2021年九年级中考数学 尖子生培优 数与式专题(含答案)
2021年中考复习数学 尖子生培优训练 多边形与平行四边形 (含答案)
2021中考数学尖子生培优训练多边形与平行四边形一、选择题（本大题共10道小题）1. 六边形的内角和是()A. 540°B. 720°C. 900°D. 1080°2. 如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1，将△ADE 绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF=()A.B.C.5D.23. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为32，则点P的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 44. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以作2条对角线，则这个多边形是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形5. （2020·襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．当AB＝CD时，四边形ABCD 是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形6. 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为()A. 2 2B. 4 2C. 6 2D. 8 27. （2020湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD 的面积之比是（）A．1 B．C．D．8. 如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为A．135B．125C．195D．1659. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB＝45，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CP＋DP最短时，点P的坐标为()A. (0，0)B. (1，12) C. (65，35) D. (107，57)10. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A.3＋318 B.3＋118C.3＋36 D.3＋16二、填空题（本大题共10道小题）11. 如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点.若MN=4，则AC的长为.12. 如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A=，则这个菱形的面积= cm2.13. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．14. 如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠B＋∠C＝260°，则∠D的度数为________．15. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的面积是________．16. 一个正五边形和一个正六边形按如图所示的方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是________．17. ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．18. 如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．19. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q，R分别与图②中的点E，G 重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.20. （2020·扬州）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为.三、解答题（本大题共6道小题）21. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．22. 如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．23. 如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线AF交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．24. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形?请说明理由.25. 如图①，在四边形ABCD中，点P是AB上一点，点E在射线DP上，且∠BED＝∠BAD，连接AE.(1)若AB＝AD，在DP上截取点F，使得DF＝BE，连接AF，求证：△ABE≌△ADF；(2)如图②，若四边形ABCD是正方形，点P在AB的延长线上，BE＝1，AE＝32，求DE的长；(3)如图③，若四边形ABCD是矩形，AD＝2AB，点P在AB的延长线上，AE＝5 BE，若AE=nDE，求n的值.图①图②图③，，，分别是26. 如图，O是平行四边形ABCD内任意一点，E F G HOA OB OC OD，，，的中点．若DE，CF交于P，DG，AF交于Q，AH，BG交于R，BE，CH交于S，求证：PQ SR．SR QPH GOEFDCB A2021中考数学 尖子生培优训练 多边形与平行四边形 -答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B 【解析】根据多边形内角和定理：n 边形的内角和等于(n －2)×180°(n ≥3，且n 为整数)，计算可得．(6－2)×180°＝720°，故选B.2. 【答案】D [解析]由旋转的性质可知， △ADE ≌△ABF ，∴BF=DE=1，∴FC=6，∵CE=4，∴EF===2.故选:D .3. 【答案】B【解析】本题考查了直角三角形中的点到直线的距离. 解题思路：如解图，分别过点A 和C 作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F.⎭⎬⎫∠BAD ＝90° AB ＝AD ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠ADB ＝45° AD ＝22⇒AE ＝2＞32⇒AB 、AD 上各有一点到BD 的距离为32.同理，得CF ＝1＜32⇒AB 、AD 上没有点到BD 的距离为32.4. 【答案】B[解析] 设这个多边形的边数是n.由题意，得n－3＝2，解得n＝5.5. 【答案】B【解析】由平行四边形的对角线互相平分，知A选项正确；由有一个角是直角的平行四边形是矩形，知C选项正确；由对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，知D选项正确；由一组邻边相等的平行四边形是菱形，知B选项错误（因为B选项中是一组对边相等了），故选B．6. 【答案】A【解析】∵E，F分别是AD，CD边上的中点，即EF是△ACD的中位线，∴AC＝2EF＝22，则菱形ABCD的面积＝12AC·BD＝12×22×2＝2 2.7. 【答案】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2．∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是．故选：B．【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形ABC′D′的高等于AB 的一半，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解．8. 【答案】A【解析】正方形ABCD中，∵BC=4，∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°，∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，在△BCE和△CDF中，BC CDBCE CDF CE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF，∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE，cos∠CBE=cos∠ECG=BC CG BE CE=，∴453CG=，CG=125，∴GF=CF﹣CG=5﹣125=135，故选A．9. 【答案】D【解析】如解图，连接CA、AD，CA与OB相交于点E，过点E 作EF⊥OA，交OA于点F.由题知点C关于OB的对称点是点A，AD与BO的交点即为点P.根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE∽△EOF，∴COEO＝EOOF，∵OC＝OA＝5，OE＝OB2＝25，∴OF＝OE2CO＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．解图10. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0D 解析：过小正方形的一个顶点D 3作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点A 3作A 3F ⊥FQ 于点F .∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴∠B 3C 3E 4＝60°，∠D 1C 1E 1＝30°，∠E 2B 2C 2＝30°， ∴D 1E 1＝12D 1C 1＝12，∴D 1E 1＝B 2E 2＝12， ∴cos30°＝B 2E 2B 2C 2＝12B 2C 2，解得：B 2C 2＝33.∴B 3E 4＝36，cos30°＝B 3E 4B 3C 3.解得：B 3C 3＝13. 则D 3C 3＝13.根据题意得出：∠D 3C 3Q ＝30°，∠C 3D 3Q ＝60°，∠A 3D 3F ＝30°， ∴D 3Q ＝12×13＝16，FD 3＝D 3A 3·cos30°＝13×32＝36.则点A 3到x 轴的距离FQ ＝D 3Q ＋FD 3＝16＋36＝3＋16. 二、填空题（本大题共10道小题） 11. 【答案】1612. 【答案】60[解析]菱形的面积可以用边长×高，即AB ×DE 计算，在Rt △ADE中，∵AD=10，sin A=，∴DE=6，∴菱形的面积为60 cm 2.13. 【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3.14. 【答案】100°15. 【答案】24【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×8×6＝24.解图16. 【答案】84°[解析] 由题意，得∠AOE ＝108°，∠BOF ＝120°，∠OEF ＝72°，∠OFE ＝60°，∴∠EOF ＝180°－72°－60°＝48°.∴∠AOB ＝360°－108°－48°－120°＝84°.17. 【答案】∠BAD ＝90°(答案不唯一)【解析】∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形，当∠BAD ＝90°时，菱形ABCD 为正方形．故可添加条件：∠BAD ＝90°.18. 【答案】55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO中，⎩⎨⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD的边长为22，E是OC的中点，∴FO＝EO＝1＝BF，BO＝2，∴在Rt△BOE 中，BE＝12＋22＝5，由∠FBM＝∠EBO，∠FMB＝∠EOB，可得△BFM∽△BEO，∴FMEO＝BFBE，即FM1＝15，∴FM＝55.19. 【答案】4[解析]如图，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M.在Rt△EMG中，∵GM=4，EM=2+2+4+4=12，∴EG===4，∴EH==4.20. 【答案】93【解析】本题考查了解直角三角形、三角形相似的判定与性质三角形、平行四边形面积公式、垂线段最短等知识，解题的关键是将问题转化为垂线段最短来解决．过A作AM⊥BC于M，设EG、DC交于H．∵在Rt△AMB中，∠B=60°，AB=10，sin∠B=32AMAB=，∴AM=53，▱EFGC中，∵DF=4DE，∴ED=5DF，又EF=GC，∴5GC=，∵EF∥CG，∴△EHD∽△GHC，∴45DH ED EHHC CG HG===，∵CD=AB=10是定长，故不管动点E在AB上如何运动，H始终是定点，H又在EG上，它到AB的最短距离就是HN，S▱ABCD=AM BC HN AB⨯=⨯，∴53843AM BCNHAB⨯⨯===，当动点E运动到与N重合（见答图2），EG最短，此时，HG=54NH=53，∴EG的最小值= HG+NH=93．因此本题答案为93．（答图1）（答图2）三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】(1)【思路分析】要证∠CEB＝∠CBE，结合CE∥DB，可得到∠CEB＝∠DBE，从而只需证明∠CBE＝∠DBE，结合△ABC≌△ABD即可得证．证明：∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠DBE，(2分)∴∠CEB＝∠CBE.(3分)(2)证明：∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD，由(1)得∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB，∴CE＝BD，(5分)∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形，(6分)∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形．(8分)22. 【答案】(1)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AM∥CN，(1分)又∵四边形ABCD是平行四边形，∴MC∥AN，∴四边形CMAN是平行四边形．(2分)(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADE＝∠CBF，AD＝CB，又∵∠AED＝∠CFB＝90°，∴△AED≌△CFB(AAS)，(4分)∴DE＝BF＝4，∴在Rt△BFN中，BN＝32＋42＝5.(5分)23. 【答案】(1)证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，∴△EAF≌△EDC(AAS)，(3分)∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(5分)(2)解：四边形AFBD是矩形．证明如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．(7分)∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴四边形AFBD是矩形．(9分)24. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，∴∠ABE=∠CDF.∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE=OB，DF=OD，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.理由如下: ∵AC=2OA，AC=2AB，∴AB=OA.∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG=90°，同理:CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG=AE，OA=OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF 是矩形.25. 【答案】(1)证明：∵∠BED ＝∠BAD ，∠BPE ＝∠DP A ，∴∠ABE ＝∠ADF ，又∵AB ＝AD ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ；(2)解：如解图①，延长ED 到点F ，使得DF ＝BE ，连接AF ，解图①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ，∵∠P ＝∠P ，∴∠PBE ＝∠ADP ，∴∠ABE ＝∠ADF ，∵BE ＝DF ，AB ＝AD ，∴△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠F AD ，∴∠F AD ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴EF ＝2AE ＝32×2＝6，∴DE ＝EF －DF ＝EF －BE ＝6－1＝5；(3)解：如解图②，过点A 作AF ⊥AE 交ED 的延长线于点F ，解图②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ＝90°， ∵AF ⊥AE ，∠P ＝∠P ，∴∠PBE ＝∠ADP ，∠EAB ＝90°－∠EAD ＝∠F AD ， ∴∠ABE ＝180°－∠PBE ＝180°－∠ADP ＝∠ADF ， ∴△ABE ∽△ADF ， ∴，21===AF AE DF BE AD AB ∴AF ＝2AE ，DF ＝2BE ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得EF 22AE AF +=5AE ，∵AE＝5BE，∴EF＝5AE＝5·5BE＝5BE，26. 【答案】设法证明四边形PORS为平行四边形．因为F，G分别为OB，OC的中点，所以FG BC∥，且12FG BC=，FG AD∥，且12FG AD=，从而F是AQ中点．同理可证，F是PC的中点（EF是PCD∆的中位线）．所以四边形APQC为平行四边形，PQ AC∥，PA AC=．同理，RS AC RS AC，∥=．因此PQ RS PQ RS，∥=，即四边形PQRS为平行四边形，故PQ RS=．说明本题证明显示了用平行四边形证题的技巧，平行四边形PQRS，APQC，ACRS像三座互相连接的桥梁一样沟通了条件与结论之间的道路．事实上，由于PQRS为平行四边形，我们还可得到PQ SR∥，PS QR∥，PS QR=，SQ与PR互相平分等等一系列结论．F为AQ的中点（同样G为DQ的中点）的断言可以证明于下：取AD中点M，连MF，则FG MD∥且FG MD=，所以四边形MFGD为平行四边形，MF DG∥．因此F为AQ的中点．。
