电子电工技术第四章 电路的暂态过程分析
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电工电子学第四章魏红,张畅
11
12
4.2.3 RC电路的全响应 所谓全响应是指既有初始储能又有外界激励产生的响应。RC电路的 全响应是指电源激励和电容元件的初始电压均丌为零时的响应。对应 着电容从一种储能状态转换到另一种储能状态的过程，如图4.2.4所 示。
13
4.2.4 RC微分电路和积分电路 在电子电路中，经常会用到矩形脉冲电压，如图4.2.5所示。tp为脉 冲宽度，U为脉冲幅度，T为脉冲周期。当矩形脉冲电压作用于RC电 路时，若选取丌同的时间常数和输出端，将产生丌同输出的波形，从 而构成输出电压和输入电压之间的特定关系，即微分关系和积分关系。
第四章 电路的暂态分析
电工电子学
1
在直流电路中，电压和电流等物理量都是不随时间变化 的，在正弦交流电路中，电压、电流都是时间的正弦函数，它 们都周期性地重复所发生的过程。电路的这种工作状态称为稳 定状态，简称稳态。
2
如果电路的工作条件发生改变时，电路将从一种稳 定状态变化到另一种稳定状态。这种变化的过程是一个暂 时的，不稳定的状态，称为暂态。这种变化不是瞬间完成， 需要一定的时间，所以也称为过渡过程。 对电路的暂态过程进行分析，就是要研究在暂态过 程中，电路各部分电压、电流随时间变化的规律，以及与 电路参数的关系。本章主要分析RC和RL一阶线性电路的暂 态过程。
21
在开关的触头之间产生很高的电压（过电压），开关之间的穸 气将发生电离而形成电弧，致使开关被烧坏。同时，过电压也可能将 电感线圈的绝缘层击穹。为避免过电压造成的损害，可在线圈两端并 接一个低值电阻（称泄放电阻），加速线圈放电的过程。如图4.3.3 （a）所示。也可用二极管代替电阻提供放电回路，如图4.3.3（b） 所示。或在线圈两端并联电容，以吸收一部分电感释放的能量，如图 4.3.3（c）所示。
电工与电子技术基础(第三版 毕淑娥)第4章 电路的暂态过程
电工与电子技术基础
华南理工大学电子与信息学院 第4章 电路的暂态过程
第4章 电路的暂态过程
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 换路定则及电压电流的初始值 RC串联电路的充电过程 RC串联电路的放电过程 一阶电路的三要素法 RL串联电路的暂态过程
返回
电工与电子技术基础
第4章 电路的暂态过程
4.1换路定则及电压电流的初始值 4.1.1暂态过程概述
uC ?
返回
电工与电子技术基础
第4章 电路的暂态过程
列t 0时的电压方程
U S RiC uC duC RC uC dt
此种微分方程的解由两部分组成：
u'C 方程的特解 u"C 对应齐次方程的通解（补函数）
即：
uC (t ) uC uC
返回
电工与电子技术基础
t RC
uC (t ) u'C u"C
uC () [uC (0 ) uC ()]e US U Se
t RC
US U Se
t
返回
电工与电子技术基础
第4章 电路的暂态过程
的物理意义: 决定电路暂态过程变化的快慢。
uC (t ) U S U S e US USe
第4章 电路的暂态过程
2. 求通解 u"C
du C 通解即： RC uC 0 dt pt 其解为指数，即 uC Ae
其中:
的解。
A为积分常数
P为特征方程式的根
u"C 随时间变化，故通常称为暂态分量。
返回
电工与电子技术基础
第4章 电路的暂态过程
求P值:
华南理工大学电子与信息学院 第4章 电路的暂态过程
第4章 电路的暂态过程
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 换路定则及电压电流的初始值 RC串联电路的充电过程 RC串联电路的放电过程 一阶电路的三要素法 RL串联电路的暂态过程
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第4章 电路的暂态过程
4.1换路定则及电压电流的初始值 4.1.1暂态过程概述
uC ?
