转化与化归
化归与转化一、化归与转化其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。
二、典型例题例1．）在平面直角坐标系xoy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+.求点M 的轨迹方程.[解析] 在求得曲线C 的方程)0,0(1422>>=+y x y x 后，将其转化为函数)10(122<<-=x x y 的图像来认识，通过导数得y '=－2x1－x 2设P(x 0,y 0)，因P 在C 上,有0<x 0<1, y 0=21－x 02 , y '|x=x0= －4x 0y 0,得切线AB 的方程为: y=－ 4x 0y 0 (x －x 0)+y 0。
于是得A(1x 0，0)和B(0，4y 0)，设M(x ，y)，由O M O A O B =+ 得：x=1x 0，y=4y 0，所以xx 10=，y y 40=，代入142020=+y x 得点M 的轨迹方程为: 1x 2 + 4y 2 =1 (x>1,y>2)。
[点评] 此题表面上为解析几何的试题，看似与函数无关，因此很容易想到用解析法确定椭圆切线方程的方法，这样就会陷入繁杂的计算之中，事实上，联想到函数切线的几何意义以后，将问题转化到函数的导数，问题得到了大大简化。
例2．若正方形ABCD 的一条边在直线y=2x-17上,另外两个顶点在抛物线y=x 2上,则该正方形面积的最小值为_______________[解析] 我们可以采用解析几何中的常规方法去处理,利用弦长公式与点到直线距离公式去求解。
如果考虑到正方形的邻边垂直且相等的特殊性质与复数的性质,则不妨可以从复数角度去处理问题。
不妨设点A,B 在抛物线y=x 2上,C,D 在直线y=2x-17上 令z A =x 1+x 12i,z B =x 2+x 22i,则A B A D z z =i=-(x 22-x 12)+(x 2-x 1)i 从而z D =z A +AD z =(x 12-x 22+x 1)+(x 12-x 1+x 2)i∵D 在直线y=2x-17上 ∴x 12-x 1+x 2=2x 12-x 22+x 1-17 ① 又∵AB//CD ∴k AB =k CD 则x 1+x 2=2 ② 联立①②解得 ⎩⎨⎧-==1x 3x 21或⎩⎨⎧-==7x 9x 21∴S 正方形=|AB|2=(x 1-x 2)2+(x 12-x 22)2=5(x 1-x 2)2=80或1280∴S min =80[点评] 正方形的邻边垂直且相等的特殊性质与复数的性质的相关性是我们产生联想的基础，而对知识之间联系的熟悉程度是我们能顺利化归的保证。
例3．某厂2007年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m 与全年总投入N 的大小关系 （ ）A. m>NB. m<NC.m=ND.无法确定[解析] 每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。
11a b =，且1212a b =，比较12S 与12T 的大小。
若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式a n =a 1+（n-1）d 是关于n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。
等比数列的通项公式b n =a 1q n-1是关于n 的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。
在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出a i ≥b i 则12S ＞12T ，即m ＞N 。
[点评] 把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是我们所熟悉的。
在对问题的化归过程中进一步挖掘问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。
例4．已知函数f (x )=ln(l+x ) - ax .（1）若函数f (x )在（0，+∞）上是单调递减函数，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当 n ∈N +时，证明：（1+21）（1+221）…（1+n 21）<e. [解析] （1）由题设知f ′(x )=011≤-+a x在（0，+∞）上恒成立 .故a ≥1. （2）证明：构造函数g (x )=ln （1+x ）-x , 由（1）知g (x )在（0，+∞）上是单调递减函数 .又x >0，所以g (x )=ln(1+x )-x <g (0)=0，即ln(1+x )<x .由此得ln （1+21）+ln(1+221)+…+ln （1+n 21） <=<-=+++12112121212n n lne .故)211()211)(211(2n +++ <e . [点评] 在第（1）问题的提醒下，通过构造函数将不等式问题转化为函数的单调性，问题得到大大简化。
例5．若不等式243x px x p +>+-对一切04p ≤≤均成立，试求实数x 的取值范围。
[解析] 243x px x p +>+- ∴2(1)430x p x x -+-+>恒成立。
令()g p =2(1)43x p x x -+-+，则要使它对04p ≤≤均有()0g p >，只要有(0)0(4)0g g >⎧⎨>⎩3x ∴>或1x <-。
[点评] 在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。
但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。
本题中，若视x 为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p 的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。
四、在中学数学中，应用化归与转化思想方法解题应注意三个点 （一）注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法三个要素。
而设计目标是问题的关键，设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。
因此，在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。
在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。
例6．已知α,β∈(0,2π),且sin β=sin αcos(α+β)(α+β≠2π),当tan β取最大值,求tan(α+β)的值 [解析]我们不妨将解题目标分解为(1)用α表示tan β,(2)求tan α的值,(3)求tan(α+β)的值∵sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin αcos(α+β)∴sin(α+β)cos α=2sin αcos(α+β) 即 tan(α+β)=2tan α(产生切函数) ∴tan α+tan β=2tan α(1-tan αtan β)即tan β=α+α=α+αtan 1tan 21tan 21tan 2≤221=42(此时tan α=22)(实现目标2) 而此时tan(α+β)=2tan α=2(实现目标3)[点评] 解题犹如打仗，需要冲破道道难关，而盯住目标，求什么就解什么，有助于最终形成解题思维链。
