夯基提能练8 动态平衡与极值问题

夯基提能训练8 动态平衡与极值问题【方法点拨】(1)三力动态平衡、极值问题常用图解法、相似三角形法．(2)多力动态平衡、极值问题常用解析法．(3)多物体的平衡问题常用整体法、隔离法．(4)涉及到摩擦力的要注意静摩擦力与滑动摩擦力的转换．【基础过关】一、动态平衡1.水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。

现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。

设F的方向与水平地面的夹角为θ，如图所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则F需要如何变化？2.如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，在斜面上有一光滑且不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态．今使挡板与斜面的夹角β缓慢增大，在此过程中，斜面对球的支持力N1和挡板对球的压力N2如何变化？3.如图所示，3根轻绳悬挂着两个质量相同的小球并保持静止，绳AD与AC垂直．现对B球施加一个水平向右的力F，使B缓慢移动到图中虚线位置，试分析此过程中AD、AC两绳张力T AC、T AD的变化情况。

4.如图所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G=40N，绳长L=2.5m，OA=1.5m，求绳中张力的大小，并讨论：（1）当B点位置固定，A端缓慢左移时，绳中张力如何变化？（2）当A点位置固定，B端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？5.如图所示，竖直放置的“”形支架上，一根不可伸长的轻绳通过不计摩擦的轻质滑轮悬挂一重物G，现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点(与A点等高)沿支架缓慢地向C点靠近，试判断绳中拉力大小变化的情况。

6.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔．质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F和环对小球的弹力F N如何变化？7.如图所示，光滑半球面上的小球被一通过定滑轮的力F由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析绳的拉力F及半球面对小球的支持力F N的变化情况．8.一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2-1所示。

现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆A O间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力F N 的大小如何变化？9. 如图所示，物体G 用两根绳子悬挂，开始时绳OA 水平，现将两绳同时顺时针转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变)90(0>α，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA 的拉力为F 1，绳OB 的拉力为F 2，试判断此过程中F 1，F 2的大小怎样变化。

二、临界极值问题10. 将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连后，再用细线悬挂于O 点，如图所示．用力F 拉小球b ，使两个小球都处于静止状态，且细线OA 与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F 的最小值为11. 如图所示，质量为m 1的物体甲通过3段轻绳悬挂，3段轻绳的结点为O ，轻绳OB 水平且B 端与站在水平面上的质量为m 2的人相连，轻绳OA 与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态．(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)求：(1)轻绳OA 、OB 受到的拉力是多大？(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？(3)若人的质量m 2＝60 kg ，人与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3，则欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量m 1最大不能超过多少？12. 如图所示，小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止的光滑斜面上，设小球质量为m ，斜面倾角α＝30°，细绳与竖直方向夹角θ＝30°，斜面体的质量M ＝3m ，置于粗糙水平面上．求：(1)当斜面体静止时，细绳对小球拉力的大小；(2)地面对斜面体的摩擦力的大小和方向；(3)若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍，为了使整个系统始终处于静止状态，k值必须满足什么条件？13.一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA与竖直方向的夹角为β＝30°，如图所示．现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线上拉力最小为止，此时OB与水平方向的夹角α等于多少？最小拉力是多少？14.如图所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．问：欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多少？15.质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)．(1)当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值；(2)当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？16.一表面粗糙的斜面，放在水平光滑的地面上，如图所示，θ为斜面的倾角.一质量为m的滑块恰媸能沿斜面匀速下滑.若一推力F作用于滑块上使之沿斜面匀速上滑，为了保持斜面静止不动，必须用一大小为f=4mgcosθsinθ的水平力作用于斜面上，求推力F的大小和方向.17.如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数；(2)这一临界角θ0的大小．18.一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C(劲度系数为k)、锁舌D(倾角θ＝45°)、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图11甲所示．设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力F fm由F fm＝μF N(F N为正压力)求得．有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上(这种现象称为自锁)，此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x.图11(1)试问，自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向．(2)求此时(自锁时)锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小．(3)无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少要多大？参考答案解析1. 解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F 随夹角θ变化的函数，然后由函数讨论；【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有 0sin N =-+mg F F θ 0cos f =-F F θ 其中 N f F F μ=F 最小，则θ从0逐渐增大到90°的过程中，F 先减小后增大。

