江苏省2021年高三数学4月模拟卷(二)

高三数学模拟卷（二）注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间150分钟．2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，若(z ＋z )(z －z )＝8i ，则ab 的值为________．2. 已知集合M ＝{y |y ＝2－x＋1，x ∈R}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 13≥1 ，则M ∩N ＝________． 3. 某人打同一款游戏通关的时间分别为x ，9，10，11，9(单位：min)，已知这组数据的平均数为10，则方差为________．4. 某马戏团有大猩猩2只，猴子3只，现从中任选3只去外地参加表演，则大猩猩和猴子都被选中的概率为________．(第5题)5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为________．6. 已知等差数列{a n }满足a 5＝2，a 11＝11，则a 28 －a 22 ＝________．7. 函数f (x )＝1＋ln x1－ln x的定义域为________．8. 设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a ＋2b|＝________．9. 已知F 1，F 2是双曲线x 2m 2 －y 24－m 2 ＝1(0<m <2)的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1，PF 2是一元二次方程t 2－5t ＋5＝0的两根，则m 的值为________．10. 已知P (s ，t )在函数f (x )＝1－x 2的图象上运动，则s 2＋（t －2）2＋（s －1）2＋t 2的最小值为________．11. 对任意的θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，不等式1sin 2θ ＋4cos 2θ ≥|2x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．12．用扇形铁皮卷成一个圆锥筒(假设扇形半径可变化)，已知扇形面积为定值S ，要使卷成的圆锥筒体积最大，则该扇形的半径R 为________．13. 设当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）2，0≤x ≤2，1＋1x ，x >2， 若函数y ＝f (|x |)－m 有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且AD 平分△ABC 的面积，若90°>∠BAD ≥90°－C ，AC >AB ，则∠BAC 的取值范围为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，x ∈[－π，π]. (1) 已知b ＝(1，－3 )，若a ，b 所成的角为π3 ，求x 的值；(2) 已知c ＝(3 ，－1)，记f (x )＝(a ＋c)·(a－2c)，求f (x )的值域．16. (本小题满分14分)如图，在平行四边形ABCD中，已知直线BC⊥平面ABE，F为CE 的中点．(1) 求证：直线AE∥平面BDF；(2) 若∠AEB＝90°，求证：平面BDF⊥平面BCE.(第16题)17. (本小题满分14分)如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1是一个棱长为2的空心蔬菜大棚， 由8个钢结构(地面没有)组合搭建而成的，四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖．已知E 为柱AA 1上一点(不在点A ，A 1处)，EA ＝t .菜农需要在地面正方形ABCD 内画出一条曲线l 将菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理，现已知点P 为地面正方形ABCD 内的曲线l 上任意一点，设α，β分别为在P 点观测E 和D 1的仰角．(1) 若α＝β，请说明曲线l 是何种曲线，为什么？(2) 若E 为柱AA 1的中点，且α<β时，请求出点P 所在区域的面积．(第17题)18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a >b >0)的长轴端点分别为A 1，A 2，椭圆C 的离心率为e ＝23，两条准线之间的距离为9.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设P 是曲线C 上的一点，∠PA 1A 2＝α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 ，过A 2作A 2R ⊥A 1P 于点R ，设A 2R与曲线C 交于点Q ，连接PQ ，求直线PQ 的斜率的取值范围．19. (本小题满分16分)设f (x )＝a e x －a ，g (x )＝ax －x 2(a 为与自变量x 无关的正实数). (1) 证明：函数f (x )与g (x )的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线； (2) 是否存在实数k ，使得f （x ）＋a ax －ln x －1>k x 对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 恒成立？若存在，求出k 的取值范围，否则请说明理由．