（二）注意转化的等价性，保证逻辑上的正确化归包括等价化归和非等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。
例7．已知f(x)=ax 2-c ，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。
[解析] 本题典型错误是从-4≤a-c ≤-1，-1≤4a-c ≤5中解出a ，c 的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c 的范围。
错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。
其实从条件和结论相互化归的角度看，可以用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)，再利用不等式的性质求解。
设f(3)=mf(1)+nf(2) ∴ 9a-c=m(a-c)+n(4a-c) ∴ 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c∴ ⎩⎨⎧=+=+1n m 9n 4m ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=38n 35m ∴ f(3)=)2(f 38)1(f 35+-∵ -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5∴35≤)1(f 35≤320,38-≤)2(f 38≤340∴ -1≤f(3)≤20[点评] 1、本题也可以先用f(1)，f(2)表示a ，c ，即a=31[f(2)-f(1)]，c=31[f(2)-4f(1)]，然后代入f(3)，达到用f(1)，f(2)表示f(3)的目的。
2、本题还可用线性规划知识求解。
（三）注意转化的多样性，设计合理的转化方案在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。
因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬套，造成繁难不堪。
例8．设是边长为1的正方形所在平面上的动点，求在什么位置时，取得最小值。
[解析] 这是较复杂的几何问题，先考虑用解析法把问题转化为代数问题。
如图所示，建立直角坐标系，设，则求的最小值仍较复杂，再考虑用复数法把问题转化为复数模的问题。
设则上式当且仅当 时取等号， 因此， 当且仅当为正方形的中心时，小值。
取最六、变式训练1．使关于x 的不等式x 63x -+-≥k 有解的实数k 的最大值是__________ 2．已知,0,0,,,<+->∈c b a a R c b a 求证：042>-ac b 3．已知抛物线y 2=2x ． （Ⅰ）设A （0,32），求曲线上距A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|； （Ⅱ）设A （a ，0）（a ∈R ），求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写出d=f （a ）的函数表达式．4．已知关于x 的不等式22)1(>--x x a 的解集为A ，且A ∉3．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若a=1时，求集合A ．5．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边 （1）若ABC ∆面积,60,2,23︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值； （2）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状．6．已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列，设1423log n n b a +=()n *∈N ，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（Ⅰ）求证：数列{}n b 成等差数列；（Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和nS ；（Ⅲ）若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围． [答案与提示]1．简析:考虑到(3x -)2+(x 6-)2=3,可设x=3+3sin 2θ,θ∈[0,2π] ∴x 63x -+-=3(cos θ+sin θ)=6sin(θ+4π)≤6,即k max =6 2．（提示：构造二次函数c bx ax x f ++=2)(，然后利用判别式）3．（Ⅰ）∴≥++=+-=+-=,0,31)31(2)32()32(||22222x x x x y x PA 当x=0时，|PA|2取最小值94，∴|PA|的最小值为32，此时P （0，0）． （Ⅱ）|PA|2=（x-a ）2+y 2=（x-a ）2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x≥0），求|PA|2的最小值转化为求二次函数在x≥0时的最小值．当a-1＜0⇒a ＜1时，当x=0时，|PA|2最小值为a 2，∴|PA|的最小值是|a|（此时P （0，0））；当a-1≥0⇒a≥1时，当x=a-1时，|PA|2最小值为2a-1， ∴|PA|的最小值是12-a （此时P （a-1，22-±a ））．⎩⎨⎧≥-=∴1121||a a a a d4．解：（1）∵A ∉3，∴当3=x 时，有2)1(--x x a ≤2，即232-a≤2． ∴a ≤1．即a 的取值范围是{}1|≤a a ．（2）2<x<35．解：（1）23sin 21==∆A bc S ABC ，2360sin 221=︒⋅∴b ，得1=b由余弦定理得：360cos 21221cos 222222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，所以3=a（2）由余弦定理得：2222222c b a ac b c a c a =+⇒-+⋅=，所以︒=∠90C 在ABC Rt ∆中，c a A =sin ，所以a cac b =⋅=所以ABC ∆是等腰直角三角形6．解：（Ⅰ）由题意知，1()4n n a = （n N *∈ ） ∵143log 2n n b a =-，113log 21b a =-=∴111111144443log 3log 3log 3log 3n n n n n n a b b a a q a +++-=-=== ∴数列{}n b 是首项11b =，公差3d =的等差数列，其通项为32n b n =-（n N *∈ ）．