信号与系统matlab课后作业_北京交通大学

信号与系统MATLAB平时作业

学院：电子信息工程学院

班级：

姓名：

学号：

教师：钱满义

MATLAB 习题

M3-1 一个连续时间LTI 系统满足的微分方程为

y ’’(t)+3y ’(t)+2y(t)=2x ’(t)+x(t)

(1)已知x(t)=e -3t u(t)，试求该系统的零状态响应y zs (t)；

(2)用lism 求出该系统的零状态响应的数值解。利用(1)所求得的结果，比较不同的抽样间隔对数值解精度的影响。 解：

(1)由于

''()3'()2()2'()(),0h t h t h t t t t δδ++=+≥

则2()()()t t h t Ae Be u t --=+ 将()h t 带入原方程式化简得

(2)()()'()2'()()A B t A B t t t δδδδ+++=+

所以

1,3A B =-=

2()(3)()t t h t e e u t --=-+ 又因为3t ()()x t e u t -= 则该系统的零状态响应

3t 23t 2t ()()()

()(3)()0.5(6+5)()

zs t t t y t x t h t e u t e e u t e e e u t ----=*=*-+=-- (2)

程序代码 1、

ts=0;te=5;dt=0.1;

sys=tf([2 1],[1 3 2]);

t=ts:dt:te;

x=exp(-3*t).*(t>=0);

y=lsim(sys,x,t)

2、

ts=0;te=5;dt=1;

sys=tf([2 1],[1 3 2]);

t=ts:dt:te;

x=exp(-3*t).*(t>=0);

y1=-0.5*exp(-3*t).*(exp(2*t)-6*exp(t)+5).*[t>=0];

y2=lsim(sys,x,t)

plot(t,y1,'r-',t,y2,'b--')

xlabel('Time(sec)')

legend('实际值','数值解')

用lism求出的该系统的零状态响应的数值解在不同的抽样间隔时与（1）中求出的实际值进行比较

将两种结果画在同一幅图中有

图表 1 抽样间隔为1

图表 2 抽样间隔为0.1

图表 3 抽样间隔为0.01

当抽样间隔dt减小时，数值解的精度越来越高，从图像上也可以看出数值解曲线越来越逼近实际值曲线，直至几乎重合。

M3-4conv函数可计算起点为k=0的两个序列的卷积。利用此函数和卷积的性质，编写计算非零起点任意两个序列的卷积的程序，并利用该程序计算下面两个序列的卷积。

{}

h k0.68,0.37,0.83,0.52,0.71

=↓

x k=↓,[]{}

[]0.85,0.53,0.21,0.67,0.84,0.12

解：

程序代码

m=-2; %序列x最左边的位置

n=-1; %序列h最左边的位置

x=[0.85 0.53 0.21 0.67 0.84 0.12];

h=[0.68 0.37 0.83 0.52 0.71];

z=conv(x,h)

N=length(z);

stem(m+n:N+m+n-1,z) grid

图表 4 树根图

得出序列的卷积

z [0.5780,0.6749,1.0444,1.4152,1.8725,1.4340,1.2391,1.0121,, 0.6588,0.0852];↓

=

M3-8 某离散时间LTI 系统满足差分方程

[]0.7[1]0.45[2]0.6[3]

0.8[]0.44[1]0.36[2]0.02[3]y k y k y k y k x k x k x k x k +-----=--+-+-

试利用impz 函数求其单位脉冲响应，并画出前30点的图。 解：

程序代码 k=0:30;

a=[1 0.7 -0.45 -0.6];

b=[0.8 -0.44 0.36 0.02];

h=impz(b,a,k);

stem(k,h);

grid

解得单位脉冲响应为

前30点的图

图表 6 树根图

MATLAB 习题

M6-1 已知连续时间信号的s 域表示式如下，使用residue 求出X(s)的部分分式展开式，并写出x(t)的实数形式表达式。

(2) 2

4

3216();5.65698162262.7160000

s X s s s s s =++++ (3) 3

2();(5)(525)

s X s s s s =+++

解： (2)

程序代码

num=[16 0 0];

den=[1 5.6569 816 2262.7 160000]; [r,p,k]=residue(num,den)

运行结果为 r =

0.0992 - 1.5147i 0.0992 + 1.5147i -0.0992 + 1.3137i -0.0992 - 1.3137i p =

-1.5145 +21.4145i -1.5145 -21.4145i -1.3140 +18.5860i -1.3140 -18.5860i k = [] angle = -1.5054 1.5054 1.6462 -1.6462 mag =

1.5180 1.5180

1.3175 1.3175

因此X(s)可展开为

0.0992-j1.51470.0992+j1.51470.0992+j1.31370.0992-j1.3137

()1.5145-j21.41451.5145+j21.41451.3140j18.586s+1.3140j18.586

X s s s s --=

+++

+++-+

1.5054 1.5054 1.6462 1.6462

1.518 1.518 1.3175 1.31751.5145-j21.41451.5145+j21.41451.3140j18.586s+1.3140j18.586j j j j e e e e s s s --=+++