20. (本小题满分16分)若对任意的n ∈N *，存在一个常数M ，使得a n ≤M 成立，则称M 为a n 的一个上界；若对任意的n ∈N *，a n ＋1≤a n ＋a n ＋22成立，则称数列{a n }为“凹数列”．(1) ①求证：任意一个正项等比数列{b n }为“凹数列”；②构造一个正项“凹数列”{c n }，但数列{c n }不是等比数列，并给出证明；(2) 设无穷正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若1为S n 的一个上界(n ∈N *)，且数列{a n }为“凹数列”，求证：0≤a n －a n ＋1≤2n （n ＋1）(n ∈N *).绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学Ⅱ(附加题)注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4－2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知T 变换将曲线C 1：x 24＋y 2＝1变换为单位圆x 2＋y 2＝1，S 变换将曲线C 2：x 29－y 24＝1变换为双曲线x 2－y 2＝1，求ST 对应的矩阵．B. 选修4－4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中，已知直线ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 与圆O ：ρ＝8sin θ相交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．C. 选修4－5：不等式选讲(本小题满分10分)已知实数x ，y ，z 为正实数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋z 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 5＋6z >93255 .【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)设P ，Q 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两点，点P ，Q 的纵坐标之和为4.(1) 求直线PQ 的倾斜角；(2) 已知M 是抛物线C 上的动点，过M 作垂直于x 轴的直线，与直线y ＝x 交于点A ，点B 满足MB → ＝2MA →，连接OB (其中O 为原点)交抛物线C 于点N ，试问：直线MN 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．23. (本小题满分10分)设a ，b ∈R，a ≠0，a ＋b ≥0，数列{c r }的通项公式为c r ＝ab(an－r b r)(1≤r ≤n ＋1)，n ∈N *.令{c r }的各项之和为S n ＋1，f n (a ，b )＝S n ＋1n ＋1.(1) 计算：f 1(a ，b )，f 2(a ，b )，f 3(a ，b )，验证不等式f n (a ，b )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n 对n ＝1，2，3成立；(2) 证明不等式：f n (a ，b )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ，并给出等号成立的充要条件．普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学Ⅰ参考答案及评分标准1. 2 【解析】 由z ＝a ＋b i ，得z ＝a －b i ，因为(z ＋z )(z －z )＝8i ，所以(a ＋b i ＋a －b i)[a ＋b i －(a －b i)]＝4ab i ＝8i ，所以ab ＝2.2. {y |y >1} 【解析】 因为M ＝{y |y >1}，N ＝{x |x 13≥1}＝{x |x ≥1}，所以M ∩N ＝{y |y >1}．3. 0.8 【解析】 因为这组数据的平均数为10，所以x ＋9＋10＋11＋95＝10，解得x＝11，所以这5个数据的方差为15 [(11－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝0.8.4. 910 【解析】 记2只大猩猩分别为A ，B ，3只猴子分别为C ，D ，E ，运用枚举法得从中任意选3只构成的基本事件有10个，其中大猩猩和猴子都被选中的有9个，所以大猩猩和猴子都被选中的概率为910.5. 55 【解析】 i ＝1时，运行结果为S ＝0＋12＝1，i ＝2；i ＝2时，运行结果为S ＝1＋22＝5，i ＝3；i ＝3时，运行结果为S ＝5＋32＝14，i ＝4；i ＝4时，运行结果为S ＝14＋42＝30，i ＝5；i ＝5时，运行结果为S ＝30＋52＝55，i ＝6，退出循环，所以输出的S 的值为55.6. 36 【解析】 设公差为d ，因为a 5＝2，a 11＝11，所以6d ＝a 11－a 5＝9，所以a 28 －a 22 ＝(a 8＋a 2)(a 8－a 2)＝2a 5·6d ＝ 36.7. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e 【解析】 要使函数f (x )＝1＋ln x 1－ln x 有意义，则1＋ln x1－ln x≥0⎩⎪⎨⎪⎧（1＋ln x ）（1－ln x ）≥0，1－ln x ≠0⎩⎪⎨⎪⎧（1＋ln x ）（ln x －1）≤0，1－ln x ≠0 －1≤lnx <11e≤x <e ，所以函数f (x )＝1＋ln x 1－ln x 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e . 