i 是虚数单位，则|z |＝（ ）A. √22B. 12C. √2D. √33.若向量a ⃑⃑ =(2,3), b ⃑⃑ =(x,2)且a ⃑⃑ ·(a ⃑⃑⃑⃑⃑ −2b ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=3,则实数x 的值为( ) A. −12B. 12C. −3D. 34.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m 万,各县人口占比如图.其中丙县人口为70万.则去年年底甲县的人口为( )A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万5.已知双曲线C:x 2a 2−y 23=1(a >0)的一个焦点为（2，0），则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. y=±x B. y =±√2xC. y=±√3x D. y =±2x6.已知数列{a n }満足: a 1=1,a n+1=3a n −2，则a 6=( )A. 0B. 1C. 2D. 67.巳知将函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π2)的图象向左平移φ个単位长度后.得到函数g (x )的图象.若g (x )是偶函数.则f (π3)=( )答案第2页，总17页…○…………装……※※请※※不※※要※※在…○…………装……A. 12B. √22C.√32D. 18.已知x,y 满足条件{2x −y ≥0x +y −1⩾0x ⩽m若z =x+2y 的最小值为0,则m =( )A. 1B. 2C. 3D. 49.曲线y =4x与直线y =5−x 围成的平面图形的面积为（ ）A. 152B. 154C. 154−4ln2D. 152−8ln210.已知抛物线x 2=2py （p ＞0）的准线方程为y =−1，ΔABC 的顶点A 在抛物线上，B ，C 两点在直线y =2x −5上，若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ －AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√5，则ΔABC 面积的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 12D. 111.设过点P(－2，0)的直线l 与圆C:x 2+y 2−4x −2y +1=0的两个交点为A ，B ，若8PA⃑⃑⃑⃑⃑ =5AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|AB |=（ ） A. 8√55B. 4√63C. 6√65D. 4√5312.已知一个四棱锥的三视图如图.图中网格小正方形边长为1.则该几何体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A. 4√5B. 6C. 4√2D. 4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.二项式(x 3−√x )6的展开式中x 4的系数为__________．（用数字作答）14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=7，则S 9=_______.…………○…学校:_…………○…15.在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AC =3,BC =3,AB =3√2,AA 1=4,则异面直线A 1C 与BC 1所成角的余弦值为__________．16.已知函数f(x)={|lnx |,x >0x +1,x ≤0，若函数y =f(x)−a 2有3个零点，则实数a 的取值范围是_____．三、解答题（题型注释）17.已知在△ABC 中. A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,若a 2+b 2−c 2=8，△ABC 的面积为2√3.(1)求角C 的大小; (2)若c=2√3,求sinA +sinB 的值.18.一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.(1)求出y 关于x 的线性回归方程ŷ=b ̂x +â； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：b ̂=∑(x i −x ̅)ni=1(y i −y ̅)∑(x i −x̅)2p i=1=∑x i ei=1y i −nx̅y ̅∑x zl n i=1−n(x̅)z ,â=y ̅−b ̂x ̅ 19.如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC =1,BC =2,AA 1=4，M 为侧面AA 1C 1C 的对角线的交点，D ，E 分别是AB ，BC 中点（1）求证：MD ∥平面A 1BC 1； （2）求二面角C−ME −D 的余弦值.20.已知曲线C 上动点M 与定点F(−√2，0)的距离和它到定直线l 1:x =−2√2的距离的比是常数√22，若过P (0,1)的动直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点答案第4页，总17页（1）说明曲线C 的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |=|PA ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 21.已知函数f(x)=ax 2−2xlnx −1(a ∈R).(1) 若x=1e时,函数f(x)取得极值,求函数f(x)的单调区间；(2) 证明：1+13+15+⋯+12n−1>12ln(2n +1)+n 2n+1(n ∈N ∗).22.[选修4-4:坐标系与参数方程]已知曲线l 的参数方程为{x =2+35t y =1−45t (t 为参数)，以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=4√2cos (θ−π4).(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设P(2，1).直线l 与曲线C 交于点A ，B .求|PA||PB|的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=|x +3|−2（1）解不等式f(x)<|x −1|；（2）若∃x∈R ，使得f(x)≥|2x −1|+b 成立，求实数b 的取值范围参数答案1.B【解析】1.化简集合A，再和集合B求交集，即可得出结果.因为A={x|x2−x−6≥0}={x|x≥3或x≤−2}，又B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={3,4}.故选B2.A【解析】2.先由(1+z)(1+i)=1+2i化为z=1+2i1+i−1，再由复数的除法运算即可求出结果.因为(1+z)(1+i)=1+2i，所以z=1+2i1+i−1=(1+2i)(1−i)(1+i)(1−i)−1=3+i2−1=1+i2，故|z|=√(12)2+(12)2=√22.故选A3.A【解析】3.根据题意列出方程，求解即可得出结果.因为向量a⃑⃑ =(2，3)，b⃑⃑ =(x，2)，所以a⃑⃑ −2b⃑⃑ =(2−2x，−1)，又a⃑⃑ ·(a⃑⃑ −2b⃑⃑ )=3，所以2(2−2x)−3=3，解得x=−12.故选A4.C【解析】4.根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果. 由统计图可得，丙县人口占四个县总人口的20%，答案第6页，总17页又丙县人口为70万，所以四个县总人口为7020%=350万，因甲县人口占四个县总人口的52%， 所以甲县的人口为350×52%=182万.故选C 5.C【解析】5.先由双曲线的一个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程. 因为双曲线C:x 2a −y 23=1(a >0)的一个焦点为（2，0）， 所以a 2+3=4，故a 2=1，因此双曲线的方程为x 2−y 23=1，所以其渐近线方程为y =±√3x .故选C 6.B【解析】6. 由a 1=1，a n+1=3a n −2可得a 2=1，以此类推，即可得出结果. 因为a 1=1，a n+1=3a n −2，所以a 2=3−2=1，以此类推可得a 3=3a 2−2=1，a 4=3a 3−2=1，a 5=3a 4−2=1，a 6=3a 5−2=1.故选B 7.A【解析】7.先由题意写出g (x )=sin (2x +3φ)，根据g (x )是偶函数求出φ，即可得出结果. 由题意可得：g (x )=sin (2x +3φ)，因为g (x )是偶函数，所以3φ=π2+kπ(k ∈Z)，即φ=π6+kπ3(k ∈Z)，又0<φ<π2，所以0<π6+kπ3<π2，解得−12<k <1，所以k =0，故φ=π6；所以f (π3)=sin (2×π3+π6)=12.故选A○…………订…………○…班级：___________考号：___________○…………订…………○…8.B【解析】8.根据约束条件作出可行域，将目标函数z =x +2y 化为y =−12x +z2，结合图像以及z =x +2y 的最小值，即可求出结果.由约束条件{2x −y ≥0x +y −1≥0x ≤m作出可行域，又目标函数z=x +2y 表示直线y =−12x +z2在y 轴截距的二倍，因此截距越小，z 就越小； 由图像可得，当直线y=−12x +z2过点A 时，在y 轴截距最小；由{x =mx +y −1=0 解得A(m ，1−m)， 所以z min =m +2(1−m )=2−m ，又z=x +2y 的最小值为0，所以2−m =0，解得m =2.故选B 9.D【解析】9.先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果. 作出曲线y=4x与直线y =5−x 围成的平面图形如下：答案第8页，总17页……线…………○……线…………○由{y =4x y =5−x解得：x =1或x =4， 所以曲线y=4x与直线y =5−x 围成的平面图形的面积为S =∫(5−x −4x)41dx =(5x −12x 2−4lnx)|41 =(20−8−4ln4)−(5−12)=152−8ln2.故选D 10.D【解析】10.先由题意求出p ，得到抛物线方程，再由|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ －AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√5得|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√5，设点A 到直线BC 的距离为d ，故ΔABC 面积为S ∆ABC =12|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |d =√5d ，由点到直线的距离公式求出d 的最小值即可得出结果. 因为抛物线x 2=2py （p ＞0）的准线方程为y =−1，所以p =2，抛物线方程为x 2=4y ；又|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ －AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√5，所以|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√5， 设点A 到直线BC 的距离为d ， 故ΔABC 面积为S ∆ABC=12|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |d =√5d ， 因为A 在抛物线上，设A(x ，14x 2)， 则d=|2x−14x 2−5|√5=24√5=24√5≥√5，故S ∆ABC =√5d ≥1.故选D 11.A【解析】11.先设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为x=my −2，联立直线与圆的方程，根据韦达定理以及8PA⃑⃑⃑⃑⃑ =5AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，可求出m ，再由弦长公式即可求出结果. 由题意，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为x=my −2，由{x 2+y 2−4x −2y +1=0x =my −2得(m 2+1)y 2−(8m +2)y +13=0，则y 1+y 2=8m+2m 2+1，y 1y 2=13m 2+1，又8PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =5AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以8(x 1+2，y 1)=5(x 2−x 1，y 2−y 1)，故8y 1=5(y 2−y 1)，即y 2=135y 1，代入y 1y 2=13m 2+1得：y 12=5m 2+1，故y 22=16925×5m 2+1， 又(y 1+y 2)2=(8m+2m 2+1)2，即y 12+y 22+2y 1y 2=19425×5m 2+1+26m 2+1=(8m+2m 2+1)2，整理得：m 2−40m +76=0，解得m =2或m =38，又|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√3m 2+8m−12m 2+1， 当m =2时，|AB |=8√55；当m=38时，|AB |=8√55；综上|AB |=8√55. 故选A 12.B【解析】12.先由三视图还原几何体，结合题中数据，分别求出各棱长，即可得出结果. 由三视图可得该四棱锥为P −ABCD ，答案第10页，总17页…………○…………线…………○答※※题※※…………○…………线…………○由题中数据可得AB=BC =2，CD =2+12=√5，AD =√42+12=√17，BP =√42+42=4√2，CP =√42+22=2√5，DP =√42+12=√17， AP =√42+42+22=6，即最长的棱为AP ，长度为6. 故选B 13.15【解析】13.