重庆一中 高一上期末数学试题
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重庆一中高2021级高一上期期末考试
数学测试试题卷
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.设全集{}{},0,1,2,3,1,0,1U R M N ===-，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{}1
B.{}1-
C.{}0
D.{}0,1
2.下列函数中，周期为π的是( )
A.cos y x =
B.cos 2x y =
C.sin 4x y =
D.cos 4
x y =
3.用二分法找函数()237x
f x x =+-在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )
A.()0,1
B.()0,2
C.()2,3
D.()2,4
4.已知tan 2α=，则sin cos αα的值为( ) A.25- B.45 C.23 D.2
5
5.已知函数2
12log (1)(2)()(02)
x x f x x x +>⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩，则()()3f f 等于( )
A.2
B.)
2log
6.为了得到函数sin(2)4
y x π
=+的图像，只需把函数sin 2y x =的图像( )
A.向右平移
4π个单位长度 B.向左平移4π
个单位长度 C.向右平移8π个单位长度 C.向左平移8
π
个单位长度
7.函数()
2120()x x g f x =+-的单调递增区间为( )
A.1(,)2-∞
B.1(,)2+∞
C.1(4,)2-
D.1(,5)2
8.函数2()1
x
f x x x =++的值域为( )
A.1[1,]3-
B.1(1,)3-
C.1(,1)(,)3-∞-+∞
D.1
(,1][,)3
-∞-+∞
9.已如函数()sin()(0)6
f x x π
ωω=->的图像相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
，那么函 数y=f(x)的图像( )
A.关于点(
,0)12π
对称 B.关于点(,0)12
π
-
对称
C.关于直线12x π=对称
D.关于直线12
x π
=-对称
10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经
验方式为：弧田面积=
12
(弦×矢+矢2
)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23
π
，半径等于4米的弧
1.73, 3.14π≈≈)下列说法不正确的是( )
A.“弦”AB =2CD =米
B.按照经验公式计算所得弧田面积)2平方米
C.按照弓形的面积计算实际面积为16(
3
π
-平方米 D.按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米
11.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0)+∞，上是增函数，令2(sin )7
a f π
=,5(cos
) 7b f π=,5(tan )7
c f π
=,则( )
A.c b a <<
B.b a c <<
C.b c a <<
D.a b c <<
12已知函数1,01()13
sin(),14242
x x f x x x π+≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩若不等式2
()()20f x af x -+<在 []0,4x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.a >
3a <<
C.3a <<3a >
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.已知函数()f x 满足：2
1)(2f x x x +=+，则()f x = .
14.已知函数()f x 满足：()1()x x f f +=-，当11x -<≤时，()x
f x e =则9()2
f = . 15.函数()sin()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+><≤
的部分图像
如图所示，则函数()y f x =的解析式为 .
16.若函数2cos ))((f x x k ωϕ=++，对任意实数t 都有()()66
f t f t π
π
+=- 成立，且()16
f π
=-，则实数k 的值为 .
三、解答题(共70分)
17.已知3sin()cos(
)cos(11)2()5cos(2)sin()sin()
2
f π
πααπααπ
πααπα-++=--+. （1）化简()f α；
（2）11(),()2322f f θϕθϕ+-==,,22
θϕθϕ
+-均为锐角，求角θ的值.
18.如图所示，,A B 是单位圆O 上的点，且B 点在第二象限，C 点是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为34(,)55
，AOB ∆为正三角形，记COA α∠=. (1)求sin2α； (2)求cos COB ∠.
19.没函数4()log (1)log (1)()01a a a a f x x x =-+->≠且,又22l )3
(og 3f =. (1)求实数a 的值及()f x 的定义域；
(2)求()f x 的最大值及取得最大值时相应x 的值.
20.重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的40%.经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元)符合一次函数y kx b =+，且80x =时，40y =；70x =时，50y = (1)求一次函数y kx b =+的表达式；
(2)若该服装店获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元?
21.已知函数2
11()sin cos 1)cos cos222
f x x x x x =⋅---. (1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数()g x 的
图象，若方程()0x g +
=在[0,]x π∈上有两个不相等的实数解12,x x ，求实数m 的取值范围，并求12x x +的值.
22.已知函数()x
f x e =，()()()
g x f x f x --=. (1)解不等式：2
1240())(g x g x -+-<；
(2)是否存在实数，使得不等式()()22
221sin 24cos 214cos 2g x t x t θθθ⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦
+()()()()8sin 2ln 2142sin 1sin ln 22ln 210g f x t t f x θθθ⎡⎤+-+-+⋅⋅++≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对任意的1
,)2
(x ∈-+∞及任意锐角θ都成立，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由.。
2022-2023学年重庆市第一中学数学高一上期末调研试题含解析
当 时， ，则 在 上单调递减，所以 在 上单调递减
因为 ，且
所以
故
故选：A.
11、A
【解析】因为{0}是含有一个元素的集合，所以{0}≠ ，故B不正确；
元素与集合间不能划等号，故C不正确；
显然相等，故D不正确.
故选：A
12、D
【解析】 为奇函数，去掉A,B；当 时 ,所以选D.
【详解】解： 函数 是连续增函数，
， ，即 ，
函数 的零点所在区间是 ，
故选：
【点睛】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号，属于基础题
6、C
【解析】①由两直线的位置关系判断；②由直线与平面的位置关系判断；③由空间角定理判断；④由直线与平面平行的定义判断.
20．已知集合 ，
（1）分别求 ， ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值集合
21．已知函数 的图象过点 与点 .
（1）求 ， 的值；
（2）若 ，且 ，满足条件的 的值.
22．已知集合 .
（1）当 时.求 ;
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
从而得 ，解得 ，即 ，解得 ，
所以满足条件的 .
22、（1） 或 .
（2）
【解析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，再由集合的补、并运算求 即可.
（2）由充分条件知 ，则有 ，进而求 的取值范围.
【小问1详解】
，
当 时， ， 或 ，
∴ 或 ；
【小问2详解】
由 是 的充分条件，知： ，
∴ ，解得 ，
重庆市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．化成弧度为（ ） 750 A ．B ．C ．D ．25π614π3112π17π3【答案】A【分析】直接利用弧度与角度的转化公式即可 【详解】根据角度制转化弧度制公式得. π25750π1806︒⨯=︒故选：A.2．已知集合，，则（ ）{}1,2,3,4,5A ={}22150B x x x =--<A B = A ． B ． C ． D ．{}1{}1,2{}1,2,3{}1,2,3,4【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由，而，()()221502530 2.53x x x x x --<⇒+-<⇒-<<{}1,2,3,4,5A =所以， A B = {}1,2故选：B3．已知：正整数能被6整除，，则是的（ ）p x {}*:3,q x x x k k ∈=∈N p q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分析出命题表示正整数能被3整除，根据能被6整除的正整数一定能被3整除，反之q x 不成立，即可得到答案.【详解】由题知在命题表示正整数能被3整除，q x 而能被6整除的正整数一定能被3整除，故前者能够推出后者， 而能被3整除的正整数不一定能被6整除，如9，故后者无法推出前者， 故是的充分不必要条件. p q 故选：A.4．已知，，，则（ ） 0.2log 3a =0.20.3b =ln πc =A ． B ．C ．D ．a b c <<a c b <<b a c <<b<c<a 【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.【详解】由对数函数的图像与性质可得， 0.20.2log 3log 10a =<=，0.2,031).(0b ∈=，ln π>lne=1c =所以， a b c <<故选：A.5．命题，使得函数在上不单调，则命题的否定是（ ） :p α∃∈R y x α=()0,∞+p A ．，函数在上不单调 :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+B ．，函数在上单调 :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+C ．，函数在上单调 :p α⌝∃∈R y x α=()0,∞+D ．，函数在上单调 :p α⌝∃∉R y x α=()0,∞+【答案】B【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题的否定是“，函数在上单调”. p :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+故选：B6．下列函数中既是奇函数又是减函数的是（ ） A ． B ．21xy x =-35y x -=C ．D ． 12,0,11,0.2x x x y x ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩1e ln 1exxy -=+【答案】C【分析】对A ，B 项：举反例说明不是减函数； 对C 项，可判断为奇函数且为减函数； 对D 项，从定义域的不对称性说明不是奇函数. 【详解】对A ：当时，，而当时，，在定义域内一定不是减函数； 0x =0y =2x =23y =对B ：当时，，而当时，，在定义域内一定不是减函数；0x <0y <0x >0y >对C ：，12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩当时，， 0x <()12()21,()()x x f x f x f x f x =--=-∴-=-，当时， ， 0x >()21()12,()()x x f x f x f x f x --=--=-∴-=-，当时，也成立，0x =()()0f x f x -=-=故对，都有，故为奇函数，R x ∀∈()()f x f x -=-12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩当时，为减函数，当时，为减函数，0x ≤()120x f x =->0x >()210xf x -=-<所以为上减函数，故C 正确；12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩R 对D ：定义域为，故不可能为奇函数.1e ln 1e xx y -=+(,0)-∞故选：C7．已知函数，，，则的取值范围是（ ） ()lg f x x =()()f a f b =a b <2023a b +A ．B ．C ．D ．)∞⎡+⎣()2023,+∞()2024,+∞()0,∞+【答案】C【分析】由题得，则有，首先解出的范围，则，设()lg 0ab =1b a=a 20232023a b a a +=+，，利用对勾函数的图象与性质即可得到其范围. 2023y a a=+01a <<【详解】由题知，显然， 0,lg lg a b a b <<=lg lg a b ≠则，即， lg lg a b -=()lg 0ab =则，则，，即，解得， 1ab =1b a =a b < 1a a<01a <<，设，，20232023a b a a+=+2023y a a =+01a <<令，解得， 2023a a=a =根据对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递减， 2023y a a=+()0,1故其值域为. ()2024,+∞故选：C.8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） ()244x f x x+=()()132f a f a +<-a A ． B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭233,,4322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．()4,+∞()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】判断的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的()2414f x x x =+限制.【详解】为偶函数，且在上递减. ()2414f x x x =+()0,∞+∵，()()132f a f a +<-∴，()()222132,132,,43a a a a a ⎛⎫+>-∴+>-∴∈ ⎪⎝⎭∵，，∴且，∴.10a +≠320a -≠1a ≠-32a ≠233,,4322a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B二、多选题9．下列说法中正确的是（ ） A ．任何集合都至少有两个子集B ．设为全集，，，是的子集，若，则 U A BC U ()U A B C ⊆⋃ðA B C =∅ C ．命题“，”的否定为“，”x ∀∈R e e x x ≥x ∃∈R e e x x ≤D ．若是的必要不充分条件，的必要不充分条件是，则是的充分条件 p q r q r p 【答案】BD【分析】根据子集的概念判断选项；根据集合的运算判断选项；根据全称命题的否定判断选项A B ；根据充分条件，必要条件的判定，判断选项.C D 【详解】由子集的概念可知：空集是它本身的子集，所以空集只有一个子集，故选项错误； A 因为，，是的子集，，则与没有公共元素，所以，故A B C U ()U A B C ⊆⋃ðA ,B C A B C =∅ 选项正确；B 因为命题“，”的否定为“”，故选项错误；x ∀∈R e e x x ≥R,e e x x x ∃∈<C 因为是的必要不充分条件，则能推出，又因为的必要不充分条件是，则能推出，所p q q p r q r q 以能推出，则是的充分条件，故选项成立， r p r p D 故选：.BD 10．已知幂函数，则（ ）()()2ln 22m m f x x --=A ．，函数的图像与坐标轴没有交点 m ∀∈R ()f xB ．，使得是奇函数m ∃∈R ()f x C ．当时，函数在上单调递增 4m ≥()f x ()0,∞+D ．