2019-2020学年江苏省苏州中学园区校高三(上)10月月考数学试卷
2019-2020学年江苏省苏州中学园区校高三（上）10月月考数学试卷一、填空题1. 已知A={−1, 0, 1, 6}，B={x|x≤0}，则A∩B=________.【答案】{−1, 0}【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵A={−1, 0, 1, 6}，B={x|x≤0}，∴A∩B={−1, 0}.故答案为：{−1,0}.2. 若复数z满足i⋅z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的虚部为________．【答案】−1【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i⋅z=1+2i，得z=1+2ii =(1+2i)(−i)−i2=2−i，∴z的虚部为−1．故答案为：−1.3. 命题“∀x>1，x2≥3”的否定是________．【答案】∃x>1，x2<3【考点】命题的否定【解析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x>1，x2≥3”的否定是：∃x>1，x2<3.故答案为：∃x>1，x2<3.4. “x>1”是“x2≥x”的________条件．（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）【答案】【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】先解不等式“x2≥x”可得：x<0或x>1，再判断“x>1”与“x2≥x”的充要性即可．【解答】解：不等式“x2≥x”可得：x≤0或x≥1，又因为”x>1”能推出“x≤0或x≥1”，“x≤0或x≥1”不能推出”x>1”，即“x>1”是“x2≥x”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 若f(2x)=3x2+1，则函数f(x)的解析式是________．【答案】f(x)=34x2+1【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】直接利用配凑法求解函数的解析式即可．【解答】解：f(2x)=3x2+1=34(2x)2+1，可得f(x)=34x2+1．故答案为：f(x)=34x2+1．6. 函数y=√7−6x−x2的定义域是________.【答案】[−7, 1]【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：由函数y=√7−6x−x2，令7−6x−x2≥0，即x2+6x−7≤0，解得−7≤x≤1，所以函数y=√7−6x−x2的定义域是[−7, 1]．故答案为：[−7, 1].7. 函数f(x)=ln xx的单调递增区间是________．【答案】(0, e)利用导数研究函数的单调性【解析】求出函数f(x)=ln xx的导数为y′的解析式，令y′>0求得x的范围，即可得到函数f(x)=ln xx的单调递增区间．【解答】解：由于函数f(x)=ln xx 的导数为y′=1−ln xx2，令y′>0可得ln x<1，解得0<x<e，故函数f(x)=ln xx的单调递增区间是(0, e).故答案为：(0, e).8. 函数y=3x3−9x+5在[−2, 2]的最大值与最小值之差为________.【答案】12【考点】利用导数研究函数的最值【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值和最小值，求和即可．【解答】解：∵y=3x3−9x+5，∴y′=9x2−9=0，解得：x1=1，x2=−1，令y′>0，解得：x>1或x<−1，令y′(x)<0，解得：−1<x<1，∴函数在[−2, −1)递增，在(−1, 1)递减，在(1, 2]递增，∴x=−1时，y取极大值，极大值是11，x=1时，y取极小值，极小值是−1，而x=−2时，y=−1，x=2时，y=11，函数的最大值为：11，最小值为：−1，故函数的最大值与最小值之差是12.故答案为：12.9. 水波的半径以0.5m/s的速度向外扩张，当半径为2.5m时，圆面积的膨胀率是________m2/s.【答案】2.5π【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据水波的速度，写出水波对于时间的函数表示式，求出导函数，计算水波半径是2.5时的时间，求出对应的导数即可．【解答】解：水波的半径以v=0.5m/s的速度向外扩张，则水波的面积为s =πr 2=π(vt)2=0.25πt 2，又水波面积的膨胀率为s ′=0.5πt ，所以当半径为2.5m 时，t =2.50.5=5(s)，此时s ′=0.5π×5=2.5π，即半径为2.5m 时，水波面积的膨胀率是2.5πm 2/s ．故答案为：2.5π.10. 设函数y =f(x)为R 上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈(−∞, 0]均有[f(x 1)−f(x 2)]⋅(x 1−x 2)≤0，则满足f(x +1)<f(2x −1)的实数x 的范围是________.【答案】(−∞, 0)∪(2, +∞)【考点】一元二次不等式的解法函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】根据条件判断函数的单调性，结合函数单调性和奇偶性的关系进行转化求解即可．【解答】解：对任意的x 1，x 2∈(−∞, 0]均有[f(x 1)−f(x 2)]⋅(x 1−x 2)≤0，则当x ≤0时，函数f(x)为减函数，∵ f(x)是偶函数，∴ f(x)在[0, +∞)上是增函数，则f(x +1)<f(2x −1)等价为f(|x +1|)<f(|2x −1|)，即|x +1|<|2x −1|，平方得x 2+2x +1<4x 2−4x +1，即3x 2−6x >0，得x(x −2)>0，∴ x >2或x <0，即x 的取值范围是(−∞, 0)∪(2, +∞).故答案为：(−∞, 0)∪(2, +∞).11. 已知f(x)={2019x 2,x ≥0，ax 2,x <0是奇函数且f(3t −a)+4f(8−2t)≤0，则t 的取值范围是________.【答案】[2035, +∞)【考点】分段函数的应用【解析】解：因为当x ≥0时，f(x)＝2019x 2单调递增；且知f(x)={2019x 2,x ≥0ax 2,x <0 是奇函数且在x ＝0处连续；所以整个函数都是增函数；根据f(−x)＝−f(x)求解a 的值，由题意不难发现4f(x)＝f(2x)，那么4f(2t −8)＝f(4t −16)，利用单调性即可求解．【解答】解：因为当x ≥0时，f(x)=2019x 2单调递增，且知f(x)={2019x 2,x ≥0，ax 2,x <0是奇函数且在x =0处连续， 所以整个函数都是增函数.令x <0，−x >0，f(−x)=2019(−x)2=2019x 2，∵ f(x)是奇函数，∴ f(−x)=−f(x)，∴ f(x)=−2019x 2，∴ a =−2019，∴ f(3t −a)+4f(8−2t)≤0⇒f(3t −a)≤−4f(8−2t)=4f(2t −8)=f(4t −16)，∴ 3t +2019≤4t −16，解得：t ≥2035．故答案为：[2035,+∞).12. 若f(x)=|x −2018|+2020|x −a|的最小值为1，则a =________.【答案】2017或2019【考点】函数的最值及其几何意义【解析】由绝对值的几何意义|x −a|表示数轴上x 到a 的距离．【解答】解：由f(x)的几何意义为：在数轴上有三点，A 点坐标为−a ，B 点坐标为2018，X 点坐标为x ，f(x)表示X 到B 的距离加上2020倍X 到A 距离，即：f(x)=BX +2020AX ，当X 点与A 点重合时，取得最小值，此时f(x)min =|a −2018|=1，∴ a =2017或2019，即x =2017或2019时，两个距离之和最小为1.故答案为：2017或2019.13. 若方程3−b 2−2b cos x −2sin 2x =0(x ∈[−π2,π2])有两个不同的实数解，则b 的取值范围是________.【答案】45<b ≤2 【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】将化为2cos 2x −2b cos x +1−b 2=0，设cos x ＝t ∈[0, 1]，进一步将方程化为方程转化为 t 2−2bt +1−b 2=0 t ∈[0, 1]的根的问题；当x ∈[−π2,π2]，则 t ∈[0, 1]；而t ∈(0, 1)时，一个t 对应两个x ，转化为 t 2−2bt +1−b 2=0 t ∈(0, 1)只有一个实根，端点再单独讨论．【解答】解：方程3−b 2−2b cos x −2sin 2x =0在x ∈[−π2,π2]上有两个不同的实根可转化为： 方程2cos 2x −2b cos x +1−b 2=0有两个不同的实根.设t =cos x ，(x ∈[−π2,π2])，则 t ∈[0, 1]，方程转化为 t 2−2bt +1−b 2=0，t ∈[0, 1]的根的问题，若t =0，则b =2，此时方程的另一个根为t =2>1，b =2满足条件，若t =1显然不满足条件，若t ∈(0, 1)，则方程 t 2−2bt +1−b 2=0 在t ∈(0, 1)只有一个实数根， 所以 (1−b 2)(2−5b 2)<0，即 45<b <2. 故答案为:45<b <2.14. 在直角三角形ABC 中，∠A =π2,AB =6,AC =8，过三角形ABC 内切圆圆心O 的直线l 与圆相交于E ，F 两点，则AE →⋅BF →的取值范围是________．【答案】[−20, 4]【考点】点的极坐标不唯一平面向量数量积的性质及其运算律余弦函数的定义域和值域【解析】如图所示建立直角坐标系，A(0, 0)，B(6, 0)，C(0, 8)，通过面积求出r ＝2，圆心坐标(2, 2)，由圆的参数方程设E ，F 坐标，进而分析取值范围．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，A(0, 0)，B(6, 0)，C(0, 8)， 在Rt △ABC 中，BC =√AC 2+AB 2=√62+82=10，设内切圆的半径为r ，则S △ABC =12×AC ×AB =12(AC +AB +BC)×r ，所以12×6×8=12×(6+8+10)×r ，所以r =2，圆心坐标(2, 2)，圆的参数方程为{x =2+2cos θ,y =2+2sin θ,设E(2+2cos θ, 2+2sin θ)，F(2−2cos θ, 2−2sin θ)，(0≤θ<2π)，AE →⋅BF →=(2+2cos θ, 2+2sin θ)⋅(−4−2cos θ, 2−2sin θ)=−8−12cos θ (0≤θ<2π)，∴ AE →⋅BF →∈[−20, 4].故答案为：[−20,4].二、解答题已知函数f(x)=x 2+1，g(x)=4x +1的定义域都是集合A ，函数f(x)和g(x)的值域分别为S 和T .(1)若A =[1, 2]，求S ∩T ；(2)若A =[0, m]且S =T ，求实数m 的值；(3)若对于集合A 的任意一个数x 的值都有f(x)=g(x)，求集合A ．【答案】解：(1)若A =[1, 2]，则函数f(x)=x 2+1的值域是S =[2, 5]，g(x)=4x +1的值域T =[5, 9]，∴ S ∩T ={5}；(2)若A =[0, m]，则S =[1, m 2+1]，T =[1, 4m +1]，由S =T 得m 2+1=4m +1，解得m =4或m =0（舍去）；(3)若对于A 中的每一个x 值，都有f(x)=g(x)，即x 2+1=4x +1，∴ x 2=4x ，解得x =4或x =0，∴ 满足题意的集合是{0}，或{4}或{0, 4}．【考点】函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】①根据函数的定义域分别求出两个奇函数的值域，根据集合的基本运算求S ∩T ． ②根据条件A ＝[0, m]且S ＝T ，建立条件关系即可求实数m 的值．③根据条件f(x)＝g(x)建立条件关系即可求集合A ．【解答】解：(1)若A =[1, 2]，则函数f(x)=x 2+1的值域是S =[2, 5]，g(x)=4x +1的值域T =[5, 9]，∴ S ∩T ={5}；(2)若A =[0, m]，则S =[1, m 2+1]，T =[1, 4m +1]，由S =T 得m 2+1=4m +1，解得m =4或m =0（舍去）；(3)若对于A 中的每一个x 值，都有f(x)=g(x)，即x 2+1=4x +1，∴ x 2=4x ，解得x =4或x =0，∴ 满足题意的集合是{0}，或{4}或{0, 4}．已知α，β∈(0, π)，且tan α=2，cos β=−7√210． (1)求cos 2α的值；(2)求2α−β的值．【答案】解：(1)cos 2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α，因为tan α=2，所以1−tan 2α1+tan 2α=1−41+4=−35，所以cos 2α=−35．(2)因为α∈(0, π)，且tan α=2，所以α∈(0,π2)，又cos 2α=−35，所以2α∈(π2,π)，sin 2α=45. 因为β∈(0, π)，cos β=−7√210． 所以sin β=√210，β∈(π2,π)，所以sin (2α−β)=sin 2αcos β−cos 2αsin β=45×(−7√210)−(−35)×√210=−√22， 又2α−β∈(−π2,π2)，所以2α−β=−π4． 【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】（1）利用二倍角的余弦函数，通过分母“1＝sin 2α+cos 2α”的代换，然后化简分式2tan α的形式，代入数值全家健康．（2）通过α，β的范围求出sin 2α，sin β，通过二倍角的正弦函数，求出sin (2α−β)的值，结合角的范围求出角的大小即可．【解答】解：(1)cos 2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α，因为tan α=2，所以1−tan 2α1+tan 2α=1−41+4=−35，所以cos 2α=−35．(2)因为α∈(0, π)，且tan α=2，所以α∈(0,π2)， 又cos 2α=−35，所以2α∈(π2,π)，sin 2α=45.因为β∈(0, π)，cos β=−7√210． 所以sin β=√210，β∈(π2,π)，所以sin (2α−β)=sin 2αcos β−cos 2αsin β=45×(−7√210)−(−35)×√210=−√22， 又2α−β∈(−π2,π2)，所以2α−β=−π4．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间t （单位：天）的函数，且销售量近似地满足f(t)={60+t,1≤t ≤60,150−12t,61≤t ≤100(t ∈N )，价格为g(t)=200−t(1≤t ≤100, t ∈N )． (1)求该种商品的日销售额ℎ(t)与时间t 的函数关系；(2)求t 为何值时，日销售额最大．【答案】解：(1)由题意知，当1≤t ≤60，t ∈N 时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(60+t)⋅(200−t)=−t 2+140t +12000，当61≤t ≤100，t ∈N 时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(150−12t)⋅(200−t)=12t 2−250t +30000，所以所求函数关系为ℎ(t)={−t 2+140t +12000,(1≤t ≤60,t ∈N )，12t 2−250t +30000,(61≤t ≤100,t ∈N ). (2)当1≤t ≤60，t ∈N 时，ℎ(t)=−t 2+140t +12000=−(t −70)2+16900，所以，函数ℎ(t)在[1, 60]上单调递增，故ℎ(t)max=ℎ(60)=16800（百元），当61≤t≤100，t∈N时，ℎ(t)=12t2−250t+30000=12(t−250)2−1250，所以函数ℎ(t)在[61, 100]上单调递减，故ℎ(t)max=ℎ(61)=16610.5（百元），因为16610.5<16800，所以当t为60时，日销售额最大．【考点】二次函数在闭区间上的最值根据实际问题选择函数类型分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】（1）利用ℎ(t)＝f(t)⋅g(t)，通过t的范围求出函数的解析式．（2）利用分段函数结合二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：(1)由题意知，当1≤t≤60，t∈N时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(60+t)⋅(200−t)=−t2+140t+12000，当61≤t≤100，t∈N时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(150−12t)⋅(200−t)=12t2−250t+30000，所以所求函数关系为ℎ(t)={−t2+140t+12000,(1≤t≤60,t∈N)，12t2−250t+30000,(61≤t≤100,t∈N).(2)当1≤t≤60，t∈N时，ℎ(t)=−t2+140t+12000=−(t−70)2+16900，所以，函数ℎ(t)在[1, 60]上单调递增，故ℎ(t)max=ℎ(60)=16800（百元），当61≤t≤100，t∈N时，ℎ(t)=12t2−250t+30000=12(t−250)2−1250，所以函数ℎ(t)在[61, 100]上单调递减，故ℎ(t)max=ℎ(61)=16610.5（百元），因为16610.5<16800，所以当t为60时，日销售额最大．已知函数f(x)=|1−1x|，(x>0)．(1)当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；(2)是否存在实数a，b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a, b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．(3)若存在实数a，b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域为[a, b]时，值域为[ma, mb](m ≠0)，求m 的取值范围． 【答案】(1)证明：∵ x >0， ∴ f(x)={1−1x,x ≥1，1x−1,0<x <1.∴ f(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)上是增函数． 由0<a <b ，且f(a)=f(b)，可得 0<a <1<b 和1a −1=1−1b ，即1a +1b =2． ∴ 2ab =a +b >2√ab ． 故√ab >1，即ab >1．(2)解：不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]， 则a >0，f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.①当a ，b ∈(0, 1)时，f(x)=1x−1在(0, 1)上为减函数， 故{f(a)=b ，f(b)=a ， 即{1a−1=b ，1b −1=a ，解得a =b ． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．②当a ，b ∈[1, +∞)时，f(x)=1−1x 在(1, +∞)上是增函数．故{f(a)=a ，f(b)=b ， 即{1−1a =a ，1−1b=b ，此时a ，b 是方程x 2−x +1=0的根，此方程无实根， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．③当a ∈(0, 1)，b ∈[1, +∞)时，由于1∈[a, b]，而f(1)=0∉[a, b]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．(3)解：若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y =f(x)的定义域为[a, b]时， 值域为[ma, mb]，则a >0，m >0．①当a ，b ∈(0, 1)时，由于f(x)在(0, 1)上是减函数，故{1a −1=mb ，1b−1=ma ，此时刻得a ，b 异号，不符合题意，∴ a ，b 不存在． ②当a ∈(0, 1)或b ∈[1, +∞)时，由(2)知0在值域内， 值域不可能是[ma, mb]，∴ a ，b 不存在， 故只有a ，b ∈[1, +∞)．∵ f(x)=|1−1x |在[1, +∞)上是增函数， ∴ {f(a)=ma ，f(b)=mb ， 即{1−1a =ma ，1−1b =mb ，∴ a ，b 是方程mx 2−x +1=0的两个根，即关于x 的方程mx 2−x +1=0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=1m ，x 1⋅x 2=1m ． ∴ {Δ>0，(x 1−1)+(x 2−1)>0，(x 1−1)(x 2−1)>0， 即{1−4m >0，1m−2>0，解得0<m <14．故m 的取值范围是0<m <14． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 函数单调性的判断与证明 函数的值域及其求法 函数的定义域及其求法 【解析】（I ）确定函数解析式，利用函数的单调性，可得1a+1b =2，利用基本不等式，即可得出结论；(II)分类讨论，若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]，从而可得结论；(III)分类讨论，若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y ＝f(x)的定义域为[a, b]时，值域为[ma, mb]，即可得出结论． 