用配方法-解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
（１）方程 x 0.25的根是 X1=0.5, x2=－0.5
2
（２）方程 2 x 18 的根是 X1＝3， x2＝—3
2
（3） 方程 (2 x 1)2 9的根是 X1＝2， x2＝－1
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）x2－ 81＝0
(3)(x＋1)2=4
（2） x2 ＝50
例题讲析：
例：解方程： ３x2+8x－3=o
分析：将二次项系数化为1后，用配方法 解此方程。 解：两边都除以3，得： 8 2 移项，得： x x 1
3
2 2
8 x x 1 0 3
2
2
配方，得： （方程两边都加上一次项系数一半的平方） 2 2 4 5 即： x 所以:
变形为
（x－2）2=3
2
a
这种方 程怎样 解？
的形式．（ａ为非负常数）
把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用开平方法求解,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法.
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2 (2)x2－4x＋ 4 =(x－ 2 )2 6 (3)x2－___x＋ 9 =(x－ 3 )2
(4)x2＋2 5 x＋5=0
（1）（χ+1）2－4=0 （χ+1）2=4 以变形为：
（2） 12（2－χ）2－9=0
分析：我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
现在再运用直接开平方的方法可求得χ的值。
解：
（χ+1）2=4 (1) 移项，得
∴ ∴ χ+1=±2 χ1=1，χ2=－3.
X2－4x＋1＝0 变 形 为
练习3：用配方法解下列方程： (1) x2＋12x =－9 (2) －x2＋4x－3=0 4. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零.
思考：先用配方法解下列方程： （1） x2－2x－1＝0 （2） x2－2x＋4＝0 （3） x2－2x＋1＝0 然后回答下列问题： （1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样 处理所遇到的问题的？ （2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在 什么条件下才有实数根？
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x a ,x a 1 2 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方 式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法. 注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
学习目标
1、理解掌握用直接开平方法解一元 二次方程? 2、了解什么是配方法？ 3、会用配方法解一元二次方程。
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x a ,x a 1 2 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方 法.
例1.用直接开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0; (2)(2x－3)2=7
=(x- 2 ) 2;
（3）x2+8x+ 16
=(x+ 4
) 2.
回顾与复习
我们通过配成完全平方式的方 法,得到了一元二次方程的根,这种 解一元二次方程的方法称为配方法
1、平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a .
2、完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式 ,且a2±2ab+b2 =(a±b)2.
1 x1 3
3
8 4 4 x x 1 3 3 3
x2 3
3
例2：用配方法解下列方程 (1)x2＋6x=1
(2)x2=6－5x
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一 半的平方
想一想
1.如果x2=5,那么x= ± 5 ； 2.如果x2=a（a≥0）,那么x= ± a ； 3.式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式, 且a2±2ab+b2 （2）x2-4x+
（a± 2 . b） =
4.（1） x2+12
用配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程目标1、理解配方法，会用配方法简单系数的一元二次方程。
2、了解配方法解一元二次方程的基本步骤，即化一元二次方程为一元一次方程重点用配方法解形一元二次方程，使一元二次方程转化为（ax+b）2=k 这样的形式。
难点使用配方法使一元二次方程转换为左边平方右边数的形式。
过程一、导入有这么一个方程，x2+2x-3=0,我们怎么解这个方程呢，能使用前面学过的直接开方法解一元二次方程吗？能不能把这个方程转化为左边完全平方式右边数的形式呢？新知讲解我们学过完全平方式：a2±2ab+b2=(a±b)2，很明显，这个式子左边是整式，右边是一个完全平方式。
本课开始时我们提到的一元二次方程x2+2x-3=0，如果把x2+2x变成一个完全平方式，使其余的数放在等号的右方。
那就回到了我们上一节课学过的直接开平方法解一元二次方程。
把x2+2x的后面加1得x2+2x+1，这是一个完全平方式，即：x2+2x+1=(x+1)2，于是我们得到了一个关于x的完全平方式。
由于加了1，后面要减去1，因此，原方程可以转化为x2+2x+1-1-3=0，前三项是一个完全平方式，后两项合并为-4。
原方程转化为：(x+1)2-4=0。
到这里就把方程转化成了左边平方，右边数字的形式了：(x+1)2=4，这个方程可以用直接开方法求解。
注意，我们添加的数字是x的系数一半的平方。
例1、把下列式子转化成完全平方式。
