2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题4 第15讲 圆锥曲线的标准方程与性质
锥曲线的标 15讲 准方程与性质
第15讲 │ 主干知识整合 15讲
主干知识整合
1．圆锥曲线的定义 ． 2．圆锥曲线的标准方程 ． (1)椭圆 或双曲线 的标准方程 椭圆(或双曲线 椭圆 或双曲线)的标准方程 求椭圆(或双曲线 标准方程的基本步骤是“三定” 或双曲线)标准方程的基本步骤是 求椭圆 或双曲线 标准方程的基本步骤是“三定”： 定型，即确定它是哪类曲线； ① 定型，即确定它是哪类曲线； 定位，即判断它的焦点在哪条坐标轴上； ②定位，即判断它的焦点在哪条坐标轴上； 定量，即建立关于基本量的方程或方程组， ③定量，即建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量 a、b 的值． 、 的值． 另外，求双曲线的方程，要注意条件给出的信息， 另外，求双曲线的方程，要注意条件给出的信息，明确是求整个双曲线的标准 方程还是求双曲线某一支的方程． 方程还是求双曲线某一支的方程． (2)抛物线的标准方程 抛物线的标准方程 一般有两种常见的解题方法： 一般有两种常见的解题方法： 焦点定位法，即由焦点所在的坐标轴确定抛物线的开口方向， ①焦点定位法，即由焦点所在的坐标轴确定抛物线的开口方向，设出抛物线的 方程类型，再由条件求出参数 的大小； 方程类型，再由条件求出参数 p 的大小； 待定系数法， ②待定系数法，即先设出抛物线一般形式的方程 y2＝2λx(λ∈R 且 λ≠0)或 x2＝ ∈ ≠ 或 2λy(λ∈R 且 λ≠0)，然后建立方程求出参数 λ 的值 的值. ∈ ≠ ，
【分析】 画出图形进行分析，先求出两切点坐标，再分别 分析】 画出图形进行分析， 先求出两切点坐标， 求切线与两坐标轴的交点即为椭圆的右焦点和上顶点， 求切线与两坐标轴的交点即为椭圆的右焦点和上顶点，继而可求 出 b 和 c.
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1 x2 y2 ， 解析】 ＋ 4 ＝1 【解析】 由题可知过点1，2与圆 x2＋y2＝1 的圆心的直 5 1 1 线方程为 y＝ x， ＝ ， 由垂径定理可得 kAB＝－2.显然过点1，2的一条切线为直 ＝－ 显然过点 ， 2 线 x＝1，此时切点记为 A(1,0)，即为椭圆的右焦点，故 c＝1. ＝ ， ，即为椭圆的右焦点， ＝ 由点斜式可得， ＝－2(x－ ， 由点斜式可得，直线 AB 的方程为 y＝－ －1)，即 AB：2x＋y－2＝0. ＝－ ： ＋ － ＝ 令 x＝0 得上顶点为 ＝ 得上顶点为(0,2)，∴b＝2，∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为 ， ＝ ， ， x2 y2 1. 5＋4＝
点评】 在求圆的两条切线时，其中一条斜率不存在， 【点评】 在求圆的两条切线时， 其中一条斜率不存在，要注意讨 数形结合的运用是可以避免这类错误出现的． 论．数形结合的运用是可以避免这类错误出现的．
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x2 y2 (1) 若点 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0) ＞ ＞ a b →1· PF2＝0，tan∠PF1F2＝1，则此椭圆的离心率 e＝ 上一点， ， ∠ 上一点，且PF → ＝ 2 ( ) 5 2 1 1 A. B. C. D. 3 3 3 2 7 (2) 设 θ 是△ABC 的一个内角， sin θ＋cos θ＝ ， x2sin θ 的一个内角， 且 ＋ ＝13 则 ) －y2cos θ＝1 表示 ＝ 表示( A．焦点在 x 轴上的椭圆 ． B．焦点在 y 轴上的椭圆 ． C．焦点在 x 轴上的双曲线 ． D．焦点在 y 轴上的双曲线 ．
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► 探究点二 双曲线的标准方程与性质
x2 y2 山东卷] 例 2[2011· 山东卷 已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两 ， 的两 条渐近线均和圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0 相切，且双曲线的右焦 ： ＋ ＝ 相切， 的圆心，则该双曲线的方程为( ) 点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为 x2 y2 A. － ＝1 5 4 x2 y2 B. － ＝1 4 5 x2 y2 C. － ＝1 3 6 x2 y2 D. － ＝1 6 3
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1 2 3－n － 3 3 ， 【解析】 (1)依题意， (1) (2) 3 5 解析】 依题意， n ＝4 ，解得 n＝ . 依题意 ＝5 5 (2)设椭圆的半长轴长，半焦距分别为 a1，c，双曲线的半实轴长， 设椭圆的半长轴长， 设椭圆的半长轴长 ，双曲线的半实轴长， 半焦距分别为 a2，c，PF1＝m，PF2＝n，则 ， ， ， m＋n＝2a1，m－n＝2a2，m＝10，n＝2c， ＋ ＝ － ＝ ＝ ， ＝ ， ⇒ a1＝5＋c，a2＝5－c， ＋ ， － ， c c 的取值范围． 问题转化为已知 1＜ ＜ ＜2，求 ， 的取值范围． 5－c 5＋c － ＋ 5x c x 1 1 c . ＝x，则 c＝ ， ＝ ， ＝ ＝ － 设 1＋x 5＋c 2x＋1 2 4x＋2 5－c － ＋ ＋ ＋ ＋ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 < － ，即 ＜ － .故结 ∵1＜x＜2，∴2－6＜2－ ＜ ＜ ， 3 2 4x＋2＜5 故结 4x＋2 2 10 ＋ ＋ 1 2 果为3，5.
