中国剩余定理的归纳及其应用3
LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2012届本科毕业论文中国剩余定理的归纳及其应用院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名任晓燕学号*********指导教师王众杰讲师完成时间2012.5中国剩余定理的归纳及其应用任晓燕数学科学学院 数学与应用数学 学号：080414001指导老师：王众杰摘要：中国剩余定理又称为孙子定理,它的数学思想在近代数学中占有非常重要的地位.本文归纳了中国剩余定理并给出证明,并给出相关的经典例,并在此基础上对其在同余式组,多项式定理、赋值定理、密码学以及生活中的应用进行初步的讨论和分析.关键词：中国剩余定理； 同余式组； 多项式； 密码学 引言中国古代著名数学著作<孙子算经>记载,"今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?"此问题为中国剩余定理的原型.解法和答案用算式表示为70×2+21×3+15×2-105×2=23.即得到适合题意的最小整数是23."物不知其数"开创了一次同余式研究的先河,但真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的事南宋时期的数学家秦九韶,秦九韶在他的《数书九章》中提出了一个数学方法"大衍求一术" .1876年,德国人马蒂生首先指出这一解法与19世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致.从此,中国古代数学这一创造受到世界学者瞩目,并在西方数学史著中正式称为"中国剩余定理" ..1 中国剩余定理及其证明设122,,,...n n m m m 两两互素的正整数,令121122......,n n n M m m m m M m M m M ====则同余式组()()()1122mod mod ........................mod n n x c m x c m x c m =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩有正整数解()111222...mod n n n x M a c M a c M a c M =++且解唯一；其中i a 是满足()()1mod ,1,2,...i i i M a m i n ≡=的一个整数.下面我们先给出裴蜀恒等式和一个性质,然后证明中国剩余定理.在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。
裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a 、b 和它们的最大公约数d ，关于未知数x 和y 的线性丢番图方程ax by d +=（称为裴蜀等式）：裴蜀恒等式 如果两个数的最大公约数是d ,则必定存在两个整数x ,y 使得等式ax by d +=成立..性质 同余式组()mod 1,2,...j a b m j n ≡= 同时成立的充要条件是()1,2mod ,...n a b m m m ⎡⎤≡⎣⎦.证明 先证存在性：因为1,2,...m m m 两两互素, k kMM m =, 故(),1,1,2,...k k M m k n ==,由裴蜀恒等式可知一定存在整数,k k αβ使得1k k k k M m αβ+=,即1k k k k M m αβ=-+,因此必定存在k α,使()1mod ,1,2,...k k k M m k n α≡=.又因当k λ≠时,恒有k m M λ,所以()()1mod k k M a m k λλ≡≠.若令111222...n n n R x M a c M a c M a c ==++,则有()()()11112222mod mod ................................mod n n n n R M a c m R M a c m R M a c m =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩又k m M ,故()0mod k M m ≡,从而()mod t k k x R M R c m =+≡≡,1,2,...k n =. 因此()mod x R M ≡,即111222...n n n R x M a c M a c M a c ==++()mod M 为同余式组之解.唯一性：该同余式组还有一组解y ,则有(),mod k m y x ≡,1,2,...,k n = 由于12,,...,n m m m 两两互素,因此[]1212,,...,...n M m m m m m m ==,利用所给性质可知(),m od M y x ≡证毕.2 中国剩余定理的推广2.1 一元多项式环中的中国剩余定理2.1.1 定理 设()()12,,...m x m x 是两两既约的多项式,那么对任意的多项式()()12,,...r x r x ,()[],g x R X ∃∈使得()()()()mod ,1,2,...j j g x r x m x j ≡=,记此式为()1式,且有：()()()()()()()()()()()()111111222...mod k k k g x M x M x r x M x M x r x M x M x r x m x ---≡+++这里()g x 在()mod m x 下是唯一的,其中：()()()12...m x m x m x =,且有下式：()()(),1,2,...j j m x m x M x j ==,以及()1j M x -是()j M x 对模()j M x 的逆. 2.1.2 定理的应用在上述定理中,取(),,i i i j M x x a a a i j =-≠≠时,令()i r x r =,则有：()().i i r x r g a == 则可得到插值公式()()()()()()()()111111...k k kk i i M x Mx r x M x M x r x x a q x --=⎛⎫++=- ⎪⎝⎭∏其中()()()()11,1,,k k i jkjj j ij M x x a M x x a -=≠==-=-∏∏令为：()()kh x x a l -+所以有：()()()11k k h x M x x a l l--= 则()()()()()1111.k kk k k i k k k i M x M a a a h a a a l l l --===-=-+=∏.