【解答】(1)证明：∵ x >0， ∴ f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.∴ f(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)上是增函数． 由0<a <b ，且f(a)=f(b)，可得0<a <1<b 和1a −1=1−1b ，即1a +1b =2． ∴ 2ab =a +b >2√ab ． 故√ab >1，即ab >1．(2)解：不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]， 则a >0，f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.①当a ，b ∈(0, 1)时，f(x)=1x −1在(0, 1)上为减函数， 故{f(a)=b ，f(b)=a ， 即{1a−1=b ，1b −1=a ，解得a =b ．故此时不存在适合条件的实数a ，b ．②当a ，b ∈[1, +∞)时，f(x)=1−1x 在(1, +∞)上是增函数．故{f(a)=a ，f(b)=b ， 即{1−1a=a ，1−1b=b ，此时a ，b 是方程x 2−x +1=0的根，此方程无实根， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．③当a ∈(0, 1)，b ∈[1, +∞)时，由于1∈[a, b]，而f(1)=0∉[a, b]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．(3)解：若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y =f(x)的定义域为[a, b]时， 值域为[ma, mb]，则a >0，m >0．①当a ，b ∈(0, 1)时，由于f(x)在(0, 1)上是减函数，故{1a −1=mb ，1b−1=ma ，此时刻得a ，b 异号，不符合题意，∴ a ，b 不存在．②当a ∈(0, 1)或b ∈[1, +∞)时，由(2)知0在值域内， 值域不可能是[ma, mb]，∴ a ，b 不存在， 故只有a ，b ∈[1, +∞)．∵ f(x)=|1−1x |在[1, +∞)上是增函数， ∴ {f(a)=ma ，f(b)=mb ， 即{1−1a=ma ，1−1b =mb ，∴ a ，b 是方程mx 2−x +1=0的两个根，即关于x 的方程mx 2−x +1=0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=1m ，x 1⋅x 2=1m ． ∴ {Δ>0，(x 1−1)+(x 2−1)>0，(x 1−1)(x 2−1)>0， 即{1−4m >0，1m−2>0，解得0<m <14．故m 的取值范围是0<m <14．已知函数f(x)=a3x 3−12(a +1)x 2+x −13．(1)若函数f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线方程为9x −y +b =0，求实数a ，b 的值；(2)若a ≤0，求f(x)的单调减区间；(3)对一切实数a ∈(0, 1)，求f(x)的极小值的最大值． 【答案】解：(1)f ′(x)=ax 2−(a +1)x +1(a ∈R )，由f′(2)=9，得a=5，∴f(x)=53x3−3x2+x−13，∴f(2)=3，∴(2, 3)在直线9x−y+b=0上，∴b=−15．(2)①若a=0，f(x)=−12x2+x−13=−12(x−1)2+16，∴f(x)的单调减区间为(1, +∞)．②若a<0，则f′(x)=ax2−(a+1)x+1=a(x−1a)(x−1),x∈R，令f′(x)<0，得(x−1a)(x−1)>0，∴x<1a或x>1，∴f(x)的单调减区间为(−∞,1a)，(1, +∞)．(3)f′(x)=a(x−1)(x−1a)，0<a<1，列表：f(1a)=a3⋅1a3−12(a+1)1a2+1a−13=−16⋅1a2+12⋅1a−13=−16(1a−32)2+124．当a=23时，函数f(x)的极小值f(1a)取得最大值为124．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求导函数，利用函数f(x)的图象在点（2, f(2)）处的切线方程为9x−y+b＝0，即可求实数a，b的值；（2）分类讨论，利用导数小于0，可得f(x)的单调减区间；（3）求导数，确定f(x)的极小值，对一切实数a∈(0, 1)，利用配方法，即可求f(x)的极小值的最大值．【解答】解：(1)f′(x)=ax2−(a+1)x+1(a∈R)，由f′(2)=9，得a=5，∴f(x)=53x3−3x2+x−13，∴f(2)=3，∴(2, 3)在直线9x−y+b=0上，∴b=−15．(2)①若a=0，f(x)=−12x2+x−13=−12(x−1)2+16，∴f(x)的单调减区间为(1, +∞)．②若a<0，则f′(x)=ax2−(a+1)x+1=a(x−1a)(x−1),x∈R，令f′(x)<0，得(x−1a)(x−1)>0，∴x<1a或x>1，∴f(x)的单调减区间为(−∞,1a)，(1, +∞)．(3)f′(x)=a(x−1)(x−1a)，0<a<1，列表：f(1a)=a3⋅1a3−12(a+1)1a2+1a−13=−16⋅1a2+12⋅1a−13=−16(1a−32)2+124．当a=23时，函数f(x)的极小值f(1a)取得最大值为124．数列{a n}的前n项和为S n，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称数列{a n}为S数列．(1)S数列的任意一项是否可以写成其某两项的差？请说明理由．(2)①是否存在等差数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．②是否存在正项递增等比数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵数列{a n}是S数列，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∴n≥2时，S n−1=a p(p∈N∗)，∴S n−S n−1=a m−a p，即a n=a m−a p，而n=1时，S2=a q，则a1=a q−a2，故S数列的任意一项都可以写成其某两项的差；(2)①假设存在等差数列为S数列，设其首项为a1，公差为d，(i)当d=0时，若a1≠0，则对任意的正整数n，不可能存在正整数m，使得S n=a m，即na1=a1；(ii)当d=0且a1=0时，显然满足题意；(iii)当d≠0时，由S n=a m得，na1+n(n−1)2d=a1+(m−1)d，故m−1=(n−1)a1+n(n−1)2dd=(n−1)a1d+n(n−1)2∈Z，∵n(n−1)2∈Z，n=1时显然存在m=1满足上式，当n=2时，a1d+1≥0，∴a1d ≥−1,a1d∈Z，此时(n−1)a1d +n(n−1)2≥−n+1+n(n−1)2=(n−1)(n−2)2≥0符合题意，综上，存在a1=kd，k∈Z，k≥−1满足题意；②假设存在正项递增等比数列为S数列，则a1>0，q>0，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∵S n+1S n =a1(1−q n+1)1−qa1(1−q n)1−q=q n+1−1 q n−1=q(q n−1)+q−1q n−1=q+q−1 q n−1<q+q−1 q+1q−1=q+q(q−1)=q2，∴q<S n+1S n<q2，即a m q<S n+1<a m q2，即a m+1<S n+1<a m+2，∵S n+1∈{a n}且{a n}单调递增，显然当n>logq(q+1)−1时，不存在t∈N∗，使得S n+1=a t，这与S数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S数列．【考点】数列与函数最值问题数列的应用数列递推式【解析】（1）由数列前n项和与通项的关系，结合定义即可得出结论；（2）假设存在，分d＝0且a1≠0，d＝0且a1＝0及d≠0讨论得出结论；（3）运用反证法即可得出结论．【解答】解：(1)∵数列{a n}是S数列，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∴n≥2时，S n−1=a p(p∈N∗)，∴S n−S n−1=a m−a p，即a n=a m−a p，而n=1时，S2=a q，则a1=a q−a2，故S数列的任意一项都可以写成其某两项的差；(2)①假设存在等差数列为S数列，设其首项为a1，公差为d，(i)当d=0时，若a1≠0，则对任意的正整数n，不可能存在正整数m，使得S n=a m，即na1=a1；(ii)当d=0且a1=0时，显然满足题意；(iii)当d≠0时，由S n=a m得，na1+n(n−1)2d=a1+(m−1)d，故m−1=(n−1)a1+n(n−1)2dd=(n−1)a1d+n(n−1)2∈Z，∵n(n−1)2∈Z，n=1时显然存在m=1满足上式，当n=2时，a1d+1≥0，∴a1d ≥−1,a1d∈Z，此时(n−1)a1d +n(n−1)2≥−n+1+n(n−1)2=(n−1)(n−2)2≥0符合题意，综上，存在a1=kd，k∈Z，k≥−1满足题意；②假设存在正项递增等比数列为S数列，则a1>0，q>0，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∵S n+1S n =a1(1−q n+1)1−qa1(1−q n)1−q=q n+1−1 q n−1=q(q n−1)+q−1q n−1=q+q−1 q n−1<q+q−1 q+1q−1=q+q(q−1)=q2，∴q<S n+1S n<q2，即a m q<S n+1<a m q2，即a m+1<S n+1<a m+2，∵S n+1∈{a n}且{a n}单调递增，显然当n>logq(q+1)−1时，不存在t∈N∗，使得S n+1=a t，这与S数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S数列．。
2019-2020年高三(上)10月月考数学试卷
2019-2020年高三（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．（5分）（xx•江苏模拟）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N={x|2＜x＜3}．考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合N，然后再求集合M∩N．解答：解：∵M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，∴M∩N={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．点评：本题考查集合的运算和对数函数的定义域，解题时要全面考虑，避免不必要的错误．2．（5分）已知=3+i（a，n∈R，i为虚数单位），则a+b=6．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由已知中=3+i，可得a+bi=（3+i）•（2﹣i），由复数乘法运算法则，求出（3+i）•（2﹣i）后，根据复数相等的充要条件，可以分别求出a，b的值，进而得到a+b的值．解答：解：∵=3+i∴a+bi=（3+i）•（2﹣i）=7﹣i∴a=7，b=﹣1∴a+b=6故答案为：6点评：本题考查的知识点是复数相等的充要条件，复数的基本运算，其中根据复数相等的充要条件求出参数a，b的值，是解答本题的关键．3．（5分）在△ABC中，，则∠B=45°．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先根据正弦定理可知，进而根据题设条件可知，推断出sinB=cosB，进而求得B．解答：解：由正弦定理可知，∵∴∴sinB=cosB∴B=45°故答案为45°点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．4．（5分）（xx•黄埔区一模）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．考点：程序框图．专题：计算题．分析：由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．解答：解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故答案为：5点评：本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．5．（5分）（xx•怀化二模）若向量，满足且与的夹角为，则=．考点：合情推理的含义与作用．专题：计算题．分析：要求两个向量的和的模长，首先求两个向量的和的平方再开方，根据多项式运算的性质，代入所给的模长和夹角，求出结果，注意最后结果要开方．解答：解：∵且与的夹角为，∴===，故答案为：点评：本题考查向量的和的模长运算，考查两个向量的数量积，本题是一个基础题，在解题时最后不要忽略开方运算，是一个送分题目．这种题目会在高考卷中出现．6．（5分）函数的图象如图所示，则f（x）的表达式是f（x）=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；图表型；数形结合；数形结合法．分析：由函数图象知，函数的最大值是，最小值是，易求出A与K，又由最高点的横坐标与最低点的横坐标求出，即可求出ω，再将点（）代入求出φ即可得到函数的解析式解答：解：由图知，周期，所以ω=2．又，所以k=1．因为，则．由，得sin（2×+φ）=1，即得2×+φ=得．故．故答案为点评：本题考查由f（x）=Asin（ωx+φ）+k的部分图象确定其解析式，解题的关键是从图象的几何特征得出解析式中参数的方程求出参数，求解本题难点是求初相φ的值，一般是利用最值点的坐标建立方程求之，若代入的点不是最值点，要注意其是递增区间上的点还是递减区间上的点，确定出正确的相位值，求出初相，此处易出错，要好好总结规律．7．（5分）（xx•江西模拟）已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（﹣x）=代入即可得到答案．解答：解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（﹣x）=故答案为点评：本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．8．（5分）（xx•四川）设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，则通项a n=．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而格式相加即可求得答案．解答：解：∵a1=2，a n+1=a n+n+1∴a n=a n﹣1+（n﹣1）+1，a n﹣1=a n﹣2+（n﹣2）+1，a n﹣2=a n﹣3+（n﹣3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1将以上各式相加得：a n=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）++2+1]+n+1=故答案为；点评：此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a n+1=a n+n+1中a n+1，a n系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；9．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线被圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0所截得的弦长为4．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；分类讨论．分析：求出渐近线方程，由点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，将此距离和半径作比较，得出结论，再求弦长即可．解答：解：由题得双曲线x2﹣=1的渐近线是：y=±2x圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9∴圆心（3，1），半径r=3．∴（3，1）到直线y=2x的距离d=．故有，得到弦长l=4；∵（3，1）到直线y=﹣2x的距离d=＞r，此时圆于直线相离．综上得：双曲线x2﹣=1的渐近线被圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0所截得的弦长为4．故答案为：4．点评：本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．考查计算能力以及分类讨论能力．10．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当MN 达到最小时t的值为．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），求导数得y′=2x﹣=（x＞0）令y′＜0，则函数在（0，）上为单调减函数，令y′＞0，则函数在（，+∞）上为单调增函数，所以当x=时，函数取得最小值为+ln2所以当MN达到最小时t的值为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值．11．（5分）函数上的最大值为．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：用导数判断函数的单调性，由单调性可求最大值．解答：解：y′=1+2cosx，当x∈[﹣，]时，y′＞0，所以y=x+2sinx在[﹣，]上单调递增，所以当x=时，y=x+2sinx取得最大值为：+2sin=+2．故答案为：+2．点评：本题考查函数的单调性，对于由不同类型的函数构成的函数最值问题，常用函数的性质解决．12．（5分）若函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时f（x）=|x|，则函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数是4．考点：函数的周期性；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：先根据题意确定f（x）的周期和奇偶性，进而在同一坐标系中画出两函数大于0时的图象，可判断出x＞0时的两函数的交点，最后根据对称性可确定最后答案．解答：解：∵f（x+2）=f（x），x∈（﹣1，1）时f（x）=|x|，∴f（x）是以2为周期的偶函数∵y=log3|x|也是偶函数，∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数只要考虑x＞0时的情况即可当x＞0时图象如图：故当x＞0时y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有2个交点∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数为4故答案为：4．点评：本题主要考查函数的基本性质﹣﹣单调性、周期性，考查数形结合的思想．数形结合在数学解题中有重要作用，在掌握这种思想能够给解题带来很大方便．13．（5分）（xx•天津）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则=．考点：平面向量数量积的运算．专题：压轴题．分析：法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值．法二：由余弦定理得，可得，又夹角大小为∠ADB，，所以=．解答：解：法一：选定基向量，，由图及题意得，=∴=（）（）=+==法二：由题意可得∴，∵，∴=．故答案为：﹣．点评：本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用．向量和三角函数的综合题是高考热点，要给予重视．14．（5分）关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0有5个不同的实根，则实数k=0．考点：函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；数形结合．分析：讨论x2﹣1的正负，画出高次函数的图象，观察即可得出答案．解答：解：当x2﹣1≥0时原方程为（x2﹣1）（x2﹣2）=﹣k（x﹣1）（x+1）（x+）（x﹣）=﹣k当x＜0时原方程为（x2﹣1）x2=﹣k（x+1）（x﹣1）x2=﹣k两种情况联立图象为由此可知只有当k=0时，方程才可能有五个不同实根．故答案为0．点评：本题考查了高次方程的解，技巧有把高次方程因式分解，把所有根在数轴上从小到大依次排列，用平滑曲线从右上方开始顺次穿过所有根，值得注意的是如果根所在的因式为偶次曲线穿而不过，像图中的﹣1，0，1处．在x 轴上下方的线分别代表y 的值的正负．二、解答题（本大题共6道题，计90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．（14分）（xx •天津）在△ABC 中，已知AC=2，BC=3，．（Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求的值．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦． 专题：计算题．分析： （1）利用cosA ，求得sinA ，进而根据正弦定理求得sinB ．（2）根据cosA 小于0判断A 为钝角，从而角B 为锐角，进而根据sinB 求得cosB 和cos2B ，进而利用倍角公式求得sin2B ，最后根据两角和公式求得答案．