当时，函数的值域为 1m =-()f x {}1【答案】BCD【分析】对A ，B 项：当时可说明A 错误B 正确；()2ln 221m m --=对C 项： 分析的取值范围，根据幂函数的单调性判断；()2ln 22m m --对D 项： 当时求定义域与值域即可.1m =-()0f x x =【详解】设可知可取遍全体正数，()()()()22ln 22ln 13g m m m m =--=--()213m --所以可取遍全体实数，()g m ∴当时，，，A 错误，B 正确；()213e m --=()2ln 221m m --=()f x x =当时，， 4m ≥()2ln 13ln60m ⎡⎤--≥>⎣⎦由幂函数性质，在上单调递增，C 正确；()f x ()0,∞+时，，定义域为，值域为，D 正确.1m =-()0f x x ={}R 0x x ∈≠{}1故选：BCD11．已知，则（ ） 1a b >>A B ．C ．D ．>1123b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭log 5log 3a b >tan tan a b >【答案】AB【分析】根据指数、对数、幂函数性质判断ABC ，根据正切函数性质判断D. 【详解】解：对于A 选项，由得，故，故正确； 1a b >>1101a b<<<111b a a a a b >>对于B 选项，由于，故，故正确；1a b >>111223baa⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C 选项，若，，则，故错误； 5a =3b =log 5log 31a b ==对于D 选项，若，，故错误. 2πa =πb =故选：AB12．已知函数和函数，关于的方程有个()1,0,1,0.x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩()()21g x x k x =++x ()()0g f x k +=n 实根，则下列说法中正确的是（ ） A ．当时， B ．当时， 2n =2k <-4n =2k <-C ．， D ．，k ∀∈R 1n ≥k ∃∈R 5n ≥【答案】BC【分析】由解得或，结合图象分析根的个数与()()0g f x k +=()1f x =-()f x k =-()f x ()f x k =-的取值关系.k 【详解】令，若，则，解得或，()t f x =()g t k =-()21t k t k ++=-1t =-k -∴或，对于，该方程有一解，故C 正确；()1f x =-()f x k =-()1f x =-图象如图，若，可知且，所以且，故A 错误；()f x 2n =2k -<1k -≠-2k >-1k≠若，需要有三个根,由图可知，，故B 正确； 4n =()f x k =-2k ->2k <-由图可知至多三个解，所以，故D 错误. ()f x k =-4n ≤故选:BC三、填空题 13．函数的定义域是______.()2ln 2y x =-【答案】()(),11,2-∞ 【分析】使函数有意义应满足分母不为0，真数恒大于0. 【详解】函数有意义应满足，解得，()2ln 2y x =-()20ln 20x x ->⎧⎨-≠⎩()(),11,2x ∈-∞故答案为：()(),11,2-∞ 14．______. cos16cos104sin16cos14-= 【答案】##12-0.5-【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】()cos16cos104sin16cos14cos16sin14sin16cos14cos16sin14sin16cos14-=--=-+，()sin 161431sin 20=-+=-=- 故答案为：12-15．已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为3π2π3______. 【答案】2π【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而r a C r CO a =+a 求得的周长.【详解】设扇形所在圆半径为，∴ r 21π3π,3232r r ⋅=∴=如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴,a C 2πsin 6a CO a==，故， 33r CO DC a ==+=1a =所以最大的圆周长为. 2π故答案为：2π四、双空题16．已知函数.若，则的值域是______；若恰有2个()22,1,11,1x a x f x x a x x a ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩1a =()f x ()f x零点，则实数的取值范围是______. a 【答案】()1,-+∞()(]0,11,2 【分析】时，当时, ，当时，，利用函数的单1a =1x ≤()21x f x =-1x >()22()211f x x x x =-+=-调性求值域;当且时,当时求得的两个零点只有一个满足,另一个要在时产0a >1a ≠1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1x ≤生,列出满足的条件;当时，当时求得没有零点, 时不可能有两个零点.0<a 1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1x ≤【详解】时，，当时, ，当时，1a =()221,1,21,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩1x ≤()21(1,1]x f x =-∈-1x >，故值域为；()22()2110f x x x x =-+=->()1,-+∞若，由上知此时只有一个零点；1a =()f x 当且时，当时有两个零点，，0a >1a ≠1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭a 1a 其中，必是一个大于1，另一个小于1，故此时只有一个零点满足，1aa ()f x 而时，此时需要有一个零点，只需，1x ≤(]2,2xy a a a =-∈--20a -≥∴，()(]0,11,2a ∈⋃当时，当时，对称轴为，在上为增函数， 0<a 1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭102a a x +=<()1,+∞∴，21112,y x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-++∈--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，知在上无零点，120a a-->()f x ()1,+∞而时，在上单调，∴不可能有两个零点. 1x ≤2x y a =-(],1-∞综上实数的取值范围是. a ()(]0,11,2 故答案为: ;()1,-+∞()(]0,11,2五、解答题17．已知，集合，.a ∈R {}0A x x a =-≥{}13B x x =-≤≤(1)当时，求，； 2a =A B ⋂A B ⋃(2)若，求的取值范围. ()R A B ⊆ða 【答案】(1)， []2,3[)1,-+∞(2) 3a >【分析】（1）根据集合的交并运算求解；（2）求出，根据列出应满足的条件.B R ð()R A B ⊆ða 【详解】（1）当时，，，； 2a =[)2,A =+∞[]2,3A B = [)1,A B =-+∞ （2），，， ()(),13,B =-∞-⋃+∞R ð[),A a =+∞R A B ⊆ð∴.3a >18．（1）求的值；()14625lg0.025lg4+（2）已知，求的值. ()1sin π3α+=()()3ππcos sin sin 3π22tan αααπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-【答案】（1）2；（2）827【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的运算性质即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解. 【详解】（1）原式； ()144252545lg lg453lg10001000⨯⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭153lg 53210=+⨯=-=（2）∵，∴，()1sin π3α+=1sin 3α=-原式. ()()()22sin cos sin 118sin cos sin 1sin 1tan 3927αααααααα-⋅-⎛⎫==-=-⋅-=⨯-= ⎪-⎝⎭19．已知，.,0x y >132x y+=(1)求的取值范围； 21x y+(2)求的最小值.12y x+【答案】(1)4,29⎛⎫⎪⎝⎭(2)52【分析】(1)根据已知条件得到，将式子中的换成，结合二次函数的图象和203x <<21x y +1y 23-x 性质即可求解；(2)结合将式子变形，利用基本不等式即可求解. 132x y +=12y x+【详解】（1）因为，则，又因为，所以，132x y +=1230x y =->,0x y >203x <<则，因为，22213132()24x x x x y +=-+=--203x <<由二次函数的图象和性质可得：. 214(,2)9x y +∈（2）111122233265y y x xy x x y xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴且，解得1522y x +≥16xy xy =132x y +=x =y =∴的最小值为12y x+5220．已知，集合，.a ∈R (){}222220A x x a x a a =-+--≤()12log 211B x x ⎧⎫⎪⎪=->⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)求集合；B (2)若，求实数的取值范围.B A ⊆a 【答案】(1)13,24⎛⎫⎪⎝⎭(2)31,,42⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据对数函数的性质求出不等式的解集，即可得解；()12log 211x ->（2）由可得，分和两种情况讨论，()222220x a x a a -+--≤()()220x a x a +--≤23a ≥-23a <-求出集合，根据得到不等式组，解得即可.A B A ⊆【详解】（1）解：由，即，所以，解得()12log 211x ->()11221log 21log 2x ->10212x <-<1324x <<，所以； ()121313log 211,2424B x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=->=<<=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭（2）解：由，即，()222220x a x a a -+--≤()()220x a x a +--≤当即时，，22a a -≤+23a ≥-{}22A x a x a =-≤≤+当即时，， 22a a ->+23a <-{}22A x a x a =+≤≤-若，当时，，解得， B A ⊆23a ≥-132224a a -≤<≤+12a ≥-当时，，解得， 23a <-132224a a +≤<≤-34a ≤-综上可得. 31,,42a ⎛⎤⎡⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭21．某电影院每天最多可制作500桶爆米花，每桶售价相同，根据影院的经营经验，当每桶售价不超过20元时，当天可售出500桶；当每桶售价高于20元时，售价每高出1元，当天就少售出20桶.已知每桶爆米花的成本是4元，设每桶爆米花的售价为（且）元，该电影院一天x 4x >*x ∈N 出售爆米花所获利润为元.（总收入=总成本+利润）y (1)求关于的函数表达式；y x (2)试问每桶爆米花的售价定为多少元时，该电影院一天出售爆米花所获利润最大？最大利润为多少元？【答案】(1) *2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N (2)当或25时，利润最多为8400元24x =【分析】(1)分段讨论售价确定每天的销售量,用分段函数表示利润;x (2)分别求出每一段函数的最大值,比较大小确定最大利润及相应的售价.【详解】（1）由题得当时，销售量为500桶，当时，销售量为420x <≤2045x <≤，()500202090020x x --=-由得,900200x -≥*2045,x x <≤∈N 故利润， **500(4),420,(90020)(4),2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨--<≤∈⎩N N 即； *2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N（2）由（1）知当时，为增函数,故时，，420x <≤500(4)y x =-20x =max 8000y =当时，,开口向下且对称轴为,2045x <≤2209803600y x x =-+-24.5x =当时为增函数, 当时为减函数,(20,24.5]x ∈[24.5,45]x ∈又,所以当或25时，，*x ∈N 24x =max 8400y =故当或25时，利润最多为8400元.24x =22．已知函数的定义域为，且.()f x ()0,∞+()ln ln f x x x =⋅(1)求，判断并证明其单调性；()f x (2)求方程的根； ()()e e 1f x f x -=-(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. ()42e x x f a +⋅>1x >a 【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析()()e 0x f x x x =>()f x ()0,∞+(2)1x =(3) 32a ≥-【分析】（1）利用换元法求出函数解析式，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合（1）的结论，可得，进而求解；e e x x =（3）结合（1）和（2）的结论将不等式等价转化为对任意恒成立，然后利用换元421x x a +⋅>1x >法结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）令，，，，.ln t x =e =t x ()e t f t t =()e x f x x =0x >任取，则，∴，120x x >>12e e 0x x >>122112e e e x x x x x x >>∴，()()121212e e 0x x f x f x x x -=->()()12f x f x >∴在上单调递增；()f x ()0,∞+（2）∵，则 ()()e e 1f x f x -=-()()()2e 1e 0f x f x ---=所以或（舍），，显然是解，()e f x =()1f x =-e e x x =1x =又在上单调递增，∴是唯一解；()f x ()0,∞+1x =（3）由题对任意恒成立 ()()421x x f a f +⋅>1x >∴对任意恒成立，421x x a +⋅>1x >令，∴对任意恒成立，∴对任意恒成立 22x u =>21u au +>2u >1a u u >-2u >又在为单调递减函数，∴. 1y u u =-()2,+∞13222a ≥-=-。
重庆市重庆市第一中学校2023届高一数学第一学期期末考试试题含解析
该圆的半径为 ，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，
即球心到截面圆圆心的距离为 ，
由勾股定理可得 ，解得 ，
因此，球的体积为
故选A
【点睛】本题主要考查了球体的体积的计算问题，解决本题的关键在于利用几何体的结构特征和球的性质，求出球体的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题
【解析】首先化简集合B，然后根据集合 、 分类讨论a的取值，再根据交集和并集的定义求得答案
【详解】解：因
所以
又因为 ，
当 时 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
当 且 且 时 ，所以 ，
18、
【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为 ，利用余弦函数的周期公式即可计算得解
【详解】先证明出 ， .
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数 （ 且 ）的图象必经过点___________.
12．已知A，B，C为 的内角.
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）求证： ；
（3）设 ，且 ， ， ，求证：
13．棱长为2个单位长度的正方体 中，以 为坐标原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴，则 与 的交点 的坐标为__________
（2）先证明 ，
再由不等式 证明即可；
（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.
【小问1详解】
,
为锐角，
，
，
解得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 .
