勾股定理之等腰三角形的存在问题
-等腰三角形与勾股定理
2010年中考数学复习试题汇编之17.2-等腰三角形与勾股定理11．（2009年衡阳市）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ． （1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论． 【关键词】等腰三角形、矩形【答案】解：（1）证明：AE DA DAE BAF BAC ⊥⇒︒=∠⇒︒=︒⨯=∠+∠∠+∠⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫︒=∠+∠∠∠⇒∠∠∠⇒∠909018021)(21BAE BAD 180BAF BAC BAF 21BAE BAF AE BAC 21BAD BAC AD ＝＝平分＝平分（2）AB ＝DE ，理由是：DE AB D AE DAE AEB AE BE ADB BC AD BAC AD AC AB =⇒⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫︒=∠︒=∠⇒⊥︒=∠⇒⊥⇒⎭⎬⎫∠=是矩形四边形平分B 90 90 9012．（山东省临沂市）如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC ＝1km ，B 村到公路l 的距离BD ＝2km ，B 村在A 村的南偏东45方向上． （1）求出A ，B 两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．A B CD E解：（1）方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=°． ACO ∴△和BDO △都是等腰直角三角形．AO ∴=，BO = ∴A B ，两村的距离为AB AO BO =+==km ）． 方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ． 易证四边形CDBE 是矩形， ∴2CE BD ==．在Rt AEB △中，由45A ∠=°，可得3BE EA ==．∴AB ==km ） ∴A B ，两村的距离为．（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于12AB 的长为 半径作弧，两弧交于两点M N ，， 作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求． （7分 13．（四川省泸州市）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，北东BACDlBA CDlN MOPAO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：7.13≈)(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?解：在Rt ΔAOB 中，OA ＝100,∠BAO ＝60° 所以OB ＝OA ·tan ∠BAO ＝Rt ΔAOC 中,∠CAO ＝45° 所以OC ＝OA ＝100,所以（100，0） （2）BC ＝BO+CO ＝18≈18>503, 所以这辆车超速了。
等腰三角形直角三角形勾股定理
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
开启 智慧 定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
驶向胜利 的彼岸
三、基本练习 ㈠填空题
1. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长 分为15，8两部分，则它的底边长为__3______.
2、“同角的余角相等”的逆命题是 如__果_两__个__角__相_等__，__那__么_这__两. 个角是同一个角的余角
3、等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的
PD⊥OA，若PC=4，则PD=___2____.
B
A
MC
8、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠Ａ＝１5°,
AB的垂直平分线交AC于M，则MC：MA=___3_:_2__.
边在上△A的B中C线中，，底AB边=上A的C,高点互D相在重BC合上A
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ 1 = ∠2 ，B__D__= DC 。
2、∵AD是中线，
B1
∴ AD⊥BC ，∠ 1=∠ 2 。
3、∵AD是角平分线，
11 22 C
D
∴AD ⊥BC ，BD=DC 。
1、求有关等腰三角形
等 等边对等角 的问题，作顶角平分
性质２：等腰三角形的顶角的平分 线，底边上的中线，底边上的高互 相重合。（简称“三线合一” A）
Ａ
平面直角坐标系中的等腰三角形问题
平面直角坐标系中的等腰三角形问题一、解答题（本大题共5小题，共40.0分）1.如图,在平面直角坐标系中,AB∥OC,A(0,12),B(a,c),C(b,0),并且a,b满足b=√a−21+√21−a+16.动点P从点A出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发,在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,点P,Q分别从点A,O同时出发,当点P运动到点B时,点Q随之停止运动.设运动时间为t(秒)．(1)求B,C两点的坐标；（2）当t为何值时,△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P,Q两点的坐标．2.如图(1),像∠G=∠HMN=∠Q=∠α这样,由△GHM和△MNQ组合成的封闭图形,我们称之为K型GHMNQ.在平面直角坐标系中,A(0,6),B(6,0),点C,D,E分别在线段AB,AO,BO上运动,且ADCEB为K型.(1)如图(2),若点D运动到点O时,过点O作OF⊥CO,交CE的延长线为F,连接BF,①求证：△ACO≌△BFO；②若AC=2√2,求OC的长；(2)如图(3),若C是AB中点,当△DCE为等腰三角形时,请直接写出AD的长．3.如图,平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),以OA为一边,在第四象限作等边△OAB,点C是y轴上一动点,连接AC,以AC为一边,在直线AC的下方作等边△ACD．(1)随着点C的运动,∠ABD的大小是否会发生变化？请说明理由．(2)是否存在点C,使得△ABD是等腰三角形？如果有可能,若存在,求此时C点坐标；若不存在,请说明理由．4.长方形OABC在平面直角坐标系内位置如图所示,点A,C分别在y轴,x轴上,点D(4,3)在AB上,点E在OC上,沿DE折叠,使点B与点O重合,点C与点C1重合．(1)求点C1坐标；(2)若点P在坐标轴上,且ΔAPC1面积是9,请直接写出点P坐标．5.如图,在平面直角坐标系中,已知A(7,0),B(0,−7),点C为x轴负半轴上一点,AD⊥AB,∠1=∠2．