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第4章 电路的暂态过程
列t 0时的电压方程
U S RiC uC duC RC uC dt
此种微分方程的解由两部分组成：
u'C 方程的特解 u"C 对应齐次方程的通解（补函数）
即：
uC (t ) uC uC
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t RC
uC (t ) u'C u"C
uC () [uC (0 ) uC ()]e US U Se
t RC
US U Se
t
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第4章 电路的暂态过程
的物理意义: 决定电路暂态过程变化的快慢。
uC (t ) U S U S e US USe
第4章 电路的暂态过程
2. 求通解 u"C
du C 通解即： RC uC 0 dt pt 其解为指数，即 uC Ae
其中:
的解。
A为积分常数
P为特征方程式的根
u"C 随时间变化，故通常称为暂态分量。
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电工与电子技术基础
第4章 电路的暂态过程
求P值:
电路的暂态过程分析
结果分析
对模拟结果进行分析，得出电 路暂态过程的规律和特性。
注意事项
初始条件的设定
正确设定初始条件是模拟电路暂态过程的关键， 需根据实际情况进行合理设定。
实验测试的安全性
在实验测试中，需注意安全操作，避免电路短路 或过载导致设备损坏或人员伤亡。
ABCD
模拟软件的准确性
选择可靠的电路模拟软件，确保模拟结果的准确 性。
详细描述
在电感元件的数学模型中，电流和磁通量之间的关系是线性的。当电流发生变化 时，电感中的磁通量也会相应地发生变化，从而影响电压的大小。因此，电感元 件在电路的暂态过程中也起着重要的作用。
电阻元件的数学模型
总结词
电阻元件的数学模型描述了电阻中的电压和电流之间的关系，其基本公式是$R = frac{V}{I}$，其中 $R$是电阻值，$V$是电阻上的电压，$I$是流过电阻的电流。
电路的暂态过程分 析
目录
• 电路暂态过程的概述 • 电路暂态过程的产生与消失 • 电路暂态过程的数学模型 • 电路暂态过程的模拟与分析 • 电路暂态过程的控制与优化 • 电路暂态过程的发展趋势与展望
01
CATALOGUE
电路暂态过程的概述
定义与特点
定义
电路的暂态过程是指电路从一个稳定 状态过渡到另一个稳定状态所经历的 过程。
详细描述
在电容元件的数学模型中，电压和电流之间的关系是非线性的。当电压发生变 化时，电容上的电荷量也会相应地发生变化，从而影响电流的大小。因此，电 容元件在电路的暂态过程中起着重要的作用。
电感元件的数学模型
总结词
电感元件的数学模型描述了电感中的电流和磁通量之间的关系，其基本公式是$L = frac{di}{dt}$，其中$L$是电感的感抗，$i$是电感中的电流，$dt$是时间的变 化量。
对模拟结果进行分析，得出电 路暂态过程的规律和特性。
注意事项
初始条件的设定
正确设定初始条件是模拟电路暂态过程的关键， 需根据实际情况进行合理设定。
实验测试的安全性
在实验测试中，需注意安全操作，避免电路短路 或过载导致设备损坏或人员伤亡。
ABCD
模拟软件的准确性
选择可靠的电路模拟软件，确保模拟结果的准确 性。
详细描述
在电感元件的数学模型中，电流和磁通量之间的关系是线性的。当电流发生变化 时，电感中的磁通量也会相应地发生变化，从而影响电压的大小。因此，电感元 件在电路的暂态过程中也起着重要的作用。
电阻元件的数学模型
总结词
电阻元件的数学模型描述了电阻中的电压和电流之间的关系，其基本公式是$R = frac{V}{I}$，其中 $R$是电阻值，$V$是电阻上的电压，$I$是流过电阻的电流。
