福建专升本高等数学考点归纳

★★★★★为必考题，星越少考的可能性越小 第一部分 函数、极限与连续 考点1定义域★★★★ 【2013】1、函数()2421

x x

x f -+-=

的定义域是（） 【2014】11.

函数()ln(1)f x x =-的定义域是

【2015】11．

函数()()

2

1ln x x f -=的连续区间为 .

【2016】1.

函数()ln(2)f x x =-的定义域是（ ） 考点2 对应关系★★★

【2013】11、设()()()2,21-+=+x f x x x f = 【2014】函数()f x 与()g x 相同的是【 】

2

.(),()x A f x g x x x

==

.(),()B f x g x x

=

= 2

2

.()sin cos ,()1C f x x x g x =+=

2

.()

,()

D f x x

g x x

==

【2015】1．若()()()=??

?

??≥<≤--<-=2,2,1,22,0,

2,1f f x x x x f 则【 】 考点3 反函数★★

【2016】2.在同一平面直角坐标系中，函数()y f x =与其反函数1

()y f x -=的图像关于

（ ）

.A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 直线y=x 对称 .D O 原点对称

【2017】1.函数()()2()1,1

x

f x x x =

∈+∞-则1(3)f -=（ ） .1A 3

.2

B .2

C .3D

考点4 无穷小的比较★★★★★

【2013】3.当x →0时，1-cos x 是tan x 的（） A.高阶无穷小 B.同阶无穷小，但非等价无穷小 C.低阶无穷小

D.等价无穷小

【2014】2.当x →0时，下列无穷小与x 等价的是（）

.tan A x .1c o s B x - 2.C x x - .21x

D -

【2015】2．当x →0时，无穷小tan2x 是x 的【 】 A ．高阶无穷小 B ．低阶无穷小

C ．等价无穷小

D ．同阶非等价无穷小

【2016】3.当0x →时，下列函数中为无穷小的是（ ）

.2A x + 2.B x ()2

.2C x + .2x D

【2017】3.当x →∞时，函数()f x 与

2x

是等价无穷小，则极限()lim x xf x →∞的值是（ ） 1

.2

A .1

B .2

C .4

D 考点5 两个重要极限★★★★★

【2013】12.极限x

x x 3321lim ??

? ??

-∞→=

【2014】12.极限2lim 1x

x x →∞

??

-= ???

【2014】3.下列极限运算正确的是（ ）

sin .lim

1x x A x →∞= 0s i n .l i m 0x x B x →= 1.l i m

s i n 1x C x x →∞= 01

.l i m s i n 1x D x x

→= 【2015】12.极限()=--→1

1sin lim

21x x x . 【2015】3．下列各式中正确的是【 】

A ．

B ．()22

1lim e x x x =+∞→ C ．2021lim e x x

x =??

? ??++→ D ．()e x x

x =+→1lim 0

【2017】5.已知下列极限运算正确的是（ ）

2

1.lim 1n A e n →∞??+= ???

1.l i m 02n n B →∞

= s i n .l i m 1n n C n →∞= .l i m n n n D e →∞=∞ 【2016】5.已知下列极限运算正确的是（ ）

()1

.lim 1n

n A n e →∞+= ()1.l i m 1n

n B n e →∞-= 0s i n .l i m 0x x C x →= 0s i n .l i m 1x x

D x

→= 考点6 求极限（至少一个大题）★★★★★

e x

x x 221lim =??

? ??+∞→

【2013】

21.求极限???

?

?-→320sin 1lim x x x x

【2014】17.求极限01cos lim

1x

x x e →--

【2015】17.求极限x

x

x 211cos 1lim

0+--→.

【2016】17.求极限201cos lim

3x x x →-

【2017】17.求极限211

2lim -x-1x -1x →??

???

考点7 连续性★★★★★

【2013】22.已知函数()???

?

???<+=>=0,0,0,1sin 3

x e a x b x x x x f x ,在0=x 处连续，求b a ,的值.