(1)求∠BCD+∠BAD的度数；(2)如图①,若点C的坐标为(−3,0),求点D的坐标；(3)如图②,在(2)的条件下,过点D作DE⊥y轴于点E,DF⊥x轴于点F,点M为线段DF上一点,若第一象限内存在点N(n,2n−3),使△EMN为等腰直角三角形,请求出所有符合条件的N点坐标．6.直角坐标系中,A(6,0),B(0,8),连结AB,点C为AB的中点,点P为y轴正半轴上的一个动点,连结PC,如图,如图,作CQ⊥CP,且CQ=CP．(1)OC=________；点C的坐标为________；(2)当点Q恰好落在线段OC上时,求OP的长；(3)当△OAQ为等腰三角形时,求所有满足条件的点Q的坐标．7.如图①,我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度,显然是转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．下面：以求DE为例来说明如何解决：从坐标系中发现：D(−7,5),E(4,−3).所以DF=|5−(−3)|=8,EF=|4−(−7)|= 11,所以由勾股定理可得：DE=√82+112=√185．下面请你参与：(1)在图①中：AC=______,BC=______,AB=______．(2)在图②中：设A(x1,y1),B(x2,y2),试用x1,x2,y1,y2表示AC=______,BC=______,AB=______．(3)(2)中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”,请用此公式解决如下题目：已知：A(2,1),B(4,3),C为坐标轴上的点,且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形.请求出C点的坐标．8.如图①,平面直角坐标系中,ABCD为长方形,其中点A、C坐标分别为(−4,2)、(1,−4),且AD∥x轴,交y轴于M点,AB交x轴于N．(1)求B、D两点坐标和长方形ABCD的面积；(2)如图②,一动点P从A出发(不与A点重合),以1个单位/秒的速度沿AB向B点运2动,在P点运动过程中,连接MP、OP,请直接写出∠AMP、∠MPO、∠PON之间的数量关系；(3)是否存在某一时刻t,使三角形AMP的面积等于长方形面积的1若存在,求t的值3并求此时点P的坐标；若不存在请说明理由．9.等腰Rt△ACB,,AC=BC,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．(1)如图1,求证：∠BCO=∠CAO；(2)如图2,若OA=5,OC=2,求B点的坐标；(3)如图3,点C(0,3),Q、A两点均在x轴上,且S△CQA=24.分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM,连接MN交y轴于P点,则OP=______．。
专题3 等腰三角形的存在性问题
专题3 等腰三角形的存在性问题（一）考点分析“两圆一线”模型已知线段AB ，在平面内找一点C ，使△ABC 为等腰三角形.（1） AB =AC 时，以A 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （2） BA =BC 时，以B 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （3） CA =CB 时，作AB 的垂直平分线，此直线上所有的点均满足条件.“两圆一中垂”上所有的点C 均满足△ABC 为等腰三角形，即满足“等腰”条件的点C 有无数个.因此，题目会对点C 再加上另外一个限定条件——例如还限定点C 在坐标轴上或抛物线上，这样，点C 的个数就只有几个.（二）典型例题例：已知点A (2,1),B (6,4)，若在x 轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，求满足条件的点C 的坐标. 解法1：“两圆一线”模型 由题可知：AB =5（1）如图，AB =AC 时，由勾股定理可得：DC 1=DC 2=2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2）如图， BA =BC 时，由勾股定理可得：EC 3=EC 4=3，则C 3(3,0)，C 4(9,0)（3）如图，CA =CB 时，设FC 5=x ，则HC 5=4−x ，由AC 5=BC 5得：x 2+1=(4−x)2+42图(3)图(2)图(1)图(3)图(2)图(1)解得：x =318，则C 5(478,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(478,0)如果学生掌握了中点公式和两条垂直直线k 的关系，第（3）种情况CA =CB 也可以通过代数方法解决，具体过程如下：由A (2,1),B (6,4)可知：M (4,52),k AB =34，则k MC 5=−43 ∴直线MC 5的解析式为y =−43x +476，则C 5(478,0)解法2：两点间距离公式——暴力解法设点C (x ,0)，则AB 2=(2−6)2+(1−4)2=25，AC 2=(2−x)2+(1−0)2=x 2−4x +5，BC 2=(6−x)2+(4−0)2=x 2−12x +52（1） AB =AC 时，25=x 2−4x +5解得：x 1=2−2√6,x 2=2+2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2） BA =BC 时，25=x 2−12x +52 解得：x 1=3,x 2=9，则C 3(3,0)，C 4(9,0) （3） CA =CB 时，x 2−4x +5=x 2−12x +52 解得：x =478，则C 5(478,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(478,0)小结：利用两点间距离公式解题的基本思路是：列点、列线、列式.① 列点：列出构建所求等腰三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标； ② 列线：列出构建所求等腰三角形的三条边，并用两点间距离公式表示其长度； ③ 列式：采用分类讨论思想，列出三组方程并求解.（三）巩固强化1. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,−3)，顶点为D ．(1)求此抛物线的解析式；(2)求此抛物线顶点D 的坐标和对称轴；(3)探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．2. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与直线y =x +1相交于A(−1,0)，B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0)． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上的一个动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作直线PD ⊥x 轴，交直线AB 于点E ．是否存在点P 使△BEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
等腰三角形判定教案(2024)
例题二：已知两角和夹边求第三角
题目描述：已知等腰三角形DEF中，DE = DF，∠D = 90°，∠E = 45°，求∠F的度数。