【小问2详解】
重庆市第一中学校2020-2021学年高一上学期期末数学试题 答案和解析
重庆市第一中学校【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}{},0,1,2,3,1,0,1U R M N ===-，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{}1B ．{}0,1C ．{}0D ．{}1-2．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A ．cos y x =B ．cos 2xy =C ．sin4x y = D ．cos4x y = 3．用二分法找函数()237x f x x =+-在区间[]0,4上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（ ）． A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(2,3)D ．(2,4)4．已知tan 2α=，则sin cos αα的值为（ ） A ．25-B ．45C ．23D ．255．已知函数()()()()212log 1,2,?02x x f x x x ⎧+>⎪=⎨⎪≤≤⎩，则()()3f f 等于（ ）A ．2B．)2log 1CD6．为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需把函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度 7．函数()()2lg 20f x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭8．函数()21xf x x x =++的值域为（ ）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭9．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，那么函数()y f x =的图像（ ）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．关于直线12x π=对称D ．关于直线12x π=-对称10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=()212⨯+弦矢矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田.下列说法不．正确的是（ ）A ．“弦” AB =2CD =米B ．按照经验公式计算所得弧田面积（2）平方米C ．按照弓形的面积计算实际面积为（163π- D ．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据1.73≈，3.14π≈) 11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上是增函数，令255sin,cos ,tan ,777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则（ ） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<12．已知函数()1,0113sin ,14242x x f x x x π+≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩，若不等式()()220f x af x -+<在[]0,4x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A．a >B．3a <<C．3a <<D ．3a >二、填空题13．已知2(1)2f x x x +=+，则()f x =________. 14．已知函数()f x 满足：()()1f x f x +=-，当11x -<≤时，()xf x e =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.15．若函数()()2cos f x x k ωϕ=++，对任意实数t 都有66f t f t ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且16f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则实数k 的值为________.三、解答题16．已知()()()()()3sin cos cos 1125cos 2sin sin 2f ππααπααππααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若123f θϕ+⎛⎫=⎪⎝⎭，122f θϕ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2θϕ+，2θϕ-均为锐角，求角θ的值. 17．如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 点在第二象限，C 点是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，AOB 为正三角形，记COA α∠=.（1）求sin 2α；（2）求cos COB ∠.18．设函数()()4log 1log 1a a f x x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭（0a >且1a ≠），又()223log 3f =.（1）求实数a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 的最大值及取得最大值时相应x 的值.19．重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的40%.经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且80x =时，40y =；70x =时，50y =. （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该服装店获得利润为W 元，试写出利润与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？20．已知函数())211sin cos 1cos cos 222f x x x x x =⋅---.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象，若方程()0g x +=在[]0,x π∈上有两个不相等的实数解1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求12x x +的值.21．已知函数()xf x e =，()()()g x f x f x =--.（1）解不等式：()()21240g x g x -+-<（2）是否存在实数t ，使得不等式()()22221sin 24cos 214cos 2g x t x t θθθ⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦()()()()8sin 2ln 2142sin 1sin ln 22ln 210g f x t t f x θθθ⎡⎤++-+-+⋅⋅++≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，对任意的1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭及任意锐角θ都成立，若存在，求出t 的取值范围：若不存在，请说明理由.参考答案1．D 【分析】阴影部分表示的集合为在集合N 中去掉集合M ，N 的交集，即得解. 【详解】由维恩图可知，阴影部分表示的集合为在集合N 中去掉集合M ，N 的交集，由题得{0,1}M N ⋂=,所以阴影部分表示的集合为{}1-. 故选：D 【点睛】本题主要考查维恩图，考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．A 【分析】分别找出四个选项函数的ω值，代入周期公式2T ωπ= 中求出各自的周期，即可得到最小正周期为π的函数. 【详解】A. cos y x =的最小正周期为T π=，本选项正确.B. cos 2xy =的最小正周期为2412T ππ==， 本选项错误.C. sin 4x y =的最小正周期为2814T ππ==，本选项错误.D. cos 4x y =的最小正周期为2814T ππ==，本选项错误.故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的最小正周期2T ωπ=，熟记公式运算即可.3．B 【解析】因为(0)200760f =+-=-<； (4)241270f =+->； 又已知(2)22670f =+->；所以(0)(2)0f f ⨯<； 所以零点在区间(0,2)． 故选B 4．D 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin cos αα的值. 【详解】因为 tan 2α=，则222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++ . 故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，还运用到齐次式和22sin cos 1αα+=来化解运算. 5．C 【分析】由题知，先算()32f =，则()()()32f f f =，再求出()2f 即可得出答案.【详解】将3x =代入()()2log 1f x x =+，得()23log 42f ==，则()()()32f f f =，再将2x =代入()12f x x =，得()1222f =()()()32f f f ==故选:C. 【点睛】本题主要考查分段函数代数求值，还运用到对数和幂函数的运算. 6．D 【分析】先设把函数sin 2y x =向左平移ϕ个单位，根据函数图像的平移变换法则，构造关于ϕ的方程，解方程可得平移量，进而得到平移的单位长度. 【详解】设由函数sin 2y x =的图像向左平移ϕ个单位得到函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像 则()()sin 2sin 22sin 24y x x x πϕϕ⎛⎫=+=+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 故24πϕ=.解得8πϕ=.故将函数sin 2y x = 的图像向左平移8π个单位长度得函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的图像.故选:D. 【点睛】本题主要考查三角函数的的平移伸缩，左右平移遵循“左加右减”平移变换法则. 7．C 【分析】由题可知，令2200u x x =+->,求出函数的定义域，根据定义域内的lg y u =和二次函数的增减性相结合，即可得出增区间. 【详解】因为()()2lg 20f x x x=+-，令2200u x x=+->，求得：45x -<<，可得函数的定义域为()4,5-，又因为lg y u =在定义域内为单调递增， 而2200u x x =+->在14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上为单调递增，在1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调递减，由于复合函数单调性原则“同增异减”得，()f x 的单调增区间为14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选:C. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，运用到复合函数单调性原则“同增异减”以及对数函数和二次函数的单调性，这题还需注意真数大于0，很多学生常忽略这一点. 8．A 【分析】先对()f x 进行化简得()21111x f x x x x x==++++，再通过基本不等式求出1x x+的范围，即可得出()f x 的值域. 【详解】 当0x ≠时，有()21111x f x x x x x==++++，又因为当0x >时，12x x +≥= ，则11113,131x x x x++≥≤++， 反之当0x <时，12x x+≤-，则1111,111x x x x ++≤-≥-++， 当0x =时，()0f x =有意义，取并集得：111131x x-≤≤++，即()113f x -≤≤， 所以()f x 的值域为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选:A. 【点睛】本题考查分式函数的值域，运用到基本不等式求得最大最小值和倒数的方法，属于中档题. 9．A 【分析】由已知条件，先求出ω，进而得出()f x 的解析式，最后根据三角函数对称中心的特点，代数验证12f π⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出答案. 【详解】因为()f x 的图像相邻两条对称轴之间的距离为2π， 所以最小正周期T π=，则2T ππω==，解得2ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 而sin 2012126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()y f x =的图像关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称. 故选:A. 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，涉及到最小正周期公式和对称中心、对称轴的特点. 10．C 【分析】运用解直角三角形可得AD ，DO ，可得弦、矢的值，以及弧田面积，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，可得实际面积，计算可得结论． 【详解】解：如图，由题意可得∠AOB 23π=，OA ＝4， 在Rt△AOD 中，可得∠AOD 3π=，∠DAO 6π=，OD 12=AO 1422=⨯=，可得矢＝4﹣2＝2，由AD ＝AO sin3π=4=，可得弦＝2AD ＝，所以弧田面积12=（弦×矢+矢2）12=（2+22）＝2平方米．实际面积212116422323ππ=⋅⋅-⋅=- 1620.9070.93π-=≈． 可得A ，B ，D 正确；C 错误． 故选C ．【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的运用，考查三角函数的定义以及运算能力、推理能力，属于基础题． 11．A 【解析】 试题分析：注意到，，，从而有；因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上是增函数，所以有，而，，所以有b a c <<，故选Ａ．考点：１．函数的奇偶性与单调性；２．三角函数的大小． 12．D 【分析】这是一个复合函数的问题，通过换元()t f x = ，可知新元的范围，然后分离参数，转为求函数的最大值问题，进而计算可得结果. 【详解】由题可知，当[]0,1x ∈ 时，()[]11,2f x x =+∈， 当](1,4x ∈ 时，[]()133,,sin 0,1,sin ,24442422x x f x x πππππ⎛⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈∈=+∈ ⎪⎪⎥⎢⎥⎝⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以当[]0,4x ∈ 时()[]1,2f x ∈ ，令()t f x =，则[]1,2t ∈ ， 从而问题转化为不等式220t at -+< 在[]1,2t ∈上恒成立，即222t a t t t+>=+ 在[]1,2t ∈ 上恒成立，问题转化为求函数2y t t=+在[]1,2 上的最大值，又因为2y t t=+在[]1,2上先减后增，即：⎡⎣ 为单调递减，2⎤⎦为单调递增.所以2123y t t=+≤+= ，所以3a >. 故选:D. 【点睛】本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求出最值， 同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力. 13．21x - 【分析】换元令1t x =+,反解代入2(1)2f x x x +=+即可求解. 【详解】令1t x =+,则1x t =-,故22()(1)2(1)1f t t t t =-+-=-,即()21f x x =-故答案为：21x - 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解,属于基础题型.14【分析】由已知条件，得出()f x 是以2为周期的函数，根据函数周期性，化简92f ⎛⎫⎪⎝⎭，再代入求值即可. 【详解】 因为()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的函数， 因为当11x -<≤时，()xf x e = ，所以129114222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系，这类题目往往是奇偶性和周期性相结合一起运用. 15．3-或1 【分析】 通过有66f t f t ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，判断出函数的对称轴，就是函数取得最值的x 值，结合16f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即可求出k 的值. 【详解】因为 ()()2cos f x x k ωϕ=++由对任意实数t 都有66f t f t ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立 可知：6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴. 所以 当6x π=时()f x 取得最大值或最小值，即216f k π⎛⎫=±+=-⎪⎝⎭. 解得3k =- 或1k =所以，实数k 的值等于3-或1. 故答案为:3-或1. 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，结合对称轴的性质和最值，求参数值. 16．（1）tan α（2）4π【分析】(1)利用三角函数的诱导公式，化简求值即可；(2)由（1）得()tan fαα=，结合条件，得出tan2θϕ+和tan2θϕ-，再结合凑角得22θϕθϕθ+-=+，算出tan θ即可得出角θ的值.【详解】 （1）()()()sin sin cos tan cos cos sin fαααααααα⋅⋅-==⋅⋅-（2）由条件知：1tan23θϕ+=，1tan 22θϕ-= 11tantan3222tan tan 111221tan tan 12232θϕθϕθϕθϕθθϕθϕ+-+++-⎛⎫=+=== ⎪+-⎝⎭-⋅-⨯ 因为2θϕ+，2θϕ-均为锐角，所以()0,θπ∈ 故4πθ=.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式和两角和与差的正切公式，其中还用结合凑角来运算求解. 17．（1）2425（2【分析】(1)根据A 的坐标，由任意角的三角函数的定义，求出43sin ,cos 55αα==，利用二倍角公式sin 22sin cos ααα=，运算求得结果.(2)因为三角形AOB 为正三角形，所以60AOB ∠=，由()()cos cos 60cos 60COB COA α∠=∠+=+ ，再利用两角和差的余弦公式求得结果.【详解】(1)因为点A 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，根据三角函数定义可知，43sin ,cos .55αα== 所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=. （2）因为三角形AOB 为正三角形，所以60AOB ∠=，所以：()cos cos 60COB COA ∠=∠+=()cos 60α+= cos cos60sin sin 60αα-=314525⨯-【点睛】本题主要考查三角函数的定义的应用和两角和与差的余弦公式，以及二倍角公式，计算求值. 18．