先写出二项展开式的通项公式，即可求出展开式中x 4的系数. 因为二项式(x 3√x )6的展开式的通项为T k+1=C 6k (x 3)6−k(−1)k (x −12)k=C 6k(−1)k x 18−72k ，令18−72k =4得k =4，所以展开式中x 4的系数为C 64(−1)4=15.故答案为15 14.63【解析】14.由等差数列的前n 项和公式可得S 9=9a 5，即可求出结果.因为a 5=7，所以S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=63.……○…………装…………学校:___________姓名：_________……○…………装…………故答案为63 15.1625【解析】15.先由题意可得CA 、CB 、CC 1两两垂直，以C 点为坐标原点，以CA 、CB 、CC 1方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出直线A 1C 与BC 1的方向向量，根据向量夹角余弦值即可得出结果.因为AC=3,BC =3,AB =3√2，所以角C 为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以CA 、CB 、CC 1两两垂直，以C 点为坐标原点，以CA 、CB 、CC 1方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，C 1(0,0,4)，A 1(3,0,4)，B(0,3,0)， 所以A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−3,0,−4)，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−3,4)， 设异面直线A 1C 与BC 1所成角为θ，则cos θ=|cos 〈A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 〉|=|A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∙BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑||=|9+16×9+16|=1625. 故答案为162516.[−1 ，0)∪(0，1]【解析】16.先作出函数f(x)图像，根据函数y=f(x)−a 2有3个零点，得到函数f(x)的图像与直线y =a 2有三个交点，结合图像即可得出结果.答案第12页，总17页………○…………线………※※题※※………○…………线………由题意，作出函数f(x)={|lnx |,x >0x +1,x ≤0的图像如下，因为函数y=f(x)−a 2有3个零点，所以关于x 的方程f (x )−a 2=0有三个不等实根； 即函数f(x)的图像与直线y =a 2有三个交点，由图像可得：0<a 2≤1，解得−1≤a <0或0<a ≤1.故答案为[−1 ，0)∪(0，1] 17.（1）π3；（2）32【解析】17.(1)由三角形的面积为2√3得到12absinC =2√3，由余弦定理以及a 2+b 2−c 2=8得到2abcos C =8，进而可求出tanC ，得到角C ；(2)由(1)的结果，先求出ab ，根据c=2√3，即可求出a +b ，再由正弦定理可得sinA +sinB =asinC c+bsinC c，即可求出结果.（1）由ΔABC 的面积为2√3可得 12absinC =2√3，由a 2+b 2−c 2=8及余弦定理可得2abcos C =8，故tanC =√3,C =π3;(2)∵C=π3,2abcosC =8,∴ab =8又a 2+b 2−c 2=8,c =2√3，可得a +b =6由正弦定理，a sinA =b sinB =csinC ,得sinA +sinB=asinC c+bsinC c=(a +b)sinC c=3218.（1）y ̂=3x −8.5；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【解析】18.（1）先由题中数据求出x ，y ，再根据b ̂=∑(x i −x)(y i −y)ni=1∑(x i −x)2n i=1=∑x i y i −nxyni=1∑x i 2−n(x)2n i=1,â=y ̂−b ̂x 求出b ̂和a ̂，即可得出回归方程； （2）将x=8.5代入回归方程，即可求出预测值.（1）由题中数据可得x =11.5, y =26，∑x i y i =1211,4i=1∑x i 2=5344i=1∴b̂=∑x i y i −4xy 4i=1∑x i 2−4(x)24i=1=1211−4×11.5×26534−4×11.52=155=3, 故â=y −b ̂x =26−3×11.5=−8.5，∴y ̂=3x −8.5 （2）由（1）得，当x =8.5时，ŷ=17，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 19.（1）见解析；（2）√8585【解析】19.(1)先由面面平行的判定定理证明平面MDE ∥平面A 1BC 1，即可得到MD ∥平面A 1BC 1；（2）分别以CA 、CB ，CC 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面DME 与平面CME 的法向量，根据法向量夹角余弦值即可得出结果.（1）证明：由D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，可得DE ∥AC ，又由直三棱柱可知侧面AA 1C 1C 为矩形，可得A 1C 1∥AC ，故有A 1C 1∥DE ，由直三棱柱可知侧面AA 1C 1C 为矩形，可得M 为A 1C 的中点， 又由E 为BC 的中点，可得A 1B ∥ME ． 由DE ，ME⊂平面MDE ，A 1C ，BC 1⊂平面MDE ，得A 1C 1∥平面MDE ，BC 1∥平面MDE ，又A 1C 1∩BC 1＝C 1，可得平面MDE ∥平面A 1BC 1， 因为MD⊂平面MDE ，所以MD ∥平面A 1BC 1；答案第14页，总17页○…………线………○…………线………（2）分别以CA 、CB ，CC 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则C （0，0，0），A （1，0，0），B （0，2，0），C 1（0，0，4），M （12，0，2），D （12，1，0），E (0,1,0),ME ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−12,1,−2),CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(12，0，2)，ED ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝（12，0，0）， 设平面CME 的一个法向量为m ⃑⃑⃑⃑ =(x ，y ，z)，则−12x +y −2z =12x +2z =0取z=−1，有m⃑⃑⃑⃑ =(4,0,−1) 同理可求出平面DME 的一个法向量n⃑⃑ =（0，2，1）， cos <m ⃑⃑ ，n ⃑ >=m ⃑⃑ ·n ⃑ ||||=−1√17·√5=−√85结合图形知二面角C －ME －D 的余弦值为√8585.20.（1）曲线C 是椭圆，它的标准方程为x 24+y 22=1；（2）存在点Q （0，2）满足题意【解析】20.（1）先设动点M 坐标为M （x ，y ），根据题意列出等式√(x+√2)2+y 2|x+2√2|=√22，化简整理即可求出结果；（2）分情况讨论如下：当直线l 与y 轴垂直时，易得点Q 必在y 轴上.；当直线l 与x 轴垂直时，易得点Q 的坐标只可能是Q （0，2）；再证明直线l 斜率存在且Q （0，2）时均有|QA ||QB |=|PA||PB |即可. （1）设动点M 坐标为M （x ，y ）点M 到直线l 1:x =−2√2的距离为d ．依题意可知|MF |d =√22则√√2)22x+2√2=√22化简得x 24+y 22=1所以曲线C是椭圆，它的标准方程为x 24+y22=1（2）①当直线l与y轴垂直时，由椭圆的对称性可知|PA|=|PB|，又因为|QA||QB|=|PA||PB|,则|QA|=|QB|从而点Q必在y轴上.②当直线l与x轴垂直时，则A(0,√2),B(0,−√2)，由①可设Q(0,y0),(y0≠1)，由|QA||QB|=|PA||PB|得0√2||y0+√2|=√2−1√2+1，解得y0=1（舍去），或y0=2．则点Q的坐标只可能是Q（0，2）．下面只需证明直线l斜率存在且Q（0，2）时均有|QA||QB|=|PA||PB|即可.设直线l的方程为y=kx+1，代入x 24+y22=1得(2k2+1)x2+4kx−2=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＝−4k2k2+1,x1x2=−22k2+1所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k设点B关于y轴对称的点坐标B′（−x2，y2）因为直线QA的斜率k QA=y1−2x1=kx1−1x1=k−1x1同理得直线QB′的斜率k QB′=y2−2−x2=kx2−1−x2=−k+1x2k QA−k QB′=2k−(1x1+1x2)=2k−2k=0k QA=k QB′，三点Q,A,B′共线.故|QA||QB|=|QA||QB′|=|x1||x2|=|PA||PB|.所以存在点Q（0，2）满足题意．21.（1）见解析；（2）见解析【解析】21.（1）先对函数求导，根据x=1e时，函数f(x)取得极值，求出a，进而可求其单调区间；（2）先令a=1，用导数的方法证明x2−2xlnx−1>0，得到x>1时，x−1x>2lnx，再令x=2n+12n−1>1,n∈N∗，得2n+12n−1−2n−12n+1>2ln2n+12n−1，即12n−1>12ln2n+12n−1+12(12n−1−12n+1)，最后求1+1+1+...+1，即可得出结论成立.答案第16页，总17页（1）由题意可得，f′(x)=2ax −2lnx −2(x >0,a ∈R)，由x=1e时，函数f(x)取得极值知f′(1e)=2a e+2−2=0，所以a =0．所以f(x)=−2xlnx −1,f′(x)=−2lnx −2(x >0)，所以0<x <1e时，f′(x)>0；x >1e时，f′(x)<0；所以f(x)的单调增区间(0，1e)，单调减区间为(1e，+∞).（2）当a =1时，f(x)=x 2−2xlnx −1，所以f′(x)=2x −2lnx −2=2(x −lnx −1)，令g(x)=x −lnx −1，则g′(x)=1−1x=x−1x，当0<x <1时，g′(x)<0；当x >1时，g′(x)>0，g(x)的单调减区间为(0，1)，单调增区间为(1，+∞)，所以g(x)≥g(1)=0，所以f′(x)≥0，f(x)是增函数，所以x >1时，f(x)=x 2−2xlnx −1>f(1)=0，所以x >1时，x −1x>2lnx ，令x=2n+12n−1>1,n ∈N ∗，得2n+12n−1−2n−12n+1>2ln 2n+12n−1即1+22n−1−(1−22n+1)>2ln2n+12n−1所以12n−1>12ln 2n+12n−1+12(12n−1−12n+1) 上式中n =1，2，3，…，n ，然后n 个不等式相加，得到1+13+15+...+12n−1>12ln(2n +1)+n2n+122.（1）(x −2)2+(y −2)2=8；（2）7【解析】22. （1）先将ρ=4√2cos(θ−π4)化为ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，进而可得出其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入（1）的结果，整理得到t 2+85t −7＝0，再设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，进而可得|PA |·|PB |=|t 1t 2|，即可求出结果.（1）由ρ=4√2cos (θ−π4)得ρ=4cosθ+4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，又x=ρcosθ，y =ρsinθ，∴x2+y2=4x+4y即曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+(y−2)2=8．（2）将{x=2+35ty=1−45t代入C的直角坐标方程，得925t2+(−45t−1)2=8，∴t2+85t−7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2=−7．则|PA|·|PB|=|t1t2|=7.23.（1）{x|x<0}；（2）(−∞，32].【解析】23.（1）分三种情况讨论，即可求出结果；（2）先由题意得，|x+3|−|2x−1|−2≥b，令g(x)=|x+3|−|2x−1|−2，求出g(x)的最小值，即可得出结果.（1）由f(x)<|x−1|，可得|x+3|−2<|x−1|，当x≥1时，x+3−2<x−1不成立，当−3<x<1时，x+3−2<1−x，∴−3<x<0，当x≤−3时，−x−3−2<1−x，−5<1成立，∴不等式f(x)<|x−1|的解集为{x|x<0}．（2）依题意，|x+3|−|2x−1|−2≥b，令g(x)=|x+3|−|2x−1|−2={x−6,x≤−33x,−3<x<12−x+2,x≥12，易知g(x)max=g(12)=32，则有32≥b，即实数b的取值范围是(−∞，32].。
【解析】广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学(理)试卷
