新定义新运算
18．定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，
结果为n 2k （其中k 是使n 2k 为奇数的正整数），并且并且运算重复进行．例如：取n ＝26，则运算过程如图：那么当n ＝9时，第2019次“F 运算”的结果是_____________
18．在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），则向量
可用点P 的坐标表示为
＝（m ，n ）．己知＝（x 1，y 1），＝（x 2，y 2），若x 1x 2+y 1y 2＝0，则与
互相垂直．下面四组向量：①
＝（3，一9），＝（1，一）；②＝
（2，π0），
＝（2﹣1，﹣1）；③＝（cos30°，tan45°），＝（sin30°，
tan45°）；④＝（+2，），＝（﹣2，）．其中互相垂直的组有 ． 19．对于平面直角坐标系中任意两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|为M ，N 两点的直角距离，作：d （M ，N ）．如：M （2，﹣3），N （1，4），则d （M ，N ）＝|2﹣1|+|﹣3﹣4|＝8．若P （x 0．y 0）是一定点，Q （x ，y ）是直线y ＝kx +b 上的一动点，称d （P ，Q ）的最小值为P 到直线y ＝kx +b 的直角距离．则P （0，﹣3）到直线x ＝﹣2的直角距离为 ．
18．在平面直角坐标系中，直线y ＝14x ＋c 过y 轴上的动点C ，直线：y ＝14x 、y ＝14x ＋c 的图象
分别与函数y ＝4x (x ＞0)交于点A 、点B ，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象y ＝4x (x ＞
0)在点B 和点C 之间的部分与线段OA 、BC 、CD 围成的区域（不含边界）为S ．若区域S 内恰有4个整点，则b 的取值范围是__________；
12．己知二次函数y ＝－x 2
＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 输上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图所示)，当直
线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是A ．－254＜m ＜－3 B ． －254
＜m ＜－2 C ．－3＜m ＜－2 D ．－6＜m ＜－2
18．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为．
12小明是我校手工社团的一员,他在做折纸手工,如图所示在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E 是BC的中点,点F是边CD上的任意一点,△AEF的周长最小时,则DF的长为（）A1
B2 C3 D4 1.在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)，我们把点P/(-y+1,x+1)叫做点
P伴随点.已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，….若点A1的坐标为(2，4)，点A2017的坐标为( )
A.(-3，3)
B.(-2，-2)
C.(3，-1)
D.(2，4)
2.在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)，我们把点P/(-y+1,x+1)叫做点P伴随点.已知点A
1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，….若点A1的坐标为(2，4)，点A2017的坐标为( )
A.(-3，3)
B.(-2，-2)
C.(3，-1)
D.(2，4)
2019年济南市历城区九年级第二次模拟考试数学试题05.23
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1.下列数中最小的是A．3B．
1
3
C．－3D．－
1
3
2.下列几何体中，俯视图为三角形的是
3.将数据8330用科学计算法表示为
A．0.833×104B．83.3×103C．8.33×103D．8.33×104
4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
5.下列运算正确的是
A．(2a2)3＝6a6B．2a2＋4a2＝6a4C．a3·a2＝a5D．(a＋2b)2＝a2＋4b2
6.如图，将一副三角尺和一张对边平行的的纸条按下列方试摆放，两个三角板的一条直角边
重合，含30度角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是A．30°B．20°C．15°D．14°
7.方程组
?
?
?x－y＝3
3x－8y＝14
的解为A．
?
?
?x＝－1
y＝2
B．
?
?
?x＝2
y＝－1
C．
?
?
?x＝－2
y＝1
D．
?
?