解答： （Ⅰ）解：在△ABC 中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）解：∵，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角， ∴，，．==．点评： 本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力16．（14分）（xx •南通模拟）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5+a 13=34，S 3=9．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；（2）设数列{b n }的通项公式为，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m （m ≥3，m ∈N ）成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列的性质．专题：综合题；探究型．分析：（1）设出等差数列的公差为d，根据等差数列的性质及通项公式化简a5+a13=34，S3=9，即可求出首项和公差，分别写出通项公式及前n项和的公式即可；（2）把（1）求得的通项公式a n代入得到数列{b n}的通项公式，因为b1，b2，b m成等差数列，所以2b2=b1+b m，利用求出的通项公式化简，解出m，因为m与t都为正整数，所以得到此时t和m的值即可．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故a n=2n﹣1，S n=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质、通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．17．（14分）多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．（1）在BC上找一点N，使得AN∥面BED（2）求证：面BED⊥面BCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM．可证出四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM，结合线面平行的判定定理，可得AN∥面BED；（2）利用空间线线平行的性质，结合线面垂直的判定与性质可证出EM⊥CD且EM⊥BC，可得EM⊥面BCD，最后根据面面垂直的判定定理，证出面BED⊥面BCD．解答：解：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥CD且MN=CD …（2分）又∵AE∥CD且AE=CD，∴MN、AE平行且相等．∴四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM …（4分）∵AN⊄面BED，EM⊂面BED，∴AN∥面BED…（6分）（2）∵AE⊥面ABC，AN⊂面ABC，∴AE⊥AN又∵AE∥CD，AN∥EM，∴EM⊥CD…（8分）∵N为BC中点，AB=AC，∴AN⊥BC∴结合AN∥EM得EM⊥BC…（10分）∵BC、CD是平面BCD内的相交直线，∴EM⊥面BCD…（12分）∵EM⊂面BED，∴面BED⊥面BCD …（14分）点评：本题给出特殊的四面体，求证线面平行并且面面垂直，着重考查了空间线面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．18．（16分）开口向下的抛物线y=ax2+bx（a＜0，b＞0）在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为．（1）求a与b的关系式，并用b表示S（b）的表达式；（2）求使S（b）达到最大值的a、b值，并求S max．考点：直线与圆锥曲线的关系；函数最值的应用．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，联立方程，利用判别式必须为0，确定a与b的关系式，代入，即可用b表示S（b）的表达式；（2）求导数，确定函数的单调性，可求函数的极值与最值，即可得到结论．解答：解：（1）依题设可知抛物线开口向下，且a＜0，b＞0，直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2+（b+1）x﹣4=0，其判别式必须为0，即（b+1）2+16a=0．∴，代入得：；（2）；令S'（b）=0，在b＞0时得b=3，且当0＜b＜3时，S'（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0，故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=﹣1，b=3时，S取得最大值，且．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，确定函数关系式是关键．19．（16分）（2011•扬州模拟）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，由此能求出椭圆E的离心率．（2）由，设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，由此能够证明直线A1B1与圆C相切．（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则，由此能求出圆C的方程．解答：解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，于是a2=8b2，即a2=8（a2﹣c2），所以椭圆E的离心率．（4分）（2）由可设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，（6分）又以OA2为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，所以直线A1B1与圆C相切．（8分）（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，（10分）设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则（12分）解得．所以，圆C的方程为（14分）点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20．（16分）（xx•兰州一模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；（Ⅱ）当时t无解，当即时，根据函数的增减性得到f（x）的最小值为f（），当即时，函数为增函数，得到f（x）的最小值为f（t）；（Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根据x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0时x的值，利用函数的定义域和x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得∴f（x）的单调递减区间为令f′（x）＞0解得∴f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当时，t无解当，即时，∴；当，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt∴；（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1∵x∈（0，+∞）∴设，则令h′（x）=0，得（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2∴a≥﹣2故实数a的取值范围[﹣2，+∞）点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的额单调区间以及会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．11 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江苏省苏州星海中学2020届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析
江苏省苏州星海中学2020届高三数学十月月考数学试题2019．10一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，0}，则A U B ＝ ．答案：{﹣1，0，1} 考点：集合间的运算解析：因为集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，0}，所以A U B ＝{﹣1，0，1}．2．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ． 答案：(﹣1，1)U (1，+∞)考点：函数的另一与 解析：由题意，得1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得x ＞﹣1，且x ≠1，所以原函数的定义域是(﹣1，1)U (1，+∞)．3．“a ＞1”是“()cos f x ax x =+在R 上单调递增”的 条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”） 答案：充分不必要条件考点：常用的逻辑用语（充要条件）解析：因为()cos f x ax x =+，所以()sin f x a x '=-．当a ＞1时，()sin f x a x '=-＞0恒成立，所以()f x 在R 上单调递增成立；当()cos f x ax x =+在R 上单调递增，则()sin f x a x '=-≥0恒成立，则a ≥1．故“a ＞1”是“()cos f x ax x =+在R 上单调递增”的充分不必要条件．4．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝B ＝3π，则角A 的大小为 ． 答案：6π 考点：正弦定理解析：由正弦定理，得sin A sin Ba b =，即2sin A sin 3=，解得sinA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝6π或56π，当A ＝56π时，A ＋B ＞π，不符题意，所以A ＝6π． 5．已知α∈(0，π)，cos α＝45-，则tan()4πα+＝ ．答案：17考点：同角三角函数关系式，两角和与差的正切公式解析：由cos α＝45-以及22sin cos 1αα+=，得29sin 25α=，又α∈(0，π)，则sin α＞0，所以sin α＝35，tan 3sin 354cos 45ααα===--，则tan tan 4tan()41tan tan 4παπαπα++=- 3114371()14-+==--⨯．6．设n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，则21a a ＝ ． 答案：1或3考点：等差数列与等比数列解析：因为n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，所以11S a =，212S a d =+，4146S a d =+，又1S ，2S ，4S 成等比数列，则2214S S S =⋅， 即2111(2)(46)a d a a d +=+，化简得0d =或12d a =，所以2111a da a =+＝1或3． 7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一共7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ． 答案：3考点：等比数列的前n 项和解析：设第n 层塔的灯数为n a ，n 层塔共有灯数为n S ，可知{}n a 以2为公比的等比数列，则717(21)38121a S -==-，求得1a ＝3． 8．在曲线331y x x =-+的所有切线中，斜率最小的切线的方程为 ． 答案：31y x =-+ 考点：导数的几何意义解析：因为331y x x =-+，所以233y x '=-，当x ＝0时，斜率有最小值为﹣3，此时切点坐标为(0，1)，故此时切线方程为31y x =-+．9．若函数62()3log2ax xf xx x-+≤⎧=⎨+>⎩，，(a＞0且a≠1)的值域是[4，+∞)，则a的取值范围是．答案：(1，2]考点：函数的值域解析：当x≤2时，y＝﹣x＋6≥4，要使()f x的值域是[4，+∞)，则y＝3logax+的最小值要大于或等于4，所以13log24aa>⎧⎨+≥⎩，解得1＜a≤2．10．如图，平面四边形ABCD中，若AC＝5，BD＝2，则(AB DC)(AC BD)+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r＝答案：1考点：平面向量数量积解析：取BD中点O，则(AB DC)(AC BD)(OB OA OC OD)(AC BD)+⋅+=-+-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ＝2222(DB AC)(AC BD)AC BD(5)21++=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．11．设()f x是定义在R上的可导函数，且满足()()0f x xf x'+>，则不等式(1)f x+>21(1)x x--的解集为．答案：[1，2)考点：利用导数研究函数的单调性解析：令()()g x xf x=，则()()()0g x f x xf x''=+>，所以()()g x xf x=单调递增1)f x+>21(1)x x--11)x x++>221(1)x x--即2(1)(1)g x g x+>-，根据()()g x xf x=单调递增，可得如下不等式组：22101011xxx x⎧+≥⎪-≥⎨⎪+>-⎩，解得1≤x＜2，故原不等式的解集为[1，2)．12．若正数a，b满足21a b+=，则224a b ab++的最大值为．答案：1716考点：基本不等式解析：22214(2)4414a b a b ab ab ++=+-+=-+=⋅- 211171()14216+≤⨯+=，当且仅当21164a b ab +=⎧⎪⎨=⎪⎩时，取“＝”． 13．已知函数21()221xe x a xf x x ax x ⎧--≥-⎪=⎨-+<-⎪⎩，，(e 是自然对数的底数)恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[32-，） 考点：函数与方程解析：当a ＝0时，x ＜﹣1时，2()20f x x =+>，而()x f x e x =-，最多两个零点，即有()f x 不可能有三个零点；当a ＞0时，x ＜﹣1时，22()2()f x a x a =-+-递减，且()(1)320f x f a >-=+>，而()x f x e x =-，最多两个零点，即有()f x 不可能有三个零点；当a ＜0时，x ＜﹣1时，由于()f x 的对称轴为x ＝a ，可得顶点为(a ，2﹣a 2)，若2﹣a 2＞0，不满足题意；若2﹣a 2＜0，3＋2a ≥0，110a e ---<，解得32a -≤<，满足()f x 恰有三个零点；若2﹣a 2＝0，3＋2a ＞0，110a e---≥，解得a ∈∅，不满足题意； 综上可得a 的范围是[32-，）． 14．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足111cos A cos B cos C1sin A sin B sin C ===，则称△A 1B 1C 1是△ABC的一个“友好”三角形．若等腰△ABC 存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为 ． 答案：38π考点：三角函数与解三角形 解析：1cos A 1A sin A =⇒∈(0，2π)，11(A A )(A A )022ππ+---=，存在友好⇔B ＋C ﹣A ＝2π（循环）在锐角△ABC 中， 等腰△ABC 存在友好⇒底＋底﹣顶＝2π⇒底＝38π．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin 2C sin Bc b=． （1）求角C 的值； （2）若3sin(B )35π-=，求cosA 的值．16．（本小题满分14分）已知函数()2cos(3cossin)222xxxf x ωωω=-(ω＞0)的最小正周期为2π．（1）求函数()f x 的表达式； （2）设θ∈(0，2π)，且6()35f θ=+，求cos θ的值．17．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，且1a ，25a +，3a 成等差数列．（1）求1a ，2a 的值； （2）求证：数列{}2nn a +是等比数列，并求数列{}na 的通项公式．18．（本小题满分16分）如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5 km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度（海岸线可以看做是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC＝43km．D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD＝x(km)，点D对跑道AB的视角为θ．（1）将tanθ表示为x的函数；（2）求点D的位置，使θ取得最大值．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，1=1a ，2=a a ，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若12k =，且18171S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项m a ，1m a +，2m a +按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若12k =-，求n S （用a ，n 表示）．20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a x x=+，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当x ∈[1，2]时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值；（3）试问过点P(0，2)可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．附加题21．A ．已知点A 在变换T ：x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2x y y +⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B ，若点B 坐标为(﹣3，4)，求点A 的坐标．B ．求曲线C 1：222121x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩被直线l ：12y x =-所截得的线段长．22．如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的萎形，∠ABC ＝45°，OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．（1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（2）求平面OAB 与平面OCD 所成二面角的余弦值．23．设数列{}n t 满足101t <<，1sin n n n t t t +=-． （1）求证：101n n t t +<<<； （2）若112t =，求证：2112n n t -≤．。
2019-2020年高三上学期10月月考数学试卷 含答案
2019-2020年高三上学期10月月考数学试卷 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、已知函数，则该函数的定义域为__________．2、不等式的解集是 ．3、若，则的取值范围是 _________．4、函数在区间[，]上的最小值为m ，最大值为M ， 则M+m 的值为___6_______．5、函数)(1)(3R x x x x f ∈++=，若，则__0____． 6、已知集合只含有一个元素，则 0 或1 ． 7、展开式中的系数为_____28_____．8、计算：_______3_2222210nn n n n n n C C C C =++++ ．9、在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 ．（结果用分数表示）10、若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成的角为，则此圆锥的体积为________．（答案保留） 11、若是R 上的减函数, 且的图象过点A(0,3), B(3,－1)，则不等 式的解集是___________．12、已知函数242(1)()log (1)ax ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，在区间上是减函数，则的取值范围为______________.13、由函数、的图象及直线、所围成的封闭图形的面积是10 ．14、设定义域为的函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=--11121x ax x f x ，若关于的方程 22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则满足题意的的取值范围是___________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸上的相应位置，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15、下列函数中，与函数相同的函数是（ C ）（A ）． （B ） ． （C ） ． （D ） ．16、已知平面和直线、，且，则“”是“”的（ A ）(A)充分不必要条件． (B)必要不充分条件． (C)充要条件．(D)既不充分也不必要条件．17、设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的“差集”为{}P x M x x P M ∉∈=-且|，则等于（ B ）（A ）P ． （B ）． （C ）． （D ）M ．18、气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)： ①甲地：个数据的中位数为，众数为； ②乙地：个数据的中位数为，总体均值为；③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为， 则肯定进入夏季的地区有（ C ）(A)个． (B)个． (C)个． (D)个．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19、(本题满分14分) 本题共有2个小题。