（1）2a =，()1,4（2）()max 0f x =，此时2x = 【分析】 (1)由()223log 3f =代入求解可得出a 的值，对数的真数大于0，便可求解()f x 的定义域；(2)根据对数的运算化简，利用换元法45u x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，通过求复合函数的单调性求出最值. 【详解】（1）因为()223log 3f =，所以()212log 2log log 0,133a a a a +=>≠，所以2a =. 由10410x x->⎧⎪⎨->⎪⎩，得()1,4x ∈，所以函数()f x 的定义域为()1,4.（2）()()()2222444log 1log 1log 11log 5f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=--=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令45u x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，它在(]1,2单调递增，[)2,4单调递减， 故当2x =时，max 1u =.而2log y u =是增函数 所以当2x =时，()2max log 10f x ==. 【点睛】本题主要考查对数函数的运算，还有对数函数的定义域和最值，还利用换元以及复合函数的单调性结合求解.19．（1）()1206084y x x =-+≤≤（2）()290900W x =--+，()6084x ≤≤，销售价定为每件84元时，可获得利润最大，最大利润是864元. 【分析】(1)根据题意得，销售单价60x ≥，销售单价等于()60140%+，获利不得高于成本的40%，则销售单价()60140%x ≤+；再利用待定系数法把80x =时，40y =；70x =时，50y =分别代入一次函数y kx b =+中，求出,k b ，即可得出关系式；(2)根据题目意思，表示出销售额和成本，然后表示出利润=销售额-成本，整理后根据x 的取值范围求出最大利润. 【详解】（1）()6060140%x ≤≤+6084x ∴≤≤由题意得：80407050k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：1120k b =-⎧⎨=⎩所以一次函数的解析式为：()1206084y x x =-+≤≤ （2）销售额：()120xy x x =-+元， 成本：()6060120y x =-+故()()6012060120W xy y x x x =-=-+--+21807200x x =-+-()290900x =--+()290900W x ∴=--+，()6084x ≤≤当84x =时，W 取得最大值，最大值是：()28490900864--+=（元） 即销售价定为每件84元时，可获得最大利润是864元. 【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数的应用以及利用待定系数法求一次函数解析式，关键是理清题目中的等量关系列出函数关系式，平时要将生产实际和数学知识联系起来学习.20．（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈（2）2m -<≤1253x x π+= 【分析】(1)利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得()f x 的单调增区间；(2)由函数()sin y A ωx φ=+的图像伸缩变换求得()g x 的解析式，再利用正弦函数化简，求出m 的取值范围，再利用对称性求出12x x +的值. 【详解】（1）())21sin cos sin 21cos 22f x x x x x x =⋅-=-+1sin 22sin 222232x x x π⎛⎫=--=--⎪⎝⎭ 因此()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由222232k x k πππππ-≤-≤+，k z ∈，解得()f x 的单调递增区间为：5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈.（2）由题意得()sin 32g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则方程()02m g x +=可化简为sin sin 032232m mx x ππ⎛⎫⎛⎫--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即sin 32m x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭由图像可知，方程()0g x =在[]0,x π∈上要有两个不相等的实数解1x ，2x12m⇔≤-<即2m -<≤1253x x π+= 【点睛】本题主要考查三角函数图像的单调性，还考查三角函数()sin y A ωx φ=+图像的伸缩变换，其中涉及二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，以及利用三角函数周期、对称轴求出参数范围.21．（1）()1,3-（21t ≤≤ 【分析】(1)根据题意，先求出()g x 的解析式，并判断()g x 的奇偶性和单调性，结合奇偶性和单调性，即可求解；(2)法一：通过反证法，先假设存在正实数t ，使得该不等式对任意的1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭及任意锐角θ都成立，化简原不等式，通过推理论证，与0t ≥和对任意的1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭及任意锐角θ，是否矛盾，得出存在t ，且可求出t 的取值范围.法二：先化简原不等式，通过换元，构造新二次函数()h p ，通过新函数()0h p ≥恒成立，转化成二次函数恒成立问题，即可得出存在t ，且可求出t 的取值范围. 【详解】 （1）()()()()g x f x f x g x -=--=-，()g x ∴为R 上的奇函数又()xxg x e e -=-为R 上的增函数于是()()()()221240124g x g x g x g x-+-<⇔-<-2124x x ⇔-<- 2230x x ⇔--< 13x ∴-<<故原不等式的解集为()1,3-（2）假设存在正实数t ，使得该不等式对任意的1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭及任意锐角θ都成立原不等式()()22221sin 24cos 214cos 2g x t x t θθθ⎡⎤⇔+-+-⎢⎥⎣⎦()()()()8sin 2ln 2142sin 1sin ln 22ln 210g f x t t f x θθθ⎡⎤++-+-+⋅⋅++≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22221sin 24cos 214cos 2g x t x t θθθ⎡⎤⇔+-+-≤⎢⎥⎣⎦()()()()42sin 1sin ln 22ln 218sin 2ln 21g t t f x f x θθθ⎡⎤+++⋅⋅++-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2221sin 24cos 214cos 2x t x t θθθ⇔+-+-≤()()()()242sin 1sin 221821sin 2t t x x θθθ+++⋅⋅+-+()()221sin 2821sin 2x x θθ⇔+++≤ ()()()()22242sin 1sin 2214cos 214cos 2t t x t x t θθθθ+++⋅⋅++++)()28sin 2121x θ⇔++≤()()2221sin 2cos 2142sin cos 2t x t θθθθ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭0t ≤不等式不可能成立，故0t >()()()()214sin 2212sin cos 2122sin cos x x t θθθθθ⎫⇔++≤++++++⎪⎭()22128sin cos 12sin cos 21x t x θθθθ++⎫⇔+≤⎪+++⎭8sin cos 12212sin cos 21x t x θθθθ⎫⇔+≤++⎪+++⎭ 不等式对任意的1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭都成立min8sin cos 12212sin cos 21x t x θθθθ⎫⎛⎫∴+≤++⎪ ⎪+++⎭⎝⎭故8sin cos 12sin cos t θθθθ⎫+≤⎪++⎭而)2sin cos 8sin cos112sin cos4sin cost tθθθθθθθθ++⎫⎫+≤⇔+≤⎪⎪++⎭⎭该不等式对任意锐角θ都成立)min2sin cos14sin costθθθθ⎤+++≤⎥⎢⎥⎣⎦令sin cos4uπθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，则))(22sin cos24sin cos22uuuθθθθ+++=∈-，设)2222uyu+=-，令2u s+=，(3,2s∈则628yss=+-，而628ss+-在(3,2单调递增故60282ss<+-≤-所以1y≥，即)min2sin cos14sin cosθθθθ⎤++=⎥⎢⎥⎣⎦11t+≤，又0t>12t≤≤法二：原不等式)()()221sin22cos1214cosx t x tθθθ⇔+-++-()()()()28sin22142sin1sin221x t t xθθθ≤-+++++⋅⋅+()())()()2222sin cos218sin212142sin cos0 t x x tθθθθθ⇔+++-+++++≥令21x p+=，0p>原不等式())()2222sin cos8sin2142sin cos0t p p tθθθθθ⇔⋅++-++++≥0t =时，8sin 20p θ-≥不成立，0t <也不可能成立故0t >令()())222sin cos 41sin 22(sin cos 2)h p t pp t θθθθθ=⋅++-++++即()0h p ≥恒成立若方程()0h p =的>0∆，但其两根和与两根积都大于0，开口向上 故()0h p ≥不可能在()0,∞+上恒成立 所以()0h p ≥在()0,∞+上恒成立)()22222161sin 282sin cos 0t θθθ⇔∆=+-++≤对任意锐角θ恒成立)()21sin 22sin cos t θθθ⇔+≤++12sin cos2sin cos t θθθθ++⎫⇔+≤⎪⎭同法一可得：12t ≤≤. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式，还涉及存在性问题和恒成立结合的综合，其中还运用反证法推理证明，以及构造函数法化繁为简，同时也考查学生的推理论证能力和数据处理能力.。
重庆一中2023届高一上数学期末达标检测模拟试题含解析
故两函数不是相同函数，故C不符题意；
对于D，函数 的定义域为 ，
函数 的定义域为 ，
故两函数不是相同函数，故D不符题意.
故选：A.
8、C
【解析】由题知 ， ， ，则可得 ，则 ，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.
【详解】由题知 是关于x的一元二次方程 的两个不同的实数根，
则有 ， ， ，所以 ，且 是两个不同的正数，
故三棱柱 为直棱柱，故 ⊥底面 ，
因为 底面 ，故 ，而 ，
故 平面 ，
而 ，
故 .
【点睛】思路点睛：线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为 得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.
【详解】设 ，又 在图象上，则 ，可得 ，
所以 ，则 .
故选：D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用向量的坐标运算先求出 的坐标，再利用向量的数量积公式求出 的值
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故答案为
【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量的数量积公式，熟记坐标运算法则，准确计算是关键，属于基础题
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
2021-2022学年重庆一中高一上学期期末数学复习卷(附答案解析)
2021-2022学年重庆一中高一上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=Z，集合A={0,1,3}，B={−1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A. {−1,2}B. {−1,0}C. {0,1}D. {1,2}2.将函数y=√3sin2x+cos2x的图象向右平移π6个单位，所得函数图象的一个对称中心是()A. (0,0)B. (2π3,0) C. x=1 D. (π12,0)3.方程x+log2x=6的根为α，方程x+log3x=6的根为β，则()A. α>βB. α=βC. α<βD. α，β的大小关系无法确定4.已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)=()A. 2B. −2C. 0D. 235.已知函数f(x)=2x−2−x2,g(x)=2x+2−x2，下列结论错误的是()A. 函数f(x)的图象关于原点对称，函数g(x)的图象关于y轴对称B. 在同一坐标系中，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方C. 函数g(x)的值域是[1,+∞)D. g(2x)=2f(x)g(x)在(−∞,+∞)恒成立6.已知f(x)=sin(2x+θ)，f(5π6)=0，f(π)>0，则要得f(x)的图象，只需将函数y=sin2x图象()A. 向右平移π3单位 B. 向右平移π6单位C. 向左平移π3单位 D. 向左平移π6单位7.若函数f(x)=log a(8−ax)满足：对任意x1，x2∈(0,2](x1≠x2)，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，则实数a的取值范围是()A. (0,1)B. (1,4)C. (1,4]D. (4,+∞)8.若函数f(x)= x 2−3 x −4的定义域为[−2,m]，值域为[，6]，则m 的取值范围( )A. [，5]B. (，5]C. [−2,5]D. [，+∞)9.用五点作图法作y =2sin4x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A. 0，π2，π，3π2，2π B. 0，π4，π2，3π4，π C. 0，π8，π4，3π8，π2D. 0，π6，π3，3π2，23π10. 给出以下命题：(1)∃x ∈R ，x 2≤0；(2)∀a ∈R ，方程x 2−ax −1=0有实根；(3)若F 1(−3,0)，F 2(3,0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=a +9a (a >0且a 为常数)，则P 的轨迹为椭圆；其中正确命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，在区间[0,+∞)上单调递增，且f(13)=0，则不等式f(log 18x)>0的解集为( )A. (12,2)B. (2,+∞)C. (0,12)∪(2,+∞)D. (12,1)∪(2,+∞)12. 若tanθ=2，则2sin 2θ−3sinθcosθ=( )A. 10B. ±25C. 2D. 25二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)为R 上的奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2+x +1；那么y =f(x)在x <0上的解析式为 ．14. 若函数f(x)=lg 1+mx1−2x 是奇函数，则实数m 的值为______ ． 15. 已知函数的部分图象如下图所示，则该函数的解析式f (x )=_________16. 行列式∣∣∣sinx4cosx 35∣∣∣的最大值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=√2cos(x −π12)，x ∈R ． (1)求f(π3)的值；(2)若cosθ=35，θ∈(0,π2)，求f(2θ−π6).18. 如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD =6，BD =3，DC =2． (Ⅰ)若∠ADB =π2，求∠BAC 的大小； (Ⅱ)若∠ADB =2π3，求△ABC 的面积．19. 已知函数f(x)=2x −a2x +a (a >0)在其定义域上为奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并给出证明．(3)求f(x)在(−∞,1]上的最大值．20.某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶．(1)根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶.要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到x元，并投入12x2万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量t(万瓶)的最小值，以及t取最小值时的每瓶饮料的售价．21.设函数f(x)=cos2ωx+√3sinωxcosωx+a(其中ω>0，a∈R).且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是π3．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)如果f(x)在区间[−π3,5π6]上的最小值为√3，求a的值．22.已知函数f(x)=a−22x+1(a∈R)．(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；(2)判断并用定义证明函数f(x)的单调性．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查Venn图表达集合的关系及运算，由阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，即可得到结论．解：阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，∵全集U=Z，集合A={0,1,3}，B={−1,0,1,2}，∴B∩(∁U A)={−1,2}．故选A．2.答案：D解析：解：∵y=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，把它的图象向右平移π6个单位，可得函数y=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)图象，令2x−π6=kπ，k∈z，可得x=kπ2+π12，k∈z，故所得函数的图象的对称中心为(kπ2+π12,0)，k∈z，结合所给的选项，故选：D．由条件利用两角和的正弦公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．本题主要考查两角和的正弦公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3.答案：C解析：解：∵方程x+log2x=6的根为α，方程x+log3x=6的根为β，∴log2x=6−x，log3x=6−x，log2α=6−α，log3β=6−β，令f(x)=log2x，g(x)=log3x，ℎ(x)=6−x，画出图形：∴α<β， 故选C ．