电路的暂态过程分 析
目录
• 电路暂态过程的概述 • 电路暂态过程的产生与消失 • 电路暂态过程的数学模型 • 电路暂态过程的模拟与分析 • 电路暂态过程的控制与优化 • 电路暂态过程的发展趋势与展望
01
CATALOGUE
电路暂态过程的概述
定义与特点
定义
电路的暂态过程是指电路从一个稳定 状态过渡到另一个稳定状态所经历的 过程。
详细描述
在电容元件的数学模型中，电压和电流之间的关系是非线性的。当电压发生变 化时，电容上的电荷量也会相应地发生变化，从而影响电流的大小。因此，电 容元件在电路的暂态过程中起着重要的作用。
电感元件的数学模型
总结词
电感元件的数学模型描述了电感中的电流和磁通量之间的关系，其基本公式是$L = frac{di}{dt}$，其中$L$是电感的感抗，$i$是电感中的电流，$dt$是时间的变 化量。
《电工技术》教学课件 第四章 暂态分析 知识点： 一阶RC电路的冲激响应-教学文稿
2C
t
e RC (t )
1 (t) R
1 R2C
t
e RC (t )
四、归纳总结
1．求一阶RC电路的冲激响应的两种方法之一是按零输入响应计算，此法的关 键是确定在冲激函数作用的瞬间电容电压的初值。 2.求一阶RC电路的冲激响应的另外一种方法是将电路中的冲激激励函数 (t)换 为阶跃激励函数ε(t)，求其阶跃响应，然后再将阶跃响应对时间求一阶导数得到 冲激响应。
一种是按零输入响应计算，此法的关键是确定在冲激函数作用的瞬间电容 电压的初值。由于电路处于零状态，在t = 0 时电容视为短路，求出在0到0+ 时间内电容电流的冲激函数，然后根据电容元件电压电流关系的积分形式求得 电容电压的初值。
另一种方法是将电路中的冲激激励函数 (t)换为阶跃激励函数ε(t)，求其 阶跃响应，然后再将阶跃响应对时间求一阶导数得到冲激响应。
1 R2C
t
e RC (t )
三、知识深化
解法二：
电路的阶跃响应为
t
uC (t) (1 e RC ) (t)
电路的冲激响应为
i(t)
1
t
e RC
(t )
R
uC
(t)
d
t
[(1 e RC
dt
) (t)]
1 RC
t
e RC (t )
i
(t)
d dt
[1 R
t
e RC
(t)]
1
t
e RC
高等职业教育数字化学习中心
电单工电击子此技处术 编辑母版标题样式
主 讲：张 强
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讲授内容
项目一： 电路分析基本定律与分析方法
t
e RC (t )
1 (t) R
1 R2C
t
e RC (t )
四、归纳总结
1．求一阶RC电路的冲激响应的两种方法之一是按零输入响应计算，此法的关 键是确定在冲激函数作用的瞬间电容电压的初值。 2.求一阶RC电路的冲激响应的另外一种方法是将电路中的冲激激励函数 (t)换 为阶跃激励函数ε(t)，求其阶跃响应，然后再将阶跃响应对时间求一阶导数得到 冲激响应。
一种是按零输入响应计算，此法的关键是确定在冲激函数作用的瞬间电容 电压的初值。由于电路处于零状态，在t = 0 时电容视为短路，求出在0到0+ 时间内电容电流的冲激函数，然后根据电容元件电压电流关系的积分形式求得 电容电压的初值。
另一种方法是将电路中的冲激激励函数 (t)换为阶跃激励函数ε(t)，求其 阶跃响应，然后再将阶跃响应对时间求一阶导数得到冲激响应。
1 R2C
t
e RC (t )
三、知识深化
解法二：
电路的阶跃响应为
t
uC (t) (1 e RC ) (t)
电路的冲激响应为
i(t)
1
t
e RC
(t )
R
uC
(t)
d
t
[(1 e RC
dt
) (t)]
1 RC
t
e RC (t )
i
(t)
d dt
[1 R
t
e RC
(t)]
1
t
e RC
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主 讲：张 强