江苏省苏州市高三上学期数学10月月考试卷
江苏省苏州市高三上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2020高二下·天津期中) 设集合，，，则（）A .B .C .D .2. （2分）设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）(2016·上海理) 设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A . ①和②均为真命题B . ①和②均为假命题C . ①为真命题，②为假命题D . ①为假命题，②为真命题4. （2分） (2019高一下·黑龙江月考) 已知函数，若，，，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高三上·西湖期中) 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）（原创）若对定义在上的可导函数，恒有，（其中表示函数的导函数在的值），则（）A . 恒大于等于0B . 恒小于0C . 恒大于0D . 和0的大小关系不确定7. （2分）(2018·重庆模拟) 已知函数，，若，，则的最小值是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·济南模拟) 函数f（x）=axm（1﹣2x）n（a＞0）在区间[0， ]上的图象如图所示，则m、n的值可能是（）A . m=1，n=1B . m=1，n=2C . m=2，n=3D . m=3，n=19. （2分） (2019高二下·广东期中) 函数的图像大致为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分） (2019高二下·湖北期中) 设复数满足，则 ________．11. （1分）(2017·虎林模拟) 若直线x+ay﹣1=0与2x﹣4y+3=0垂直，则二项式（ax2﹣）5的展开式中x的系数为________．12. （1分）已知曲线C：y=x3﹣3x2+2x，直线l过（0，0）与曲线C相切，则直线l的方程是________．13. （1分） (2016高一上·密云期中) 设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是________14. （1分） (2019高一下·上海期末) 若在区间（且）上至少含有30个零点，则的最小值为________．15. （1分） (2019高二下·杭州期中) 已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共60分)16. （5分） (2017高三下·岳阳开学考) 已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）= sin •cos +cos2 ，求f（B）的取值范围．17. （15分） (2018高二上·寻乌期末) 如图，直三棱柱中，分别是的中点，．(Ⅰ)证明：∥平面；(Ⅱ)求锐二面角的余弦值．18. （10分） (2017高二下·西城期末) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， S4=﹣24，a1+a5=﹣10．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设集合A={n∈N*|Sn≤﹣24}，求集合A中的所有元素．19. （15分） (2017·黑龙江模拟) 已知函数f（x）=xlnx﹣ x2（a∈R）．（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个相异极值点x1、x2 ，求证： + ＞2ae．20. （15分） (2020高三上·南昌月考) 已知函数 .（1）求函数的最大值；（2）对任意，不等式恒成立，求整数的最小值.参考答案一、单选题 (共9题；共18分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共6分)答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共60分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
江苏省苏州中学2019-2020学年第一学期(10月月考)高三年级阶段性考
，则AC BA⋅（C. 1A. 30B. 60C. 150D. 30或1506．已知椭圆222212x y m n n m+=--的焦点在x 轴上，若椭圆的短轴长为4，则n 的取值范围是( ) A. ()12,+∞B. ()4,12C. ()4,6D.9．当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：325(0)3y ax bx ab =++≠交于112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()b a ，可作曲线E 的切线的条数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 310．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了n 3117113值为______． 15．函数5()sin coscos cos88f x x x ππ=+的最大值为_______ 16．已知1e ，2e 是夹角为60︒的两个单位向量，若12a e e =+，1242b e e =-+，则a 在b 方向上的投影等于________．17．曲线2log y x =在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于__________．四、单选题22．已知矩形ABCD 的两边3AB =，4=AD ，PA ⊥平面ABCD ，且45PA =，则二面角A BD P --的正切值为（ ）可得离心率e=a=故选C.【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质. 2．C 解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可知2017201920182a a a +=，代入方程可求出2018a ，再根据等比数列的性质2201720192018=b b a ⋅ 即可代入()220172019log b b ⋅求解.【详解】因为等差数列{}n a 中2017201920182a a a +=，所以2220172018201920182018224=0a a a a a -+=-，因为各项不为零，所以2018=4a ，因为数列{}n b 是等比数列，所以2201720192018==16b b a ⋅所以()2201720192log =log 16=4b b ⋅，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列中，当m n p q +=+时，m n p q a a a a +=+，等比数列中，当m n p q +=+时，m n p q b b b b ⋅=⋅，属于中档题. 3．A 解析：A 【解析】分析：过E 作球O 的截面中，面积最大的是过球心O 的截面，最小的是垂直于OE 的截面，求出球的半径，以及垂直于OE 的截面半径，从而可得结果. 详解：显然过E作球O的截面中，面积最大的是过球心O的截面，最小的是cos30点睛：本题主要考球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式及球的体积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质2221R r OO =+.第II 卷 4．AABC 中c o 5A CB AC A ⋅=2121⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪ ⎪12= a b <∵A B ∴< 30A ∴= 本题正确选项：A【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.6．A 解析：A 【解析】 【分析】【详解】11112(2)=2+224222b aa b a b a b a b⎛⎫+=+++≥+= ⎪⎝⎭. 当且仅当11,42a b ==时取等.故选：D.【点睛】本题主要考查线性规划和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8．B9．C 解析：C 【解析】直线()10kx y k k R --+=∈过定点()1,1由题意可知：定点()1,1是曲线()325:03E y ax bx b =++≠的对称中心，5131a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以曲线3215:33E y x x =-+，()1,13b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 【解析】 【分析】根据题意得到马每天所走的路程是127,,.....a a a ，是公比为12的等比数列，这些项的和为700，由等比数列的求和公式求得首项，再由等比数列的通项公式得到结果.【详解】设马每天所走的路程是127,,.....a a a ，是公比为12的等比数4【解析】 【分析】先利用余弦定理求出a 的值，再利用三角形的面积公式求面积得解.【详解】由题得21492525(),32a a a =+-⋅⋅⋅-∴=所以三角形的面积为1235sin 23π⋅⋅⋅.13．-2 【解析】 【分析】根据向量坐标运算和向量，得到，即可求解． 【详解】由题意，向量,，因为，所以，解得．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线条件的应用，其中解答中熟记平面向量 根据向量坐标运算和向量//a b ，得到12-量(,4),a m =(1,2)b =-，//a b ，所以n 3117113因为2311724a a a π+=，所以11343a a π=,所以1134tan()tan 3a a π==. 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，利用等积性可以简化运算，侧重考查数学运算的核心素养.15．1【解析】【分析】因为，所以可以把函数解析式化简，再逆用两角差的正弦公式化简设与的夹角为，则所以在方向上的投影等于【点睛】本题解析：2-【解析】 cos a θ⋅，得到结果1的两个单位向量 所以2cos 2e e e e θ⋅=⋅=12a e e =+，所以()222+23a e e e e e e =+=+⋅=1242b e e =-+，所以()2221212421641623b e e e e e e =-+=+-⋅=()()2212121212424223a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-+=-+-⋅=-设a 与b 的夹角为θ， 3cos 32a b a bθ⋅-==⋅⋅所以a 在b 方向上的投影等于cos a θ⋅=【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积，向量的夹角公式，【解析】 试题分析：∵1ln 2y x '=，∴，所以切线方程为：，∴三角形面积为211111log 2ln 22ln 22S e ∆=⨯⨯==. 考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形的面积公式.BA ，而不是AB.19．（1）22:20C x y x +--=；（2）【解析】 【分析】（1）消去参数t ，可得直线l 的普通方程，根据ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2可得圆C 的普通坐标方程，利用圆心到直线的距离可得θ的值．（2）利用直线的参数的几何意义，将直线带入圆中，利用韦达定理n n 2n ≥-1121312n n S a n n -=--+--作差得12224n n n a a a n -=--+,即1=2+2-4n n a a n - 整理得()()112241221n n n a n a n a n --+=+-=+-⎡⎤⎣⎦,即数列{2}n a n +等比数列，首项221=+a ，公比为2，()112222,22n n n n n a n a a n -∴+=+⨯==-.（2）()2log 222n n c a n n =+-=-,()()()()2121122n n d n n n n -∴⋅++=+++ ,()()22111n n --121l ∴，2l 之间的距离d ==； （2）因为12l l //,不妨设1l 关于2l 对称的直线方程为3l ：20x y λ-+= ，由（1）可知2l 到1l 的距离等于它到3l 的距离，取2l 上一点()6,0，d ∴==-11λ=或1λ=-（舍）∴3l 的直线方程为2110x y --= .PA PE P = PAE ，故AE BAD 中， AB【点睛】计算二面角的平面角时，可根据线面垂直构建二面角的平面角，并把该角放在可解的三角形（最好是直角三角形）中，然后利用解三角形的方法求出角的大小或其三角函数值.。
【2019-2020高三文科数学试卷】江苏高三十月月考数学试卷 答案
2020届高三年级十月月考文科数学试卷一、填空题： (本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知集合{}0,1,2A =，集合11,B x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且B A ⊆，则实数x = ． 2．命题“2,20x R x x ∀∈++>”的否定是 ． 3．函数)21(log )(22+=x x f 的值域为 ．4．已知向量(3,4),(6,3)(5,3) , OA OB OC m m =-=-=---，若点A 、B 、C 三点共线，则实数m 的值为 ．5．已知(,)2παπ∈，若4cos 5α=-，则tan()4πα+= ．6．若直线b x y +=是曲线x x y ln =的一条切线，则实数=b ．7．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B ，则角B 的值为 ． 8．等差数列}{n a 中，前n 项和为n S ，若148a S =，244a a +=，则=10S ． 9．已知01cos(75)3α+=，则0cos(302)α-的值为 ． 10．已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是 ．11．如图平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且AE →·BD →＝1，则AB 的长为 ． 12．已知0,0a b >>，且1a b +=，则1b a b+的最小值等于 ． 13．2,1,()25,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．14．若函数()()1xf x a a =>的定义域、值域均为[],m n ，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题：（前三题各14'，后三题各16'）15．(14分)在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1．（1）求证：AB ∥平面A 1B 1C ；（2）求证：平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．（14分）已知△ABC 的面积为S ，且AB AC S ⋅=．（1）求tan2A 的值；（2）若4B π=，3CB CA -=，求△ABC 的面积S ．17．（14分）已知函数()33()x xf x λλ-=+⋅∈R ．（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集； （2）若不等式()6f x ≤对[0,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围．18．（16分）已知数列{n a }是等差数列，18,652==a a ，数列{n b }的前n 项和是n T ，且121=+n n b T ． （1）求数列{n a }的通项公式；（2）求证数列{n b }是等比数列；（3）记n n n b a c ⋅=，求{n c }的前n 项和n S ．19．（16分）如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了,A B两A B C中任意两点间的距离为10km．公司拟按以下思路运作：先将,A B两处游客分个报名点，满足,,别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于,A B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元．（其∠=，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．中a是正常数）设CDAα（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问：中转点D距离A处多远时，S最小？20．（16分）已知函数2()2ln f x x x ax =+-． （1）当5a =时，求()f x 的单调区间；（2）点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 分别是图像上的两个相异的点，若AB 的斜率1k >恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 有两个极值点1212,,x x x x < 且2x e >若12()()f x f x m -≥恒成立，求实数m 的取值范围．高三数学（文）考试命题双向细目表15. (1) 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB 平面A 1B 1C ，A 1B 1平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C.(2) 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B. 又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC.又因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B 平面A 1BC ，BC 平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC.又因为AB 1平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC. 【说明】本题主要考查线面平行、垂直的判定定理，考察学生的空间想象能力 (预估分：12分)16.解：（1）设△ABC 的角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.AB AC S ⋅=,A bc A bc sin 21cos =∴,……2分 A A sin 21cos =∴, 2tan =∴A .……4分 34t a n 1t a n 22t a n 2-=-=∴AA A .……5分（2）3CB CA -=,即3==c ,……6分 20,2t a nπ<<=A A ,……7分55cos ,552sin ==∴A A . ……9分 ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B∴=+=+525210=+⋅=……11分 由正弦定理知：5sin sin sin sin =⋅=⇒=B Ccb B b Cc ,……13分35523521sin 21=⋅⋅==A bc S .……14分【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算；考查运算变形和求解能力. (预估分：11分) 17.解：（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R ．∵()f x 为奇函数，∴()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立， 即3333(1)(33)0x x x x x x λλλ---+⋅++⋅=++=对x ∀∈R 恒成立，∴1λ=-． ．．．．．．3分 此时()331x x f x -=->即2(3)310x x -->，解得133)22x x ><舍去， ．．．．．．．6分∴解集为{|log x x >． ．．．．．．．8分 （2）由()6f x ≤得336x x λ-+⋅≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]x t =∈，原问题等价于6t tλ+≤对[1,9]t ∈恒成立，亦即26t t λ-+≤对[1,9]t ∈恒成立， ．．．．．．．．．12分 令2()6,[1,9]g t t t t =-+∈，∵()g t 在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，∴当9t =时，()g t 有最小值(9)27g =-，∴27λ-≤． ．．．．．．．16分【说明】本题考查函数的性质，指对数的运算，不等式恒成立，考查运算能力，综合分析问题和解决问题能力及书写表达能力。