解题步骤
解题思路：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理 ，可以求出第三角的度数。
1. 根据等腰三角形的性质，得出∠E = ∠F。
2. 利用三角形内角和定理，即∠D + ∠E + ∠F = 180° ，求出∠F的度数。
02
解题思路：综合运用等腰三角形的性质和判定方法，先判 断三角形的形状，再求出其面积。
05
2. 利用等边三角形的面积公式S = (√3/4)a²（其中a为边 长），求出△GHI的面积。
03
解题步骤
2024/1/29
06
总结：本题综合考察了对等腰三角形性质和判定方法的应 用能力，需要灵活运用所学知识进行判断和计算。
三角形。
2024/1/29
13
判定定理二：两角相等且夹边相等
01
定理内容
如果一个三角形的两个角相等，并且这两个角所夹的边也相等，那么这
个三角形是等腰三角形。
02
证明方法
可以通过作辅助线，将三角形划分为两个全等的三角形，从而证明两腰
相等。
2024/1/29
03
应用举例
在几何题目中，如果已知一个三角形有两个角相等，并且这两个角所夹
02
3. 如图，在△ABC中，AB = AC ，D是BC的中点，DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F．求证：DE = DF．
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小组讨论与交流
01
02
分组方式
按座位就近分组，每组4-6人 。
讨论内容
围绕自主练习题目展开讨论， 分享解题思路和方法。
专题08 等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)
专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）例1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）ABC 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC 的周长为（）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC 的腰为5时，ABC 的周长55717++=；当ABC 的腰为7时，ABC 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．例2．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为32cm ，一边长为8cm ，则其它两边长是（）∴150∠=︒，即顶角为150︒；故答案为：30︒或150︒．BAC【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．例5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．例6．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ 为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE ′F ′=∠CQP +∠QDE ′，∴∠QDE ′=∠DE ′F ′-∠CQP =60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP 为顶角时，∠CPQ =∠PCQ =45°，∴∠CQP =90°，∴∠QDF ′=90°-∠DF ′E ′=60°，∴∠QDE ′=∠E ′DF ′-∠QDF ′=30°，∴α=∠EDE ′=∠EDQ +∠QDE ′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．例7．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，70AOB ∠=︒，点C 是边OB 上的一个定点，点P 在角的另一边OA 上运动，当COP 是等腰三角形，OCP ∠=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC PC =，②当PO PC =，③当OP OC =，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，(1)若点P在BC上，且满足PA PB=，求此时(3)在运动过程中，当t为何值时，ACP△【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或90ACB∠=︒，5cmAB=在Rt ACP中，由勾股定理得()22234x x∴+-=，解得BP 平分ABC ∠，C ∠在BCP 与BDP △中，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴=．②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==．③如图，当P 在AB 上且(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =-+-，，(2)()33242y m m =+-<<，的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练A．120︒B．75︒【答案】C【答案】D【分析】分为AB AC =、BC BA =，CB CA =三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB AC =时，符合条件的点有2个；当BC BA =时，符合条件的点有1个；当CB CA =，即当点C 在AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C 共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有()A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，∴满足条件的格点C 有4个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键A．3【答案】D故选：满足条件的点M 的个数为2．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，8BC =，6AC =．