2018高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课件文
)
π 在△ABC 中，A＝ . 4 答案：C
3．(2017· 全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a， b， c.已知 sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0， a＝2， c＝ 2，则 C＝( 6 4 3
解析：由题意得 sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0， sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 则 sin C(sin A＋cos A)＝
热点 1 三角恒等变换及求值 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝ . 1∓tan αtan β tan α±tan β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2tan α (3)tan 2α＝ . 1－tan2α
3 10 答案： 10
【命题透视】 三角函数的化简与求值是命题的热 点，其中两角和与差、二倍角的正(余)弦、正切公式，同 角三角函数的关系是恒等变换的依据．正弦定理、余弦定 理是高考的重点内容，主要考查边和角、面积的计算、三 角形形状的判定．高考命题中，选择、填空及解答题均可 能呈现，不超过中等难度．
2α
π 5 sin α 3 1 3 － ＝－ sin α＋ cos α＝sin3－α＝ . 2 2 2 2 13
4 5 答案：(1)－ (2) 3 13
[规律方法] 1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)， 化简求值． 2．解决条件求值问题的三个关注点： (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知 角来表示未知角．
π 因为 a∈0，2，
5 2 5 所以 cos α＝ ，sin α＝ . 5 5
π 因为 cosα－4＝cos αcos π 所以 cosα－4＝
π π ＋sin αsin ， 4 4
5 2 2 5 2 3 10 ³ ＋ ³ ＝ . 5 2 5 2 10
π －cosθ＋4 4 ＝－ . 3 π sin θ＋4
(2)由题意得|OC|＝|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC 为等 边三角形， 所以 sin
π 5 ∠AOB＝sin3－α＝ ， 13
1＋cos α α α 3 又因为 3cos － sin cos － ＝ 3 · － 2 2 2 2 2
7 A．－ 9
2 B．－ 9
2．(2016· 山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边 分别是 a， b， c.已知 b＝c， a2＝2b2(1－sin A)， 则 A＝( 3π π π π A. B. C. D. 4 3 4 6
解析：因为 b＝c，a2＝2b2(1－sin A)， b2＋c2－a2 2b2－2b2（1－sin A） 所以 cos A＝ ＝ ， 2 2bc 2b 则 cos A＝sin A.
3．辅助角公式 b asin x＋bcos x＝ a ＋b sin(x＋φ)，其中 tan φ＝ . a
2 2
[例 1] (1)(2016· 全国卷Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且
π 3 π sinθ＋4＝ ，则 tanθ－4 ＝________． 5
(2)如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C，B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点 B 的坐标为
12 5 ，－ ， ∠AOC＝α.若|BC|＝1， 则 13 13
α 3cos －sin ² cos 2 2
2α
α 3 － 的值为________． 2 2
π 4 解析：(1)由题意，得 cosθ＋4＝ . 5 π π θ＋ － sin 4 2 π π π 所以 tanθ－4＝tanθ＋4－2＝ ＝ π π cosθ＋4－2
2
4．(2017· 全国卷 Ⅰ)已知
π α∈0，2， tan
α＝2，则
π cosα－4＝________．(导学号
55410031)
解析：由 tan α＝2，得 sin α＝2cos α， 1 又 sin α＋cos α＝1，所以 cos α＝ . 5
2 2 2
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已 知角的三角函数值来表示． (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知 求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求 出角的大小．
[变式训练] (1)(2017· 北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对 1 称．若 sin α＝ ，则 sin β＝________． 3 11 (2)(2017· 石家庄质检)若 cos(2α－β)＝－ ， sin(α－2β) 14 4 3 π π ＝ ，0＜β＜ ＜α＜ ，则 α＋β 的值为________． 7 4 2
专题二
三角函数与平面向量
第 2 讲 三角恒等变换与 解三角形
4 1．(2017· 全国卷Ⅲ)已知 sin α－cos α＝ ，则 sin 2α 3 ＝( ) 2 7 C. D. 9 9 （sin α－cos α）2－1 解析：sin 2α＝2sin αcos α＝ ＝ －1
7 － . 9 答案：A
π 2sin CsinA＋4＝0，
π 因为 sin C≠0，所以 sinA＋4＝0，
π 又因为 A∈(0，π)，所以 A＋ ＝π， 4 3π 所以 A＝ . 4 a c 由正弦定理 ＝ ， sin A sin C
2 得 ＝ ， 3π sin C sin 4 1 π 则 sin C＝ ，得 C＝ . 2 6 答案：B
2018年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数、平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形教案
第二讲 三角恒等变换与解三角形[考情分析]三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.年份卷别 考查角度及命题位置 2017Ⅰ卷三角变换求值·T 15 正弦定理解三角形·T 11 Ⅲ卷 三角函数求值·T 4 正弦定理解三角形·T 15 2016Ⅰ卷利用余弦定理解三角形·T 4 Ⅱ卷 利用正弦定理解三角形·T 15 Ⅲ卷三角恒等变换求值问题·T 6解三角形·T 9[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A ·sin C －sin A ·cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12，又0<C <π4，所以C ＝π6.故选B. 答案：B2．(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45解析：先利用二倍角公式展开，再进行“1”的代换，转化为关于tan θ的关系式进行求解． ∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ，又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45. 