2019年高考广西八市4月联合调研考试（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）D.【答案】B【分析】化简集合，再和集合.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2.）【答案】A【分析】.，.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的模，熟记运算法则以及模的计算公式即可，属于基础题型.3.则实数( )【答案】A【分析】根据题意列出方程，求解即可得出结果.【详解】因为向量故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型.4.,各县人口占比如图.其中丙县人口为70万.则去年年底甲县的人口为( )A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万【答案】C【分析】根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果.又丙县人口为70因甲县人口占四个县总人口的所以甲县的人口为.故选C【点睛】本题主要考查扇形统计图，会分析统计图即可，属于基础题型.5.2，0））B. D.【答案】C【分析】先由双曲线的一个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程. 【详解】因为双曲线2，0），，因此双曲线的方程为所以其渐近线方程为故选C【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.6.A. 0B. 1C. 2D. 6【答案】B【分析】.故选B【点睛】本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型.7..图象.是偶函数.则=( )B.【答案】A【分析】.，解得，所以，故所以.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型.8.满足条件0,A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数的最小值，即可求出结果.【详解】由约束条件又目标函数因此截距越小，就越小；由图像可得，当直线解得所以的最小值为0，所以故选B【点睛】本题主要考查简单的线性规划，已知目标函数最值求参数的问题，属于常考题型.9.）D.【答案】D【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【详解】作出曲线所以曲线故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.10.点在直线）A. 5B. 4 D. 1【答案】D【分析】出结果.的距离为因.故选D【点睛】本题主要考查抛物线的应用，熟记抛物线性质以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.11.（）【答案】A【分析】定理以及，可求出.【详解】由题意，设，即，代入得：，即，整理得：，解得或，时，；时，故选A【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，熟记直线与圆位置关系，结合韦达定理、弦长公式求解即可，属于常考题型.12.已知一个四棱锥的三视图如图.图中网格小正方形边长为1.则该几何体的各条棱中,最长的棱的长度为( )【答案】B【分析】先由三视图还原几何体，结合题中数据，分别求出各棱长，即可得出结果.【详解】由三视图可得该四棱锥，故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图，以及棱锥的相关计算，熟记几何体的结构特征即可，属于常考题型.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.__________．（用数字作答）【答案】15【分析】.的展开式的通项为，令得，所以展开式中的系数为故答案为【点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型.14.________.【答案】63【分析】.故答案为【点睛】本题主要考查等差数列的前础题型.15.中，角的余弦值为__________．【答案】【分析】方向分别为得出结果.建立如图所示的空间直角坐标系，设异面直线所成角为故答案为【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，空间向量法求异面直线所成角，是一种常用的方法，属于常考题型.16.3个零点，则实数_____．【答案】【分析】先作出函数根据函数3个零点，得到函数有三个交点，结合图像即可得出结果.【详解】由题意，作出函数因为函数3个零点，所以关于的方程，解得故答案为【点睛】本题主要考查函数的零点，灵活运用数形结合的思想即可求解，属于常考题型.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(1);(2).【答案】（1（2【分析】(1)由三角形的面积由余弦定理以到，得到角；(2)由(1).【详解】（1）由的面积为及余弦定理可得，(2)∵，可得【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.18.一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.(1)(2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：【答案】（1）；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1（2代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1，∴（2）由（1）得，当时，，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆.【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求. 19.中，，，的对角线的交点，（1（2的余弦值.【答案】（1）见解+析；（2【分析】(1)（2）分别以、，为轴建立空间直角坐标系，与平面的法向量，根据法向量夹角余弦值即可得出结果.【详解】（1由直三棱柱可知侧面，可得平面因为平面（2，设平面的一个法向量为，则结合图形知二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查线面平行的判定，可根据面面平行判断线面平行；第二问主要考查用空间向量的方法求二面角，属于常考题型.20.的距离和它到定直线（1（2，使得不存在，请说明理由【答案】（1（2分析】（1）先设动点根据题意列出等式化简整理即可求出结果；（2必在.的坐标只可能是可.【详解】（1到直线的距离为化简得所以曲线是椭圆，它的标准方程为（2）由椭圆的对称性可知必在.②当直线与，由①可设则点的坐标只可能是下面只需证明直线斜率存在且所以关于轴对称的点坐标因为直线同理得直线的斜率，三点共线.所以存在点满足题意．【点睛】本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型.21.(1),,(2) 证明：【答案】（1）见解+析；（2）见解+析 【分析】（1（2的方法证明，得到，最后求，即可得出结论成立.【详解】（1）由题意可得，所以，的单调增区间，单调减区间为（2时，时，，单调增区间为，得所以上式中，…，，然后个不等式相加，【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记通常用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]为参数)，以原点为极点标系,的极坐标方程为(1);(2).【答案】（1（2）7【分析】（1（2）将直线参数方程代入（1数分别为，即可求出结果.【详解】（1，的直角坐标方程为（2，，两点对应的参数分别为【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及参数方程的应用，熟记公式即可求解，属于常考题型.23.选修4-5：不等式选讲已知函数（1（2【答案】（1（2【分析】（1）分三种情况讨论，即可求出结果；（2）先由题意得，即可得出结果.【详解】（1∴不等式（2【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.。
专题04 二项式定理-2019年高考理数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r rr r r T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，专题04 二项式定理由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-，可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=．故选C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查二项式定理的通项公式及其应用，要求同学们熟练掌握并灵活应用二项式定理的通项公式，考查分类讨论的数学思想．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是利用通项公式求解指定的项；一种利用通项公式考查系数、指数问题，如常数项、2x 项的系数等．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，利用题意写出通项公式是关键，通项公式是解决本类问题的核心与灵魂． 【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下两步： 第一步：考查()na b +的展开式的通项公式其通项公式为1C r n r rr n T a b -+=，通项公式是后面进行讨论和计算的基础；第二步：结合代数式的整体进行考查结合题意，考查r 的某个值的特殊情形，据此分类讨论即可求得的系数． 【方法总结】 1．二项式()()na b n *+∈N 展开式()011222nn n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现以下几个特点： （1）()na b +完全展开后的项数为()1n +；（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点．指数和为n ；（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列．如果是()na b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开；（4）二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+= （注意是第1r +项）．2．二项式系数：项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n ；二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项．对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种．所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题．而二项式系数便是这个组合问题的结果． 3．系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数．注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数．二项式系数是展开式通项公式中的C rn ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定．而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数．例如：()521x +展开式中第三项为()32235C 21T x =⋅⋅，其中25C 为该项的二项式系数，而()322335C 2180T x x =⋅⋅=，化简后的结果80为该项的系数．（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同．例如()51x + 展开式的第三项为()32235C 1T x =⋅⋅，可以计算出二项式系数与系数均为10．4．有理项：系数为有理数，次数为整数的项，比如212,5x x就不是有理项． 5．()na b +与()na b -的联系 首先观察他们的通项公式，()na b +：1r n r r r n T C a b -+=；()n a b -：()()'11r rr n r r n r rr n n T C a b C a b --+=-=-．两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数．其绝对值相等．所以在考虑()na b -系数的绝对值问题时，可将其转化为求()na b +系数的问题．1．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】23(1)(31)x x -+的展开式中4x 的系数是 A ．27 B ．–27 C ．26 D ．–26【答案】B【解析】()()32131x x -+展开式中4x 的系数，1x -中的x 与()3231x +展开式中3x 项相乘，但()3231x +展开式中没有3x 项，1x -中的1-与()3231x +展开式中4x 项相乘，()21243C 327xx =，所以4x 的系数是27-，故选B ．【名师点睛】本题考查二项式的展开式与多项式相乘，得到项的系数，属于简单题．2．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】在102()x x-的二项展开式中，6x 的系数等于 A ．–180 B ．53- C ．53D ．180【答案】D【解析】102()x x-的二项展开式的通项公式为102110C (2)r r r r T x -+=-⋅⋅， 令1026r -=，求得2r =，可得6x 的系数为2210(21C )80-⋅=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，考查二项展开式的特定项的系数的求法，属于基础题．3．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】若()52a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项等于–80，则a = A ．–2 B ．2 C ．–4 D ．4【答案】A【解析】由题意3325C (1)80a ⨯-=-，解得2a =-．故选A ．【名师点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则． 4．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 A ．–80 B ．–40 C ．