用折纸三等分角的原理
折纸几何公理
折纸几何公理本操作，也叫做折纸几何公理。
假定所有折纸操作均在理想的平面上实行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作：1. 已知 A 、 B 两点，能够折出一条经过 A 、 B 的折痕2. 已知 A 、 B 两点，能够把点 A 折到点 B 上去3. 已知 a 、 b 两条直线，能够把直线 a 折到直线 b 上去4. 已知点 A 和直线 a ，能够沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，能够沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a 上6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，能够把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。
例如，操作1 实际上相当于连接已知两点，操作2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作4 则相当于过已知点作已知线的垂线。
真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。
正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。
更有趣的是，操作5 的解很可能不止一个。
在绝大部分情况下，过一个点有两条能把点A 折到直线a 上的折痕。
操作6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多能够有三个解！一组限定条件能同时产生三个解，这让操作6 变得无比灵活，无比强大。
利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作6 有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。
也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！尺规作图到底局限在哪里相比于折纸的几何操作，尺规作图就显得有些不够“强大”了。
不妨让我们先来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：过已知两点作直线给定圆心和圆周上一点作圆寻找直线与直线的交点寻找圆与直线的交点寻找圆与圆的交点这5项操作看上去变化多端，但前3项操作都是唯一解，后两项操作最多也只能产生两个解。
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例发布时间：2021-02-04T10:55:50.120Z 来源：《中小学教育》2021年2月1期作者：金晓强[导读]金晓强浙江省嘉兴海宁市丁桥镇初级中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2021）02-041-02新课标指出，数学教学必须注意从学生的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会到数学就在身边，对数学产生亲切感。
这就要求教师有一双善于发现的眼睛，挖掘身边的数学资源，为学生提供一个有趣的、与自身息息相关的学习内容，使学生在探究、发现的过程中，提升观察力、创造力。
在数学实验中，学生能够学习自己需要的、喜欢的数学，在学中玩，在玩中学，真正体现“学为中心”的理念。
一、问题缘起几何学习是初中数学学习的一大难点，但也是学生热爱数学的一个关键点。
然而现今的数学教育中，应试教育占据绝对主导，课堂上唯解题论、课外唯分数论的现象比比皆是，忽略了学生数学素养的培养，学生真正的能力得不到培养。
有许多学生平时解题能力很强，但在综合性考试中成绩却不尽如人意，原因无非是成为了“解题机器”，不具备相应的数学能力，面对从未谋面的新题型就无从下手。
基于这样的数学现状，笔者通过深入研究《用正方形纸折30°角》这节拓展课，试图从身边的几何入手，教学生一种数学思维、一种解决问题的方法。
二、教学实践这节课是在八年级学习完教材“全等三角形的判定”、“等腰三角形”等知识后，拓展研究的一个课题。
教材内容如下：1.生活中的折纸引入课题。
2.引例：用正方形纸片折30°角的三种方案，其中第一种方案是直接三折，操作时只能通过尝试折叠；第二种方案是先对折，再把一条边折到折痕上；第三种方案是对折后，把另一条边折到折痕中，实质跟方案二无异。
然后分别证明其正确性，篇幅较大。
3.两个关于折叠问题的证明和计算题，与引例没有直接联系。
苏科版-数学-九年级上册-知识拓展 “三等分角仪”的制作原理是什么？
初中-数学-打印版
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“三等分任意角”属于几何作图三大名题（也是难题）之一．
数学上已经证明，仅用圆规、直尺三等分任意角是不可能的．使用量角器三等分任意角的方法简便易行，但准确性太差．
在工程作图中，为了提高工作效率，适应施工的需要，制图的工具不受圆规、直尺的限制．利用圆的切线的有关性质，可以制作一个三等分任意角的工具——三等分角仪，能把任意一个角分成三等分．
把板材（纸板、木板、金属板、塑料板等）制成图中阴影部分的形状，使AB 与半圆的半径CB 、CD
相等，PB 垂直于AD （即PB 与半圆相切，切点为B ）．这便做成了一个“三等分角仪”．
如果要把∠MPN 三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN 上，适当调整它的位置，使PB 通过角的顶点P ，使A 点落在角的PM 边上，使角的另一边与半圆相切于E 点．最后通过B 、C 两点分别作两条射线PB 、PC ，则∠MPB ＝∠BPC ＝∠CPN ．
证明：连结CE ，则CE ⊥PN ．
∵Rt △PAB ≌Rt △PCB ≌Rt △PCE ，
∴∠APB ＝∠BPC ＝∠CPE ＝13
∠MPN ． 注：在“三等分角仪”的制作和应用过程中，涉及了圆的切线的下列性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心；
（6）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．。
折叠一张三角形纸片,把三角形的三...