2020届江苏省苏州市高新区高三上学期10月检测数学试题(解析版)
2020届江苏省苏州市高三上学期检测数学试题一、填空题 1．设全集，集合，则=__________．【答案】【解析】由题意得2．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是________．【答案】00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x ≥【解析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果. 【详解】因为“sin 1x <”的否定是“sin 1x ≥”，∴“0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin 1x <”的否定是“00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x ≥ ”，故答案为00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x ≥. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3．设幂函数()a f x kx =的图像经过点(4,2)，则k α+=__________． 【答案】32【解析】由题意得131,2422k k ααα==⇒=∴+= 4．函数1()()42x f x =-____． 【答案】(,2]-∞-【解析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域． 【详解】要使函数有意义，则142x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭0 2211110()()22222x x x --⎛⎫⎛⎫⇔-≥≥⇔≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， ∴f （x ）的定义域为(],2-∞-． 故答案为(],2-∞-. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数幂的运算，要求熟练掌握指数函数的性质，属于基础题.5．已知曲线()3ln f x ax x =+在()()1,1f 处的切线的斜率为2，则实数a 的取值是__________． 【答案】13【解析】f′（x ）=3ax 2+1x， 则f′（1）=3a+1=2，解得：a=13， 故答案为：13． 点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-．（2）已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点11(,())x f x ，即解方程()f x k '=.（3）求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．6．设函数24,0()3,0x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，若()(1)f a f >，则实数a 的取值范围是_________.【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】由分段函数解析式求出(1)f ，分别作出分段函数()f x 与()1y f =的函数图象，观察图象即可求得答案. 【详解】由题可知，1(1)242f =-=-，分别作出分段函数24,0()3,0x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩与2y =-的函数图象，观察图象可知若()(1)2f a f >=-，则1a <-或1a > 故实数a 的取值范围是()(),11,-∞-+∞故答案为：()(),11,-∞-+∞【点睛】本题考查在分段函数中由不等式关系求参数取值范围，属于简单题. 7．函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____．2【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由(4)()f x f x +=得函数()f x 的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22f f f =-=-=-+=因此1π2((15))()cos 242f f f === 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 8．若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x x x x++的值为______ 【答案】25【解析】根据两角和与差的正切函数的公式，求得tan 2x =，进而利用三角函数的基本关系式，即可求得答案. 【详解】 由31tan tan[()]2441(3)x x ππ--=+-==+-，得sin 2cos tan 223sin 4cos 3tan 45x x x x x x ++==++． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记两角和与差的三角函数的基本公式以及三角函数的基本关系式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9．已知非零常数α是函数tan y x x =+的一个零点，则()()211cos2αα++的值为__________． 【答案】2 【解析】由题意tan αα=-，则()()()2222211cos2tan 12cos 2sin 2cos 2αααααα++=+⋅=+=．10．设a 为实数，已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，且f (2a －3)＝f (a )，则满足条件的a 构成的集合为____． 【答案】{}1,3.【解析】先化简函数f(x)解析式得到()2,1,2,11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩数形结合分析得到23a a -=或230a a -+=或11,1231,a a -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩解之即得a 构成的集合. 【详解】由()2,1,2,11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩由()()23f a f a -=，根据函数f(x)的图像分析得23a a -=或230a a -+=或11,1231,a a -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩解得1a =或3a =． 故答案为：{}1,3 【点睛】（1）本题主要考查函数图像的作法，考查利用函数的图像和性质解方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是数形结合分析得到23a a -=或230a a -+=或11,1231,a a -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩.11．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()f x e <-的解集为____．【答案】(,e)-∞-【解析】分析：由奇函数的性质()()f x f x -=-，求出函数()f x 的解析式，对0x >时的解析式求出()f x '，并判断函数的单调性和极值，再由奇函数的图象特征画出函数()f x 的图象，根据图象和特殊的函数值求出不等式的解集．详解：因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以当0x =时，()00f =，不满足不等式()f x e <-，设0x <，则0x ->，因为0x >时，()ln f x x x =，所以()()ln f x x x -=--， 因为函数()f x 是奇函数，所以()()()ln f x f x x x =--=-，所以()(),0,0xlnx x f x xln x x >⎧=⎨-<⎩，当0x >时，()ln 1f x x ='+，令()0f x '=，解得1x e=， 当10x e <<时，()0f x '<；当1x e>时，()0f x '>， 所以函数()f x '在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以当1x e =时取得极小值，1111ln f e e e ee ⎛⎫==->- ⎪⎝⎭，再由函数()f x 是奇函数，画出函数()f x 的图象如图所示，因为当0x >时，当1x e =时取得极小值，1111ln f e e e ee ⎛⎫==->- ⎪⎝⎭，所以不等式()f x e <-的解集在()0,+∞无解，在(),0-∞上有解， 因为()()ln f e e e e ⎡⎤-=---=-⎣⎦， 所以不等式()f x e <-的解集为(),e -∞-．点睛：本题考查函数的基本性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性，函数的单调性的综合应用，着重考查了数形结合思想方法，分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题．12．若正实数a ，b ，c 满足3ab a b =+，3abc a b c =++，则c 的最大值为______. 【答案】1211【解析】由基本不等式求得12ab ≥，由已知整理可得111c ab =+-，再由不等式的简单性质即可求得答案. 【详解】由题可知，a ，b ，c 为正实数，则32312ab a b ab ab =+≥≥，当且仅当63a b ==等号成立则整理3abc a b c ab c =++=+得1111ab c ab ab ==+-- 由12ab ≥可知，1121111c ab =+≤- 所以c 的最大值为1211故答案为：1211【点睛】本题考查不等式的简单性质与基本不等式求范围，属于中档题.13．已知函数1(31)0()2ln0x xf xx x⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，，，若存在实数a b c<<，满足()()()f a f b f c==，则()()()af a bf b cf c++的最大值是____．【答案】22e12-.【解析】分析: 根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf （b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，e＜c＜e2，设g（c）=（c﹣6）lnc，则()g c'=lnc+1﹣6c，显然()g c'e e2]上单调递增，∵()g e'=2﹣6e＜0，2()g e'=3﹣26e＞0，∴()g c'e，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c e c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g e=12e6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．故答案为：2e2﹣12点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6,＜c ＜e 2；其三是能够想到构造函数g （c ）=（c ﹣6）lnc ，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题. 14．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()2ln 2100x x a x ax a ⎛⎫-+-++≤ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】由对数成立可得(0,)a ∈+∞，再讲该问题转化为对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()()()2ln ln 2100x x a a x ax +-+-++≤⎡⎤⎣⎦恒成立，构造函数()()2ln ,210f x x x g x x ax =+=-++，由函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，故0x a <<时()()ln ln 0x x a a +-+<，则22100x ax -++≥；x a >时()()ln ln 0x x a a +-+>，则22100x ax -++≤，再根据二次函数图象及性质，即可求出a 的范围，最后取交集得答案. 【详解】由题可知，(0,)x ∈+∞且lnxa成立，则(0,)a ∈+∞ 因为对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()2ln2100x x a x ax a ⎛⎫-+-++≤ ⎪⎝⎭恒成立等价于不等式()()()2ln ln 2100x x a a x ax +-+-++≤⎡⎤⎣⎦恒成立记()()2ln ,210f x x x g x x ax =+=-++，则()f x 在(0,)+∞上单调递增当0x a <<时，()()f x f a <，即()()ln ln 0x x a a +-+<恒成立，则22100x ax -++≥所以()()22010*******g g a a a a a ⎧=≥⎪⎨=-+⋅+=-+≥⎪⎩，得0a <≤当x a =时，不等式显然成立当x a >时，()()f x f a >，即()()ln ln 0x x a a +-+>恒成立，则22100x ax -++≤因为函数()22221021048a a g x x ax x ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭在(,)a +∞上单调递减所以x a >时，()()2100g x g a a <=-+≤，得a ≥因为对任意的(0,)x ∈+∞，该不等式恒成立，故应取交集则a =【点睛】本题考查构造函数研究不等式恒成立并求参数范围问题，还考查了二次函数的图象及性质，属于难题.二、解答题15．设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）实数x 的取值范围是13x <<；（2）实数a 的取值范围是12a ≤≤. 【解析】【详解】（1）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<， 当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.q 为真时302x x -<-等价于()()230x x --<，得23x <<，即q 为真时实数x 的取值范围是23x <<. 若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x <<. （2）p 是q 的必要不充分条件，则BA ；设{}3A x a x a =<<，{}23B x x =<<，则02,33,233a a a a <≤⎧⎪≥⎨⎪==⎩与不同时取等号，可得实数a 的取值范围是12a ≤≤. 16．已知()xxaf x e e =-是奇函数，其中a 为常数. （1）求实数a 的值； （2）求函数222()x x y ee f x λ-=+-在[0,)x ∈+∞上的值域；【答案】（1）1；（2）当0λ<时，值域为[)2,+∞；当0λ≥时，值域为)22,λ⎡-++∞⎣. 【解析】（1）由奇函数(0)0f =构建方程求得答案；（2）由（1）表示所求函数的解析式，并令x t e =进行第一次换元，再配方整理后又令1m t t=-进行第二次换元，进而由二次函数定区间动轴讨论函数的值域得答案.【详解】因为函数()xx a f x e e =-是奇函数且定义域为R ，则(0)01a f e a e =-=⇒= 经检验成立（2）由（1）可知1()xxf x e e =-，则所求函数2212x x xx y e e e e λ-⎛⎫- ⎪⎝=-⎭+ 令,1xt e t =≥，则()222221111=22=2222t t t t t t y t t t t t t λλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎝-⎝⎭--⎭又令1m t t =-，由其在1t ≥上单调递增，所以11101m t t =-≥-= 即22=2m y m λ-+，其对称轴为m λ=当0λ<时，函数22=2m y m λ-+在区间[)0,+∞上单调递增，则min =2y ，即值域为[)2,+∞；当0λ≥时，函数22=2m y m λ-+在区间(],λ-∞上单调递减，在区间(),λ+∞上单调递增，则在对称轴处取得最小值2min 2=222y λλλλ⋅+=-+-，即值域为)22,λ⎡-++∞⎣； 综上所述，函数222()xx y ee f x λ-=+-在[0,)x ∈+∞上的值域当0λ<时，值域为[)2,+∞；当0λ≥时，值域为)22,λ⎡-++∞⎣. 【点睛】本题考查充分利用换元思想整理函数解析式，奇函数的性质，还考查了二次函数的定区间动轴问题，属于难题.17．已知函数()2sin ?cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()2,32f A b c ===，求()cos A B -的值．【答案】（1）0,1⎡+⎢⎣⎦；（2． 【解析】试题分析：（1）由函数形式知，用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；（2）由（1）的解析式可求得角3A π=，由余弦定理可求得边a ，由正弦定理可求得sin B ，利用两角差的余弦公式可得cos()A B -．试题解析：（1）()()2sin cos sin cos f x x x x x x x ==+1sin 2cos 2sin 222232x x x π⎛⎫=++=++⎪⎝⎭由02x π≤≤得，42333x πππ≤+≤，sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭．∴0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为0,1⎡+⎢⎣⎦．（2）由()sin 2322f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴2,33A A πππ+==．在ABC ∆中，由余弦定理2222cos 7a b c bc A =+-=，得a =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 7b A B a ==，∵b a <，∴B A <，∴cos B =∴()1cos cos cos sin sin 272714A B A B A B -=+=⨯+=【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦定理与余弦定理．18．如图，长途车站P 与地铁站O O 出发有两条道路l 1，l 2，经测量，l 1，l 2的夹角为45°，OP 与l 1的夹角θ满足tan θ＝12（其中0＜θ＜2π)，现要经过P 修条直路分别与道路l 1，l 2交汇于A ，B 两点，并在A ，B 处设立公共自行车停放点．（1）已知修建道路PA ，PB 的单位造价分别为2m 元/千米和m 元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A ，B 之间的距离；（2）考虑环境因素，需要对OA ，OB 段道路进行翻修，OA ，OB 段的翻修单价分别为n 元/千米和22元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A ，B 点的位置．【答案】（1）35AB =2）要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 32. 【解析】（1）以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，得到OP 的方程，进而求得点P 的坐标，法一：由题意得2m PA m PB ⋅=⋅,求得B 点的纵坐标为3，进而得到点B 的坐标，即可得到答案．法二：由题意得2m ・P A ＝m ・PB ，求得2BP PA =，根据向量相等，求得点,A B 的坐标，即可求解．（2）法一：由题意，得到造价的表达式()2222S n OA n OB OA OB n =⋅+⋅=+⋅，设2y OA OB =+，得到要使S 最小，只要y 最小，分类讨论，即可求解． 