+++-+

故原函数

-1.5145t -1.5145t -1.314t -1.314t ()0.158885cos(21.4145)() 3.0066sin(21.4145)()0.1985cos(18.586)() 2.62751sin(18.586)()

x t e t u t e t u t e t u t e t u t =+---1.5145t -1.314t 3.0108cos(21.4145 1.5054)() 2.635cos(18.586 1.6462)()e t u t e t u t =-++

(3)

程序代码

num=[1 0 0 0];

den=conv([1 5],[1 5 25]); [r,p,k]=residue(num,den)

[angle,mag]=cart2pol(real(r),imag(r))

运行结果为 r =

-5.0000 -2.5000 - 1.4434i -2.5000 + 1.4434i p =

-5.0000 -2.5000 + 4.3301i -2.5000 - 4.3301i k = 1 angle = 3.1416 -2.6180 2.6180 mag =

5.0000 2.8868

2.8868 由此可得

0.5-2.5-j1.4434-2.5+j1.4434

()15 2.5-j4.3301 2.5+j4.3301

X s s s s -=+

+++++

3.1416 2.618 2.618

5 2.8868 2.886815 2.5-j4.3301 2.5+j4.3301

j j j e e e s s s -=+++

+++ 所以

5-2.5t -2.5t ()()5() 5.0001e cos(4.3301)() 2.88677e sin(4.3301)()t x t t e u t t u t t u t δ-=+-+

5-2.5t ()5() 5.7736e cos(4.3301 2.618)()t t e u t t u t δ-=++-

M6-2 已知某连续时间LTI 系统的微分方程为

y ’’(t)+4y ’(t)+3y(t)=2x ’(t)+x(t)

x(t)=u(t)，y(0-)=1，y ’(0-)=2，试求系统的零输入响应、零状态响应和完全响应，并画出相应的波形。 解：

对微分方程两边进行Laplace 变换，得

2()(0)'(0)4[()(0)]3()(21)()s Y s sy y sY s y Y s s X s -----+-+=+

整理得

22

(0)'(0)4(0)(21)()()4343

sy y y s Y s X s s s s s ---+++=+++++ 零输入响应的s 域表示式为

2

(0)'(0)4(0)6 2.5-1.5

()43(1)(3)13

zi sy y y s Y s s s s s s s ---+++===+++++++ 对上式进行Laplace 反变换，得

3() 2.5 1.5,0t t zi y t e e t --=-≥

因为

1

()()()Laplace x t u t X s s

=???→=

所以零状态响应的s 域表示式为

2151

-2121

362()()43(1)(3)13

zs s s Y s X s s s s s s s s s ++===++++++++

对上式作Laplace 反变换，得

315

()(2)()36

t t zs y t e e u t --=+-

完全响应为

3197

()()(),0323

t t zi zs y t y t y t e e t --=+=+-≥

程序代码

t=0:0.1:10;

y1=(2.5*exp(-t)-1.5*exp(-3*t)).*(t>=0);

y2=((1/3)+2*exp(-t)-(5/6)*exp(-3*t)).*(t>=0); y=((1/3)+(9/2)*exp(-t)-(7/3)*exp(-3*t)).*(t>=0); plot(t,y1,'r-.',t,y2,'g--',t,y,'b-') xlabel('Time');

legend('零输入相应','零状态响应','完全响应');

图表 5 系统的零输入响应、零状态响应和完全响应

M6-5 已知322

()221

s H s s s s +=

+++，画出该系统的零极点分布图，求出系

统的冲激响应、阶跃响应和频率响应。 解： 程序代码 1、

num=[1 2];

den=[1 2 2 1]; sys=tf(num,den); pzmap(sys)

2、

num=[1 2];

den=[1 2 2 1];

[r,p,k]=residue(num,den)

[angle,mag]=cart2pol(real(r),imag(r))

图表 6 系统的零极点分布图

r =

1.0000 -0.5000 - 0.8660i -0.5000 + 0.8660i p =

-1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i k = [] angle = 0 -2.0944 2.0944 mag =

1.0000 1.0000 1.0000 则

1-0.5-j0.866-0.5+j0.866()10.5-j0.8660.5+j0.866

H s s s s =

+++++ -j2.0944j2.0944

1e e 10.5-j0.8660.5+j0.866s s s =++

+++ 所以系统的冲激响应

-0.5t -0.5t ()() 1.00001cos(0.866)() 1.73205sin(0.866)()t h t e u t e t u t e t u t -=-+ -0.5t ()2cos(0.866 2.0944)()t e u t e t u t -=+-

程序代码 3、

num=[1 2];

den=conv([1 0],[1 2 2 1]); [r,p,k]=residue(num,den)