（Ⅱ）∵1(32)()4n n c n =-⋅,（n N *∈ ）∴2311111114()7()(35)()(32)()44444n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ,于是14n S =2341111111()4()7()(35)()(32)()44444n n n n +⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯两式相减得 231131111113()()()()(32)()4444444n n n n S n -+⎡⎤=+++++--⨯⎢⎥⎣⎦231111111113()()()()(32)()2444444n n n n -+⎡⎤=-++++++--⨯⎢⎥⎣⎦111(32)()24n n +=-+⨯.∴121281()334n n n S ++=-⨯ （n N *∈ ）（Ⅲ）∵1111(31)()(32)()44n n n n c c n n ++-=+⋅--⋅ 119(1)()4n n +=-⋅， （n N *∈ ）∴当1n =时，2114c c ==当2n ≥时，1n n c c +<，即n c c c c >---->>432∴当1n =时，n c 取最大值是14又2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立∴211144m m +-≥即2450m m +-≥得1m ≥或5m ≤-。
高中数学 转化与化归思想
第四讲转化与化归思想知识整合一、转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．二、转化与化归的常见方法1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．2．换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题．6．构造法：构造一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决．10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A使原问题获得解决，体现了正难则反的原则．1.特殊与一般的转化典题例析例1(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cos A＋cos C1＋cos A cos C＝45.[思路探究]看到a，b，c成等差数列，可联想到等边三角形举特例求解．[解析]显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以cos A＋cos C1＋cos A cos C＝cos60°＋cos60°1＋cos60°cos60°＝11＋14＝45.(2)已知f (x )＝33x ＋3，则f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)＝__2_020__.[思路探究] 看到求f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)的值，想到求f (x )＋f (1－x )的值．[解析] f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x ＝3x ＋33x ＋3＝1，所以f (0)＋f (1)＝1，f (－2 019)＋f (2 020)＝1，所以f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)＝2 020. 规律总结化一般为特殊的应用(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． (2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案．(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．1．AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的坐标为__(0，－1)__．[解析] 找特殊情况，当AB ⊥y 轴时，AB 的方程为y ＝1，则A (－2,1)，B (2,1)，过点A 的切线方程为y －1＝－(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0.同理，过点B 的切线方程为x －y －1＝0，则l 1，l 2的交点为(0，－1)．2．在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( C )A ．20B ．15C ．36D ．6[解析] 方法一：由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD→＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－(AD →＋23AB →)＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝(AB →＋34AD →)·(13AB →－14AD →)＝13(AB →＋34AD →)·(AB →－34AD →)＝13(AB →2－916AD →2)＝13(144－916×64)＝36，故选C.方法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.2.函数、方程、不等式之间的转化 典题例析例2 (1)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[1e ，1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．[1e ，e]B ．(2e ，e]C ．(2e，＋∞)D ．(2e ，e ＋1e)[解析] 设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，当x ∈[1e ，1]时，f ′(x )＝1－x x ≥0，f (x )是增函数，所以x ∈[1e ，1]时，f (x )∈[a －1e ，a ]．设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1，0)单调递减，在[0,1]单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈[1e ，1]，存在唯一的y ∈[－1,1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以[a －1e ，a ]⊆[1e ，e]，∴2e<a ≤e ，故选B.(2)(文)(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若对∀x 1∈[12，3]，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[解析] 当x ∈[12，3]时，f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.(理)(2019·济南调研)已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn ，则( A )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定[解析] 由不等式可得1n 2－1m 2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m 2＋ln m .