?x＝1
y＝－2
8.如图，反比例函数y＝
k
x(x＞0)的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(1，6)和点B(3，
2)，当ax＋b＜
k
x时，x的取值范围是
A ．1＜x ＜3
B ．x ＜1或x ＞3
C ．0＜x ＜1
D ．0＜x ＜1或x ＞3
9.如图，菱形OABC 的一条边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA ′B ′C ′的位置，若OA ＝2，∠C ＝120°，则点B ′的坐标为
A ．(6，－6)
B ．(6，6)
C ．(3，3)
D ．(3，－3)
10.某地近年来持续干旱，为了倡导节约用水，该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如
下列关于用水量的统计量不会发生变化的统计量是
A ．平均数、中位数
B ．众数、中位数
C ．平均数、方差
D ．众数、方差
11.如图，正方形ABCD 的边长为1，分别以A 、B 、C 、D 为圆心、1为半径画弧，四条弧交
于点E 、F 、G 、H ，则图中阴影部分的外围周长是 A ．23π B ．13π C ．π D ．43
π
12.当－2≤x ≤1时，关于x 的二次函数y ＝－(x －m )2＋m 2＋1有最大值4，则实数m 的值为 A ．2 B ．2或－3 C ．2或－3或－74 D ．2或±3或－74
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13.分解因式：ax 2－ay 2
＝__________；
14.随意抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格的边长都相等），那么这粒豆子落在
黑色方格中的概率是_______；
15.如图，河堤的横断面迎水坡AB 的坡度是1∶2，堤高BC ＝5m ，则坡面AB 的长度是_______；
16.若方程x 2＋x －2019＝0的一个根是a ，则a 2＋a ＋1的值为_______；
17.如图△ABC ，AC ＝BC ＝13，把△ABC 放在平面直角坐标系中，且点A 、B 的坐标分别为
(2，0)、(12，0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y ＝－x ＋8上时，线段AC 扫过的面积为_______；
18.如图，在□ABCD 中，AD ＝2AB ，点F 是BC 的中点，作AE ⊥CD 于点E ，点E 在线段
CD 上，连接EF 、AF ，下列结论：①2∠BAF ＝∠C ；②EF ＝AF ；③S △ABF ＝S △AEF ；④∠BFE ＝3∠CEF ．其中一定正确的是_______．
三、解答题（本大题共9小题，共78分）
19. （本题满分6分）计算：2－1＋2sin 45°－9＋(3－4)0
；
20．（本题满分6分）解不等式组?????3x －1≤2(x －1)
x －32
＜x －1 21. （本题满分8分）如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 、F 是直线BD 上两点，且BE ＝DF ，连接AF 、CE ．求证：AF ＝CE ．
22．（本题满分8分）A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运60kg ，A 型机器人搬运1200kg 所用的时间与B 型机器人搬运900kg 所用的时间相同，求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料．
23. （本题满分8分）如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB ＝2，OD ＝3．（1）求证：△ACB ∽△DAO ；（2）求BC 的长度．
24. （本题满分10分）某小学决定开设A 舞蹈、B 音乐、C 绘画、D 书法四个兴趣班，为了了解学生对这四个项目的兴趣爱好，随机抽查了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图1、2所示的统计图，
请结合图中详细解答下列问题（1）求在这次调查中，共调查了多少名学生？（2）求在扇形图中，B 所得的圆心角的度数；（3）请补全条形统计图；（4）若本校一共有2000名学生，请估计全校喜欢“音乐”的有多少人；（5）从4名学生（2名男生，2名女生）任意选取2名学生，请用列表或画树状图的方法，求出抽到的2名学生恰好性别相同的概率．
25. （本题满分10分）如图，矩形OABC 中，OC ＝4，OA ＝3，分别以OC 、OA 所在的直
线为x 轴、y 轴，建立如图所示的坐标系，反比例函数y ＝m x
（x ＞0）的图象经过点B ．（1）求反比例函数的解析式；（2）一次函数y ＝ax －1的图象与y 轴交于点D ，与反比例函数y ＝m x
（x ＞0）的图象交于点E ，且△ADE 的面积为6，求一次函数的解析式；（3）将线段OE
沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为t ，平移后的线段与反比例函数
y ＝m x （x ＞0）的图象交于点F ，与x 轴交于点G ，t 为何值时，GF ＝12
OE ?