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讲授内容
项目一： 电路分析基本定律与分析方法
暂态电路分析PPT课件
0
0.2
i2 (t) 0 .2 (1 e 1 0 t)m At 0
0
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4.4一阶线性电路暂态过程的三要素分析法
线性直流或无源一阶电路的方程：
u(t)du(t) u()
或
i(t) di(t) i()
dt
其中，时间常数
RC 或 L
dt
R
R为与储能元件相接的线性电路的戴维宁等效电阻。
上一页下一页目录返回退出41换路定律与电压电流初始值的确定42rc电路的暂态过程43rl电路的暂态过程44一阶线性电路暂态过程的三要素分析法45矩形脉冲作用于一阶电路46rlc串联电路的零输入响应上一页下一页目录返回退出前面讨论电路的响应时都没有考虑所讨论的电路是什么时刻开始工作的事实上我们默认所分析的电路包括组成电路的各元件参数和它们之间的连接方式已经工作了足够长时间电路进入了稳态状态电路响应不再随时间变化例如直流稳态时响应为恒定值或随时间按某一规律周期性变化如正弦稳态时响应为与激励同频率的正弦量
dt
dt
其中，所求电压、电流可为电路中任意一条支路上的响 应，方程右边的符号表示该响应在直流稳态时的值。
由于在直流稳态时，所有电压电流都为直流，电容电流 和电感电压必为0，因此，直流稳态时，电容将等效为开路、 电感将等效为短路。
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4.2.3 RC/RL电路的暂态过程（续3）
零输入响应和零状态响应
电路与模拟电子技术
第4章 暂态电路分析
本章教学内容
4.1 换路定律与电压电流初始值的确定 4.2 RC电路的暂态过程 4.3 RL电路的暂态过程 4.4 一阶线性电路暂态过程的三要素分析法 4.5 矩形脉冲作用于一阶电路 4.6 RLC串联电路的零输入响应
0.2
i2 (t) 0 .2 (1 e 1 0 t)m At 0
0
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4.4一阶线性电路暂态过程的三要素分析法
线性直流或无源一阶电路的方程：
u(t)du(t) u()
或
i(t) di(t) i()
dt
其中，时间常数
RC 或 L
dt
R
R为与储能元件相接的线性电路的戴维宁等效电阻。
上一页下一页目录返回退出41换路定律与电压电流初始值的确定42rc电路的暂态过程43rl电路的暂态过程44一阶线性电路暂态过程的三要素分析法45矩形脉冲作用于一阶电路46rlc串联电路的零输入响应上一页下一页目录返回退出前面讨论电路的响应时都没有考虑所讨论的电路是什么时刻开始工作的事实上我们默认所分析的电路包括组成电路的各元件参数和它们之间的连接方式已经工作了足够长时间电路进入了稳态状态电路响应不再随时间变化例如直流稳态时响应为恒定值或随时间按某一规律周期性变化如正弦稳态时响应为与激励同频率的正弦量
dt
dt
其中，所求电压、电流可为电路中任意一条支路上的响 应，方程右边的符号表示该响应在直流稳态时的值。
由于在直流稳态时，所有电压电流都为直流，电容电流 和电感电压必为0，因此，直流稳态时，电容将等效为开路、 电感将等效为短路。
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4.2.3 RC/RL电路的暂态过程（续3）
零输入响应和零状态响应
电路与模拟电子技术
第4章 暂态电路分析
本章教学内容
4.1 换路定律与电压电流初始值的确定 4.2 RC电路的暂态过程 4.3 RL电路的暂态过程 4.4 一阶线性电路暂态过程的三要素分析法 4.5 矩形脉冲作用于一阶电路 4.6 RLC串联电路的零输入响应