答案：D3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π2)，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：∵α∈(0，π2)，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55，∴cos(α－π4)＝cos αcosπ4＋sin αsin π4＝22×(255＋55)＝31010. 答案：31010三角恒等变换[方法结论]三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45° 等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．[题组突破]1．若tan α＝－22，且α是第四象限角，则cos 2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：通解：因为α是第四象限角，tan α＝－22，故sin αcos α＝－22，由sin 2 α＋cos 2 α＝1可得cos 2 α＝23，cos α＝63，sin α＝－33.cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝sin 2α＋sin αcos α＋22cos 2α＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×63＋23＝13，故选D. 优解：因为α是第四象限角，tan α＝－22，故cos 2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝sin 2α＋sin αcos α＋22cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋22cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α＋22tan 2α＋1＝1232＝13，故选D. 答案：D2．(2017·蚌埠模拟)已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin 2α＋sin 2α＝________.解析：由sin 2α－2＝2cos 2α得sin 2α＝2＋2cos 2α，即2sin αcos α＝4 cos 2α，即cos α＝0或tan α＝2.当cos α＝0时，sin 2α＋sin 2α＝1；当tan α＝2时，sin 2α＋sin 2α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85. 综上，sin 2α＋sin 2α＝1或85.答案：1或853．(2017·合肥检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解析：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α· sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32.所以sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2 α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3212＝2 3. [误区警示]三角函数求值问题易出错的是忽视角的范围，导致结果增解．解三角形[方法结论]正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .[典例](2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD .(1)求AD 的长； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)在△ABC 中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝52x.在△ACD 中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，则cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝x 2＋52－5322×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，即x 2＋52－5322×x ×5＝－52x.解得x ＝5.所以AD 的长为5.(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BC BD ＝32，从而sin ∠CBD ＝12. 所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.[类题通法]等价转化思想在解三角形中的应用利用正、余弦定理解三角形关键利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sinA ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sinC ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c 2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等． [演练冲关]1．(2017·合肥模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9πD ．36π解析：c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C. 答案：C2．(2017·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A ．14 hB ．15 hC ．16 hD ．17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得6002＋400t 2－2×20t ×600×22≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以Δt ＝302＋152－302－152＝15(h)，故选B. 答案：B3．(2017·海口模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cosB －cos A )．(1)求sin Bsin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C ·(3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.解三角形与其他知识的交汇问题解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．[典例](1)在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为( ) A.21B.3214C.212D ．321解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，∴bc cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A2，∴cos A ≥25，∴0＜sin A ≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.答案：B(2)(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2B －C2－sin B ·sinC ＝2－24. ①求角A ；②若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． 