3.2中心对称-2020-2021九年级数学上册尖子生同步培优【人教版】
2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题【人教版】专题3.2中心对称姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•宝安区校级期中）下列图形中，中心对称图形个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2020春•常熟市期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2020春•武侯区校级期中）点P（m，2）关于原点O的对称点为P'（﹣3，n），则m、n的值为（）A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝﹣2C．m＝﹣3，n＝2D．m＝﹣3，n＝﹣24．（2019春•卢龙县期中）平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）的位置关系是（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．无法确定5．（2019春•浏阳市期中）点P（a，ba）在第二象限，点Q（a，b）关于原点对称的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2019春•叶县期中）如图所示，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不一定成立的是（）A．点A与点A'是对称点B．BO＝B'OC．∠ACB＝∠CA'B'D．AB∥A'B'7．（2019秋•襄州区期中）如图是由三个边长分别是2，3和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A ．1或4B ．2或3C ．3或4D ．1或28．（2019秋•马山县期中）如图，点O 是▱ABCD 的对称中心，EF 是过点O 的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE 和四边形EFCD 的面积分别记为S 1，S 2，那么S 1，S 2之间的关系为（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法确定9．（2019春•江宁区期中）如图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的12，如图②，移动正方形A 的位置，使正方形B 的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B 面积的（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 10．（2020春•无锡期中）在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，3），点B 为x 轴正半轴上一点，将△AOB绕其一顶点旋转180°，连接其余四个顶点得到一个四边形，若该四边形是一个轴对称图形，则满足条件的点有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•江都区期中）在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有个．12．（2019春•郫都区期中）如图，O是边长为6的等边△ABC三边中垂线的交点，将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，则图中阴影部分的面积为．13．（2020春•淇县期中）点P（4，﹣7）关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是，关于原点的对称点的坐标是．14．（2019春•玉田县期中）在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则m+n＝．15．（2020春•柯桥区期中）直角坐标系中，已知A（3，2），作点A关于y轴对称点A1，点A1关于原点对称点A2，点A2关于x轴对称点A3，A3关于y轴对称点A4，……，按此规律，则点A2019的坐标为．16．（2018春•泰兴市校级期中）如图，点A，B，C的坐标分别为（0，﹣1），（0，2），（3，0）．从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是．17．（2020春•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①f（a，b）＝（﹣b，﹣a），如f（1，3）＝（﹣3，﹣1）；②g（a，b）＝（b，a），如g（1，3）＝（3，1）；③h（a，b）＝（﹣a，b），如h（1，3）＝（﹣1，3）．且规定了运算顺序是“由内到外”，例如按照以上规定有：f（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）＝（﹣2，3），那么f（g（h（5，﹣3）））＝．18．（2019秋•湄潭县期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2018A2019B2019的顶点A2019的坐标是．三．解答题（共6小题）19．（2020春•灌云县期中）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）图中哪两个图形成中心对称？（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．20．（2019秋•东莞市期中）已知点P（2x，y2+4）与Q（x2+1，﹣4y）关于原点对称，求x+y的值．21．（2019秋•龙岗区期中）如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且点A的坐标是（1，0）．（1）直线y=43x−83经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式．22．（2018秋•呼和浩特期中）如图，△ABC中，D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：四边形AEDF是中心对称图形；（2）若AD平分∠BAC，求证：点E、F关于直线AD对称．23．（2018秋•新罗区校级期中）如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，（1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由．（2）若矩形ABCD面积为6，求四边形BDEG的面积．24．（2019春•宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题3.2中心对称姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•宝安区校级期中）下列图形中，中心对称图形个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形是中心对称图形；第二个图形是中心对称图形；第三个图形是中心对称图形；第四个图形不是中心对称图形；共3个，故选：C．2．（2020春•常熟市期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D 、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．3．（2020春•武侯区校级期中）点P （m ，2）关于原点O 的对称点为P '（﹣3，n ），则m 、n 的值为（ ）A ．m ＝3，n ＝2B ．m ＝3，n ＝﹣2C ．m ＝﹣3，n ＝2D ．m ＝﹣3，n ＝﹣2【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m ，n 的值．【解答】解：∵点P （m ，2）关于原点O 的对称点为P '（﹣3，n ），∴m 、n 的值为：m ＝3，n ＝﹣2，故选：B ．4．（2019春•卢龙县期中）平面直角坐标系内的点A （﹣1，2）与点B （﹣1，﹣2）的位置关系是（ ）A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．无法确定 【分析】根据关于x 轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案．【解答】解：平面直角坐标系内的点A （﹣1，2）与点B （﹣1，﹣2）关于x 轴对称．故选：B ．5．（2019春•浏阳市期中）点P （a ，b a ）在第二象限，点Q （a ，b ）关于原点对称的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【分析】已知点P （a ，b a ）在第二象限，根据第二象限点的坐标特征：横坐标＜0，纵坐标＞0，即a ＜0，b a ＞0．由以上两式可以判断a ＜0，b ＜0，从而点Q （a ，b ）在第三象限．又两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，因而点Q （a ，b ）关于原点对称的点是（﹣a ，﹣b ），它在第一象限．【解答】解：∵点P （a ，b a ）在第二象限， ∴a ＜0，b a ＞0．． ∴a ＜0，b ＜0．∴点Q （a ，b ）在第三象限．∴点Q （a ，b ）关于原点对称的点（﹣a ，﹣b ）在第一象限．故选：A ．6．（2019春•叶县期中）如图所示，△ABC 与△A 'B 'C '关于点O 成中心对称，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．点A 与点A '是对称点B ．BO ＝B 'OC ．∠ACB ＝∠CA 'B 'D ．AB ∥A 'B ' 【分析】利用中心对称的性质一一判断即可．【解答】解：∵△ABC 与△A 'B 'C '关于点O 成中心对称，∴点A 与点A '是对称点，BO ＝B ′O ，AB ∥A ′B ′，故选项A ，B ，D 正确，故选：C ．7．（2019秋•襄州区期中）如图是由三个边长分别是2，3和x 的正方形所组成的图形，若直线AB 将它分成面积相等的两部分，则x 的值是（ ）A ．1或4B ．2或3C ．3或4D ．1或2【分析】根据题意列方程，即可得到结论．【解答】解：如图，∵若直线AB 将它分成面积相等的两部分，∴12（2+3+x ）×3﹣x •（3﹣x ）=12×（2+3+x ）×3﹣2×1， 解得x ＝1或x ＝2，故选：D ．8．（2019秋•马山县期中）如图，点O 是▱ABCD 的对称中心，EF 是过点O 的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE 和四边形EFCD 的面积分别记为S 1，S 2，那么S 1，S 2之间的关系为（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法确定【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EDO ＝∠FBO ，∵点O 是▱ABCD 的对称中心，∴OB ＝OD ，在△DEO 与△BFO 中{∠EDO =∠FBOOD =OB ∠DOE =∠BOF，∴△DEO ≌△BFO （ASA ），∴S △DEO ＝S △BFO ，∵S △ABD ＝S △CDB ，∴S 1＝S 2．故选：C ．9．（2019春•江宁区期中）如图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的12，如图②，移动正方形A 的位置，使正方形B 的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B 面积的（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 【分析】设正方形B 的面积为S ，正方形B 对角线的交点为O ，标注字母并过点O 作边的垂线，根据正方形的性质可得OE ＝OM ，∠EOM ＝90°，再根据同角的余角相等求出∠EOF ＝∠MON ，然后利用“角边角”证明△OEF 和△OMN 全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面积等于正方形B 的面积的14，再求出正方形B 的面积＝2正方形A 的面积，即可得出答案． 【解答】解：设正方形B 对角线的交点为O ，如图1，设正方过点O 作边的垂线，则OE ＝OM ，∠EOM ＝90°，∵∠EOF +∠EON ＝90°，∠MON +∠EON ＝90°，∴∠EOF ＝∠MON ，在△OEF 和△OMN 中{∠EOF =∠MONOE =OM ∠OEF =∠OMN =90°，∴△OEF ≌△OMN （ASA ）， ∴阴影部分的面积＝S 四边形NOEP +S △OEF ＝S 四边形NOEP +S △OMN ＝S 四边形MOEP =14S 正方形CTKW ，即图1中阴影部分的面积＝正方形B 的面积的四分之一，同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A 的面积的四分之一，∵图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的12， ∴正方形B 的面积＝正方形A 的面积的2倍，∴图2中重叠部分面积是正方形B 面积的18， 故选：D ．10．（2020春•无锡期中）在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，3），点B 为x 轴正半轴上一点，将△AOB绕其一顶点旋转180°，连接其余四个顶点得到一个四边形，若该四边形是一个轴对称图形，则满足条件的点有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】画出图形，利用图象法解决问题．【解答】解：观察图象可知，满足条件的点B有5个．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•江都区期中）在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有3个．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：由题可得，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有3个：矩形、菱形、正方形，故答案为：3．12．（2019春•郫都区期中）如图，O是边长为6的等边△ABC三边中垂线的交点，将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，则图中阴影部分的面积为6√3．【分析】根据旋转的性质，观察图形易得，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为2，且面积是△ABC 的19．重叠部分的面积是△ABC 与三个小等边三角形的面积之差，代入数据计算可得答案． 【解答】解：根据旋转的性质可知，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为13×6＝2，且面积是△ABC 的19， 观察图形可得，重叠部分的面积是△ABC 与三个小等边三角形的面积之差，∴△ABC 的高是√32×6＝3√3，一个小等边三角形的高是√3， ∴△ABC 的面积是12×6×3√3=9√3，一个小等边三角形的面积是12×2×√3=√3，所以重叠部分的面积是9√3−√3×3＝6√3．故答案为6√3．13．（2020春•淇县期中）点P （4，﹣7）关于x 轴的对称点的坐标是 （4，7） ，关于y 轴的对称点的坐标是 （﹣4，﹣7） ，关于原点的对称点的坐标是 （﹣4，7） ．【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反；关于x 轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴的对称点，横坐标互为相反数，纵坐标不变．【解答】解：点P （4，﹣7）关于x 轴的对称点的坐标是（4，7），关于y 轴的对称点的坐标是（﹣4，﹣7），关于原点的对称点的坐标是（﹣4，7）．故答案为：（4，7），（﹣4，﹣7），（﹣4，7）．14．（2019春•玉田县期中）在平面直角坐标系中，若点P （m ，m ﹣n ）与点Q （﹣2，3）关于原点对称，则m +n ＝ 7 ．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P ′（﹣x ，﹣y ）确定m 、n 的值，即可得出答案．【解答】解：∵点P （m ，m ﹣n ）与点Q （﹣2，3）关于原点对称，∴{m =2m −n =−3，解得{m =2n =5， 则点M （m ，n ）坐标为：（2，5）．∴m +n ＝2+5＝7．故答案为：7．15．（2020春•柯桥区期中）直角坐标系中，已知A （3，2），作点A 关于y 轴对称点A 1，点A 1关于原点对称点A 2，点A 2关于x 轴对称点A 3，A 3关于y 轴对称点A 4，……，按此规律，则点A 2019的坐标为 （3，2）．【分析】此题主要是发现循环的规律，然后根据规律进行计算．