电工学-第四章 电路的暂态分析
2 u c (0 ) 10 4V 3 2 10 i L (0 ) 2A 3 2
（2）由换路定理得： uc (0 ) uc (0 ) 4V
iL (0 ) iL (0 ) 2 A
因此，在t=0+ 瞬间，电容元件相当于一个4V 的电压源，电感元件相当于一个2A的电流源。据 此画出t=0+ 时刻的等效电路，如图3-3 (C) 所示。
可见τ等于电压uc衰减到初始值36.8%的时间 从理论上讲,电路只有经过t=∞的时间,才能达到稳定; 实际上经过5 τ就认为达到稳定. 另外,RL电路的时间常数 L / R
画出uc及i的波形如图所示。
RC 电路零输入响应 电压电流波形图
在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起 的响应叫零状态响应。
（3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方 法，可求出电路中其他电流、电压的初始值，即
4 i1 (0 ) 2 A 2 4 i 2 (0 ) 1 A 4
iC(0+)=2-2-1=-1A uL(0+)=10-3×2-4=0
例2: 电路如图3-4 (a)所示，开关S闭合前电路无储能，开 关S在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初始值。
uC uC ()(1 e
t RC
)
t≥0
2式
由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当 t=τ时， uc(τ) =US（1-e–1）=63.2%US，即在零状态响应中，电容电压 上升到稳态值uc=(∞)=US的63.2%所需的时间是τ。而当t=4~5τ 时，u c上升到其稳态值US的98.17%~99.3%，一般认为充电过 程即告结束。电路中其他响应分别为
（2）由换路定理得： uc (0 ) uc (0 ) 4V
iL (0 ) iL (0 ) 2 A
因此，在t=0+ 瞬间，电容元件相当于一个4V 的电压源，电感元件相当于一个2A的电流源。据 此画出t=0+ 时刻的等效电路，如图3-3 (C) 所示。
可见τ等于电压uc衰减到初始值36.8%的时间 从理论上讲,电路只有经过t=∞的时间,才能达到稳定; 实际上经过5 τ就认为达到稳定. 另外,RL电路的时间常数 L / R
画出uc及i的波形如图所示。
RC 电路零输入响应 电压电流波形图
在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起 的响应叫零状态响应。
（3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方 法，可求出电路中其他电流、电压的初始值，即
4 i1 (0 ) 2 A 2 4 i 2 (0 ) 1 A 4
iC(0+)=2-2-1=-1A uL(0+)=10-3×2-4=0
例2: 电路如图3-4 (a)所示，开关S闭合前电路无储能，开 关S在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初始值。
uC uC ()(1 e
t RC
)
t≥0
2式
由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当 t=τ时， uc(τ) =US（1-e–1）=63.2%US，即在零状态响应中，电容电压 上升到稳态值uc=(∞)=US的63.2%所需的时间是τ。而当t=4~5τ 时，u c上升到其稳态值US的98.17%~99.3%，一般认为充电过 程即告结束。电路中其他响应分别为
《电工与电子技术》电路的暂态过程
，
，三个电容器的耐压值
是
。试求：（1）等效电容；（2）混联电容器组合端电压不能超过
多少伏?