设f (x )＝1x 2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增．因为f (n )<f (m )，所以n <m .故选A ． 规律总结函数、方程与不等式相互转化的应用1．函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助． 2．解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．1．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈[12，2]，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为( B )A ．[12，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)[解析] 由题意得，对一切x ∈[12，2]，f (x )>0都成立，即a >2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2(1x －12)2＋12在x ∈[12，2]上恒成立，而－2(1x －12)2＋12≤12，则实数a 的取值范围为(12，＋∞)． 2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln4，则( B )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．b <c <a[解析] a ＝13ln 94＝13ln(32)2＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln4＝14×2ln2＝ln22.故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f (32)，b ＝f (54)，c ＝f (2)．因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln xx2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，e]上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0， 函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54<32<2<e ，所以f (54)<f (32)<f (2)，即b <a <c ，故选B.3.正难则反的转化 典题例析例3 (1)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋(m2＋2)x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是( B )A ．(－5，－103)B ．(－373，－5)C ．(－5，－2)D ．(－5，＋∞)[解析] g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，又t ∈[1,2]，则m ＋4≥21－3×1＝－1，即m ≥－5；②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为 (0，18) .[解析] f ′(x )＝2ax －1＋1x.(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12(1x －1x2)．①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈(12，1)．设h (t )＝12(t －t 2)＝－12(t －12)2＋18，t ∈(12，1)，显然函数y ＝h (t )在区间(12，1)上单调递减，所以h (1)<h (t )<h (12)，即0<h (t )<18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12(1x －1x2)．②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[18，＋∞)．所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为(0，18)．规律总结转化化归思想遵循的原则1．熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题． 2．简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．3．直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何向平面几何问题转化)．4．正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．1．若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( D )A ．(－∞，12]B ．(－∞，12)C ．(－12，＋∞)D ．[－12，＋∞)[解析] 设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k (x 21＋x 222)＝k (x 1＋x 22－3)＝－6k ＋12，所以中点P (－12k ，－6k ＋12)．由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>(－12k )2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x ＝3)对称．所以实数k 的取值范围是[－12，＋∞)．故选D.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围是 (－3，32) .[解析] 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )>0， 因为Δ＝36p 2≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0解得⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3<p <32，即满足题意的实数p 的取值范围是(－3，32)．4.形体位置关系的转化 典题例析例4 (1)如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为__4__.[解析] 方法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝(12×2×1)×2＝2，V 三棱柱EBF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝(12×2×1)×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.方法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V 正方体ABHI －DEKG ＝23＝8， 故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEGH ＝12×8＝4.