【解答】解：作点A关于y轴的对称点为A1，是（﹣3，2）；作点A1关于原点的对称点为A2，是（3，﹣2）；作点A2关于x轴的对称点为A3，是（3，2）．显然此为一循环，按此规律，2019÷3＝673，则点A2019的坐标是（3，2），故答案为：（3，2）．16．（2018春•泰兴市校级期中）如图，点A，B，C的坐标分别为（0，﹣1），（0，2），（3，0）．从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是点P．【分析】根据中心对称图形的概念，只要组成的四边形不是平行四边形，则一定不是中心对称图形．【解答】解：根据平行四边形的判定，已知M、N、Q都能够和已知的三个点组成平行四边形，则一定是中心对称图形．故答案为：点P．17．（2020春•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①f（a，b）＝（﹣b，﹣a），如f（1，3）＝（﹣3，﹣1）；②g（a，b）＝（b，a），如g（1，3）＝（3，1）；③h（a，b）＝（﹣a，b），如h（1，3）＝（﹣1，3）．且规定了运算顺序是“由内到外”，例如按照以上规定有：f（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）＝（﹣2，3），那么f（g（h（5，﹣3）））＝（5，3）．【分析】根据题意找到运算法则f、g、h，然后运用相应的运算法则解答．【解答】解：由题意知，f（g（h（5，﹣3）））＝f（g（﹣5，﹣3））＝f（﹣3，﹣5）＝（5，3）．故答案是：（5，3）．18．（2019秋•湄潭县期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2018A2019B2019的顶点A2019的坐标是（4037，√3）．【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，√3），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出A n的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为：（1，√3），B1的坐标为：（2，0），∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，∵2×2﹣1＝3，2×0−√3=−√3，∴点A2的坐标是：（3，−√3），∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（−√3）=√3，∴点A3的坐标是：（5，√3），∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，∵2×6﹣5＝7，2×0−√3=−√3，∴点A4的坐标是：（7，−√3），…，∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，∴A n的横坐标是：2n﹣1，A2n+1的横坐标是：2（2n+1）﹣1＝4n+1，∵当n为奇数时，A n的纵坐标是：√3，当n为偶数时，A n的纵坐标是：−√3，∴顶点A2n+1的纵坐标是：√3，∴△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是：（4n+1，√3），∴△B2018A2019B2019的顶点A2019的横坐标是：4×1009+1＝4037，纵坐标是：√3，故答案为：（4037，√3）．三．解答题（共6小题）19．（2020春•灌云县期中）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）图中哪两个图形成中心对称？（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积．【解答】解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8．20．（2019秋•东莞市期中）已知点P（2x，y2+4）与Q（x2+1，﹣4y）关于原点对称，求x+y的值．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得x2+1+2x＝0，y2+4﹣4y＝0，再根据偶次幂的性质可得x、y的值，进而可得答案．【解答】解：∵点P（2x，y2+4）与Q（x2+1，﹣4y）关于原点对称，∴x2+1+2x＝0，y2+4﹣4y＝0，∴（x+1）2＝0，（y﹣2）2＝0，解得：x＝﹣1，y＝2，∴x+y＝1．21．（2019秋•龙岗区期中）如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且点A的坐标是（1，0）．（1）直线y=43x−83经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式．【分析】（1）先求出E点的坐标，根据梯形的面积公式即可求出四边形AECD的面积；（2）根据已知求出直线1上点G的坐标，设直线l的解析式是y＝kx+b，把E、G的坐标代入即可求出解析式．【解答】解：（1）y=43x−83，当y＝0时，x＝2，所以E（2，0），由已知可得：AD＝AB＝BC＝DC＝4，AB∥DC，所以四边形AECD是直角梯形，所以四边形AECD的面积S＝（2﹣1+4）×4÷2＝10，答：四边形AECD的面积是10；（2）在DC上取一点G，使CG＝AE＝1，则S梯形AEGD＝S梯形EBCG，易得点G坐标为（4，4），设直线l的表达式是y＝kx+b，将点E（2，0）代入得：2k+b＝0，即b＝﹣2k，将点G（4，4）代入得：4k+b＝4，即4k﹣2k＝4，解得k＝2，所以b＝﹣4，所以y＝2x﹣4，答：直线l的表达式是y＝2x﹣4．22．（2018秋•呼和浩特期中）如图，△ABC中，D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：四边形AEDF是中心对称图形；（2）若AD平分∠BAC，求证：点E、F关于直线AD对称．【分析】（1）判定四边形AEDF是平行四边形，即可得出四边形AEDF是中心对称图形；（2）先得出AE＝DE，再根据四边形AEDF是平行四边形，可得四边形AEDF是菱形，即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是中心对称图形；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，∴AD垂直平分EF，∴点E、F关于直线AD对称．23．（2018秋•新罗区校级期中）如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，（1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由．（2）若矩形ABCD面积为6，求四边形BDEG的面积．【分析】（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，直接利用菱形的判定方法得出答案；（2）直接利用矩形的面积结合菱形的面积计算公式得出答案．【解答】解：（1）四边形BDEG是菱形．理由：∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，∴AB＝AE，AD＝AG，∴四边形BDEG是平行四边形，又∵∠BAD＝90°，∠BAE＝∠DAG＝180°，∴BE⊥DG，∴四边形BDEG是菱形．（2）∵矩形ABCD面积为6，∴AD×AB＝6，∴S菱形BDEG=12BE×DG=12×2AB×2AD＝12．24．（2019春•宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．【分析】（1）根据知识背景即可求解；（2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；（3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC；（2）如图所示：（3）如图所示：故答案为：＝．。
2021中考数学 尖子生培优训练 二次函数的图象及性质(含答案)
2021中考数学 尖子生培优训练 二次函数的图象及性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 若二次函数y=ax 2+bx+c (a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，则使函数值y>0成立的x 的取值范围是 ( ) A .x<-4或x>2 B .-4≤x ≤2 C .x ≤-4或x ≥2D .-4<x<22. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向左平移8个单位长度D ．向右平移8个单位长度3. (2019•哈尔滨)将抛物线22yx =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为 A ．22(2)3y x =++ B ．22(2)3y x =-+ C ．22(2)3y x =-- D ．22(2)3y x =+-4. 对对对对y 对对2(x 对m )2对对对对对对对对对对()A对对对对对对对对 B对对对对对对对对对对对x 对m C对对对对对0 D对对对对对y 对对对对5. 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A ．有最大值－1，有最小值－2B ．有最大值0，有最小值－1C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值7，有最小值－26. 对对对对对y 对x 2对mx 对对对对对x 对3对对对对x 对对对x 2对mx 对7对对对()A. x 1对0对x 2对6B. x 1对1对x 2对7C. x 1对1对x 2对对7D. x 1对对1对x 2对77.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则以下结论同时成立的是( )A.⎩⎨⎧abc>0，b 2－4ac<0B.⎩⎨⎧abc<0，2a ＋b>0C.⎩⎨⎧abc>0，a ＋b ＋c<0D.⎩⎨⎧abc<0，b 2－4ac>08. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，顶点为D(－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，有以下结论：对b 2－4ac ＜0；对a ＋b ＋c ＜0；对c －a ＝0；对一元二次方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. （2020·常德）二次函数的图象如图所示，下列结论：240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110.对对对对对对2对对对对ABC 对对对对1对对对对A ′B ′C ′对对对对对B ′C ′对BC 对对对对对对对l 对对对对对对对C ′对B 对对对对ABC 对对对对对对对对对A ′B ′C ′对对对对对对对l 对对对对对对ABC 对(对B ′对C 对对)对对对对对A ′B ′C ′对对对对对对x 对对对对对对对对对对对对对对y 对对y 对对x 对对对对对对( )二、填空题（本大题共10道小题）11. 已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y=-x 2+bx+c 上两点，该抛物线的顶点坐标是 .12. (2019•株洲)若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，则__________0(填“=”或“>”或“<”)．13.对对对对对对对对对对y 对对x 2对bx 对c 对对对对对对对x 对1对对对x 对对对对对对对对对对(3对0)对对对对对对对对对对对对对______________对14. 某个函数具有性质：当x>0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是________(只要写出一个符合题意的答案即可)．15.对对对(x 对m )(x 对n )对3(m 对n 对对对对对m 对n )对对对对对对对对a 对b (a 对b )对对m 对n 对a 对b 对对对对对对______________对16. 已知抛物线y=ax 2+4ax+4a+1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2+a+1的最小值是 .17. 对对对对对对y 对3x 2对c 对对对对对对y 对4x 对对对对对对对对对对对c 对对对________对18. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有的关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s ．19.对对对对y 对⎩⎪⎨⎪⎧对x 2对2x 对x >0对对对x 对x ≤0对对对对对对对对对对对对y 对x 对m 对对对对对对对对对对对对对对对m 对对对对对对________对20.对对对对对对对对对对对对对y 对x 2对对对对对对对对A 对对对对(1对1)对对对A 对AA 1对x 对对对对对对对A 1对对对A 1对A 1A 2对OA 对对对对对对A 2对对对A 2对A 2A 3对x 对对对对对对对A 3对对对A 3对A 3A 4对OA 对对对对对对A 4……对对对对对对对对对A 2019对对对对________对三、解答题（本大题共6道小题）21. 对对对对对对对对对y 对x 2对ax 对3对对对对对对P (对2对3)对(1)对a 对对对对对对对对对对对 (2)对Q (m 对n )对对对对对对对对对对对 对对m 对2对对对n 对对对对对对Q 对y 对对对对对对2对对对对对对对对对对n 对对对对对对22. 设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两实数根，当a为何值时，x12＋x22的值最小？最小值是多少？23. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．24. 对对对对对对y对1 3x2对bx对c对x对对对A(3对0)对B(对1对0)对对对对对B对对对BC对x对对对对对y对对2x对对C.(1)对对对对对对对对对对(2)对对对对对对对对D对对对对对对对对对D对对对对对y对对2x对对(3)对P对对对对对对对对对对对对对对对对对P(对A对对)对对对PBC对对BC对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对P对对对对对对对对对对对对对对对25. (2019·山东滨州)如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点,B C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． (1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P 到直线AD 时，求sin PAD ∠的值．26. (2019·四川资阳)如图，抛物线212yx bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值； (3)设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2021中考数学 尖子生培优训练 二次函数的图象及性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D [解析]∵二次函数y=ax 2+bx +c (a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，∴二次函数的图象与x 轴另一个交点为(-4，0)， ∵a<0，∴抛物线开口向下，则使函数值y>0成立的x 的取值范围是-4<x<2.2. 【答案】B[解析] y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)．y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，故选B.3. 【答案】B【解析】将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+， 故选B ．4. 【答案】D5. 【答案】D[解析] 对二次函数y ＝x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2，对该函数在－1≤x≤3的取值范围内，当x ＝2时，y 有最小值－2；当x ＝－1时，y 有最大值7.故选D.6.【答案】D 对对对对对对对对对y 对x 2对mx 对对对对对x 对对m 2对3对对对m 对对6对对对对x 对对对对x 2对6x 对7对对对对x 1对对1对x 2对7.7. 【答案】C [解析] 由图象可知，当x ＝1时，y ＜0，对a ＋b ＋c ＜0；对二次函数图象与x 轴有两个交点，对b 2－4ac>0；对二次函数图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上，对c ＜0；对二次函数图象开口向上，对a ＞0；对对称轴－b2a ＞0，a ＞0，对b ＜0.对abc ＞0.故选C.8. 【答案】B9. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根， 240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =，22b a ∴-=，40a b ∴+=，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>. 0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.综上所述，正确的结论有3个，因此本题选B．10. 【答案】B 【解析】由题意知：在对A ′B ′C ′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x ≤1时，边长为x ，此时y ＝12x ×32x ＝34x 2；当1＜x ≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y ＝12×1×32＝34；当2＜x ≤3时，边长为3－x ，此时y ＝12(3－x )×32(3－x )．