导数中分类讨论的三种常见类型

导数中分类讨论的三种常见类型

导数中分类讨论的三种常见类型

高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.

几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.

1.导函数根的大小比较

实例1：求函数()32

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a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.

分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对

函数()32

1132

a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数

()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()32

1132

a f x x x ax a -=

+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：

当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：

所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为

(),-∞+∞，没有单调递减区间.

当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：

所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -. 综上所述，

当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；

当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间； 当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.

点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况. 2.导函数的根的存在性讨论

实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间

分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数

()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，

若24120a ∆=-<即a <<方程23210x ax ++=没有实根，即()'0f x > 在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；

若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根

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a

x x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；

若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实

根，由求根公式可解得1x =，2x =，显然12x x <

此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：

综上所述，当a ≤≤()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；

当a a <>时，()f x 的单调递增区间为⎛-∞ ⎝⎭和

⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭

点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。通过这两道实例可以知道，在分情况讨论的时候弄清楚讨论的必要性是很重要的，不能以偏概全。 3.导函数的根与给定区间的关系

实例3：已知函数()2ln f x x x =-，函数()()2g x f x x ax =-+，0a >，若(]0,x e ∈ 时，()g x 的最小值是3，求实数a 的值.（e 是自然对数的底数）

分析：由题意可以求得()ln g x ax x =-，且函数()g x 的定义域为()0,+∞，已知的是函数()g x 在(]0,e 上的最小值是3，而函数最值的讨论通常是以单调性的讨论为基础，所以可以先考虑函数()g x 在(]0,e 上的单调性，因此对()g x 进行求导，得到导函数()'11

ax g x a x x

-=-

=，因为0a >，所以令()'0g x =解得1

x a

=

，则()g x ，()'g x 随x 的变化情况如下：

这是()g x 在()0,+∞上的单调性，而要讨论其在(]0,e 上的单调性，这里涉及到

e 跟

1a 的大小，也即是1

a

是在给定区间内还是在区间外的问题，可以知道，题目中并没有条件可以让我们确定e 跟1

a

的大小关系，所以这里需要分情况

讨论：

若1e a ≤即1

0a e

<≤，则()g x 在(]0,e 上单调递减，()()min 1g x g e ae ==-，令

13ae -=，解得4

a e =（舍去）

若1e a >

即1a e >，则()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎤

⎥⎝⎦

上单调递增，所以()min 11ln g x g a a ⎛⎫

==+ ⎪⎝⎭

，令1ln 3a +=，解得2a e =，满足条件.

综上所述，所求实数a 的值为2e .

点评：这道题实质上就是讨论函数在给定区间上的单调性，在这道例题中，导函数存在唯一的实根，所以可以确定原函数()g x 在定义域()0,+∞上的单调性，

而要讨论其在区间(]0,e 的单调性，则涉及到e 跟

1

a

的大小关系，也就是确定导函数等于零的点跟给定区间的关系.这道题中如果把a 的范围改为a R ∈，问

题就稍微复杂一点，首先得考虑导函数()'11

ax g x a x x

-=-=根是否存在，可以

发现，如果0a =，则不存在导函数等于零的点，此时()'11

0g x a x x

=-=-<，

函数()g x 在(]0,e 上单调递减；而如果0a ≠，则导函数存在唯一的实根1

a

，其

中0a ≠又包含了两种情况：0a <和0a >，

如果0a <，那么10a <，()1

0,a

∉+∞，此时()'11

0ax g x a x x

-=-=

<，函数()g x 在(]0,e 上单调递减；至于0a >的情况，讨论如实例3.

分类讨论思想是对研究对象进行分类，简化所要研究的对象，它是解决问