(2)如图1所示，正△ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．现将△ABC 沿CD 翻折，使翻折后平面ACD ⊥平面BCD (如图2)，求三棱锥C －DEF 的体积．[解析] 方法一：如图，取CD 的中点M ，连接EM ，则EM ∥AD ，且EM ＝12AD ＝a2，又AD ⊥平面BDC ，故EM 为三棱锥E －DFC 的高．求三棱锥C －DEF 的体积，即求三棱锥E －DFC 的体积． 由题意，知CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，F 为BC 的中点， 所以S △CDF ＝12S △BCD ＝12×12CD ·BD ＝14(2a )2－a 2·a ＝34a 2.所以V 三棱锥E －CDF ＝13S △CDF ·EM ＝13×34a 2×12a ＝324a 3.即V 三棱锥C －DEF ＝324a 2.方法二：如图所示，知三棱锥C －DEF 与三棱锥E －DFC 的体积相等，且三棱锥E －DFC 是三棱锥A －BDC 的一部分．因为平面ACD ⊥平面BCD ，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，故三棱锥E －DFC 的底面积和高分别是三棱锥A －BDC 的底面积和高的一半．由题意，知CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，AD ⊥BD ，AD ＝BD ＝a ，DC ＝3a ，所以S △BCD ＝12×3a ·a ＝32a 2. 故V 三棱锥A －BDC ＝13S △BCD ·AD ＝13×32a 2×a ＝36a 3，则V 三棱锥C －DEF ＝14V 三棱锥A －BCD ＝14×36a 3＝324a 3. 规律总结形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1．(2019·吉林模拟)已知如图，四边形ABCD 和四边形BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，∠BCD ＝∠BCE ＝π2，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC ＝CD ＝CE ＝2AD ＝2BG ＝2，则五面体EGBADC的体积为 73.[解析] 如图所示，连接DG ，BD .由平面ABCD ⊥平面BCEG ， ∠BCD ＝∠BCE ＝π2，可知EC ⊥平面ABCD ， 又CE ∥GB ， 所以GB ⊥平面ABCD .又BC ＝CD ＝CE ＝2，AD ＝BG ＝1，所以V 五面体EGBADC ＝V 四棱锥D －BCEG ＋V 三棱锥G －ABD＝13S 梯形BCEG ·DC ＋13S △ABD ·BG ＝13×2＋12×2×2＋13×12×1×2×1＝73.故填73. 2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形，M 为PC 的中点．(1)求证：PC ⊥AD ；(2)求点D 到平面P AM 的距离．[解析] (1)证明：如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，AC ，由题意可知△P AD ，△ACD 均为正三角形，所以OC ⊥AD ，OP ⊥AD .又OC ∩OP ＝O ，所以AD ⊥平面POC ， 又PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AD .(2)点D 到平面P AM 的距离即点D 到平面P AC 的距离，由(1)可知，PO ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P －ACD 的高．在Rt △POC 中，PO ＝OC ＝3，PC ＝6，在△P AC 中， 因为P A ＝AC ＝2，PC ＝6，所以边PC 上的高 AM ＝P A 2－PM 2＝22－(62)2＝102， 所以△P AC 的面积S △P AC ＝12PC ·AM ＝12×6×102＝152.设点D 到平面P AC 的距离为h ，由V D －P AC ＝V P －ACD ，得13S △P AC ·h ＝13S △ACD ·PO ，又S △ACD ＝12×2×3＝3，所以13×152×h ＝13×3×3，解得h ＝2155.故点D 到平面P AM 的距离为2155.。
六大数学思想之四：转化与化归_最新修正版
六大数学思想之四：转化与化归1.什么是转化与化归？转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。
化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
2. 转化与化归的主要方式：1、等价转化，2、空间图形问题转化为平面图形问题，3、局部与整体的相互转化，4、特殊与一般的转化，5、非等价转化，6、换元、代换等转化方法的运用，7、正与反的转化,8、数与形的转化，9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、11、实际问题与数学语言的转化等.3.转化与化归思想的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．题型一正难则反的转化：Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．Esp2: 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二 函数、方程、不等式之间的转化：解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．Esp3: 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x－1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1n(n ∈N *)时，则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．Esp4: 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.题型三主与次的转化：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量。
化归与转化
面面垂直的判定定理是什么？
•
面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，
则这两个平面相互垂直。
•
例３：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，
∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把 △ABD折起，使∠BDC=90°
• 证明：∵ AD是BC上的高， ∠BDC=90° • ∴ BD⊥AD,BD⊥DC
练习２（2014重庆高考文）．如图，四棱锥P-ABCD中，
底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，
为BC 上一点，且 证明：BC⊥平面POM .