26. （本题满分12分）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，E 、F 分别为AB 、AD
边的中点，四边形AEGF 为矩形，连接CG ．（1）如图1，请直接写出DF CG
＝________；如图2，当矩形AEGF 绕点A 顺时针旋转至点G 落在AB 上时，DF CG
＝________；（2）当矩形AEGF 绕点A 旋转至图3的位置时，图2中DF 与CG 之间的数量关系是否还成立？说明理由．
（3）如图4，在□ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝6，AD ＝8，E 、F 分别为AB 、AD 边的中点，四边形AEGF 为平行四边形，连接CG ，当□AEGF 绕点A 顺时针旋转60°时（如图
5），请直接写出CG 的长度．
27.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 经过点A 、B 、C ，已知A (－1，0)，C (0，3).（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△CDP 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是线段EF 上一动点，M (m ，0)是x 轴一个动点，若∠MNC ＝90°，请求出m 的取值范围．
小学数学 定义新运算.教师版
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要 求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、 规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个 数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。 由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312 【答案】312 例题精讲 知识点拨 教学目标 定义新运算
小学数学竞赛题定义新运算之速算与巧算
定义新运算之速算与巧算 定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式来表示一种新的运算。 例如：如规定：ababab 2424246 42424210 定义新运算一般分为两种： ⑴根据题目给的新的运算法则，进行运算，即从前往后推； ⑵已知运算结果和运算法则，推出前面的数，即从后往前推。 实质： 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题。 新定义的运算符号： 常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的。 解题关键： 理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 【例1】设a△baa2b，那么，5△6_______，(5△2)△3_______。 【拓展】设m、n是两个数，规定：m * n4n(mn)÷2，这里“，，，÷”是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义，“ * ”是新的运算符号。计算：3 * (4 * 6)_______。 【例2】如果a□a(a1)，a□□a□(a□1)，…，那么1□□□_________。 【拓展】P、Q表示数，P * Q表示(PQ)÷2，求3 * (6 * 8)。
【例3】小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式： 888，9995，933，(938)7837。 老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“、、、÷、( )、”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同。 请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：8957___________。 【拓展】一个特殊的计算器上面有个“X *”键，当计算器上显示的数是a 时，按一下“X *”键后，计算 器上的a 立刻消失并显示一个新数2a 1。现在，这个计算器上显示5.25，那么连续按“X *”键_______次后，会显示99；接着再按“X *”键4次，计算器上显示的数将是_______。 【例4】定义运算：ababab ÷2008。请问： ⑴定义的运算是否满足交换律？ ⑵请根据定义计算下面两个算式： ①2009(20092008)； ②个个?⊕⊕⊕⊕?⊕⊕?20092009200820092008 200920092008（20092008）（20092008） 【拓展】如果a 、b 、c 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 ⑴abba ； ⑵(ab )ca (bc )。 现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足： (a ，b ) * (c ，d )(acbd ，acbd ) 例：(4，3) * (7，5)(47＋35，4735)(43，13) 请你举例说明，“*”运算是否满足结合律。
第一节 定义新运算
第1讲定义新运算 一、知识要点 定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。 解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 二、精讲精练 【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。 【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。这里的“*”就代表一种新运算。在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。 练习1： 1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。