则()()11111k k ki i M x laa --==-∏,同理求得()1,1,2,...j M x j -=,代入上述插值公式,即得到拉格朗日插值公式.2.2 中国剩余定理在非标准数论中的推广 2.2.1 第一广义中国剩余定理设()12,...p p 是一列标准素数,()12,...r r 是自然数集的任一无穷子列,将它作为一组余数,则()()(){}|1,2,...i i i i i x q p x q p r i Γ=∃≡+=与THN 和谐.例 证明 可数THN 的模型的总数为2ω.证明 由第一广义中国剩余定理知每个()x Γ都是THN 和谐的,因而可以扩充为一个极大的和谐式子集,这样一个极大的和谐式子集是某个非标准数所满足的型.每一序列()()12,,...0i i r r r p ≤≤都可以对应着一个型.不同的序列对应的型也不同.因而,数论中型的个数必然必这些无穷数列的个数多,计算这样的无穷序列的个数可以得出型的个数的上界.实际上,易见这个数目为2357...i i p ω<=⨯⨯⨯⨯∏,由集合论可知()()()22i i i i i p iii iii i ωωωωωωω<<<===∏∏∏综上可知2i i p ωω<=∏.另一方面,作为可数理论,THN 之多有2ω个型.因此THN 共有2ω个型.由每个型出发,利用它与THN 的和谐性可以有一个可数模型实现它.我们知道一个可数模型之多能实现可数多个型,所以互不相同构的可数模型的总数仍为2ω. 2.2.2 第二广义中国剩余定理设ψ是一个ω-饱和THN 模型.()12,...p p 是一列标准或非标准素数()12,...r r 是一列满足0,0i i r p i ω≤<≤<标准或非标准元素（将它作为一组余数）.可以证明()()(){}|1,2,...i i i i i x q p x q p r i Γ=∃≡+=与TNH 和谐.存在元素α在ψ中实现. 2.2.3 第三广义中国剩余定理设1...,...,n r r N ∈,且()(),1i j m m i j =≠,那么对所有,同余式()()11mod ,...mod ,...n n x r m x r m ≡⎧⎪⎪⎨≡⎪⎪⎩有解.例 证明 存在无限组孪生拟素数(),2p p +.证明 首先构造一组孪生拟素数：我们规定余数列为()121,2,13,4,...i r r r i ====,即()1,2,1,1,...,由它得到式子集()()(){}1,2,...i i i i x q x q p r i Γ=∃≡+=与T 和谐,在ℜ中又非标准数p 实现()x Γ,显然它是一个拟素数,而且余数列的特殊取值2p +也是拟素数,即(),2p p +使一组孪生拟素数.另一方面,如果余数列取0,1,2,...,i r i ==设它所对应的非标准数为q .那么令123,2,3,...,p p q p p q p p q =+=+⨯=+⨯就得到了无限组孪生拟素数()()()()112233,2,,,,2,2,...p p p p p p p p +++3 中国剩余定理的另解 3.1 同余扩整法设所求的整数为,N 引言中题意是：N 被3除余2被5除余3被7除余2求N 的最小值.我们不妨从第三个条件切入.N 被7除余2就可以说和7对于模是同余的那么2加上7的整数倍后所得的数与N 对于模7仍同余所以用2依次加7的1倍2倍3倍后经检验2+3=23既符合被3除余2又符合被5除余3故N 的最小值是23.于是可写成：()72797167279162335⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 3.2 列方程组法设被所得的整数商分别为依题意325372x y z N +=+=+= ()1于是有()()35125713x y y z -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解方程()2得通解 ()()()254135x ty tt Z =+⎧⎪⎨=+∈⎪⎩将()5式代入()3得7156z t -=.此不定方程的通解为()()()1111763157t t z t t z =--⎧⎪⎨=+∈⎪⎩将()6代入()4,()5同时考虑式()7得原方程组的全部整数解为()()()()111173584219.31510x t y t z t t Z =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩上式三式()8,()9,()10中任意一个代入()1得"物不知其数"问题的通解123105N t =+.当10t =时23N =是最小的正整数解.4 剩余定理的几个应用 4.1 在同余式组中的应用例 "韩信点兵"问题：有兵一堆,若列成五行纵列则末行一人;成刘航纵队,则末行五人；成七行纵队,则末行死人；成是一行纵队,则末行是人,求兵数. 解："韩信点兵"问题转化为数学语言即求解下列一次同余式组()()()()1mod 55mod 64mod 710mod11x x x x ≡⎧⎪≡⎪⎨≡⎪⎪≡⎩按照中国剩余定理的记号1m =5,2m =6,347,11m m ==两两互素,又1234567112310671146257113855611330567210M M M M M =⨯⨯⨯=⎧⎪=⨯⨯=⎪⎪=⨯⨯=⎨⎪=⨯⨯=⎪⎪=⨯⨯=⎩ 又要求().1mod ,1,2,3,4,i i i a M m i ≡=得i a =3,2a =3a =4a =1, 又12341,5,4,10,c c c c ==== 于是()()()()()111222333444mod 462313851533014210110mod 23101386192513202100mod 23106731mod 23102111mod 2310x M a c M a c M a c M a c M ≡+++≡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≡+++≡≡即韩信的兵有21112310,k k +为非负整数. 