8. 3 【解析】 |a ＋2b|＝|a ＋2b|2＝a 2＋4a·b＋4b 2＝1－2＋4 ＝3 . 9.52【解析】 因为PF 1，PF 2是一元二次方程t 2－5t ＋5＝0的两根，所以|PF 1－PF 2|＝52－4×5 ＝5 .因为点P 在双曲线x 2m 2 －y 24－m2 ＝1(0<m <2)上，所以|PF 1－PF 2|＝2m ，所以2m ＝5 ，即m ＝52. 10. 5 【解析】 函数f (x )＝1－x 2的图象为圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的部分(包含x 轴上的点)，s 2＋（t －2）2 ＋（s －1）2＋t 2 表示点P 到点M (0，2)的距离与点P 到点N (1，0)的距离之和，即s 2＋（t －2）2 ＋（s －1）2＋t 2 ＝PM ＋PN ≥MN ＝5 .11. [－4，5] 【解析】 1sin 2θ ＋4cos 2θ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋4cos 2θ (sin 2θ＋cos 2θ)＝5＋cos 2θsin 2θ ＋4sin 2θcos 2θ≥5＋2cos 2θsin 2θ×4sin 2θcos 2θ ＝9，当且仅当cos 2θsin 2θ ＝4sin 2θcos 2θ，即cos 2θ＝23 ，sin 2θ＝13时取等号，所以|2x －1|≤9，解得－4≤x ≤5. 12.43 ·Sπ【解析】 由题意知，圆锥母线长为R ，设圆锥底面的半径为r ，高为h ，则r 2＋h 2＝R 2，且12 ·2πr ·R ＝S ，R ＝S πr .圆锥筒的体积V ＝πr 2h 3 ＝πr23R 2－r 2 ＝πr23⎝ ⎛⎭⎪⎫S πr 2－r 2 ＝13 S 2r 2－π2r 6 ，令r 2＝t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，S π ，u ＝S 2r 2－π2r 6＝S 2t －π2t 3，令u ′＝S 2－3π2t 2＝0，得t ＝S 3π ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，S π ，当0<t <S 3π 时，u ′>0，当S 3π<t <S π 时，u ′<0，所以当且仅当t ＝S3π，即r 2＝S3π时，u 取得最大值，即这个圆锥筒的体积最大，此时扇形的半径R ＝Sπr＝43 ·Sπ.13.⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |0<m ≤1或32≤m <2 【解析】 函数y ＝f (|x |)－m 有4个不同的零点等价于y ＝f (|x |)的图象与直线y ＝m 的图象有4个不同的公共点．因为f (|x |)为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）2，0≤x ≤2，1＋1x ，x >2， 所以可以作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图可知若函数y ＝f (|x |)－m 有4个不同的零点时，则实数m 的取值范围是{m |0<m ≤1或32≤m <2}．(第13题)14. [90°，180°) 【解析】 设∠BAD ＝α，∠CAD ＝β.因为∠BAD ≥90°－C ，所以α≥90°－C ，β≤90°－B .因为AC >AB ，所以B >C ，所以0°<β<α.因为90°>∠BAD ，所以0°<β<α<90°，所以sin α≥sin (90°－C )＝cos C ，sin β≤sin (90°－B )＝cos B .因为D 为BC 边上的一点，且AD 平分△ABC 的面积，即S △ABD ＝S △ACD ，所以12 c ·AD sin α＝12b ·AD sin β，所以c sin α＝b sin β，所以c cos C ≤b cos B .在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos C ≤sin B cos B ，所以sin 2C ≤sin 2B .因为β≤90°－B ，所以B ≤90°－β<90°.因为C <B ，所以C <90°，所以2B ，2C ∈(0°，180°).因为sin 2C ≤sin 2B ，所以|2C －90°|≥|2B －90°|，所以(2C －90°)2≥(2B －90°)2，所以(2C ＋2B －180°)(2C －2B )≥0.因为B >C ，所以2C ＋2B －180°≤0，所以B ＋C ≤90°，所以∠BAC 的取值范围是[90°，180°).15. 【解答】 (1) 因为向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(1，－3 )，a ，b 所成的角为π3 ，所以a·b＝sin x －3 cos x ＝（sin x ）2＋（cos x ）2·12＋（－3）2·cos π3，(2分) 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝12 .(4分)因为x ∈[－π，π]，所以x －π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，2π3 ，所以x －π3 ＝－7π6 或x －π3 ＝π6，(6分)所以x ＝－5π6 或x ＝π2.