2、设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。 3、设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。 【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6)。 【思路导航】根据定义先算4△6。在这里“△”是新的运算符号。 练习2： 1、设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。 2、设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。求30△（5△3）。 3、设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。 练习3： 1、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222， 3*3=3+33+333，……那么4*4=________。 2、规定，那么 8*5=________。 3、如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷（2*6）=________。 【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A，那么，A是几 练习4： 1、规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A，那么A=________。 2、规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那么□＝________。 3、如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝________。
五年级下册数学试题定义新运算专项练
一、知识要点 掌握定义新运算，关键是要深刻理解运算符号的新规定，严格按照规定的法则运算，最后达到解决问题的目的。 注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。 二、范例分析 例1 符号“*”表示一种运算，a * b表示的含义是a与b中较大数与较小数之差，例如(2+3)*(2×3) =5 * 6=6－5=1，求(13×2)*(6+40)。 例2 设p、q是两个数，规定：p△q=4×q－(p+q)÷2。求5△(2△8)。 例3 对于任意自然数，定义n！=1×2×3×…×n如4 ！=1×2×3×4，那么1 ！+2 ！+3 ！+4 ！+5 ！= 。 例4 若x⊙y=x+(x+1)+( x+2)+…+(x+y－1)，其中x，y都为自然数。试求l⊙50的值。 例5 规定一种运算是m▽n=m×n+m－n，另一种运算是m△n=m×n－m+n。请计算：6△7－7▽6。 例6定义a☆b=a×b－(a+b)，试求： (1)5☆7；7☆5
(2)12☆(3☆4)；(12☆3)☆4 (3)请问：这个运算有交换律、结合律吗? 三、随堂练习 1、如果规定a※b=13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是( ) 2、如果规定a※b=a×3－b÷2，那么(10※6)※8等于多少? 3、如果1◎5=1+11+111+1111+11111，2◎4=2+22+222+2222，3◎3=3+33+333……那么4◎4等于多少? 4、若a⊙b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，其中a，b都为自然数。试求1⊙25的值。 5、已知：一种运算是a▽b=a×b+a－b，另一种运算是a△b=a×b－a+b。试求5△6—6▽5的值。 6、定义一种新运算“△”，规定a△b=3×a－2×b。 (1)求3△2；2△3。 (2)这个运算有交换律吗? 7、定义a※b=4×b+a÷5。求20※12。 8、规定：A△B=A×2－B×3+A×B，那么5△3=? 9、设P▲Q=(P+Q)÷2，求2009▲(2019▲2019)=
定义新运算练习题
定义新运算 典型例题 例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 分析A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1 ＝（6＋1）÷1 ＝7 例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c
＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）&5]×[ 5◎（3 & 7）] 分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 解 [（7◎6）&5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5 ＝30 例【5】如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算：（3※2）×5。 分析通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。
小学数学定义新运算典型例题完整版
小学数学定义新运算典 型例题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
小学数学定义新运算典型例题 1. 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 2. 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 3.对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 4.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 5.如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算：（3※2）×5。 小学数学定义新运算典型例题答案： 例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。
分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1 ＝（6＋1）÷1 ＝7 例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5 ＝30 例【5】如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
级数学定义新运算
定义新运算 一、考点、热点回顾 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。 二、典型例题 例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。 例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。 例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 例4：对于两个数a与b，规定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。 例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：。 三、课堂练习 1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。 2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7） 3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。 4，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。 