传递过程原理--课后习题解答

【1－1】试说明传递现象所遵循的基本原理和基本研究方法。

答：传递现象所遵循的基本原理为一个过程传递的通量与描述该过程的强度性质物理量的梯度成正比，传递的方向为该物理量下降的方向。

传递现象的基本研究方法主要有三种，即理论分析方法、实验研究方法和数值计算方法。

【1－2】列表说明分子传递现象的数学模型及其通量表达式。

【1－3】阐述普朗特准数、施米特准数和刘易斯准数的物理意义。

答：普朗特准数的物理意义为动量传递的难易程度与热量传递的难易程度之比；施米特准数的物理意义为动量传递的难易程度与质量传递的难易程度之比；刘易斯准数的物理意义为热量传递的难易程度与质量传递的难易程度之比。

【2－1】试写出质量浓度ρ对时间的全导数和随体导数，并由此说明全导数和随体导数的物理意义。

解：质量浓度的全导数的表达式为：d dx dy dzdt t x dt y dt z dt ρρρρρ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂，式中t 表示时间 质量浓度的随体导数的表达式为x y z D u u u Dt t x y zρρρρρ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 全导数的物理意义为，当时间和空间位置都发生变化时，某个物理量的变化速率。

随体导数的物理意义为，当观测点随着流体一起运动时，某个物理量随时间和观测点位置变化而改变的速率。

【2－2】对于下述各种运动情况，试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述，并结合下述具体条件将一般化连续性方程加以简化，指出简化过程的依据。

⑴ 在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动； ⑵ 在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动； ⑶ 在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动；⑷ 不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动； ⑸ 不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。

解：⑴ 对于矩形管道，选用直角坐标系比较方便，直角坐标系下连续性方程的一般形式为()()()y x z u u u t x y z ρρρρ∂⎡⎤∂∂∂=-++⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦由于流动是稳态的，所以0t ρ∂=∂，对于一维流动，假设只沿x 方向进行，则0y z u u == 于是，上述方程可简化为()0x u xρ∂=∂ ⑵ 对于平板壁面，选用直角坐标系比较方便，直角坐标系下连续性方程的一般形式为()()()y x z u u u t x y z ρρρρ∂⎡⎤∂∂∂=-++⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦由于流动是稳态的，所以0tρ∂=∂，对于不可压缩流体ρ=常数，所以上式可简化为 0y x zu u u x y z∂∂∂++∂∂∂＝ 由于平板壁面上的流动为二维流动，假设流动在xoy 面上进行，即0z u =，上式还可以进一步简化为0yx u u x y∂∂+∂∂＝ ⑶ 对于平板壁面，选用直角坐标系比较方便，直角坐标系下连续性方程的一般形式为()()()y x z u u u t xy z ρρρρ∂⎡⎤∂∂∂=-++⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦ 由于流动是稳态的，所以0tρ∂=∂，由于平板壁面上的流动为二维流动，假设流动在xoy 面上进行，即0z u =，则上式可以简化为()()0y x u u x yρρ∂∂+∂∂＝ ⑷ 由于流动是在圆管中进行的，故选用柱坐标系比较方便，柱标系下连续性方程的一般形式为()()()110z r u u ru t r r r zθρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 由于流动是稳态的，所以0tρ∂=∂，对于不可压缩流体ρ=常数，所以上式可简化为()()()110r z u ru u r r r zθθ∂∂∂++=∂∂∂由于仅有轴向流动，所以0, 0r z u u u θ==≠，上式可简化为0zu z∂=∂ ⑸ 由于流体是做球心对称的流动，故选用球坐标系比较方便，柱球系下连续性方程的一般形式为22111()(sin )()0sin sin r r u u u t r r r r θϕρρρθρθθθϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 由于流动是稳态的，所以0tρ∂=∂，对于不可压缩流体ρ=常数，所以上式可简化为22111()(sin )()0sin sin r r u u u rr r r θϕθθθθϕ∂∂∂++=∂∂∂ 由于流动是球心对称的，所以0, 0r u u u ϕθ==≠，上式可简化为221()0r r u rr ∂=∂ 整理得：20r ru u r r∂+=∂ 【2－3】加速度向量可表示为DuD θ，试写出直角坐标系中加速度分量的表达式，并指出何者为局部加速度的项，何者为对流加速度的项。

解：直角坐标系下，速度u 有三个分量，,,x y z u u u ，因此加速度也有三个分量，其表达式分别为x x x x x x y z Du u u u uu u u Dt t x y z∂∂∂∂=+++∂∂∂∂y y y y y xyzDu u u u u u u u Dttxyz∂∂∂∂=+++∂∂∂∂z z z z z x y z Du u u u uu u u Dt t x y z∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 表达式中对时间的偏导数为局部加速度项，即分别为x u t ∂∂、y u t ∂∂和zu t∂∂；对流加速度项为后面的含速度分量的三项之和，即分别为x x x xy z u u uu u u x y z∂∂∂++∂∂∂、y y y xy z u u u u u u x y z ∂∂∂++∂∂∂和z z z xy z u u uu u u x y z∂∂∂++∂∂∂。