(7分)(2) f (x )＝(a ＋c)·(a－2c)＝a 2－a·c－2c 2＝(sin x )2＋(cos x )2－(3 sin x －cos x )－2[(3 )2＋(－1)2]＝－7－(3 sin x －cos x )＝－7－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ，(9分)因为x ∈[－π，π]，所以x －π6 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6，5π6 ，(11分)所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ≤1，(13分)所以f (x )的值域为[－9，－5].(14分)16. 【解答】(1) 如图，连接AC ，设AC ∩BD ＝G ，连接FG . 由四边形ABCD 为平行四边形，得G 是AC 的中点． 又因为F 是CE 的中点，所以在△ACE 中，FG ∥AE .因为AE 平面BDF ，FG 平面BDF ，所以AE ∥平面BDF .(7分)(第16题)(2) 因为∠AEB ＝90°，所以AE ⊥BE .又因为直线BC ⊥平面ABE ，AE 平面ABE ，所以AE ⊥BC . 又BC ∩BE ＝B ，BC ，BE 平面BCE ， 所以直线AE ⊥平面BCE .由(1) 知，FG ∥AE ，所以直线FG ⊥平面BCE .因为直线FG 平面BDF ，所以平面BDF ⊥平面BCE .(14分)17. 【解答】 (1) 如图(1)，连接PA ，PD ，则∠EPA ＝α，∠D 1PD ＝β.(第17题(1))因为α＝β，所以tan α＝tan β，(2分) 所以AE PA ＝DD 1DP ，所以t PA ＝2PD ，所以PD ＝2t·PA ，(3分) 令2t＝λ>1，则PD ＝λPA .(4分)如图(2)，建立平面直角坐标系，(第17题(2))则A (0，0)，D (0，2)，设P (x ，y )，则x 2＋（y －2）2＝λx 2＋y 2，(5分) 化简得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －21－λ2 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ2－1 2，所以P 点的轨迹，即曲线l 是在正方形ABCD 内的一段圆弧．(7分) (2) 由(1)知当E 为柱AA 1的中点时，t ＝1，所以λ＝2，(1)中圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋23 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43 2，(8分)因为α<β，所以tan α<tan β，所以AE PA <DD 1PD ，所以1PA <2PD，所以PD <2PA ，(10分)所以点P 在圆弧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋23 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43 2外，(12分)所以点P 所在区域的面积为4－[16 π⎝ ⎛⎭⎪⎫43 2 －12 ×23 ×233 ]＝108＋63－8π27 .(14分)18. 【解答】 (1) 由椭圆C 的离心率为e ＝23，两条准线之间的距离为9，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，2a2c ＝9，a 2＝b 2＋c 2，(2分) 令c ＝2k ，a ＝3k (k >0)，则b ＝5 k ， 代入2a2c＝9，得k ＝1，所以a ＝3，b ＝5 ，所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 25＝1.(4分)(2) 设直线A 1P 的斜率是k ，则k ∈[1，3 ]，(6分) 设P ，Q 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则直线A 1P 的方程是y ＝k (x ＋3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 25＝1，y ＝k （x ＋3），消去y ，得 (9k 2＋5)x 2＋54k 2x ＋9(9k 2－5)＝0，(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3（5－9k 2）5＋9k2，y 1＝30k5＋9k 2．(10分)同理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3（9－5k 2）9＋5k2，y 2＝30k9＋5k 2，(12分)所以k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝30k 5＋9k 2－30k 9＋5k 23（5－9k 2）5＋9k 2－3（9－5k 2）9＋5k 2＝514 (k －1k)，(15分) 因为g (k )＝k －1k在[1，3 ]上单调递增，所以k PQ ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5321 .(16分)19. 【解答】 (1) 因为f (0)＝a e 0－a ＝0，g (0)＝0，所以f (x )＝a e x－a ，g (x )＝ax －x 2的图象存在一个公共的定点O (0，0).(2分)因为f ′(x )＝a e x，g ′(x )＝a －2x ，所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝a ，所以在定点O (0，0)处有一条公切线，为直线y ＝ax .