高中数学不等式经典练习题1(含答案)

高中数学 不等式 经典练习题

【编著】黄勇权

一、选择题

1、若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）

A 、a 2+1≥ a

B 、a 2+4＞4a

C 、 1a ＞1

D 、2a ＞2a-1

2、已知x ＞y ＞0，若x+y=1，则下列数中最大的是（ ） A 、12 B 、 x+y 2 C 、2xy D x 2+y 2

3、a ∈R ，b ∈R ，若a 2+b 2=1，则a+b （ ） A 、 有最小值 - 2 B 、有最小值-1 C 、 有最小值 2 D 、有最小值1

4、a ，b 为任意实数，若a ＞b ，则有（ ）

A 、 a 2＞b 2

B 、（a-1 ）2＞（b-1）2

C 、丨a-1丨＞ 丨b-1丨

D 、2a-1＞2b-1

5、实数a ，b ＞0，则

b

a b

a ++的最大值是 。 A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 2

6、已知 x ＞0，y ＞0，z ＞0，若 x+y+z= 3，则 xy+xz+yz 的最大值是 。

A 、3、

B 、 3

C 、 2

D 、 1

7、已知a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，以下不等式成立的是（ ）

A 、 ac ＞bc

B 、 a 3＞b 3

C 、 1b 11a 1++＞

D 、22b

1

a 1＞

8、实数a ≥1，b ≥0，若3a 2+6a+2b 2=3，则（a+1）1b 32+的最大值 。 A 、 2 B 、 3 C 、

53 2 D 、 5

2

3 9、已知a 、b 为正实数，且满足2ab=2a+b+3，则a+

2

b

的最小值是 。 A 、 1 B 、 3 C 、 4 D 、6

10、已知x ，y ，z 为正数，若ab+bc+ca=1，则a+b+c 的最小值是

A 、 2

B 、 3

C 、2

D 、3

二、填空题

1、已知实数x ，y 满足 1x + 4

y = 2 xy ，则xy 则最小值是 。

2、已知m ＞0，n ＞0，且m+n=1，则（

1m 2 - 1）（ 1

n 2

- 1）的最小值是 。 3、函数y=x+ 2-x 的最大值是 。 4、已知x 、y 为正数，若2x+3y=4，则

32x + 5

3y

的最小值是 。 5、函数f （a ）=a 1- a 2 的最大值是 。 6、m 、n 均为正数，若 2m +2

n

= 1，则mn 最小值是 。

7、已知x ，y ，z 为正数，若3x+2y+z=2，则9x 2+4y 2+z 2的最小值 。

8、x+2y= 14，则32x +4

3y

的最大值是 。

9、已知a 、b 、c 为正实数，若a+b+c=1则 1a + 1b + 1

c 的最小值为 。

10、已知x ，y ，z 为实数，若x 2+y 2=2，y 2+z 2=3，z 2+x 2=3.则xy+yz+zx 的最大

值为。

三、解答题

1、已知x，y，z∈+R，若xyz=1，

证明：1

x

+

1

y

+

1

y

≤ x2+ y2 +z2

2、已x、y∈R，求（6x2+

1

2y2

）（

1

3x2

+4y2）的最小值。

3、已知a，b，c∈+R，若abc=1，求（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3的最小值

不等式经典练习题

【答案】

一、选择题

1、选D

选项A，a2+1＞a，但a2+1≠a 故A错误

选项B，当a=0时，a2+4=4a，故B错误

选项C 当a为负数，1

a

＞1肯定不成立，故C错误。

选项D 因为2＞1，故2x是增函数又因为a＞a-1 故D正确综上，选D

2、选D

解，已知x＞y＞0

因为x+y=1 ，所以，x+y

2

=

1

2

-----------------①

由基本不等式知，1=x+y ≥2 xy 即2 xy ≤1 4xy ≤1

2xy ≤1

2

- -------------------②

又x 2+y 2≥ 1

2

------------------ ③

由①②③知，x 2+y 2最大，

故选D

3、选A 解：

因为2ab ≤a 2+b 2

两边同时加上a 2+b 2，得 a 2+b 2+2ab ≤2（a 2+b 2）

（a+b ）2≤2·1 （已知a 2+b 2=1） - 2≤a+b ≤ 2

所以选A

4选D

用举例法：

选项A ，当a=0.1，b= -10，a 2=0.01，b 2=100，不满足a 2＞b 2，所以A 错误 选项B ，当a=0.1，b= -10，（a-1）2=（-0.9）2=0.81，（b-1）2=（-11）2=121

不满足（a-1 ）2＞（b-1）2，所以B 错误

选项C 当a=0.1，b= -10，丨a-1丨=0.9，丨b-1丨=11

不满足丨a-1丨＞ 丨b-1丨 ，所以C 错误

选项D 当a=0.1，b=-10， 2a-1= -0.8 2b-1= -21 满足2a-1＞2b-1， 所以D 正确 故选D

5、选B 解： 令t=

b

a b

a ++

两边同时平方，得t 2=

b a ab

2b a +++

=1+

b

a ab

2+ ---------① 因为 2ab ≤（a+b ）

b

a ab

2+≤1-----------------------② 把②代入 ①，得t 2≤1+1=2 所以，t ≤2

故选B

6选A

由基本不等式得，x 2+y 2≥2xy

y 2+z 2≥2yz z 2+x 2≥2zx

三式相加，得 2x 2+2y 2+2z 2≥2xy+2yz+2xz

两边同时除以2，即：x 2+y 2+z 2≥xy+yz+xz

两边同时加上2xy+2yz+2xz ，得

x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz ≥3（xy+yz+xz ） （ x+y+z ）2≥3（xy+yz+xz ）----------① 又已知：x+y+z= 3 所以，①式可写为； 32≥3（xy+yz+xz ） 3≥xy+yz+xz