（1）x2+6x-16= x2+2x___+（____）2-（____）2-16（2）x2-2x-1= x2-2x___+（____）2-（____）2-1解：（1）x2+6x-16= x2+2·x·+（）2-（）2-16（2）x2-2x-1= x2-2·x·+（）2-（）2-1例2、根据上例解下列方程（1）x2+6x-16=0 （2）x2-2x-1=0解：（1）x2+6x-16=0等号左边加、减x系数的一半的平方得：x2+2·x·+（）2-（）2-16=0 前三项写成完全平方式：（x+）2-9-16=0移项得：（x+）2=25用直接开方法得：x+3=±5解得:x1=2, x2=-8解：（2）x2-2x-1=0等号左边加、减x系数的一半的平方得：x2-2·x·+（）2-（）2-1=0 前三项写成完全平方式：（x-）2-1-1=0移项得：（x-1）2=2用直接开方法得：x-1=±解得:x1=+1, x2=-+1例2、解方程2x2+4x-16=0分析：这个一元二次方程的二次项系数不为“1”，先化为“1”，只需乘以即可，再用配方法解这个一元二次方程。
21.2 解一元二次方程——配方法
解: 把常数项移到方程右边得：如何配方?
x 4x 1
2
2 2 2 两边同时加上2 得： x 4x 2 1 2
2
即
降次
( x 2) 5
2
x2 5
∴原方程的根为 x1 2 5, x2 2 5
例1.解下列方程 2 x 8x 2 0.
x2＋8x＋ 42 ＝( x＋4 )2 2 2 2 ＝ ( a +b ) a +2 a b ＋ b x2＋2．x．4 ＋ 42
配方依据：完全平方公式.
2 2 2 a ±2ab+b =(a±b) .
合作探究
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 2 (1) x 4 x 2 =( x + 2 )2 2 2 =(x - 3 )2 (2) x 6 x 3
系数一半的平方，得
x 4 x 1.
2
2 2 2
x 4x 2 1 2 .
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 降次，得
的形式，得
x 2
2
5.
x 2 5.
所以，原方程的根为
x1 2 5
x2 2 5.
练习:3x – 6x + 4 = 0
配方法的基本步骤：
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（ ）2 的形式；
5、降次：化成一元一次方程；
6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
练习 题组
（1）
16 x 4 x 8x __ _ .
用配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程
1.解方程：x2+4x﹣1=0．
【思路点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．
【答案与解析】
解：∵x2+4x﹣1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2±
∴x 1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【总结升华】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
举一反三：
【变式】用配方法解方程.
(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0. 【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．
两边都加4，得x2-4x+4=2+4．
利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．
解这个方程，得x-2=或x-2=-．
于是，原方程的根为x=2+或x=2-．
(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．
两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，
∴ (x+3)2=1．
用直接开平方法，得x+3=±1，
∴ x=-2或x=-4．。
用配方法求解一元二次方程
用配方法求解一元二次方程.docx教材分析：1.对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，它又是公式法的基础，同时一元二次方程又是今后学生学习二次函数等知识的基础。
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过的一元二次方程、二次根式、平方根的意义、完全平方式等知识加以巩固。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，如观察、类比、转化等，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程，这就是降次。
2.本节课由简到难展开学习，使学生认识配方法的基本原理并掌握具体解法。
学情分析：(1)知识掌握上，九年级学生学习了平方根的意义。
即如果如果2a,那么士。
他们还学习了完全平方式2 2y y2（y）2.这对配方法解一元二次方程奠定了基础。
(2)学生学习本节的障碍。
学生对配方法怎样配系数是个难点，老师应该予以简单明白、深入浅出的分析。
(3)我们老师必须从学生的认知结构和心理特征出发，分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。
当他们在解决实际问题时发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的问题。
而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方式、二次根式，这就为我们继续研究用配方法解一元二次方程奠定了基础。
教学目标：(一)知识技能目标1.会用直接开平方法解形如（m）2n（n三0）2.会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
(二)能力训练目标1.理解配方法；知道配方”是一种常用的数学方法。
2.了解用配方法解一元二次方程的基本步骤。
(三)情感与价值观要求1.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力，激发学生的学习兴趣。
《一元二次方程——用配方法求解一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)
知2－讲
(2) 移项，得
2x2－3x＝－1.