若点P 为直线BC 上一点，且ABP △为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,1，在x 轴上确定点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，22112OA=+=，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣2，0），P3（2，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵ABD ∠11【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是1293-=，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：1293-=，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为3x +，由题意可得，32129x x ++=+，解得：6x =，3639x +=+=，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为3x -，由题意可得，32129x x -+=+，解得：8x =，3835x -=-=，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1，2），在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点（O 除外）；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm AC =，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C B A ---运动，设运动时间为t 秒()0t >，当点P 在边AB 上，【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵90ACB ∠=当P 在BA 上时，①②当6cm BC CP ==时，过CD PB ⊥于点D ，如图，∴12BD DP BP ==，∵12ABC S AC BC CD ==V g g ，∴ 4.8AC BC CD AB == ，在Rt CBD △中，由勾股定理得：()2226 4.8 3.6cm BD BC CD =--=，∴)22 3.6cm BP BD ==⨯=，∴(()867.221.2s t =++，【答案】5或8【分析】ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt ABC △中，∠②当AB AP =时，28cm 8BP BC t ===，故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．15．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD BD =，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连接DE ，当BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为___________．【答案】4或4【分析】现根据已知条件得出30CBD ABD BAD ∠=∠=∠=︒，再根据BC =6，分别求出AB 、AC 、BD 、AD 、（2）当BE =DE ，如图：∵BE =DE ∠EDB =∠ABD =30°，∴∠AED =∠EDB ∴∠ADE =180°-∠AED -∠A =180°-60°-30°=90°，∴ ADE 为直角三角形，又∵30A ∠=︒且AD =43，∴DE ，∴BE =4；（3）当BD =DE ，时，点E 与A 重合，不符合题意；综上所述，BE 为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A ＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点，分别连接BP 和PQ ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP ，△BPQ ，△PQC ，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP ，BQ=PQ ，CP=CQ 时；②当AB=AP ，BP=BQ ，PQ=QC 时；③当APB ，PB=BQ ，PQ=CQ 时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点1P、2P、3P即为所求．△是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意ACP18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2个B．6个C．10个D．12个【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，()2-+-=．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为24OA OB6805，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A （0，6），B （8，0）；(2)AB =10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非负数的性质知OA =6，OB =8，据此可得点A 和点B 的坐标；（2）根据1122OAB S AB d OA OB == △求解可得；（3）先设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，，再分PA =AB 和AB =PB 两种情况分别求解可得．(1)()2680OA OB -+-= ∴O −6=0O −8=068OA OB ∴==则A 点的坐标为A （0，6），B 点的坐标为（8，0）(2)1122OAB S AB d OA OB == △，245d =6810245OA OB AB d ⨯∴=== (3)存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，①若PA =AB ，则22PA AB =，即226100a +=，解得a =8(舍)或a =−8，此时点P (−8，0)；②若AB =PB ，即22AB PB =，即()21008a =-解得a =18或a =−2，此时点P (18，0)或(−2，0)；综上，存在点P ，使△ABP 使以AB 为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形OABC 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O 与坐标原点重合，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为()3,4，D 的坐标为()2,4，现将纸片沿过D 点的直线折叠，使顶点C 落在线段AB 上的点F 处，折痕与y 轴的交点记为E ．。
《勾股定理》一章的热点问题