【2－4】某一流场的速度向量可以下式表述(,)54x y x y =-u i j试写出该流场随体加速度向量DuD θ的表达式。

解：由速度向量的表达式得：5, 4, 0x y z u x u y u ==-=5, 0, 0x x x u u ux y z ∂∂∂===∂∂∂ 0,4,0y y y u u u xyz ∂∂∂==-=∂∂∂0, 0, 0z z z u u ux y z∂∂∂===∂∂∂ 所以25x x x x x x x y z Du u u u u uu u u x Dt t x y z t ∂∂∂∂∂=+++=+∂∂∂∂∂ 16y y y y y y xyzDu u u u u u u u u y Dtt x y z t ∂∂∂∂∂=+++=+∂∂∂∂∂0z z z z z x y z Du u u u uu u u Dt t x y z∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂ 【2－5】试参照以应力分量形式表示的x 方向的运动方程(2-55a)yx x xx zx Du X Dtxyzτττρρ∂∂∂=+++∂∂∂的推导过程，导出y 方向和z 方向的运动方程(2-55b)和(2-55c)，即y xy yy zy Du Y Dtxyzτττρρ∂∂∂=+++∂∂∂yz xz zzz Du Z Dt x y zτττρρ∂∂∂=+++∂∂∂ 解：以y 方向上的运动方程为例进行推导，推导过程中采用拉各朗日观点，在流场中选取一长、宽、高分别为d x ，d y ，d z 的流体微元，固定该流体微元的质量，让此流体微元作随波逐流的运动，该流体微元的体积和位置随时间而变，若该流体微元的密度为ρ，则其质量为d d d d m x y z =，根据牛顿第二定律，该流体微元所受的合外力等于流体微元的质量与运动加速度之积，即d d d d d DuF m a x y z Dt ρ=⋅=⋅⋅在y 方向上流体微元所收到的合外力为d d d d d y y Du F m a x y z Dtρ=⋅=⋅⋅接下来分析一下y 方向上微元体的受力情况，微元体上受到的力有体积力和表面力两种，分别用F b和F s 来表示。

体积力又称质量力，它是在物体内部任意一点都起作用的力，如重力、静电力、电磁力等，其在本质上是一种非接触力。

这里用Y 来表示单位质量的流体在y 方向上受到的质量力。

因此，流体微元受到的y 方向上的质量力为,d d d d b y F Y x y z ρ=⋅下面再来看一下微元体受到的表面力。

表面力是流体微元与周围流体或壁面之间产生的相互作用力，本质上是一种接触力。

单位面积上受到的表面力称为表面应力，在y 方向上流体微元受到的,,, x y y yττ独立的表面应力有三个，它们分别为，和,z y τ，其中第一个下标表示与应力作用面相垂直的坐标轴，第二个下标为应力的作用方向。

当两个下标相同时表面应力为压应力，当两个下标不同时表面应力为剪应力。

下面分别对微元体六个面上受到的y 方向上的表面力进行分析。

如右图所示，在下表面上微元体受到的表面应力为剪应力,x y τ，力的作用面积为d y d z ，方向为y 轴的负方向。

因此在下表面上微元体受到的y方向上的表面力为：,d d x y y z τ-；在上表面上微元体受到的表面应力为d ,x x y τ+，其大小与,x y τ有关，可由,x y τ在x ＋d x 处对x 一阶泰勒展开得到，即,,,d x y x dx y x y x xτττ+∂=+∂，力的作用面积仍为d y d z ，方向为y 轴的正方向，因此在上表面上微元体受到的y 方向上的表面力为：,,d d d x y x y x y z x ττ∂⎡⎤+⎢⎥∂⎣⎦。

于是，这两个面上的力使微元体受到的合外力为,d d d x y x y z xτ∂∂。

再来看左右两个表面上流体微元的受力状况。

在左侧表面上流体微元受到的压应力,y y τ，力的作用面积为d x d z ，方向为y 轴的负方向。

因此在左侧表面上微元体受到的y 方向上的表面力为：,d d y y x z τ-；在右侧表面上微元体受到的表面应力为d ,y y y τ+，其大小与,y y τ有关，可由,y y τ在y ＋d y处对y 一阶泰勒展开得到，即,d ,,d y y y y y y y y yτττ+∂=+∂，力的作用面积仍为d x d z ，方向为y 轴的正方向，因此在右侧表面上微元体受到的y 方向上的表面力为：,,d d d y y y y y x z y ττ∂⎡⎤+⎢⎥∂⎣⎦。

于是，这两个面上的力使微元体受到的合外力为,d d d y y x y z yτ∂∂。

最后再来看一下前后两个表面上流体微元的受力状况。

在后表面上流体微元受到的应力,z y τ，力的作用面积为d x d y ，方向为y 轴的负方向。

因此在后表面上微元体受到的y 方向上的表面力为：y(/)yy yy y dyττ+∂∂dxdydz/)xy xy x dxττ∂∂（上）（右）(/z)zy zy dzττ+∂∂（前）,d d z y x y τ-；在前表面上微元体受到的表面应力为d ,z z y τ+，其大小与,z y τ有关，可由,z y τ在z ＋d z 处对z 一阶泰勒展开得到，即,d ,,d z y z z y z y z zτττ+∂=+∂，力的作用面积仍为d x d y ，方向为y 轴的正方向，因此在右侧表面上微元体受到的y 方向上的表面力为：,,dz d dy z y z y x z ττ∂⎡⎤+⎢⎥∂⎣⎦。