折叠一张三角形纸片,把三角形的三...折叠一张三角形纸片,把三角形的三角拼在一起,就得到一个著名的几何定理,请你写出这一定理的内容_________折叠一张三角形纸片,把三角形的三角拼在一起,就得到一个著名的几何定理,请你写出这一定理的内容：三角形的内角和为180度。
折叠一涨三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论。
三角形的三个内角和等于180度采纳哦如图所示：折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，什么定理？三角形内角和定理：三角形三个内角之和为180角和三角形的关系，线和三角形的关系。
几何定理！正弦定理 :baike.baidu./view/147231.?wtp=tt余弦定理 :baike.baidu./view/52606.htm三角形几何定理三角形的中线连接，形成的三角形的周长是原三角形的一半。
三角形的中线连接，形成的三角形的面积是原三角形的 1/4 。
怎么用一张三角形纸片折出这个三角形的重心分别取两边中点，以中点和对面定点折叠，两条折痕的交点就是重心重心是3边中线的交点关于三角形几何定理第三章三角形公式定理第三章三角形1 三角形的有关概念和性质1.1三角形的内角和在同一平面内,由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形.组成多变形的那些线段叫做多边形的边.相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角.三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180在原来图形上添画的线叫做辅助线依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫做斜边.推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和1.2三角形的有关线段三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高2 全等三角形2.1全等三角形的证明边边边有三边对应相等的两个三角形全等边角边有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等角边角有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等定理有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等2.2直角三角形全等的判定定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等3 等腰三角形3.1等腰三角形及其性质三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角定理等腰三角形的底角相等推论等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边定理有两个角相等的三角形是等腰三角形定理一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等等边三角形定理1 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60等边三角形定理2 三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形定理3 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形3.2线段的垂直平分线与角平分线定理线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等定理和一条线段两个端点距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可以看成是所有和线段两段距离相等的点的 *** 定理点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的 ***3.3 轴对称定义如果点A,B在直线l的两侧,且l是线段AB的垂直平分线,则称点A,B关于直线l互相对称,点A,B互称为关于直线l的对称点,直线l 叫做对称轴定义在平面上,如果图形F的所有点关于平面上的直线l成轴对称,直线l叫做对称轴定义在平面上,如果存在一条直线l,图形F的所有点关于直线l的对称点组成的图形,仍是图形F自身,则称图形F为轴对称图形,直线l是它的一条对称轴定理（1）对称轴上的任意一点与一对对称点的距离相等（2）对称点所连线段被对称轴垂直平分推论两个图形如果关于某直线称轴对称,那么这两个图形是全等形3.4三角形中的不等关系定理三角形的外角大于和它不相邻的任一内角定理三角形任何两边的和大于第三边推论三角形任何两边的差小于第三边定理在一个三角形中,如果两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大定理在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大在一个三角形中,一条边大于另一条边的充要条件是,这条边所对的角大于另一条边所对的角希望对您有所帮助！