《勾股定理》热点问题希望达到的境界：宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天空云卷云舒 线上教学勾股定理后，进行复习，复习方法是，学生自己总结知识点，然后通过做题，发现不会的问题，拍照发给老师，老师通过整理学生的问题，发现有关勾股定理的问题主要以下五种类型.这五种类型也是《勾股定理》一章的热点问题.特总结如下：一．求面积1.等边三角形ABC 的边长为6，（1）计算高AD 的长;（2）计算三角形的面积总结：边长为a 的等边三角形的高是h=23a ，面积S=243a 2. 已知等腰三角形的腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.【方法】：等腰三角形的三线合一3. 已知△ABC 的三边长分别是AB=5,BC=13,AC=12,求△ABC 的面积.【方法指导】已知三角形三边长，求面积时，首先思考运用勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，然后再求面积.4. 已知直角三角形的直角边长为7，周长为56，求另一直角边长和斜边和这个三角形的面积.【分析】本题是运用三角形的周长与三边的关系和直角三角形三边满足勾股定理来解决问题的.5. 测得一块四边形草地的边长如图所示（单位：米），且∠ABC=90°，求这个草地的面积.【分析】求不规则四边形的面积问题：首先通过作辅助线将四边形转化为两个特殊的三角形，然后运用勾股定理逆定理判定两个特殊的三角形是直角三角形，最后运用求直角三角形面积求出不规则四边形的面积.秘诀：掌握住最常用的勾股数有助于解决问题.6. 如图，某会展中心在会展期间准备将高为5m,长为13m,宽为2m 的楼梯上铺上地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼梯至少需要多少元？【分析】这也是求长方形的面积问题.首先要明白这块地毯的长是怎样计算出来的.利用线段的平移法，将横铺的地毯向下平移发现和BC 重合，将竖直铺的地毯向右平移，和AC 重合，所以地毯的长为BC+AC.解决这个问题需要求出BC 的长.7.如图，已知在△ABC 中，点D,E,F 分别是BC,AB,AC 边上的点，且103 DB CD ,CF=CD,BD=BE,AE=AF,AB=12,AC=5, 求△ABC 的面积.【分析】根据比例，设适当的未知数，然后根据条件 求出△ABC 的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC 是直角三角形 ，然后再根据直角三角形面积公式解决问题.8.四个全等的直角三角形按如图方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH,已知AM 为Rt △ABM 较长直角边，AM=22EF ，则正方形ABCD 的面积为 【 】A. 12SB. 10SC. 9SD. 8S 【分析】由题意可知EF=S ,AM=2S 2则，AM 的一半就是S 2，小空白矩形的宽就是S S -2,BM=S 2-（S S -2）=S在Rt △ABM 中，由勾股定理得：S S S BM AM AB 98222=+=+= 所以正方形ABCD 的面积是9S.答案：C9.分别以等腰Rt △ACD 的边AD ，AC ，CD 为直径画半圆，求证：所得两个月形图案AGCE 和DHCF 的面积之和（图中阴影部分）等于Rt △ACD 的面积二．求线段的长1.一木杆在离地面3m 处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m 处，木杆折断之前有多高？【提示】木杆与地面是垂直关系，运用勾股定理.2.如图，要从电线杆离地面5m 处向地面拉一条长1题为7m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）.【分析】隐含条件：电线杆与地面是垂直关系，电线杆，地面，电缆构成直角三角形，运用勾股定理即可解决问题.3.如图，一个圆锥的高AO=2.4,底面半径OB=0.7.AB的长是多少？【分析】圆锥的高垂直于地面，即OA⊥OB，△AOB为直角三角形，有OA,OB 的长，由勾股定理就可以求出AB的长.4.如图，有一个直角三角形纸片ABC，两直角边长AC=3cm,BC=4cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且AC与AE重合，则CD的长等于.【提示】折叠的性质：折叠前后的线段相等，角相等.即：∠C=∠AED=∠BED=90°，CD=DE.再设适当的未知数，然后再根据勾股定理解决问题.5.如图（1）△ABE和△ACD都是等边三角形，则CE=BD.如图（2）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=3,BC=4,D 是△ABC外一点，且，△ACD 是等边三角形，则BD的长度为.【分析】（1）个图是引子，在第一个图的基础上，解决第（2）图的问题，需要作辅助线，构造两个等边三角形，将求BD的长转化为求CE的长.求CE的长时需要运用勾股定理来解决.6.如图，△ABG,△BCF，△CDE和△DAH为四个全等直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10,EF=2,那么AH= .7.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=2cm,求AC【分析】直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.8.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE=4,CF=3,求EF的长.9.如图，某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以AB为直径的半圆，已知AD=2.3m，AB=2m，现有一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6m，问：这辆车能否通过厂门？说明理由.【分析】本题可以转化为求线段NE 的长度，然后和2.5m 进行比较即可.10.如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，P 是BC 上一点，且DB=DC ，过BC 上一点P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F,已知AD:DB=1:3,BC=46， 则PE+PF 的长是 .A.46B. 6C. 42D.26 【分析】先求出AB,AC ，BD 的长，然后连接DP ，再由面积法求出PE+PF 的长.【解】连接PD ，设AD=x,则DB=DC=3X,在Rt △ADC 中，∠A=90°，由勾股定理得：AC=22x在Rt △ABC 中，∠A=90°，BC=46由勾股定理得：96168x 22222=+=+x BC AB AC x=2∴AC=42;AB=8 DB=DC=6∵ PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F,由面积法得：PF DC PE DB AC BD •+•=•，DB=DC∴PE+PF=AC=42答案：C11.某园艺公司对一块直角三角形的绿地进行改造，如图，测得两直角长AC=8m,BC=6cm,现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC 为直角边的直角三角形，求2题扩充后等腰三角形绿地的周长.【分析】假设扩充后的等腰三角形为△ABE,有三种情况：①AB=AE,②BA=BE ,③ EA=EB.如图①12.如图，直角坐标系中，∠ABC=90°，A （3,0）B （0，-1），以AB 为直角边在AB 边的上方作等腰直角△ABE ，则点E 的坐标是 .三．运用勾股定理进行证明三角形是直角三角形.1.已知a,b,c 分别为△ABC 的三边长，且满足c b a c b a 262410338222++=+++试判断△ABC 的形状.【分析】首先运用移项，将等号右边的整式移到等号的左边，等号右边为0；然后再配方，使等号左边化为几个非负数的和，从而求出a,b,c 的值，然后根据勾股定理逆定理，判断出三角形ABC 的形状.2. 