4.2 在多项式理论中的应用中国剩余定理在多项式中的应用时比较广泛的,其中Lagrange 内插多项式是处理许多多项式问题的基本工具；下面我们通过余数定理和插值多项式的存在唯一性定理导出Lagrange 内插多项式,再通过Lagrange 内插多项式求一级数的和.（1）余数定理余数定理是指一个多项式()f x 除以一线性多项式x a -的余数是()f a . （2）插值多项式的存在和唯一性定理设()()12,,...,m x m x m 是n 个两两互素的多项式,()()()12,,...,n a x a x a x 是n 个多项式,而一定存在多项式()f x ,使()()()()()()()()()()()()1122mod mod ..........................................mod n n f x a x m x f x a x m x f x a x m x⎧≡⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩ 当()x f 的次数不超过()M x ()()()()()12...n M x m x m x m x ≡的次数时,()f x 唯一确定.特别地,当[]i i m x b Q x =-∈或[]R x ,()1,2,...,i b i n =是不相等的常数,从而()i m x ()1,2,...,i n =也就是两两互素的多项式,由余数定理可知()()()mod i i i i m x m b x b ≡-()1,2,...,i n =,从而定理可叙述为：一定存在()f x ,使得()()()()()()1122mod mod ...................................mod n n f x a x b f x a x b f x a x b ≡-⎧⎪≡-⎪⎨⎪⎪≡-⎩其中i a ()1,2,...,i n =是任意给定的常数,且多项式()f x 在次数不超过n 的条件下是唯一确定的.由()()mod i i f x a x b ≡-等价于()()1,2,...,i i f b a i n ==知对任意的互不相同的()1,2,...,i b i n =及()1,2,...,i a i n =任意的存在唯一的次数小于n 的多项式()f x ,使()()1,2,...,i i f b a i n ==,这就是插值多项式的存在和唯一性定理. （3）Lagrange 内插值多项式()()()()()()()112211...nni n n j j i ji x b f x a M x a M x a M x a i j bb ==-=+++=≠-∑∏其中()()()()()()()()()111111............i i n i i i i i i i n x b x b x b x b M x b b b b b b b b -+-+----=----()1,2,...,i n =是个两两互素的多项式,()1,2,...,i b i n =是不相等的常数,()1,2,...,i a i n =是任意给定的常数.分析：根据插值多项式的存在和唯一性定理,由中国剩余定理的证法,只要找到多项式()i M x ()1,2,...,i n =,使()()()()1mod 0mod ,i i i j M x x b M x x b i j⎧≡-⎪⎨≡-≠⎪⎩ 而()()()()()()()()()111111............i i n i i i i i i i n x b x b x b x b M x b b b b b b b b -+-+----=----()1,2,...,i n =符合要求,于是插值多项式()()()()()()()112211...nni n n j j i ji x b f x a M x a M x a M x a i j bb ==-=+++=≠-∑∏即所求.例 利用内插值多项式简化下列数列求和问题,()2222012...1n ++++-. 解 设和为n 的三次多项式()f n ,n 代表项数,于是有()()()()00,10,21,35f f f f ====.由插值公式得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12340015013012520212330313211216f n M n M n M n M n n n n n n n n n n =⨯+⨯+⨯+⨯------=+⨯------=--所以()()()22221012 (11216)n n n n ++++-=--.4.3 在赋值理论中的应用赋值理论是域论的一个分支,是研究近代数学中几个重要分支如代数理论,交换数论的一个重要工具,而中国剩余定理在赋值论中起着重要作用,下面介绍中国剩余定理在赋值理论中的应用.定理（赋值的独立性） 对于任意n 个p 赋值12,,...,p p pn V V V ,1,2,...,,a Q i n ∈=以及任意120,,,...,l l lmP P P ε--->,则存在b Q ∈使 （1）()1;V b a b a ε∞-=-<（2）()i l pi i iV b a P --≤()1,2,...,i n = 证明 设m 为12,,...,n a a a 的最少公分母,令(),,1,2,...,sii pi i i i P V m r l s i n ==+=. {}12max 1,,,...,.n r r r r =根据中国剩余定理,可求得一个c ,使得 ()()()1122mod ,mod ,...,mod r r r n n c ma p c ma pr c ma p ≡≡≡即(),i l r pi i i pi i i c V c ma p V a p m --⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭.设()12...rn q p p p =,取适当的,u v Z ∈,使,cl uqa ml vqε+-<+再令cl uq a ml vq +=+,则显然b 满足条件（1）.又由p 距离P D 的性质：()()()()max ,,,,P P P D a b D b c D a c ≥有()max ,1,2,...,i l pi i pi i i c c V b a V b a p i n m m -⎧⎫⎛⎫⎛⎫-≤-+-≤=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭.4.4 在密码学中的应用中国剩余定理虽是数论中的基本定理,但是在计算机密码雪中有着重要的应用.