x2
二次项系数化为1，得
3
1
x .
2
2
2
2
3
1 3
3
x x .
2
2 4
4
2
配方，得
2
3
1
x
=
.
4
16
3
1
x ,
4
4
由此可得
x1 1, x2
1
2
知2－讲
(3)移项，得
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1＝－n－
p ，x
2＝－n＋
p；
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
所以方程(Ⅱ)无实数根．
知2－练
1 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时 加上4的
是(
)
12.在实数范围内定义一种新运算“※”,其规则为a※b=a2-b2,根据这个规则求方程( 2x1 )※( -4 )=0的解.
解:根据新定义得( 2x-1 )2-( -4 )2=0,
即( 2x-1 )2=( -4 )2,
5
3
∴2x-1=±4,∴x1=2,x2=-2.
-41-
第二章
2.2 用配方法求解一元二次方程
2
3
1
A.x,-4
B.2x,-2
3
3
C.2x,D.x,2
2
C )
10.已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5,则m的值为( B )
用配方法解一元二次方程PPT课件
1．配方的关键：(1)当二次项系数为1时，方程两边同时加 上一次项系数__一__半____的平方；
(2)当二次项系数不为1时，方程两边同时__除__以____二次项系
数，化二次项系数为1后再配方．
2．(中考·安顺)若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式， 则m＝__－__1_或__7___.
(3)(2019·呼和浩特)(2x＋3)(x－6)＝16.
解：原方程化成一般形式为 2x2－9x－34＝0.
二次项系数化为 1、移项，得 x2－92x＝17.
两边同时加上－942，得x－942＝17＋8116，即x－942＝31563.
两边直接开平方，得 x－94＝± 3453，
解得
x1＝9＋
4
353，x2＝9－
4．火线和零线：进户线有火线和零线之分，通常用 _试__电__笔___来辨别。在使用试电笔时，用手接触笔尾金属 体，笔尖接触电线，如果氖管___发__光___，表示接触的是 火线。
习题链接
13 见习题 14 见习题 15 见习题 16 见习题
17 见习题 18 会；44 19 乙；909
答案呈现
课堂导练
课堂导练
9．(2019·泸州)为安全用电，家庭电路中的空气开关应装 在________线上；空气开关“跳闸”后，受它控制的电 路处于________(填“短路”“断路”或“通路”)状态；试电 笔________(填“能”或“不能”)区分零线与地线。
课堂导练
6．(2019·贵阳)我国的家庭电路有两根进户线，都是从 低压输电线上引下来的。其中一根叫零线，一根叫 ___火__线___，两根进户线之间有___2_2_0___V的电压。
4
353 .