5，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。 6，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。 7，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：4▽3。 8，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。 9，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。 四、课后作业 1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。 2，对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。 3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。 1，有一个数学运算符号“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此规律计算：8▽4。
定义新运算-八年级试卷
定义新运算 一. 单选题(本大题共8小题， 共48分) A. -9 B. -3 C. 0 D. 3 1.(本小题6分) 对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算： ，已知，则 x=( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 26 2.(本小题6分) 现定义一种新运算：★，对于任意整数a，b，有a★b=a+b-1，则4★[(6★8)★(3★5)]的值为( ) A. 45 B. -37 C. 25 D. 41 3.(本小题6分) 对于有理数x，y定义新运算：x*y=ax+by+1，其中a，b为常数．已知3*5=15，4*7=28，则5*9的值为( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. 4.(本小题6分) 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，， ，，从而对于任意正整数，我们可以得到 ，同理可得，，．那么 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 5.(本小题6分) 对于任意的自然数X和Y，定义新运算&：X&Y＝，其中m是一个确定的自然数．若1&2＝1，则2&8＝( ) A. -1 B. 0 6.(本小题6分) 在实数的原有运算法则中，我们补充定义“新运算”如下：当时，，当 时，则．当时，的最大值为( )
二. 填空题(本大题共7小题， 共52分) C. 1 D. 2 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7.(本小题6分) 对于任意不相等的两个非负实数a和b，定义一种新的运算a*b＝，则下列关于这种运算的几个结论：①3*2＝；②a*b+b*a＝0；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④不存在这样的实数a和b，使得a*b＝0.其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法确定 8.(本小题6分) 定义新运算△为：a△b=ab+2a+2b+2，若x△2△2△2△2△2=5118，则x=( ) 9.(本小题7分) 定义一种新运算：，利用这种算法计算____． 10.(本小题7分) 定义新运算：A*B=(A-B)÷3，A□B=(A+B)×3，请计算：(39*12)□3=____． 11.(本小题7分) 定义一种新运算“△”，其运算规则是a△b＝．已知-1△x＝，则x的值是____． 12.(本小题7分) 规定一种新的运算：，则4*（3*2）的值为____． 13.(本小题7分) 定义运算“*”的运算法则是a*b=，则（2*6）*8的值为____． 14.(本小题7分) 在有理数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“※”如下：当m≥n时， ；当m＜n时，m※n=m，则当x=-2时，(-3x※x)-(1※x)?x的值为____． 15.(本小题10分) 若一个正整数是3的倍数，将它的各个数字分别立方求和，称为第一次运算；得到一个新数，再将新数的各个数字分别立方求和，称为第二次运算；重复上述运算若干次，你会发现最后这个数将一成不变，称这个数为“魔”数．若现有一个3的倍数是9，则它的第三次运算结果是____，这个“魔”数是____．
级奥数定义新运算
定义新运算 在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。 例1：如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？ 例2：如果A#B 表示3 B A + 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？ 例3：规定Y X XY Y X +=? 求2Δ10Δ10的值。 例4：设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N （1） 计算（14 *10）*6 （2） 计算 （58*43） *（1 *2 1） 例5：如果任何数A 和B 有A ¤B=A ×B-（A+B ） 求（1）10¤7 （2）（5¤3）¤4 （3）假设2¤X=1求X 例6：设P ∞Q=5P+4Q ，当X ∞9=91时，1/5∞（X ∞ 1/4）的值是多少？ 例7：规定X*Y= XY Y AX +，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少？
例8：▽表示一种运算符号，它的意义是））（（A Y A X XY Y X +++= ?11 已知3 211212112=+++=?））（（A 那么20088▽2009=？ 巩固练习 1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推 （1）3▽2 （2）5▽3 （3）1▽X=123，求X 的值 2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7 计算（1）（4△2）+（5△3） （2）（3△5）÷（4△4） 3、如果A*B=3A+2B ，那么 （1）7*5的值是多少？ （2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4） 4、如果A>B ，那么｛A ，B ｝=A ；如果A小学六年级数学：定义新运算word版本
第三讲定义新运算 【课首小测】 1、一个长为20厘米、宽为16厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8厘米、宽为4厘米 的小长方形。求；剩余部分的周长。 2、几个连续自然数相加，和能等于56吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果 不能、说明理由。 【互动导学】 【导学】：定义新运算 新运算在于有新的运算符号以及新的运算法则，解答这类题型须理解“新”的意义。 1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。（特殊的运算符号，表示特定的意义， 是人为设定的。） 2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。 3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。 【例题精讲】