解析：①由cos2B －C2－sin B ·sin C ＝2－24，得cos B －C 2－sin B ·sin C ＝－24， ∴cos(B ＋C )＝－22， ∴cos A ＝22(0＜A ＜π)，∴A ＝π4. ②由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－2bc ≥(2－2)bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，即bc ≤8(2＋2)．∴S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤4(2＋1)，即△ABC 面积的最大值为4(2＋1)．[类题通法]化归与转化能力思想是求解三角与其他知识交汇问题的核心，分析交汇知识点，利用其间的联系可找出突破口，从而解决问题．[演练冲关]1．(2017·沈阳模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，求S 的最大值． 解析：由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin(A ＋π4)＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8.2．(2017·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值． 解析：(1)由b 2＋c 2－a 2＝bc ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)∵AM 是BC 边上的中线，∴在△ABM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos∠AMB ＝c 2，①在△ACM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos∠AMC ＝b 2，②又∠AMB ＝π－∠AMC ，∴cos ∠AMB ＝－cos ∠AMC ，即cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0， ①＋②得AM 2＝b 2＋c 22－34.又a ＝3，∴b 2＋c 2－3＝bc ≤b 2＋c 22，∴b 2＋c 2≤6， ∴AM 2＝b 2＋c 22－34≤94，即AM ≤32， ∴BC 边上的中线AM 的最大值为32.。
2018高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课件文
答案：(1)13
π (2)3
热点 2 正弦定理与余弦定理(多维探究)
1．正弦定理及其变形 在△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 是外 接圆的半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝2aR，a∶b∶c ＝sin A∶sin B∶sin C 等．
2．余弦定理及其变形 在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝b2＋2cb2c－a2. 3．三角形的面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A.
(2)(2017·石家庄质检)若 cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β) ＝473，0＜β＜π4＜α＜π2，则 α＋β 的值为________．
解析：(1)α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则 α＋β＝π＋ 2kπ，k∈Z，所以 β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
sin β＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13. (2)因为 cos(2α－β)＝－1114且π4＜2α－β＜π， 所以 sin(2α－β)＝5143.
A 地测得该仪器在 C 处的俯角为∠OAC＝15°，A 地测得最高点 H 的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂 直弹射高度 CH 为( )
A．210( 6＋ 2)米 C．210 2米
B．140 6米 D．20( 6－ 2)米
解析：由题意，设 AC＝x，则 BC＝x－40，在△ABC 内，由余弦定理，可得
|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos ∠BAC， 即(x－40)2＝x2＋10 000－100x， 解得 x＝420. 在△ACH 中，|AC|＝420，∠CAH＝30°＋15°＝45°，
2018届高三数学理高考二轮复习书讲解课件第一部分 专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形 精品
由已知及余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7，
故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC 的周长为 5＋ 7.
考点三 三角恒等变换与解三角形的综合问题
试题 解析
考点一 考点二 考点三
5．(2016·高考山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝tcaons BA＋tcaons AB. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
试题 解析
(1)证明：根据正弦定理，可设sina A＝sinb B＝sinc C＝k(k>0)． 则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C， 代入coas A＋cobs B＝sinc C中，有kcsoisnAA＋kcsoisnBB＝kssiinnCC，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)． 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π， 有 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以 sin Asin B＝sin C.
试题 解析
考点三
考点一 考点二 考点三
根据上面所做题目，请填写诊断评价
错因(在相应错因中画√)
考点 错题题号
诊
知识性 方法性 运算性 审题性
断 考点一
评 价 考点二
考点三
※ 用自己的方式诊断记录 减少失误从此不再出错
考点一 三角恒等变换
考点一 考点二 考点三
[经典结论·全通关] 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等； (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α， α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
2018高考数学文二轮复习课件：2-2-2 三角函数、解三角形、平面向量 精品
补救训练15 平面内两个非零向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为135°，则|α|的取值范围是 _(0_，____2_] _．
解析 由题意可知，向量α，β不共线，以|α|，|β|，|β－α|为边构成的三角形OAB如图，则∠OAB＝
45°，在三角形OAB中，由正弦定理可得
|α| sin∠OBA
10 10 .