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要点热点探究 ► 探究点一 椭圆的标准方程与性质
1 x2 y 2 ， 江西卷] 轴上， 例 1[2011·江西卷 若椭圆a2＋b2＝1 的焦点在 x 轴上， 江西卷 过点1，2作 的切线， 圆 x2＋y2＝1 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦 ， ， 点和上顶点，则椭圆方程是________． 点和上顶点，则椭圆方程是________．
【分析】 直接利用抛物线的定义解题． 分析】 直接利用抛物线的定义解题．
B 【解析】 由题意设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，又∵其 解析】 ， p 准线方程为 x＝－2＝－ ，∴p＝4，所求抛物线方程为 y2＝8x. ＝－ ＝－2， ＝ ，
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【点评】 求圆锥曲线的标准方程，一般有两种方法：一是用待定 点评】 求圆锥曲线的标准方程，一般有两种方法： 系数法，通过题设条件计算圆锥曲线方程的几何量； 系数法，通过题设条件计算圆锥曲线方程的几何量；二是利用圆锥曲线 的定义，列出等量关系式，化简即可得到曲线的标准方程．一般地， 的定义，列出等量关系式，化简即可得到曲线的标准方程．一般地，求 出标准方程后，还需检验方程是否为所求方程， 出标准方程后，还需检验方程是否为所求方程，注意题设条件中某些极 端情况的限制． 端情况的限制．
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3．圆锥曲线的几何性质 ． (1)椭圆的几何性质 椭圆的几何性质 椭圆的图形特点： 四线” 两条对称轴 两条准线)和 六点” 两个焦点 两条对称轴、 两个焦点、 ①椭圆的图形特点：“四线”(两条对称轴、两条准线 和“六点”(两个焦点、四个顶 点)． ． 几何量的意义与关系： 理解长轴和短轴、 离心率、 准线、 焦准距、 焦点弦等几何量； ②几何量的意义与关系： 理解长轴和短轴、 离心率、 准线、 焦准距、 焦点弦等几何量； c 理解几何量之间的关系， 理解几何量之间的关系，如 a2＝b2＋c2，a＞b＞0，e＝a等． ＞ ＞ ， ＝ (2)双曲线的几何性质 双曲线的几何性质 双曲线的图形特点： 六线” 两条对称轴、两条准线和两条渐近线)和 四点” 两 ①双曲线的图形特点：“六线”(两条对称轴、两条准线和两条渐近线 和“四点”(两 个焦点、两个顶点)． 个焦点、两个顶点 ． 几何量的意义与关系：理解实轴和虚轴、离心率、准线、渐近线、焦准距、 ②几何量的意义与关系：理解实轴和虚轴、离心率、准线、渐近线、焦准距、焦点弦 c 等几何量；理解几何量之间的关系， 等几何量；理解几何量之间的关系，如 c2＝a2＋b2，e＝a等. ＝ (3)抛物线的几何性质 抛物线的几何性质 抛物线的图形特点： 两线” 一条对称轴 一条准线)和 两点” 一个焦点 一条对称轴、 一个焦点、 ①抛物线的图形特点：“两线”(一条对称轴、一条准线 和“两点”(一个焦点、一个 顶点)． 顶点 ． 几何量的意义与关系：理解焦点、准线、离心率、焦准距、焦点弦等几何量； ②几何量的意义与关系：理解焦点、准线、离心率、焦准距、焦点弦等几何量；理解 焦点弦的性质． 焦点弦的性质．
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► 探究点三 抛物线的标准方程与性质
陕西卷]设抛物线的顶点在原点 例 3[2011·陕西卷 设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x 陕西卷 设抛物线的顶点在原点， ＝－2，则抛物线的方程是 ) ＝－ ，则抛物线的方程是( A．y2＝－ ． ＝－8x B．y2＝8x ． C．y2＝－ ． ＝－4x D．y2＝4x ．
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(2)B 【解析】 (1)因为 →1·PF2＝0，即 PF1⊥PF2，所以PF1 因为PF → 解析】 因为 ， 1 2 PF22＝4c2，又因为 tan∠PF1F2＝ ，所以PF1＝2PF2.由椭圆的定 ＋ ∠ 由椭圆的定 2 2 义知： 义知：PF1＋PF2＝2a，即 3PF2＝2a，即PF2＝3a，代入PF12＋PF2 ， ， ， c 5 2 2 ＝4c ，解得 e＝a＝ 3 . ＝ π 7 (2)因为 θ∈(0，π)，且 sinθ＋cosθ＝ ，所以 θ∈2，π，且sinθ＞ 因为 ∈ ， ， ＋ ＝ ∈ 13 π 3π |cosθ|，所以 θ∈2， 4 ，从而 cosθ＜0，从而 x2sinθ－y2cosθ＝1 表示焦 ， ∈ ＜ ， － ＝ 轴上的椭圆． 点在 y 轴上的椭圆． (1)A
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x2 y2 (1) 双曲线 n － ＝ 1 的渐近线方程为 y＝ ±2x， 则 n＝ ＝ ， ＝ 3－n － ______.