(4分)(2) 假设存在实数k ，使得f （x ）＋a ax －ln x －1>k x 对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 恒成立，即存在实数k ，使得k <e x－x ln x －x 对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 恒成立．(5分)令h (x )＝e x－x ln x －x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ ，则h ′(x )＝e x－ln x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ ，(6分)令m (x )＝e x－ln x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ ，则m ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ ，(8分)令y ＝x e x －1，则y ′＝e x(1＋x )>0在x ∈(12，＋∞)上恒成立，所以y ＝x e x－1在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 上单调递增．(10分)因为12 e 12－1＝e 12－22<0，1·e 1－1>0，所以存在唯一实数x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 ，使得x 0e x 0－1＝0，即m ′(x 0)＝0，且x 0＝e －x 0， 所以h ′(x )在x 0处取得最小值h ′(x 0)＝e x 0－ln x 0－2＝e x 0－ln e －x 0－2＝e x 0＋x 0－2>e 12 ＋12 －2＝e －32＝e －94>0，(12分) 所以h (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 上单调递增， 所以h (x )>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝e ＋ln 2－12 .(14分)因为k <e x－x ln x －x 对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 恒成立，所以k ≤e ＋ln 2－12 ，所以存在k ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，e ＋ln 2－12 ，使得f （x ）＋a ax －ln x －1>k x 对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 恒成立．(16分)20. 【解答】 (1) ①设正项等比数列{b n }的公比为q ，则b n ＋1－b n ＋b n ＋22＝b n q －b n ＋b n q 22＝－b n ·（q －1）22≤0，所以正项等比数列{b n }为“凹数列”．(2分)②设c n ＝d n ＋e n ，其中{d n }，{e n }分别为两个正项等比数列，公比分别为q 1，q 2，且q 1≠q 2， 显然c n >0(n ∈N *)，c n ＋1－c n ＋c n ＋22＝(d n ＋1＋e n ＋1)－（d n ＋e n ）＋（d n ＋2＋e n ＋2）2＝⎝⎛⎭⎪⎫d n ＋1－d n ＋d n ＋22＋(e n ＋1－e n ＋e n ＋22)＝⎝⎛⎭⎪⎫d n q 1－d n ＋d n q 21 2＋⎝⎛⎭⎪⎫e n q 2－e n ＋e n q 22 2＝－[d n ·（q 1－1）22＋e n ·（q 2－1）22]≤0，所以正项数列{c n }为“凹数列”．(4分) 下面证明：正项数列{c n }不是等比数列．若{c n }是等比数列，则(d n ＋1＋e n ＋1)2＝(d n ＋e n )·(d n ＋2＋e n ＋2)(n ∈N *)，所以d 2n ＋1 ＋e 2n ＋1 ＋2d n ＋1e n ＋1＝d n d n ＋2＋e n e n ＋2＋d n e n ＋2＋d n ＋2e n (n ∈N *)，因为数列{d n }，{e n }分别为两个正项等比数列， 所以d 2n ＋1 ＝d n d n ＋2，e 2n ＋1 ＝e n e n ＋2， 所以2d n ＋1e n ＋1＝d n e n ＋2＋d n ＋2e n ， 所以2d n e n q 1q 2＝d n e n q 22 ＋d n e n q 21 ，因为d n e n ≠0，所以2q 1q 2＝q 22 ＋q 21 ，所以(q 2－q 1)2＝0，所以q 2＝q 1，与q 1≠q 2矛盾， 所以数列{c n }不是等比数列．(6分)(2) 若存在一个常数k ∈N *，使得a 1≥a 2≥a 3≥…≥a k ，但a k <a k ＋1，(7分) 将a n ＋1≤a n ＋a n ＋22(n ∈N *)中的n 换成k ，得a k ＋1≤a k ＋a k ＋22，进一步得a k ＋1－a k ≤a k ＋2－a k＋1.由不等式的传递性得，a k ＋1<a k ＋2，(8分) 同理可得，a k ＋2<a k ＋3<a k ＋4<…<a n <…， 所以a k <a k ＋1<a k ＋2<a k ＋3<a k ＋4<…<a n <…，所以数列{a n }从a 1项到a k 项递减，从a k 项开始向后递增， 所以a 1＋a 2＋…＋a k －1＋a k ＋a k ＋1＋…＋a n >na k .(10分) 因为正常数k 是固定的，且a k >0，所以当n 足够大时，必有a 1＋a 2＋…＋a n >1(n >k )， 与题设a 1＋a 2＋…＋a n ≤1矛盾， 所以{a n }不可能从某一项开始递增， 所以a n －a n ＋1≥0(n ∈N *).