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝
55×3 1010＋25 5×
1100＝
2 2.
又0<α＋β<π.∴α＋β＝π4或α＋β＝34π.
[错因分析] 错解中没有注意到0<α＋β<π，对于正弦值可能会有两个解，而利用余弦求解，利用正负
关系即可判断．
[正解] 因为α，β为锐角，
→→→
→→→
[错解] ∵△ABC为等边三角形，∴|BC|＝|CA|＝|AB|＝1，向量AB、BC、CA间的夹角均为60°.
∴B→C·C→A＝C→A·A→B＝A→B·B→C＝12.
∴B→C·C→A＋C→A·A→B＋A→B·B→C＝32.
→→ [错因分析] 数量积的定义a·b＝|a|·|b|·cosθ，这里θ是a与b的夹角，本题中BC与CA 夹角不是∠C.两向量的
(1)若C＝π3，求A；
(2)若A＝π6，求b.
[错解] (1)在△ABC中，sianA＝sincC，
∴sinA＝asicnC＝12，∴A＝π6或56π.
(2)由sianA＝sincC，得sinC＝csianA＝
3 2.
∴C＝π3，由C＝π3知B＝π2，
∴b＝ a2＋b2＝2.
[错因分析] 在用正弦定理解三角形时，易出现丢解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边 大，在求得sinA＝asicnC＝12后，得出角A＝π6或56π；在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解，由sinC＝csianA
2018届高考数学文二轮复习全国通用课件：专题二 三角函数与平面向量 第2讲 精品
探究提高 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二 次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一 次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两 个定理都有可能用到. 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、 余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原 则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、 统一结构”.
【训练 1】 (1)已知 sin 2α＝23，则 cos2α＋π4＝(
)
A.16
B.13
C.12
D.23
(2)已知 α∈R，sin α＋2cos α＝ 210，则 tan 2α 等于( )
A.43
B.34
C.－34
D.－43
解析 (1)法一 cos2α＋π4＝121＋cos2α＋π2 ＝12(1－sin 2α)＝16.
考点整合
1.三角函数公式 (1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，csoins αα＝tan α. (2)诱导公式：对于“k2π±α，k∈Z 的三角函数值”与“α 角 的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变， 符号看象限.
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
时，等号成立.
所以 S△ABC＝12bcsin A＝12× 23bc≤ 43×4＝ 3，即当 b＝c＝2 时， S△ABC 取得最大值，最大值为 3.
探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法： (1)将待求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值 域求最值.(2)将待求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求 最值.
高考数学二轮复习第二部分专题二三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件理
1t＋anta2nα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝－121.
[规律方法] 1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)， 化简求值． 2．解决条件求值问题的三个关注点： (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知 角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已 知角的三角函数值来表示．
因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝295，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－275.
(2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π)．
又因为 cos(α＋β)＝－ 55.
所以 sin(α＋β)＝
1－cos2（α＋β）＝2
5
5 .
因此 tan(α＋β)＝－2.
因为 tan α＝43，所以 tan 2α＝1－2tatannα2α＝－274， 因 此 ， tan(α － β) ＝ tan[2α － (α ＋ β)] ＝
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin α sin β .
(3)tan(α±β)＝1∓ttaann
α±tan β α tan β
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α －sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
所以 S＝12ac·sin B≤12×3× 23＝343.
所以△ABC
面积的最大值为3
4
3 .