(2) 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在 x 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点， 轴上， 轴上，左、右焦点分别为 F1，F2，且它们在第一象限的交点为 P， ， 为底边的等腰三角形． △PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形．若PF1＝10，双曲线的离 ， 心率的取值范围为(1,2)． 则该椭圆的离心率的取值范围是________ 心率的取值范围为 ． 则该椭圆的离心率的取值范围是
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主干知识整合
1．圆锥曲线的定义 ． 2．圆锥曲线的标准方程 ． (1)椭圆 或双曲线 的标准方程 椭圆(或双曲线 椭圆 或双曲线)的标准方程 求椭圆(或双曲线 标准方程的基本步骤是“三定” 或双曲线)标准方程的基本步骤是 求椭圆 或双曲线 标准方程的基本步骤是“三定”： 定型，即确定它是哪类曲线； ① 定型，即确定它是哪类曲线； 定位，即判断它的焦点在哪条坐标轴上； ②定位，即判断它的焦点在哪条坐标轴上； 定量，即建立关于基本量的方程或方程组， ③定量，即建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量 a、b 的值． 、 的值． 另外，求双曲线的方程，要注意条件给出的信息， 另外，求双曲线的方程，要注意条件给出的信息，明确是求整个双曲线的标准 方程还是求双曲线某一支的方程． 方程还是求双曲线某一支的方程． (2)抛物线的标准方程 抛物线的标准方程 一般有两种常见的解题方法： 一般有两种常见的解题方法： 焦点定位法，即由焦点所在的坐标轴确定抛物线的开口方向， ①焦点定位法，即由焦点所在的坐标轴确定抛物线的开口方向，设出抛物线的 方程类型，再由条件求出参数 的大小； 方程类型，再由条件求出参数 p 的大小； 待定系数法， ②待定系数法，即先设出抛物线一般形式的方程 y2＝2λx(λ∈R 且 λ≠0)或 x2＝ ∈ ≠ 或 2λy(λ∈R 且 λ≠0)，然后建立方程求出参数 λ 的值 的值. ∈ ≠ ，
【分析】 画出图形进行分析，先求出两切点坐标，再分别 分析】 画出图形进行分析， 先求出两切点坐标， 求切线与两坐标轴的交点即为椭圆的右焦点和上顶点， 求切线与两坐标轴的交点即为椭圆的右焦点和上顶点，继而可求 出 b 和 c.