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为34.故选B.二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】(1，4) [解析]∵A (0，3)，B (2，3)是抛物线y=-x 2+bx +c 上两点， ∴代入得解得∴y=-x 2+2x +3=-(x -1)2+4，顶点坐标为(1，4).12. 【答案】<【解析】∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下， ∴0a <． 故答案为：<．13. 【答案】y对对x 2对2x对3[对对] 对对对对y对对x 2对bx对c对对对对对对对x对1对对b2对1对对对b对2.对对对对y对对x 2对2x对c对x对对对对对对对对对对(3对0)对对0对对9对6对c对对对c对3. 对对对对对对对对对对对y对对x 2对2x对3.14. 【答案】答案不唯一，如y ＝x 215.【答案】a 对m 对n 对b对对对对对对对对对对对(x对m)(x对n)对3对对对对对对y对(x对m)(x对n)对y对3对对对对对对对对对对对对对对对对a对m对n对b.16. 【答案】[解析]∵抛物线y=ax 2+4ax +4a +1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，∴=-=-2.∵线段AB 的长不大于4，∴4a +1≥3，∴a ≥， ∴a 2+a +1的最小值为:2++1=.17.【答案】43对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对y对3x 2对c对y对4x对对对对对对对对y对3x 2对c对4x对对对对3x 2对4x对c对0对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对b 2对4ac对(对4)2对4×3c对0对对对c对43.18. 【答案】4【解析】依题意，令0h =得： ∴20205t t =-， 得：(205)0t t -=， 解得：0t =(舍去)或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ， 故答案为：4．19.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23对00<m<14[对对]对对y对x对m对y对对x 2对2x对对x对m对对x 2对2x对对对对x 2对x对m对0对对对对对对对对对b 2对4ac对(对1)2对4m>0对对对m<14.对对对y对x对m对对对对对对对对对y对⎩⎪⎨⎪⎧对x 2对2x对x>0对x对x≤0对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对m>0对 ∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.20.【答案】(对1010对10102) [对对]对对A对对对对对对对OA对对对对对y对x.对AA 1对x对对对A 1(对1对1)对对对对A 1A 2对OA对对对对对A 1A 2对对对对对y对x对2对对对对对对对对对对对对A 2对对对对(2对4)对对对对对对A 3(对2对4)对A 4(3对9)对A 5(对3对9)对…对A 2019(对2019对12对10102)对对A 2019(对1010对10102)对三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】对对(1)对对P(对2对3)对对y对x 2对ax对3对对 对a对2对对y对x 2对2x对3对(x对1)2对2对 对对对对对对对对对(对1对2)对(2)对对m对2对对n对11. 对对Q对y对对对对对对2对 对|m|对2对对对2对m对2对对2≤n对11.22. 【答案】解：依题意得Δ＝(2a)2－4(a2＋4a －2)≥0， ∴a≤12.∵x1＋x2＝－2a ，x1x2＝a2＋4a －2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4a2－2(a2＋4a －2)＝2(a －2)2－4. ∵a≤12，∴当a ＝12时，x12＋x22的值最小，此时x12＋x22＝2×(12－2)2－4＝12，即最小值为12.23. 【答案】(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=．②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯-252b b =-+．(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形． 作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4 考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图724. 【答案】(1)对y 对13x 2对bx 对c 对x 对对对A (3对0)对B (对1对0)对对对 对⎩⎪⎨⎪⎧13×32对3b 对c 对013×对对1对2对b 对c 对0对对对⎩⎪⎨⎪⎧b 对对23c 对对1对 对对对对对对对对对y 对13x 2对23x 对1对 (2)对a 对13对b 对对23对c 对对1对对对对对对对D 对对对对(a b 2-对a b ac 442-)对对x D 对对对232×13对1对y D 对4×13×对对1对对对对23对24×13对对43对 对D (1对对43)对对x 对1对对y 对对2x 对对y 对对2对对对43≠对2对对对对D 对对对对y 对对2x 对对 (3)对对对对对对对对对对对对对对C 对x 对对对对对对对对对对对对对对P 1对P 2对对对BP 1对BP 2.对对对对对BC 对x 对对对对P 1BC 对对P 2BC 对对对对对对对对 对x 对对1对对y 对对2x 对对对 y 对对2×(对1)对2对 对C (对1对2)对对对y 对2对对y 对13x 2对23x 对1对对13x 2对23x 对1对2对 对对x 1对10对1对x 2对对10对1. 对P 1(10对1对2)对P 2(对10对1对2)对25. 【答案】(1)当0x =时,4y =，则点A 的坐标为()0,4，当0y =时，2110482x x =-++，解得，124,8x x =-=，则点B 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()8,0，∴4OA OB ==，∴45OBA OAB ∠=∠=︒，∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到直线AD ， ∴90BAD ∠=︒，∴45OAD =︒，∴45ODA ∠=︒，∴OA OD =，∴点D 的坐标为()4,0， 设直线AD 的函数解析式为,y kx b =+440b k b =⎧⎨+=⎩，得14k b =-⎧⎨=⎩， 即直线AD 的函数解析式为4y x =-+；(2)作PN x ⊥轴交直线AD 于点N ，如图①所示，设点P 的坐标为211,482t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为(),4t t -+，∴2211134(4)8282PN t t t t t ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， ∴PN x ⊥轴， ∴PN y ∥轴，∴45OAD PNH ∠=∠=︒，作PH AD ⊥于点H ，则90PHN ∠=︒，∴222136)82PH t t t ⎫==-+==-+⎪⎝⎭，∴当6t =时，PH ，此时点P 的坐标为(56,2)，即当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标是(56,2)，最大距离是4；②当点P 到直线AD 时，如图②所示，则2+=，解得：122,10t t ==， 则1P 的坐标为(92,2)，2P 的坐标为(10,)72-，当1P 的坐标为(92,2)，则12P A ==，∴1sin P AD ∠==； 当2P 的坐标为(10,)72-，则2252P A ==，∴24sin 25102P AD ∠==；由上可得，sin PAD ∠或10． 【名师点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P 点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离，难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握.26. 【答案】(1)将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+，71422m =-+=-， ∴B 的坐标为1(4,)2-，将(3,2)A ，1(4,)2B -代入212y x bx c =-++，2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩，解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++；(2)设217(,)22D m m m ++，则7(,)2E m m -+，22217711()()2(2)222222DE m m m m m π=-++--+=-+=--+，∴当2m =时，DE 有最大值为2，此时7(2,)2D ，作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小， ∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，A D '==，即PD PA +； (3)作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++，∴(1,4)M ，∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ︒∠=，90AHM ︒∠=，∴12AQM AHM ∠=∠，可知AQM ∆外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，则2=，2t =+2∴符合题意的点Q 的坐标：1(0,2Q 、2(0,2Q ．【名师点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．。
2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典 专题3
专题3.1圆姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•南开区期中）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm【分析】根据圆的直径为圆中最长的弦求解．【解答】解：∵最长的弦长为16cm，∴⊙O的直径为16cm，∴⊙O的半径为8cm．故选：B．2．（2020秋•拱墅区校级月考）下列说法中，不正确的是（）A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形D．长度相等的弧是等弧【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；D、长度相等的弧是等弧，说法错误；故选：D．3．（2020春•单县期末）已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．4 B．8 C．10 D．12【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．4．（2020春•诸城市期末）下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆【分析】根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．【解答】解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；故选：C．5．（2019秋•相城区期中）到圆心的距离大于半径的点的集合是（）A．圆的内部B．圆的外部C．圆D．圆的外部和圆【分析】根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决．【解答】解：根据点和圆的位置关系，知圆的外部是到圆心的距离大于的所有点的集合；故选：B．6．（2019•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部【分析】根据已知条件对个选项进行判断即可．【解答】解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，∴点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；∵过点B、C的圆记作为圆O2，∴点A可以在圆O2的外部，故C错误；∵过点C、A的圆记作为圆O3，∴点B可以在圆O3的外部，故D错误．7．（2020秋•兴化市月考）半径为10的⊙O，圆心在直角坐标系的原点O，则点P（8，6）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定【分析】先利用两点间的距离公式求出点P到原点的距离OP，再判断OP与半径r的大小关系，从而得出答案．【解答】解：∵点P（8，6），∴OP10，则OP＝r，∴点P在⊙O上，故选：A．8．（2020秋•南岗区校级月考）已知⊙O的半径是10cm，根据下列点P到圆心O的距离可判断点P在圆外的是（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：A、∵OP＝8cm＜10cm，∴点P在圆内，不合题意；B、∵OP＝9cm＜10cm，∴点P在圆内，不合题意；C、∵OP＝10cm，∴点P在圆上，不合题意；D、∵OP＝11cm＞10cm，∴点P在圆外，符合题意．故选：D．9．（2020•鹿城区模拟）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2F A3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（）A．甲先到B点B．乙先到B点C．甲、乙同时到B D．无法确定【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点．【解答】解：π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点．故选：C．10．（2020•浉河区校级一模）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），原点（0，0）在⊙C上，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最小值为（）A．1 B．2C．1D．【分析】先判断出点E的位置，点E在过点C垂直于AB的直线和⊙C在点C上方的交点，然后求出AB，进而根据三角形面积公式得出CD，即可得出得出DE，再用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交⊙C于E，此时△ABE面积的值最小（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最小，∵A（﹣2，0），B（0，1），∴AB，∵⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），原点（0，0）在⊙C上，∴OC＝1，∴BC＝2，∵BC•OA AB•CD，∴•CD，∴CD，∴DE＝CD﹣CE1，∴S△ABE的最小值AB•DE（1）2，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•北京期末）参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是这个圆的半径．【分析】利用圆的性质得出圆上各点到圆心的距离等于半径，进而得出答案．【解答】解：参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是这个圆的半径．故答案为：相等，半径．12．（2020•张店区一模）若⊙A半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P与⊙A 位置关系为点P在⊙A内．【分析】先求出P A的长，然后比较P A与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵点A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），∴P A＝4＜5，∴点P在圆A内，故答案为：点P在⊙A内．13．（2020•梁溪区一模）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（3，3）都在⊙M上，则圆心M的坐标为．【分析】设M点的坐标为（x，y），由题意知，MA＝MB＝MC，据此列出x、y的二元一次方程组，解方程组便可得出答案．【解答】解：设M点的坐标为（x，y），由题意知，MA＝MB＝MC，∴，化简得，x+y＝﹣3x﹣3y+8＝﹣2y+1，即，解得，∴M．故答案为：．14．（2019秋•安庆期末）在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为6，点P的坐标为（3，4），则点P在圆内（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）．【分析】先根据两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O 的位置关系．【解答】解：∵点P的坐标为（4，3），∴OP∵半径为6，而6＞5，∴点P在⊙O内．故答案为：圆内．15．（2020秋•江阴市校级月考）有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是②③（填序号）【分析】利用圆的有关定义进行判断后即可确定正确的答案．