命题视角 应用正、余弦定理解决实际问题 【例 2－2】 某气象仪器研究所按以下方案测试一 种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在 C 处(点 C 在水平地面下方，O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点) 进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点 A，B 两 地相距 100 米，∠BAC＝60°，其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米．A 地测得该仪器在 C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点 H 的仰角为∠HAO＝30°，则该 仪器的垂直弹射高度 CH 为( )
2018届高三数学二轮复习教案：模块二专题二第2讲 三角恒等变换与解三角形
专题二 三角函数、平面向量第二讲 三角恒等变换与解三角形高考导航利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点．2．利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查.1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－725[解析] 解法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， ∴sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.故选D. 解法二：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35，∴cos α＋sin α＝325，∴1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.[答案] D2．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A[解析] 解法一：因为sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ，即cos C (2sin B －sin A )＝0，所以cos C ＝0或2sin B ＝sin A ，即C ＝90°或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以0°<C <90°，故2b ＝a .故选A. 解法二：由正弦定理和余弦定理得b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝2a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ， 所以2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝a 2＋3b 2－c 2， 即2b a (a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2－c 2，即(a 2＋b 2－c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a －1＝0， 所以a 2＋b 2＝c 2或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2>c 2，故2b ＝a ，故选A.[答案] A3．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.[解析] 由余弦定理得cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14， ∴cos ∠CBD ＝－14，sin ∠CBD ＝154，∴S △BDC ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.又cos ∠ABC ＝cos2∠BDC ＝2cos 2∠BDC －1＝14，0<∠BDC <π2，∴cos ∠BDC ＝104.[答案] 152 1044．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．[解] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A . 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3. 由题设得12bc sin A ＝a 23sin A ，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.考点一 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sin αcos α.(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α. 3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a . [对点训练]1．(2017·贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13 D ．－79[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79. [答案] D2．(2017·福建省福州市高三综合质量检测)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin2(α＋γ)＝3sin2β，则m ＝( )A.12B.34C.32 D ．2[解析] 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin2(α＋γ)＝3sin2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A ·sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan A tan B ＝2，故选D.[答案] D3．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是________．[解析] 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴cos2α＝－255，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－55× 1010＝22，且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案] 7π4(1)三角恒等变换的三原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如1题．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)解决条件求值应关注的三点①分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．③求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如3题．考点二 解三角形1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状[解析] ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C 1－tan 2C＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．[答案] B 角度2：在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算[解析] 由b sin B －a sin A ＝12a sin C 及正弦定理得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.故选A. [答案] A 角度3：结合正、余弦定理进行面积的计算[思维流程] (1)代换A ＋C 为π－B →化简关系式→求出cos B(2)求sin B →结合面积公式求出ac →借助余弦定理求出b[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．【特别提醒】 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．[对点训练]1．[角度1](2017·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2A 2＝b ＋c 2c ，则△ABC 的形状一定是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形[解析] 在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝sin B ＋sin C 2sin C ＝12·sin B sin C ＋12，∴1＋cos A ＝sin Bsin C ＋1，∴cos A sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴sin A cos C ＝0，sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C 为直角．故选B.[答案] B2．[角度2](2017·辽宁师大附中模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则B ＝( )A.π6或5π6B.π3C.π6D.5π6[解析] ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B .又∵sin B ≠0，∴sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，解得sin(A ＋C )＝sin B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π6或5π6.故选A.[答案] A3．[角度3](2017·威海模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．[解析] 由正弦定理得，(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，又a ＝2，所以b 2＋c 2－bc ＝4，所以cos A ＝b 2＋c 2－42bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.因为b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤4，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c 时取等号．[答案] 3考点三 正、余弦定理的实际应用1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．[对点训练]1．(2017·济南二模)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km[解析] 画出示意图如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB sin30°sin45°＝3 2.[答案] B2．(2017·广东省五校协作体高三一诊)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.[解析]由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin30°＝DBsin15°，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin45°＝252(3－1)sin(90°＋θ)，即25sin45°＝252(3－1)cosθ，得到cosθ＝3－1.[答案]3－1解三角形实际问题的4步骤热点课题8解三角形中的范围问题[感悟体验](2017·河南豫北联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2的取值范围． [解] (1)由正弦定理将原等式化为3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而可得，3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ， 即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32.又A 为三角形的内角，因此A ＝π6.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2 ＝sin B ＋cos C －1＝sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B －1 ＝sin B ＋cos 5π6cos B ＋sin 5π6sin B －1 ＝32sin B －32cos B －1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6－1， 由A ＝π6可知，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6， 所以B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3， 从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1， 因此，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6－1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－3＋22，3－1， 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2的取值范围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－3＋22，3－1.。
2018高考新课标数学理二轮专题复习课件：专题二第2讲三角恒等变换与解三角形 精品
＝2
3sin12ωx·cos12
ωx＋2cos212
ωx
(ω>0)，且函数
f(x)的最小正周期为 π.(导学号 55460020)
(1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在0，π2上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx＋1＝ 2sinωx＋π6＋1， 又 f(x)的最小正周期为 π， ∴π＝2ωπ，即 ω＝2.