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1 x2 y2 ， 解析】 ＋ 4 ＝1 【解析】 由题可知过点1，2与圆 x2＋y2＝1 的圆心的直 5 1 1 线方程为 y＝ x， ＝ ， 由垂径定理可得 kAB＝－2.显然过点1，2的一条切线为直 ＝－ 显然过点 ， 2 线 x＝1，此时切点记为 A(1,0)，即为椭圆的右焦点，故 c＝1. ＝ ， ，即为椭圆的右焦点， ＝ 由点斜式可得， ＝－2(x－ ， 由点斜式可得，直线 AB 的方程为 y＝－ －1)，即 AB：2x＋y－2＝0. ＝－ ： ＋ － ＝ 令 x＝0 得上顶点为 ＝ 得上顶点为(0,2)，∴b＝2，∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为 ， ＝ ， ， x2 y2 1. 5＋4＝
点评】 在求圆的两条切线时，其中一条斜率不存在， 【点评】 在求圆的两条切线时， 其中一条斜率不存在，要注意讨 数形结合的运用是可以避免这类错误出现的． 论．数形结合的运用是可以避免这类错误出现的．
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x2 y2 (1) 若点 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0) ＞ ＞ a b →1· PF2＝0，tan∠PF1F2＝1，则此椭圆的离心率 e＝ 上一点， ， ∠ 上一点，且PF → ＝ 2 ( ) 5 2 1 1 A. B. C. D. 3 3 3 2 7 (2) 设 θ 是△ABC 的一个内角， sin θ＋cos θ＝ ， x2sin θ 的一个内角， 且 ＋ ＝13 则 ) －y2cos θ＝1 表示 ＝ 表示( A．焦点在 x 轴上的椭圆 ． B．焦点在 y 轴上的椭圆 ． C．焦点在 x 轴上的双曲线 ． D．焦点在 y 轴上的双曲线 ．
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► 探究点二 双曲线的标准方程与性质
x2 y2 山东卷] 例 2[2011· 山东卷 已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两 ， 的两 条渐近线均和圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0 相切，且双曲线的右焦 ： ＋ ＝ 相切， 的圆心，则该双曲线的方程为( ) 点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为 x2 y2 A. － ＝1 5 4 x2 y2 B. － ＝1 4 5 x2 y2 C. － ＝1 3 6 x2 y2 D. － ＝1 6 3
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1 2 3－n － 3 3 ， 【解析】 (1)依题意， (1) (2) 3 5 解析】 依题意， n ＝4 ，解得 n＝ . 依题意 ＝5 5 (2)设椭圆的半长轴长，半焦距分别为 a1，c，双曲线的半实轴长， 设椭圆的半长轴长， 设椭圆的半长轴长 ，双曲线的半实轴长， 半焦距分别为 a2，c，PF1＝m，PF2＝n，则 ， ， ， m＋n＝2a1，m－n＝2a2，m＝10，n＝2c， ＋ ＝ － ＝ ＝ ， ＝ ， ⇒ a1＝5＋c，a2＝5－c， ＋ ， － ， c c 的取值范围． 问题转化为已知 1＜ ＜ ＜2，求 ， 的取值范围． 5－c 5＋c － ＋ 5x c x 1 1 c . ＝x，则 c＝ ， ＝ ， ＝ ＝ － 设 1＋x 5＋c 2x＋1 2 4x＋2 5－c － ＋ ＋ ＋ ＋ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 < － ，即 ＜ － .故结 ∵1＜x＜2，∴2－6＜2－ ＜ ＜ ， 3 2 4x＋2＜5 故结 4x＋2 2 10 ＋ ＋ 1 2 果为3，5.
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要点热点探究 ► 探究点一 椭圆的标准方程与性质
1 x2 y 2 ， 江西卷] 轴上， 例 1[2011·江西卷 若椭圆a2＋b2＝1 的焦点在 x 轴上， 江西卷 过点1，2作 的切线， 圆 x2＋y2＝1 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦 ， ， 点和上顶点，则椭圆方程是________． 点和上顶点，则椭圆方程是________．
【分析】 直接利用抛物线的定义解题． 分析】 直接利用抛物线的定义解题．
B 【解析】 由题意设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，又∵其 解析】 ， p 准线方程为 x＝－2＝－ ，∴p＝4，所求抛物线方程为 y2＝8x. ＝－ ＝－2， ＝ ，
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【点评】 求圆锥曲线的标准方程，一般有两种方法：一是用待定 点评】 求圆锥曲线的标准方程，一般有两种方法： 系数法，通过题设条件计算圆锥曲线方程的几何量； 系数法，通过题设条件计算圆锥曲线方程的几何量；二是利用圆锥曲线 的定义，列出等量关系式，化简即可得到曲线的标准方程．一般地， 的定义，列出等量关系式，化简即可得到曲线的标准方程．一般地，求 出标准方程后，还需检验方程是否为所求方程， 出标准方程后，还需检验方程是否为所求方程，注意题设条件中某些极 端情况的限制． 端情况的限制．