,M
证明直线与平面垂直的常用途径
•
• • •
①.利用线面垂直的定义，转化为该直线与平面内 任一直线垂直。
②.转化为该直线与平面内两条相交直线垂直。 ③.转化为该直线与平面的一条垂线平行 ④.转化为该直线与另一个平行平面垂直。
线面垂直的判定定理是什么？
线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都 垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
•
例2.如图，直四棱柱ABCD-
证明：∵ 四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱
A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，
AB=2，AD= DE=1，EC=3
∴ C1C ⊥平面ABCD
日本著名数学教育家米山国藏曾经说过：“在学校学习的 数学知识，毕业后如果没有什么机会去用，过一两年甚至更短 的时间，很快就会忘掉。然而，不管他们将来会从事什么工作， 那些深深铭刻在他们心中的数学的精神、思维方法、研究方法、
推理方法和看问题的着眼点等，却会随时随地的发生作用，使
他们终生受益”。由此可见数学思想的教学不仅对一个人的在 校学习有很大的作用，而且对人的终身教育也有很大的影响。
第九讲 转化与化归
第九讲 转化与化归所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题.转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.不等式恒成立问题与函数最值问题的互化〔例1〕已知()lg(1)f x x =+，()2lg(2)g x x t =+(t R ∈).(1)当1t =-时，解不等式()()f x g x ≤；(2)如果[0 1]x ∈，时，()()f x g x ≤恒成立，求参数t 的取值范围.〔例2〕设123(1)()lg x x x x n n af x n++++-+= ，其中a R ∈，*n N ∈，且2n ≥，若当( 1]x ∈-∞，时，()f x 有意义，求a 的取值范围.方程有解问题与函数的值域问题的互化〔例3〕求函数2331x x y =++的值域.⇔方程23310x x a ++-=有实数解，求实数a 的取值范围.⇔方程210x x a ++-=有正数解，求实数a 的取值范围.〔例4〕求函数2y x =.⇔方程20x a =有实数解，求实数a的取值范围.⇔曲线y 2y x a =-有交点时，求实数a 的取值范围.⇔向量(2 1)a =-，与向量(b x = 的数量积的取值范围.参数与变量的转化〔例5〕求对于满足04p ≤≤的所有实数p ，使不等式243x px x p +>+-恒成立的x的取值范围.〔例6〕点00( )M x y ，为圆222(0)x y a a +=>内异于圆心的点，判断直线200x x y y a +=与该圆的位置关系.〔例7〕对任意函数()()f x x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x =，并依此规律继续下去现定义124)(+-=x x x f （1）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ，请写出{}n x的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的 初始数据0x 的值；（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x ，满足 对任意正整数n 均有1n n x x +<；求0x 的取值范围正与反的转化〔例8〕一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为〔例9〕某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 （列式表示）具体与抽象的转化〔例10〕已知函数()tan 4f x a x =+，其中 a b ，为常数，若3[lg(log 10)]5f =，求[lg(lg3)]f 的值.〔例11〕知函数532()lg(sin 8f x x x a x bx cx x =+++-+-，其中 a b ，为常数，若(2) 4.627f -=，求(2)f 的值.一般化，已知函数()()()f x g x h x m =++，其中m 为常数，()g x 是奇函数，()h x 是偶函数，若()f a b =，求()f a -的值.实与虚的转化〔例12〕已知复数z 满足i z 44+-=-，求复数z 的模||z .〔例13〕设0a ≥，在复数集内解方程22||z z a +=〔例14〕如图，正方形ABCD 和ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF上移动，若(0CM BN a a ==<，(1)求MN 的长；(2)当a 为何值时，MN 的长最小，并求这个最小值.定与动的转化〔例15〕已知a b ≠，且2sin cos 04aa πθθ+-=，2sin cos 04b b πθθ+-=，判断连结点2( )a a ，，2( )b b ，的直线与以原点为圆心的单位圆的位置关系.〔例16〕双曲线的一个焦点1(2 12)F -，且过点(7 0)A -，和(7 0)B ，，求双曲线另一个焦点2F 的轨迹方程.整体与局部的转化 〔例17〕“换元法”是将某个代数式看成一个整体并用一个字母取代它，将问题简单化的一种方法，如：“求函数y x =-的最小值”，我们可以用换元法解答如下：令t ，则[0 )t ∈+∞，，21x t =+，221y t t =-+，当1t =，即2x =时，min 0y =.请从函数2x y =；1y x x=+；22y x x =-中任选两个不同的函数编制一道用换元法简化的数学问题，并予以解答.〔例18〕设二次函数)0()(2>++=c c x x x f .若()0f x =有两个实数根1x ，)(212x x x <.（1）求实数c 的取值范围；（2）求12x x -的取值范围；（3）如果存在一个实数m ，使得()0f m <，证明：21x m >+.CEAFBD M N练习：1.已知两条直线12 0y x ax y =-= ：，：，其中a R ∈，当这两条直线的夹角在(0 )2π，内变动时，a 的取值范围是 .2.等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别用n S 和n T 表示，若534+=n nT S n n ，则lim n n na b →∞= . 3.已知实数 x y 、满足512600x y +-=的最小值是 .4.求函数cos y x x =的对称轴、对称中心、单调区间.5. 已知函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且及数列}{n a .使得2，)(1a f ，)(2a f ，…，)(n a f ，24( 1 23 )n n += ，，，构成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n a 的前n 项和为n S ，当01a <<时，求n n S ∞→lim ；（3）若)(n n n a f a b ⋅=，当1a >时，试比较n b 与1+n b 的大小.6.已知实数y x ,满足545422=+-y xy x ，设22y x S +=，求minmax 11S S +的值.7.已知函数23123()n n f x a x a x a x a x =++++ ，*n N ∈，且123 n a a a a ，，，，构成一个数列{}n a ，满足2(1)f n = （1）求数列{}n a 的通项公式，并求1lim +∞→n n n a a ；（2）证明10()13f <<8.设 A B ，是双曲线2212y x -=上的两点，点(1 2)N ，）是线段AB 的中点 （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？9.过点(4 3)P ，的直线 与 x y ，轴的正半轴分别相交于 A B ，，O 为坐标原点，当||||OA OB +最小时，求这个最小值和直线 的方程.10.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由“明文→密文(加密)”，接收方由“密文→明文(解密)”，已知加密规则是：明文 ab c d ，，，对应密文2 2 23 4a b b c c d d +++，，，，例如，明文12 3 4，，，对应的密文是5 7 18 16，，，.当接收方收到密文14 9 23 28，，，时，求解密后得到的明文.。
第32练 转化与化归思想课件
(2)讨论f(x)在区间 －π4，π4 上的单调性.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解 ∵x∈－π4，π4， ∴2x－π3∈－56π，π6. 由 y＝sin x 的图象可知，当 2x－π3∈－56π，－π2， 即 x∈－π4，－1π2时，f(x)单调递减； 当 2x－π3∈－π2，π6， 即 x∈－1π2，π4时，f(x)单调递增.