【例1】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求6△（3△4）的值。 【例2】定义新运算为1a a b b +=e （1）求()234e e 的值； （2）若4 1.25x =e ，则x 的值为多少？ 【例3】如果：1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333 计算：（3※2）×5 【例4】对于任意的自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++++++-L （1）求1*100的值 （2）已知x *10=75，求x 为多少？ 【我爱展示】
1.P 、Q 表示数，*P Q 表示 2 P Q +，求3*（6*8）。 2.如果a △b 表示(2)a b -?，例如3△4()3244=-?=，那么，当a △5=30时,a= 3.定义： 6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246， 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 。 4.定义新运算”?“，使下列算式成立： 248?=，5313?=，3511?=，9725?=，求73?= 。 5.对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-L ， 如果(3)23660x **=，那么x 等于几？ 【能力展示】
(完整word)小升初专项复习一定义新运算
专题一定义新运算 一、课前热身 在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同。我们还是先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”吧： 1.对于任意数a、b，定义运算“☆”，使a☆b=2a×b 求:(1)1☆2 (2)2☆1 2.定义一种运算“□”：a□b=3a-2b 求（1）（17□6）□2; (2) 17□(6□2) 二、归纳总结 按照新定义的运算计算算式的结果，一定要掌握解题的关键和注意点。 1.解题关键：要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行运算。 2.新定义的的算式中有括号，要先算括号里面的。但它没转化前，是不适合于各种运算定律。 3.注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。
三、拓展演练 第一组：直接计算型 1.“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求4★5。 2. “◎”表示一种新的运算，它是这样定义的：a◎b=a×b-a÷b 求6◎3和（6◎3）◎2。 3.对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”、“★”：a☆b=a+b-1，a★b=a×b-1。计算（6☆8）★（3☆5）的值。
例1.如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26,那么9※5=？ 例2.“☆”表示一种新运算，使下列等式成立：2☆3=7，4☆2=10，5☆3=13，7☆10=24。按此规律计算：8☆5。 练一练： 1.规定：3☆2=3+33 5☆3=5+55+555 2☆4=2+22+222+2222 求4☆4=？ 2.根据下列规律2☆3=7 3☆5=11 6☆2=14 4☆5=13 求：（1）5☆10= （2）10☆5=
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小学数学定义新运算典型例题 1. 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 2. 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 3.对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 4.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 5.如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算：（3※2）×5。
小学数学定义新运算典型例题答案： 例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 分析A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1 ＝（6＋1）÷1 ＝7 例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c ＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。
(完整版)定义新运算(小学数学五年级奥数)
定义新运算 知识与方法： 对于常用的加、减、乘、除等运算，我们已经熟知它们的运算法则和计算方法，如6+ 2=8, 6X2=12等。都是2和6,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这节课，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。解决定义新运算这类题的关键：是抓住定义的本质借用“ +、一、X、十”四则运算进行的，解答时要弄活新运算与四则运算的关系。 特别注意运算顺序，每个新定义的运算符号只能在本题中使用，新运算不一定符合运算定律。 例1:设a、b都表示数，规定：aAb =3X a— 2X b。试计算： (1) 3A2; (2) 2A3。 练习1: 1. 设a b都表示数，规定：a。b=5X a— 2X b。试计算304 2. 设a b都表示数，规定：a*b=3x a+ 2X b。试计算：5*6 例2:对于两个数a与b,规定b=3a+ 2a,试计算( 3^5) 练习2: 1.对于两个数a与b,规定：aOb=a+3b，试计算40506
2.对于两个数A与B,规定：A△ B=2X A — B,试计算5A6A7 例3:对于两个数a, b,规定：a金b=ax b+ a+ b,试计算：9 ? 练习3: 1.对于两个数a, b,规定：a$b=ax b— ( a+ b),试计算：6 ? 7. 2..对于两个数A与B,规定：A GB=A X B-2,试计算：8 99 例4:如果2、3=2 + 3 + 4, 5A4=5+ 6+ 7+ 8,那么按此规律计算：(1) 3A5; (2) 8A3。 练习4: 1.如果4A2=4X 5, 2A3=2X 3X 4,那么按此规律计算:5A4。