故 2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin23π－B＝ 3sin B－ 3cos B＝2 3sinB－π6. ∵b≥a， ∴π3≤B<23π，π6≤B－π6<π2， ∴2b－c＝2 3sinB－π6∈[ 3，2 3)．
[规律方法] 解三角形与三角函数的综合题，要优先 考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以 转化为三角函数的值域来求．
解析：(1)法一：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)·( 3cos x－
sin x)＝
4
3 2 sin
x＋12cos
x
3 2 cos
x－12sin
x＝
4sinx＋π6cosx＋π6＝2sin2x＋π3，
∴T＝22π＝π.
法二：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)＝3sin xcos x＋ 3cos2x－ 3sin2x－sin xcos x＝sin 2x＋ 3cos 2x ＝2sin2x＋π3，
∴T＝22π＝π. (2)(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝4295，又 0<α<π2， 则 sin α＋cos α＝75， 2cosπ4－α＝sin α＋cos α＝75. 答案：(1)B (2)C
2018年高考数学二轮复习课件 专题3 第2讲三角恒等变换与解三角形(58张)
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[解析] 等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C) ＝sin Acos C＋sin(A＋C) ＝sin Acos C＋sin B， 等式左边＝sin B＋2sin Bcos C， ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B． 由cos C>0，得sin A＝2sin B． 根据正弦定理，得a＝2b． 故选A．
• (3)tan 2α＝______________．
1－cos 2α • 5．降幂公式 2 1＋cos 2α 2 (1)sin2α＝_____________ ；
1－tan2α
•
• (2)cos2α＝_____________．
6．正弦定理
b a c sin B sin A＝__________＝sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)．
1 bcsin A 1 1 2 S△ABC＝____________＝2acsin B＝2absin C．
• 1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开 方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数 符号错误． • 2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名 变换出错或三角函数值的符号出错．
2 2 2 2 a ＋ b sin( α ＋ φ ) ＝ a ＋ b cos(α＋θ) ． (4)辅助角公式：asin α＋bcos α＝____________________________________
• 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin αcos α • (1)sin 2α＝_____________ ； cos2α－sin2α 2α－1＝1－2sin2α； • (2)cos 2α＝_______________ ＝ 2cos 2tan α
2018年高考数学(理)二轮复习 讲学案三角函数、解三角形与平面向量 第2讲三角变换与解三角形(含答案解析)
第2讲 三角变换与解三角形正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1．边和角的计算． 2．三角形形状的判断． 3．面积的计算．4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知sin α－2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B ．－34C.34 D ．－43答案 C解析 ∵sin α－2cos α＝102， ∴sin 2α－4sin α·cos α＋4cos 2α＝52，即1－cos 2α2－2sin 2α＋4×1＋cos 2α2＝52，化简得4sin 2α＝3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝34，故选C.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况． (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718 D.1718答案 C解析 由3cos 2α＝sin(π4－α)，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 于是3(cos α＋sin α)＝22， 所以1＋2sin αcos α＝118，所以sin 2α＝－1718，故选C.(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－cos α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝_______. 答案 79解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－cos α＝12cos α－32sin α－cos α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－13.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝79. 热点二 正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sinC ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 (2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4. 所以c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (2017·广西陆川县中学知识竞赛)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cosC ＝(2b －c )cos A .(1)求角A ；(2)若a ＝7，△ABC 的面积S △ABC ＝103，求b ＋c 的值． 解 (1)由a cos C ＝(2b －c )cos A ， 得sin A cos C ＝(2sin B －sin C )cos A ， 即sin A cos C ＋cos A sin C ＝2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即sin B ＝2sin B cos A . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，而0<A <π2，∴A ＝π3.(2)由S △ABC ＝103，得12bc sin π3 ＝103，∴bc ＝40.∵a ＝7，∴b 2＋c 2－2bc cos π3＝49，即b 2＋c 2＝89，于是(b ＋c )2＝89＋2×40＝169，∴b ＋c ＝13(舍负). 热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状． 例3 (2017届湖北省稳派教育质量检测)已知函数f (x )＝cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＋3cos 2ωx －34(ω>0，x ∈R )，且函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω 的值及f (x )的对称轴方程；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c .若f (A )＝34，sin C ＝13，a ＝3，求b 的值. 解 (1)f (x )＝cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＋3cos 2ωx －34＝12sin ωx cos ωx ＋32cos 2ωx －34 ＝14sin 2ωx ＋34(1＋cos 2ωx )－34 ＝14sin 2ωx ＋34cos 2ωx ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，由函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，得14T ＝π4，2π2ω＝π，求得ω＝1.