例如在Rabin 密码算法中用于解密运算.在RSA 密码算法中,中国剩余定理同样可用于RSA 的解密运算,而且使RSA 的机密速度大约底稿4倍左右,这无论对于软件还是硬件实现RSA 密码算法都非常重要的.下面主要从基于中国剩余定理的一种加密算法和中国剩余定理的RSA 解密中的应用两点来说. 4.4.1 基于中国剩余定理的一种加密算法根据中国剩余定理,可以得出一种新的网络信息加密算法.1,23,,...,n A A A A 为n 个互质的素数,若已知一个整数Y 除以1,23,,...,n A A A A 余数分别为123,,,...,n B B B B ,求Y .解 令123...,n M A A A A =⨯⨯⨯⨯1X 表示能被23,,...,n A A A 整除的所有整数,1Y 表示能被23...n A A A ⨯⨯⨯整除的所有整数且除以1A 余1B 的所有整数,2X 表示能13...n A A A ⨯⨯⨯被整除的所有整数,2Y 表示能被13...n A A A ⨯⨯⨯整除的所有整数且除以2A 余2B 的所有整数, i X 表示能被1,2311,,...,,,...,i i n A A A A A A -+整除的所有整数,i Y 表示能被整除1,2311,,...,,,...,i i n A A A A A A -+的所有整数且除以i A 余i B 的所有整数,那么12312132121...,...,......,n n n n nm X A A A m M A m X A A A m M A mX A A A m M A -=⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯=⨯其中m 为任意整数. 设i F 满足i X 和i Y ,且令其为i Y 中最小的正整数,其中1i n ≤≤则111231123.........n n n n n Y F A A A A m F M m Y F A A A A m F M m=+⨯⨯⨯⨯⨯=+⨯=+⨯⨯⨯⨯⨯=+⨯ 那么123123.......n n Y Y Y Y Y F F F F M m =++++=+++++⨯用Y 表示明文,是所要隐蔽和保护的机要信息,用123,,,...,n B B B B 表示密文,要把明文转换成一种隐蔽的形式：1,23,,...,n A A A A 和N 为密钥.加密算法步骤如下：步骤1：选出n 个1,23,,...,n A A A A 作为"密钥"； 步骤2：求出这n 个素数的乘积M ; 步骤3：求出123,,,...,n F F F F ;步骤4：由123123......n n Y Y Y Y Y F F F F M m =++++=+++++⨯ 得出()123...n m Y F F F F M =-++++⎡⎤⎣⎦;步骤5：用Y 分别除以1,23,,...,n A A A A 得余数123,,,...,n B B B B 并把它们作为密文.解密算法的步骤如下：已知密文123,,,...,n B B B B 和密钥1,23,,...,n A A A A 和N 算出123,,,...,n F F F F . 由123123......n n Y Y Y Y Y F F F F M m =++++=+++++⨯得出Y . 这样就实现了从密文和密钥到明文的整个解密过程. 加密和解密举例：令明文2001,X =,密钥为5,7,11, 密文1,6,10为可求出123231,55,175,F F F ===那么())20012315517557114m =-++⨯⨯=⎡⎤⎣⎦为另一密钥. 解密:123123......22117555571142001.n n Y Y Y Y Y F F F F M m =++++=+++++⨯=+++⨯⨯⨯=4.4.2 中国剩余定理在RSA 解密中的应用1978年美国麻省理工学院的三位教授Shamir A Rivest L R .,..和Adleman M .提出来一种基于因子分解的指数函数作为单项陷门函数的公开密钥算法,即著名的RSA 算法.RSA 算法是第一个较完善的PKC 算法,也是非常容易理解和实现的PKC 算法.它既可用于传输信息的加密,也可用于数字签名系统,是当前民用也是商业使用最广泛的公开密钥密码算法之一,已被国际标准化组织ISO,JTU 和SWIFT 接受为标准.随机选取两个不同的大素数p 和q （约为150位或更大的十进制数）,计算它们的乘积pq M =与相应的Euler 函数()()()()11--=q p n Function Totient Euler φ的值,将公开,而将()p n ,φ和q 保密；显然,如果不知道的素因子q 和p 的前提下,计算()n φ的值是属于NP 问题,极难实现.再随机选取一个正整数e ,是e 满足条件：()n e φ<且()()1,gcd =N e φ（即e 与()N φ最大共因素1）,根据扩展Eulicd 算法计算()()N e d φmod 1-=,即计算满足()()()M ed φm od 1=的d .将e 公开,而将d 保密,就确定了RSA 算法的公开密钥()N e PK ,=,私人密钥()N d SK ,=,密钥空间：(){},,,,,pq N d e q p N K ==p 与q 为不同大素数()()}m od 1,N ed φ=.相应地,RSA 算法中的单向陷门函数为()()N x x f t m od =,(其中K t ∈且,N Z x ∈称为RSA 函数.其秘密陷门信息为()N φ及素数p ,q 的值.确实公钥()N e PK ,=和私钥()N d SK ,=之后,RSA 算法的机密运算定义为：()(),mod N m m E c e pk ==其中为11-≤≤N m 明文.解密运算定义为：()()N c c D m d sk mod ==其中11-≤≤N c 为密文.RSA 秘密算法的明文m 应为1到1-N 之间的整数,即[]'1,1-∈N m 如果明文m 太长,可将其转换成N 进制的形式,即0111...m N m N m N m m S s s s ++++=--,于是得到分组后的明文序列(),,...,,10s m m m m =,其中[]s i N m i ≤≤∈0,,1,与之相应的密文序列为(),,...,10s c c c c =其中i c 对应于().0s i m i ≤≤中国剩余定理是初等数论中重要的基本定理之一,它主要是刻画剩余系的结构和求解形如()()s i p d x i i ≤≤=1m od 的一次同余式方程.