小学奥数教师版-1-3-1 定义新运算
定义新运算 教学目标 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 知识点拨 一定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝52×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 例题精讲 模块一、直接运算型 【例1】若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【解析】A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘 积。 由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）
小学数学定义新运算(教)
一、知识概念 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、:、△、?、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算 定律的。 2、一般的解题步骤是： 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 典例分析火 例1、对于任意数a, b,定义运算“*：a*b=axb-a-b。
求12*4的值。
【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12 X 4-12-4=48-12-4=32 例2、假设 a ★ b = ( a + b ) b k 求8 ★ 5。 【解析】该题的新运算被定义为：a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8, b代表数字5。 8 ★ 5 = (8 + 5 ) + 5 = 2.6 例3、如果a? b=a X b-(a+b)。求6?( 9?2)。 【解析】根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6?(9◎2) =6? [9 X 2- ( 9+2)] =6? 7 =6X 7- (6+7) =42-13=29 例4、如果 1 A 3=1 + 11 + 111; 2 △ 5=2+22+222+2222+22222; 8 △ 2=8+88。求 6 △ 5。 【解析】仔细观察发现“ A ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“ △”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 6 A 5=6+66+666+6666+66666=74070 例5、如果规定：2=1 X 2X 3, : 3=2X 3X 4，: 4=3 X 4X 5, :X= (X-1 ) X X X (X+1 )。由【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为 于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。 1 1 : 2 ( - )X ：2 ：3 1 3
小学数学《找规律与定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）内容概述 1．找规律这类题目，要求我们能够观察数列或数表中每一个数自身的特征（如奇偶性，整除性，是否为质数或者合数等等）、相邻数之间的差或商的变化特征（常见的有等差数列，等比数列，菲波那契数列，复合数列等等），有时候还需要考虑连续多个数之间的和差倍关系，甚至对于某个自然数的余数数列。2．定义新运算这类题目要求我们严格按照题目中给出的公式和新运算符号的定义进行计算。某些比较复杂的题也会用到解方程的方法。譬如：已知a*b=2a+3b, 3*x=21, 求x的值；有6+3x=21，则x=5。 例题分析 【例1】（☆）下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来： ⑴ 3，5，7，11，15，19，23，…… ⑵ 6，12，3，27，21，10，15，30，…… ⑶ 2，5，10，16，22，28，32，38，24，…… ⑷ 2，3，5，8，12，16，23，30，…… 分析：这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。因为：⑴除了15其余都是质数；⑵除了10其余都是3的倍数；⑶除了5其余都是偶数；⑷相邻两数之间的差依次是1，2，3，4，5，6，……，成等差数列。 【例2】（☆）下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数： （1） 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 （）10 10 5 1 1 6 15 （）15 6 1 （2） 1 2 4 3 6 9 4 8 12 16 5 10 15 ( ) 25 6 12 18 24 30 36 7 ( ) 21 28 35 42 49 分析：（1）这个是著明的“杨辉三角”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。（）处分别填上5、20。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 （2）每行第k个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。
小学六年级数学：定义新运算完整版
小学六年级数学：定义 新运算 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
第三 讲 定义新运算 【精准诊查】 【课首小测】 1、一个长为20厘米、宽为16厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8厘米、宽为4厘 米的小长方形。求；剩余部分的周长。 2、几个连续自然数相加，和能等于56吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果 不能、说明理由。 【互动导学】 【导学】： 定义新运算 新运算在于有新的运算符号以及新的运算法则，解答这类题型须理解“新”的意义。 1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。（特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的。） 2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。 3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。 【例题精讲】 【例1】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求6△（3△4）的值。 【例2】定义新运算为1a a b b += （1）求()234的值； （2）若4 1.25x =，则x 的值为多少？ 【例3】如果：1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333 计算：（3※2）×5 【例4】对于任意的自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++++ ++-