(12分)令b k ＝a k －a k ＋1(k ∈N *)，a k ＝b k ＋a k ＋1(k ∈N *)， 由a k ＋1－a k ≤a k ＋2－a k ＋1，得b k ≥b k ＋1，b k ≥0(k ∈N *)，所以1≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(b 1＋a 2)＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝b 1＋2a 2＋a 3＋…＋a n＝b 1＋2(b 2＋a 3)＋a 3＋…＋a n ＝b 1＋2b 2＋3a 3＋…＋a n ＝…＝b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＋na n ＝b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＋n (b n ＋a n ＋1) ＝b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＋nb n ＋na n ＋1 ≥b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＋nb n ≥b n ＋2b n ＋…＋(n －1)b n ＋nb n ＝[1＋2＋…＋(n －1)＋n ]b n ＝n （n ＋1）2b n ，所以b n ≤2n （n ＋1）对一切n ∈N *成立．综上，对一切n ∈N *，0≤a n －a n ＋1≤2n （n ＋1）成立．(16分)2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准21. A. 【解答】 因为T 变换将曲线C 1：x 24＋y 2＝1变换为单位圆x 2＋y 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y ， 所以T 变换对应的矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001 .(3分) 因为S 变换将曲线C 2：x 29－y 24＝1变换为等轴双曲线x 2－y 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3，y ′＝y 2， 所以T 变换对应的矩阵为N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤130012，(6分) 所以变换ST 对应的矩阵为NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤130012 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤160012 .(10分) B. 【解答】 以极点为坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系，将直线ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 化为普通方程得ρcos θcos π4 ＋ρsin θsin π4 ＝2 ，即x ＋y －2＝0，(3分)将圆O ：ρ＝8sin θ化为普通方程得x 2＋y 2－8y ＝0， 即x 2＋(y －4)2＝16.(6分)因为圆心O (0，4)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|0＋4－2|2 ＝2 ，所以AB ＝2r 2－d 2＝216－（2）2＝214 ，(9分) 所以△OAB 的面积为12 AB ·d ＝12×214 ×2 ＝27 .(10分)C. 【解答】 因为实数x ，y ，z 为正实数，所以1x ＋2y ＋z3 ≥331x ·2y ·z 3 ＝3·32z 3xy①，(3分)x 4 ＋y 5 ＋6z ≥3·3x 4·y 5·6z ＝3·33xy 10z②，(6分) 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋z 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 5＋6z ≥3·32z 3xy ·3·33xy 10z ，(9分)因为①②中的等号不同时成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋z 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 5＋6z >93255 .(10分)22. 【解答】 (1) 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫s 24，s ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t (s ≠t )， 因为P 与Q 的纵坐标之和为4，所以s ＋t ＝4.又直线PQ 的倾斜角不等于π2 ，所以直线PQ 的斜率为t －s t 24－s 24 ＝4t ＋s＝1，(3分)所以直线PQ 的倾斜角为π4.(4分)(2) 设M (x 1，y 1)(y 1≠0，4)，则A (x 1，x 1)，因为MB → ＝2MA →，所以点A 是BM 的中点，即B (x 1，2x 1－y 1)，所以直线OB ：y ＝2x 1－y 1x 1x .因为x 1＝y 21 4 ，所以直线OB ：y ＝2y 1－4y 1x .