40 D ．80【答案】C【解析】要求()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数，则x y +中x 与()52x y -展开式中23x y 相乘，以及x y +中y 与()52x y -展开式中32x y 相乘，而()52x y -展开式中，23x y 项为()()233235C 240x y x y -=-，32x y 项为()()322325C 280x y x y -=．所以()()52x y x y +-的展开式中33x y 的项为333333408040x y x y x y -+=，故选C ．【名师点睛】本题考查二项式展开式与多项式相乘，其中某一项的系数，属于基础题．5．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ．15 D ．1【答案】C【解析】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为66316621C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令630r -=，求得2r =，故展开式中的常数项为26C 15=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．6．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】设0sin d x a x π=⎰，则6a x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为__________．（用数字填写） 【答案】60【解析】0sin d x a x π=⎰cos πcos02=-+=，则662a x x ⎛⎛= ⎝⎝，展开式的通项为(6162rrr r T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =时得到常数项为(2446260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为60．【名师点睛】本题考查了定积分的计算，考查了二项式定理的运用，考查了计算能力，属于基础题．7．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】二项式63x⎛⎝的展开式中4x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】15【解析】因为二项式63x⎛ ⎝的展开式的通项为()()()1718632216611kk kkk k kk T C x x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令71842k -=得4k =， 所以展开式中4x 的系数为()446115C -=．故答案为：15．【名师点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型． 8．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】11【解析】()()5211x x +-=()()55211x x x -+-而()51x -展开式的通项为()515C 1rr r r T x -+=-取3r =和5r =，得()51x -展开式中含3x 和5x 项的系数分别为10和1， 所以()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为10+1=11．【名师点睛】本题考查了等价转化的数学思想，以及利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式指定项的系数问题，属于基础题．9．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________． 【答案】15．【解析】通项公式T r +16C r =（x 2）6–r1()r x-=（–1）r 6C r x 12–3r，令12–3r ＝0，解得r ＝4．∴展开式中的常数项为46C =15．故答案为：15．【名师点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】()()341212x x +-展开式中4x 的系数为__________． 【答案】48【解析】因为()()()()()()333342221212141214214x x x x x x x+-=--=---，又()3214x-展开式的通项为()2134kk kk TC x +=-，令24k =得2k =，所以原式展开式中4x 的系数为()223448C -=．故答案为：48．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型． 11．【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考数学】若6x ⎛+ ⎝⎭的展开式的常数项是45，则常数a 的值为__________． 【答案】3【解析】6a x ⎛+ ⎝⎭展开式的通项公式为6316·C r r r r T x -+=，令630r -=，求得2r =， 可得它的常数项为26C ·45a =，1545a ∴=，3a ∴= 故答案为：3．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12．【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考试卷数学】若二项式2nm x ⎫+⎪⎭展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则实数m 的值为__________． 【答案】2【解析】根据题意，2nm x ⎫⎪⎭展开式中二项式系数之和是32，有2n＝32，则n ＝5，则2nm x ⎫⎪⎭展开式的通项为T r +1＝5C r •）5–r•（2m x ）r ＝m r •5C r •552r x -，令552r-=0，可得r ＝1，则2nm x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为T 2＝m •15C ，则有m •15C ＝10，即m ＝2，故答案为：2．【名师点睛】本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由二项式系数的性质求出n ，并得到该二项式的通项．13．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知(12)n x +的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式()211()nx x x++展开式中的常数项为__________． 【答案】35【解析】由()12nx +的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以6n =．多项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式：662166C C r r r r rr T x x x ---+==，其中0,1,2,,6r =．考虑61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项和含2x -的项： （1）令622r -=-，则4r =； （2）令620r -=，则3r =．故常数项为4366C C 152035+=+=．故答案为：35．【名师点睛】本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学】()()27231x x --的展开式中，3x 的系数为__________．【答案】–455【解析】依题意，3x 的系数为332217774C (1)12C (1)9C (1)455⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=-．故答案为：–455．【点睛】本题考查二项式定理，考查推理论证能力以及分类讨论思想，是基础题．15．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学】1(2)n x x-（n 为正整数）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含x 项的系数是__________． 【答案】560-【解析】依题意可知2128n =，解得7n =，()712x x --展开式的通项公式为()()()717727721C C 2rrrr r rr x x x ----⋅-=-⋅⋅⋅，当721r -=时3r =，故含x 项的系数为()3437C 12560-⨯⨯=-．故答案为：560-．【点睛】本小题主要考查二项式系数和，考查二项式展开式的通项公式以及二项式展开式中指定项的系数的求法，属于基础题．。
《高考真题》专题17 统计综合-2019年高考文数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1） 0.35a =，0.10b =；（2）4.05，6． 【解析】（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35． b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．【名师点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷文数】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某专题17 统计综合项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）第二种生产方式的效率更高．理由见解析；（2）80；（3）能．【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知7981802m+==．列联表如下：（3）由于2240(151555)10 6.63520202020K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【名师点睛】本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷文数】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【答案】（1）0.6；（2）0.8【解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y=6450–4450=900；若最高气温位于区间[20，25），则Y=6300+2（450–300）–4450=300；若最高气温低于20，则Y=6200+2（450–200）–4450= –100．所以，Y的所有可能值为900，300，–100．Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为，因此Y大于零的概率的估计值为0.8．【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法．（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．【命题意图】2019年的高考题主要考查了频率分布直方图．考查考生的数据分析能力、逻辑推理能力．【命题规律】统计的解答题通常考查随机抽样，频率分布直方图，变量的相关性，独立性检验，求线性回归方程、利用回归方程进行预测等，常与概率知识相交汇命题．【答题模板】1．频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：（1）求极差，即求一组数据中最大值与最小值的差；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表，落在各小组内的数据的个数叫作频数，每小组的频数与样本容量的比值叫作这一小组的频率，计算各小组的频率，列出频率分布表；（5）画频率分布直方图，依据频率分布表画出频率分布直方图，其中纵坐标（小长方形的高）表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积，即每个小长方形的面积=组距×频率=频率．组距各个小长方形的面积的总和等于1．2．频率分布折线图和总体密度曲线（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作频率分布直方图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．3．独立性检验的一般步骤（1）根据样本数据列出2×2列联表．（2）计算随机变量K2的观测值k，查下表确定临界值k0．（3）如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P（K2≥k0）；否则，就认为在犯错误的概率不超过P（K2≥k0）的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．【知识总结】1．众数、中位数、平均数（1）众数、中位数与平均数都是描述一组数据的集中趋势的量，平均数是最重要的量．（2）平均数反映的是一组数据的平均水平，众数和中位数则反映一组数据的“重心”．（3）在实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．2．极差、标准差与方差3．平均数的性质（1）若给定一组数据x1，x2，…，x n的平均数为，则ax1，ax2，…，ax n的平均数为a；ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的平均数为a+b．（2）若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这（M+N）个数的平均数是；若两组数据x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n的平均数分别是和，则x1+y1，x2+y2，…，x n+y n的平均数是+．4．