解：（1）先求
图2-6 例2-1图
、 的等效电容
再将 与 串联，如图2-6（b）所示
第一节 电感元件与电容元件
（2）因为 和 串联，而且
，所以和承受的电压相同，而 和
的耐压值都是50V，因此，该混联组合的电压不能超过
i1(0 ) US
i2 (0 )R2 R1
12 0 4 103
310 3 A
3mA
iC (0 ) i1(0 ) i2 (0 ) 3 0 3mA
第二节 暂态过程和换路定律
【例2-3】 如图2-11（a）所示， 向2，在t<0时，电路处于稳定，求初始值
。t =0时，开关由1扳
、和
。
图2-3 平行板电容器及符号
第一节 电感元件与电容元件
如果将电容器的两个极板分别接到直流电源的正、负极上，则两极板上分别聚集 起等量异种电荷，与电源正极相连的极板带正电荷，与电源负极相连的极板带负 电荷，这样极板之间便产生了电场。实践证明，对于同一个电容器，加在两极板 上的电压越高，极板上储存的电荷就越多，且电容器任一极板上的带电荷量与两 极板之间的电压的比值是一个常数，这一比值就称为电容量，简称电容，用C表 示。其表达式为
解：在换路前，即
图2-11 例2-3图
时，电感相当于短路，如图2-11（b）所示，即
iL (0 )
US R1
9A 3
3A
第二节 暂态过程和换路定律
换路之后的电路图如图2-11（c）所示，根据换路定律有
iL (0 )
US R1
9A 3
第四章电路的暂态分析
设：t＝0 时换路
0
− --- 换路前瞬间
则：
0 --- 换路后瞬间 + − u C (0 ) = u C (0 )
+
iL (0 ) = iL (0 )
2011-6-17 15
+
−
换路瞬间，电容上的电压、 换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能 突变的原因解释如下： 突变的原因解释如下： 自然界物体所具有的能量不能突变， 自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累 或释放需要一定的时间。所以： 或释放需要一定的时间。所以：
2011-6-17
R C
i
uC
24
一阶电路过渡过程的求解方法
(一). 经典法: 用数学方法求解微分方程； 一 用数学方法求解微分方程； 微分方程
∗
(二). 三要素法: 求 二
初始值 稳态值 时间常数
……………...
2011-6-17
25
(一) 经典法
K + _E C R
例
i
一阶常系数 线性微分方程
ui
τ<<T/2
T/2 T C R 2T
E t E T 2T t
ui
uo
uo uC
E
2011-6-17 34
t
作业: 作业 P49-50
2-1
2011-6-17
35
结束
END
2011-6-17 36
19
2011-6-17
电路的响应
♣ 零输入响应： 零输入响应：
在零输入的条件下，由非零初始态引起的响 在零输入的条件下， 为零输入响应； 此时， 应，为零输入响应； 此时， u c ( 0 + ) 或 iL (0+ ) 被视为一种输入信号。 被视为一种输入信号。
0
− --- 换路前瞬间
则：
0 --- 换路后瞬间 + − u C (0 ) = u C (0 )
+
iL (0 ) = iL (0 )
2011-6-17 15
+
−
换路瞬间，电容上的电压、 换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能 突变的原因解释如下： 突变的原因解释如下： 自然界物体所具有的能量不能突变， 自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累 或释放需要一定的时间。所以： 或释放需要一定的时间。所以：
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R C
i
uC
24
一阶电路过渡过程的求解方法
(一). 经典法: 用数学方法求解微分方程； 一 用数学方法求解微分方程； 微分方程
∗
(二). 三要素法: 求 二
初始值 稳态值 时间常数
……………...