【2014】18.已知函数,0

()1,0

x ae x f x x ?≠=?=?在点0x =处连续，求a 的值

【2015】18.已知函数()?????=∈≠+=02,,,sin 2x Z k k x x

ax x x f ，

π在点x=0处连续，求a 的值.

【2016】12.函数32,0

()2,0x x f x a x +>?=?≤?，在点0x =处连续，则常数a =

【2017】11.函数0

00(),lim ()3,()=x x f x x f x f x -

→=在处连续则 【2017】12.函数22,0

()sin ,0x x f x ax x x

?+>?

=?≤??，在R 上连续，则常数a =

【2017】2.方程31x x =-至少存在一个实根的开区间是（ ）

().1,0A - ().0,1B ().1,2C ().2,3D

【2014】25．已知函数()f x 在[0,1]上连续，对任意的[]

0,1x ∈有()f x x ≠，

试判断是否存在[]

12,0,1x x ∈使得，11()f x x >且22()f x x <，并说明理由。

考点8 间断点★★

【2013】4.x=0是函数()x

x f 1cos =的（） A.可去间断点

B.跳跃间断点

C.无穷间断点

D.振荡间断点

【2016】4.已知函数()25

4

x f x x -=

-时，则()f x 的间断点的个数是（ ） .0A .1B .2C .3D

其他

【2013】2. 函数f(x)在x=x 0处有定义是极限()x f x

x lim 0

→

存在的（） A. 必要非充分条件 B.充分非必要条件

C.充分且必要条件

D.既非充分又非必要条件

【2016】11.函数2

()sin ,()2f x x g x x ==+，则复合函数(())g f x = 第二部分 导数与微分

考点1导数的定义★★★ 【2013】13.设()()()h

f h f f 411lim

,41'0

h --=→则=

【2014】10．函数()f x 在点1x =处可导，且()

1lim

21

x f x x →=-，则(1)f 【 】 A ． 1-

B ．0

C ．1

D ．2 【2013】5.函数f(x)=|x|在x=0 处（） A.不连续

B.连续

C.可导

D.可微

考点2 求导（一阶、高阶）、微分★★★★★ 【2013】6.函数x

y 2=的2013阶导数是)2013(y （）

A.()

20112ln 2x

B.()

20122ln 2x

C.()

20132ln 2x

D ．()

2014

2ln 2x

【2014】5．曲线()5x

f x x e =+，(1)f ''=【 】 A ．1

B ．e

C ．5

D ．5e +

【2015】4．函数e

x

y 2015=的一阶导函数='y 【 】 A ． e 2015x

B ．2015xe 2015x

C ．2015e 2015x

D ．2015e x

【2016】6．设函数x

y e -=则dy =【 】

.x A e dx -- .x B e d x - .x C e d x .x

D e d x

- 【2013】23.已知函数()x e

y x

ln sin 2=,求dy .

【2017】

18.(ln y y x '=已知求。

考点3 切线方程★★★★★

【2013】14.曲线?

??==t y t x sin 2cos ，()π20≤≤t ,过点），（2,22

的切线方程是

【2014】20.求曲线2

1x y y =+-在点(1,1)处的切线方程

【2015】13.曲线?

??==t

e y t x 3

在t=1处的切线方程是 . 【2017】19.曲线2+3y

x y e +=上的纵坐标y 0=的点处的切线方程.

考点4 隐含数求导★★★★★

【2013】24.已知函数()

x f y =由方程x

ye x y +=22所确定，求'y . 【2014】20.求曲线2

1x y y =+-在点(1,1)处的切线方程

【2015】19.已知函数()x y y =由方程2

2x xy e y

=+确定，求()x y '.

【2016】19.已知函数()

x f y =由方程y

x y e +=所确定，求'y . 【2017】19.曲线2+3y

x y e +=上的纵坐标y 0=的点处的切线方程. 考点5 参数求导★★

【2015】13.曲线???==t

e y t x 3

在t=1处的切线方程是 . 【2014】13．已知函数2121x t y t ?=?

??=+?