如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h,试说明以a+b,h,c+h 为三边组成的三角形是直角三角形.【分析】首先由勾股定理得：222c b a =+，再根据面积法得出ab=ch,然后再分别计算出()()22,h c b a ++；最后运用等量代换变形得出满足勾股定理逆定理的式子，从而说明以a+b,h,c+h 为三边组成的三角形是直角三角形.3.设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a,b 及h, 求证：222111h b a =+4.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=41CD ，求证∠AEF=90°【分析】首先设正方形的边长为a ，则用含a 的式子表示出222;;AF EF AE ,然后再计算两个式子的和是否等于第三个式子，从而判定△AEF 是直角三角形.5.如图，在四边形ABCD 中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°， 求证：∠A+∠C=180°【分析】首先作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理计算出AC 2，然后再计算AD 2和CD 2， 比较三个数是否满足勾股定理逆定理，从而判断出三角形ACD 是直角三角形.最后根据四边形内角和是360°，从而达到解决问题的目的.6.如图，已知在△ABC 中，AB>AC ，AD 是BC 边的高，求证：()2=-2AB-ACBDCDBC【分析】由高得垂直，得90°的直角，从而得出两个直角三角形，并且这两个直角三角形有公共边AD.然后分别在两个直角三角形中由勾股定理求出AD2,则两个式子相等，然后根据平方差进行因式分解，即可达到解决问题的目的.四．作图题1.在数轴上作出20五．挑战题1.已知如图1，△ABC分别以AB,AC为边向△ABC外作正方形ABGE 和ACHF，直线AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P,FQ⊥AN于Q，判断EP,FQ 的数量关系并证明；如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，分别以AB,CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，线段AD的垂直平分线交线段AD于M，交BC于N，若EP⊥MN于P，FQ ⊥MN于Q，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.总之，以上问题全部来自学生的一手问题,通过总结发现老师讲过的知识点，学生未必都能掌握，不管是来自课本上的问题，还是基础训练上的问题，还是来自其他资料的问题，作老师的都一视同仁，面面俱到进行讲解.《勾股定理》一章，虽然内容较少，只有两个定理，但是运用广泛，题型千变万化，形式多种多样，但是万变不离其宗，只要我们用心研究，细心探索，相信我们是能解决相关问题的.。
第3讲等腰(直角)三角形存在性处理策略
B第三讲等腰（直角）三角形存在性处理策略知识必备一、平面直角坐标系与两点间距离公式如图3-1-1，已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则P 1P 2=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.证明：如图3-1-2，作系列“水平/竖直辅助线”，易知P 1G =MN =︱x 2− x 1︱，P 2G =P 1N −GN =︱y 2− y 1︱，故P 1P 2=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.注1：为考虑全面，这里实施绝对值策略，即便两点位置发生变化，上述过程均成立. 注2：此结论用文字语言叙述为“平面直角坐标系中，任意两点之间的距离等于其横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根” . 二、“三线合一”定理与勾股定理1．如图3-1-3，在等腰三角形ABC 中，若AB =AC ，则有AD 平分∠BAC ⇔AD ⊥BC ⇔ BD =CD ，即等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高线以及底边上的中线重合，简称“三线合一”定理，其逆命题依旧成立.2．在RtΔABD 中，若∠ADB =90°，则有BD 2+AD 2=AB 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，称为勾股定理，其逆命题依旧成立.3．值得一提的是，常利用“三线合一”定理，将等腰三角形转化为直角三角形解决问题，如图3-1-3，有cos ∠B =BD AB=BC 2AB，此结论常用于解决与等腰三角形相关的存在性问题.三、全等判定方法与确定性分析1．三边分别相等的两个三角形全等，简称“边边边”，记为“SSS ” .2．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简称“边角边”，记为“SAS ” .图3-1-1 图3-1-2图3-1-33．全等是两个三角形之间的关系，若一个三角形具备“SSS ” 或“SAS ”等全等特征，则这个三角形是确定的，必可解.方法提炼一、“两圆一线法”与“两线一圆法”问题1：如图3-2-1，请借助尺规作图，在平面内找出所有的点C ，使△ABC 为等腰三 角形.问题2：如图3-2-2，请在平面内找出所有的点C ，使△ABC 为直角三角形.问题3：如图3-2-3，请在平面内找出所有的点C ，使△ABC 为等腰直角三角形. 二、代数解法（“SSS ”法）1．等腰三角形存在性问题前提：该三角形三边的平方为常数或者是关于某个参数的二次式. 步骤：①写出或设出三角形三个顶点的坐标； ②利用两点间距离公式，计算三角形三条边长的平方；③由等腰三角形的三边长（的平方）可以两两相等，需分三类，列方程求解； ④检验求出的点是否符合题意，即能否构成三角形.注：这里指平面直角坐标系中的存在性问题，若无坐标系，可利用勾股定理直接表述出三边（的平方），下同. 2．直角三角形存在性问题只有第③步分类标准不同，即以斜边为标准分三类，列方程求解，其他步骤同上.二、几何解法（“SAS ”法）1． 等腰三角形存在性问题前提：该三角形有一个不变的内角θ.图3-2-1图3-2-2图3-2-3步骤：①用同一个参数表示出该不变角相邻的两条边，如图3-2-5； ②以腰为标准分三类，列方程求解，具体如下：情形一：当定角θ为顶角时，如图3-2-6，有a =b ； 情形二：当定角θ为底角且b 为腰时，如图3-2-7，有cosθ=a 2b ； 情形三：当定角θ为底角且a 为腰时，如图3-2-8，有cosθ=b 2a. 2．直角三角形存在性问题法1：若直角三角形有一个不变的锐角θ，可狠抓不变角θ，利用其三角函数列式计算.法2：依托直角三角形，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似求解. 3．等腰直角三角形存在性问题方法：一般构造“一线三直角”全等，即“K 字型”全等.值得一提的是，以上问题，有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解.