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所以3a2＋1>0，解得 a>－1. 所以b<0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.(202X·江苏)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务， 7
则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_1_0__. 解析 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务， 基本事件总数 n＝C25＝10， 故全是男同学包含的基本事件个数 m＝C23＝3， 故选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率 P＝1－130＝170.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球
面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
A.36π
B.64π
√C.144π
D.256π
解析 如图，要使三棱锥O－ABC即C－OAB的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB的距离， 即三棱锥C－OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R， 则 VO－ABC 最大＝VC－OAB 最大＝31×S△OAB×R＝13×12×R2×R＝16R3＝36，
化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。
它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。
本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。
一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。
它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。
例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。
首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。
这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。
接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。
最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。
求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。
通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。
二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。
它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。
例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。
首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。
接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。
然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。
通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。
数学思想之转化与化归总结
数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。
通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。
转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。
下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。
首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。
它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。
等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。
一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。
在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。
其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。
代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。
代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。
代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。
几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。
几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。
几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。
最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。
枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。
枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。
然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。
综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。
第二讲转化与化归思想
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问 题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂 的 函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通 过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目 的． (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问 题，结论适合原问题．
方法二：(看成不等式的解集)∵a，b为正数，
∴a＋b≥2 ab，又ab＝a＋b＋3，
∴ab≥2 ab＋3.
即( ab)2－2 ab－3≥0，
解得 ab≥3或 ab≤－1(舍去)，∴ab≥9. ∴ab的取值范围是[9，＋∞)． 方法三：若设ab＝t，则a＋b＝t－3， ∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．
则当且仅当gg－1＝1＝ x2＋x2－x≥x＋0，2≥0， 解之，得x≥0或x≤－1. 即实数x的取值范围是x≤－1或x≥0. 拓展提升——开阔思路 提炼方法 通过以上两种方法的比较可以看出，若按常规方法求解，问题 较麻烦；若将变量与参数变更关系，a为主元，转换思考的角度，使解 答变得容易．这种处理问题的思想即为转化与化归的思想．
转化与化归思想使用的根本目的，是为了能更加有效地解答我们所遇到 的问题．转化与化归，不是盲目地转化给出的条件，无论是哪种转化， 都是为了使问题更好地获解，以下几条原则我们在解题中常要遵循，可 对使用这一思想方法起到提示的作用． (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知 的知识、经验来解决问题．
转化与化归思想
例1 已知 x + x + 1 = 0, 求 x + 2 x + 2010 的的。
2 3 2
例2 解方解 2( x − 1) − 5( x − 1) + 2 = 0.