解法二：图解法——可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方向是确定的，然后按“动态三角形法”的思路分析。

【解析】小球受力如图，将支持力F N 和滑动摩擦力F f 合成为一个力F 合，由Nf F F μ=可知，μβ=tan 。

由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg 保持不变，F 合的方向始终与竖直方向成β角。

则由右图可知，当θ从0逐渐增大到90°的过程中，F 先减小后增大。

2. 解析：法一 图解法：对球受力分析，如图甲所示．球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三力构成矢量三角形．挡板逆时针转动时，N 2方向也逆时针转动，作出图甲所示的动态矢量三角形．由图甲可见，N 1随β的增大一直减小，N 2先减小后增大．F fF f F 合法二 正弦定理法：对球受力分析，如图乙所示．球受重力mg 、斜面支持力N 1、挡板压力N 2.由正弦定理得mg sin β＝N 1sin （180°－α－β）＝N 2sin α解得N 1＝sin （α＋β）sin βmg ，N 2＝sin αsin β mg 故随着β的增大，N 1一直减小，N 2先减小后增大，β＝90°时，N 2达到最小值，为mg sin α. 3. 解析：以B 为研究对象，受力分析如图甲所示．将B 缓缓拉到图中虚线位置的过程，绳子与竖直方向夹角θ变大，由B 球受力平衡得T AB cos θ＝mg ，T AB sin θ＝F ，所以绳子AB 的张力T AB 逐渐变大，F 逐渐变大．再以A 、B 整体为研究对象受力分析，如图乙所示，设AD 绳与水平方向夹角为α，AC 绳与水平方向夹角为β(α＋β＝90°)，并以AC 、AD 为坐标轴正方向，可得T AD ＝2mg sin α＋F sin β，T AC ＝2mg ·cos α－F cos β，α、β不变，而F 逐渐变大，故T AD 逐渐变大，T AC 逐渐减小．4. 解析：取绳子c 点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图4-2所示分别为F 1、F 2、F 3，延长绳AO 交竖直墙于D 点，由于是同一根轻绳，可得：21F F =，BC 长度等于CD ，AD 长度等于绳长。

设角∠OAD 为θ；根据三个力平衡可得：θsin 21G F = ；在三角形AOD 中可知，AD OD =θsin 。

如果A 端左移，AD 变为如图4－3中虚线A′D′所示，可知A′D′不变，OD′减小，θsin 减小，F 1变大。

如果B 端下移，BC 变为如图4－4虚线B′C′所示，可知AD 、OD 不变，θsin 不变，F 1不变。

5. 解析：因不计轻质滑轮的摩擦，故悬挂重物的左右两段轻绳的拉力大小相等，由平衡条件可知，两绳与竖直方向的夹角大小相等，设均为θ，则有2F cos θ＝G .设左右两段绳长分别为l 1、l 2，两竖直支架之间的距离为d ，则有l 1sin θ＋l 2sin θ＝d ，得：sin θ＝d l 1＋l 2，在悬点B 竖直向上移至C 点的过程中，虽然l 1、l 2的大小均变化，但l 1＋l 2不变，故θ不变，F 不变．6. 解析：对小球受力分析，其所受的三个力组成一个闭合三角形，如图所示，力三角形与圆内的三角形相似，由几何关系可知mg R ＝F N R ＝F L ，小球缓慢上移时mg 不变，R 不变，L 减小，F 大小减小，F N 大小不变。

7. 解析：如图所示，作出小球的受力示意图，注意弹力F N 总与球面垂直，从图中可得到相似三角形．设球体半径为R ，定滑轮到球面最高点的距离为h ，定滑轮与小球间绳长为L ，根据三角形相似得F L ＝mg h ＋R ，F N R ＝mgh ＋R由以上两式得绳中的张力F ＝mg L h ＋R球面的弹力F N ＝mg R h ＋R由于在拉动过程中h 、R 不变，L 变小，故F 减小，F N 不变．8. 解析：取BO 杆的B 端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F )、BO 杆的支持力F N 和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G )的作用，将F N 与G 合成，其合力与F 等值反向，如图所示，将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA 相似，利用相似三角形对应边成比例可得：(如图所示，设AO 高为H ，BO 长为L ，绳长l ,)l F L FH G N ==，式中G 、H 、L 均不变，l 逐渐变小，所以可知F N 不变，F 逐渐变小。