方差的性质若给定一组数据x1，x2，…，x n，其方差为s2，则ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2；ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的方差为a2s2，特别地，当a=1时，有x1+b，x2+b，…，x n+b的方差为s2，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性．【方法总结】1．在频率分布直方图中：（1）众数是最高的小长方形底边中点的横坐标；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，其估计值等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．2．绘制频率分布直方图时需注意：（1）频率分布直方图中的纵轴表示频率组距，而不是频率；（2）频率分布直方图中各小长方形的高之比就是相应各组的频率之比；（3）频率分布直方图中各个小长方形的面积是相应各组的频率，所有的小长方形的面积之和等于1，即频率之和为1．3．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：（1）频率组距×组距=频率；（2）频数样本容量=频率，此关系式的变形为频数频率=样本容量，样本容量×频率=频数．4．作样本的茎叶图时，要先根据数据的特点确定茎、叶，再作茎叶图．茎部位的数字由上向下，从小到大排列；叶部位的数字由内向外，从小到大排列．5．给定两组数据的茎叶图，比较数字特征时，“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．6．用样本的数字特征估计总体的数字特征类型1：直接给出样本数据，根据平均数、众数、方差、标准差的概念进行相关计算得出相应数据．类型2：利用茎叶图给出样本数据，一般情况下，茎叶图中的数据多为两位数（茎叶图中，一位数的“茎”处的数字为0），明确每一行中“茎”处的数字是该行数字共用的十位数字，“叶”处的数字是个位数字，正确写出茎叶图中的所有数字，再根据平均数、中位数、众数、方差、标准差的概念进行相关计算．1．【四川省乐山市2019届高三第三次调查研究考试数学】为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务的时间统计数据如下表：（1）求,m n ；（2）将表格补充完整，并判断能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）8m =，48n =；（2）没有95%把握；（3）4人． 【解析】（1）由已知，该校有女生400人，故12400208560m +=+，得8m =，从而20812848n =+++=． （2）作出列联表如下：()224816096240.6857 3.8412820321635K -==≈<⨯⨯⨯． 所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关． （3）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率322483P ==， 故估计这6名学生一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人．【名师点睛】本题考查列联表与独立性检验的应用问题，也考查了用频率估计概率的应用问题，是基础题．2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料．（1）求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若第5年优惠金额8.5千元，估计第5年的销售量y （辆）的值．参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n eiii ii i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx x x xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5yx =-；（2）第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆． 【解析】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i ii i i x yx ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi ii i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =-； （2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆．【名师点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa即可，属于常考题型．3．【广西钦州市2019届高三4月综合能力测试（三模）数学】为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）：男：164178174185170158163165161170女：165168156170163162158153169172（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值；（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数中位数h（单位：厘米），将男、女身高不低于h和低于h的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女身高有差异？参照公式：()()()()()22n ad bcka b c d a c b d-=++++（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高，假设可以用测量结果的频率代替概率，试求从高三的男生中任意选出2人，恰有1人身高属于正常的概率．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）0.48．【解析】（1）茎叶图为：平均值是将所有数据加到一起，除以数据的个数得到的结果，根据这一公式将数据代入公式， 得到平均身高：男168.8，女：163.6． （2）根据中位数的概念得到165h =，2200.202 2.70699k =≈<， 所以没有90%把握认为男、女身高有差异．（3）由测量结果可知，身高属于正常的男生概率为0.4，因此选2名男生，恰好一名身高正常的概率为()20.410.40.48⨯⨯-=．【名师点睛】这个题目考查了卡方值的计算，以及茎叶图的应用；茎叶图的均值，是将所有数据加到一起，除以数据的个数得到的结果．4．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方法，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？（2）若从年龄在[55,65)，[65,75)调查的人中各随机选取1人进行追踪调查，求选中的2人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为1人的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）见解析；（2）1125P =． 【解析】（1）根据频数分布，填写22⨯列联表如下：计算观测值22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++18.36710.828≈>，对照临界值表知，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”； （2）年龄[)55,65中有5人，不赞成的记为3A ，4A ，5A ；赞成的记为1A ，2A ，年龄[)65,75中有5人，不赞成的记为2B ，3B ，4B ，5B ，赞成记1B ，则从年龄[)55,65，[)65,75中各取1人共有25种可能，结果如下：11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，15A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，25A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，35A B ，41A B ，42A B ，43A B ，44A B ，45A B ，51A B ，52A B ，53A B ，54A B ，55A B恰好有1人使用微信交流的共有11种可能，结果如下：12A B ，13A B ，14A B ，15A B ，22A B ，23A B ，24A B ，25A B ，31A B ，41A B ，51A B所以从年龄在[)55,65，[)65,75调查的人中各随机选取一人进行追踪调查，选中的2人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为一人的概率1125P =． 【名师点睛】本题考查了通过补完列联表，计算出2K ，然后做出数学判断，考查了古典概型，考查了数学应用能力、数学运算能力．5．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】某校为了调查高三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了高三男生的学习时间（单位：小时）的频数分布表和女生的学习时间的频率分布直方图．（学习时间均在[0,6]内）男生周日学习时间频数表女生周日学习时间频率分布直方图（1）根据调查情况，该校高三年级周日学习用时较长的是男生还是女生？请说明理由；（2）从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在[5,6]内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率．【答案】（1）见解析；（2）815【解析】（1）该校高三年级周日学习用时较长的是女生． 理由如下：列出女生周日学习时间频数表对比男生和女生学习时间频数表，可以发现：学习用时在2小时以上的男生有22人，女生有34人，学习用时在3小时以上的男生有15人，女生有26人，都是女生人数明显多于男生人数，所以该校高三年级周日学习用时较长的是女生．（言之有理即可）（2）被抽到的80名学生中周日学习用时在[]5,6内的男生有2人，记为,A B ，女生有4人，记为a b c d ,,,， 设恰巧抽到1男1女为事件M ，从中抽取2人，共有15个基本事件：,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb ,,,,,,,Bc Bd ab ac ad bc bd cd则M 包含的基本事件为：,,,,,,,Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ，共8个 故()815P M =． ∴恰巧抽到1男1女的概率为815． 【名师点睛】主要考查了通过样本对总体的估计以及古典概型概率求解，属于中档题．通过样本对总体的估计，主要采取的方法是：（1）列出频数表、频率分布表，画出频率分布直方图、频率分布折线图和茎叶图等统计图表，估计总体的数据分布情况；（2）求出样本数据的平均数、方差、标准差等数字特征，估计总体的数据特征．求古典概型概率的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n ；（2）求出事件A 包含的基本事件个数m ；（3）代入公式()mP A n=求解． 6．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查，统计情况如下表所示．已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列． （1）求,a b 的值；（2）若将年龄在[30,50)内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”．现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率．【答案】（1）400a =，100b =；（2）7()10P A =． 【解析】（1）由题意得50040000a b ab a b +=⎧⎪=⎨⎪>⎩，解得400a =，100b =．（2）由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为1a ，2a ，3a ，有2人是消费潜力军，分别记为1b ，2b ．记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件A ．从这5人中抽取2人所有可能情况为()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()12,b b ，共10种．符合事件A 的有()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()12,b b ，共7种． 故所求概率为()710P A =． 【名师点睛】本题主要考查了统计的简单应用，考查了古典概型的求解，属于基础题．7．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？（2）已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为1000元，空气质量等量等级为3级时每天需净化空气的费用为2000元．若从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为3000元的概率． 【答案】（1）9天；（2）25． 【解析】（1）由频率分布直方图可得：这10天中1级优1天，2级良2天，3~6级共7天． 所以这10天中空气质量达到优良的概率为310P =， 因为330910⨯=， 所以11月中平均有9天的空气质量达到优良．（2）设空气质量指数在(]0,50的一天为A ，空气质量指数在(]50,100的两天为b 、c ，空气质量指数在(]100,150的三天为1、2、3，则从六天中随机抽取两天的所有可能结果为：(),A b ，(),A c ，(),1A ，(),2A ，(),3A ，(),b c ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),1c ，(),2c ，(),3c ，()1,2，()1,3，()2,3，共15种情况．