(6分)设N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 1－4y 1x ，y 2＝4x ， 可得y ＝2y 1y 1－2 ，所以y 2＝2y 1y 1－2 ，(8分)所以k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1 ＝y 2－y 1y 22 4－y 21 4＝4y 2＋y 1 ＝42y 1y 1－2＋y 1 ＝4（y 1－2）y 21，所以直线MN ：y ＝4（y 1－2）y 21 (x －x 1)＋y 1＝4（y 1－2）y 21 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 21 4 ＋y 1＝4（y 1－2）y 21 x ＋2，所以直线MN 恒过定点(0，2).(10分)23. 【解答】 (1) 因为f n (a ，b )＝S n ＋1n ＋1 ＝∑r ＝1n ＋1 ab （a n －r b r）n ＋1 ＝a b ∑r ＝1n ＋1a n －r brn ＋1，所以f 1(a ，b )＝a ＋b2≥a ＋b2，(1分)因为f 2(a ，b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2＝a 2＋ab ＋b 23 －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2＝（a －b ）212 ≥0，所以f 2(a ，b )≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2，(2分)因为f 3(a ，b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 3＝a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 34 －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 3＝（a ＋b ）（a －b ）28 ，a ＋b ≥0， 所以f 3(a ，b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 3＝（a ＋b ）（a －b ）28 ≥0，即f 3(a ，b )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 3.(3分) (2) 当a ＝b 时，f n (a ，b )＝（n ＋1）a nn ＋1 ＝a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ，所以f n (a ，b )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n 成立．(4分)当a ≠b 时，由等比数列的求和公式得，f n (a ，b )＝a n ＋1－b n ＋1（a －b ）（n ＋1），因为an ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＋a －b 2 n ＋1＝i ＝0n ＋1 C i n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ＋1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 i ， b n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2－a －b 2 n ＋1＝i ＝0n ＋1 (－1)i C in ＋1 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ＋1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 i ，(5分) f n (a ，b )＝a n ＋1－b n ＋1（a －b ）（n ＋1） ＝2（a －b ）（n ＋1） [C 1n ＋1 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 ＋C 3n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 3＋C 5n ＋1 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 5＋…]＝2n ＋1 [C 1n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n 12 ＋C 3n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 212 ＋C 5n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 412＋…]＝1n ＋1 [C 1n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ＋C 3n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 2＋C 5n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 4＋…](*)，(7分)因为a ＋b ≥0，所以(*)≥C 1n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2nn ＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ，当且仅当n ＝1或a ＋b ＝0时取等号．(9分) 综上，a ，b ∈R，a ≠0，a ＋b ≥0，n ∈N *，f n (a ，b )≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n 成立，当且仅当n ＝1或a ＝b 或a ＋b ＝0时取等号．(10分)。