法二：作PM OB 交OB 于M ，交y 轴于点Q ，作PN OB 交OA 于N ，求得OQ ＝1，进而得到总造价()2222S n OA OB n OA OB n =⋅+⋅=+⋅，设22y OA OB =+,要使S 最小，只要y 最小，即可求解． 【详解】以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，因为10,tan 22πθθ<<=，所以1:2OP y x =， 设P （2t,t ）,由5，得t=1，所以P （2,1）法一：由题意得2m PA m PB ⋅=⋅,所以BP=2PA,所以B 点的纵坐标为3， 有因为点B 在直线y x =上，所以B （3,3） 所以3352AB PB ==. 法二：由题意得2m ・PA ＝m ・PB ，所以2BP PA =.设A （a ，0）（a ＞0），又点B 在射线y ＝x （x ＞0）上，所以可设B （b ，b ）（b ＞0），由2BP PA =，得()222,12,b a b ⎧-=-⎨-=-⎩所以233a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以()223335,0,3,3,3322A B AB ⎛⎫⎛⎫=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：A ，B 35千米. （2）法一：设总造价为S ．则()2222S n OA n OB OA OB n =⋅+⋅=+⋅ 设2y OA OB =+,要使S 最小，只要y 最小 当AB x ⊥轴时，A （2，0），这时OA ＝2,22OB =所以222810y OA OB =+=+=.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为()()210y k x k =-+≠， 令y ＝0，得点A 的横坐标为12k -，所以12OA k=-,令x ＝y ，得点B 的横坐标为211k k --， 因为120k ->且2101k k ->-，所以k ＜0或k ＞1, 此时()42112221k y OA OB k k -=+=-+-, ()()()()222221311411k k y k k k k -+--=+=-- , 当k ＜0时，y 在(),1-∞-上递减，在（-1,0）上递增， 所以min 1910k y y =-==<，此时()333,0,,22A B ⎛⎫⎪⎝⎭; 当k ＞1时，()()814141312101010111k k y k k k k k k -++=-+=+-=+>--- 综上所述，要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 位于距点32千米处. 法二：如图，作PM OB 交OB 于M ，交y 轴于点Q作PN OB 交OA 于N ，困为P （2，1），所以OQ ＝1 又因为∠BOQ ＝45°，所以1,2QM OM ==所以1,2PM PN OM ===,由,PMOA PN OB ,21,PA PB AB OA AB==,所以211PA PB OB OA AB AB+=+=, 设总造价为S ，则()2222S n OA OB n OA OB n =⋅+⋅=+⋅, 设2y OA OB =+,要使S 最小，只要y 最小.()2122222529OA OB y OA OB OA OB OB OA OB OA ⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2OA OB =时取等号，此时323,2OA OB ==. 答：要使OA,OB 段道路的翻修总价最少，位于距O 点3千米处，B 位于距O 点32千米处. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，建立函数关系式，根据函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题．19．已知函数()2ln f x ax b x =-+（x ＞0）．（1）若a ＝1，f(x)在（0，＋∞）上是单调增函数，求b 的取值范围； （2）若a≥2，b ＝1，求方程1()f x x=在（0，1]上解的个数． 【答案】（1）2b ≥． （2）当a ≥3时，≥0，∴g (x )＝0在上有惟一解． 当时，<0，∴g (x )＝0在上无解．【解析】解：(1)当a ＝1时， f(x)＝|x －2|＋bln x①当0<x<2时，f(x)＝－x ＋2＋bln x ，f′(x)＝－1＋b x . 由条件得－1＋bx≥0恒成立，即b≥x 恒成立．所以b≥2；②当x≥2时，f(x)＝x －2＋bln x ， f′(x)＝1＋b x. 由条件得1＋bx≥0恒成立，即b≥－x 恒成立． 所以b≥－2.因为函数f(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，综合①②得b 的取值范围是[2，＋∞)． (2)令g(x)＝|ax －2|＋ln x －1x，即当0<x<2a时， g(x)＝－ax ＋2＋ln x －1x， g′(x)＝－a ＋1x ＋21x . 因为0<x<2a ，所以1x >2a，则g′(x)>－a ＋2a ＋24a ＝()24a a -≥0， 即g′(x)>0，所以g(x)在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调增函数； 当x>2a 时，g(x)＝ax －2＋ln x －1x， g′(x)＝a ＋1x ＋21x>0，所以g(x)在2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是单调增函数． 因为函数g(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，所以g(x)在(0，＋∞)上是单调增函数． 因为g 2a ⎛⎫⎪⎝⎭＝ln 2a －2a ， 而a≥2，所以ln 2a ≤0，则g 2a ⎛⎫⎪⎝⎭<0，g(1)＝|a －2|－1＝a －3.①当a≥3时，因为g(1)≥0，所以g(x)＝0在(0,1]上有唯一解，即方程f(x)＝1x解的个数为1；②当2≤a<3时，因为g(1)<0，所以g(x)＝0在(0,1]上无解，即方程f(x)＝1x解的个数为0.20．（本小题满分12分）已知函数()32g x x ax bx =++ (),a b R ∈有极值，且函数()()e xf x x a =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数．（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明：()73M a <-．【答案】（1）243b a a =---， 32a ⎛⎫≠-⎪⎝⎭（2）见解析 【解析】试题分析：（1）先分别求两函数极值点，再根据条件得b 关于a 的函数关系式；最后求自变量取值范围（2）先研究()F x 导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式试题解析：（1）因为()()'xxf x e x a e =++ ()1xx a e =++，令()'0f x =，解得1x a =--．列表如下．所以1x a =--时， ()f x 取得极小值． 因为()2'32g x x ax b =++，由题意可知()'10g a --=，且24120a b ∆=-> 所以()()231210a a a b --+--+=， 化简得243b a a =---，由2412a b ∆=- ()()2412130a a a =+++>，得32a ≠-． 所以243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭．（2）因为()()()F x f x g x =- ()()32xx a e x ax bx =+-++，所以()()()'''F x f x g x =- ()()()213213xx a e x ax a a ⎡⎤=++-+-++⎣⎦()()()1133xx a e x a x a =++-++--()()133xx a e x a =++-++记()33xh x e x a =-++，则()'3xh x e =-，令()'0h x =，解得ln3x =．列表如下．所以ln3x =时， ()h x 取得极小值，也是最小值， 此时， ()ln3ln33ln33h ea =-++ 63ln3a =-+ ()32ln3a =-+23ln 03e a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭． 令()'0F x =，解得1x a =--． 列表如下．所以1x a =--时， ()F x 取得极小值，也是最小值． 所以()()1M a F a =--= ()()()()()3211111a a a ea a ab a ----+---+--+--()()2112a e a a --=--++．令1t a =--，则1t <-，记()()21tm t e t t =--- 32t e t t =-+-， 1t <-，则()2'32tm t e t t =-+-， 1t <-．因为10t e e --<-<， 2325t t ->，所以()'0m t >，所以()m t 单调递增． 所以()1172233m t e -<--<--=-，所以()73M a <-． 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．。
江苏省苏州中学2019-2020学年第一学期(10月月考)高三年级阶段性考试(一)数学试卷
苏州中学2020届高三年级阶段性考试(一)数学I一、填空题（本大题共14小题，每小題5分，共0分，请把答案案直接填写在答题卷相应的位置） 1．已知A ＝{﹣1，0，1，6}，B ＝{x |x ≤0}，则A ∩B ＝2．若复数z 满足i •z ＝1+2i ，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为 ． 3．命题“∀x ＞1，x 2≥3”的否定是 ． 4．“x ＞1”是“x 2＞x ”的 条件．5．若f （2x ）＝3x 2+1，则函数f （x ）的解析式是 ． 6．函数y =√7−6x −x 2的定义域是 7．函数f （x ）=lnxx的单调递增区间是 ． 8．函数y ＝3x 3﹣9x +5在[﹣2，2]的最大值与最小值之差为9．水波的半径以0.5m /s 的速度向外扩张，当半径为25m 时，圆面积的膨胀率是 ．10．设函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0]均有[f （x 1）﹣f （x 2）]．（x 1﹣x 2）≤0，则满足f （x +1）＜f （2x ﹣1）的实数x 的范围是11．已知f(x)={2019x 2，x ≥0ax 2，x ＜0是奇函数且f （3t ﹣a ）+4f （8﹣2t ）≤0，则t 的取值范围是12．若f （x ）＝|x ﹣2018|+2020|x ﹣a |的最小值为1，则a ＝13．若方程3−b 2−2bcosx −2sin 2x =0(x ∈[−π2，π2])有两个不同的实数解，则b 的取值范围是 14．在直角三角形ABC 中，∠A =π2，AB =6，AC =8，过三角形ABC 内切圆圆心O 的直线l 与圆相交于E 、F 两点，则AE →⋅BF →的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．已知函数f （x ）＝x 2+1，g （x ）＝4x +1，的定义域都是集合A ，函数f （x ）和g （x ）的值域分别为S 和T ，①若A ＝[1，2]，求S ∩T②若A ＝[0，m ]且S ＝T ，求实数m 的值③若对于集合A 的任意一个数x 的值都有f （x ）＝g （x ），求集合A ． 16．已知α，β∈（0，π），且tanα＝2，cosβ=−7√210．（1）求cos2α的值；（2）求2α﹣β的值．17．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间t（单位：天）的函数，且销售量近似地满足f(t)={60+t，1≤t≤60150−12t，61≤t≤100（t∈N），价格为g（t）＝200﹣t（1≤t≤100，t∈N）．（1）求该种商品的日销售额h（t）与时间t的函数关系；（2）求t为何值时，日销售额最大．18．已知函数f(x)=|1−1x|，（x＞0）．（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b）时，求证：ab＞1；（Ⅰ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．（Ⅰ）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0），求m的取值范围．19．已知函数f(x)=a3x3−12(a+1)x2+x−13．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x﹣y+b＝0，求实数a，b的值；（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；（3）对一切实数a∈（0，1），求f（x）的极小值的最大值．20．数列{a n}的前n项和为S n，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n＝a m，则称数列{a n}为S数列．（1）S数列的任意一项是否可以写成其某两项的差？请说明理由．（2）①是否存在等差数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．②是否存在正项递增等比数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．一、填空题（本大题共14小题，每小題5分，共0分，请把答案案直接填写在答题卷相应的位置） 1． {﹣1，0}． 2．﹣1．3． ∃x ＞1，x 2＜3． 4．充分不必要． 5．f(x)=34x 2+1． 6． [﹣7，1]． 7．（0，e ）． 8． 12． 9． 25π．10．（﹣∞，0）∪（2，+∞） 11． [2035，+∞） 12． 2017或2019． 13．45＜b ≤2．14． [﹣20，4]．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（1）若A ＝[1，2]，则函数f （x ）＝x 2+1的值域是S ＝[2，5]， g （x ）＝4x +1的值域T ＝[5，9]， ∴S ∩T ＝{5}．（2）若A ＝[0，m ]，则S ＝[1，m 2+1]，T ＝[1，4m +1]， 由S ＝T 得m 2+1＝4m +1，解得m ＝4或m ＝0（舍去）． （3）若对于A 中的每一个x 值，都有f （x ）＝g （x ）， 即x 2+1＝4x +1， ∴x 2＝4x ， 解得x ＝4或x ＝0，∴满足题意的集合是{0]，或{4}或{0，4}．16．（1）cos2α＝cos 2α﹣sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α，因为tanα＝2，所以1−tan 2α1+tan α=1−41+4=−35，所以cos2α=−35．（2）因为α∈（0，π），且tanα＝2，所以α∈(0，π2) 又cos2α=−35，∴2α∈(π2，π)，sin2α=45， 因为β∈（0，π），cosβ=−7√210． 所以sinβ=√210，β∈(π2，π)，所以sin （2α﹣β）＝sin2αcosβ﹣cos2αsinβ =45×(−7√210)−(−35)×√210 =−√22，又2α−β∈(−π2，π2)， ∴2α﹣β=−π4． 17．（1）由题意知，当1≤t ≤60，t ∈N 时，h （t ）＝f （t ）•g （t ）＝（60+t ）•（200﹣t ）＝﹣t 2+140t +12000， 当61≤t ≤100，t ∈N 时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(150−12t)⋅(200−t)=12t 2−250t +30000， 所以，所求函数关系为ℎ(t)={−t 2+140t +12000，(1≤t ≤60，t ∈N)12t 2−250t +30000，(61≤t ≤100，t ∈N)；（2）当1≤t ≤60，t ∈N 时，h （t ）═﹣t 2+140t +12000＝﹣（t ﹣70）2+16900， 所以，函数h （t ）在[1，60]上单调递增，故h （t ）max ＝h （60）＝16800（百元）， 当61≤t ≤100，t ∈N 时，ℎ(t)=12t 2−250t +30000=12(t −250)2−1250，所以，函数h （t ）在[61，100]上单调递减，故h （t ）max ＝h （61）＝16610.5（百元）， 因为16610.5＜16800，所以，当t 为60时，日销售额最大．18．（I ）证明：∵x ＞0，∴f(x)={1−1x ，x ≥11x−1，0＜x ＜1.∴f （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．由0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ），可得 0＜a ＜1＜b 和1a−1=1−1b，即1a+1b=2．∴2ab ＝a +b ＞2√ab ．… 故√ab ＞1，即ab ＞1．…（II ）解：不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a ，b ]， 则a ＞0，f(x)={1−1x ，x ≥11x−1，0＜x ＜1.①当a ，b ∈（0，1）时，f(x)=1x −1在（0，1）上为减函数． 故{f(a)=b f(b)=a.，即{1a −1=b 1b −1=a.，解得a ＝b ．故此时不存在适合条件的实数a ，b ．…（6分）②当a ，b ∈[1，+∞）时，f(x)=1−1x在（1，+∞）上是增函数． 故{f(a)=af(b)=b.，即{1−1a =a 1−1b =b.此时a ，b 是方程x 2﹣x +1＝0的根，此方程无实根． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．…③当a ∈（0，1），b ∈[1，+∞）时，由于1∈[a ，b ]，而f （1）＝0∉[a ，b ]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．…（III ）若存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]． 则a ＞0，m ＞0．①当a ，b ∈（0，1）时，由于f （x ）在（0，1）上是减函数，故{1a −1=mb 1b−1=ma.． 此时刻得a ，b 异号，不符合题意，所以a ，b 不存在．②当a ∈（0，1）或b ∈[1，+∞）时，由（ II ）知0在值域内，值域不可能是[ma ，mb ]，所以a ，b 不存在．故只有a ，b ∈[1，+∞）．∵f(x)=|1−1x |在[1，+∞）上是增函数，∴{f(a)=ma f(b)=mb.，即{1−1a =ma 1−1b=mb.∴a ，b 是方程mx 2﹣x +1＝0的两个根，即关于x 的方程mx 2﹣x +1＝0有两个大于1的实根．… 设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=1m ，x 1•x 2=1m ． ∴{△＞0(x 1−1)+(x 2−1)＞0(x 1−1)(x 2−1)＞0.，即{1−4m ＞01m −2＞0.解得0＜m ＜14．故m 的取值范围是0＜m ＜14．…19．（1）f ′（x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1（a ∈R ），…（1分） 由f ′（2）＝9，得a ＝5．，…（2分） ∴f(x)=53x 3−3x 2+x −13 ∴f （2）＝3，∴（2，3）在直线9x ﹣y +b ＝0上， ∴b ＝﹣15． …（2）①若a ＝0，f(x)=−12x 2+x −13=−12(x −1)2+16，∴f （x ）的单调减区间为（1，+∞）． …（6分） ②若a ＜0，则f′(x)=ax 2−(a +1)x +1=a(x −1a )(x −1)，x ∈R ， 令f ′（x ）＜0，得(x −1a )(x −1)＞0．∴x ＜1a ，或x ＞1． …（9分） ∴f （x ）的单调减区间为(−∞，1a )，（1，+∞）． … （3）f′(x)=a(x −1)(x −1a )，0＜a ＜1， 列表：x （﹣∞，1）1 （1，1a ）1a（1a，+∞）f ′（x ） + 0 ﹣ 0 + f （x ） ↗极大值↘极小值↗…∴f （x ） 的极小值为f(1a )=a3⋅1a 3−12(a +1)1a 2+1a −13=−16⋅1a 2+12⋅1a −13=−16(1a −32)2+124． … 当a =23时，函数f （x ）的极小值f （1a ）取得最大值为124．20．（1）∵数列{a n }是S 数列，∴对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ， ∴n ≥2时，S n−1=a p (p ∈N ⋅)， ∴S n ﹣S n ﹣1＝a m ﹣a p ，即a n ＝a m ﹣a p ， 而n ＝1时，S 2＝a q ，则a 1＝a q ﹣a 2， 故S 数列的任意一项都可以写成其某两项的差；（2）①假设存在等差数列为S 数列，设其首项为a 1，公差为d ，（i ）当d ＝0时，若a 1≠0，则对任意的正整数n ，不可能存在正整数m ，使得S n ＝a m ，即na 1＝a 1； （ii ）当d ＝0且a 1＝0时，显然满足题意； （iii ）当d ≠0时，由S n ＝a m 得，na 1+n(n−1)2d =a 1+(m −1)d ， 故m −1=(n−1)a 1+n(n−1)2d d =(n −1)a 1d +n(n−1)2∈Z ， ∵n(n−1)2∈Z ，n ＝1时显然存在m ＝1满足上式，n ＝2时，a 1d+1≥0，∴a 1d≥−1，a 1d∈Z ，此时(n −1)a 1d +n(n−1)2≥−n +1+n(n−1)2=(n−1)(n−2)2≥0符合题意， 综上，存在a 1＝kd ，k ∈Z ，k ≥﹣1满足题意；（3）假设存在正项递增等比数列为S 数列，则a 1＞0，q ＞0， ∴对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ， ∵S n+1S n=a 1(1−q n+1)1−q 1n 1−q=q n+1−1q −1=q(q n −1)+q−1q −1=q +q−1q −1＜q +q−1q+1q−1=q +q(q −1)=q 2，∴q ＜Sn+1S n＜q 2，即a m q ＜S n+1＜a m q 2，即a m +1＜S n +1＜a m +2，∵S n +1∈{a n }且{a n }单调递增，显然当n ＞log q （q +1）﹣1时，不存在t ∈N •，使得S n +1＝a t ，这与S 数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S数列．。