在计算数论中,计算中国剩余定理唯一解的方法有两种：单基数转换法和混合技术转换法,这两种防范都是非常实用的计算方法.算法一 CRT 的单基数转换法（SRC ） (1)计算s p p p p ...21←和();1s i p p p ii ≤≤←(2)计算()();1,mod 111s i p P Q i ≤≤←-(3)计算唯一解().m od ...222111P Q P d Q P d Q P d x s S s +++←利用混合技术转换法（MRC ）求CRT 的唯一解的方法是..H L Garner 在1958年首先提出的.之后..D E Kunth 将其用于计算数论,并进行了有益的改进.经过..D E Kunth 改进后的MRC 方法用算法描述如下：算法二 CRT 的混合基数转换法（MRC ） (1)计算()();1,mod s i j P P B i J ji ≤≤≤← (2)分别计算()()()()()()()()().mod ............;mod ;mod 12112322112121221s s s s s s s s s i i p B B B v p v p v p v d v p B v d v p d v ---++++-←-←←(3)计算唯一解'112123121......v p v p p v p p p v X s s ++++←-利用中国剩余定理对RSA 密码解密,首先要将RSA 的解密运算由计算模N 的指数形式转化成求解同余式方程组的情形.为此,先介绍两个必须的数论定理定理1 （中国剩余定理的推论） 设s p p p ,...,,21是s 个两两互素的正整数,,...321p p p P =则同余式()()p x f m od 0≡与同余式方程组 ()()()s i p x f i ≤≤≡1m od 0等价.定理2（费马小定理） 设q 是一个素数,x 是一个满足()0m od ≠p x 的整数, 则：().m od 11p x p ≡-算法三 RSA 的SRC 解密算法(1)计算()1mod 1d p ←-与()2mod 1;d d q ←- (2)计算()()12mod mod ;C c p C c q ←← (3) 计算()()121122mod mod d d M C p M C q ←← (4)计算()()1112mod mod ;B q p B p q --←← (5)计算()1122mod .m M B q M B p M ←+ 4.5 在生活中的应用在日常生活中我们所注意到的不是某些数,而是这些数除某一固定的数所得到的余数.例如,假定现在是早上10点,在两个小时前是几点?我们立刻可得到正确答案是早上八点,那么过了13个小时候又是几点呢?算式为10+13-12=11即晚上11点;在28个小时候手表的时针又是什么情况呢?算式为（10+28）-（12⨯3）=2即是两点.解决此类问题的方法是:若现在的事件是A ,问经过B 小时后的时间,只需计算()mod12A B c +≡,余数就是手表的时针数. 5 结束语本文通过对中国剩余定理的描述阐述,对中国剩余定理（孙子定理）在实际生活中的应用进行了初步的说明和描述.以上只是一些简单的例子,但足可见中国剩余定理应用之广泛,地位之高,作为数学史上名垂百世的成就,其数学思想一直启发和指引着历代数学家.致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了.尤其要强烈感谢我的论文指导老师—王众杰老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进.另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助.在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者.本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作.感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助.由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！参考文献[]1纪志刚编：《孙子算经》,《张邱建算经》,《夏侯阴算经导读》,湖北教育出版社,1999年.[]2田金兵,严政,刘合国.关于中国剩余定理[]J.湖北大学学报,2006,28（4）:325-327[]3冯国锋：《广义中国定理及其Maple解法》,重庆大学学报,2004年.[]4曹珍富：《公钥密码学》,哈尔滨黑龙江出版社,1993年.[]5贺毅朝,刘建芹,陈伟海,《中国剩余定理在RSA解密中的应用,河北省科学学院报,第20卷第3期,2003年.[]6匡正:组合数学习题精解[]M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2005. []7钟善基.小学迎春杯数学竞赛指导讲座.北京师范大学出版社.Chinese remainder theorem induction and its applicationREN Xiao-yanCollege of Mathematics Science No:080414001Tutor: WANG Zhong-jieAbstract：Chinese remainder theorem is also known as the Chinese Remainder Theorem and its mathematical thoughts in modern mathematics plays a very important role .This paper summarizes the Chinese Remainder Theorem and prove and gives the relevant classical example and based on the multinomial theorem congruence group, Olympic, assignment theorem, cryptography and application were discussed and analysis.Key words:ChineseRemainder Theorem Congruence group Polynomial Cryptography。