实战分析例1 （2016年陕西中考）如图3-3-1，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AB =2，点P 是这个菱形内部或边上一点，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P 、D （P 、D 两点不重合）两点间的最短距离为____________.B图3-2-5图3-2-6图3-2-7图3-2-8图3-3-1反思：“两圆一线法”可精准定位“两定一动”型等腰三角形存在性问题中动点的路径，若是直角三角形存在性问题，可借助“两线一圆法”精准作图，请看下面的变式.变式：如图3-3-3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2，点P是这个菱形外部的一点，若以点P、B、D为顶点的三角形是直角三角形，则P、C两点间的最短距离为__________.图3-3-4例2 如图3-3-5，已知点A（3，0），B（0，4），在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标.图3-3-5反思：代数解法的最大优势是实现盲解盲算，若精准作图，利用“两圆一线法”找到C点所有位置，如图3-3-6，可直接口算出“两圆”与坐标轴的六个交点，而“一线”与坐标轴的两个交点可利用勾股定理求解.代数解法盲解盲算，“两圆一线”精准定位，两者各具优势，结合使用亦可，以数解形，以形助数，数形结合，百般为好.例3 （2014年苏州中考）如图3-3-8，二次函数y =a (x 2−2mx −3m 2)（其中a ，m 是常数，且a >0，m >0）的图像与x 轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，-3），点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，连接AD .过点A 射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE .（1） 用含m 的代数式表示a ； （2） 求证：ADAE为定值；（3） 设该二次函数图像的顶点为F ，探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，连接GF ，以线段GF ，AD ，AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.反思：此类含参型二次函数问题属中考的热点压轴题型，需要学生具备一定的代数运算技能，以算代证，应引起重视.中考压轴题的问题设计，往往采用层层递进式的命题方式，解题需要不时“回头看” “没有代数解法是万万不能的，但代数解法也并不是万能的”，这也是部分学生经常做的傻事，遇到等腰（直角）三角形存在性问题，管他三七二十一，上来就是硬算、狂算，到头来一场空，算不下去也有可能，请谨记：“世界上没有绝对的通法.”图3-3-8下面请欣赏所谓的“几何解法” （一）显性的“不变角”例4 如图3-3-11，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8），抛物线y =ax 2+bx 过A 、C 两点.（1）求出抛物线的解析式；（2）动点P 从点A 出发沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ，连接EQ . ①求EG 的最大值；②在点P 、Q 运动过程中，判断有几个时刻使△CEQ 是等腰三角形？请求出相应的t 值.反思：所谓“几何解法”，就是“抓不变角”，再结合“三线合一”定理等，导比导边，需“眼中有角，心中有比”，即不变的角就是不变的比.图3-3-11例5 如图3-3-15，在△ABC 中，AB =AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD =∠B .若AB =10，BC =16，当△APD 为直角三角形时，求BP 的长.反思：看似两种情形，实则算理一致，只需狠抓不变角，易于掌握，便于实施. 情形二，若不能着急计算，导角得出∠APC =90°，由“三线合一”定理可立秒.变式：如图3-3-18，△ABC 中，AB =AC ，点P ，D 分别为BC ，AC 边上的点（点P 不与B 、C 重合），且∠APD =∠B .若AB =10，BC =16，当△APD 为等腰三角形时，求BP 的长.反思：“眼中有角，心中有比”，利用三角比结合相似比，转化比例，列式计算.情形三，若能不着急计算，导角可得：∠APD =∠ADP >∠C ，引出矛盾，可直接舍去.（二）隐性的“不变角”例6 （2015年湖南怀化中考压轴题）如图3-3-22，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t 秒. （1） 在运动过程中，求P ，Q 两点间距离的最大值；BB图3-3-15图3-3-18（2） 经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式； （3） P 、Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由.反思：本题若采取“代数解法”也并非不可，但计算量颇大，很可能面临无功而返之窘境，并非方法不通，而是运算能力不到位.然“几何解法”需具备敏锐的洞察力，以算代证，发现不变角∠CPQ ，但比较隐藏，难以察觉，事实上，在第二大类中，依然有tan ∠CPQ =CQ CP=2不变.两种解法，各有裨益，孰轻孰重，不好权衡，建议皆会，合理使用，方可自如.例7（自编题）如图3-3-28，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0）与直线l ：y =43x ，点B 在x 轴正半轴上，且位于点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C ，再过点C 作直线l 的垂线，交x 轴于点D ，在BC 上取点E ，使BE =BA ，连接OE 并延长，交CD 于点F .当△CEF 为等腰三角形时，求点C 的坐标.A图3-3-22图3-3-28反思：本题表面看上去是一个等腰三角形存在性问题，但通过导角转移，情形一变为“角处理”问题，情形二变为角平分线的处理问题，情形三转化为等腰三角形OCE的存在性问题，真可谓“问山不是山，转化妙无穷” .解题启示：先定性分析，后定量计算.即解题时，莫要着急求边长，可以先考虑导角分析，看看能不能转化成其他常规问题.这里等腰三角形存在性问题的特殊解法，可以与下一讲相似三角形存在性问题中所谓“AA”解法，类比巩固，将更加有趣.总结等腰（直角）三角形存在性问题常见的处理策略有：1.代数法→实现盲解盲算2.几何法→狠抓不变角，“眼中有角，心中有比”3.垂直处理→构造“一线三直角”，即“K字型”4.混和解法→综合以上各种解法，灵活使用.类题巩固1.如图3-4-1，在平面直角坐标系中，直线y=−x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形.图3-4-12.如图3-4-2，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，将△DEF绕点D旋转，点D与AB的中点重合，DE、DF分别交AC于点M、N.若△DMN为等腰三角形，求此时重叠部分（△DMN）的面积.图3-4-23.（2017年新疆乌鲁木齐市压轴题）如图3-4-3，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P事抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E.①PE=2ED时，求P点的坐标；②是否存在点P，使△BEC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.图3-4-34.（2016年镇江中考）如图3-4-4，在菱形ABCD中，AB=6√5，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF.（1）求证：BE=DF；（2）当t=________秒时，DF的长度有最小值，最小值等于________；（3）如图3-4-5，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ 是直角三角形？图3-4-4图3-4-5。