2019-2020中学高三上学期10月月考数学试题(解析版).docx
2019-2020中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{4,5} D .{1,4}【答案】A【解析】将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合AB 表示元素的范 围计算结果. 【详解】因为阴影部分是：A （C R B ）；又因为x （4—x ）<0,所以x>4或x<0,所以B = {x|x ）4或x<0},所以 C R B = {X |0<X <4},又因为 A = {1,2,3,4,51，所以 A （QB ）= {1,2,3,4}, 故选：A. 【点睛】本题考查根据已知集合计算伽"图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部 分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.3.设a, b 是非零向量，是“a//b”的（）4 3 . A. 1B. —1C.—I —I5 5【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：忖=（¥ +3? = 5,且：乞=4一3几z 4-3/4 3 .据此有：旧-丁十一尹 本题选择D 选项.D.-3. —I52.若集合A = {1,2,3,4,5}傑合B = {x|x （4-x ）<0}侧图中阴影部分表示（）ZA.充分而不必要条件 C.充分必要条件【答案】A 【解析1 a-b =|a|-|Z?|cos^,Z?^ ,由已知得cos(a,b 〉= l,即仏巧=0,加/方.而当 a 〃Q 时,仏方)还可能是兀，此时a-b =-|®|j^|,故“a"=问”| ”是“a//b ”的充分 而不必要条件，故选A. 【考点】充分必要条件、向量共线.4. 设 a = log 4S,b = log 0A 8, c = 204,!S!l ()A.b<c<aB.c<b<aC.c<a<bD.b< a<c【答案】A【解析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小. 【详解】因为 a = log 4 8 = ^-log 2 2 =扌’b = log 04 8 < log 041 = 0, c = 20'4< 20'5 = A /2 < 扌, 所以b<c<a , 故选：A. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般•利用指、对数函数单调 性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：0,1.5. 若直线 lax-by + 2 = 0(a > 0,b > 0)被圆 x 2 + y 2+2x-4_y+ 1 = 0 截得弦长为 4,4 1一则—：的最小值是()a b1 1 A. 9B. 4C.-D.-24【答案】A 【解析】圆x2+ y 2 + 2x-4y + l = 0的标准方程为：(x+1) 2+ (y - 2) 2 =4,它表示以(-1, 2)为圆心、半径等于2的圆； 设弦心距为d,由题意可得22+d 2=4,求得d=0,可得直线经过圆心，故有-2a - 2b+2=0, 即a+b=l,再由a>0, b>0,可得B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件4 14 1I =(Ia ba b4Z? a4 ]当且仅当一=—时取等号，•••一 + 〒的最小值是9. a b a b故选：A.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表 示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.① 一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一 个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.6.函数/(%) = x 2-cos%在-彳冷 的图像大致是()【解析】先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果. 【详解】因为/ (兀)定义域关于原点对称且=- cos (-%) = X 2 - cos % = /(%),所以/(X )是偶函数，排除A 、C ；又因为/,(x) = x (2cosx-xsinx),所以【点睛】 本题考查函数图象的辨别，难度一般•辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊 点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断.7.如图,长方体 ABCD-A.B^D, ^,AA l =AB^2,AD = l,^E,F,G 分别是 D0, AB, CC,的中点，则异面直线与GF 所成角的余弦值是71所以“护对应的切线斜率大于零，所以排除D,)(a+b) =5+ —+ ->5+2 a b=9故选：B.【答案】D 【解析】以DA,DC,DD ［所在直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，可得4疋和GF 的坐标，进而可得cos^EGF,从而可得结论. 【详解】以DA, DC, DD,所在直线为X, % z 轴，建立空间直角坐标系, 则可得 4（l,0,2）,E （0,0,l ）,G （0,2,l ）,F （l,l,0）,设异面直线4E 与GF 所成的角为0,【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种： 一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向 量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位 线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.& 在AABC 中，ZA, ZB, ZC 的对边分别为 a, b, c, cos 2— =,贝U ABC2 2c的形状一定是（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】Byk h + C【解析】在△ ABC 中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos?—=——，转化为2 2c cosA=^-,整理即可判断△ ABC 的形状.sinC【详解】 亠亠 c A b + c在AABC 中，Vcos2—=-------- , 2 2cD.O则 cos 0 = |cos 4E, GF | =-lxl + 0 + （-l ）x （-l ）72x^2=0, 故选D..l + cosA = sinB + sinC=j_ sinB+j_2 2sinC 2 sinC 2sinB an sinB・°・ 1+cosA = 1,艮卩cosA = ----- ,sinC sinCcosAsinC = sinB = sin (A+C) = sinAcosC+cosAsinC,:.sinAcosC=0, *.* sin A#),cosC=0,・・・c为直角.故选：B.【点睛】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用, 属于中档题.9.若函数f(x) = ^x2-2x + alnx有两个不同的极值点，则实数。
2019-2020学年江苏省苏州市工业园区星海中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2019-2020学年江苏省苏州市工业园区星海中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={0,1}，B ={−1,0}，则A ∪B =______．2. 函数f(x)=11−x +lg(x +1)的定义域是______ ．3. “a >1”是“函数f(x)=a ⋅x +cosx 在R 上单调递增”的______ 条件．(空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)4. 在△ABC 中，若a =2，b =2√3，B =π3，则角A 的大小为______． 5. 已知α∈(0,π)，cosα=−45，则tan(α+π4)=______．6. 设S n 是首项不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2a 1等于______ ．7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有______盏灯． 8. 在曲线y =x 3−3x +1的所有切线中，斜率最小的切线的方程为______． 9. 若函数f(x)={−x +6,x ≤23+log a x,x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4,+∞)，则实数a 的取值范围是______．10. 如图，平面四边形ABCD 中，若AC =√5，BD =2，则(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=______．11. 设f (x)是定义在R 上的可导函数，且满足f (x)+xf′(x)>0，则不等式f(√x +1)>√x −1f(√x 2−1)的解集为_______________．12. 若正数a ，b 满足2a +b =1，则4a 2+b 2+√ab 的最大值为______．13. 已知函数f(x)={e x −|x −a|,x ≥−1x 2−2ax +2,x <−1(e 是自然对数的底数)恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．14.已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足cosAsinA1=cosBsinB1=cosCsinC1=1，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形，若等腰△ABC存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为______．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2Cc =sinBb．(1)求角C；(2)若sin(B−π3)=35，求cos A的值．16.已知函数f(x)=2cosωx2(√3cosωx2−sinωxx)(ω>0)的最小正周期为2π．(1)求函数f(x)的表达式；(2)设θ∈(0,π2)，且f(θ)=√3+65，求cosθ的值．17.设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1−2n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差数列．(1)求a1，a2的值；(2)求证：{a n+2n}是等比数列．并求数列{a n}的通项公式．18.如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60°(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC=4√3km.D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD=x(km)，点D对跑道AB的视角为θ．(1)将tanθ表示为x的函数；(2)求点D的位置，使θ取得最大值．19.已知数列{a n}中，a1=1，a2=a，且a n+1=k(a n+a n+2)对任意正整数n都成立，数列{a n}的前n项和为S n．(1)若k=1，且S2019=2019，求a；2(2)是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由；(3)若k=−1，求S n．220. 已知函数f(x)=1x +alnx ，a ∈R ．(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)当x ∈[1,2]时，f(x)的最小值是0，求实数a 的值；(3)试问过点P(0,2)可作多少条直线与曲线y =f(x)相切？并说明理由．21. 已知，点A 在变换T ：[x y ]→[x′y′]=[x +2y y ]作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点、B.若点B 的坐标为(−3,4)，求点A 的坐标．22. 求曲线C 1：{x =2t 2+1y =2t t 2+1被直线l ：y =x −12所截得的线段长．23. 如图，在四棱锥O −ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC =45°，OA ⊥底面ABCD ，OA =2，M 为OA 的中点．(1)求异面直线AB 与MD 所成角的大小；(2)求平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值．24. 设数列{t n }满足0<t 1<1，t n+1=t n −sint n ．(1)求证：0<t n+1<t n <1； (2)若t 1=12，求证：t n ≤122n−1．答案和解析1.【答案】{−1,0，1}【解析】解：∵集合A={0,1}，B={−1,0}，∴A∪B={0,1，−1}，故答案为：{0,1，−1}．利用集合的并集运算求解．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.【答案】{x|x>−1且x≠1}【解析】解：∵x+1>0，且1−x≠0，∴x>−1且x≠1，故答案为：{x|x>−1且x≠1}．欲求此函数的定义域，可由x+1>0，且1−x≠0，解出x的取值范围，最终得出答案．本题考查的是求定义域时要注意对数函数的真数大于0，并且分母不能是0的问题．3.【答案】充分不必要条件【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题．由条件利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断，可得结论．【解答】解：由“a>1”，可得f′(x)=a−sinx>0，故“函数f(x)=a⋅x+cosx在R上单调递增”，故充分性成立．由“函数f(x)=a⋅x+cosx在R上单调递增”，可得f′(x)=a−sinx≥0，从而a≥1，不能得到“a>1”，故必要性不成立，4.【答案】π6【解析】解：若a=2，b=2√3，B=π3，由正弦定理可得sinA=asinBb =2×sinπ32√3=12，可得内角A=π6或5π6，由A=π6，B=π3，可得C=π−π6−π3=π2；由A=5π6，B=π3，A+B=7π6>π，故A≠5π6，所以A=π6．故答案为：π6．由三角形的正弦定理和内角和定理，计算可得所求角．本题考查正弦定理的运用，以及特殊角的三角函数值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】17【解析】解：∵cosα=−45，α∈(0,π)，∴sinα=35，∴tanα=sinαcosα=−34，则tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=1−341+34=17．故答案为：17由cosα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入即可求出值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，学生在求值时注意角度的范围．6.【答案】1或3【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22=S 1⋅S 4，∴(2a 1+d)2=a 1(4a 1+4×32d)，d ≠0．化为：d 2=2a 1d ，解得d =0，或d =2a 1． 则a 2a 1=1或3． 故答案为：1或3．设等差数列{a n }的公差为d ，由S 1，S 2，S 4成等比数列，可得S 22=S 1⋅S 4，代入化简即可得出．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】3【解析】解：由题意得各层挂的灯的数量a n 构成公比为2的等比数列， 则S 7=381， ∴S 7=a 1(1−27)1−2=381，解得a 1=3． 故答案为：3．由题意得各层挂的灯的数量a n 构成公比为2的等比数列，利用等比数列的性质能求出结果．本题考查等比数列的应用，考查等比数列的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】y =−3x +1【解析】解：∵y =x 3−3x +1，∴y ′=3x 2−3≥−3，∴当x =0是，切线的斜率最小值且为−3，当x =0时，y =1，∴切点为(0,1)，故答案为y =−3x +1．先对y =x 3−3x +1求导得y ′=3x 2−3，根据二次函数的单调性求出当x =0时其最小值为−3，据此求出切点，进而写出斜率最小时的切线方程．本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，熟练求导及根据二次函数的单调性求最小值是解决问题的关键．9.【答案】(1,2]【解析】 【分析】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．当x ≤2时，检验满足f(x)≥4.当x >2时，分类讨论a 的范围，依据函数的单调性，求得a 的范围，综合可得结论． 【解答】解：∵函数f(x)={−x +6,x ≤23+log a x,x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4,+∞)， 故当x ≤2时，满足f(x)=6−x ≥4． 当x >2时，f(x)=3+log a x①若a >1，f(x)=3+log a x 在它的定义域上单调递增，当x >2时，由f(x)=3+log a x ≥4，得log a x ≥1，∴log a 2≥1，∴1<a ≤2． ②若0<a <1，f(x)=3+log a x 在它的定义域上单调递减， f(x)=3+log a x <3+log a 2<3，不满足f(x)的值域是[4,+∞)． 综上可得，1<a ≤2， 故答案为：(1,2]．10.【答案】1【解析】解：(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2∵AC =√5，BD =2， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1 ∴(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1先利用向量的加减法运算，化简向量，再利用数量积公式，即可求得结论． 本题考查向量的线性运算及数量积运算，化简向量是解题的关键，属于中档题．11.【答案】{x|1≤x <2}【解析】解：∵f(x)+xf′(x)>0，∴(x ⋅f(x))′>0，故函数y =x ⋅f(x)在R 上是增函数． ∴由不等式f(√x +1)>√x −1f(√x 2−1)，可得 √x +1⋅f(√x +1)>√x +1⋅√x −1⋅f(√x 2−1 )， 即√x +1⋅f(√x +1)>√x 2−1⋅f(√x 2−1)，∴√x +1>√x 2−1，即{x +1⩾0x 2−1⩾0x +1>x 2−1，解得1≤x <2， 故答案为：{x|1≤x <2}．由题意可得 (x ⋅f(x))′>0，故函数y =x ⋅f(x)在R 上是增函数，不等式即√x +1f(√x +1)>√x +1√x −1f(√x 2−1)，故有√x +1>√x 2−1，由此求得解集． 本题以积的导数为载体，考查函数的单调性，关键是条件的等价转化，属于基础题．12.【答案】1716【解析】解：∵2a +b =1，a >0，b >0 令t =√2ab ，则由基本不等式可得，√2ab ≤2a+b 2=12即t ∈(0,12] 则4a 2+b 2+√ab =(2a +b)2−4ab +√ab =1−4ab +√ab =1−2[(2a)b]√2a⋅b√2=1−2t 2+√2=−2(t −√28)2+1716结合二次函数的性质可得，当t =√28取得等号故答案为：1716由2a +b =1，a >0，b >0，利用基本不等式可求√2a ⋅b 的范围，令t =√2ab ，从而用13.【答案】[−32,−1−1e)【解析】解：当a=0时，x<−1时，f(x)=2+x2>0，而f(x)=e x−|x|，最多两个零点，即有f(x)不可能有三个零点；当a>0时，x<−1时，f(x)=2−a2+(x−a)2递减，且f(x)>f(−1)=3+2a>0，而f(x)=e x−|x|，最多两个零点，即有f(x)不可能有三个零点；当a<0时，x<−1时，由于f(x)的对称轴为x=a，可得顶点为(a,2−a2)，若2−a2>0，不满足题意；若2−a2<0，3+2a≥0，1e −|−1−a|<0，解得−32≤a<−1−1e，满足f(x)恰有三个零点；若2−a2=0，3+2a>0，1e−|−1−a|≥0，解得a∈⌀，不满足题意；综上可得a的范围是[−32,−1−1e).