威布尔分布介绍培训
python威布尔分布曲线拟合
Python威布尔分布曲线拟合1. 介绍威布尔分布是一种描述时间或寿命数据的统计分布，广泛应用于可靠性工程、医学、环境科学等领域。
在实际应用中，我们经常需要对数据进行威布尔分布的拟合，以了解数据的分布特征并进行进一步的分析。
2. 什么是威布尔分布威布尔分布是一种连续概率分布，其概率密度函数为：f(x;λ, k) = (k/λ) * (x/λ)^(k-1) * exp(-(x/λ)^k)，其中x≥0，λ>0，k>0。
λ和k 分别为威布尔分布的尺度参数和形状参数，决定了分布的特征。
3. Python中的威布尔分布拟合在Python中，我们可以使用SciPy库中的stats模块来进行威布尔分布的拟合。
我们需要导入相应的库：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy import stats```4. 生成数据为了进行威布尔分布的拟合，我们首先需要准备一组数据。
假设我们有一组寿命数据，我们可以使用NumPy库生成符合威布尔分布的随机数据：```pythondata = np.random.weibull(k, size=1000)```5. 进行拟合有了数据之后，我们就可以使用stats模块中的weibull_min类来进行拟合：```pythonparams = stats.weibull_min.fit(data, loc=0)```6. 绘制拟合曲线我们可以利用拟合得到的参数来绘制威布尔分布的概率密度函数曲线：```pythonx = np.linspace(0, 5, 100)y = stats.weibull_min.pdf(x, *params)plt.plot(x, y, 'r-', lw=2)plt.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.6)plt.show()```7. 结论通过以上步骤，我们就可以在Python中实现对威布尔分布的数据拟合，并得到拟合曲线。
威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法[知识研究]
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m --形狀參數 η--尺度參數
m
標准Weibull分布 f t mtm 1e t
❖在Weibull分布數,形狀參數m是一個很重要的指標,
當產品進行壽命試驗時, m與樣本數量有直接的聯系.
专业知识
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➢2. 形狀參數m數值的确定:
一般可由經驗确定, 如經驗無法确定, 則可 采用如下方法:
❖a. 選取少量樣本, 例如5~8個;
专业知识
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選擇可靠性,并輸入 “0.90”, 時間項輸入 “500”
分布選擇 “Weibull”
輸入 “8.55”
专业知识
允許的最大失效數 項輸入 “0”
每個單元的檢驗次 數項輸入 “600”
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結果分析
所需測試的樣本數量是6 個,這6個樣本在600小時 測試時間內不能失效,該 試驗計划的實際置信水
威布爾(Weibull)分布的可靠 性/壽命試驗方法
专业知识
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在產品早期失效期以及耗損失效期, 其失效率曲線是符合Weibull分布.
因此, 本試驗方法是基于產品開發階段 的壽命是服從Weibull分布.
专业知识
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➢1. 雙參數Weibull分布模型
概率密度f
t
m
t
m
1
e
t
mHale Waihona Puke ,失效率tm
t
m
❖b. 進行完全壽命試驗, 并分別記錄每個樣本的
失效時間(或cycle).
❖c. 設定可靠度及置信度.
❖d. 利用MINITAB程序計算出形狀參數m.
专业知识
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案例一:利用MINITAB程序确定Weibull 分布的形狀參數實例
威布尔分布专题
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3
4 5
16
Minitab中的威布尔分析
Probability Plot for Life of CSA (Days)
Weibull - 70% CI Censoring Column in CSA Status(A=Active, C=Cancel) - LSXY Estimates
99 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 3 2 1
100
1000
Life (Hours)
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威布尔分布的三个参数
威布尔分布的三个参数
威布尔分布的三个参数是：形状、尺度（范围）和位置。
威布尔分布有多种形式，包括一参数威布尔分布、二参数威布尔分布、三参数威布尔分布或混合威布尔分布，三参数的威布尔分布由形状、尺度和位置三个参数决定。
其中形状参数是最重要的参数，决定分布密度曲线的基本形状，尺度参数起放大或缩小曲线的作用，但不影响分布的形状。
通过改变形状参数可以表示不同阶段的失效情况；也可以作为许多其他分布的近似，如，可将形状参数设为合适的值以近似正态、对数正态、指数等分布。
威布尔分布的概率密度函数
威布尔分布的概率密度函数
威布尔分布是概率统计学中一种重要的概率分布，它常用于描述可靠性分析、生存分析等领域。
威布尔分布的概率密度函数为：