其中这两天的净化空气总费用为3000元的可能结果为：(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),1c ，(),2c ，(),3c ，共6种情况．所以这两天的净化空气总费用为3000元的概率为62155P ==． 【名师点睛】解答本题的关键有两个：一是读懂统计图表，并从中得到所需的数据，然后再进行解题；二是在列举时要做好标识、并做到不重不漏，这也是解答概率问题的常用方法．考查阅读理解和识图用图的能力，属于基础题．8．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率%y 进行了统计，结果如下表：（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y 与月份代码x 之间的关系.如果能，请计算出y 关于x 的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的A 型车和800元/辆的B 型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？ 参考数据：61()()35iii x x y y =--=∑，621()17.5ii x x =-=∑，621()76i i y y =-=∑36.5≈．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑，121()()()niii nii x xy y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-$$．【答案】（1）见解析；（2）采购B 款车型．【解析】（1）由表格中数据可得， 3.5x =，16y =．∵()()nx x y y r --=0.96==≈．∴y 与月份代码x 之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．()121()35217.5()ˆni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑， ∴ˆˆ162 3.59ay bx =-=-⨯=， ∴关于x 的线性回归方程为ˆ29yx =+． （2）这100辆A 款单车平均每辆的利润为()15001003050040100020350100⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 这100辆B 款单车平均每辆的利润为()1300152004070035120010400100⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． ∴用频率估计概率，A 款单车与B 款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、400元，应采购B 款车型．【名师点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式，准确计算ˆˆ,,r ba 的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题． 9．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D （单位：分贝）与声音能量（单位：2/W cm ）之间的关系，将测量得到的声音强度1D 和声音能量i I （i =1，2…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．表中lg i i W I =，101110i i W W ==∑． （1）根据散点图判断，11D a b I =+与22lg D a b I =+哪一个适宜作为声音强度D 关于声音能量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量的回归方程；（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是1I 和2I ，且10121410I I +=．己知点P 的声音能量等于声音能量1I 与2I 之和．请根据（1）中的回归方程，判断P 点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由． 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ．其回归直线V a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121,nji i nii uu v v v u u u βαβ==--==--∑∑．【答案】（1）22lg D a b I =+更适合；（2）10lg 160.7D I =+；（3）点P 会受到干扰． 【解析】（1）22lg D a b I =+更适合．（2）令lg i i W I =，先建立D 关于W 的线性回归方程． 由于()()()10110215.1100.51iii ii W W D D b W W ==--===-∑∑，∴ˆ160.ˆ7a D bW=-=， ∴D 关于W 的线性回归方程是10160.7D W =+， 即D 关于的回归方程是10lg 160.7D I =+． （3）点P 的声音能量12I I I =+，∵10121410I I +=， ∴()101212121410I I I I I I I -⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭101021124105910I I I I --⎛⎫=++≥⨯ ⎪⎝⎭，根据（1）中的回归方程，点P 的声音强度D 的预报值()10min 10lg 910160.710lg960.760D -=⨯+=+>，∴点P 会受到巢声污染的干扰．【名师点睛】本题主要考查了回归方程的求法与应用问题，其中解答中认真审题，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．10．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学】某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在(175,225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据乙流水线样本的频率分布直方图，求乙流水线样本质量的中位数（结果保留整数）；（2）从甲流水线样本中质量在(165,185]的产品中任取2件产品，求两件产品中恰有一件合格品的概率；（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？下面临界值表仅供参考：。
广西八市2019年高考理数4月联合调研考试试卷
广西八市2019年高考理数4月联合调研考试试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (共12题；共60分)1．（5分）已知集合A={x|x2-x-6≥0}，集合B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{0，1，2，3，4}2．（5分）若复数2满足（1+z)（1+i）=1+2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．√22B．√32C．√2D．√33．（5分）若向量a=（2，3），b=（x，2)，且a·（a-2b)=3，则实数x的值为（）A．- 12B．12C．-3D．34．（5分）去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m万，各县人口占比如图，其中丙县人口为70万，则去年年底甲县的人口为（）A．162万B．176万C．182万D．186万5．（5分）已知双曲线C：x 2a2−y23=1（a>0）的一个焦点为（2.0），则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=± √2x C．y=± √3x D．y=±2x6．（5分）已知数列（a n）满足：a1=1,a n+1=3a n-2，则a6=（）A．0B．1C．2D．67．（5分）已知将函数f（x）=sin（2x+ φ)（0＜φ<受）的围象向左平移φ个单位长度后，得到函数g（x）的图象。
若g(x)是偶函数，则f（π3）=（）A．12B．√22C．√32D．18．（5分）已知x ，y 满足条件 {2x −y ≥0x +y −1≥0x ≤m ，若z=x+2y 的最小值为0，则m=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）曲线y= 4x与直线y=5-x 围成的平面图形的面积为（ ） A ．152B ．154C ．154 -4ln2D ．152-8ln210．（5分）已知抛物线x 2=2py （p>0)的准线方程为y=-1，△ABC 的顶点A 在抛物线上，B ，C 两点在直线y=2x-5上，若 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5 ，则△ABC 面积的最小值为（ ） A ．5B ．4C ．12D ．111．（5分）设过点P(-2，0）的直线l 与圆C ：x 2+y 2-4x-2y+1=0的两个交点为A ，B ，若 8PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则lABl=（ ） A ．8√55B ．4√63C ．6√66D ．4√5312．（5分）已知一个四棱锥的三视图如图，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A ．4 √5B ．6C ．4 √2D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 (共4题；共20分)13．（5分）二项式 (x 3−1√x)6 的展开式中x 4的系数为 （用数字作答）14．（5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=7，则S 9= ．15．（5分）在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=3,BC=3,AB=3 √2 ,AA 1=4，则异面直线A 1C 与BC 1所成角的余弦值为 ．16．（5分）已知函数f （x ）= {xe x −x 2−2x （x <12x −3（x >1）,当x ∈(-∞,m]时，f(x)的取值范围为（-∞，1-1e]，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
专题10 双曲线及其性质-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：2242x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为A．4B．2C．D．【答案】A【解析】由2,,a b c===,2PPO PF x=∴=Q，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在by xa=上，则222P Pby xa=⋅==，11224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．【名师点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F，是双曲线22221x yCa b-=：（00a b>>，）的左，右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF=，则C的离心率为AB．2专题10 双曲CD【答案】B【解析】由题可知22,PF b OF c ==，∴||PO a =， 在2Rt POF △中，222cos PF bPF O OF c∠==， ∵在12PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b F PF F P O F c+-∠==，∴)222224322b c bc a b cc+-=⇒=⋅，∴e =，故选C ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．【命题意图】高考对双曲线内容的考查以基础知识为主，重点考查双曲线的几何性质、方程思想及运算能力．2019年高考题考查了以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【命题规律】主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等． 【答题模板】1．求双曲线的离心率的值或范围一般考虑如下三步：第一步：将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式； 第二步：利用222b c a +=和ce a=转化为关于e 的方程或不等式； 第三步：通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 2．其他问题：（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b ．（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min =a+c ，|PF 2|min =c –a ．（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a ．（4）若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △=2tan 2b θ，其中θ为∠F 1PF 2．（5）若P 是双曲线22x a22y b -=1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a ． 【方法总结】1．双曲线定义的应用策略（1）根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．（2）利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． （3）利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置． 2．