把等边三角形的三个角拼在一起得到一个什么角画一画等边三角形的每一个角都是60度，三个角加起来就是一个平角把等边三角形的三个角拼在一起得到一个（）角，把平行四边形的四个角拼在一起得到一个（）角。
三等分角教案
数学活动—三等分角教案教学任务分析教学流程安排教学过程设计一、课题引入：尺规作图三等分角是古希腊数学的三大难题之一，而如今数学上已证实了这个问题无解（借助坐标系可证明60°角不可以用尺规作图三等分）.若将条件放宽，可以将一给定角三等分. 例如通过折纸的方法，或使用其它工具，或者可以配合其他曲线使用.尺规作图三等分任意角是古希腊几何作图三大难题之一，通过史料介绍，可以激发学生的好奇心和探究欲.二、 课题探究问题1：如何三等分直角？1. 量角器2. 含30°角的三角尺3. 折纸操作步骤：（1） 长方形纸片命名为ABCD ；（2） 将纸片对折，使得AD 与BC 重合，折痕为EF ；（3） 翻折左上角，使折痕通过点B ，且点A 落在EF 上，折痕记为BN ；（4） △ABM 为以长方形的宽为一边的等边三角形，射线BM ，BN即为∠ABC 的三等分线.小结：你能概括一下数学活动的过程吗？希望学生通过问题1的解决，了解用折纸的方法解决问题的原理，以及思路：折纸的原理就是全等变换，另外，折之前先通过草图分析点或线的性质，进而折出相应的点或线.同时，经历观察思考、动手操作、实践检验和推理证明的数学活动过程，积累数学活动经验.动手操作是难点，给学生留出足够的动手时间.证明过程中用到本章所学全等的相关知识，增强应用意识.导入：其它行业用到的工具. 问题2：勾尺三等分任意锐角 阅读材料：勾尺的直角顶点为P ，“宽臂”的宽度．．=PQ=QR=RS ，勾尺的一边为MN ，且满足M ，N ，Q 三点共线（所以PQ ⊥MN ）． （1）请根据下面的操作步骤，利用手中的勾尺三等分任意锐角ABC ∠.第一步：画直线DE 使DE ∥BC ，且这两条平行线的距离等于PQ ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P 落在DE 上，使勾尺的MN 边经过点B ，同时让点R 落在ABC ∠的BA 边上；第三步：标记此时点Q 和点P 所在位置，作射线BQ 和射线BP ．BAC（2）证明ABC ∠的三等分线是射线BQ 和射线BP ．问题2的导入，让学生了解不同行业运用工具解决问题，让学生有意识设计工具解决问题，增强应用意识. 通过阅读材料，完成操作过程，培养学生的阅读理解能力.动手操作依然是难点，通过操作勾尺，提高动手操作能力.组内互助，完成操作过程. 在帮助同伴的同时，体验成功的乐趣，收获更加深刻的理解. 最后，运用本章所学的全等及相关知识给出证明，一方面，发展学生严谨的逻辑思维；另一方面，增强学生的应用意识.。
角三等分器的原理
角三等分器的原理
角三等分器是一种用来将一个角分成三个相等部分的工具。
其原理是将给定的角度分成三份，使每一份的角度大小相等。
具体来说，角三等分器通常由一个圆形的底座和一个可以转动的固定在底座上的指针组成。
底座上刻有一个完整的圆周，以及一个与之相切的半圆。
指针上则有一个可移动的圆弧形标记。
使用角三等分器时，首先将底座上的一个标记与角的顶点对齐。
接下来，将指针转动，使其与底座上的刻度线对齐。
然后，将指针移动到底座上相切的半圆上的某个位置，并将该位置与指针上的圆弧形标记对齐。
最后，将指针转动，使其与底座上的下一个刻度线对齐。
此时，角三等分器的指针所指的位置就是将原始角分成三等分的点。
角三等分器的原理基于圆周被分成360度，因此每一个角度单位相当于底座上的刻度线之间的角度大小。
通过调整指针的位置，使得指针所指的位置与刻度线对齐，就可以将给定的角相应地分成三等分。
用纸片三等分直角
用纸片三等分直角
亲爱的同学们，你想过通过折纸的方法将一个直角三等分吗？
一天，下着濛濛细雨，爱因斯坦的一个朋友从纽约去看他．老远就看见一个人在桥头来回踱步，毫不理会下着的雨．朋友心想：不会是爱因斯坦吧？走近一看，果然是他，而且手里拿着一张纸折来折去．朋友高兴地大声对爱因斯坦说道：“嗨，朋友，果然是你呀！”爱因斯坦只是“嗯”了一声，还继续摆弄着手里的纸片．
朋友见了，十分奇怪，便问：“你在这儿干什么呢？”