2
1 1 4 例3 已知 x + = 2, 则 x + 4 的的为 __________ . x x
已知正方形的边长为a， 例4 已知正方形的边长为 ，以各边为直径 在正方形内画半圆，求所围成的图形（ 在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影 部分）的面积。 部分）的面积。
如图,在梯形 在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD, 例6 如图 在梯形 中 对角线AC,BD交于点 且AC⊥BD.已知 交于点O,且 ⊥ 对角线 交于点 已知 AD=3,BC=5,求AC的长 的长. 求 的长
如图， 分别是正三角形ABC、正 例7 如图，点E、D分别是正三角形 、 分别是正三角形 、 四边形ABCM、正五边形 中以C点为 四边形 、正五边形ABCMN中以 点为 中以 顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的 延长线交AE于点 点，且BE=CD，DB延长线交 于点 ． ， 延长线交 于点F． 1））若将条件“正三角形、正四边形、正 求图1中∠AFB度数，并证明 ， 、 中 度数， （（3）若将条件“正三角形、正四边形图3中 ）求图2中∠AFB的度数为 中 度数 并证明CD2=BD•EF 2）图 中 的度数为______， 的度数为 五边形”改为“ 边形” 其它条件不变， 度数为_______，在图 、图3中， 五边形”改为 边形 在图2、 ∠AFB度数为“正n边形”，其它条件不变， 度数为 ， 中 ；（填 可用含n的代数式 成立” 则∠AFB度数为 （1）中的等式 _______. 填“成立”或“不成 ）中的等式_____ ；（ （可用含 的代数式 度数为 表示，不必证明） 表示，不必证明） 不必证明） 立”，不必证明）
高中数学中转化与化归思想方法
高中数学中转化与化归思想方法转化与化归思想是高中数学中非常重要的解题方法之一、它通过转化和化归问题的方式，将原问题转化为已知问题或相对简单的问题，从而更方便地解决问题。
接下来，我们将详细介绍转化与化归思想的基本原理、步骤和一些常见应用。
转化与化归思想的基本原理可以总结为两点：一是利用数学中的等价关系，将问题中的未知量或条件转化为已知量或更简单的条件；二是通过变量代换、形式转化等方式，改变问题的表达方式或结构，使其更适合我们已知的解题方法。
在具体解题过程中，我们可以按照以下步骤进行：1.通读题目，理解问题的要求和条件。
这一步非常重要，要确保我们对问题的内容和目标有清晰的理解。
2.找到问题中的关键信息和未知量。
这些信息和未知量通常会包含在问题的描述、条件或要求中，我们需要将其抽象出来并进行变量表示。
3.分析问题的性质和特点。
我们需要考虑问题的数学特征、结构和求解方法，以便选择合适的转化和化归方法。
4.进行变量代换或形式转化。
基于问题的性质和特点，我们可以选择合适的变量代换或形式转化方式，将问题转化为已知问题或者更简单的问题。
常用的方法包括平移到原点、找到对称性、消元法等。
5.解决转化后的问题。
一旦将问题转化为已知问题或相对简单的问题，我们可以利用已有的数学知识和解题方法来解决问题。
6.反向思考，回归原问题。
解决了转化后的问题后，我们需要反向思考，将解答归还给原问题，确保解答符合原有的要求和条件。
转化与化归思想在高中数学中的应用非常广泛。
1.几何问题。
几何问题中涉及的角、线段、面积等都可以进行变量代换和形式转化，从而简化计算和求解。
2.代数问题。
代数问题中的方程、不等式、函数等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和解决问题。
3.概率问题。
概率问题中涉及到的事件、概率等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和求解。
4.数列问题。
数列问题中的数列、通项公式等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和求解。
总之，转化与化归思想在高中数学中是一种非常重要的解题方法。