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(一) 经典法
K + _E C R
例
i
一阶常系数 线性微分方程
ui
τ<<T/2
T/2 T C R 2T
E t E T 2T t
ui
uo
uo uC
E
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t
作业: 作业 P49-50
2-1
2011-6-17
35
结束
END
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19
2011-6-17
电路的响应
♣ 零输入响应： 零输入响应：
在零输入的条件下，由非零初始态引起的响 在零输入的条件下， 为零输入响应； 此时， 应，为零输入响应； 此时， u c ( 0 + ) 或 iL (0+ ) 被视为一种输入信号。 被视为一种输入信号。
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设一阶线性电路中所求变量为 f (t) ，变量的初始值为 f (0 ) ，变量在过渡过程结束后的稳态值为 f () ，时间常
数为 ，则我们可直接写出全响应的表达式为
f (t)
f ' (t)
f "(t)
f () [ f (0 )
t
f ()]e
式中，f '(t) 和 f "(t) 分别表示全响应中对应齐次方程的解和对 应非齐次方程的特解。
uC
t
E(1 e
)
3(1
t
e 2106
)
3(1
e5105 t
)
三、RC电路的全响应
由电容元件的初始储能和外接激励共同作用所产生的电路
响应，称为RC电路的全响应。
在图示电路中，电容元件
已具有初始储能 uC (0 ) U0 ＜U S
当开关S在 t 0 时刻合向电路 ，根据KVL，列出t ≥ 0 的电路
0
从理论上讲电容二端的电压经过无限长时间才能衰减至零
，但在工程上一般认为换路后，经过4 ~ 5 时间过渡过程即结
束。如图所示曲线分别为 uC 、i 、uR 随时间变化的曲线。
uC,uR
i
U
uC
t
t
uR
-U
US R
例 4-3 在图中，开关S长期合在位置1上，当t 0 时把它
合在位置2上，求换路后电容元件上电压uC和放电电流 i 。
第一节 储能元件和换路定则
由于电路结构（例如电路的接通、断开、短路等）或参
数的变化而引起电路从一种状态转变到另一种状态称之为换路
。
当初始时刻无储能，电容、电感中储存的能量与任一时刻
电压与电流的关系为
WC
1 2
Cuc
2
WL
1 2
LiL2
我们将换路的那一瞬间定为 t 0 ，把换路前的最终时刻定 为 t 0，将换路后的最初时刻定为 t 0，这样换路经历的时
R1 1 2
S
t=0 i
+
R2
u +
uC_
C
R _
R3
R3C 3103 1106 3103 s
uC
t
uC (0 )e
t
uC (0 )e
6e3.3102 tV
i C duC 2e3.3102 t mA dt
二、RC电路的零状态响应
电路中的电容元件在换路前没有初始储能，即 uC (0 ) 0 ，换路后由外接激励引起的电路响应，称为RC电路的零状态
3103 9 (6 3) 103
3V
利用戴维宁定理求等效电阻的方法，求出从电容二端看
进去的等效电阻 R0（电压源短路）
R0
R1R2 R1 R2
(6 3) 106 (6 3)103
2103
2
kΩ
所以，戴维宁等效后的电路如图所示，电路的时间常数 为
R0C 2 103 1000 1012 2 106 s
C
1103 2103 (1 2)103
3106
2103 s
齐次方程的解
uC
t
Ae
Ae V 500t
非齐次方程的特解
uC
R2 R1 R2
U2
2 103 (1 2) 103
5
10V 3
所以：
uC
uC
uC
10 3
Ae500t
将 uC (0 ) uC (0 ) 2 V，代入上式有 A 4 ，得
特征方程 RCp 1 0
特征根： p 1
RC
将初始条件代入方程的通解，得积分常数 A uC (0 ) U
可得：
uC
Ae pt
1t
Ue RC
可以看出，电容两端的电压是按照指数规律衰减的，衰
1
减的快慢取决于 RC ，定义参数：
RC
称为 RC电路的时间常数，如果电阻 的单位是欧姆
（Ω），电容的单位是法拉（ F），则 的单位是秒（s）。