【解答】解：①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；②半圆是弧，弧不一定是半圆，正确；③面积相等的两个圆是等圆，正确；正确的结论有②③．故答案为：②③．16．（2019秋•浏阳市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以顶点A为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则r的取值范围是6＜r＜10．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝6，AD＝8，则BD10．由图可知6＜r＜10．故答案为：6＜r＜10．17．（2019秋•仪征市期末）如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP 长为整数时，P点有4个．【分析】解法一：过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据三角形面积可得OC＝3，从而可知OP的长有两个整数：5，6，且OP＝6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个．解法二：根据面积可知，OA上的高为6，也就是说OA与OB互相垂直，然后算出OC长度即可．【解答】解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，设OC＝x，AC＝y，∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，∴AB≤12，∵△OAB的面积为18，∴，则y，∴，解得x＝3或﹣3（舍），∴OC＝34，∴4＜OP≤6，∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．解法二：设△AOB中OA边上的高为h，则，即，∴h＝6，∵OB＝6，∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，∴AB＝6，图中OC＝3，同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．故答案为：4．18．（2020•武昌区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是7．【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝10，∵AN＝NC，∴BN AC＝5，∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN2，∴BM≤BN+NM，∴BM≤5+2＝7，即BM的最大值是7．故答案为7．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2017秋•灌云县月考）已知点P、Q，且PQ＝4cm，（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．【分析】根据圆的定义即可解决问题；【解答】解：（1）到点P的距离等于2cm的点的集合图中⊙P；到点Q的距离等于3cm的点的集合图中⊙Q．（2）到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有2个，图中C、D．20．（2017秋•仓山区期中）已知；如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．【分析】首先证明OC＝OD，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD＝BC．【解答】解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，∴AO＝BO，∵C、D分别是半径OA、BO的中点，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，，∴△OCB≌△ODA（SAS），∴AD＝BC．21．（2017秋•天宁区校级月考）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？【分析】连结OC、OD，由OA＝OB，AE＝BF，得到OE＝OF，由CE⊥AB，DF⊥AB得到∠OEC＝∠OFD＝90°，再根据“HL”可判断Rt△OEC≌Rt△OFD，则∠COE＝∠DOF，所以AC弧＝BD弧，AC ＝BD．【解答】解：AC与BD相等．理由如下：连结OC、OD，如图，∵OA＝OB，AE＝BF，∴OE＝OF，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°，在Rt△OEC和Rt△OFD中，，∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），∴∠COE＝∠DOF，∴，∴AC＝BD．22．（2018秋•灌云县校级月考）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．【分析】分别连接ME、MF，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得到ME＝MD＝MC ＝MB，可证得结论．【解答】证明：连接ME、MD，∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴ME＝MD＝MC＝MB BC，∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．23．（2019秋•萧山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan B＝2．点D是AB的中点．（1）求AB长和sin A的值．（2）以点D为圆心，r为半径作⊙D．如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E．利用等腰三角形的性质解直角三角形即可解决问题．（2）连结CD，过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE，解直角三角形求出CD，BD即可判断．【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E．∵AB＝AC，BC＝4，∴∵，∴AE＝4，∴又∴．（2）如图，连结CD，过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE∵点D是AB中点，即DF是中位线∴，∴CF＝3∴又∴r的取值范围是24．（2020秋•滨湖区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝8cm，点P从点A向点D运动，运动的速度为1cm/s，点Q从点C向点B运动，运动的速度为2cm/s，运动时间为ts，若P、Q两点有一点停止，则另一点随之停止．（1）若点Q正好在以PD为直径的圆上，试求出所有满足条件的t的值；（2）若以点P为圆心，P A为半径画⊙P，试判断点Q与⊙P的位置关系，并说明理由．【分析】（1）如图，连接PQ，DQ，过点Q作QE⊥AD于E．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．（2）当AP＝PQ时，t2＝32+（8﹣3t）2，方程无解，推出点Q在⊙P外．【解答】解：（1）如图，连接PQ，DQ，过点Q作QE⊥AD于E．3若点Q正好在以PD为直径的圆上，则∠PQD＝90°，∵QE⊥PD，∴∠QED＝∠QEP＝90°，∵∠PQE+∠EQD＝90°，∠EQD+∠EDQ＝90°，∴∠PQE＝∠EDQ，∴△QED∽△DEQ，∴，∵P A＝tcm，CQ＝DE＝2tcm，QE＝CD＝3cm，∴PE＝8﹣t﹣2t＝（8﹣3t）cm，∴32＝（8﹣3t）•2t，解得t．∴满足条件的t的值为．（2）当AP＝PQ时，t2＝32+（8﹣3t）2，方程无解，∴点Q在⊙P外．。
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十一讲数形结合(含答案)
第二十一讲数形结合趣题引路】你曾听说过蚂蚁回家的故事吗?事情是这样的：图21-1, D是三角形ABC的边AB上一点，其上有一只小蚂蚁，它首先从D点沿平行于BC的方向爬行到AC边上的E点：再从E点沿平行于方向爬到BC 边上的F 点；再从F点沿平行于AC的方向爬行到AB边上的G点……，这样每从一边爬到期一边算爬一次，那么这只蚂蚁是否可经有限次回到原岀发点D?如果可经最少“次回到D点，那么“的值等于多少? 加上什么条件就可以求得蚂蚁回家的总路线的长？B F K C图21-1解析（1）若D是中点，则”=3；（2）若£＞不是AB中点，可证明6次后蚂蚁回到岀发点D,如图21-1；因蚂蚁行疋路线都是与△ ABC 各边平行的，所以AD _AE _BF _BG CH _CK _ AM ・ AD _ AM ・ AD + BD AM +BM即AB _ AB ~BD=~EC=~FC=~GA=~AH=~BK=~BM ' =BD_ =而'；.BD=BM,即M 与D 重合，“=6.当第（1）种情况时，蚂蚁回家的总路线长是AABC齐边和的一半，只要知道△ABC各边长即可求解：当第（2）种情况时，只要知道△ABC各边长和AD、DG或AE、EH等即可求解.请读者计算一下. 点评：数与形是一个不可分割的整体，数体现形的大小，形状，而形又是抽象的数量关系形象化.数形结合能使我们容易把握问题的实质.知识延伸】例求函数y = Jx，+1 + +4的最小值•解析构造如图21-2所示的两个直角三角形，即RtA PAC. RtA PBD,使AC=1, BD=2, PC=x, PD=4-x,求最小值可转化为：在厶上求一点P,使PA+PB最小.取点A关于厶的对称点水，连结AB,则与厶的交点即为所求P点，故PA-iPB的最小值即是线段在中，«B=后+平=5,故函数y的最小值为5.点评：此题若用代数方法来解很麻烦，通过对函数形式观察，发现：VZTT可以看成是以x、1为直角边的三角形的斜边，J（4-x『+4可以看成是以（4-x）, 2为直角边的斜边，此题可归纳为求两个直角()三角形斜边的和的最小值，于是可构造图形来解决.图 21 — 2好题妙解】佳题新题品味例1在直径为的半圆内，划岀一块三角形区域，使三角形的一边为AB,顶点C 在半圆周上，英 他两边分别为6和8.现在建造一个内接于A ABC 的矩形水池DEFN,其中，DE 在上，如图21-3的 设计方案是使AC=8, BC=6.(1) 求A ABC 中AB 边上的髙力：(2) 设DN=x.当x 取何值时，水池的而枳最大？(3) 实际施工时，发现AB上距B 点1.85m 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边 上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避 开大树?故大树位于欲修建的水池边上，应重新设汁方案.Vx=2.4时，DE=5, •••AD=3.2・图 21—3解析(1)运用勾股上理和面积公式可求得A=4.8；h _ r)N NF(2) •:\CNPs\CAB 、••• s =乂 h AB 则S 層=X •吕-(4.8 -x)=总(F - 4.8A ) 故当x=2.4时，最大:(3)当S 饥枷最大，x=2.4时，F 为BC 中点.在RtA FEB 中，EF=2・4, BF=3・由圆的对称性知，满足题设条件的另外设计方案是将最大而积的水池建在使AC=6, BC=8,且C点在半圆周上的△ ABC中.点评：本例应用二次函数的性质求解，并综合了相似三角形，圆等几何知识.题目设计新颖，有较强的创新特色.2 x2 +xy + ^- = 25,—+ z2 =9, 试求xy+2yz+3xz 的值.z2 + xz + x2 = 16.图21-4OR=Xf则'LPQR = S、gpR ++ SHOQR ・V 1 vBP_x3x4=-x.x sinl50+5z. +-.z.x-sinl20,xy -F 2yx+3xz = 24>/3 ・点评：此题条件复杂，若想通过代数方法求解，势必十分困难，通过观察，利用余弦泄理构造图形却使问题变得较容易.例3已知方程|x| = ar + l有一负根而没有正根，求实数"的取值范围.解析：如图21-5.方程|.Y|= UX +1的根就是函数V, = |x|和儿=仮+ 1的图象交点的横坐标.方程只有负根而没有正根，就是过点（0, 1）的直线+ l只与直线y = -x（A<0）相交而不与直线y = x（虫0）相交.在同一坐标系中作出= |x|与比=or + l的图象，观察图象知，- -丄< 0, •••“》1・例2正数卫w z满足解析如图21-4,构造直角三角形P0R,由条件可知：'PQR内有一点，使O Q=z, 0P=y图21-5过关检测】A级1.函数——(</>0),无论x取任何实数，函数总有意义的条件是_______________________or + bx + c2.已知边长为“的正方形，内接一个边长为b的正方形，求ilE：h<a<^.3・已知心b、x、y都是正数，且a2+h2=x2 + y2=ax + by = \9求证：a2 + y2 =/r+x2 = 1 ,且肋= 小・1.已知正数心b、c. A、B. C满足：“+A=b+B=c+C=10・求证："・B+b・C+c4<100・2.已知正数心b,且a+b=\,求证：(t/ + 2)2+(Z; + 2)2>^.2第二十一讲数形结合A 级构造方程A>0即得结论3・构造出以1为直径的圆内接四边形ABCDM 图41,使AB=a,AD = 6,fiC=y,DC=x f 由托勒密定理知 ax +6y = AC • BD = 1,而 BD = I ,/. 4C = 1即圆的直径./.四边形4BCD 为矩形•故可得 a«=x,&=y,-/. a 2 4- y 2 =62 +x 3 = 1,且 aZ> = xy.2.提示:如图43,构造点P （ -2, -2〉卫（56）,则不磚式左边是PQ\Q 是线段佔上的点的中点为 C,则可求得PC =悟,由PQNPC 可得结论.L b 2 -4O € >0.2.提示二如图40,由题意可得 x + y = a= y(a 2~b2)。
专题29.1投影-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】
2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题29.1投影姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•贵阳月考）下列投影现象属于平行投影的是（）A．手电筒发出的光线所形成的投影B．太阳光发出的光线所形成的投影C．路灯发出的光线所形成的投影D．台灯发出的光线所形成的投影【分析】根据中心投影和平行投影的定义进行判断．【解析】手电筒发出的光线所形成的投影、路灯发出的光线所形成的投影和台灯发出的光线所形成的投影都为中心投影；太阳光发出的光线所形成的投影为平行投影．故选：B．2．（2020•安顺）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（）A．B．C．D．【分析】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．【解析】A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；故选：C．3．（2020•西乡塘区模拟）长方形的正投影不可能是（）A．正方形B．长方形C．线段D．梯形【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．【解析】在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．故长方形的正投影不可能是梯形，故选：D．4．（2020•南岸区模拟）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（）A．3B．5C．6D．7【分析】利用中心投影，延长P A、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△P AB∽△P A′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．【解析】延长P A、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，∵AB∥A′B′，∴△P AB∽△P A′B′，∴ABA′B′=ADAE，即3A′B′=12，∴A′B′＝6，故选：C．5．（2019秋•唐山期末）下列光线所形成的投影不是中心投影的是（）A．太阳光线B．台灯的光线C．手电筒的光线D．路灯的光线【分析】利用中心投影和平行投影的定义判断即可．【解析】中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影为平行投影．故选：A．6．（2019秋•丹东期末）如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（）A．③﹣④﹣①﹣②B．②﹣①﹣④﹣③C．④﹣①﹣②﹣③D．④﹣①﹣③﹣②【分析】根据平行投影的意义可得，树的影子的位置、长度随时间的变化而变化，进行判断即可．【解析】根据影子的位置和长度，可以判断照片的先后顺序，早晨太阳再东方，树的影子在树的西方，影长较长，随时间的推移，影子的位置依次经过西北、北、东北、东，影长先逐渐变短，随后又逐渐变长，故顺序为：②①④③，故选：B．7．（2019秋•顺德区期末）如图，一人在两等高的路灯之间走动，GB为人AB在路灯EF照射下的影子，BH 为人AB在路灯CD照射下的影子．当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是（）A ．先变长后变短B ．先变短后变长C ．不变D ．先变短后变长再变短【分析】连接DF ，延长BA 交DF 于M ，则AM ⊥DF ，BM ＝CD ＝FE ，依据△ADF ∽△AHG ，即可得到GH =AB×FDAM，进而得出结论． 【解析】如图所示，连接DF ，延长BA 交DF 于M ，则AM ⊥DF ，BM ＝CD ＝FE ， ∵GH ∥DF ， ∴△ADF ∽△AHG ， 又∵AB ⊥GH ，AM ⊥DF ， ∴GH FD=AB AM，即GH =AB×FD AM， ∵当人从点C 走向点E 时，DF 、AB 的长不变，AM 的长也不变， ∴GH 的长也不变， 故选：C ．