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。
3用配方法--------解一元二次方程
乐学教育学员个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：韩授课时间：年月日(星期 )本次课授课内容用配方法--------解一元二次方程一、知识回顾解下列方程：（1）（x ＋2）2－16＝0；（2）(x －1)2－18＝0；（3）(1－3x)2＝1；（4）(2x ＋3)2－25＝0.解下列方程（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2 — x+2 =0（4）(2x+1)2=(x-1)2 （5）.二、新课讲解一、 一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a≠0)。
其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。
用配方法解一元二次方程的方法：平方根的意义：如果x 2=a ，那么x=±a 。
完全平方式：式子a 2±2ab ＋b 2叫完全平方式，且a 2±2ab ＋b 2=（a ±b ）2 用配方法解一元二次方程的步骤：1、移项：把常数项移到方程的右边；49122=+-x x 2ax a bx b c2、配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；3、变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；4、开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；5、求解：解一元一次方程；6、定解：写出原方程的解。
随堂练习：用配方法解下列方程：1. x 2－2=02.x 2＋4x=23. 3 x 2＋8 x －3=0一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-113．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9【典型例题】例１ 解方程：3 x 2＋8 x －3=0解：3 x 2＋8 x －3=0x 2＋38x －1=0 1、化1：把二次项系数化为1；x 2＋38x=1 2.移项：把常数项移到方程的右边；x 2＋38x ＋（34）2=1＋（34）2 3 . 配方：方程两边都加上一次项系数 绝对值一半的平方； （x ＋34）2=（35）2 4. 变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；x ＋34=±35 5. 开方：根据平方根的意义， 方程两边开平方； x ＋34=35 或 x ＋34=－35 6. 求解：解一元一次方程； 所以x 1==31， x 2=－3 7. 定解：写出原方程的解。
2 用配方法求解一元二次方程
(2)－3x2＋5x＋1的最大值．
1.学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，实现教学目标．
2．知识的综合与拓展，提高应考能力.
（续表）
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．课本P39中的随堂练习
【拓展提升】
例1[安徽中考]解方程：x2－2x＝2x＋1.
例2解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.
1.对本节知识进行巩固练习，可让学生进一步熟悉用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤.
2.知识的综合与拓展，提高应考能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.课本P37中的随堂练习
④[习题反思]
好题题号________________________________________
错题题号_______________________________________
反思，更进一步提升.
第
课题
第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程
授课人
教
学
目
标
知识技能
会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．通过经历配方法解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能．
④x2＋10x＋________＝(x＋________)2.
(2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别.
①x2＋6x＋8＝0；
②3x2＋18x＋24＝0.
探讨：方程②应如何去解呢？
2.复习提问：用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)的步骤是什么？
一元二次方程解法-配方法
04 一元二次方程的配方法练 习
练习题一：简单的一元二次方程
总结词
方程
通过简单的方程，熟悉配方法的基本 步骤。
$x^2 - 6x + 9 = 0$
解法
将常数项移到等号右边，得到 $x^2 6x = -9$。为了使用配方法，我们需要 使左边成为一个完全平方三项式，所以 在方程的两边加上9（即一次项系数的 一半的平方），得到 $x^2 - 6x + 9 = 0$。现在左边是一个完全平方项，可 以写为 $(x-3)^2 = 0$。最后，我们通 过直接开平方法得到解 $x_1 = x_2 = 3$。
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配方
开方
化简
将方程左边化为一个完 全平方项，右边为一个
常数。
对方程两边同时开方， 得到一元一次方程的解。
解出一元一次方程的解 后，将其代入原方程进 行化简，得到最终解。
配方法解一元二次方程的实例
实例1
解方程 $x^2 - 6x + 9 = 0$，通过 配方得到 $(x - 3)^2 = 0$，解得 $x_1 = x_2 = 3$。
ห้องสมุดไป่ตู้注意开方的正负号
在开方时需要注意根的正 负号，以保证解的合理性。
注意解的检验
解出一元一次方程后，需 要将解代入原方程进行检 验，以确保解的正确性。
03 一元二次方程的配方法扩 展
配方法的推广
适用于所有一元二次方程
配方法不仅适用于标准形式的一元二 次方程，即$ax^2 + bx + c = 0$， 还可以应用于其他形式的一元二次方 程。
一元二次方程解法-配方法
目 录
• 一元二次方程的配方法概述 • 一元二次方程的配方法应用 • 一元二次方程的配方法扩展 • 一元二次方程的配方法练习