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3．圆锥曲线的几何性质 ． (1)椭圆的几何性质 椭圆的几何性质 椭圆的图形特点： 四线” 两条对称轴 两条准线)和 六点” 两个焦点 两条对称轴、 两个焦点、 ①椭圆的图形特点：“四线”(两条对称轴、两条准线 和“六点”(两个焦点、四个顶 点)． ． 几何量的意义与关系： 理解长轴和短轴、 离心率、 准线、 焦准距、 焦点弦等几何量； ②几何量的意义与关系： 理解长轴和短轴、 离心率、 准线、 焦准距、 焦点弦等几何量； c 理解几何量之间的关系， 理解几何量之间的关系，如 a2＝b2＋c2，a＞b＞0，e＝a等． ＞ ＞ ， ＝ (2)双曲线的几何性质 双曲线的几何性质 双曲线的图形特点： 六线” 两条对称轴、两条准线和两条渐近线)和 四点” 两 ①双曲线的图形特点：“六线”(两条对称轴、两条准线和两条渐近线 和“四点”(两 个焦点、两个顶点)． 个焦点、两个顶点 ． 几何量的意义与关系：理解实轴和虚轴、离心率、准线、渐近线、焦准距、 ②几何量的意义与关系：理解实轴和虚轴、离心率、准线、渐近线、焦准距、焦点弦 c 等几何量；理解几何量之间的关系， 等几何量；理解几何量之间的关系，如 c2＝a2＋b2，e＝a等. ＝ (3)抛物线的几何性质 抛物线的几何性质 抛物线的图形特点： 两线” 一条对称轴 一条准线)和 两点” 一个焦点 一条对称轴、 一个焦点、 ①抛物线的图形特点：“两线”(一条对称轴、一条准线 和“两点”(一个焦点、一个 顶点)． 顶点 ． 几何量的意义与关系：理解焦点、准线、离心率、焦准距、焦点弦等几何量； ②几何量的意义与关系：理解焦点、准线、离心率、焦准距、焦点弦等几何量；理解 焦点弦的性质． 焦点弦的性质．
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► 探究点三 抛物线的标准方程与性质
陕西卷]设抛物线的顶点在原点 例 3[2011·陕西卷 设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x 陕西卷 设抛物线的顶点在原点， ＝－2，则抛物线的方程是 ) ＝－ ，则抛物线的方程是( A．y2＝－ ． ＝－8x B．y2＝8x ． C．y2＝－ ． ＝－4x D．y2＝4x ．
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(2)B 【解析】 (1)因为 →1·PF2＝0，即 PF1⊥PF2，所以PF1 因为PF → 解析】 因为 ， 1 2 PF22＝4c2，又因为 tan∠PF1F2＝ ，所以PF1＝2PF2.由椭圆的定 ＋ ∠ 由椭圆的定 2 2 义知： 义知：PF1＋PF2＝2a，即 3PF2＝2a，即PF2＝3a，代入PF12＋PF2 ， ， ， c 5 2 2 ＝4c ，解得 e＝a＝ 3 . ＝ π 7 (2)因为 θ∈(0，π)，且 sinθ＋cosθ＝ ，所以 θ∈2，π，且sinθ＞ 因为 ∈ ， ， ＋ ＝ ∈ 13 π 3π |cosθ|，所以 θ∈2， 4 ，从而 cosθ＜0，从而 x2sinθ－y2cosθ＝1 表示焦 ， ∈ ＜ ， － ＝ 轴上的椭圆． 点在 y 轴上的椭圆． (1)A
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x2 y2 (1) 双曲线 n － ＝ 1 的渐近线方程为 y＝ ±2x， 则 n＝ ＝ ， ＝ 3－n － ______.
(2) 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在 x 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点， 轴上， 轴上，左、右焦点分别为 F1，F2，且它们在第一象限的交点为 P， ， 为底边的等腰三角形． △PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形．若PF1＝10，双曲线的离 ， 心率的取值范围为(1,2)． 则该椭圆的离心率的取值范围是________ 心率的取值范围为 ． 则该椭圆的离心率的取值范围是
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高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第4讲 圆锥曲线的综合问题课件 理
(2)存在符合题意的点．证明如下：
设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM， PN 的斜率分别为 k1，k2. 将 y＝kx＋a 代入 C 的方程， 得 x2－4kx－4a＝0.
故 x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a. 从而 k1＋k2＝y1x－1 b＋y2x－2 b ＝2kx1x2＋（a－x1bx）2 （x1＋x2）＝k（aa＋b）. 当 b＝－a 时，有 k1＋k2＝0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN a，a)，N(－2 a，a)， 或 M(－2 a，a)，N(2 a，a)． 又 y′＝x2，故 y＝x42在 x＝2 a处的导数值为 a，C 在点(2 a， a)处的切线方程为 y－a＝ a(x－2 a)， 即 ax－y－a＝0. y＝x42在 x＝－2 a处的导数值为－ a，C 在点(－2 a，a)处 的切线方程为 y－a＝－ a(x＋2 a)， 即 ax＋y＋a＝0. 故所求切线方程为 ax－y－a＝0 和 ax＋y＋a＝0.