8．（2020•南岸区自主招生）如图，小树AB 在路灯O 的照射下形成投影BC ．若树高AB ＝2m ，树影BC ＝3m ，树与路灯的水平距离BP ＝4.5m ．则路灯的高度OP 为（ ）A ．3mB ．4mC ．4.5mD ．5m【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【解析】∵AB ∥OP ， ∴△CAB ∽△COP ， ∴CB CP =AB OP ， ∴37.5=2OP，∴OP ＝5（m ）， 故选：D ．9．（2019•广西模拟）把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据平行投影特点以及图中正三棱柱的摆放位置即可求解．【解析】把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是正三角形． 故选：B ．10．（2018秋•相城区期中）圆桌面（桌面中间有一个直径为1m 的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m ，桌面离地面1m ，若灯泡离地面2m ，则地面圆环形阴影的面积是（ ）A ．2πm 2B ．3πm 2C ．6πm 2D ．12πm 2【分析】先根据AC ⊥OB ，BD ⊥OB 可得出△AOC ∽△BOD ，由相似三角形的对应边成比例可求出BD 的长，进而得出BD ′＝1m ，再由圆环的面积公式即可得出结论． 【解析】如图所示：∵AC⊥OB，BD⊥OB，∴△AOC∽△BOD，∴OAOB =ACBD，即12=1BD，解得：BD＝2m，同理可得：AC′=12m，则BD′＝1m，∴S圆环形阴影＝22π﹣12π＝3π（m2）．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•金乡县一模）下面4个图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是④①③②．【分析】根据北半球上，从早晨到傍晚影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长的变化规律，可得先后顺序为④①③②．【解析】依题意，由于太阳是从东边升起，故影子首先指向西方的．然后根据太阳的位置可判断变化规律为④①③②．12．（2019•望花区三模）如图，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影．（填“平行”或“中心”）．【分析】根据光线发出的形式，由一点发出的光线，形成的投影是中心投影．【解析】由于光源是由一点发出的，因此是中心投影，故答案为：中心．13．（2019秋•丰台区期末）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 12 m ．【分析】利用平行投影的性质，相似三角形的对应边成比例解答． 【解析】设旗杆的高度为xm ， 根据题意，得：x9=0.80.6，解得x ＝12，即旗杆的高度为12m ， 故答案为：12．14．（2020•槐荫区模拟）如图，已知路灯离地面的高度AB 为4.8m ，身高为1.6m 的小明站在D 处的影长为2m ，那么此时小明离电杆AB 的距离BD 为 4 m ．【分析】利用中心投影的性质可判断△CDE ∽△CBA ，再根据相似三角形的性质求出BC 的长，然后计算BC ﹣CD 即可． 【解析】∵DE ∥AB ， ∴△CDE ∽△CBA ， ∴CD CB=DE AB，即2CB=1.64.8，∴CB ＝6，∴BD ＝BC ﹣CD ＝6﹣2＝4（m ）． 故答案为4．15．（2020秋•济南期中）如图，甲楼AB 高18米，乙楼CD 坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：√2，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE ＝ （18﹣10√2） 米．（结果保留根号）【分析】设FE ⊥AB 于点F ，那么在△AEF 中，∠AFE ＝90°，解直角三角形AEC 可以求得AF 的长，进而求得DE ＝AB ﹣AF 即可解题．【解析】设冬天太阳最低时，甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的E 处，那么图中ED 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设FE ⊥AB 于点F ，那么在△AEF 中，∠AFE ＝90°，EF ＝20米． ∵物高与影长的比是1：√2， ∴AF EF=√2，则AF =√22EF ＝10√2，故DE ＝FB ＝18﹣10√2． 故答案为（18﹣10√2）16．（2020•永康市模拟）航拍器拍出的照片会给我们视觉上带来震撼的体验，越来越受追捧．如图，航拍器在空中拍摄地面的区域是一个圆，且拍摄视角α固定：（1）现某型号航拍器飞行高度为36m ，测得可拍摄区域半径为48m ．若要使拍摄区域面积为现在的2倍，则该航拍器还要升高 （36√2−36） m ；（2）航拍器由遥控器控制，与（1）中同型号的航拍器最远飞行距离为距遥控器2000m ，则该航拍器可拍摄区域的最大半径为80003m ．（忽略遥控器所在高度）【分析】（1）由题意：tanα2=4836=43，拍摄区域面积为现在的2倍，推出可拍摄区域半径为48√2m ，设航拍器飞行高度为hm ，构建方程即可解决问题． （2）设航拍器可拍摄区域的最大半径为rm ．则有r 2000=43，解方程即可解决问题．【解析】（1）由题意：tanα2=4836=43，∵拍摄区域面积为现在的2倍，∴可拍摄区域半径为48√2m ，设航拍器飞行高度为hm ， 则有tanα2=48√2ℎ=43， ∴h ＝36√2，该航拍器还要升高（36√2−36）m ， 故答案为（36√2−36）．（2）设航拍器可拍摄区域的最大半径为rm ． 则有r 2000=43，解得r =80003， 故答案为80003．17．（2019•会宁县模拟）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC 的高为a ，已知冬至时北京的正午日光的入射角∠ABC 为30°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离即BC 的长）为 √3a （用含a 的代数式表示）【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．【解析】由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为：ACtan∠ABC =√33=√3a，故答案为：√3a．18．（2019•平谷区一模）小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2，0），则点E的坐标是（4，0）．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解析】∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴BCDE =2−0.82，∵BC＝1.2，∴DE＝2，∴E（4，0）．故答案为：（4，0）．三．解答题（共6小题，满分46分）19．（2019秋•薛城区期末）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD ，测得其影长DE ＝0.4米． （1）请在图中画出此时旗杆AB 在阳光下的投影BF ． （2）如果BF ＝1.6，求旗杆AB 的高．【分析】（1）利用太阳光线为平行光线作图：连结CE ，过A 点作AF ∥CE 交BD 于F ，则BF 为所求； （2）证明△ABF ∽△CDE ，然后利用相似比计算AB 的长．【解析】（1）连结CE ，过A 点作AF ∥CE 交BD 于F ，则BF 为所求，如图； （2）∵AF ∥CE ， ∴∠AFB ＝∠CED ， 而∠ABF ＝∠CDE ＝90°， ∴△ABF ∽△CDE ， ∴AB CD=BF DE，即AB 1.6=20.4，∴AB ＝8（m ）．答：旗杆AB 的高为8m ．20．（2020秋•二七区月考）如图，路灯（P 点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O 点）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？【分析】根据AC ∥BD ∥OP ，得出△MAC ∽△MOP ，△NBD ∽△NOP ，再利用相似三角形的性质进行求解，即可得出答案．【解析】∵∠MAC＝∠MOP＝90°，∠AMC＝∠OMP，∴△MAC∽△MOP，∴MAMO =ACOP，即MA20+MA =1.59，解得，MA＝4米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB＝1.2米，则马晓明的身影变短了4﹣1.2＝2.8米．∴变短了，短了2.8米．21．（2019秋•揭西县期末）如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH．（1）填空：判断此光源下形成的投影是：中心投影．（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子．【分析】（1）根据在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH，连接GA、HC并延长交于点O，据此判断即可；（2）连接OE并延长交直线HG于I，于是得到结论．【解析】（1）如图所示：此光源下形成的投影是：中心投影，故答案为：中心；（2）如图所示，线段FI为立柱EF在此光源下所形成的影子．22．（2019秋•达川区期末）如图所示，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现一个明亮的平行四边形，杨阳用量角器量出了一条对角线与一边垂直，用直尺量出平行四边形的一组邻边的长分别是30cm ，50cm ，请你帮助杨阳计算出该平行四边形的面积．【分析】先利用勾股定理计算AC ，然后根据平行四边形的面积求解． 【解析】如图，AB ＝30cm ，BC ＝50cm ，AB ⊥AC ， 在Rt △ABC 中，AC =√BC 2−AB 2=40cm ， 所以该平行四边形的面积＝30×40＝1200（cm 2）．23．（2020•碑林区校级一模）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm ，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，求出x 的最小值．【分析】依据CD ∥AB ，即可得到△OCD ∽△OAB ，再根据相似三角形的性质可得OD OB=CD AB，即可得到x 的最小值为10．【解析】如图，由题可得CD ∥AB ，∴△OCD ∽△OAB ， ∴OD OB=CD AB， 即x20+10+x=0.83.2，解得x ＝10， ∴x 的最小值为10．24．（2008秋•同江市校级期末）高高地路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的，于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿，这时，他量了一下竹竿的影长正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度（即4米），他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度（即2米）、此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，原来路灯有10米高呀！”（如图所示） 同学们，你觉得小明的判断对吗？【分析】先根据竹竿和影长之间的数量关系求得∠D ＝45°，∠POC ＝30°，找到DC 与灯高之间的数量关系CD =12OP ，根据线段之间是和差关系得到DC ＝DB +BA ﹣CA ，代入对应数据即可求出CD 长为5米，从而求出灯高为10米．【解析】小明的判断如图，AE ，BF 是竹竿两次的位置，CA 和BD 是两次影子的长． 由于BF ＝DB ＝2（米），即∠D ＝45°，所以，DP＝OP＝灯高，△COP中AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP∴△CEA∽△COP，即CAEA =CP OP，设AP＝x，OP＝h则：1 1+x =2ℎ①，DP＝OP表达为2+4+x＝h②，联立①②两式得：x＝4，h＝10，∴路灯有10米长，小明的判断是正确的．。
2021中考数学尖子生培优训练分式及其运算（含答案）
2021中考数学尖子生培优训练分式及其运算（含答案）2021中考数学尖子生培优训练分式及其运算一、选择题（本大题共10道小题）1. 化简a 2a －1－(a ＋1)的结果是( )A. 1a －1B. －1a －1C. 2a －1a －1D. －2a －1a －12. 计算a 6b 3·b 2a ，结果是( ) A ．a5b5 B ．a4b5 C ．ab5D ．a5b63. 当x ＝3时下列各式中值为0的是( )A.x －9x2－9B.1x －3C.x －3x ＋3D.x ＋3x －34. 下列分式中，最简分式是 ( ) A . B .C .D .5. 若△÷a2－1a ＝1a －1，则“△”可能是( ) A.a ＋1aB.aa －1C.a a ＋1D.a －1a6. 一辆货车送货上山，并按原路下山.上山速度为a 千米/时，下山速度为b 千米/时，则货车上、下山的平均速度为多少千米/时 ( ) A .(a+b ) B .C .D .7. 计算16－a2a2＋4a ＋4÷a －42a ＋4·a ＋2a ＋4，其结果是( )A ．－2a ＋8B ．2C ．－2a －8D ．－28. 已知=，则的值为 ( ) A .B .C .D .9. （2020·随州）xx x 214222-÷-的计算结果为（） A.2+x x B.22+x x C.22-x xD.)2(2+x x10. 若m+n -p=0，则m -+n --p +的值是 .二、填空题（本大题共10道小题）11. 当x ＝________时，分式x －22x ＋5的值为0.12. 若a ＝2b ≠0，则a 2－b 2a 2－ab 的值为________．13. （2020·昆明）要使15+x 有意义，则x 的取值范围是 .14. （2020台州）计算的结果是．15. （2020·黄冈）计算：221y x x y x y ??÷- ?-+??的结果是________．16. 分式32（x ＋1），2x －15（x －1），2x ＋1x2－1的最简公分母是________________.17. 已如m +n =-3，则分式22(2)m n m n n m m+--÷-的值是____________.18. 要使x ＋52x ＋1＝（x ＋5）（3m ＋2）（2x ＋1）（7－2m ）成立，则m ＝________．19. 已知a ≠0，S 1=-3a ，S 2=，S 3=，S 4=，…，S 2020=，则S 2020= .20. 观察下列各式:=1-=， +=1-+=，++=1-++=，…根据你发现的规律可得+++…+= .(n 为正整数)三、解答题（本大题共6道小题）21. 先化简，再求值:÷，其中x=.22. 观察下列等式：1×12＝1－12，2×23＝2－23，3×34＝3－34，…… (1)猜想并写出第n 个等式；(2)证明你写出的等式的正确性．23. （2020·黑龙江龙东）先化简，再求值：（1），其中a ＝sin 30°．24. 约分：(1)15xy225y3z ； (2)12xy2＋9xyz 3x2y ； (3)m3－m 4m ＋4； (4)9a2＋24ab ＋16b23a ＋4b .25.x2－1x2－2x＋1先化简：xx＋3÷x2＋xx2＋6x＋9＋3x－3x2－1，再求当x＋1与x＋6互为相反数时代数式的值．26. 【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如:第一次:菜价3元/千克质量金额甲1千克3元乙1千克3元第二次:菜价2元/千克质量金额甲1千克元乙千克3元(1)完成上表;(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价=总金额÷总质量)【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n 元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m，n，a，b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价.比较的大小，并说明理由.【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1;如果水流速度为p时(p<v)，船顺水航行速度为(v+p)，逆水航行速度为(v-p)，所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验，比较t1，t2的大小，并说明理由.< p=""> 2021中考数学尖子生培优训练分式及其运算-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A【解析】先通分，化成同分母分式，然后再进行减法运算，即a2a－1－(a＋1)＝a2a－1－（a＋1）（a－1）a－1＝a2－（a2－1）a－1＝1a－1.2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】B[解析] ==，=，只有选项B是最简分式.5. 【答案】A[解析] △＝a2－1a·1a－1＝（a＋1）（a－1）a·1a－1＝a＋1a.6. 【答案】D[解析]设山路全程为1，则货车上山所用时间为，下山所用时间为，货车上、下山的平均速度==，故选D.7. 【答案】D[解析]16－a2a2＋4a＋4÷a－42a＋4·a＋2a＋4＝－（a＋4）（a－4）（a＋2）2·2（a＋2）a－4·a＋2a＋4＝－2.8. 【答案】D[解析] ∵=，∴=6.∴a+=5.∴a+2=25，即a2++2=25.∴=a2++1=24.∴=.9. 【答案】B【解析】本题考查了分式的除法、因式分解，解答过程如下：x x x 214222-÷-=)2(4222x x x -?-=)2()2)(2(2-?