（1）求1*100的值 （2）已知x *10=75，求x 为多少？ 【我爱展示】 1.P 、Q 表示数，*P Q 表示2 P Q +，求3*（6*8）。 2.如果a △b 表示(2)a b -?，例如3△4()3244=-?=，那么，当a △5=30时,a= 3.定义： 6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246， 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 。 4.定义新运算”?“，使下列算式成立： 248?=，5313?=，3511?=，9725?=，求73?= 。 5.对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-，如果 (3)23660x **=，那么x 等于几？ 【能力展示】 【知识技巧回顾】 1、学习到哪些知识： 2、解答新运算的步骤： 【巩固练习】 1.如果规定a b *=5×a-12 b ，其中a 、b 是自然数，那么106*= 。 （2011实外） 2.对于自然数a 、b 、 c 、 d ，符号a b d c ?? ??? 表示运算a ×c-b ×d ， 已知1<14b d ?? ??? <3，则b+d 的值是 。 （2010实外） 3.定义新运算：ab a b a b ?= +，求2△10△10= 。 （2012成外） 4.对任意两数a 和b ，都有a ※b=23a b +，若6※x=223，则x= 。 （2009实外） 5.如果规定：3=2×3×4，4=3×4×5，12=11×12×13，…， 111=252626 -? ，那么 = 。 （七中嘉祥）
小学数学《定义新运算》教案
《定义新运算》教案 教学内容：五年级下 教学目标： 1、让学生认识新运算，掌握新运算。 2、开拓学生的思维，让学生学会用新的思维考虑问题 教学重点：在定义新运算的问题中，让学生认真审题，明确“新运算”的定义，严格遵照规定的法则来完成计算。 教学难点：让学生正确理解新运算的定义。 教学方法：自主探究、合作交流。 教学准备：多媒体课件 教学过程： 一、快速抢答：（课件出示） 1、我们以前学过哪些运算符号？加、减、乘、除、括号 2、那些符号有什么运算法则？ 在四则运算中，有括号先算括号里面的，再算乘除，最后算加减 二、导入新课： 1、导入新课，板书课题。 我们以前学过加减乘除，也学会了它们的运算法则，同学们很熟练的掌握了，可是今天老师跟你们带来了一种新的运算符号，相信大家很期待老师给大家展示一下，今天我们就来学习一下这个新的运算符号及规律。 教师板书课题：定义新运算。 2、什么是定义新运算？ “定义新运算”是针对已有的常规运算而言的，例如常见的加、减、乘、除运算，有一定的运算定义，一定的运算符号，一定的运算法则，这些都是约定俗成的；而定义新运算是指人为规定用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算，新运算的定义是题目规定的，只能在对应的题目里有效，相同的符号在不同的题目里面可能会有不同的含义
解答这类问题时，要认真审题，根据题目的具体特点，仔细分析，深入思考，灵活、辨证地选择解法。 三、自主探究（一）： 1、出示例1：【例1】已知a&b=( a+b)-( a-b),求5&2 2、引导学生读题，分析题意： 3、学生自主探究。 4、交流汇报，教师点拨。 思路点拨：这是一道比较简单的定义新运算题，我们只要把5和2运算式，把定义中的a,b分别换成5和2可以了。 【解】a&b=( a+b)-( a-b)= ( 5+2)-（5-2）=7-3=4 四、巩固练习： a&b=(a+2b) ÷2，求18&10 答案：a&b=(a+2b) ÷2=（18+2×10）÷2=38÷2=19 五、自主探究（二）： 1、出示例2：【例2】定义新运算A!B=A×A-B×B,求8！5 2、引导学生读题，分析题意： 3、学生自主探究。 4、交流汇报，教师点拨。 思路点拨：8！5中的8和5分别相当于新运算中的A和B,我们只需要将新运算中的A、B分别换成8和5即可。 【解】A!B=A×A-B×B =8×8-5×5=39 六、巩固练习： 定义新运算A&B=A×A-2B,计算15&10 答案：A&B=A×A-2B=15×15-2×10=205 七、自主探究（三） 1、出示例3【例3】P,Q表示两个数，P!Q=(P+Q) ÷2,计算9！（10!12） 2、引导学生读题，分析题意：
四年级数学定义新运算
定义新运算一、考点、热点回顾 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。 二、典型例题 例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a ×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。 例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。 例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 例4：对于两个数a与b，规定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。 例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：。
三、课堂练习 1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。 2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7） 3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。 4，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。 5，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。 6，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。 7，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：4▽3。 8，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。 9，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。 四、课后作业 1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。 2，对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。 3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。