当ω＝1时，f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，求得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．即f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝34，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝32.所以2A ＋π3＝2k π＋π3或2A ＋π3＝2k π＋2π3，k ∈Z ，解得A ＝k π或A ＝π6＋k π，k ∈Z ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.由sin C ＝13，C ∈(0，π)，sin A ＝12知，C <π6，求得cos C ＝223.所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝3＋226， 又a ＝3，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A＝3×3＋22612＝3＋263.思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练 3 (2017届青岛市统一质量检测)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m sin 2x (m ∈R )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2.(1)求m 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＝3，△ABC 的面积是3，求△ABC 的周长． 解 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π6＋m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝sin π2＋cos π3＋m 2＝2， 解得m ＝1. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＋sin 2x＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝ 3.∵0<B <π，π3<B ＋π3<4π3，∴B ＋π3＝2π3，则B ＝π3.又∵S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，∴ac ＝4.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ＝4， ∴(a ＋c )2＝4＋12＝16，∴a ＋c ＝4， ∴△ABC 的周长为a ＋b＋c ＝6.真题体验1．(2017·山东改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cosC )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是______．(填序号)①a ＝2b; ②b ＝2a; ③A ＝2B; ④B ＝2A . 答案 ①解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ， 等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ，∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B . 由cos C ＞0，得sin A ＝2sin B . 根据正弦定理，得a ＝2b .2．(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，cos(α－β)＝________. 答案 －79解析 由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z )，又sin α＝13，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1 ＝2×19－1＝－79.3．(2017·江苏)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.答案 75解析 方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16.∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)， ∴tan α＝75.方法二 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.4．(2017·浙江)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos∠BDC ＝________. 答案152104解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC ＝sin∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin∠ABC ＝154，cos∠ABC ＝14， 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152. 因为cos∠DBC ＝－cos∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. 押题预测1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点． 答案52解析 因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52.2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．押题依据 三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高． 解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12， 因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6－12， 易得f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3A －π6－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列， 所以sin 2A ＝sinB sinC ， 所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)．因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫3A －π6≤1，所以－1<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6－12≤12， 所以函数f (A )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－1，12.A 组 专题通关1．(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝10，c ＝3，cos A ＝14，则b 等于( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3答案 C解析 由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得10＝b 2＋9－2·b ·3·14 , b 2－32b －1＝0，所以(b －2)(b ＋12)＝0，解得b ＝2(舍负)，故选C.2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于( ) A. 3B.33 C ．－33D ．－ 3答案 D解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知α为第四象限角，sin α＋cos α＝15，则tan α2的值为( )A ．－12 B.12 C ．－13 D.13答案 C解析 由sin α＋cos α＝15平方，得1＋2sin αcos α＝125⇒2sin αcos α＝－2425⇒(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925.