已知方程x +log 2x =6的根为α，方程x +log 3x =6的根为β，可以令f(x)=log 2x ，g(x)=log 3x ，ℎ(x)=6−x ，利用数形结合法进行求解；此题考查函数的零点，此题我用了比较简单的方法：数形结合法，很容易就解出来了，此题是一道好题；4.答案：B解析：本题考查三角函数的诱导公式的应用．直接利用诱导公式进行化简，然后分子、分母同除cosθ，代入tanθ=2即可得到结果． 解：sin(π2+θ)−cos(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)=cosθ−(−cosθ)cosθ−sinθ=2cosθcosθ−sinθ=21−tanθ=21−2=−2．故选：B ．5.答案：D解析：解：对于A ，∵f(−x)=2−x −2x2=−2x −2−x2=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，同理，g(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，∴A 正确； 对于B ，∵f(x)−g(x)=2x −2−x2−2x +2−x2=−2−x <0∴f(x)的图象在g(x)的图象下方，B正确；对于C，∵g(x)=2x+2−x2≥2√2x⋅2−x2=1，当且仅当x=0时取“=”，∴g(x)的值域是[1,+∞)，C正确；对于D，∵g(2x)=22x+2−2x2，2f(x)g(x)=2⋅2x−2−x2⋅2x+2−x2=22x−2−2x2，∴只有当x=0时，g(2x)=2f(x)g(x)，D错误．故选：D．A中，f(x)是奇函数，图象关于原点对称，g(x)是偶函数，图象关于y轴对称；B中，f(x)−g(x)<0，得出f(x)的图象在g(x)的图象下方；C中，利用基本不等式得出g(x)≥1；D中，判断g(2x)=2f(x)g(x)只有在x=0时成立．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了作差法比较大小，考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．6.答案：D解析：解：∵已知f(x)=sin(2x+θ)，f(5π6)=0=sin(5π3+θ)，f(π)=sinθ>0，∴可取θ=π3，f(x)=sin(2x+π3)，故将函数y=sin2x图象向左平移π6单位，可得f(x)的图象，故选：D．由题意先求得θ，可得f(x)得解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围，考查计算能力，属于中档题．根据导数的定义及导数与函数单调性的关系，可知先将函数f(x)在(0,2]单调递减，f(x)=log a(8−ax)转化为y=log a t，t=8−ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．解：由(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，即(x1−x2)和[f(x1)−f(x2)]异号，则f(x1)−f(x2)x1−x2<0，∴根据函数单调性的定义，则f(x)在(0,2]单调递减，当0<a<1时，则函y=log a t，在(0,2]是减函数，由题设知t=8−ax为增函数，则需a<0，故此时无解；若a>1，则y=log a t，在(0,2]是增函数，则t为减函数，则需a>0且8−a×2>0，解得1<a<4，综上可得实数a的取值范围是(1,4)．故实数a的取值范围(1,4)．故选B．8.答案：A解析：本题考查的是函数的定义域和值域中含参数的问题。
重庆市重点高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题 1．（ ） 315︒=A ．B ．C ．D ．11π613π67π45π4【答案】C【分析】利用公式可求角的弧度数 315︒【详解】角对应的弧度数为 315︒3157ππ1804=故选：C2．命题“，”的否定是（ ） 0x ∀>21x ≥A ．，B ．，00x ∃>021x≥00x ∃>021x<C ．， D ．，0x ∀<21x ≥00x ∃<021x<【答案】B【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法写出结论作答. 【详解】全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”0x ∀>21x ≥00x ∃>021x <故选：B3．已知集合，，则（ ） {|124}x A x =<<1|11B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭A B =ðA ． B ．C ．D ．[)1,3(0,1]()1,2()3,3-【答案】B【分析】化简集合，然后用补集的定义即可求解 ,A B 【详解】由解得， 124x <<02x <<由可得，即，解得 111x >-1120111x x x x x ---=>---()()210x x -->12x <<故，， {|02}A x x =<<{}|12B x x =<<所以 A B =ð{|01}x x <≤故选：B4．方程的解所在的区间是（ ） ln 50x x +-=A ． B ． C ． D ． ()01，()12，()34，()23，【答案】C【分析】构造函数，利用零点存在性定理可解.【详解】记，函数在定义域上单调递增， ()ln 5f x x x =+-因为，(3)ln 3350f =+-<(4)2ln 2450f =+->所以函数在区间内有零点，即方程的解在区间内.()f x 3,4（）ln 50x x +-=3,4（）故选：C5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）()22,12,1x x ax x f x x ⎧+≥=⎨<⎩R a A ． B ．C ．D ．(],1-∞[]1,41,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭][(),14,∞∞-⋃+【答案】C【分析】由题可得，解之即得.1122a a -≤⎧⎨+≥⎩【详解】∵在上单调递增，()()2222,1,12,12,1x x x ax x x a a x f x x x ⎧⎧+≥+-≥⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩R ∴，解得，1122a a -≤⎧⎨+≥⎩12a ≥故实数的取值范围是a 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：C6．已知，，，则（ ） 0.32=a 0.43b =0.2log 0.3c =A ． B ． a b c >>b c a >>C ． D ．c b a >>b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小 0,1【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a => 0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有： b a c >>故选：D7．已知（ ）sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．1313-79±23【答案】A【分析】由题意可得，，由二倍角公式结合诱导公式代入化简即可求解. 22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭【详解】2sin 2sin 2cos 212sin 63233πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 211121233=-⨯=-⨯=故选：A.8．已知函数是定义在R 上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式()f x 1x [)20,x ∈+∞恒成立，则不等式的解集为（ ）()()()()12120x x f x f x --<()()21f x f x >-A ．B ．1133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭113x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或C ．D ．113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或【答案】C【分析】由条件对于任意不等实数，，不等式恒成立可得1x [)20,x ∈+∞()()()()12120x x f x f x --<函数在上为减函数，利用函数性质化简不等式求其解. ()f x [)0,+∞【详解】∵ 函数是定义在R 上的偶函数， ()f x ∴ ，()()(||)f x f x f x =-=∴ 不等式可化为()()21f x f x >-(|2|)(|1|)f x f x >-∵ 对于任意不等实数，，不等式恒成立， 1x [)20,x ∈+∞()()()()12120x x f x f x --<∴ 函数在上为减函数，又， ()f x [)0,+∞(|2|)(|1|)f x f x >-∴ ，|2||1|x x <-∴ ，113x -<<∴不等式的解集为()()21f x f x >-113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：C.二、多选题9．已知某扇形的周长为，面积为，则该扇形圆心角的弧度数可能是（ ）5cm 23cm 2A ．B ．C ．D ．433432【答案】AC【分析】设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解.【详解】设扇形的半径为，所对弧长为， r l 则有，解得或 251322r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩322r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩13r l =⎧⎨=⎩故或， 43l r α==3故选：AC10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．与B ．与 ()f x x =()g x =()1f x x =+()211x g x x -=-C ．与 D ．与()xf x x =1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩()1f t t =-()1g x x =-【答案】CD【分析】根据函数相等的两要素：定义域和对应关系相同，进行判断.【详解】对于A ，，所以对应关系不相同，不是同一函数，A 错误；()g x x ==对于B ，定义域为，定义域为，定义域不相同，不是同一函()1f x x =+R ()211x g x x -=-{}|1x x ≠数，B 错误；对于C,当时，当时， 0x >()1xf x x ==0x <()1x f x x-==-所以，是同一函数，C 正确； ()1,01,0x xf x x x >⎧==⎨-<⎩对于D ，定义域都为，对应关系相同，是同一函数，D 正确， R 故选:CD.11．函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23π24()g x ，下列说法正确的是（ ）()g xA ．是的一个周期B ．的图象关于直线对称 3π()g x ()g x 7π24x =-C ．在区间上单调递减D ．的图象关于点对称()g x ππ44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()g x π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】首先得到函数，计算函数的最小正周期，即可判断A ；再采用代入的()πsin 212g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭方法，根据三角函数的性质，判断BCD. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到函数()f x 23π24， ()23πππsin 2sin 224612g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦A.函数的最小正周期是，所以是的一个周期，故A 正确； 2ππ2=3π()g x B.当时，，的图象关于直线对称， 7π24x =-7πππ224122⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭()g x 7π24x =-故B 正确；C. 当，，当时，函数单调递增，当ππ44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π5π7π2,121212x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,12122x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，故C 错误；ππ7π2,12212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D. ，所以函数的图象关于点对称，故D 正πsin 2sin 00π12π2424g ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦-⎭-()g x π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭确. 故选：ABD12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）e 1()e 1x x f x -=+A ．函数的定义域为 B ．函数的值域为 ()f x R ()f x ()11-，C ．函数是奇函数 D ．函数在上为减函数()f x ()f x R 【答案】ABC【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A ：因为，所以，所以函数的定义域为，故A 正确； e 0x >e 10x +>()f x R B ：，由 e 1()1e 12e 1x x xf x -==-++1e 0e 1101e 1x xx >⇒+>⇒<<+，2220111e 1e 1x x ⇒-<-<⇒-<-<++所以函数的值域为，故B 正确；()f x (1,1)-C ：因为， 11e 11e e ()()1e 1e 11exxx x xx f x f x ------====-+++所以函数是奇函数，所以C 正确；()f x D ：因为函数是增函数，因为，e 1x y =+e 11x y =+>所以函数是减函数， 2e 1x y =+所以函数是增函数，2e 1x y =-+故是增函数，故D 不正确， 2()1e 1xf x =-+故选：ABC.三、填空题 13．__________． ln 24elog 2+=【答案】52【分析】利用对数运算性质即可求解 【详解】ln 24215elog 22log 222+=+=故答案为：5214．已知幂函数为偶函数，则该函数的增区间为_______．()()2155m f x m m x +=-+【答案】[)0,∞+【分析】根据幂函数的定义，结合偶函数的定义求出，然后利用幂函数的性质进行求解m 【详解】因为是幂函数，()21()55m f x m m x +=-+所以或，25511m m m -+=⇒=4m =当时，，因为，所以函数是奇函数，不符合题意， 4m =5()f x x =5(())f x x f x -=--=5()f x x =当时，，因为，所以函数是偶函数，符合题意， 1m =2()f x x =2()()f x x f x -==2()f x x =故该函数的增区间为 [)0,∞+故答案为：[)0,∞+15．某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参2615136加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______． 4【答案】4【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出A B C 结果.【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理A B C 小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如x 0图所示：由图可知：，解得， 206341140x x x -+++++-=4x =所以同时参加数学和化学小组有人. 4故答案为：416．已知都是正实数，满足，记，设，则,x y 1221x y +=+{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩{}max 2,2M x xy =M的最小值为_____________. 【答案】2【分析】将用表示，写出分段函数的表达式，利用函数的单调性求最小值即可求解. y x 【详解】由，因为， 222(1)x xy x y -=-,0x y >由可得，因为，所以，1221x y +=+121=-y x 0y >12x >所以当，即时，， 01y <≤1x ≥22x xy >当，即时，， 1y >112x <<22x xy <所以，因为， {}2,1max 2,212,12x x M x xy xy x ≥⎧⎪==⎨<<⎪⎩121=-y x 所以，2,121,1212x x M x x x ≥⎧⎪=⎨<<⎪-⎩当时，， 1x ≥22M x =≥当时，单调递减， 112x <<221111212121x x M x x x -+===+---所以， 1111221211M x =+>+=-⨯-所以的最小值为2， M 故答案为:2.四、解答题17．已知集合，，.{}212270A x x x =-+≤{}27B x x =<<{}211C x m x m =-<<+(1)求；,A B A B (2)若，求m 的取值范围. B C C = 【答案】(1) [)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=(2) 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出集合A ，由交集和并集的定义即可得出答案； （2）由可得，讨论和，求解即可.B C C = C B ⊆C =∅C ≠∅【详解】（1），{}212270A x x x =-+≤}{=39x x ≤≤{}27B x x =<<所以. [)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=（2）因为，所以， B C C = C B ⊆若，则，解得：，C =∅211m m -≥+2m ≥若，则，解得：， C ≠∅221132122198m m m m m m m <⎧-<+⎧⎪⎪⎪-≥⇒≥⎨⎨⎪⎪+≤⎩≤⎪⎩322m ≤<所以m 的取值范围为：.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18．在平面直角坐标系中，已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点.αx (4,3)P -(1)求的值；sin(3)2sin 22cos(2)ππααπα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-(2)求旳值.2cos2cos sin2ααα+【答案】(1) 118(2) 78-【分析】（1）由三角函数定义求出，用诱导公式化简求值式后代入可得； cos ,sin αα(2)根据正、余弦的二倍角公式进行化简,代入角的三角函数值即可. α【详解】（1）由三角函数定义可得:，5r ==所以，. 3sin 5y r α==4cos 5x r α==-.38sin(3)2sin sin 2cos 1125542cos(2)2cos 825ππααααπαα⎛⎫+++--⎪-+⎝⎭===-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭（2）. 