f(x) = (a/λ) * (x/λ)^(a-1) * e^(-(x/λ)^a) 其中，a和λ是分布的参数，a称为形状参数，λ称为尺度参数。
威布尔分布的累积分布函数为：
F(x) = 1 - e^(-(x/λ)^a)
威布尔分布的特点是随着x的增大，概率密度逐渐减小，但是减小的速率逐渐变缓。
因此，威布尔分布常用于描述在使用寿命较长的物品中，设备失效的概率随时间增加的规律。
在可靠性分析中，威布尔分布常用于估计设备的失效概率曲线和寿命分布。
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威布尔分布如何根据形状参数,尺度参数,截距等拟合公式
威布尔分布如何根据形状参数,尺度参数,截距等拟合公
式
威布尔分布是一种概率分布，广泛用于寿命测试和可靠性工程。
它是由形状参数（k）、尺度参数（η）和截距（T）确定的。
以下是根据给定的参数来描述威布尔分布的公式：
1. 概率密度函数（PDF）：
\(f(t) = \frac{k}{\eta} \left( \frac{t}{\eta} \right)^{k-1} e^{-
\left( \frac{t}{\eta} \right)^k}\)
其中，\(t\) 是观察的时间，\(k\) 是形状参数，\(\eta\) 是尺度参数。
2. 累积分布函数（CDF）：
\(F(t) = 1 - e^{- \left( \frac{t}{\eta} \right)^k}\)
其中，\(t\) 是观察的时间，\(k\) 是形状参数，\(\eta\) 是尺度参数。
3. 均值（期望值）：
\(\mu = \eta \Gamma(1+1/k)\)
其中，\(\Gamma\) 是伽玛函数。
4. 方差：
\(\sigma^2 = \eta^2 \left[ \Gamma(1+2/k) - \Gamma^2(1+1/k)
\right]\)
其中，\(\Gamma\) 是伽玛函数。
这些公式可以根据给定的参数（形状参数、尺度参数和截距）进行拟合。
在实践中，通常会使用最大似然估计法（MLE）或其它统计方法来估计这些参数。
韦布尔分布专题知识
设t1,t2,t3,…,tn为某随机变量t旳一组观察值，则为布尔分 布拟合旳环节如下：
1. 计算t旳样本均值m和方差s^2，并用下式计算样本分 布旳偏倚系数Cs计算出参数α。
3. 计算参数β、γ旳估计值。
β=m+S*A(α),γ=β-S*B(α) 将参数α、β、γ代入式（4-51），即能够求得韦布尔分布。
一 基本公式
韦布尔分布
式中βͺγͺα为分布参数，取正值且β>γ。γ称为起点参 数，α称为形状参数，β称为尺度参数。显然负指数分布 和移位负指数分布是韦布尔分布旳特例。
韦布尔分布旳概率密度函数为
图4-12是γ=0ͺβ=1旳为布尔分布旳概 率密度曲线，曲线旳形状伴随参数α旳 大小而变化，可见为布尔分布旳合用 范围是比较广泛旳。当α=1时即为负 指数分布，α=3或2时，与正态分布没 有多少差别。
三 合用条件 四 应用举例
威布尔分布表达式
威布尔分布表达式
威布尔分布是一种概率分布，通常用于描述一些物理、化学或生物现象的寿命或失效时间。
其概率密度函数表示为：f(x) = (α/λ)×(x/λ)^(α-1)×exp(-(x/λ)^α)，其中α和λ为分布的形状参数和尺度参数。
威布尔分布表达式的推导可以使用最大似然估计方法，通过样本数据对参数进行估计。
对于给定的n个样本数据x1,x2,...,xn，威布尔分布的似然函数为：L(α,λ) = ∏(i=1 to n)[(α/λ)×(xi/λ)^(α-1)×exp(-(xi/λ)^α)]。
通过对似然函数进行求导，并令其等于0，可以求得最大似然估计值：α = (n/Σ(xi/λ)^2)^(1/α)，λ = (Σ(xi/λ)^α/n)^(1/α)。
这个估计方法可以通过计算机程序实现，方便地得到威布尔分布的参数估计值。
威布尔分布表达式的应用十分广泛，包括风力场和振动信号的分析、设备寿命的预测、信号传输的可靠性评估等。
其具有良好的数学性质，可以方便地进行推导和计算，因此被广泛应用于工程和科学领域。
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X
X0 X0
b
dx
假设:
X X0
X0
b
y
对y求x的导数得：
dy
b
X
X0 X0
b-1
•
1 X0
dx
➢ Weibull分布被广泛的应用到工程 的实践，
➢ 因为他的多功能性。 ➢ 最初被用在疲劳资料的分析上， ➢ 后来扩展到许多工程技术问题上。
➢ 例子：六个轴承试验寿命为
➢ （4.0，1.3，9.8，2.7，6.6和5.2） 105
➢ 求：威布尔斜率b ，
特性值 ，
平均寿命 （mean life) 及 B10寿命。
➢ 威布尔斜率 b = 1.5
➢ 特性值 = 5.7 105 图形@ 63.2%
平均寿命 （mean life) 5.1105 @ 57.5%
威布尔分布介绍（Introduction of
Weibull distribution）
➢ Weibull分布被广泛的应用到工程 的实践，
➢ 因为他的多功能性。 ➢ 最初被用在疲劳资料的分析上， ➢ 后来扩展到许多工程技术问题上。
➢ 在log，log表格纸上划出是一条直 线，
➢ 要解释这个图标也是比较简单明 了的。
➢ 威布尔累积的分布函数源自Fx
1
exp
X
X0 X0
b
➢ 两个参数的威布尔累积分布函数
F x
1-
exp
X
b
➢ 数学运算：
1
F x - 1
exp
X
b
ln
1
➢ 他主要是应用在有关室外试验寿 命的分析。
威布尔分布的密度函数是：
X 0 变量的最小值，也称位量参数 b 威布尔斜率，也称形状参数
特性值，也称比例参数
威布尔累积的分布函数是:
F
x
X
X0
f
xdx
X X0
b X0
X
X0 X0
b1
exp
Fx
1
X
b
ln
ln
F
1
x
1
b
•
ln
X
b
•
ln
➢ 数学运算（续）：
由： Y bZ C
令：
Y
ln
ln
1
Fx
1,
Z
ln
X,C
b ln
b是直线的斜率
➢ 在汽车行业中一般应用 B10 寿命。
➢ 我们说 B10 寿命4小时，在给定的 条件下试验到4小时，有90%样 品通过，只有10%的样品通不过。