中国剩余定理（模板+详解）
中国剩余定理（模板+详解）问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：⼏个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
剩余定理简单公式
剩余定理简单公式摘要：1.剩余定理简介2.剩余定理公式推导3.剩余定理应用示例4.结论正文：剩余定理，又称中国剩余定理，是一种在数论中解决同余问题的方法。
它可以用来求解一组同余方程组，尤其适用于求解模素数的情况。
剩余定理基于模运算的性质，具有一定的数学美感。
首先，我们来推导剩余定理的公式。
设有m1, m2, ..., mn 和a1, a2, ..., an 两个分别模m1, m2, ..., mn 同余的数列，我们可以得到以下等式：a1 ≡ a1 (mod m1)a2 ≡ a2 (mod m2)...an ≡ an (mod mn)将上述等式相乘，得到：a1 * a2 * ...* an ≡ a1 * a2 * ...* an (mod m1 * m2 * ...* mn)由乘法分配律，上式可以变形为：a1 * a2 * ...* an ≡ a1 * a2 * ...* an * 1 ≡ a1 * a2 * ...* an * (1 + m1 * m2 * ...* mn k) (mod m1 * m2 * ...* mn)其中k 为满足m1 * m2 * ...* mn k ≡ 1 (mod m1 * m2 * ...* mn) 的整数。
接下来，我们来看一个剩余定理的应用示例。
假设我们需要求解以下同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 5 (mod 7)根据剩余定理，我们可以将问题转化为求解以下同余方程：x * (1 + 3 * 7 k1) ≡ 2 * (1 + 3 * 7 k2) (mod 3 * 7)x * (1 + 3 * 7 k1) ≡ 5 * (1 + 3 * 7 k3) (mod 3 * 7)其中k1, k2, k3 为满足1 + 3 * 7 k1 ≡ 1 (mod 3), 1 + 3 * 7 k2 ≡ 1 (mod 7), 1 + 3 * 7 k3 ≡ 1 (mod 3 * 7) 的整数。
中国剩余定理知识点总结
中国剩余定理知识点总结在初等数论中，我们经常会遇到形如x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)的线性同余方程组，其中ai和mi都是整数，m1, m2, ..., mn是两两互质的正整数。
中国剩余定理就是解决这类问题的重要方法。
下面我们来详细介绍一下中国剩余定理的一些基本知识点。
1. 中国剩余定理的表述中国剩余定理可以用如下的形式来表述：对于给定的两两互质的正整数m1, m2, ..., mn，以及任意的整数a1, a2, ..., an，中国剩余定理断言，存在一个解x，使得对于所有的i=1,2,...,n，都有x≡ai(mod mi)。
这个解x是唯一存在的，并且可以用下面的形式来表示：x = a + tM其中a是通解，t是任意整数，M是m1, m2, ..., mn的最小公倍数，即M=lcm(m1, m2, ..., mn)。
2. 中国剩余定理的应用在数论和密码学等领域中，中国剩余定理有着广泛的应用。
例如，可以利用中国剩余定理来解决一些测定一些重要的数学问题，如幂模运算、循环小数、素数和因数分解等问题。
在密码学中，中国剩余定理也被广泛应用。
例如在RSA公钥密码系统中，中国剩余定理能够加速大数的幂模运算，从而大大提高RSA的加密和解密速度。
3. 中国剩余定理的证明中国剩余定理的证明是通过数学归纳法来完成的。
首先我们可以证明当n=2时定理成立，然后利用数学归纳法来证明对于任意n都成立。
具体来说，我们首先假设对于n=k（k≥2）时定理成立，即对于任意的m1, m2, ..., mk，以及任意的整数a1, a2, ..., ak，能够找到一个解x使得x≡ai(mod mi)。
然后我们来考察下一个情况，即n=k+1时定理成立。
我们可以利用n=k时的结果来构造一个新的解x'，然后利用一些数论知识来证明x'也满足n=k+1时的情况。
通过这样的数学归纳法的证明，我们可以得出中国剩余定理的正确性。
中国剩余定理例题
中国剩余定理例题中国剩余定理，又称中国余数定理，是一种数论上的重要定理，它宣称任意一组整数的模互素方程组有唯一解。
关于中国剩余定理的定义及背景可以追溯到Quadratic residue theory（二次剩余原理），也就是说中国剩余定理的发展有着悠久的历史，而它的最初形式可以追溯至13世纪，它是由中国古代数学家李曼（Sun Tzu-Liang）发现的。
中国剩余定理最主要的应用领域是密码学，它可以用于解决多项式模方程组问题，从而让人们在保护数据传输安全时使用其特有的加密算法和密钥。
另外，它还可以用于阶乘素性检验以及解决普通意义上的模方程组等其他问题。
二、中国剩余定理例题1、求解下面的模方程组：x 5 (mod 8)x 7 (mod 9)x 9 (mod 6)解：根据中国剩余定理，在任何模数都满足等式的情况下，系统会有整数解存在，其中解的约数为两两模数的最小公倍数M = 8 9 6 = 432，并且解的值为kM（k 为整数）。
把原式中的所有模数带入，解等式余数，我们可以得到三个等式：7 + 9C2 = 9 (mod 6)9 + 6C3 = 5 (mod 8)解这三个方程组就可以求出三个系数C1、C2、C3。
C1 =2C2 = 1C3 = 5由此可以得出模方程组的解x = 5 + 82) + 432kx = 7 + 9 1 + 432kx = 9 + 6 5 + 432k因此x的解为-54 + 432k（k为任意整数）。