2．已知定点 A(1，0)与定直线 l：x＝－1，B 是直线 l 上一动 点，N 是 AB 的中点，动点 M 满足 MB∥x 轴，且M→N⊥A→B. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程； (2)求证 MN 恒与曲线 C 相切； (3)当△MAB 为直角三角形时，求△MAB 外接圆的方程．
法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，把 y＝kx＋2 代入 y＝2x2 中得 2x2－kx－2＝0，
∴x1＋x2＝k2. ∵xN＝xM＝x1＋2 x2＝k4，
∴N 点的坐标为4k，k82. 设抛物线在点 N 处的切线 l1 的方程为 y－k82＝mx－k4，
将 y＝2x2 代入上式得 2x2－mx＋m4k－k82＝0， ∵直线 l1 与抛物线 C 相切，
高三数学二轮复习圆锥曲线 课件
考查
内容
难度
中等
圆锥曲线的方程与性质、弦
长问题.
考点1：圆锥曲线的定义及
标准方程
【例1】（1）已知P是抛物线 y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x‒3)2＋(y‒1)2＝1上
的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( A )
A．3
B．4
y
C．5
Pபைடு நூலகம்
H
Q
1
O
x=-1
N
3
x
D． 2 ＋1
2
2
2
− 2
= 1 (a>0，
b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆
A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两
点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为
2 3
________．
3
M
N
A
x
（2）在平面直角坐标系xOy中，双曲线
2
2
2
− 2
y
B
= 1 (a＞0，b＞0)的右支与焦点为F
•
计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2 ，b 2 或p．另外，当焦点位置无法确定时，
抛物线常设为y 2 ＝2px或x 2 ＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx 2 ＋ny 2 ＝1(m>0，n>0)，双
曲线常设为mx 2 －ny 2 ＝1(mn>0)．
考点2：圆锥曲线的几何性质
y
【例2】（1）已知双曲线C：
2
（2）已知双曲线 2
2
− 2
= 1 (a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为 2 .若经过F
和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( B )
内容
难度
中等
圆锥曲线的方程与性质、弦
长问题.
考点1：圆锥曲线的定义及
标准方程
【例1】（1）已知P是抛物线 y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x‒3)2＋(y‒1)2＝1上
的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( A )
A．3
B．4
y
C．5
Pபைடு நூலகம்
H
Q
1
O
x=-1
N
3
x
D． 2 ＋1
2
2
2
− 2
= 1 (a>0，
b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆
A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两
点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为
2 3
________．
3
M
N
A
x
（2）在平面直角坐标系xOy中，双曲线
2
2
2
− 2
y
B
= 1 (a＞0，b＞0)的右支与焦点为F
•
计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2 ，b 2 或p．另外，当焦点位置无法确定时，
抛物线常设为y 2 ＝2px或x 2 ＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx 2 ＋ny 2 ＝1(m>0，n>0)，双
曲线常设为mx 2 －ny 2 ＝1(mn>0)．
考点2：圆锥曲线的几何性质
y
【例2】（1）已知双曲线C：
2
（2）已知双曲线 2
2
− 2
= 1 (a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为 2 .若经过F
和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( B )
高考数学二轮复习课件圆锥曲线9张共61页
高考数学二轮复习课件圆锥曲线9张
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
圆锥曲线测评课课件高三数学二轮复习
∴kAP＝yPx＋P 1＝－m＋33mkk2＋1，
又∵|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
则－m＋3k2＋1＝－1，即
3mk
k
2m＝3k2＋1.
②
把②代入①得 m2<2m，解得 0<m<2；
由②得 k2＝2m3－1>0，解得 m>12.
综上求得 m 的取值范围是12<m<2.
已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭 圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1.
圆锥曲线 这是一节测评课
圆锥曲线常通过客观题考查圆锥曲线的基本量(概念、性 质)，通过大题考查直线与圆锥曲线的位置关系，求圆锥 曲线的方程等． (1)圆锥曲线定义的应用；(2)圆锥曲线的标准方程； (3)圆锥曲线的几何性质，求离心率，求双曲线的渐近线； (4)直线与圆锥曲线相交弦长及位置关系判断； (5)焦点三角形；(6)求参数的值或取值范围；(7)讨论最值； (8)轨迹方程；(9)定点问题．
当 m1＝－2k 时，l 的方程为 y＝k(x－2)，直线过定 点(2,0)，与已知矛盾；
当 m2＝－27k时，l 的方程为 y＝kx－27，直线过定点 27，0.所以，直线 l 过定点，定点坐标为27，0.
双曲线
双曲线误区警示 1．注意双曲线的几何量 a、b、c 关系是 c2＝a2＋b2 应与椭圆区别．双曲线的离心率 e>1，而椭圆的离心率 0<e<1. 2．在双曲线有关计算和证明中，要分清焦点在哪个 轴上，不知道焦点位置时要分类讨论，或直接设双曲线 方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)，据方程判断焦点的位置时， 也要注意与椭圆的区别．椭圆看 a 与 b 的大小，双曲线 看 x2、y2 系数的正负．
高三数二轮专题复习通用课件圆锥曲线
专题五 第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在轨迹C上， ∴有yy1222＝ ＝44xx12， ，① ② 由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)． 当x1＝x2时，弦AB的中点不是N，不合题意， ∴yx11－ －yx22＝y1＋4 y2＝1，即直线AB的斜率k＝1， 注意到点N在曲线C的张口内(或：经检验，直线m与轨迹 C相交)， ∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y－2＝x －4，即x－y－2＝0.