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勾股定理之等腰三角形的存在问题【知识点】
①先把三种情况写出来
②根据题意一一分析求解
例：
AB AC ABC AC BC
AB BC
=
⎧
⎪
∆=
⎨
⎪=
⎩
①
②
③
【练习题】
1.如图，在△ABC中，△ACB＝90°，BC＝15cm，AC＝20cm，动点D从A
出发，沿射线AC移动，则AD为多长时，△ABD是等腰三角形？
2.如图，在△ABC中，△ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，动点P从A
出发，沿AB移动到B，当AP等于多少时，△ACP是等腰三角形？
3.如图，有一个直角三角形，两直角边AC=8，BC=6，点E为AC边上的一个
动点，在运动的过程中连接BE，若△ABE是以E为顶角顶点的等腰三角形，那么AE的长为______
4.如图，Rt△ABC，AC△CB，AC=30，AB=50，点D为斜边上动点．在点D的
运动过程中，连接CD，若△ACD是以C为顶角顶点的等腰三角形，那么AD 的长为______
5.如图，AB△BC，DC△BC，垂足分别为B、C，设AB=4，DC=1，BC=4。
在
线段BC上有一动点P，线段BP的长为_____时，使△APD是等腰三角形
6.Rt△ABC中,△ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角
形,使其中只有一个是等腰三角形,求这个等腰三角形的面积
7.如图,已知△ABC中,△B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,
点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为1 cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为2 cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.
(1)求运动几秒时,△APC是等腰三角形?
(2)当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间
出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s (1)求BC边的长
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图△求t的值
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图△求t的值
始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1 cm/s，设运动时间为t s.
(1)出发2 s后，求△ABP的面积
(2)当t为何值时，BP平分△ABC?
(3)当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
答案
1.40
2.40或25
3.25/4
4.36
5.3或1/8
6. 3.6，4.32或4.8
；当运动时间为5.5 s或6 s或6.6 s时,△BCQ为等腰三角形
7.25
4
8.解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，所以BC＝4 cm
解：由题意知BP＝t cm，当△ABP为直角三角形时，有两种情况：
△.如图△，当△APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，即t＝4
△.如图△，当△BAP为直角时，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝32＋(t－4)2；在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t－4)2]＝t2，
解得t＝25 4.
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝25 4
解：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况：
△.如图△，当BP＝AB时，t＝5；
△.如图△，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，t＝8；
△.如图△，当BP＝AP时，AP＝BP＝t cm，CP＝|t－4|cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，
所以t2＝32＋(t－4)2，解得t＝25 8.
综上所述，当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或t ＝8或t ＝258.
9. △ABP 的面积为12×AP×BC ＝12×6×6＝18；
解：如图，过点P 作PD△AB 于点D.
当BP 平分△ABC 时，易得△BPD△△BPC ，
所以PD ＝PC ，BD ＝BC ＝6 cm.
所以AD ＝10－6＝4(cm)．
设PC ＝PD ＝x cm ，则PA ＝(8－x) cm.
所以x2＋42＝(8－x)2，解得x ＝3，
即PC ＝3 cm.所以t ＝31＝3
解：如图△，若点P 在边AC 上，BC ＝CP ＝6 cm ，
所以点P 运动的路程为6 cm.
故当t ＝6时，△BCP 为等腰三角形
若点P 在AB 边上，有三种情况：
如图△，若BP ＝CB ＝6 cm ，此时AP ＝4 cm ，
所以点P 运动的路程为12 cm.
故当t ＝12时，△BCP 为等腰三角形．
如图△，若CP ＝BC ＝6 cm ，过点C 作CE△AB 于点E ，根据面积法求得CE ＝4.8 cm ，
由勾股定理得PE ＝BE ＝3.6 cm.所以BP ＝7.2 cm ，
所以点P 运动的路程为18－7.2＝10.8(cm)．
所以当t ＝10.8时，△BCP 为等腰三角形
如图△，若BP＝CP，则△PCB＝△PBC.
因为△ACP＋△BCP＝90°，△PBC＋△CAP＝90°，
所以△ACP＝△CAP.
易得PA＝PC.
所以PA＝PB＝5 cm.
所以点P运动的路程为13 cm.
所以当t＝13时，△BCP为等腰三角形．
综上，当t＝6或10.8或12或13时，△BCP为等腰三角形。