2、用中国剩余定理求解下列模方程组：x 1 (mod 8)x 8 (mod 9)x 5 (mod 7)解：由中国剩余定理可知，解的约数为两两模数的最小公倍数M = 8 9 7 = 504，解的值为kM（k 为整数）。
把原式中的所有模数带入，解等式余数，我们可以得到三个等式：1 + 8C1 = 8 (mod 9)8 + 9C2 = 5 (mod 7)解这三个方程组就可以求出三个系数C1、C2、C3。
中国剩余定理matlab
中国剩余定理matlab【原创版】目录1.介绍中国剩余定理2.解释中国剩余定理的应用3.阐述如何使用 MATLAB 实现中国剩余定理4.总结正文1.介绍中国剩余定理中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是一个数论中的定理，它主要用于求解一组同余方程组。
同余方程组是指一组包含多个模数相同的同余方程。
例如，{ x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2),..., x ≡an (mod mn) }。
中国剩余定理告诉我们，如果这些模数两两互质，那么这个同余方程组有唯一解。
2.解释中国剩余定理的应用中国剩余定理在数论中有着广泛的应用，例如求解密码学中的模运算问题、计算机图形学中的坐标转换问题、计算机网络中的数据包校验问题等。
在现代计算机科学中，很多数据结构和算法都依赖于中国剩余定理来实现。
3.阐述如何使用 MATLAB 实现中国剩余定理MATLAB 是一种广泛使用的数学软件，它可以帮助我们轻松实现中国剩余定理。
以下是使用 MATLAB 实现中国剩余定理的步骤：（1）首先，我们需要导入 MATLAB 的数学工具箱。
在 MATLAB 命令窗口中输入“clc”清除命令窗口的多余输出，然后输入“MATLAB Cryptography Toolbox”并回车。
（2）定义模数和待求解的同余方程组。
例如，给定模数 m1=3, m2=5, m3=7，同余方程组为 a1=1, a2=2, a3=3。
（3）使用 MATLAB 的 rem 函数求解同余方程组。
在 MATLAB 命令窗口中输入“x = rem(a1,m1) * pow(m2,rem(a2,m2)) *pow(m3,rem(a3,m3))”并回车。
其中，rem 函数用于求解模运算，pow 函数用于求幂运算。
（4）输出求解结果。
在 MATLAB 命令窗口中输入“disp(x)”并回车，即可输出同余方程组的解。
4.总结通过以上步骤，我们可以使用 MATLAB 轻松实现中国剩余定理，求解同余方程组。
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理是数论中的一个重要定理，它提供了求解一类线性同余方程组的方法。
所谓线性同余方程组，是指一组形如x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), …, x ≡ an (mod mn)的方程，其中x是未知数，a1, a2, …, an是已知数，而m1, m2, …, mn是不同的正整数。
中国剩余定理的内涵是：当所给线性同余方程组的模m1, m2, …, mn 两两互素时，存在唯一解x ≡ X (mod M)，其中X是x的一个解，而M = m1 * m2 * … * mn。
简单来说，中国剩余定理告诉我们，当模数两两互素时，我们可以通过对每个方程求解，再通过一定的运算，得到原方程组的解。
中国剩余定理的应用非常广泛，特别是在密码学和计算机科学中。
例如，当我们需要对一个数进行加密和解密时，可以使用中国剩余定理来进行模运算，从而快速计算得到加密后的结果。
此外，在计算机科学中，中国剩余定理也常用于优化算法和并行计算。
由于中国剩余定理能够将一个大问题拆分成多个小问题并行求解，因此可以显著提高计算效率。
总之，中国剩余定理作为数论中的重要定理，不仅具有深刻的理论意义，还具有广泛的实际应用。
通过它，我们可以快速求解线性同余方程组，加密和解密数据，优化算法等，从而提高计算效率和保护数据安全。
中国剩余定理及其应用
(i = 1, 2,L , n)
1 n( n − 1)(2n − 1) 6
2 2 2 2
当 f ( x) 的次数不超过 M ( x)( M ( x) = m1 ( x)m2 ( x)m3 ( x)L mn ( x)) 的次 数时， f ( x) 唯一确定 . 特 别 地， 当 mi ( x) = x − bi ∈ Q[ x]或R[ x] ， bi (i = 1, 2,L , n) 是不相等的常数，从而 mi ( x)(i = 1, 2,L , n) 也就是两两互素的 多项式，由余数定理可知 mi ( x) ≡ mi (bi )(mod x − bi ), (i = 1, 2,L , n) ， 从而定理可叙述为一定存在多项式 f ( x) ，使得
⎪f(x) ≡ a (x)(modm (x)) ⎪ 2 2 ⎨ ⎪LLLLLLLLLL ⎪ ⎩f(x) ≡ an (x)(modm n (x))
1 1
(n − 0)(n − 1)(n − 3) (n − 0)(n − 1)(n − 2) + 5× (2 − 0)(2 − 1)(2 − 3) (3 − 0)(3 − 1)(3 − 2)
⎧x ⎪x ⎪ ⎨ ⎪x ⎪ ⎩x ≡ 1(mod 5) ≡ 5(mod 6) ≡ 4(mod 7)
≡ 10(mod11)
按照中国属于定理的记号
M = 5 × 6 × 7 × 11 = 2310, M 1 = 6 × 7 × 11 = 462, M 2 = 5 × 7 × 11 = 385,
有正整数解 x ≡ M 1α1c1 + M 2α 2c2 + L + M nα n cn (mod M ) 且解唯一； 其中 α i 是满足 M iα i ≡ 1(mod mi ), k = 1, 2,L , n) 的一个整 数（参阅 [3]）. 下面我们先给出裴蜀恒等式和一个性质，然后证明中国 剩余定理 . 裴蜀恒等式 如果两个数的最大公约数是 d ，则必定存 在两个整数 x, y 使得等式 ax + by = d 成立（参阅 [4]）. 性质 同余式组 a ≡ b(mod m j ), j = 1, 2,L , n 同时成立的 充要条件是 a ≡ b(mod[m1 , m2 ,L , mn ]) （参阅 [5]）. 证明： 先证存在性： M 因为 m1 , m2 ,L , mn ，两两互素， M = m ， 故 ( M k , mk ) = 1, k = 1, 2,L , n ， 由 裴 蜀 恒 等 式 可 知 一 定 存 在 整 数 α k , βk 使 得 M kα k + β k mk = 1 ，即 M kα k = − β k mk + 1 ，因此必定存在 α k ，使