专题五 第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
(2013·辽宁文，15)已知F为双曲线C：
x2 9
－
y2 16
＝1的左焦
点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)
在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
[答案] 44
专题五 第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭 圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝6，连接PA， PB，分别与两圆相交于M、N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最 小值为|PA|＋|PB|－2R＝4；连接PA，PB并延长，分别与两圆 相交于M′、N′两点，此时|PM′|＋|PN′|最大，最大值为 |PA|＋|PB|＋2R＝8，即最小值和最大值分别为4,8.
核心整合
专题五 第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
知识方法整合
椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质
椭圆 双曲线
抛物线
定义
|PF1| ＋ ||PF1| － 定点 F 和定直线 l，
|PF2| ＝ |PF2|| ＝ 点 F 不在直线 l 上，
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在轨迹C上， ∴有yy1222＝ ＝44xx12， ，① ② 由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)． 当x1＝x2时，弦AB的中点不是N，不合题意， ∴yx11－ －yx22＝y1＋4 y2＝1，即直线AB的斜率k＝1， 注意到点N在曲线C的张口内(或：经检验，直线m与轨迹 C相交)， ∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y－2＝x －4，即x－y－2＝0.
专题五 第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
(2013·辽宁文，15)已知F为双曲线C：
x2 9
－
y2 16
＝1的左焦
点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)
在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
[答案] 44
专题五 第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭 圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝6，连接PA， PB，分别与两圆相交于M、N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最 小值为|PA|＋|PB|－2R＝4；连接PA，PB并延长，分别与两圆 相交于M′、N′两点，此时|PM′|＋|PN′|最大，最大值为 |PA|＋|PB|＋2R＝8，即最小值和最大值分别为4,8.
核心整合
专题五 第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
知识方法整合
椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质
椭圆 双曲线
抛物线
定义
|PF1| ＋ ||PF1| － 定点 F 和定直线 l，
|PF2| ＝ |PF2|| ＝ 点 F 不在直线 l 上，
2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题1_第5讲_函数、导数及不等式的综合应用
当 x∈－∞，－
－a3时，f′(x)>0.因此当
x∈－∞，－
－a3时，f′(x)g′(x)<0.故由题设得 a≥
－ －a3且 b≥－ －a3，从而－13≤a<0，于是－13≤b≤0，因此|a－b|≤13，且当 a＝－13，b＝0 时 等号成立．
第5讲 │ 要点热点探究
又当 a＝－13，b＝0 时，f′(x)g′(x)＝6xx2－19，从而当 x∈－13，0 时 f′(x)g′(x)>0，故函数 f(x)和 g(x)在－13，0上单调性一致．因此|a－ b|的最大值为13.
第5讲│ 要点热点探究
► 热点链接 3 构造函数证明不等式问题 利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，
转化为利用导数求函数最值问题．应用这种方法的难点是如何根据不等 式的结构特点或者根据题目目标的要求，构造出相应函数关系式．
如何构造函数关系式，破解的基本思路是从函数的角度分析和理解 要证明的不等式的结构特点，然后去构造函数式，或者从不等式证明的 方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式所需要的最佳函数．
2x＋1ax－1
x
.①若 a≤0，则 f′(x)＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)单调增加．②
若 a＞0，则由 f′(x)＝0 得 x＝1a，且当 x∈0，1a时，f′(x)＞0，当 x＞1a时，f′(x)
＜0.所以 f(x)在0，1a单调增加，在1a，＋∞单调减少．
(2)设函数 g(x)＝f1a＋x－f1a－x，则 g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax， g′(x)＝1＋aax＋1－aax－2a＝12－a3ax22x2.当 0＜x＜1a时，g′(x)＞0，而 g(0)
【分析】 (1)讨论函数的单调性，要对字母进行分类讨论； (2)对不等式的证明，可考虑构造函数法；(3)证明 f ′(x0)＜0，即 证明 f(x)在 x0＝x1＋2 x2所在的区间内单调递减．
圆锥曲线课件
圆锥曲线的分类和特点
椭圆是所有与两个焦点距离之和为常数的点的集合，拥有一对对称轴和两个 焦点。
抛物线是所有与一个焦点距离等于到直线的距离的点的集合，拥有对称轴和 焦点。
双曲线是所有与两个焦点距离之差为常数的点的集合，拥有两个分离的极限 以及一对对称轴。
椭圆的性质和方程
焦点定理
椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长度。
2