则dy dx =

第三部分 导数的应用

考点1 中值定理★★★★★

【2013】16.函数x

e y 2=在闭区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的ξ= 【2014】6．函数()2

()1f x x =-满足罗尔定理条件的区间【 】 A ． [1,3]-

B ．[2,0]-

C ．[1,1]-

D ．[0,3]

【2015】6．下列函数在区间［-1,1］上满足罗尔中值定理所有条件的是【 】 A ．y=2x+1

B ．y=|x|-1

C ．y=x 2 + 1

D ．y=

112

-x 【2017】4.已知函数()f x 在[a,b]上可导，且()()f a f b =，则()0f x '=在(a,b)内（ ） A.至少有一个实根 B.只有一个实根 C.没有实根 D.不一定有实根

【2017】9. 已知函数()f x 在R 上可导，则对任意x y ≠都()()f x f y x y -<-是

()1f x '<（ ）

.A 充要条件 .B 充分非必要 .C 必要非充分 .D 即不充分也不必要

考点 单调性、凹凸性★★★★★ 单调性、极值、最值★★★

【2015】10．设()c bx ax x x f +++=2

3

，0x 是方程()0=x f 的最小的根，则必有【 】

A ．()0'0

B ．()0'0>x f

C ．()0'0≤x f

D ．()0'0≥x f

【2017】6．已知函数()f x 在0x 处取得极大值，则有【 】

().0A f x '= ().0B f x ''<

()().00C f x f x '''=<且 ()()00.0D f x f x ''=或者不存在

【2017】24．设函数3

2

()23 1.0f x x kx k =-+>． （1）当1k =时，求()f x 在[0,2]上的最小值； 凹凸性、拐点★★

【2013】15.曲线()x x y -=32

的拐点是

【2017】13.曲线3

2

312

y x x =-+的凹区间为 两者综合

【2014】4．曲线2

()23f x x x =-+【 】 A ．在(,1]-∞单调上升且是凹的 B ．在(,1]-∞单调上升且是凸的

C ．在(,1]-∞单调下降且是凹的

D ．在(,1]-∞单调下降且是凸的

【2015】5．曲线x y 3

=

在区间()+∞,0上【 】

A ．单调上升且是凹的

B ．单调上升且是凸的

C ．单调下降且是凹的

D ．单调

下降且是凸的

【2016】7．如图所示，曲线()y f x =在区间[1,)+∞上【 】 A ．单调增加且是凸的 B ．单调增加且是凹的

C ．单调减少且是凹的

D ．单调减少且是凸的

考点 求最值★★★★

【2013】30.依订货方要求，某厂计划生产一批无盖圆柱形玻璃杯，玻璃杯的容积为16π立方厘米，设底面单位面积的造价是侧壁单位面积造价的2倍，问底面半径和高分别为多少厘米时，才能使玻璃杯造价最省？

【2014】24.已知某产品的收益函数3

2

()2314R x x x x =-++，成本函数()21C x x =+，其中x 为该产品的产量，问产量x 为多少时，利润()L x 最大，最大利润是多少？

【2015】25.设A 生活区位于一直线河AC 的岸边，B 生活区与河岸的垂足C 相距2km ，且A 、B 生活区相距29km.现需要再、在河岸边修建一个水厂D （如图所示），向A 、B 生活区供水.已知从水厂D 向A 、B 生活区铺设水管的费用分别是30万元/km 和50万元/km ，求当水厂D 设在离C 多少km 时，才能使铺设水管的总费用最省？

【2016】21.已知函数3

2

y x ax b =++的拐点为()1,1求常数,a b .

【2016】23.一厂家生产某种产品，已知产品的销售量q （单位：件）与销售价格p （单位：元/件）满足1

4202

p q =-

，产品的成本函数()30000100c q q =+，问该产品销售量q 为何值时，生产该产品获得的利润最大，并求此时的销售价格。

考点 证明题（单调性、导数的定义）大题★★★ 【2013】31.证明：当0

)2

1ln arctan 2x

x +<.