爱因斯坦抬头看了朋友，笑了笑说：“我在等一个学生．已经等了他很长时间了，他还没来．一定是考试把他耽误了．”
“这太浪费您的时间了！”朋友说．
爱因斯坦连连说：“不，我利用这段时间解决了只用折叠法，将一个直角等分成三份的问题！”
“是吗？你是怎么完成的啊？我还从没听说过呢．”朋友惊喜地问道．
爱因斯坦答道：“您看，这样：先把这张纸对折，然后将一个顶角对折到中线上，使它的顶点恰好在中线上，就可以了．就是这么简单．”
问题：按照爱因斯坦那样折纸，为什么能将一个直角三等分？
答案：如图，矩形ABCD表示小纸片，设第一次折痕为EF，第二次折痕为MB，连结MN、BN、CN．
由对称知识易知，△CNF≌△BNF，∴CN=BN．
△BCM≌△BNM，∴BC=BN，∠2=∠3，∴BC=BN=CN．
∴△BCN是等边三角形，∠CBN=60°，即∠2+∠3=60°．
∴∠2=∠3=30°．
而∠1=∠ABC-∠CBN=90°-60°=30°，∴∠1=∠2=∠3．
你看明白了吗？。
小纸船的梦将一张长方形的纸对折
小纸船的梦-将一张长方形的纸对折正方形折纸一边三等分方法的探究上海中学数学・２０１４年第１２期正方形折纸一边三等分方法的探究２００２３４上海师范大学数理学院陆新生折纸是一种许多人熟悉的活动，在幼儿园，教师就会经常教孩子们折各种东西．但笔者讨论的不是如何折某个物体，而是折纸一边的三等分折法．将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，也容易得出理论上的精确折法，但将一边三等分就不那么容易了，通常人们会先将纸卷起，形成三层，再慢慢调整，当认为调整到位时，将纸折平，这样就能将纸的一边三等分，但这种方法是近似的、不精确的．近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最有名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被学界称之为芳贺折纸三定理．笔者讨论各种三等分折法，分析其教育价值．１芳贺折纸三定理１．１第一定理芳贺折纸第一定理的主要内容：如图１，Ｅ为正方形折纸ＡＢＣＤ一边ＡＢ的中点，将纸的右下角向上翻折，使点Ｃ与点Ｅ重合并将纸折平，底边ＣＤ翻折至Ｅｊ的位置与折纸左边相交于点Ｈ，则Ｈ为ＡＤ的三等分点，即ＡＨ：ＨＤ一！：１不妨设ＢＡ—ＢＣ一１，Ｌ—姜一ＢＦ—ａ，则ＢＥ一１／２，Ｅ‘Ｆ＼一ＦＣ＝１一ａ．由勾股定理１ｇ＼、、２／？Ｆ得ｎ２＋ｆ寺１一２．＼厶，Ｊ，／７１ｔ，７，７解之得口一３／８，ＥＦ—ＣＦ，“—５／８．’ｆｊ川一利用△ＡＨＥ、△ＢＥＦ与△ＪＨＧ的相似关系可以一…一一…一“－４｝｜ｌ，、求得ＡＨ＝２／３．当然也可以方便地求得ＥＨ一５／６，Ｈｊ一１／６，ＧＪ一１／８．ＨＧ一５／２４．１．２第二定理芳贺折纸第二定理的主要内容：如图２，Ｅ为正方形折纸ＡＢＣＤ一边ＡＤ的中点，沿连接Ｂ、Ｅ两点的直线将折纸翻折，点Ａ翻折至Ｆ点，若ＥＦ的延长线交ＣＤ边于Ｇ点，则ＤＧ：ＧＣ一２：１，即Ｇ为ＣＤ的一个三等分点．用千篇一律的方式加以巩固，不仅学生容易生厌，同时也会由于问题处在同一层次，无法激发学生进一步探究的热情．不同的知识之间有时具有某种共性，通过合情推理中的类比手段，可以打开学生设计问题的思路．从活动ｌ的问题开放，到活动２的条件、结论全开放，一步一步解放学生的思维，帮助学生体会设计问题的乐趣，提高学生的学习兴趣．平行四边形的边和角是两种不同的元素，类比“边”，设计有关“角”的问题，激发了学生的思维广度．２．３猜想可能结论，设计问题合情推理的核心是猜想，但是猜想不是空想，它必须建立在确定的事实基础之上，结合与之相关的定理知识，作出合乎情理的判断．因此，它是有本之木，不是无源之水．活动３第问在简单图形中增加一条线段，图形的变化，导致新结论的出现，从而顺理成章地引发学生的猜想，同时实现了从计算题到证明题的自然过渡．第问再从证明题到计算题，使得学生对几何中的两种常见题型有了全面的了解，拓宽了知识的应用模式．２．４动手实验操作。
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用折纸三等分角的原理
折纸三等分角的原理可以通过以下步骤来实现：
1. 用一张正方形的纸，将其对角线对折，然后展开。
2. 将纸的左上角和右下角对齐，再将纸的右上角和左下角对齐，这样就把纸对折成了四个小三角形。
3. 将右边的小三角形对折，使其与中间的小三角形重合，然后将两个小三角形对折，使它们与左边的小三角形重合。
4. 将纸的右上角向下折成一个垂直于底边的直角三角形，使其右边与底边平行。
5. 将左侧的小三角形向上折，与上面的直角三角形的斜边重合。
6. 将纸朝上翻转，将上面的小三角形向下折，使其与下面的直角三角形重合。
7. 将剩下的小三角形向下折，使其从纸的底部垂直向上。
8. 最后，将右侧的直角三角形向上折，使其与纸的底边重合。
这样，纸就被折成了三个等分角。