[angle,mag]=cart2pol(real(r),imag(r)) 因为系统的阶跃响应

()()()y t u t h t =*

则

32()2

()(221)

H s s Y s s s s s s +=

=+++

r =

-1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 2.0000 p =

-1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0 k = [] angle = 3.1416 2.0944 -2.0944 mag =

1.0000 1.0000 1.0000

2.0000 则

-1 -0.5+j0.866 -0.5-j0.8662()10.5-j0.8660.5+j0.866Y s s s s s

=

++++++ 2.0944 2.0944-1 e e 210.5-j0.8660.5+j0.866j j s s s s -=++++++ 所以系统的阶跃响应

0.50.5()- 1.00001cos(0.866)() 1.73205sin(0.866)()t t t y t e e t u t e t u t ---=-- 0.5-()2cos(0.866 2.0944)()t t e u t e t u t --=++

因为系统的冲激响应

-0.5t -0.5t ()() 1.00001cos(0.866)() 1.73205sin(0.866)()t h t e u t e t u t e t u t -=-+ 所以系统的频率响应

10.50.5(){()}1(0.886)0.5(0.886)0.5(0.886)0.5(0.8860.8660.866

)0.5

H j F h t j j j j j ωωωωωω==

+++-

+++-+--+-++

MATLAB 习题

M7-1 利用MATLAB 的residuez 函数，求下列各式的部分分式展开及对应的x[k]。

(1) 4324

32216445632

();33151812z z z z X z z z z z ++++=+-+- (2) 432432

48.6817.9826.748.04

()210665

z z z z X z z z z z --+-=-+++。 解： (1)

程序代码

num=[2 16 44 56 32]; den=[3 3 -15 18 -12]; [r,p,k]=residuez(num,den)

运行结果为 r =

-0.0177 9.4914 -3.0702 + 2.3398i -3.0702 - 2.3398i p =

-3.2361 1.2361 0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660i k =

-2.6667

则部分分式展开式

1110.01779.4914-3.0702+2.3398-3.0702 2.3398

() 2.66671 3.236111.23611(0.50.866)1(0.50.866)

j j X z z z j z j -----=-+

+++

+-----

(2)

程序代码

num=[4 -8.68 -17.98 26.74 -8.04]; den=[1 -2 10 6 65];

[r,p,k]=residuez(num,den)

运行结果为 r =

1.0971 + 1.3572i 1.0971 - 1.3572i 0.9648 - 1.2511i 0.9648 + 1.2511i p =

2.0000 +

3.0000i 2.0000 - 3.0000i -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i k =

-0.1237

则部分分式展开式

1111.0971+1.35721.0971-1.35720.96481.25110.9648+1.2511

()0.12371(23)1(23)1(12)1(12)

j j j j X z j z j z j z j ----=-+

+++

-+--+-++

M7-2 已知离散时间系统的差分方程为

2y[k]-y[k-1]-3y[k-2]=2x[k]-x[k-1]

x[k]=0.5k u[k],y[-1]=1,y[-2]=3,试用filter 和filtic 函数求系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。 解：

程序代码 1、

a=[2 -1 -3]; b=[2 -1]; k=0:10;

x=(0.5.^k).*(k>=0);

yzs=filter(b,a,x) 2、

a=[2 -1 -3]; b=[2 -1]; k=0:10;

xk=(0.5.^k).*(k>=0); ys=[1 3];

xi=filtic(b,a,ys); yk=filter(b,a,xk,xi)

运行结果1为 零状态响应 yzs =

1.0000 0.5000 1.7500 1.6250 3.4375 4.1563

7.2344 9.8516 15.7773 22.6660 34.9990

运行结果2为

完全响应

yk =

6.0000 4.5000 11.2500 12.3750 23.0625 30.0938

49.6406 69.9609 109.4414 159.6621 243.9932

所以零输入响应 yzi = yk – yzs =

5.0000 4.0000 9.5000 10.7500 19.6250 25.9375

42.4063 60.1094 93.6641 136.9961 208.9941

M7-3 利用MATLAB 的zplane(num,den)函数，画出下列系统函数H(z)的零极点分布图。并判断系统的稳定性。

(1) 4324

32

216445632

();33151812z z z z X z z z z z ++++=+-+- (2) 43243248.6817.9826.748.04

()210665

z z z z X z z z z z --+-=-+++。

解： (1)

程序代码

num=[2 16 44 56 32];

den=[3 3 -15 18 -12];

zplane(num,den)

title('零极点分布图')

grid on

从零极点分布图中可以看出，有极点不在单位圆内，故系统不稳定。

(2)

程序代码

num=[4 -8.68 -17.98 26.74 -8.04];

den=[1 -2 10 6 65];

zplane(num,den)

title('零极点分布图')

grid on

从零极点分布图中可以看出，有极点不在单位圆内，故系统不稳定。