-+x x x x =22+x x .因此本题选B ．10. 【答案】-3[解析] 原式=-+---=+-.∵m+n -p=0，∴m -p=-n ，n -p=-m ，m+n=p. ∴原式=-1-1-1=-3.二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】2 【解析】根据题意得x －2＝02x ＋5≠0，解得x ＝2.12. 【答案】32 【解析】原式＝（a ＋b ）（a －b ）a （a －b ）＝a ＋b a ，∵a ＝2b≠0，∴原式＝2b ＋b 2b ＝32.13. 【答案】x ≠-1【解析】本题考查了分式有意义的条件.解答过程如下：∵15+x 有意义，∴x +1≠0，∴x 的取值范围是x ≠-1．14. 【答案】解：．故答案为：．15. 【答案】1x y-【解析】本题考查了分式的混合运算，涉及到因式分解、分式加减、分式乘除等考点．221y x x y x y ??÷- ?-+??=()()y x y x x y x y x y +-÷+-+=()()y x y x y x y y +?+-=1x y -，因此本题答案为1x y -．16. 【答案】10(x ＋1)(x －1) [解析] 因为x2－1＝(x ＋1)(x －1)，所以三个分式的最简公分母是10(x ＋1)(x －1)．17. 【答案】13【解析】222222()2()1.m n m n mnm m m m n m mn n m mm n m m m n m n +--=÷-+---=÷+=-?+=-+原式，把m +n =-3，代入，得原式=13.18. 【答案】1 [解析] 根据题意，得3m ＋2＝7－2m ，移项，得3m ＋2m ＝7－2，合并同类项，得5m ＝5，系数化为1，得m ＝1.19. 【答案】-[解析] S 1=-3a ，S 2==-，S 3==-3a ，S 4==-，…∴S 2020=-.20. 【答案】[解析]原式=1-+…+=1-=.三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】解:原式=·=. 当x=时，原式==+1.22. 【答案】思路分析：本题考查分式规律探究及分式运算，证明实质是分式的加减运算．这类问题的解题思维过程是：从特殊情况入手―→探索发现规律―→综合归纳―→猜想得出结论―→验证结论. 解题时要善于从所提供的数字信息中，寻找其共同之处．(1)解：猜想：n ×n n ＋1＝n －n n ＋1. (2)证明：右边＝n （n ＋1）－n n ＋1＝n 2n ＋1＝左边，即n ×n n ＋1＝n －nn ＋1.23. 【答案】解：当a ＝sin 30°时，所以a 原式??＝﹣124. 【答案】解：(1)15xy225y3z ＝5y2·3x 5y2·5yz ＝3x5yz.(2)12xy2＋9xyz 3x2y ＝3xy （4y ＋3z ）3xy·x ＝4y ＋3z x .(3)m3－m 4m ＋4＝m （m ＋1）（m －1）4（m ＋1）＝m （m －1）4.(4)9a2＋24ab ＋16b23a ＋4b ＝（3a ＋4b ）23a ＋4b ＝3a ＋4b.25. 【答案】解：原式＝x x ＋3·（x ＋3）2x （x ＋1）＋3（x －1）（x ＋1）（x －1）(2分)＝x ＋3x ＋1＋3x ＋1(3分) ＝x ＋6x ＋1.(4分) ∵由“x ＋1与x ＋6互为相反数”得(x ＋1)＋(x ＋6)＝0，解之得x ＝－3.5，(5分)∴原式＝－3.5＋6－3.5＋1＝2.5－2.5＝－1.(6分)26. 【答案】[解析](1)菜价2元/千克，买1千克菜的金额为2元;3元钱能买1.5千克菜. (2)根据“均价=总金额÷总质量”，甲均价=(3+2)÷(1+1)=2.5(元/千克); 乙均价=(3+3)÷(1+1.5)=2.4(元/千克).【数学思考】类比(2)，甲均价=(am+bm)÷(m+m)=(元/千克);乙均价=(n+n)÷=(元/千克).再作差比较大小.【知识迁移】采用类比的方法，根据时间=路程÷速度得，t1=，t2=，t1-t2=<0.解:(1)2;1.5.(2)根据“均价=总金额÷总质量”，得=(3+2)÷(1+1)=2.5(元/千克);=(3+3)÷(1+1.5)=2.4(元/千克).【数学思考】=(am+bm)÷(m+m)=(元/千克);=(n+n)÷=(元/千克).===≥0，∴≥.【知识迁移】t1<t2，理由如下:< p="">t1=，t2=，t1-t2=-=<0，故t1<t2.< p=""> </t2.<></t2，理由如下:<></v)，船顺水航行速度为(v+p)，逆水航行速度为(v-p)，所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验，比较t1，t2的大小，并说明理由.<>。
2021中考数学 尖子生培优训练 反比例函数及其应用 (含答案)
2021中考数学尖子生培优训练反比例函数及其应用一、选择题（本大题共10道小题）1. 已知反比例函数y=-，下列结论:①图象必经过(-2，4);②图象在二、四象限内;③y随x的增大而增大;④当x>-1时，y>8.其中错误的结论有()A.3个B.2个C.1个D.0个2. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，3)，(3，0)，∠ACB=90°，AC=2BC，函数y=(k>0，x>0)的图象经过点B，则k的值为()A.B.9 C.D.3.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是( )A. v＝320tB. v＝320t C. v＝20t D. v＝20t4. 反比例函数y＝－1 x的图象上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若x1<0<x2，则下列结论正确的是( )A. y1<y2<0B. y1<0<y2C. y1>y2>0D. y1>0>y25. （2020·内江）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（）A. B. C. 3 D. 46. (2019·江西)已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2，4)，下列说法正确的是A．反比例函数y2的解析式是y2=–B．两个函数图象的另一交点坐标为(2，–4)C．当x<–2或0<x<2时，y1<y2D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大7. 如图，A、B两点在反比例函数y＝k1x的图象上，C、D两点在反比例函数y＝k2x的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF＝103，则k2－k1＝( )A. 4B. 143 C.163 D. 68. 如图，函数y=的图象所在坐标系的原点是()A.点MB.点NC.点PD.点Q9. （2020·淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的R t△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y的图象上，则k的值为（）A．36 B．48 C．49 D．6410. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点是线段上一点，过点C作轴，垂足为D，轴，垂足为E，．若双曲线经过点C，则k的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10道小题）11. 已知反比例函数y＝k x(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是________(写一个即可)．12. 反比例函数y=的图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q.若点Q也在该函数的图象上，则k=.13. （2020·安顺）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为.14.如图，过原点O的直线与反比例函数y1、y2的图象在第一象限内分别交于点A、B，且A为OB的中点．若函数y1＝1x，则y2与x的函数表达式是________．15. 双曲线y＝m－1 x在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．16. (2019·贵州安顺)如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=(x>0)及y2=(x>0)的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k1﹣k2=__________．17. 如图，点A为函数y＝9x(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝1x(x＞0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为_______ _．18. 如图，已知点A(2，3)和点B(0，2)，点A在反比例函数y＝k x的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为________．19. （2019•福建）如图，菱形ABCD顶点A在函数y=（x＞0）的图象上，函数y=（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB= 2，∠BAD=30°，则k=__________．20. 如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝k1x(x＞0)及y2＝k2x(x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝__________．三、解答题（本大题共6道小题）21. 如图，一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，a)和B两点，与x轴交于点C.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标.22.如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(2，5)在反比例函数y＝k x的图象上，一次函数y＝x＋b的图象经过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B.(1)求k和b的值；(2)设反比例函数值为y1，一次函数值为y2，求y1>y2时x的取值范围．23.在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10.你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1，2)，AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=的图象相交于A，P两点.(1)求m，n的值与点A的坐标;(2)求证:△CPD∽△AEO;(3)求sin∠CDB的值.25. 如图，在直角坐标系中，直线y＝－12x与反比例函数y＝kx的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3.(1)求反比例函数的表达式；(2)将直线y＝－1 2x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．26. (2019·浙江金华)如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y(k>0，x>0)的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD=2．(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；(3)平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．2021中考数学尖子生培优训练反比例函数及其应用-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B[解析]将(-2，4)代入y=-成立，①正确;k=-8<0，所以反比例函数的图象在二、四象限，②正确;双曲线在每一象限内y随x的增大而增大，③错误;当-1<x<0时，y>8，④错误，所以错误的结论有2个，故选B.2. 【答案】D[解析]过B作BD⊥x轴，垂足为D.∵A，C的坐标分别为(0，3)，(3，0)，∴OA=OC=3，∠ACO=45°，∴AC=3.∵AC=2BC，∴BC=.∵∠ACB=90°，∴∠BCD=45°，∴BD=CD=，∴点B的坐标为.∵函数y=(k>0，x>0)的图象经过点B，∴k==，故选D.3. 【答案】B【解析】∵由题意可得路程s＝80×4＝320，∴v＝320 t.4. 【答案】D 【解析】根据反比例函数的性质或者利用特殊值法即可作出选择．方法一：∵反比例函数y＝－1 x中k＝－1＜0，∴当x＜0时，y＞0；当x＞0时，y＜0.又∵x1＜0＜x2，∴y1＞0＞y2 .故选D.方法二：令x1＝－1，则y1＝1，令x2＝1，则y2＝－1，∴y1＞0＞y2.5. 【答案】D【解析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出，即可得出结论．∵点A的坐标为（m，2n），∴，∵D为AC的中点，∴D（m，n），∵AC⊥轴，△ADO的面积为1，∴，∴，∴，因此本题选D．6. 【答案】C【解析】∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2，4)，∴正比例函数y1=2x，反比例函数y2=，∴两个函数图象的另一个交点为(–2，–4)，∴A，B选项错误；∵正比例函数y 1=2x 中，y 随x 的增大而增大，反比例函数y 2=中，在每个象限内y 随x 的增大而减小，∴D 选项错误， ∵当x <–2或0<x <2时，y 1<y 2，∴选项C 正确， 故选C ．7.【答案】A【解析】设E (x 1，0)，F (x 2，0)，则A (x 1，k1x1)，D (x 2，k2x2)，B (x 2，k1x2)，C (x 1，k2x1)，∴AC ＝k1－k2x1＝2，BD ＝k2－k1x2＝3，∴k 1－k 2＝2x 1，k 2－k 1＝3x 2，∴2x 1＋3x 2＝0，又∵EF ＝x 2－x 1＝103，∴x 2＝43，∴k 2－k 1＝3x 2＝3×43＝4.8. 【答案】A[解析]∵函数y=(x>0)与y=-(x<0)的图象关于y 轴对称，∴直线MP 是y 轴所在直线，∵两支曲线分别位于一、二象限， ∴直线MN 是x 轴所在直线， ∴坐标原点为M.9. 【答案】过P 分别作AB 、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D 、E ，如图，∵A （0，4），B （3，0），∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB 5，∵△OAB 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ， ∴PE ＝PC ，PD ＝PC ，∴PE ＝PC ＝PD ， 设P （t ，t ），则PC ＝t ，∵S △P AE +S △P AB +S △PBD +S △OAB ＝S 矩形PEOD ， ∴t ×（t ﹣4）5×tt ×（t ﹣3）3×4＝t ×t ，解得t ＝6， ∴P（6，6），把P （6，6）代入y得k ＝6×6＝36．故选：A．10. 【答案】A【解析】在平面直角坐标系中，轴，轴，∴△BEC∽△CDA.∵直线，∴A(2,0),B（0,3）.∵,∴.∴CD=1，.∴.故选A.二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】－2(答案不唯一)【解析】根据反比例函数的图象在二、四象限，则k＜0，如k＝－2(答案不唯一)．12. 【答案】6[解析]∵P(2，n)向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q(3，n-1)，且点P，Q均在反比例函数y=的图象上，∴∴-1=，解得k=6.13. 【答案】3【解析】在反比例函数中，.由k的几何意义，可得四边形OBAC的面积为3.14. 【答案】y2＝4 x【解析】设y2与x的函数关系式为y2＝kx，A点坐标为(a，b)，则ab＝1.又A点为OB的中点，因此，点B的坐标为(2a，2b)，则k＝2a·2b＝4ab＝4，所以y2与x的函数关系式为y 2＝4x .15.【答案】m ＜1【解析】∵在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，∴双曲线在二、四象限内，∴在函数y ＝m －1x 中，m －1＜0，即m ＜1.16. 【答案】8【解析】根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOP 的面积为k 1，△BOP 的面积为k 2，∴△AOB 的面积为k 1﹣k 2，∴k 1﹣k 2=4，∴k 1﹣k 2=8，故答案为8．17.【答案】6 【解析】设A 点的坐标为(a ，9a )，直线OA 的解析式为y ＝kx ，于是有9a ＝ka ，∴k ＝9a2，直线为y ＝9a2x ，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝9a2x y ＝1x ，解得B 点的坐标为(a 3，3a )，∵AO ＝AC ，A(a ，9a )，∴C(2a ，0)，∴S △ABC ＝S △AOC －S △BOC ＝12×2a×9a －12×2a×3a ＝9－3＝6.18.【答案】(－1，－6)【解析】如解图，因为点A 的坐标为(2，3)，点A 在反比例函数y ＝kx的图像上，所以代入可得k ＝6，因为点B 的坐标为(0，2)则易得直线AB 的解析式为y ＝12x ＋2.其与x 轴的交点坐标为D(－4，0)．过点A 作AF ⊥AB 交x 轴于点F ，则∠DAE＝∠FAE ＝45°.易得AD ＝35，因为AF AD ＝BO DO ＝12，所以AF ＝352，DF ＝352·5＝152，所以OF ＝72.