【2015】25．设函数()?????=≠+=.0,

0,

0,1sin 22x x x

x x

x f （1）证明()0=x x f 在处可导；

（2）讨论是否存在点0=x 的一个邻域，使得()x f 在该领域内单调，并说明理由. 【2016】25．设函数()||f x x x =．

（1）证明()0=x x f 在处可导，并求(0)f '； （2）讨论()x f 的单调性.

【2017】24．设函数3

2

()23 1.0f x x kx k =-+>． （1）当1k =时，求()f x 在[0,2]上的最小值； （2）若方程()0f x =有三个实根，求k 的取值范围性.

第四部分 积分（不定积分、定积分）

考点1 不定积分与导数的关系★★★★★

【2013】7.若函数()x f 的一个原函数是x ln , 则()x f '=（ ）

A ．2

1x -

B ．

2

1x

C ．

x

1

D ．x ln

【2014】7．若2()x f x dx e c =+?

，则()f x =【 】

A ． 2x e

B ．22x e

C ．

212

x

e c + D ．2x e c + 【2015】7．已知()()=+=?x

f C x dx x f 则,sin 【 】

A ．sinx

B ．-sinx

C ．cosx

D ．-cosx

【2016】13.函数()y f x =过点()1,2，且在任一点(),M x y 处的切线斜率为2x ，则该曲线的方程式

【2017】8.已知

()x f x dx xe c =+?

则()2f x dx =?是（ ）

2.x A xe c + .2x B xe c + 2.2x C xe c + .x

D x e c

+ 考点2 积分区间对称★★★★★ 【2013】18. ()

dx x x 3tan 2sin

52013

1

1+-?-=

【2014】14．定积分

11

cos x xdx -=?

【2015】14.()

=+-?dx x 3sin 21

1

5 . 【2016】8.积分

sin cos x xdx π

π-

?的值是（ ）

.1A - .0B .1C .2D

【2017】15.积分22

-

2

sin x xdx π

π

=?

考点3 变上限函数的导数★★★★ 【2013】17.设

()()

π

',cos 20f dt t x f x

则?==

【2014】16．函数()2

()2x

f x t

t dt =

+-?在1

[2,]2

-上的最小值点x =

【2015】16.记costdt t -0

）（）

（χχ

χ?=Φ，则)('χΦ= .

【2017】14.0

cos lim

x

x tdt x

→=?

考点4 广义积分★★★★ 无穷限积分★★★

【2013】8.使广义积分dx x

k 1

2

∞

+?发散的k 取值范围是( ) A.(-∞,2]

B.(-∞,1]

C. [2,+∞)

D. [1,+∞)

【2014】15．广义积分

2

1

1dx x

+∞

=+?

【2015】15.=∞-?dx e x

1 .

无界积分★

【2016】15.

积分1

?

【2016】14.如图所示，曲线()y f x =与直线

x 123,,A A A 的面积分别是2,3,4，则定积分()b

a

f x dx ?

考点5 求积分（不定积分，定积分）倾向于考定积分★★★★★ 【2013】25.求不定积分?

xdx x 2cos . 【2013】26.求定积分dx x x 2

1

01-?. 【2014】19.求定积分

1

0?

【2015】20.求定积分

dx x nx 111e +?.

【2016】20.求定积分1

0x xe dx

?

【2017】20.求定积分

?

考点6 求面积、求体积★★★★★ 【2013】29.已知由曲线x y =,直线6=+y x 以及x 轴所围成的平面图形为D ，

（1）求D 的面积；

（2） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 【2014】23. 设直线x y =与曲线2x y =所围成的平面图形为D ，

（1）求D 的面积；

（3） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

【2015】23.已知平面图形D 由曲线x

e y =，x y =，0=x ，1=x 围城. （1）求D 的面积A ；

（2）求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V. 【2016】24.设曲线cos 0,

2y x x π??

??=∈ ???????