22222421cos 22cos 175cos sin 2cos 2sin cos 84342555ααααααα⎛⎫⨯-- ⎪-⎝⎭===-++⎛⎫⎛⎫-+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．已知定义在上的函数.R 1()22xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)判断函数的奇偶性；()y f x =(2)若不等式对任意恒成立，求实数m 的取值范围． 2()(1)0f x mx f x ++->x ∈R 【答案】(1)奇函数； (2) {}13m m -<<【分析】（1）利用奇偶函数的定义即可判断； （2）利用函数的单调性和奇偶性列不等式即可【详解】（1）因为， ()11()2222xxxx x f f x --⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝=-⎭=-⎭⎝所以函数是定义在上的奇函数；()y f x =R （2）中，函数单调递减，单调递增，故在上单调1()22x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2x y =1()22xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R 递增，故原不等式化为，2()(1)(1)f x mx f x f x +>--=-∴即恒成立， 21x mx x +>-2(1)10x m x +-+>∴，解得， 2(1)40m ∆=--<13m -<<所以实数m 的取值范围 {}13m m -<<20．已知函数．2()cos 2cos f x x x x =+(1)求函数的对称轴；()f x (2)当时，求函数的值域．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1) ππ(Z);62k x k =+∈(2) []0,3【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式把函数解析式化简为，用整体代入π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭法求函数的对称轴； ()f x （2）根据的范围，确定的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域. x π26x +【详解】（1） ，2π()cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭由 ，得函数的图像的对称轴方程ππ2π(Z)62x k k +=+∈()f x ππ(Z);62k x k =+∈（2）时，有，得，π02x ≤≤ππ7π2666x ≤+≤1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴，得，π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭所以当时，函数的值域为.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x []0,321．某手机生产商计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本20万元，每生产（千）部手机，需另投入成本万元，且x ()R x ，由市场调研知，每部手机售价0.05万元，且全年内生产的手机当年210025()90051600,25x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，能全部销售完.(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千）部的函数关系式；（利润销售额成()W x x =-本）(2)2023年产量为多少时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?【答案】(1) ()24020,025900600,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩(2)当(千)部时，最大利润是520万元.30x =【分析】(1)利润销售额另投入成本-固定成本，分段计算整理即可；=-(2)分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值.【详解】（1）当，，025x <<()220.05100010204020W x x x x x x =⨯---=-+-当，， 25x ≥()9009000.0510005160020580W x x x x x x=⨯--+-=--+故， ()24020,025900600,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩（2）当，对称轴，，025x <<20x =()22020402020380W =-+⨯-=当，， 25x ≥()900580580520380W x x x =--+≤-=>当且仅当，即时取等； 900x x=30x =综上当(千)部时，最大利润是520万元.30x =22．设函数.()2f x x a x =--+(1)当时，求函数的值域；2a =()f x (2)记函数，若方程有三个不同的实数根，，()()()22g x x f x x a x =+++-()0a >()2g x =1x 2x ，且，求正数的取值范围；3x 123x x x <<a (3)在的条件下，若恒成立，求实数m 的取值范围．()22310x x mx ->【答案】(1)；[]4,4-(2)；13a <<(3).2m ≥-【分析】（1）代入，分、、三种情况，去掉绝对值，得到函数解析式，2a =<2x -22x -≤<2x ≥求出各段的值域，即可得出结果；（2）求出.观察可知分为和两种情况，首先解出的解析()2g x x x a a x =-+-02a <≤2a >()g x 式，然后得出函数图象，根据图象得出函数的单调性，以及关于的不等式，求解不等式即可；a（3）由（2）分为和两种讨论.因为始终是方程的两根，所以12a <≤23a <<12,x x 222x a -+=，则原不等式可转化为，即恒成立，只需求出的范围即可.结合图120x x +=()230x x m +>3m x >-3x 象，分类讨论，即可得到实数m 的取值范围．【详解】（1）当时，.2a =()22f x x x =--+当时，；<2x -()224f x x x =-++=当时，，则；22x -≤<()()222f x x x x =--+=-()44f x -≤<当时，.2x ≥()()224f x x x =--+=-所以，，即函数的值域.()44f x -≤≤()f x []4,4-（2）.()()()222g x x f x x a x x x a a x =+++-=-+-①当时：02a <≤当时，；x a <()()()222g x x a x a x x a =-+-=-+当时，；2a x ≤≤()()()2222g x x x a a x x ax a =-+-=-+当时，.2x >()()()222g x x x a a x x a =-+-=-所以.()2222,22,22,2x a x a g x x ax a a x x a x ⎧-+<⎪=-+≤≤⎨⎪->⎩作图如图1则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,a (),a +∞所以应有，即，解得， ()()022g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩22222a a a >⎧⎨-+<⎩1a >又，所以；02a <≤12a <≤②当时：2a >当时，；2x <()()()222g x x a x a x x a =-+-=-+当时，；2x a ≤≤()()()2222g x x a x a x x ax a =-+-=-+-当时，.x a >()()()222g x x x a a x x a =-+-=-所以.()2222,222,22,x a x g x x ax a x a x a x a ⎧-+<⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩作图如图2则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,2()2,+∞所以应有，即，解得， ()()0222g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩22442242a a a a >⎧⎨-+-=-<⎩13a <<又，所以.2a >23a <<综上所述，正数的取值范围是.a 13a <<（3）由（2）可知，①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 12a <≤()g x (),0∞-()0,a (),a +∞因为，所以为方程的两根，则，，，是()2422g a =-<12,x x 222x a -+=120x x +=10x <20x >3x 方程的正根，则222x a -=3x =则由可转化为恒成立，即恒成立，2310x x mx ->()230x x m +>0m >m>因为，所以，则，则，所以； 12a <≤4226a <+≤2<≤2≤-2m ≥-②当时，同理可得为方程的两根，则，，， 23a <<12,x x 222x a -+=120x x +=10x <20x >在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,2()2,+∞， ()()22211g a a a a =-=--（ⅰ）当时，是方程的较小根，()2g a ≥1a ≤3x 2222x ax a -++=在上单调递3x a =()11a =-1=a ∈减，则，. (31x ⎤∈⎦)31,2x ⎡-∈-⎣则由可转化为，即恒成立，即恒成立，所以； 2310x x mx ->()230x x m +>30x m +>3m x >-2m ≥-（ⅱ）当时，即时，是方程的正根，则 ()2g a <21a <<3x 222x a -=3x =则由可转化为恒成立，即恒成立，2310x x mx ->()230x x m +>0m >m >因为，所以，则21a <<+6224a <+<+1<<1<<，所以m ≥综上所述，. 2m ≥-。
2019-2020学年人教A版重庆一中高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{0，1} B．{﹣1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 2．已知函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2，在下列区间中，函数f（x）一定有零点的是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，3] D．[3，4]3．计算sin15°•sin105°的结果是（）A．B．C．D．4．下列函数为奇函数的是（）A．f（x）＝x3+3x2B．f（x）＝2x+2﹣xC．D．f（x）＝x sin x5．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin x的图象（）A．把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位B．把各点的模坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位C．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝2sin（2x+）B．f（x）＝2sin（x+）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）7．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a8．已知函数f（x）＝m（x﹣2）+3，g（x）＝x2﹣4x+3，若对任意x1∈[0，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）D．9．已知函数y＝lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，﹣1]C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）10．函数在区间上的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝sin x•（sin x+cos x），给出以下四个命题：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在上的值域为[0，1]；③f（x）的图象关于点中心对称；④f（x）的图象关于直线对称．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．（14，17）B．（14，19）C．（17，19）D．二、填空题13．已知cos2α＝，．则sinα＝．14．已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为．15．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①；②f （x）＝e x；③f（x）＝lg（x2+2）；④f（x）＝cosπx．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）是偶函数，且对任意x∈R恒有f（3﹣x）+f （x﹣1）＝2020，又f（﹣2）＝2019，则f（2020）＝．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（1）若tanα＝3，求值：；（2）计算：lg20﹣lg2+．18．已知集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}．（1）当a＝4时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．19．已知函数．（1）求；（2）求f（x）的单调递增区间．20．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+b（ω＞0，﹣＜φ＜）相邻两对称轴间的距离为，若将f（x）的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g（x）的为奇函数．（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的对称中心；（2）若关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．21．定义二元函数F（x，y）＝（1+x）y，x∈（0，+∞），y∈R．如．已知二次函数g（x）过点（0，0），对x∈R成立．（1）求g（﹣1）的值，并求函数g（x）的解析式；（2）若函数h（x）＝g（2x+2﹣x）﹣22﹣x，求h（x）在x∈[0，1]上的值域．22．已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）的奇函数f（x）满足：①f（3）＝﹣1；②对任意x＞2，均有f（x）＜0；③对任意m，n＞0．均有f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）．（1）求f（2）的值；（2）利用定义法证明f（x）在（1，+∞）上单调递减；（3）若对任意，恒有f（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≥﹣2，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{0，1} B．{﹣1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 【分析】利用列举法表示集合A，再由并集运算得答案．解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．已知函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2，在下列区间中，函数f（x）一定有零点的是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，3] D．[3，4]【分析】根据函数零点的判定定理，把所给的区间的端点代入求出函数值，找出两个端点对应的函数值符号相反的区间，得到结果．解：由于函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2，是连连续增函数，f（1）＝ln2﹣1＜0，f（2）＝ln3＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2的零点在（ 1，2）内，故选：B．3．计算sin15°•sin105°的结果是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式，求得所给式子的值．解：sin15°•sin105°＝sin15°•（﹣cos15°）＝﹣sin30°＝﹣，故选：A．4．下列函数为奇函数的是（）A．f（x）＝x3+3x2B．f（x）＝2x+2﹣xC．D．f（x）＝x sin x【分析】首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x）和f（x）的关系，即可判断奇函数．解：对于A，f（x）＝x3+3x2，f（﹣x）＝﹣x3+3x2，f（﹣x）≠﹣f（x），f（x）不为奇函数；对于B，f（x）＝2x+2﹣x，f（﹣x）＝2﹣x+2x，f（﹣x）＝f（x），f（x）为偶函数；对于C，f（x）＝ln，定义域（﹣3，3）关于原点对称，f（﹣x）+f（x）＝ln+ln ＝ln1＝0，即有f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数；对于D，f（x）＝x sin x，定义域为R，f（﹣x）＝﹣x sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），f （x）为偶函数．故选：C．5．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin x的图象（）A．把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位B．把各点的模坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位C．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：只需将函数y＝sin x的图象各点的模坐标缩短到原来的倍，即可得到y＝sin2x的图象；再把所得图象向右平移个单为，可得函数的图象，故选：A．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝2sin（2x+）B．f（x）＝2sin（x+）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）【分析】根据图象确定A，ω和φ的值即可求函数的解析式解：由图象知函数的最大值为2，即A＝2，函数的周期T＝4（）＝2，解得ω＝1，即f（x）＝2sin（x+φ），由五点对应法知+φ＝π，解得φ＝，故f（x）＝2sin（x+），故选：B．7．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．解：∵log45＞log44＝1，，，∴b＜c＜a．故选：A．8．已知函数f（x）＝m（x﹣2）+3，g（x）＝x2﹣4x+3，若对任意x1∈[0，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）D．【分析】根据对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＞g（x2）成立，由二次函数的值域求得可得g（x）的最小值，可得﹣1＜m（x﹣2）+3在x∈[0，4]恒成立，进而根据一次函数的单调性可得关于m的不等式组，解不等式组可得答案．