设AC 与x 轴交于点E(m ，0)，则DE AD ＝EF AF ，即m ＋435＝72－m 325，解得m ＝1，所以点E 的坐标为(1，0)，则直线AE 的解析式为y ＝3x －3，联立直线AE 与双曲线得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝6x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－6，即点C 的坐标为(－1，－6)．19. 【答案】6+2【解析】连接OC ，AC ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，延长DA 与x 轴交于点F ，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，∵函数y =（k ＞3，x ＞0）的图象关于直线AC 对称，∴O 、A 、C 三点在同直线上，且∠COE =45°，∴OE =AE ， 不妨设OE =AE =a ，则A （a ，a ）， ∵点A 在反比例函数y =（x ＞0）的图象上，∴a 2=3，∴a =，∴AE =OE =，∵∠BAD =30°，∴∠OAF =∠CAD =∠BAD =15°，∵∠OAE =∠AOE =45°，∴∠EAF =30°，∴AF ==2，EF =AE tan30°=1，∵AB =AD =2，∴AF =AD =2，又∵AE ∥DG ，∴EF =EG =1，DG =2AE =2，∴OG =OE +EG =+1，∴D （+1，2），∴k =2×（+1）=6+2．故答案为：6+2．20. 【答案】4 【解析】∵反比例函数y 1＝k1x(x ＞0)及y 2＝k2x (x ＞0)的图象均在第一象限内，∴k 1＞0，k 2＞0，∵AP ⊥x 轴，∴S △OAP ＝12k 1，S △OBP ＝12k 2，∴S △OAB ＝S △OAP －S △OBP ＝12(k 1－k 2)＝2，解得k 1－k 2＝4.三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】解:(1)∵A (1，a )在y=-x +3的图象上， ∴a=-1+3=2，把A (1，2)代入y=中，得k=2， ∴反比例函数解析式为y=. (2)∵点P 在x 轴上，∴设P (m ，0)， ∵S △APC =PC ×2，∴5=PC ×2，∴PC=5. ∵y=-x +3，当y=0时，x=3，∴C (3，0)， ∴m -3=5或3-m=5，即m=8或-2， ∴点P 的坐标为(8，0)或(-2，0).22. 【答案】解：(1)把点A(2，5)代入反比例函数的解析式y ＝k x ，∴k ＝xy ＝10，把(2，5)代入一次函数的解析式y ＝x ＋b ，(2分) ∴5＝2＋b ， ∴b ＝3.(3分)(2)由(1)知k ＝10，b ＝3，∴反比例函数的解析式是y ＝10x ， 一次函数的解析式是y ＝x ＋3.解方程x ＋3＝10x ，(4分) ∴x 2＋3x －10＝0，(5分) 解得x 1＝2(舍去)，x 2＝－5， ∴点B 坐标是(－5，－2)，∵反比例函数的值大于一次函数值，即反比例函数的图象在一次函数图象上方时，x 的取值范围，∴根据图象可得不等式的解集是x ＜－5或0＜x ＜2.(6分)23. 【答案】【思维教练】(1)①由题干条件知矩形的面积相等，可得矩形的长×宽等于定值，所以y 关于x 的函数表达式是反比例函数；②将y 的值带入反比例函数解析式中，求出x 的求值范围即可；(2)设长为x ，用含长的代数式表示出宽，得出关于面积的分式方程，化为一元二次方程，再根据根的判别式即可判断圆圆和方方说法的正误．解：(1)①由题意得，1×3＝xy ，∴y ＝3x (x>0)；(2分) ②∵由已知y≥3， ∴3x ≥3，∴0<x≤1，∴x 的取值范围是0<x≤1；(4分)(2)圆圆的说法不对，方方的说法对．理由：∵圆圆的说矩形的周长为6，∴x ＋y ＝3，∴x ＋3x ＝3，化简得，x 2－3x ＋3＝0， ∴Δ＝(－3)2－4×1×3＝－3<0，方程没有实数根， 所以圆圆的说法不对；(6分)方方的说矩形的周长为10，∴x ＋y ＝5，∴x ＋3x ＝5， 化简得，x 2－5x ＋3＝0，(8分) ∴Δ＝(－5)2－4×1×3＝13>0，∴x ＝5±132， ∵x>0，∴x ＝5＋132，y ＝5－132， 所以方方的说法对．(10分)24. 【答案】解:(1)将点P (-1，2)的坐标代入y=mx ， 得:2=-m ，解得m=-2， ∴正比例函数解析式为y=-2x ;将点P (-1，2)的坐标代入y=，得:2=-(n -3)，解得:n=1， ∴反比例函数解析式为y=-.解方程组得∴点A的坐标为(1，-2).(2)证明:∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，∴∠CPD=90°，∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE.∵AB⊥x轴，∴∠AEO=∠CPD=90°，∴△CPD∽△AEO.(3)∵点A的坐标为(1，-2)，∴AE=2，OE=1，AO==.∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP=∠AOE，∴sin∠CDB=sin∠AOE===. 25. 【答案】解：(1)∵点A的纵坐标是3，当y＝3时，3＝－12x, 解得x＝－6，∴点A的坐标为(－6，3)，(1分)把A(－6，3)代入y＝kx，得3＝k－6，解得k＝－18，∴反比例函数的解析式为y＝－18x.(3分)解图(2)如解图，连接CO，∵A，B关于原点对称，∴AO＝BO，∴S △AOC ＝12S △ABC ＝24.(4分)作CF ⊥x 轴于点F ，AE ⊥x 轴于点E ，则S △CFO ＝S △AEO ＝12AE·EO ＝12×3×6＝9，S △AOC ＝S 梯形AEFC ＝24.设C(x ，－18x )，则有（3－18x ）（x ＋6）2＝24，(5分)整理得x 2－16x －36＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝18(舍去)， ∴C(－2，9)，(7分)设y ＝－12x 平移后的解析式为y ＝－12x ＋b ，把C(－2，9)代入上式得， 9＝1＋b ， 解得b ＝8，∴平移后的直线的函数表达式为y ＝－12x ＋8.(8分)26. 【答案】(1)点A 在该反比例函数的图象上，理由见解析；(2)Q 点横坐标为；【解析】(1)点A 在该反比例函数的图象上，理由如下： 如图，过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，∵P 是正六边形ABCDEF 的对称中心，CD =2， ∴BP =2，G 是CD 的中点， ∴PG ， ∴P (2，)，∵P 在反比例函数y 上，∴k =2，∴y，由正六边形的性质，A(1，2)，∴点A在反比例函数图象上；(2)由题易得点D的坐标为(3，0)，点E的坐标为(4，)，设直线DE的解析式为y=ax+b，∴，∴，∴y x﹣3，联立方程，解得x(负值已舍)，∴Q点横坐标为；(3)A(1，2)，B(0，)，C(1，0)，D(3，0)，E(4，)，F(3，2)，设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为∴A(1﹣m，2n)，B(﹣m，n)，C(1﹣m，n)，D(3﹣m，n)，E(4﹣m，n)，F(3﹣m，2n)，①将正六边形向左平移两个单位后，E(2，)，F(1，2)；则点E与F都在反比例函数图象上；②将正六边形向左平移–1个单位，再向上平移个单位后，C(2，)，B(1，2)，则点B与C都在反比例函数图象上；③将正六边形向左平移2个单位，再向上平移–2个单位后，B(﹣2，)，C(﹣1，﹣2)；则点B与C都在反比例函数图象上．。
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2021中考数学尖子生培优数与式专题一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列整数中，与最接近的整数是()A.3B.4C.5D.62. 下列二次根式是最简二次根式的是()A.B.C.D.3. 分式12a2b与1ab2的最简公分母是()A．ab B．2a2b2 C．a2b2 D．2a3b34. 计算(－a－b)2的结果是( )A．a2＋b2B．a2＋2ab＋b2C．a2－b2D．a2－2ab＋b25. 下列运算正确的是( )A．－2(3x－1)＝－6x－1B．－2(3x－1)＝－6x＋1C．－2(3x－1)＝－6x－2D．－2(3x－1)＝－6x＋26. 下列交换加数位置的变形中，正确的是( )A．1－4＋5－4＝1－4＋4－5B．1－2＋3－4＝2－1－4－3C．5.5－4.2－2.5＋1.2＝5.5－2.5＋1.2－4.2D．13＋2.3－5－4.3＝13＋5－2.3－4.37. 4张长为a，宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2.若S1=2S2，则a，b 满足()A .2a=5bB .2a=3bC .a=3bD .a=2b8. （2020·临沂）计算11x y x y ---的结果为（ ） A.(1)(1)x y x y -+-- B.(1)(1)x y x y --- C.(1)(1)x y x y ---- D.(1)(1)x y x y +--9. 观察下列等式:70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+…+72019的结果的个位数字是 ( ) A .0 B .1 C .7D .810. 若把分式3xyx －y(x ，y 均不为0)中的x 和y 的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( )A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．不变D ．扩大为原来的6倍二、填空题（本大题共8道小题）11. （2020·武威）要使分式有意义，x 需满足的条件是 ．12. 分解因式a 3-4a的结果是 ______________.13. 计算:-÷= .14. （2020·宜宾）分解因式：a 3﹣a ＝．15. 已知:[x ]表示不超过x 的最大整数.例:[4.8]=4，[-0.8]=-1.现定义:{x }=x -[x ]，例:{1.5}=1.5-[1.5]=0.5，则{3.9}+{-1.8}-{1}= .16. 若关于x 的分式方程=a 无解，则a 的值为 .17. 观察如图所示的“蜂窝图”：则第n (n 是正整数)个图案中“”的个数是________．(用含n 的式子表示)18.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n (n 是正整数)个图案中有________个涂有阴影的小正方形．(用含n 的式子表示)三、解答题（本大题共8道小题）19. 化简:（a -32－a +32）·（a 2－4）20. 解方程：(1)(x －1)(1＋x )－(x ＋2)(x －3)＝2x －5； (2)5x (x ＋2)－(x ＋1)(x －1)＝4(x 2－6)．21. （2020·乐山）已知：y ＝2x ，且x ≠y ，求(1x －y ＋1x ＋y )÷x 2yx 2－y 2．22.小明从家里出发骑车到公园去玩，当他意识到骑过头的时候，已经走了4.5km ，他又往回骑了1.2 km 才到达目的地． (1)列算式求出小明家离公园有多远； (2)求小明骑车行驶的总路程．23.阅读理解阅读材料：因为|x |＝|x －0|，所以|x |的几何意义可解释为数轴上表示数x 的点与表示数0的点之间的距离．这个结论可推广为：|x 1－x 2|的几何意义是数轴上表示数x 1的点与表示数x 2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)等式|x －2|＝3的几何意义是什么？这里x 的值是多少？ (2)等式|x －4|＝|x －5|的几何意义是什么？这里x 的值是多少？ (3)式子|x －1|＋|x －3|的几何意义是什么？这个式子的最小值是多少？24. 阅读材料，并完成下列问题:观察分析下列方程:①x+=3，②x+=5，③x+=7. 由①，得方程的解为x=1或x=2， 由②，得方程的解为x=2或x=3， 由③，得方程的解为x=3或x=4.(1)观察上述方程及其解，可猜想关于x 的方程x+=a+的解为 ; (2)请利用你猜想的结论，解关于x 的方程=a+.25. 分解因式：()()2121510n na ab ab b a +---(n 为正整数)26. 分解因式：212146n m n m a b a b ++--(m、n 为大于1的自然数)2021中考数学 尖子生培优 数与式专题-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】B[解析] 原式＝(－a)2－2·(－a)·b ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.5. 【答案】D6. 【答案】C7. 【答案】D[解析]S 1=b (a +b )×2+ab ×2+(a -b )2=a 2+2b 2，S 2=(a +b )2-S 1=(a +b )2-(a 2+2b 2)=2ab -b 2. ∵S 1=2S 2，∴a 2+2b 2=2(2ab -b 2)，整理，得(a -2b )2=0，∴a -2b=0，∴a=2b.故选D .8. 【答案】A【解析】根据异分母分数加减法的法则先进行通分，然后计算即可，如下：(1)(1)11(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y x y y x x y x y y x xy x xy y y x y x y x ---=-==----------++---所以选A.9. 【答案】A[解析]根据70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，可知个位数字的变化周期为4，相邻的四个数和的个位数字为0.∵2020÷4=505，故70+71+…+72019的结果的个位数字是0，故选项A 正确.10. 【答案】A[解析] 由题意得3·3x·3y 3x －3y ＝3·9xy 3（x －y ）＝3·3xyx －y，所以分式的值扩大为原来的3倍．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1，故答案为x≠1．12. 【答案】a（a＋2）（a－2）【解析】a3-4a=a（a²－4）＝a（a＋2）（a－2）13. 【答案】-14. 【答案】a（a+1）（a﹣1）【解析】先提取公因式a，再运用平方差公式进行分解，a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a （a+1）（a﹣1）．15. 【答案】1.1[解析]根据题意可得:{3.9}+{-1.8}-{1}=3.9-3-1.8+2-1+1=1.1，故答案为:1.1.16. 【答案】-1或1[解析] 解分式方程=a，得x=.因为分式方程无解，所以x=-1或a=1.所以x==-1或a=1.所以a=-1或a=1.17. 【答案】3n＋1 [解析]根据题意可知，第1个图案中有4个“”，第2个图案中有7个“”，第3个图案中有10个“”，第4个图案中有13个“”，由此可得出后一个图案都比前一个图案多3个“”，所以第n个图案中“”的个数为4＋3(n－1)＝3n＋1.故答案为3n＋1.18. 【答案】(4n＋1) [解析] 第1个图中有5个阴影小正方形，从第2个图起，每个图中的阴影小正方形个数都比前一个图中多4，所以第n(n为正整数)个图中阴影小正方形的个数＝5＋4(n－1 )＝4n＋1.三、解答题（本大题共8道小题）19. 【答案】解：原式＝a a a a +--+（32）-3（2）（2）（2）·（a ＋2）（a －2）＝3a ＋6－3a ＋6＝12．20. 【答案】解：(1)(x －1)(1＋x)－(x ＋2)(x －3)＝2x －5，x 2－1－(x 2－x －6)＝2x －5， x 2－1－x 2＋x ＋6－2x ＋5＝0， －x ＋10＝0， x ＝10.(2)5x(x ＋2)－(x ＋1)(x －1)＝4(x 2－6)， 5x 2＋10x －x 2＋1＝4x 2－24， 10x ＝－25， x ＝－2.5.21. 【答案】解：原式＝ ＝＝，∵，∴ ，∴原式＝＝.22. 【答案】[解析] 把从家向公园行驶的方向记为正，则小明两次行驶的路程分别为＋4.5km ，－1.2km ，它们的和就是小明家与公园的路程，它们的绝对值的和就是小明行驶的总路程．解：(1)把从家向公园行驶的方向记为正，由题意，得(＋4.5)＋(－1.2)＝3.3(km)．答：小明家离公园3.3 km.(2)|＋4.5|＋|－1.2|＝4.5＋1.2＝5.7(km)． 答：小明骑车行驶的总路程是5.7 km.23. 【答案】解：(1)等式|x －2|＝3的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点之间的距222))((2y x y x y x y x x -÷-+y x y x y x x 222222-⨯-xy 2x y 2=2=xy 221离等于3.这里x 的值是－1或5.(2)设数轴上表示数x ，4，5的点分别为P ，A ，B ，则等式|x －4|＝|x －5|的几何意义是点P 到点A 的距离等于点P 到点B 的距离．这里x 的值是412.(3)设数轴上表示数x ，1，3的点分别为P ，M ，N ，则式子|x －1|＋|x －3|的几何意义是点P 到点M 的距离与点P 到点N 的距离的和．结合数轴可知，当1≤x≤3时，式子|x －1|＋|x －3|的值最小，最小值是2.24. 【答案】解:(1)x=a 或x= (2)=a+， 则=a+， 即x+=a+， 变形为(x-1)+=(a-1)+，所以x-1=a-1或x-1=， 解得x=a 或x=.25. 【答案】()()2535na ab a b --【解析】原式()()()()()()212221510532535n n n na ab ab a b a a b a b b a a b a b +=---=---=--⎡⎤⎣⎦ 注意整体思想的运用！26. 【答案】2112(23)n m n a b a b +---【解析】(21)(2)10n n n +-+=->，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++-+---=-。