求双曲线的标准方程的方法 （1）定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： ①c 2=a 2+b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a ．求轨迹方程时，满足条件：|PF 1|–|PF 2|=2a （0<2a <|F 1F 2|）的双曲线为双曲线的一支，应注意合理取舍． （2）待定系数法 一般步骤为①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能； ②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程． 常见设法有①与双曲线22x a –22y b =1共渐近线的双曲线方程可设为22x a –22y b=λ（λ≠0）；②若双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，则双曲线方程可设为22x a –22yb =λ（λ≠0）；③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为2x m +2y n=1（mn <0）；④与双曲线22x a –22y b =1共焦点的双曲线方程可设为22x a k -–22y b k+=1（–b 2<k <a 2）；⑤与椭圆22x a +22y b =1（a >b >0）有共同焦点的双曲线方程可设为22x a λ-+22y b λ-=1（b 2<λ<a 2）．注意：当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1（mn <0）． 3．求双曲线离心率的值（1）直接求出c a ,，求解e ：已知标准方程或a ，c 易求时，可利用离心率公式e ＝ca求解； （2）变用公式，整体求e ：如利用e，e； 4．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得b a的值，于是e 2＝22c a ＝222a b a +＝1＋2()b a ，因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即b a个解．1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），则双曲线C 的渐近线方程为A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±【答案】C【解析】因为双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），所以234a +=，故21a =，因此双曲线的方程为2213y x -=，所以其渐近线方程为y =．故选C ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型．2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，双曲线上的点P 满足121243PF PF F F +≥u u u v u u u u v u u u u v恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是A ．312e <≤B ．32e ≥C ．413e <≤D ．43e ≥【答案】C【解析】∵OP 是12F PF △的边12F F 上的中线，∴122PF PF PO+=u u u v u u u u v u u u v． ∵121243PF PF F F u u u v u u u u v u u u u v +≥，∴1283PO F F ≥u u u v u u u u v，当且仅当12,,F P F 三点共线时等号成立． 又PO a ≥u u u v ，122F F c =u u u u v ，∴86a c ≥，∴43c e a =≤，又1e >，∴413e <≤．故离心率的取值范围为41,3⎛⎤⎥⎝⎦．故选C ． 【名师点睛】解答本题时注意两点：一是注意数形结合在解题中的应用，特别是由题意得到PO a ≥u u u v；二是根据题意得到,,a b c 间的关系，再根据离心率的定义求解，属于基础题．3．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，线段2PF 的中点M ，则此双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，易求点P 的坐标为,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，中点M 的坐标为,2bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵2222)2bc OM c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴224a b =，即2b a =．故选A ． 【名师点睛】本题考查双曲线的方程与简单的几何性质，考查计算能力与转化能力，属于基础题． 4．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为340x y +=，则该双曲线的离心率是A ．53 B ．54C ．43或53D ．53或54【答案】D【解析】33404x y y x +=⇒=-，当焦点位于横轴时，2239416b b a a =⇒=，而222c a b =+，所以22295164c a c e a a -=⇒==； 当焦点位于纵轴时，22222222416165,,3993b bc a c c a b e a a a a -=⇒==+⇒=⇒==故选D ． 【名师点睛】本题考查了通过双曲线的渐近线方程求离心率问题，解题的关键是对焦点的位置进行分类．5．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，抛物线()220=>y px p 与双曲线C 有相同的焦点．设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且12sin PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为AB或3 C ．2D ．2或3【答案】D【解析】不妨设P 在第一象限且()00,P x y ，则1,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 过P 作直线2px =-（抛物线的准线）的垂线，垂足为E ， 则112F PE PF F ∠=∠，故112sin sin 7F PE PF F ∠=∠=， 因1F PE △为直角三角形，故可设,2p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0P x ， 且25PE PF k ==，17PF k =，所以02052242p x k k px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得043p k x k =⎧⎨=⎩或062p k x k =⎧⎨=⎩， 若043p k x k =⎧⎨=⎩，则124F F k =，22752ke k k ==-； 若062p k x k =⎧⎨=⎩，则126F F k =，33752ke k k ==-． 综上可得，选D ．【名师点睛】离心率的计算关键在于构建,,a b c 的一个等量关系，构建时可依据圆锥曲线的几何性质来转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点；（2）利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的点到相应准线的距离．6．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试数学】已知双曲线1C ：22142-=x y ，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，则双曲线2C 的离心率为 A ．3 B ．2 CD ．1【解析】由题意，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，设双曲线2C 的方程为22(0)24y x λλ-=>，则双曲线2C =A ． 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中根据双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，得出双曲线2C 的方程的形式，再根据离心率的定义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P ，线段2PF 的中点M 到，则双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【解析】设双曲线的渐近线方程为()0,0by x a b a=±>>， 根据题意可知P 点坐标,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M为2PF 中点，所以可得,2bc M c a ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以222222bc OM c c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以224a b =，即2b a =， 所以双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选A ．【名师点睛】本题考查通过双曲线中，线段的几何关系求双曲线渐近线方程，属于简单题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】双曲线2212x y -=的离心率为A BCD【解析】由双曲线的方程2212x y -=可得：222,1a b ==，所以2223c a b =+=，所以2c e a ===．故选D ． 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查计算能力，属于基础题．9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率为 A ．43 B ．53C ．54D ．2【答案】C【解析】双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的一条渐近线方程为34y x =，可得34b a =，即222916c a a -=，解得e 22516=，e 54=．故选C ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线的渐近线方程，离心率等知识，考查计算能力．10．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】已知M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则双曲线C 的离心率为A B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】设双曲线另一个焦点为F '，如下图所示．因为线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，所以MFA △是等边三角形，边长为a c +，M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，所以有23MF MF a MF a c -=⇒='+'，在MFF '△中，由余弦定理可得：'2222cos60MF MF FF MF FF ︒=+-'⋅'， 即22430a ac c +-=，解得4a c =，即4ca=，双曲线的离心率为4，故选D ． 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、离心率，考查了转化思想、数形结合思想．11．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知双曲线22213x y a -=的左右焦点分别为12,F F ，以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于,A B 两点，则四边形12F AF B 的面积为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】因为双曲线22213x y a -=的左右焦点分别为()()12,0,0F c F c -，，双曲线的渐近线方程为y x a=±0ay -=， 以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A ，B 两点， 根据焦点到渐近线的距离及双曲线中a b c 、、的关系，可得223a c a ==+⎪⎩，解得a c ==A ⎝⎭，则四边形12F AF B的面积为1212122622F AF B F AF S S ==⨯⨯=．故选D ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质以及圆与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．12．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为A ．221124x y -=B ．22179x y -=C ．22188x y -=D ．221412x y -=【答案】D【解析】∵以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点）， ∴半径4R c ==，则圆的标准方程为()22416x y -+=，(),0A a ，b y a b a=⋅=，即(),B a b ，则()22416a b -+=，即2281616a a b -++=，即280c a -=，即816a =，则2a =，216412b =-=，则双曲线C 的方程为221412x y -=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径4c =是解决本题的关键．属于简单题．13．【四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学】已知双曲线()222:10y C x b b-=>的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为 A．