中国剩余定理计算过程
中国剩余定理计算过程摘要：一、引言二、中国剩余定理的概念与基本原理1.定义2.基本原理三、中国剩余定理的计算过程1.确定方程组2.求解模数3.计算解四、实例演示五、中国剩余定理的应用与意义1.在数论中的运用2.在密码学中的作用六、总结与展望正文：一、引言在中国数学史上，剩余定理是一项重要的成果。
它起源于古代数学家对分数问题的研究，经过一系列的发展，最终形成了现在我们所熟知的中国剩余定理。
本文将详细介绍中国剩余定理的计算过程及其在实际应用中的重要性。
二、中国剩余定理的概念与基本原理1.定义中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是一种数论中的结果，它可以用来求解一组同余方程。
设m1、m2、…、mk 为正整数，a1、a2、…、ak 为整数，且gcd(m1，a1)=1，gcd(m2，a2)=1，…，gcd(mk，ak)=1，则同余方程组x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)…x ≡ ak (mod mk)有唯一解x0，且x0 ≡ ai (mod mi)，其中i=1，2，…，k。
2.基本原理中国剩余定理基于以下两个原理：（1）同余方程的解具有唯一性；（2）同余方程的解可以通过模线性方程组求解。
三、中国剩余定理的计算过程1.确定方程组给定同余方程组：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)…x ≡ ak (mod mk)首先确定方程组中的模数mi（i=1，2，…，k）。
2.求解模数根据同余方程组的性质，我们可以通过求解模数来进一步求解原方程组。
求解模数的过程如下：（1）计算mi 与m1、m2、…、mk 的最大公约数，记为d；（2）求解x ≡ 0 (mod mi)；（3）计算x0 = mi × (a1 × d / mi + a2 × (d / m2) + … + ak × (d / mk))；（4）检验x0 是否为方程组的解，若为解，则求解完毕；若不是解，则继续求解。
中国剩余定理
一、中国剩余定理的由来我国古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。
”用现在的话来说就是：“有一批物品，3个3个地数余2个，5个5个地数余3个，7个7个地数余2个，问这批物品最少有多少个?” 这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。
二、“中国剩余定理”算理及其应用明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：三人同行七十（70）稀，五树梅花廿一（21）枝，七子团圆正月半（15），除百零五（105）便得知。
歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。
即：70×2＋21×3＋15×2－105×2=23为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。
21是3和7的公倍数，且除以5余1。
15是3和5的公倍数，且除以7余1。
（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。
）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。
三、“中国剩余定理”的应用主要是是针对那些我们学的口诀“公倍数做周期：余同取余，和同加和，差同减差”以外的余数问题的题目。
例1、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？A、81B、34C、128D、103【答案】B解析：本题属于余数问题。
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。
浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用
浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理是对同余方程组求解的一种方法，它是中国古代数学家在解决实际问题时所创立的。
在小学数学学习中，中国剩余定理也有其应用和意义。
中国剩余定理的核心思想是将一个同余方程组转化为两个同余方程的组合问题，通过求解后再利用同余理论确定唯一解。
其关键在于划定不同同余方程之间的“不干涉区间”，以确保各个同余方程不会互相干扰，从而统一起来保证整个问题的解的统一性。
在小学数学中，我们可以通过举例来说明中国剩余定理的运用。
例如，我们需要求解同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 4)首先需要划分不干涉区间，即寻找同时满足以上两个同余方程的最小公因数。
也就是说，要找到一个整数，既能被3整除又能被4整除。
显然，这个数是12，因此我们可以将原来的同余方程组转化为下面这个同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 4)x ≡ 8 (mod 12)接下来，我们可以尝试求解这个同余方程组。
首先，通过第一个同余方程，我们可以得到：x = 2 + 3k其中k为整数。
通过对k的求解，我们可以得到所有满足以上两个同余方程的解，即：k = 3 + 4n 或 k = 2 + 4m（其中n，m为整数）将k带入第一个同余方程，我们可以得到最终的解为：x = 11 + 12q（其中q为整数）通过以上步骤，我们成功地将一个同余方程组化简为了一个同余方程，从而得到了其所有解。
这就是中国剩余定理在小学数学中的运用。
总之，中国剩余定理在小学数学中可能不会直接出现，但它的思想和方法可以为学生理解和解决一些实际问题提供帮助。
通过引导学生思考，他们可以深入理解数学的本质和意义，从而更好地掌握其中的知识和技巧。