i C duC
US
t
e
dt R
t
uR Ri U S e
曲线分别为 uC 、uR 、i 随时间变化的曲线。
uC US
uC
uC"
uR,i
US
t
US
uR
uC'
R
i
t
-US
在分析较为复杂电路的暂态过程时，也可以应用戴维宁 定理或诺顿定理将换路后的电路化简为一个简单电路，然后 再利用经典法求解电路。
t
uC (U0 U S )e U S
对于上式，等式右边第一项是暂态分量，它随着过渡过 程的结束而趋于零，第二项是稳态分量，它等于电路中施加 的独立电源电压。因而从普遍意义上讲，我们有
全响应 = 暂态分量 + 稳态分量
上式还可以写成：
t
t
uC U0e US (1 e )
上式中我们又看到，等式右边第一项是当外接独立电源 为零时，电容具有初始储能时的零输入响应，而第二项是当 电容没有初始储能而外接独立电源时的零状态响应，二者根 据叠加定理就构成了
与经典法相比较，三要素法省略了求解微分方程的过程， 简便易行，所以在电路的过渡过程分析中得到了广泛的应用。 但在使用一阶电路的三要素法对电路进行暂态分析时应当注 意：三要素法仅适用于直流电源作用下一阶线性电路暂态过程 的分析，对二阶以及二阶以上的电路并不适用。
响应。
i
+
US
_
S +
t=0
uR _
R +
C _ uC
动画演示
列出t≥0的电路方程： uR uC U S
将i C duC
dt
和 uR
Ri 代入上面的方程：
RC
duC dt
uC
US
这是一阶线性常系数非齐次微分方程，通常方程的通解
由二部分组成，即对应齐次方程的解 uC 和非齐次方程的
特解 uC 组成。
已知 R1 1k ，R2 2k ，R3 3k，C 1 F，电流源 IS 3mA。
解：在t 0 时，电容相当于开路，
则按图所标出 i 和 uC 的参考
方向，则t≥0时有：
uR uC 0
IS
因为： uR R3i
i C duC dt
由此得：
R3C
duC dt
uC
0
由前面的RC电路的零输入分析有
uC uC uC
齐次方程的解
t
uC Ae
非齐次方程的特解 uC 即是充电结束后电路达到新的稳态时
电容两端的电压。因此，我们容易得到
所以
uC U S
t
uC uC uC Ae U S
将初始条件 uC (0 ) uC (0 ) 0 代入上式得 A U S
因此
t
t
uC U S U S e U S (1 e )
1S
i
t=0
+
2
U
_
+
R uR
_
+
C _uC
1S
i
t=0+来自2U_
根据基尔霍夫电压定律，
+ 列出t≥0 时的电路方程
R uR
_
uR uC 0
+
C _uC
将 i C duC
dt
和 uR Ri
代入上面的方程：
这是一阶线性常系数齐次微分方程，
RC
duC dt
uC
0
初始条件 uC (0 ) U uC (0 ) 令此方程的通解为 uC Ae pt ，得：
例4-4 uC (0 )
在图示电路中, U 9 V , 0,试求 t ≥ 0 时的电压
Ru1 C。6k , R2
3k,
C
1000
pF,
S
R1
i
R0
+
t= 0
+
+
+
U
_
R2
C
_ uC
E
uC
_
_
解：首先，根据戴维宁定理，将除电容以外的电路用戴维 宁等效电路代替。 戴维宁等效电压源的电压为
E
R2U R1 R2
i 10K
ic(0+) 10K
+ 10V _
40K
ic +
_ uc
+ 10V _
+ _ 8V
S
解：t 0 时，电容相当于开路，可得
10 40 uC (0 ) 10 40 8V
由换路定则：
uC (0 ) uC (0 ) 8V
画出 t 0 时刻的等效电路如右图所示，可得
iC
(0
)
10 10
在含有电感、电容元件的电路中，当电路的结构 或元件参数发生变化时（如电路的电源断开或接入、 元件参数的变化、电路结构的变化等），电路就会从 一种稳定状态（电压、电流已达到稳定值）转变到另 一种稳定状态，这种转变需要经历一个时间过程，我 们将这个时间过程称之为过渡过程。一般情况下过渡 过程持续时间非常短暂，所以也称暂态过程。
8
0.2mA
例4-2 如图所示的电路在换路前已处于稳态，在 t 0时闭
合开关S，试求换路后的 iL (0 )、uL (0 ) 。
1
4
1
4
+
10V
S
_
+
+
u_L L
10V _
S
+
u_L L
解：t 0 时，电感相当于短路，可得
iL
(0
)
10 1 4
2A