解：g（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，当x2∈[1，4]时，g（x2）∈[﹣1，3]，则g（x2）的最小值为﹣1，可得﹣1＜m（x﹣2）+3在x∈[0，4]恒成立，则﹣1＜﹣2m+3，且﹣1＜2m+3，解得m＜2，且m＞﹣2，即﹣2＜m＜2，故选：A．9．已知函数y＝lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，﹣1]C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）【分析】根据题意，应使对数函数的真数取到所有的正数，由此讨论真数的值域即可．【解答】解；∵函数y＝lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，∴当a2﹣1＝0时，a＝1或a＝﹣1，验证a＝1时不成立；当a2﹣1≠0时，，解得﹣2≤a＜﹣1；综上，﹣2≤a≤﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]．故选：B．10．函数在区间上的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】化简f（x）的解析式，去掉绝对值，化f（x）为分段函数，再考查函数在每一段上的增减性即可．解：当x∈（，1）时，f（x）＝tan（x）+（x﹣）﹣[（x﹣）﹣tan（x）]＝2tan（x），函数单调递增；当x∈[1，2）时，f（x）＝tan（x）+（x﹣）﹣[tan（x）﹣（x ﹣）]＝2（x﹣），函数单调递减；即f（x）＝，∴满足条件函数f（x）的图象是第一个；故选：A．11．已知函数f（x）＝sin x•（sin x+cos x），给出以下四个命题：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在上的值域为[0，1]；③f（x）的图象关于点中心对称；④f（x）的图象关于直线对称．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）＝＝．所以函数的最小正周期为T＝故①正确．由于，所以，所以，所以0≤f（x）≤1，故②正确．当x＝时，函数的值为，故f（x）的图象关于点中心对称；故③正确．当x＝时，函数的值为，即函数的最大值，故④正确．故选：D．12．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．（14，17）B．（14，19）C．（17，19）D．【分析】作出f（x）的函数图象，求出x1，x2，x3，x4的范围，根据对数函数的性质得出x1x2＝1，利用三角函数的对称性得出x3+x4＝12，代入式子化简得出关于x3的二次函数，根据x3的范围和二次函数的性质求出值域即可．解：作出函数f（x）的图象如图所示：因为存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），∴＜x1＜1，1＜x2＜2，2＜x3＜4，8＜x4＜10，∵﹣log2x1＝log2x2，∴log2＝log2x2，∴x1x2＝1，∵y＝sin关于直线x＝6对称，∴x3+x4＝12，∴＝（x3﹣1）（x4﹣1）+2x4﹣5x3＝x3x4﹣6x3+x4+1＝﹣x32+5x3+13＝﹣（x3﹣）2+，令g（x3）＝﹣（x3﹣）2+，则g（x3）在（2，）是增函数，在（，4）递减，∵g（2）＝19，g（4）＝17，g（）＝，∴17＜g（x3）≤．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案写在答题卡相应位置上13．已知cos2α＝，．则sinα＝﹣．【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin α的值．解：∵cos2α＝＝1﹣2sin2α，，则sinα＜0，求得sinα＝﹣，故答案为：﹣．14．已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为 3 ．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．解：tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，可知tan（α+β）＝＝，即＝，解得tanβ＝3．故答案为：3．15．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①；②f （x）＝e x；③f（x）＝lg（x2+2）；④f（x）＝cosπx．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是②④．【分析】根据题意，由“1阶马格丁香小花花”函数的定义分析所给的四个函数，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析4个函数：对于①，f（x）＝，若f（x）＝是“1阶马格丁香小花花”函数，则方程＝+1有解，方程＝+1变形可得x2+x+1＝0，该方程无实数解，所以函数f（x）＝不是“1阶马格丁香小花花”函数；对于②，f（x）＝e x，其定义域为R，则方程e x+1＝e x+e有解，方程e x+1＝e x+e，变形可得（e﹣1）e x＝e，解可得x＝ln，有解；故函数f（x）＝e x是“1阶马格丁香小花花”函数；对于③f（x）＝lg（x2+2），若存在x，使f（x+1）＝f（x）+f（1）则lg[（x+1）2+2]＝lg（x2+2）+lg3即2x2﹣2x+3＝0，而△＝4﹣24＝﹣20＜0，故方程无解．故f（x）＝lg（x2+2）不是“1阶马格丁香小花花”函数；对于④f（x）＝cosπx，存在x＝，使f（）＝cos＝f（）+f（1）即f（x+1）＝f（x）+f（1）成立，故函数f（x）＝cosπx是“1阶马格丁香小花花”函数；综合：②④是“1阶马格丁香小花花”函数；故答案为：②④．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）是偶函数，且对任意x∈R恒有f（3﹣x）+f （x﹣1）＝2020，又f（﹣2）＝2019，则f（2020）＝ 1 ．【分析】运用偶函数的定义，将x换为﹣x，再根据∀x∈R，有f（3﹣x）+f（x﹣1）＝2014，得到f（x+4）+f（x﹣2）＝2014，得到函数f（x）的最小正周期为12，从而得到f（2020）＝2020﹣f（﹣2），从而可得结论解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）是偶函数，∴f（﹣x﹣2）＝f（x﹣2），∵∀x∈R，有f（3﹣x）+f（x﹣1）＝2020，∴f（4﹣x）+f（x﹣2）＝2020，∴f（4﹣x）+f（﹣2﹣x）＝2020，即f（x+4）+f（x﹣2）＝2020，从而有f（x+6）+f（x）＝2020，f（x+12）+f（x+6）＝2020，∴f（x+12）＝f（x），即函数f（x）的最小正周期为12，∴f（2020）＝f（12×168+4）＝f（4）＝2020﹣f（﹣2）＝1，故答案为：1．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（1）若tanα＝3，求值：；（2）计算：lg20﹣lg2+．【分析】（1）运用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值．（2）利用对数的运算性质即可计算得解．解：（1）∵tanα＝3，∴＝＝＝＝﹣；（2）lg20﹣lg2+＝lg10+log33+log23×﹣2＝1+1+2﹣2＝2．18．已知集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}．（1）当a＝4时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）a＝4时，求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．（2）集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}＝{x|x （x﹣a）＜0}，A∩B＝B，从而B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）a＝4时，集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|4x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜4}．∴A∩B＝{x|0＜x＜3}．（2）∵集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}＝{x|x（x﹣a）＜0}，A∩B＝B，∴B⊆A，当B＝∅时，a＝0，当B≠∅时，﹣2≤a＜0或0＜a≤3综上，实数a的取值范围[﹣2，3]．19．已知函数．（1）求；（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】（1）先利用三角函数公式化简函数f（x），再代入求值即可；（2）由（1）知f（x）＝，再利用正弦函数的图象即可求出f（x）的单调递增区间．解：（1）∵＝sin2x+1﹣cos2x＝＝，∴＝sin+1＝；（2）由（1）知f（x）＝，∴令﹣，（k∈Z），得：，∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．20．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+b（ω＞0，﹣＜φ＜）相邻两对称轴间的距离为，若将f（x）的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g（x）的为奇函数．（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的对称中心；（2）若关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．【分析】（1）由周期求得ω，由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）＝sin（2x++φ）+b﹣1，再根据g（x）的为奇函数求得φ和b的值，可得f（x）和g （x）的解析式以及f（x）的对称中心．（2）由（1）可得g（x）＝sin2x，由题意可得可得关于t的方程 3t2+m•t+2＝0在区间（0，1）上有唯一解．再利用二次函数的性质求得m的范围．解：（1）由题意可得＝＝，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ）+b，∴g（x）＝sin[2（x+）+φ]+b﹣1＝sin（2x++φ）+b﹣1．再结合函数g（x）的为奇函数，可得+φ＝kπ，k∈z，且b﹣1＝0，再根据﹣＜φ＜，可得φ＝﹣，b＝1，∴f（x）＝sin（2x﹣）+1，g（x）＝sin2x．令2x﹣＝nπ，n∈z，可得x＝+，∴f（x）的对称中心（+，1）．（2）由（1）可得g（x）＝sin2x，在区间[0，]上，2x∈[0，π]，令t＝g（x），则t∈[0，1]．由关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，可得关于t的方程 3t2+m•t+2＝0在区间（0，1）上有唯一解．令h（t）＝3t2+m•t+2，∵h（0）＝2＞0，则满足h（1）＝3+m+2＜0，或，求得m＜﹣5，或m＝﹣2．21．定义二元函数F（x，y）＝（1+x）y，x∈（0，+∞），y∈R．如．已知二次函数g（x）过点（0，0），对x∈R成立．（1）求g（﹣1）的值，并求函数g（x）的解析式；（2）若函数h（x）＝g（2x+2﹣x）﹣22﹣x，求h（x）在x∈[0，1]上的值域．【分析】（1）根据定义可得2g（﹣1）＝＝2﹣4，所以g（﹣1）＝﹣4，进而a＝b﹣4，再由﹣（3x2+1）≤ax2+bx≤6x+2对x∈R成立．整理可得a，b的值；（2）h（x）整理得﹣2（2x﹣2﹣x）2+2（2x﹣2﹣x）﹣8，换元配方即可解：（1）因为对x∈R成立．所以x＝﹣1时，≤2g（﹣1）≤4﹣2，即有2g（﹣1）＝＝2﹣4，所以g（﹣1）＝﹣4 设g（x）＝ax2+bx（a≠0），则g（﹣1）＝a﹣b＝﹣4，即a＝b﹣4，又因为对x∈R成立．即≤2g（x）≤26x+2，则﹣（3x2+1）≤ax2+bx≤6x+2对x∈R成立．则对x∈R，（a+3）x2+bx+1≥0恒成立，所以a+3≥0，△＝b2﹣4（a+3）≤0同时对x∈R，ax2+（b﹣6）x﹣2≤0恒成立，所以a＜0，△＝（b﹣6）2+8a≤0，代入a＝b﹣4得（b﹣2）2≤0，所以b＝2，则a＝﹣2，故g（x）＝﹣2x2+2x；（2）函数h（x）＝g（2x+2﹣x）﹣22﹣x＝﹣2（2x+2﹣x）2+2（2x+2﹣x）﹣4•2﹣x＝﹣2（2x+2﹣x）2+2（2x﹣2﹣x）＝﹣2[（2x﹣2﹣x）2+4]+2（2x﹣2﹣x）＝﹣2（2x﹣2﹣x）2+2（2x﹣2﹣x）﹣8，令t＝2x﹣2﹣x，因为x∈[0，1]，所以t∈[0，]，h（t）＝﹣2t2+2t﹣8＝﹣2（t﹣）2﹣，则h（t）∈[﹣，﹣]22．已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）的奇函数f（x）满足：①f（3）＝﹣1；②对任意x＞2，均有f（x）＜0；③对任意m，n＞0．均有f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）．（1）求f（2）的值；（2）利用定义法证明f（x）在（1，+∞）上单调递减；（3）若对任意，恒有f（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≥﹣2，求实数k的取值范围．【分析】（1）由条件③f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）对任意m，n＞0均成立，可令m ＝n＝1，即可解得f（2）＝0；（2）由（Ⅰ），将f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）变形得f（mn+1）﹣f（n+1）＝f（m+1），设x2＝mn+1，x1＝n+1，其中m，n＞0，m＞1，利用②③即证得结论成立；（3）利用赋值法，结合题意可求得f（x）≥﹣2的解为：1＜x≤5或x≤﹣，再结合函数的单调性脱去函数符号“f”，得到1＜sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤5，或sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤﹣，再通过构造函数，利用分类讨论、等价转化等思想方法正确分析、运算即可求得实数k的取值范围．解：（1）由条件③f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）知，令m＝n＝1得：f（2）+f（2）＝f（2），故得f（2）＝0．（2）由（1）将f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）变形得：f（mn+1）﹣f（n+1）＝f（m+1），设x2＝mn+1，x1＝n+1，其中m，n＞0，m＞1，则x2﹣x1＝n（m﹣1）＞0，故x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）＝f（mn+1）﹣f（n+1）＝f（m+1），m＞1，m+1＞2，由②对任意x＞2，均有f（x）＜0可知，f（m+1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，所以f（x2）＜f（x1），即f（x）在（1，+∞）上为减函数；（3）由（1）知f（2）＝0，而f（x）为奇函数，又f（3）＝﹣1，对任意m，n＞0，f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1），所以f（2+1）+f（2+1）＝f（2×2+1）＝f（5），即f（5）＝﹣2①．再令m＝4，n＝，则f（4+1）+f（+1）＝f（4×+1）＝f（2）＝0，所以f（5）＝﹣f（）＝f（﹣）＝﹣2②由①②可知，f（x）≥﹣2的解为：1＜x≤5或x≤﹣．于是，f（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≥﹣2⇔1＜sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤5，或sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤﹣．令t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），θ∈[﹣，0]⇒∈[﹣，]⇒sin（θ+）∈[﹣1，1]，即t∈[﹣1，1]，又sin2θ＝t2﹣1，故sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k＝t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1，令g（t）＝t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1（﹣1≤t≤1），则1＜g（t）≤5或g（t）≤﹣．先分析：1＜g（t）≤5（﹣1≤t≤1），即，对于③，∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1≤5⇔，解得﹣≤t≤8③′；对于④，∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1＞1，即∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣2＞0．令h（t）＝t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣2，分三类讨论：1°当≤﹣1，即k≤时，h（t）在区间[﹣1，1]上单调递增，由h（t）min＝h（﹣1）＝1+（2k﹣3）﹣k﹣2＞0得：k＞4，与k≤矛盾，即此时k∈∅；2°当≥1，即k≥时，h（t）在区间[﹣1，1]上单调递减，由h（t）min＝h（1）＝1﹣（2k﹣3）﹣k﹣2＞0得：k＜，与k≥矛盾，即此时k∈∅；3°当﹣1＜＜1，即＜k＜时，h（t）在区间[﹣1，1]上的最小值为h（），由h（t）min＝h（）＝﹣[（2k﹣3）×]﹣k﹣2＞0整理得：4k2﹣8k+17＜0，此不等式无解，即此时k∈∅；即对于④，∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1＞1中的实数k∈∅；综上所述，∀t∈[﹣1，1]，1＜g（t）≤5，即1＜（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≤5中的k∈∅；再分析g（t）≤﹣，即，即，解得：≤k≤．综上所述，实数k的取值范围为[，]．。
重庆市第一中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题
重庆市第一中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b>>二、多选题四、解答题参考答案：函数()f x 的最小正周期πT =，故A 错误；由图象可知函数的增区间为()ππ,π2Z k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数正确；当3ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2cos ,12x ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦，()[0,2f x ∈因为()()2025π2cos 2025π2f ==，所以函数(f x 确.故选：BD.11．ABD【分析】先利用已知条件求出函数()f x 的解析式，选项由对称性可知，当1x >时满足不等式()2log 1m x f x -≤的整数解有根据图示可得()()22log 6161log 8181m f m f ⎧-≤=⎪⎨->=⎪⎩，解得2211log log 57m ≤<，即57log log 22m ≤<故答案为：(]57log log 22，17．（1）52（2）12【分析】(1)根据正切找到正余弦的关系，代入22sin cos 1αα+=求出(2)根据()log 1,,,log log a mn N mm mn n a a aa a a N M n M a -⎛⎫==== ⎪⎝⎭公式化简求解【详解】（1）tan 2,α= 即sin 2cos αα=又因为22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=所以21115sin cos 2cos cos 2cos 2ααααα===⋅⋅111综上，k 的取值范围为(]7,6--.。