与x 轴及y 轴所围成的平面图形为D 求： （1）D 的面积A

（2）D 绕x 轴旋转一周所得的体积V

【2017】23.设曲线2

2y x x y ==+与直线所围成的封闭图形为D 求： （1）D 的面积A

（2）D 绕y 轴旋转一周所得的体积V

第五部分 微分方程

考点1 二阶常系数线性微分方程的解★★★★

【2013】10.常微分方程03'2"=--y y y 的通解是=y ( ) A.()为任意常数,21321C C e C e

C x x

+

B.()为任意常数21321,C C e C e C x x

--+

C.()位任意常数21321,C C e

C e C x

x

-+

D.()为任意常数21321,C C e C e

C x x

+-

【2015】9．二阶常系数齐次线性微分方程06'''=-+y y y 的通解是【 】 A ．x x

e C e C y 2231--+=

B ．x x

e C e

C y 2231+=- C

．

x

x e C e C y 2231-+=

D ．x x

e C e

C y 2231+=

【2016】10．微分方程0y y ''-=的通解是【 】

A ． 12x x

y c e c e -=+

B ．()12x y c x c e =+

C ．x y ce =

D ．x

y ce -=

【2017】10．微分方程0y y '''-=的通解是【 】 A ． y x =

B ．x y e =

C ．x y x e =+

D ．x y xe =

考点 验证微分方程的解★★

【2014】9．函数若sin y x =满足【 】 A ． 0y y '-=

B ．0y y '+=

C ．0y y ''-=

D ．0y y ''+=

考点 一阶线性微分方程求解★★★★★ 【2013】20.常微分方程

y x e dx

dy

-=满足初始条件y(0)=0的特解是 考点 求一阶线性微分方程的解 【2013】 求常微分方程2

22'x

xe xy y -=+的通解

【2014】

22. 求常微分方程

3dy y

x dx x

-=的通解. 【2015】22. 求常微分方程x xy y 22'=+的通解. 【2016】22. 求常微分方程()10ydx x dy +-=的通解. 【2017】22. 求常微分方程1dy

y dx

+=的通解. 第六部分 空间解析几何 考点 对称★★★

【2013】9.在空间直角坐标系中，点（1,1,-1）关于原点的对称点是（ ） A.(-1,-1,1)

B.(-1,-1,-1)

C. (-1,1,-1)

D.(1,-1,1)

【2015】8．点（1，2，3）关于x 轴的对称点是【 】 A ．（-1，-2，-3）

B ．（1，-2，-3）

C ．（-1，2，-3）

D ．（-1，-2，3）

【2017】7．方程x=0表示的几何图形为【 】 A ．xoy 平面 B ．xoz 平面

C ．yoz 平面

D ．x 轴

考点 向量垂直、平行★★★★ 垂直

1

【2014】8.下列向量与向量{1,2,1}a =-垂直的是（ ） A.{-1,1,1}

B. {1,-1,1}

C. {1,1,-1}

D. {1,1,1}

【2016】16.直线

313225x y z k k -+-==+-与直线152

31x y z k

-++==垂直，则常数k = 【2017】16.直线{}{}1k 11,0k 向量，，与向量，垂直，则常数k =

一个向量同时垂直两个向量可以考虑叉积 ，常用于求直线与平面方程 向量平行

【2016】9.设a 与b 是两个非零向量，那么//a b 的充分必要条件值是（ ）

.0Aa b -= .0B a b += .0C a b ?= .0D a b ?=

一个向量平行另一个向量可以考虑直接取相等，常用于求直线与平面方程 考点：求直线或平面方程★★★★★

【2013】27.求同时垂直于平面09625:1=-+-z y x π和0123:2=-+-z y x π,且过点(3,-2,2)的平面方程。

【2014】21.已知点A(-1,1,2),点B(1,-1,1)两点，求过点C(2,0,2)且与向量AB 垂直的平面方程。

【2015】21.求过直线L ：1

2312z

y x =-=-与平面π：022=-++z y x 的交点，且与直线L 垂直的平面方程.

【2016】18.求过点A(1,-1,2)且与直线

321

121

x y z --+==-垂直的平面方程。 【2017】21.求平面2470x y z +-+=与直线

121

231

x y z --+==的交点坐标. 【2013】19.点（1，-1,0）到平面2x+2y-z-6=0的距离d=