异面直线所成的角求法总结加分析

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS∠QNB＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6，cos∠GNA＝1030562556=⨯⨯-+。

BM AN CSABC D A 1B 1C 1D 1EF5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。

证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ， 又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1，故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G∥D 1F 。

设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。

因为E 是BB 1的中点，所以Rt△A 1AG≌△ABE, ∠GA 1A=∠GAH,从而∠A 1HA=90°, 即直线AE 与D 1F 所成的角为直角。

6．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线 (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；(3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值；(4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值 解：(1)∵ A??平面BC′，又点B 和直线CC′都在平面BC′内，且B?CC′,∴ 直线BA′与CC′是异面直线 同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC 、AD 、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线(2)∵ CC′∥BB′，∴ BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角∵ ∠A′BB′=45° ∴ BA′和CC′所成的角是45°(3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故AE 和AA′所成的锐角∠A′AE 是AE 和CC′所成的角在Rt△AA′E 中，tan∠A′AE＝A EAA ''＝21，所以AE 和CC′所成角的正切值是21(4)取B′C′的中点F ，连EF 、BF ，则有EF ＝∥A?B?＝∥AB, ∴ ABFE 是平行四边形，从而BF ＝∥AE, 即BF∥AE 且BF=AE.∴ BF 与BA′所成的锐角∠A′BF 就是AE 和BA′所成的角设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF A′B＝22，A′F＝BF ＝5，由余弦定理得： cos∠A′BF＝5105222)5()5()22(222=⨯⨯-+AB FM(图1－55 B?(图1－28) A?AB C?D?C D FE7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。

解法一：如图④，过B 1点作B 1E∥BC 1交CB 的延长线于E 点。

则∠DB 1E 或其补角就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos ∠DB 1E=734 ∴∠DB 1E=cos arc 734。

解法二：如图⑤，在平面D 1DBB 1中过B 点作BE∥DB 1交D 1B 1的延长线于E ，则∠C 1BE 就是异面直线DB 1与BC 1所成的角，连结C 1E ，在△B 1C 1E 中， ∠C 1B 1E=135°，C 1E=35，cos ∠C 1BE=734，∴∠C 1BE=cos arc 734。

练习：8. 如图，PA 矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成角的余切值为。

9. 在长方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，若棱B B 1=BC=1，AB=3，求D B 和AC 所成角的余弦值.中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。

解法一：如图①连结B 1C 交BC 1于0，过点作OE∥DB 1，则∠BOE 为所求的异面直线DB 1与BC 1所成的角。

连结EB ，由已知有B 1D=34，BC 1=5，BE=352，∴cos ∠BOE=734170∴∠BOE=cosarc 734170解法二：如图②，连DB 、AC 交于O 点，过O 点作OE∥DB 1，过E 点作EF∥C 1B ，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O 点作OM∥DC，连结MF 、OF 。

则OF=73，cos ∠OEF=734，∴异面直线B 1D 与BC 1所成的角为cos arc 734。

解法三：如图③，连结D 1B 交DB 1于O ，连结D 1A ，则四边形ABC 1D 1为平行四边形。

在平行四边形ABC 1D 1中过点O 作EF∥BC 1交AB 、D 1C 1于E 、F ，则∠DOF 或其补角就是异面直线DB 1与BC 1所成的角。

在△ADF 中DF=35，cos ∠DOF=734，∴∠DOF=cosarc 734170。

课堂练习10. 在正四面体ABCD 中，已知E 是棱BC 的中点，求异面直线AE 和BD 所成角的余弦值。

E DBA补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。

解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，cos∠C1BD2=－734170，∴异面直线DB1与BC1所成的角是cosarc734170。

课堂练习：11.求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。

在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将A1C1平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，??二、利用模型求异面直线所成的角模型1 引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。

求证：cosθ=cosθ1·cosθ2。

在平面?的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B连接OB，则OB⊥b.ϕ2ϕ1cbaθPαOAB在直角△AOP中，APAO=1cosθ.在直角△ABC中，AOAB=2cosθ.在直角△ABP中，APAB=θcos.所以θθθcoscoscos21==⋅=APABAOABAPAO所以θθθcoscoscos21=证明：设PA是α的斜线，OA是PA在α上的射影，OBPAOAPAABOAAB21已知三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（ D ）（A）34（B）54（C）74(D)34解：设BC的中点为D，连结1A D，AD，易知1A ABθ=∠即为异面直线AB与1CC所成的角,由三角余弦定理，易知113coc s4os cosAD ADA AD DABA A ABθ=∠∠⋅=⋅=.故选D14. 如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD4242()C ADACAABCADAABCADBDAABDBCOSDBDBCADB•+•=•+=•∴+==•而θ2222222222222CDABBCADCDACADBCACAB--+=-++-+-=PbABOαPEDFAB CBCBCA111ADA BCDM如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。