Hale Waihona Puke 中心和极限双曲线有两个分离的极限和一个中心。
3
方程表达
双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴的长度。
圆锥曲线在实际应用中的应用
天体轨道
行星和卫星的轨道通常是 圆锥曲线。椭圆轨道用于 行星运行，而抛物线轨道 用于发射卫星。
天体旅行
太空探索任务中，航天器 的轨迹也遵循圆锥曲线的 某种形式，以实现特定的 目标和任务。
圆锥曲线ppt课件
本课件将带您深入了解圆锥曲线，包括定义、概念、分类和特点。我们还会 探讨椭圆、抛物线和双曲线的性质、方程以及实际应用。
圆锥曲线的定义和概念
圆锥曲线是平面解析几何学中的重要概念，是指在平面上由一个动点P和两个 定点F1、F2（称为焦点）决定的点集。
根据动点P到焦点F1、F2的距离之和的大小关系，可以分为椭圆、抛物线和双 曲线。
通信天线
圆锥曲线形状的抛物面天 线可实现定向和增强信号 接收和传输。
总结和重点系统回顾
在本课程中，我们全面了解了圆锥曲线的定义、分类和特点。我们还探索了椭圆、抛物线和双曲线的性 质和方程，以及它们在不同领域的应用。
方程表达
椭圆的标准方程为(x/a)²+ (y/b)²= 1，其中a和 b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
圆锥曲线复习课课件
函数思想法
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
圆锥曲线数学高考二轮复习【优质PPT】
2021/10/10
13
例的准2（线200方8安程徽文为）x设=4椭。圆C:ax22by22 1(ab0)，其相应于焦点F(2,0)
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点 F1(2,0) 倾斜角为θ的直线交椭圆于两点，
求证：AB
2
42
COS2
（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂 直的直线分别交椭圆C于A、B和D、
几何问题代数化思想、曲线与方程思想、消元思
想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想; 在07、08年数学高考试卷圆锥曲线内容的考查中体现 的淋漓尽致。
2021/10/10
10
3 08年真题回顾
3.1 轨迹或曲线方程问题：
此类问题重点考查学生用坐标法或定义法求动点 的轨迹方程的能力、待定系数法求已知曲线方程的能 力以及考查学生几何问题代数化的思想方法。如：全 国（I）（文、理），安徽（文），安徽（理），广 东（文，理），湖北（理），江西（理），辽宁 （文），山东（文），浙江（文，理），重庆（文， 理）均涉及轨迹方程问题或圆锥曲线标准方程问题。
2021/10/10
23
如教研室二轮专题资料42页
x2 y2
例6 已知双曲线 a2 b2 （1 a>b>0）的左右焦点分别为F1、 F2 、P为双曲线左支上一点，P到左准线的距离为d。
（1）若双曲线的一条渐近线是 y 3x ，问是否存在点P
使d、PF 1 、PF 2 成等比数列？若存在，求出点P坐标；若不 存在，说明理由。
倒2
轨迹、最值
倒2
最值、存在性
倒3
轨迹、面积
倒1
轨迹
倒1
定点
同理科
椭圆
最值
圆锥曲线复习ppt课件
复习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的几 何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线 的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线 的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图 形，并了解圆锥曲线的初步应用.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
x轴，长轴长2a， x轴，实轴长2a， y轴，短轴长2b y轴，虚轴长2b
(±c，0)
(±c，0)
c2=a2-b2
c2=a2+b2
0<e<1
e>1
x轴 (p/2，0)
e=1
x=±a2/c x=±a2/c x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a) x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
A．k＜1 B．k＞2 C．k＜1或k＞2 D．1＜k＜2
2、已知方程 a x 2 b y 2 a b 和 a x b y c 0 ( 其 中 a b 0 , a b , c 0 ) 它们所表示的曲线可能是( B)
x1
和
A
B
C
D
3、双曲线 x 2 y 2 1 的两条渐近线所成的锐角是 ( C )
y
A
O
x
B
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
5、设F1、F2分别是椭 圆
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的几 何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线 的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线 的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图 形，并了解圆锥曲线的初步应用.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
x轴，长轴长2a， x轴，实轴长2a， y轴，短轴长2b y轴，虚轴长2b
(±c，0)
(±c，0)
c2=a2-b2
c2=a2+b2
0<e<1
e>1
x轴 (p/2，0)
e=1
x=±a2/c x=±a2/c x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a) x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
A．k＜1 B．k＞2 C．k＜1或k＞2 D．1＜k＜2
2、已知方程 a x 2 b y 2 a b 和 a x b y c 0 ( 其 中 a b 0 , a b , c 0 ) 它们所表示的曲线可能是( B)
x1
和
A
B
C
D
3、双曲线 x 2 y 2 1 的两条渐近线所成的锐角是 ( C )
y
A
O
x
B
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
5、设F1、F2分别是椭 圆