2022-2023学年重庆市第一中高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．命题“1x ∃≥，使21x >.”的否定形式是（） A.“1x ∃<，使21x >” B.“1x ∃<，使21x ≤” C.“1x ∀≥，使21x >”D.“1x ∀≥，使21x ≤”2．若－4<x <1，则22222x x x -+-（）A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－13．设集合M={a|∀x∈R，x 2+ax+1＞0}，集合N={a|∃x∈R，（a-3）x+1=0}，若命题p ：a∈M，命题q ：a∈N，那么命题p 是命题q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．在平面直角坐标系xOy 中, 以1,1C 为圆心的圆与x 轴和y 轴分别相切于,A B 两点, 点,M N 分别在线段,OA OB 上, 若,MN 与圆C 相切, 则MN 的最小值为A.1B.2C.2D.25．已知点（a ，2）在幂函数()(3)bf x a x =-的图象上，则函数f （x ）的解析式是（） A.12()f x x = B.12()2f x x = C.3()f x x =D.1()f x x -=6．已知M ，N 都是实数，则“0MN >”是“()222log log log MN M N =+”的（）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要7．若函数()()sin f x x πϖ=-+2x πϖ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0ϖ> 满足()12,f x =-()20f x =且12x x -的最小值为4π，则函数()f x 的单调递增区间为 A.52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B.()52,21212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦8相等的是 A.sin2cos2- B.cos2sin2- C.cos2D.cos2-9．已知函数，则()2log 1,026,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，则()()11f f --=A.22log 32-B.2log 71-C.2D.2log 610．下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.3y x = B.3log y x =- C.3x y =D.1y x=二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________.12．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如右图所示，则该几何体的侧面积为cm13．某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a ，b ，c ，且::2:5:3a b c =，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______. 14．函数21log y x =-+的定义域为________15．已知函数()()22log 4f x ax ax =-+.（1）若()f x 在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是___________；（2）若()f x 的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．设函数()(0xxf x a ma a -=+>且1)a ≠是定义在R 上的奇函数（1）求m 的值；（2）若()10f <，试判断函数的单调性(不需证明)，求出不等式()()226120f x x f x ++-->的解集17．已知函数44()log (2)log (4)f x x x =++-. （1）求()f x 的定义域；（2）若函数1()42x x g x a a +=⋅--，且对任意的1[5,6]x ∈，2[1,2]x ∈，()()12f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围.18．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，分别取BC ，CD 的中点E ，F ，连接AE ，EF ，AF ，以AE ，EF ，FA 为折痕进行折叠，使点B ，C ，D 重合于一点P .（1）求证：AP EF ⊥； （2）求三棱锥P AEF -的体积19．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}2650B x x x =-+<. （1）若A B =，求实数a 的值； （2）若AB =∅，求实数a 的取值范围.20．已知0a >且满足不等式215222a a +->. （1） 求不等式()()log 31log 75a a x x +<-；（2）若函数()log 21a y x =-在区间[]3,6有最小值为2-，求实数a 值21．如图，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、D【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出命题的否定形式【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“1x ∃≥，使21x >”的否定形式为：1x ∀≥，使21x ≤ 故选：D 2、D【解析】先将22222x x x -+-转化为11[(1)]21x x -+-，根据－4<x <1，利用基本不等式求解. 【详解】22211[(1)]2221x x x x x -+=-+--又∵－4<x <1， ∴x －1<0 ∴－(x －1)>0∴11[(1)]12(1)x x ---+≤---．当且仅当x －1＝11x -，即x ＝0时等号成立 故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 3、A【解析】由题意，对于集合M ，△=a 2-4＜0，解得-2＜a ＜2； 对于集合N ，a≠3若-2＜a ＜2，则a≠3；反之，不成立. 命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选A 4、D【解析】因为1,1C 为圆心的圆与 x 轴和y 轴分别相切于 ,A B 两点, 点,M N 分别在线段 ,OA OB 上, 若,MN 与圆C 相切，设切点为 Q ，所以AM BN QM QN MN +=+=，设 MNO ∠θ=，则()cos sin ,21cos sin OM ON MN MN OA OB MN θθθθ+=++==++，221cos sin 14MN πθθθ==≥=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭2，故选D.考点：1、圆的几何性质；2、数形结合思想及三角函数求最值【方法点睛】本题主要考查圆的几何性质、数形结合思想及三角函数求最值，属于难题．求最值的常见方法有 ① 配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；② 三角函数法：将问题转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；③ 不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④ 单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图像法：画出函数图像，根据图像的最高和最低点求最值，本题主要应用方法②求MN 的最小值的 5、A【解析】由幂函数的定义解出a ，再把点代入解出b .【详解】∵函数()(3)bf x a x =-是幂函数，∴31a -=，即4a =， ∴点（4，2）在幂函数()bf x x =的图象上，∴12b =，故12()f x x = 故选：A. 6、B【解析】用定义法进行判断.【详解】充分性：取1,2M N =-=-，满足0MN >.但是22log log M N 、无意义，所以充分性不满足； 必要性：当()222log log log MN M N =+成立时，则有00M N >⎧⎨>⎩,所以0MN >.所以必要性满足. 故选：B 7、D【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得ω的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解：()sin()sin()2f x x x ππωω=-+sin 2sin()3x x x πωωω=+=+， 根据题中条件满足()12,f x =-()20f x =且12x x -的最小值为4π，所以有44T π=，所以,2T πω==，从而有()2sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-≤+≤+，整理得51212k x k ππππ-≤≤+， 从而求得函数的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈，故选D. 点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确. 8、A22cos sin =-，结合三角函数的符号即可得到结果.22cos sin ==-,又2弧度在第二象限，故sin2＞0,cos2＜0，= sin2cos2- 故选A【点睛】本题考查三角函数的化简问题，涉及到二倍角公式，平方关系，三角函数值的符号，考查计算能力. 9、B【解析】因为()2log 1,026,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，所以()()()()2112617117log 71f f f f --=---=--==-，，故选B. 10、A【解析】由幂函数，指数函数与对数函数的性质可得 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3y x =，其定义域为R ，在R 上既是奇函数又是增函数，符合题意； 对于B ，3log y x =-，是对数函数，不是奇函数，不符合题意； 对于C ，3x y =，为指数函数，不为奇函数； 对于D ，1y x=，为反比例函数，其定义域为{|0}x x ≠，在其定义域上不是增函数，不符合题意； 故选A【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，是基础题，掌握幂函数，指数函数与对数函数的性质是解题关键二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、12【解析】由函数的奇偶性可知()()22f f =--，代入函数解析式即可求出结果. 【详解】函数()f x 是定义在上的奇函数，()()f x f x -=-，则()()f x f x =--，()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型. 12、80【解析】图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5cm ，底面边长是8cm ， 侧面积为 ×4×8×5=80（cm 2） 考点：三视图求面积.点评：本题考查由三视图求几何体的侧面积 13、45【解析】由题意求得样本中抽取的高三的人数为60人进而求得样本中高三年级参加登山的15人，即可求解. 【详解】由题意，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a ，b ，c ，且::2:5:3a b c =， 所以样本中抽取的高三的人数为320060253⨯=++人，又因为全校参加登山的人数占总人数的14， 所以样本中高三年级参加登山的人数为160154⨯=， 所以样本中高三年级参加跑步的人数为601545-=人. 故答案为：45. 14、[2,)+∞【解析】根据偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意21log 00x x -+≥⎧⎨>⎩，解得2x ≥，故函数的定义域为[2,)+∞.故答案为[2,)+∞.【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题. 15、 ①.[)2,0- ②.[)16,+∞【解析】（1）分析可知内层函数24u ax ax =-+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，且对任意的1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，0>u 恒成立，由此可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围；（2）分析可知()0,∞+为二次函数24u ax ax =-+值域的子集，分0a =、0a ≠两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式组，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）令24u ax ax =-+，2log y u =.当0a =时，()2log 42f x ==，该函数为常值函数，不合乎题意. 所以，0a ≠，内层函数24u ax ax =-+的对称轴为直线12x =， 由于函数()f x 在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，且外层函数2log y u =为增函数，故内层函数24u ax ax =-+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，且对任意的1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，0>u 恒成立，所以，04240a a a <⎧⎨-+≥⎩，解得20a -≤<；（2）因为函数()f x 的值域是R ，则()0,∞+为二次函数24u ax ax =-+值域的子集. 当0a =时，内层函数为4u =，不合乎题意；当0a ≠时，则有2160a a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得16a ≥. 综上所述，实数a 的取值范围是[)16,+∞. 故答案为：（1）[)2,0-；（2）[)16,+∞.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、（1）1m =- （2）{}|26.x x -<<【解析】（1）由奇函数的性质可得(0)0f =，从而可求出m 的值； （2）由()10f <可得01a <<，从而可判断出函数单调性，然后根据函数的奇偶性和单调性解不等式【小问1详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，即10m += ， 1m ∴=-，当1m =-时，()xxf x a a -=-，()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，故1m =-符合题意; 【小问2详解】 ∵1(1)0f a a=-<，又0a >且1a ≠， 01a ∴<<，x x y a y a -∴==-，都是R 上的减函数，()f x ∴是定义在R 上的减函数，故()()226120f x x f x ++-->()()22612f x x f x ⇒+>+， 2226124120x x x x x ∴+<+⇒--<26x ⇒-<<，∴不等式的解集{}|26.x x -<<17、（1）(4,)+∞.（2）（2，+∞）. 【解析】（1）使对数式有意义，即得定义域；（2）命题等价于max min ()()f x g x <，如其中一个不易求得，如min ()g x 不易求，则转化为max ()()f x g x <恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解 【详解】（1）由题可知20x +>且40x ->， 所以4x >.所以()f x 的定义域为(4,)+∞.（2）由题易知()f x 在其定义域上单调递增.所以()f x 在[5,6]x ∈上的最大值为4(6)log 162f ==， 对任意1[5,6],x ∈2[1,2],x ∈()()12f x g x <恒成立等价于max ()2()f x g x =<恒成立.由题得()2()222x x g x a a =⋅-⋅-.令2([2,4])x t t =∈，则2()22h t a t t a =⋅-->恒成立.当0a =时，1t <-，不满足题意.当0a <时，22242482a a a a ⎧⋅-->⎨⋅-->⎩， 解得2a >，因为0a <，所以舍去.当0a >时，对称轴为1t a =， 当12a <，即12a >时，2242a a ⋅-->，所以2a >； 当124a ≤≤，即1142a ≤≤时，2122a a a a⎛⎫⋅--> ⎪⎝⎭，无解，舍去； 当14a >，即104a <<时，2482a a ⋅-->，所以23a >，舍去. 综上所述，实数a 的取值范围为（2，+∞）.【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．18、（1）证明见解析（2）13【解析】（1）通过90APE APF ∠=∠=︒，证明PA ⊥平面PEF ，然后证明AP EF ⊥；（2）利用13P AEF A PEF PEF V V S AP --==⋅，求出几何体的体积【小问1详解】 证明： 90APE APF ∠=∠=︒，即,AP PE AP PF ⊥⊥ , ,,PE PF P PE PF =⊂平面PEF ，PA ∴⊥平面PEF ,又EF ⊂平面PEF ，所以AP EF ⊥；【小问2详解】由（1）知PA ⊥平面PEF ，∴11111123323P AEF A PEF PEF V V SAP --===⨯⨯⨯⨯=⋅ 19、（1）2a =（2）0a ≤或6a ≥【解析】（1）求出集合B ，再根据A B =列方程求解即可；（2）根据A B =∅分A =∅，A ≠∅讨论求解.【小问1详解】 由已知得{}{}265015B x x x x x =-+<=<< A B =11215a a -=⎧∴⎨+=⎩， 解得2a =；【小问2详解】A B =∅当A =∅时，121a a -≥+，得2a ≤-当A ≠∅时，15121a a a -≥⎧⎨-<+⎩或211121a a a +≤⎧⎨-<+⎩，解得20a -<≤或6a ≥， 综合得0a ≤或6a ≥.20、（1）37,45⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）运用指数不等式的解法，可得a 的范围，再由对数不等式的解法，可得解集；（2）由题意可得函数()log 21a y x =-在[]3,6递减，可得最小值，解方程可得a 的值试题解析：（1）∵22a +1＞25a -2.∴2a +1＞5a -2，即3a ＜3∴a ＜1，∵a ＞0，a ＜1∴0＜a ＜1.∵log a （3x +1）＜log a （7-5x ）.∴等价为3107503175x x x x +⎧⎪-⎨⎪+-⎩＞＞＞， 即137534x x x ⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＞＜＞， ∴3745x ＜＜， 即不等式的解集为（34，75）.（2）∵0＜a ＜1∴函数y =log a （2x -1）在区间[3，6]上为减函数，∴当x =6时，y 有最小值为-2， 即log a 11=-2，∴a -2=21a =11， 解得a =1111. 21、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直。