求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。

作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，连结GH ，有GH 462642661611EA F B 1||||1111F EA F B EA ⋅⋅222222)1()1()2()1()2()1()1(1122)1(-++⋅++--⨯+⨯+⨯-6161AB AC AD AM 21AB AC NC 21-AD AC AM NC ||||NC AM NC AM ⋅⋅AM NC 21AB AC 21-AD AC 2121-AB AD AB AC 21-AD AC ACAC 2141-2141-21AM 21AB AC 21AB AC 4143NC 21-AD AC 21-AD AC 4121-43327EF EG GF BA 32CD 31BA CD EF BA 32CD 31BA 32CD 3121求：(1)AC 1的长； (2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.221122211111212211111122122211111222221112221111111212222||||||))((||))((,2||,)2(.22||,22||,0,21120cos ,21120cos 90,,120,,||||,|:|222||||||))(())((||)1(:b a AB AA AD AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA BD BD BD ab AD AB AB AD AD AB AA AD AA AB AB AD AA AD AB BD AC AB AD AA BA AD BD AD AB AC a AC ab b a AC ab b a AC AD AB ab a b AD AA ab a b AB AA AD AB AD AA AB AA a AD AB b AA AD AB AD AA AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AC AA AC AA AC AC AC +=⋅-⋅-⋅+++=-+-+=⋅=-=⋅--+⋅+⋅+⋅=-++=⋅∴-+=+=+==-+=∴-+=∴=⋅-=︒⋅=⋅-=︒⋅=⋅∴︒>=<︒>=>=<<===⋅+⋅+⋅+++=++++=++=⋅=依题意得由已知得解B AC DF E B A D CGH S R P Q B A CDF E BA DCA BDMN A B C D E FG2212||b a BD +=∴ 2211124||||,cos ba b AC BD AC BD AC BD +-=⋅>=<∴BD 1与AC 所成角的余弦值为2224ba b+.判断是非：(1)(3)(8)(10)正确，其余错； 选择：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余异面；（6）：(D)，取AB 中点M ，CC 1中点N ，连B 1E 和B 1F ；（7）答案：(A)，延长B 1A 1至M ，使A 1M ＝A 1D 1，连MA ，取AB 中点N ．8(D)；9(E)；10(D)；11(C)； 三．34，取AD 中点E ，则∠MEN＝90°；四．57，取AC 中点F ，连EF 、BF ，求得BE ＝21AD ＝5，BF ＝21AC ＝32；五．552，分别取AC 、B 1C 1的中点P 、Q ，则PMQN 是矩形，设CC 1＝MQ ＝a ，则MP ＝21a ；六．61，取AC 中点F ，连EF 、BF ，则EF ＝4，BE ＝BF ＝3．异面直线所成的角---作业班级： 姓名： 学号：一、判断是非(下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内； (2)对边相等的四边形是平行四边形； (3)平行于同一直线的两直线平行； (4)垂直于同一直线的两直线平行； (5)两条直线确定一个平面； (6)经过三点可以确定一个平面； (7)无公共点的两直线异面； (8)两异面直线无公共点；(9)两异面直线可以同时平行于一直线； (10)两异面直线可以同时垂直于一直线；(11)不同在一个已知平面内的两直线异面； (12)互相垂直的两条直线必可确定一平面 二、选择题1. 没有公共点的两条直线的位置关系是( )(A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定 2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )(A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交 3. 两条异面直线指的是( ) (A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C)分别位于两个不同平面的两条直线(D)不同在任一平面内的两条直线4. a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线，那么a 、c 的位置是( )(A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面 5. 说出正方体中各对线段的位置关系：(1) AB 和CC 1； (2)A 1C 和BD 1； (3)A 1A 和CB 1； (4)A 1C 1和CB 1； (5)A 1B 1和DC ； (6)BD 1和DC.6. 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )31032()()()()55A B C D7. 如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( )3013015()()()()2A B C D8. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 9. 设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c； ②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面， 在上述四个命题中，真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10. 如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条11. 如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°三．如图，四面体ABCD 中，AC⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求MN 和BD 所成角的正切值FAB CE S (第11题)A BCD M(第三N4 3四．如图，四面体ABCD 中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E 是AD 中点，求BE 与CD 所成角的余弦值五．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点。