故答案为：[−32,−1−1e).讨论a=0，a>0，x<−1时f(x)无零点，不满足题意；考虑a<0，x<−1时的顶点坐标，结合图象，即可得到所求范围．本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用数形结合思想和分类讨论思想方法，属于中档题．14.【答案】3π8【解析】解：由题意可得等腰△ABC的三个内角A、B、C均为锐角，且cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1，设B=α=C，则A=π−2α．由于△A1B1C1中，A1、B1、C1不会全是锐角，否则，有A+A1=π2，B+B1=π2，C+C1=π2，与三角形内角和矛盾．故A 1、B1、C1必有一个钝角，只能是顶角A1为钝角，C1和B1均为锐角．故有B1=π2−α，C1=π2−α，∴A1=2α．再根据cosA=sinA1，可得cos(π−2α)=sin2α，即sin2α+cos2α=0，即tan2α=−1，再根据2α∈(0,π)可得2α=3π4，∴α=3π8，故答案为：3π8．由题意可得cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1，设B=α=C，则A=π−2α，求得A1=2α，可得tan2α=−1，再根据2α∈(0,π)可得2α的值，从而求得α的值．本题主要考查新定义，诱导公式的应用，属于中档题．15.【答案】解：(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2Cc =sinBb．则2sinCcosCc =sinBb，整理得：2sinCcosCsinC =sinBsinB，故：cosC=12，由于0<C<π，所以：C=π3．(2)由于C=π3，所以：0<B<2π3，故：−π3<B−π3<π3，由于：sin(B−π3)=35，所以：cos(B−π3)>0，解得：cos(B−π3)=√1−sin2(B−π3)=45．所以：cosA=cos(2π3−B)=cos[(B−π3)−π3]，=12cos(B−π3)+√32sin(B−π3)，=12⋅45+√32⋅35， =4+3√310．【解析】(1)直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果． (2)利用(1)的结论和三角函数关系式中角的变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】解：(1)f(x)=2cosωx 2(√3cosωx 2−sinωx x)=2√3cos 2ωx 2−2sinωx 2cosωx 2=√3(1+cosωx)−sinωx =√3+√3cosωx −sinωx =√3−2sin(ωx −π3)．∵f(x)的最小正周期为2π，∴ω=1， ∴f(x)=√3−2sin(x −π3)；(2)f(θ)=√3−2sin(θ−π3)=√3+65， ∴sin(θ−π3)=−35，∵θ∈(0,π2)，∴θ−π3∈(−π3,π6)， 则cos(θ−π3)=45．则cosθ=cos[(θ−π3)+π3]=cos(θ−π3)cos π3−sin(θ−π3)sin π3 =45×12−(−35)×√32=4+3√310．【解析】(1)把已知的函数解析式变形，结合其最小正周期求出ω，则函数解析式可求； (2)把f(θ)=√3+65代入函数解析式求得sin(θ−π3)=−35，结合θ的范围得到cos(θ−π3)，再由cosθ=cos[(θ−π3)+π3]展开两角和的余弦得答案．本题考查正弦函数的图象和性质，考查了三角恒等变换中的应用，是基础的计算题．17.【答案】(1)解：∵数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =a n+1−2n+1+1，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列，∴a 1+a 3=2(a 2+5)，①， 当n =1时，2a 1=a 2−3，② 当n =2时，2(a 1+a 2)=a 3−7，③∴联立①②③解得，a 1=1，a 2=5，a 3=19．(2)证明：由2S n =a n+1−2n+1+1，①得2S n−1=a n −2n +1，(n ≥2)，②， 两式相减得2a n =a n+1−a n −2n (n ≥2)，a n+1+2n+1a n +2n=3a n +2n +2n+1a n +2n=3(n ≥2)．∵a 2+22a 1+2=3，∴{a n +2n }是首项为3，公比为3的等比数列．∴a n+1+2n+1=3(a n +2n )，又a 1=1，a 1+21=3， ∴a n +2n =3n ，即a n =3n −2n ．【解析】(1)由已知得a 1+a 3=2(a 2+5)，2a 1=a 2−3，2(a 1+a 2)=a 3−7，由此能求出a 1，a 2的值．(2)由2S n =a n+1−2n+1+1，得2S n−1=a n −2n +1，(n ≥2)，两式相减整理得{a n +2n }是首项为3，公比为3的等比数列．由此能求出a n =3n −2n ．本题考查数列中前两项的求法，考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．18.【答案】解：(Ⅰ)过A 分别作直线CD ，BC 的垂线，垂足分别为E ，F.由题可知，AB =4.5，BC =4√3，∠ABF =90°−60°=30°，所以CE =AF =4.5×sin30°=94，BF =4.5×cos30°=94√3，AE =CF =BC +BF =254√3．因为CD =x(x >0).所以tan∠BDC =BCCD=4√3x． 当x >94时，ED =x −94，tan∠ADC =AEED=25√34x−94=25√34x−9(如图1)．当0<x <94时，ED =94−x ，tan∠ADC =−AE ED =25√34x−9(如图2)．所以tanθ=tan∠ADB =tan(∠ADC −∠BDC)=tan∠ADC −tan∠BDC 1+tan∠ADC ⋅tan∠BDC=25√34x −9−4√3x 1+25√34x −9⋅ 4√3x=9√3(x+4)x(4x−9)+300，其中x >0且x ≠94．当x =94时，tanθ=CE BC=9√348，符合上式．所以tanθ=9√3(x+4)x(4x−9)+300.x >0图1图2(Ⅱ)tanθ=9√3(x+4)x(4x−9)+300 =9√34(x+4)+400x+4−41，x >0．因为4(x +4)+400x+4−41≥2√4(x +4)⋅400x+4−41=39，当且仅当4(x +4)=400x+4，即x =6时取等号．所以当x =6时，4(x +4)+400x+4−41取最小值39． 所以当x =6时，tanθ取最大值3√313．由于y =tanx 在区间(0,π2)上是增函数，所以当x =6时，θ取得最大值．答：在海湾一侧的海岸线CT 上距C 点6km 处的D 点处观看飞机跑道的视角最大．【解析】(Ⅰ)过A 分别作直线CD ，BC 的垂线，求出AE ，在直角三角形中，设CD =x ，利用三角函数tan∠BCD ，讨论x 的取值范围得到tan∠ADC 有两种情况求得结果一样，而tanθ等于tan∠ADC −tan∠BDC ，利用正切公式tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ求出其值即可． (Ⅱ)根据a +b ≥2√ab 当且仅当a =b 时取等号的方法，求出tanθ的最大值，根据正切函数是单调增函数得到x 的值表示出D 的位置即可． 考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．19.【答案】解：(1)k =12，a n+1=12(a n +a n+2)，∴数列{a n }为等差数列，∵a 1=1，a 2=a ，∴公差d =a −1， ∴S 2019=2019=2019+2019×20182×(a −1)，解得a =1；(2)设数列{a n }是公比不为1的等比数列，则它的公比q =a2a 1=a ，∴a m =a m−1，a m+1=a m ，a m+2=a m+1，任意相邻三项a m ，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列，①a n+1为等差中项，则2a m+1=a m +a m+2． 即a m−1+a m+1=2a m ，解得a =1，不合题意； ②a m 为等差中项，则2a m =a m+1+a m+2，即2a m−1=a m+1+a m ，化简a 2+a −2=0，解得a =−2或a =1(舍去)； ③若a m+2为等差中项，则2a m+2=a m+1+a m ，即2a m+1=a m +a m−1，化简得：2a 2−a −1=0，解得a =−12； ∴k =a m+1am +a m+2=a ma m−1+a m+1=a 1+a 2=−25．综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个−25； (3)k =−12，则a n+1=−12(a n +a n+2)，∴a n+2+a n+1=−(a n+1+a n )，a n+3+a n+2=−(a n+2+a n+1)=a n+1+a n ， 当n 是偶数时，S n =a 1+a 2+⋯+a n =(a 1+a 2)+⋯+(a n−1+a n )=n2(a 1+a 2)=n 2(a +1)．当n 是奇数时，S n =a 1+(a 2+a 3)+⋯+(a n−1+a n ) =1+n−12(a 2+a 3)=1+n−12[−(a 1+a 2)]=1−n−12(a +1)(n ≥1)，n =1也适合上式，综上可得，S n ={1−n−12(a +1),n 为奇数n 2(a +1),n 为偶数．【解析】(1)由题意求得首项为1，公差d =a −1，结合等差数列前n 项和公式列方程可得a ；(2)假设存在满足题意的实数k ，分类讨论可得k ；(3)k =−12，a n+1=−12(a n +a n+2)，a n+2+a n+1=−(a n+1+a n )，a n+3+a n+2=−(a n+2+a n+1)=a n+1+a n ，结合题意分类讨论，然后分组求和可得S n ．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】解：(1)f(x)=1x +alnx 的导数为f′(x)=−1x 2+a x =ax−1x 2，a ≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立， 则f(x)的单调递减区间(0,+∞)，a >0时，令ax −1<0则x <1a ，即0<x <1a 时，f′(x)<0， 则f(x)的单调递减区间(0,1a )；(2)①a ≤12，f(x)在[1,2]上单调递减，即f(x)min =f(2)=12+aln2=0 解得a =−12ln2≤12，适合题意；②a ≥1，f(x)在[1,2]上单调递增，可得f(x)min =f(1)=1≠0，无解； ③12<a <1，f(x)在[1,1a ]上单调递减，[1a ,2]上单调递增， 可得f(x)min =f(1a )=a +aln 1a =0，解得a =e ，舍去； 综上可得，a =−12ln2．(3)a ≤0时，有1条切线；a >0时，有2条切线． 设切点坐标是(x 0,f(x 0))，依题意：f(x 0)−2x 0−0=ax 0−1x 02，即1x 0+alnx 0−2=a −1x 0，化简得：2x 0+alnx 0−2−a =0，设F(x)=2x +alnx −2−a ，x >0，故函数F(x)在(0,+∞)上零点个数，即是曲线切线的条数． F′(x)=−2x 2+ax =ax−2x 2，①当a =0时，F(x)=2x −2，在(0,+∞)上恰有一个零点1； ③当a <0时，F′(x)=ax−2x 2<0在(0,+∞)上恒成立，F(x)在(0,+∞)上单调递减，且F(1)=−a >0，F(e)=2e −2<0， 故F (x)在(1,e)上有且只有一个零点， 当a <0时，F(x)在(0,+∞)上恰有一个零点； ③a >0时，F(x)在(0,2a )上递减，在(2a ,+∞)上递增，故F (x)在(0,+∞)上至多有两个零点，且F(1)=2−2−a =−a <0， 又函数y =lnx 在(1,+∞)单调递增，且值域是(0,+∞)， 故对任意实数a ，必存在x 0∈(1,+∞)，使lnx 0>a+2a，此时F(x 0)=2x 0+alnx 0−2−a =2x 0+a(lnx 0−2+a a)>0，由于2+a a>1，即函数F(x)在(1,x 0)上必有一零点；F(e −(1+a+1a ))=2e 1+a+1a −a(1+a +1a )−2−a =2e 1+a+1a −(a 2+2a +3)， 先证明当a >0时，e 1+a+1a ≥(a +2)2，即证1+a +1a ≥2ln(a +2)， 若0<a <2，1+a +1a ≥3，而2ln(a +2)≤2ln4，由于2ln4=ln16<3， 若a ≥2，构建函数φ(x)=1+x +1x −2ln(x +2)， φ′(x)=1−1x 2−2x+2=x(x 2−1)−2x 2(x+2)>0，φ(x)在[2,+∞)为增函数，φ(a)≥φ(2)=3+12−2ln4>0， 综上a >0时，e 1+a+1a ≥(a +2)2，所以2e 1+a+1a ≥2(a +2)2=a 2+2a +3+(a 2+6a +5)>a 2+2a +3， 故F (e −(1+a+1a ))>0，又F(1)<0，e −(1+a+1a )<1，所以在(e −(1+a+1a ),1)必有一零点． 则当a >0时，F(x)在(0,+∞)上有两个零点综上：a ≤0时，有1条切线；a >0时，有2条切线．【解析】(1)求出f(x)的导数，讨论a ≤0时，a >0时，令导数小于0，可得减区间； (2)讨论①a ≤12，②a ≥1，③12<a <1，结合单调性，可得最小值，解方程可得a ； (3)a ≤0时，有1条切线；a >0时，有2条切线．设切点坐标是(x 0,f(x 0))，运用两点的斜率公式和导数的几何意义，设F(x)=2x +alnx −2−a ，x >0，故函数F(x)在(0,+∞)上零点个数，即是曲线切线的条数．求得F(x)的导数，对a 讨论，运用函数的单调性和零点存在定理，即可得到结论．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数的零点的求法，注意运用转化思想和构造函数法，运用函数零点存在定理，考查化简整理的运算能力，属于难题．21.【答案】解：根据题意知，在变换T ：[xy ]→[x′y′]=[x +2yy]作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为： [0−110][1201]=[0−112]， 设A(a,b)，则由[0−112][a b ]=[−3 4 ]，得{−b =−3a +2b =4， ∴{a =−2b =3，即A(−2,3)．【解析】先根据旋转变换写出旋转变换矩阵[0−110]，从而得出在变换T ：[x y ]→[x′y′]=[x +2yy ]作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵．再设A(a,b)，求A 点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即可求得所求点A 的坐标．本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，矩阵变换是附加题中常考的，属于基础题．22.【答案】解：由曲线C 1：{x =2t 2+1y =2t t 2+1可得t =y x ，∴x =2(y x )2+1，化简可得(x −1)2+y 2=1，其中，x ≠0，y ≠0，表示以(1,0)为圆心，以r =1为半径的圆的一部分(去掉和坐标轴的交点)． 圆心到直线y =x −12的距离为d =|1−0−12|√2=√24， 故圆被直线解得的弦长为2√r 2−d 2=√142．【解析】把曲线的参数方程化为普通方程可得曲线表示以(1,0)为圆心，以r =1为半径的圆的一部分．求出圆心到直线y =x −12的距离d ，再由圆被直线解得的弦长为2√r 2−d 2，计算求得结果．本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．23.【答案】解：作AP ⊥CD 于点P ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系， 则A(0,0，0)，B(1,0，0)，O(0,0，2)，M(0,0，1)，P(0,√22,0)， O(0,0，2)，M(0,0，1)，D(−√22,√22,0)．(Ⅰ)设AB 与MD 所成的角为θ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,−1)． ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√221×√12+12+1=−12，∴AB 与MD 所成角的大小为π3．(Ⅱ)∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,−2)，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,−2)， ∴设平面OCD 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{√22y −2z =0−√22x +√22y −2z =0，取n⃗ =(0,4，√2). 易知平面OAB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1，0)． cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√18=2√23． 由图形知，平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值为2√23．【解析】(Ⅰ)作AP ⊥CD 于点P ，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系，利用向量的夹角公式求出所求即可；(Ⅱ)先求平面OCD 的法向量与平面OAB 的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求出平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值．本题考查了空间位置关系与空间角、菱形与直角三角形的性质、勾股定理、法向量的应用、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.【答案】解：(1)证法一：设f(x)=x −sinx(0<x <1)，所以f′(x)=1−cosx >0，所以f(x)在(0,1)上是单调增函数． 因为t n+1=t n −sin t n ，0<t 1<1，所以t 2=t 1−sin t 1>f(0)=0， 又因为t 2−t 1=−sin t 1<0，所以t 2<t 1， 所以0<t 2<t 1<1． 下用数学归纳法证明：①当n =1时，0<t 2<t 1<1，命题成立．②假设当n =k(k ∈N ∗)时，命题成立，即0<t k+1<t k <1．因为f(x)在(0,1)上是单调增函数，所以f(0)<f(t k+1)<f(t k )<f(1)，所以0<t k+2<t k+1<1−sin1<1，即0<t k+2<t k+1<1，这就是说，当n =k +1时，命题也成立．综上所述，对n ∈N ∗时，0<t n+1<t n <1．证法二：先证明0<t n+1<t n <1．①当n =1时，0<t 1<1，命题成立．②假设当n =k(k ∈N ∗)时，命题成立，即0<t k <1．则当n =k +1时，t k+1=t k −sin t k ，设f(x)=x −sinx(0<x <1)，所以f′(x)=1−cosx >0，所以f(x)在(0,1)上是单调增函数． 因为0<t k <1，所以f(0)<f(t k )<f(1)，所以0<t k+1<1−sin1<1，即0<t k+1<1，这就是说，当n =k +1时，命题也成立．综上所述，对n ∈N ∗时，0<t n <1．因为t n+1=t n −sin t n ，0<t 1<1，所以t n+1−t n =−sin t n <0，即t n+1<t n ，所以，对n ∈N ∗时，0<t n+1<t n <1．(2)令g(x)=x −sinx −x22(0<x <1)，则g′(x)=1−cosx −x ，记φ(x)=g′(x)=1−cosx −x ，则φ′(x)=sinx −1<0(0<x <1)， 所以φ(x)在(0,1)上是单调减函数，即g′(x)在(0,1)上是单调减函数， 所以g′(x)<g′(0)=0，所以g(x)在(0,1)上是单调减函数，因为0<x <1，所以g(x)<g(0)=0，由于0<t n <1，所以g(t n )<0，即t n −sint n −tn22<0， 所以t n+1<tn22，所以tn+1tn <tn 2，又因为t n <t n−1<⋯<t 2<t 1，故n ≥2时，t n =t 1⋅t 2t 1⋅t 3t 2⋅…t n t n−1<t 1⋅t 12⋅t 22⋅…t n−12<t 1⋅t 12⋅t 12⋅…t 12═t 1n 2n−1=122n−1，因为t 1=12，所以t n ≤122n−1．【解析】(1)证法一：构造新函数f(x)=x −sinx(0<x <1)，利用导数得到单调区间，再用数学归纳法证明；(证法二)：先证明0<t n+1<t n<1.①当n=1时，0<t1<1，命题成立．②假设当n=k(k∈N∗)时，命题成立，即0<t k<1．(0<x<1)，利用导数及不等式进行缩放即可．(2)令g(x)=x−sinx−x22本题考查数列与函数的综合运用，构造新函数是关键，属于难题．。