高考专题概率与统计

概率与统计本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·安徽高考)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( )A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}【解析】∵A＝(－1，＋∞)，B＝{－2，－1,0,1}，∴∁R A＝(－∞，－1]，故(∁RA)∩B＝{－2，－1}．【答案】 A2．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【解析】 不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样． 【答案】 C3．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【解析】 T r ＋1＝C rn(3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r xn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B4．如图1所示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )图1A.25 B.710 C.45D.910【解析】 设被污损的数字为a (0≤a ≤9且a ∈N )，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92＞83＋83＋87＋99＋90＋a ，解得8＞a ，即得0≤a≤7且a∈N，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P＝810＝45，故应选C.【答案】 C5．(2013·山东高考)执行两次如图2所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次，第二次输出的a的值分别为( )图2A．0.2,0.2 B．0.2,0.8C．0.8,0.2 D．0.8,0.8【解析】第一次a＝－1.2时，输出a＝0.8.第二次a＝1.2时，输出a＝0.2.【答案】 C6．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图3所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )图3【解析】 由于频率分布直方图的组距为5，去掉C 、D ，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B ，应选A.【答案】 A7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 【解析】 X 的可能取值为1,2,3，∵P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2， ∴E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，由E (X )＞1.75，即p 2－3p ＋3＞1.75，得p ＜12或p ＞52(舍)，∴0＜p ＜12.【答案】 C8．(2013·安徽高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )A．3 B．4C．5 D．6【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b；由已知x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的不同两根，当f(x1)＝x1＜x2时，作y＝x1，y＝x2与f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个不同交点．即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同实根．【答案】 A第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上)9．(2013·广东高考改编)若i(x＋y i)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋y i的模是________．【解析】由题意知x＋y i＝3＋4ii＝4－3i.∴|x＋y i|＝|4－3i|＝5.【答案】 510．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________种．【解析】第一步先排甲，共有A14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A5 5种不同的排法，因此不同的演讲次序共有A14·A55＝480(种)．【答案】48011．(2013·东北四市联考)已知x，y取值如下表：从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且y＝0.95x＋a，则a＝________.【解析】∵x＝4，y＝5.25，因线性回归方程通过样本点中心(x，y)，故有5.25＝0.95×4＋a，∴a＝1.45.【答案】 1.4512．(2013·湖北高考)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图4所示．图4(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．【解析】(1)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1，可求出x的值；(2)求出月用电量落在[100,250)内的频率，即可求得月用电量在[100,250)内的户数．(1)由于(0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)×50＝1，解得x＝0.0044.(2)数据落在[100,250)内的频率是(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，所以月用电量在[100,250)内的户数为100×0.7＝70. 【答案】 (1)0.0044 (2)7013．二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)【解析】 (x ＋y )5展开式的通项是T r ＋1＝C r 5x 5－r y r， 令r ＝3得T 4＝C 35x 2y 3＝10x 2y 3，∴二项式(x ＋y )5展开式中含x 2y 3项的系数是10. 【答案】 1014．(2013·东城模拟)已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y )，其中x 随机选自集合{－1,1,3}，y 随机选自集合{1,3}，那么a ⊥b 的概率是________．【解析】 依题意，所有(x ，y )的结果为C 13C 12＝6种．若a ⊥b ，则a ·b ＝0，即3x －y ＝0，而满足a ⊥b 的结果只有(1,3)．由古典概型概率计算公式得P ＝16.【答案】1615．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)【解析】 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(4－x 2－2)2＋(4－x 1－2)2 ＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2] ＝1，∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2.同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3.【答案】1,1,3,3三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00－22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：(1)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)根据以上数据，我们能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“在20：00－22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：【解】段以看书为休闲方式的概率为P＝5 6 .根据题意可得X～B(3，56 )，∴P(X＝k)＝C k3(16)3－k(56)k，k＝0,1,2,3.∴E(X)＝np＝3×56＝52.(2)提出假设H0：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的2×2列联表得K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝80×(10×10－10×50)260×20×20×60＝809≈8.889>6.635.因为当H0成立时，K2≥6.635的概率约为0.01，所以我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为“在20：00－22：00时间段性别与休闲方式有关”．17．(本小题满分12分)(2013·北京高考)如图5是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)图5【解】(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为6 13 .(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为4 13 .(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．18．(本小题满分12分)为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．【解】(1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图：(2)因为x甲＝x乙＝8.5，又s2甲＝0.27，s2乙＝0.405，得s2甲＜s2乙，相对来讲，甲的成绩更加稳定，所以选派甲合适．(3)依题意得，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0,1,2,3，则ξ～B(3，12 )．所以P(ξ＝k)＝C k3(12)3－k(1－12)k＝C k3(12)3，k＝0,1,2,3.所以ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×18＋1×8＋2×8＋3×8＝2.图619．(本小题满分13分)如图6所示，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝12，斜率为2的直线l过点A(2,3)．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．【解】(1)设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由题意e＝ca＝12，4a2＋9b2＝1，又∵c2＝a2－b2，解得：c＝2，a＝4，b＝23，∴椭圆E的方程为x216＋y212＝1.(2)假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点P、Q，令P(x1，y1)、Q(x2，y2)，且PQ的中点为R(x0，y0)．∵PQ⊥l，∴k PQ＝y2－y1x2－x1＝－12，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1，① ②两式相减得：x 22－x 2116＋y 22－y 2112＝0.∴x 2＋x 1y 2＋y 1＝－16(y 2－y 1)12(x 2－x 1)＝－1612×(－12)＝23， 即x 0y 0＝23，③ 又∵R (x 0，y 0)在直线l 上， ∴y 0＝2x 0－1，④由③④解得：x 0＝2，y 0＝3，所以点R 与点A 是同一点，这与假设矛盾， 故椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点．20．(本小题满分13分)(2013·福州调研)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．【解】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得E(X1)＝1×125＋2×50＋3×10＝50＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．21．(本小题满分13分)(2013·四川高考)某算法的程序框图如图7所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．图7(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)当n ＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．【解】 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13； 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C03×⎝⎛⎭⎪⎫130×⎝⎛⎭⎪⎫233＝827，P(ξ＝1)＝C13×⎝⎛⎭⎪⎫131×⎝⎛⎭⎪⎫232＝49，P(ξ＝2)＝C23×⎝⎛⎭⎪⎫132×⎝⎛⎭⎪⎫231＝29，P(ξ＝3)＝C33×⎝⎛⎭⎪⎫133×⎝⎛⎭⎪⎫230＝127.故ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×827＋1×9＋2×9＋3×27＝1.即ξ的数学期望为1.。