y =B ．2y x =±C ．3y x =± D．y =【答案】D【解析】双曲线C ：()22210y x b b-=>的焦距为4，则2c ＝4，即c ＝2，∵1+b 2＝c 2＝4，∴b =C 的渐近线方程为y =x ，故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题．14．【四川省2019届高三联合诊断数学】已知双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为F ，则点F 到C的渐近线的距离为 A ．3 BC ．a D【答案】B【解析】因为双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为()0F c ，，渐近线y x =， 所以点F到渐近线y x ===B ． 【名师点睛】本题主要考查利用双曲线的方程求焦点坐标与渐近线方程，以及点到直线距离公式的应用，属于基础题．若双曲线方程为22221x y a b-=，则渐近线方程为b y x a =±．15．【四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学】若双曲线221x y m-=的一条渐近线为20x y -=，则实数m = A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】∵双曲线的方程为221x y m-=，∴双曲线的渐近线方程为yx ，又∵一条渐近线方程为y =12x ，∴m =4．故选B ． 【名师点睛】本题给出双曲线的方程和一条渐近线方程，求参数m 的值，属于基础题．16．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆()2221x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是A ．2B ．2C2D．3或2【答案】A【解析】设双曲线C 的渐近线方程为y =kx，∴k =，得双曲线的一条渐近线的方程为3y =，∴焦点在x 、y 轴上两种情况讨论： ①当焦点在x轴上时有：b c e a a ==②当焦点在y轴上时有：23a c e b a ==＝．∴求得双曲线的离心率2A ． 【名师点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案． 17．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷）数学】设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c =2，213PF F S =△，则双曲线的两条渐近线的夹角为 A ．5π B ．4πC ．π6D ．π3【答案】D【解析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得212)4PF PF -=（， 可得1222PF PF a -==，可得a =1，b所以双曲线的渐近线方程为y =，可得双曲线的渐近线的夹角为π3，故选D ． 【名师点睛】本题主要考察双曲线的性质及渐近线的方程，熟练掌握其性质是解题的关键．18．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知抛物线2y =的焦点为双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点，那么双曲线的渐近线方程是A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】C【解析】抛物线2y =的焦点为)，所以双曲线中c =，由双曲线方程2221x y a-=，222+=a b c，所以a =因此双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选C ． 【名师点睛】本题考查抛物线的焦点，根据焦点求双曲线的方程和渐近线方程，属于简单题． 19．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点，P 为双曲线右支上一点，若点P 关于双曲线中心O 的对称点Q 满足AP k ⨯14AQ k =，则双曲线的离心率为 A1BCD1【答案】B【解析】设(,),(,),P x y Q x y --∵AP k ⨯14AQ k =， ∴222000014y y y y y x a x a x a x a x a -----⋅=⋅==----+-， ∵22221x y a b -=，∴22222=()b y x a a-，∴222222()14b x a ax a -=-， ∴a =2b ，∴222244()a b c a ==-，∴2254a c =，∴2e =．故选B ． 20．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知双曲线C的一个焦点坐标为0)，渐近线方程为2y x =±，则C 的方程是 A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】B【解析】因为双曲线C的一个焦点坐标为),所以c =又因为双曲线C的渐近线方程为2y x =±，所以有2b a=a ⇒=，c =而c =1a b ==，因此双曲线方程为2212x y -=，故选B ．【名师点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力．21．【云南省2019届高三第一次毕业生复习统一检测数学】双曲线M 的焦点是1F ，2F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是 A1B1C D 【答案】C【解析】不妨设P 在第一象限，由于12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，故()2P c ，代入双曲线方程得2222431c c a b -=，化简得4224480c a c a -+=，42810e e -+=，解得2e =，故e =C ． 【名师点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题．22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，已知椭圆的离心率为134e =，则双曲线的离心率2e =AB ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，椭圆的离心率为134e =，不妨令4,3a c ==，则b =221167x y +=，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，可设(),,0,0P s t s t >>，可得()13,PF s t =---u u u r ，()23,PF s t =--u u u u r ，则222291167s t s t ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得22329499s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入双曲线方程渐近线方程n y x m =±，可得224932n m =，双曲线的离心率为：28e ===．故选B ． 【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，利用垂直关系和点在椭圆上建立方程组，求得双曲线,a b 之间满足的关系是解题关键．23．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，左焦点为1F ，点()0Q （c 为半焦距）．P 是双曲线C 的右支上的动点，且1PF PQ +的最小值为6．则双曲线C 的方程为___________．【答案】2213y x -=【解析】设双曲线右焦点为2F ，则122PF PF a -=，所以122PF PQ a PF PQ +=++， 而2PF PQ +的最小值为22QF c ==，所以1PF PQ +最小值为226a c +=，又2c a =，解得12a c ==，，于是23b =，故双曲线方程为2213y x -=． 【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的定义，及双曲线的离心率，考查了计算能力，属于中档题．24．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F 且斜率为2的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】3【解析】∵21AF AF ⊥，∴12AF F △是直角三角形，又O 是12F F 中点，∴AO c =，又A 在双曲线渐近线上，∴(,)A a b ，∴12tan AF F ∠=2b ac =+， 变形可得：22230c ac a --=，()(3)0c a c a +-=，∴3c a =，3ce a==．故答案为：3． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题关键是掌握双曲线的性质：即过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右顶点A 作x 轴垂线，交渐近线于点P ，则OP c =，AP b =．。
2019年高考广西八市4月联合调研考试·理科综合参考答案、提示及评分细则
０．１
ｍｏｌ甲
烷
分
子
中
含
有
的
共
价
键
数
为
０．４犖Ａ
，０．１
ｍｏｌ白
磷
（
）分子中含有的共价键数为０．６犖Ａ ，
Ｂ 错误；标准状况下，２．２４Ｌ Ｈ２和 Ｏ２的混合气体中含有的 分 子 数 为 ０．１犖Ａ ，Ｃ 错 误；Ｈ２和Ｉ２化 合 生 成 ＨＩ的 反 应 为 可 逆 反 应 ，反 应 物 不 能 全 部 转 化 为 生 成 物 ，故 ０．１ｍｏｌＨ２ 和０．１ｍｏｌＩ２ 于 密 闭 容 器 中 充 分 反 应 后 ，生 成 的 ＨＩ分子数小于０．２犖Ａ ，Ｄ 错误。 １０．Ｃ Ｈ２Ｓ发生氧化反应，电极ａ是负极，电子从电极ａ经过负载流向电极ｂ，Ａ 正确；电极ａ上 Ｈ２Ｓ发生氧化 反应生成 Ｓ２，电极反应式为２Ｈ２Ｓ－４ｅ－ Ｓ２＋４Ｈ＋ ，Ｂ 正 确；未 指 明 气 体 是 否 处 于 标 准 状 况，Ｃ 错 误；当 电 路中通过４ｍｏｌ电子时，有４ｍｏｌ质子（即 Ｈ＋ ）经质子膜进入正极区，Ｄ 正确。 １１．Ｃ 表示 ＮＨ３·Ｈ２Ｏ 浓度变化的是曲线 Ａ，表示 ＮＨ４＋ 浓度变化的是曲线 Ｂ，Ａ 正确；Ｍ 点时，溶液的 ｐＨ＝ ９．２６，呈碱性，故溶液中 ＮＨ３·Ｈ２Ｏ 的 电 离 程 度 大 于 ＮＨ４＋ 的 水 解 程 度，Ｂ 正 确；当 加 入 盐 酸 体 积 为 ５０ ｍＬ 时，溶液中的溶质为 ＮＨ３· Ｈ２Ｏ 和 ＮＨ４Ｃｌ，由 图 象 可 知 溶 液 呈 碱 性，根 据 电 荷 守 恒犮（Ｈ＋ ）＋犮（ＮＨ４＋ ）＝ 犮（ＯＨ－ ）＋犮（Ｃｌ－ ）和物料守恒犮（ＮＨ３·Ｈ２Ｏ）＋犮（ＮＨ４＋ ）＝２犮（Ｃｌ－ ）可 得犮（ＮＨ４＋ ）－犮（ＮＨ３·Ｈ２Ｏ）＝２犮（ＯＨ－ ） －２犮（Ｈ＋ ）＝（２．０×１０－５－２．０×１０－９）ｍｏｌ·Ｌ－１，Ｃ 错 误；当 加 入 盐 酸 体 积 为 １００ ｍＬ 时，溶 液 中 的 溶 质 为 ＮＨ４Ｃｌ，根 据 物 料 守 恒犮（ＮＨ３·Ｈ２Ｏ）＋犮（ＮＨ４＋ ）＝犮（Ｃｌ－ ）＝０．１ ｍｏｌ·Ｌ－１，Ｄ 正 确 。 １２．Ｃ 根 据 题 意 可 知 Ｗ、Ｘ、Ｙ、Ｚ 四 种 元 素 分 别 是 Ｈ、Ｃ、Ｏ、Ｎａ，甲、乙、丙、丁、戊、己 分 别 是 Ｈ２ Ｏ、Ｎａ、 ＣＨ３ＣＨ２ＯＨ、ＮａＯＨ、Ｈ２、ＣＨ３ＣＨ２ＯＮａ。简 单 离 子 半 径 ：Ｎａ＋ ＜Ｏ２－ ，Ａ 错 误 ；Ｘ２Ｗ４ 是 乙 烯 ，乙 烯 在 常 温 常 压 下不能与水反应生成乙醇，Ｂ 错 误；Ｎａ２Ｏ 和 Ｎａ２Ｏ２均 为 离 子 化 合 物，Ｃ 正 确；ＮａＨＣ２Ｏ４、ＣＨ２ＣＨＣＯＯＮａ 等属于有机物，Ｄ 错误。 １３．Ｄ 向 溶 液 Ｘ 中 滴 加 ＢａＣｌ２ 溶 液 ，有 白 色 沉 淀 生 成 ，溶 液 Ｘ 中 可 能 含 有 ＣＯ２ ３－ ，还 可 能 含 有 Ａｇ＋ 、ＳＯ２ ３－ 、 ＳＯ２ ４－ ，Ａ 正确；向１ｍＬ 浓度均为０．０５ｍｏｌ·Ｌ－１ ＮａＣｌ、ＮａＩ的混合溶液中滴加２滴０．０１ｍｏｌ·Ｌ－１ ＡｇＮＯ３溶 液，振荡，沉淀呈黄色，说明 ＡｇＩ的溶解 度 更 小，Ｂ 正 确；室 温 下，用 ｐＨ 试 纸 测 得０．１ｍｏｌ·Ｌ－１ ＮａＨ２ＰＯ４ 溶 液呈酸性，说明 Ｈ２ＰＯ４－ 的电离程度大于其水解程度，Ｃ 正确；铜跟稀硝酸反应的离子方程式是３Ｃｕ＋８Ｈ＋ ＋ ２ＮＯ３－ ３Ｃｕ２＋ ＋２ＮＯ↑ ＋４Ｈ２Ｏ，当狀（Ｈ＋ ）∶狀（ＮＯ３－ ）＝４∶１时 ，ＮＯ３－ 全 部 反 应 掉 ，而 已 知 条 件 中 稀 硝 酸
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绝密★启用前
广西南宁、梧州等八市
2019届高三毕业班下学期高考联合调研考试
数学(理）试题
（解析版）
2019年4月一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.）
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合，再和集合.
故选B
【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.
2.）
【答案】A
【解析】
【分析】
.
，
.
故选A
【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的模,熟记运算法则以及模的计算公式即可,属于基础题型.
3.则实数( )
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意列出方程,求解即可得出结果.
【详解】因为向量
故选A
【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算,熟记公式即可,属于基础题型.
4.,各县人口占比如图.其中丙县人口为70万.则去年年底甲县的人口为( )
A. 162万
B. 176万
C. 182万
D. 186万【答案】C
【解析】
【分析】
根据统计图得到丙县人口所占百分比,求出四个县的总人口,进而可求出结果.。