因为α为第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，sin α－cos α＝－75，因此sin α＝－35，cos α＝45，tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2cos α2cos 2α2＝sin α1＋cos α＝－351＋45＝－13，故选C.4．(2017·合肥一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆的面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π答案 C解析 ∵b cos A ＋a cos B ＝2，∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac＝2，∴c ＝2，由cos C ＝223，得sin C ＝13，∴2R ＝c sin C ＝213＝6，R ＝3，S ＝π×32＝9π，故选C.5．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2， 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A. 6．(2017·全国Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案 31010解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α)． 又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2知，sin α＝255，cos α＝55， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫55＋255＝31010. 7．(2017届湖南省百所重点中学阶段性诊断)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为____平方千米.答案 21解析 设△ABC 的对应边边长分别为a ＝13里，b ＝14里，c ＝15里，cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513⇒sin C ＝1213⇒S ＝12×13×14×1213×250 000＝21×106(平方米) ＝21(平方千米)．8. (2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7，cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA ＝216，则BC 的长为________．答案 3解析 因为cos∠BAD ＝－714， 故sin∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114， 在△ADC 中运用余弦定理，可得cos∠CAD ＝1＋7－427＝277， 则sin∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217， 所以sin∠BAC ＝sin(∠BAD －∠CAD )＝32114×277＋714×217＝63＋314＝32， 在△ABC 中运用正弦定理，可得BC sin∠BAC ＝7sin∠CBA ⇒BC ＝32×7×621＝3. 9．(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2， 故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517. 故cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4， 所以b ＝2.10．(2017·浙江省“超级全能生”联考)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数． (1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A ，求f (A )的取值范围．解 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )， ∴f (x ＋π)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )， ∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，而g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3，从而f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ， 又C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin C ≠0， ∴cos B ＝12，∴B ＝π3. ∵△ABC 是锐角三角形，C ＝2π3－A <π2， ∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3∈(0,1]， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3∈(0,1]． B 组 能力提高11．(2017届合肥教学质量检测)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A.(]3，6B.()3，5C.(]5，6D.[]5，6答案 C解析 ∵(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又△ABC 为锐角三角形， ∴⎩⎨⎧ 0<B <π2，A ＋B ＝π3＋B >π2，∴π6<B <π2， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2B ＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝4－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3，又π6<B <π2， 可得b 2＋c 2∈(5,6]．故选C.12．(2017·湖北省黄冈市质量检测)已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( )A ．－43或0 B.43或0 C ．－43D.43 答案 A解析 因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2， 解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，tan θ2＝0或2， 又tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0；当tan θ2＝2时，tan θ＝－43， 故选A.13．(2017届河南省新乡市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C ＝19，且a cos B ＋b cos A ＝2，则△ABC 面积的最大值为________．答案 52解析 由题设及余弦定理，可得a a 2＋c 2－b 22ac ＋b b 2＋c 2－a 22bc＝2⇒c ＝2， 又由余弦定理可得22＝a 2＋b 2－2ab ×19，即a 2＋b 2＝29ab ＋4，又因为a 2＋b 2≥2ab ，所以29ab ＋4≥2ab ⇒ab ≤94，当且仅当a ＝b 时取等号，由cos C ＝19，可得sin C ＝1－192＝1980＝495，所以三角形的面积S △ABC ＝12ab sin C＝12×495ab ＝259ab ≤259×94＝52.14．(2017届南京市、盐城市模拟)如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD＝3，DC ＝2.(1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．解 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β.因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2， 所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3. 由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24.因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144.因此sin∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫24＋144＝1＋74.△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．。