所以，xy+xz+yz 的最大值是3. 故选A

7选B 用举例法

选项A ，当a=0.1，b= -10，c=-1

ac =-0.1 ，bc=10，不满足a 2＞b 2，所以A 错误 选项B ，当a=0.2，b=0.1，a 3=0.08，b 3=0.01

满足 a 3＞b 3 ，所以B 正确 选项C 当a=1，b= -0.9，1a 1+=111， 1

b 1

+=10

不满足

1

b 1

1a 1++＞

，所以C 错误 选项D 当a=10，b=-1， 2a 1=0011 2b

1

=1

不满足22b

1

a 1＞， 所以D 错误

故选B

8、选C 解：

因为3a 2+6a+2b 2=3

3（a 2+2a+1）+32（3b 2+1）=3

20

9（a+1）2+2（3b 2+1）2 =20 等号左右两边的式子互换，

即，20=9（a+1）2+2（3b 2+1）2 ≥6 2（a+1）3b 2+1 所以，（a+1）3b 2+1≤5

3

2 故选C

9.选B, 解：

因为a 、b 为正实数

所以 2a+b ≥ 2ab 2

两边同时除以2，

得a+2

b

≥ab 2

两边同时平方

得，（a+2b

）2≥2ab （已知2ab=2a+b+3，故将右边的2ab 替换为2a+b+3）

即，（a+2b

）2≥2a+b+3-------------------①

令a+2b

=t （t ＞0），那么①式变为，t 2≥2t+3

整理得，（t+1）（t-3）≥0

解得，t ≤-1（因为t ＞0，舍去） 所以，t ≥3

故，a+2

b

的最小值是3.

所以，选B

10、选B

因为a 2+b 2≥2ab

b 2+

c 2≥2bc c 2+a 2≥2ca 三式相加，得

2（a 2+b 2+c 2）≥2ab+2bc+2ca 同时除以2

a 2+

b 2+

c 2≥ab+bc+ca

两边同时加上2ab+2bc+2ca ，得

a 2+2ab+

b 2+2bc+

c 2+2ca ≥3（ab+bc+ca ） （a+b+c ）2≥3·1（已知ab+bc+ca ）=1） 同时开方 a+b+c ≥ 3 故选B

二、填空题

1、解

要使2 xy 有意义，xy ＞0 即x,y 同时为正或同时为负。 又 1x + 4

y 为正，故x,y 只能同时为正。 所以， 1x + 4

y

≥2

4

xy

= 4 1

xy

-------------① 已知 1x + 4y =2 xy ，所以将①左边的 1x + 4

y 替换为2 xy

故，2 xy ≥ 4 1xy

即：xy ≥2

所以xy 则最小值是2

2、解

因为m＞0，n＞0

m+n≥2 mn （已知m+n=1）所以，2 mn≤1

mn≤1

2

（两边同时平方）

mn≤1 4

所以：

1

mn

≥ 4--------①1

m2n2

≥16-------②

（

1

m2

- 1）（

1

n2

- 1）=

1

m2n2

-（

1

m2

+

1

n2

）+1 ≥

1

m2n2

-2（

1

mn

）2+1

将①②代入

原式≥16- 2·4 +1 = 9

故：（

1

m2

- 1）（

1

n2

- 1）的最小值是9

3、解

2-x的定义域为 x≤2 x + 2-x

= -（2-x）+ 2-x +2 令 2-x =t （t≥0）则y= -t2 +t +2

= -（t- 1

2

）2 +

9

4

因为t≥0，

所以y 有最大值 9

4

故，x+ 2-x 的最大值是9

4

4解

32x + 53y = 38 · 4x + 512 · 4

y （因为2x+3y=4，所以将4替换成2x+3y ） = 38 ·2x+3y x + 512 · 2x+3y y

= 38 （2+ 3 y x ） + 512 （ 2 x

y + 3）

= 34 + 98 ·y x + 56·y x + 5

4

= 2+ 98 ·y x + 56y

x ≥ 2 +2

98× 56

x y × y x = 4+ 15

2

所以，32x + 53y 最小值是4+ 15

2

5、解

1- a 2的定义域为 -1≤a ≤1

当-1＜a ＜0， f （a ）为负数，没有最大值

当0＜a ＜1，a ，1- a 2 均为正数，故f （a ）有最大值。 a 2 +（1- a 2）2≥2a 1- a 2 a 2+（1-a 2）≥2a 1- a 2 1≥2a 1- a 2 即a 1- a 2≤1

2

故，f （a ）= a 1- a 2的最大值是1

2

6、 1= 2m +2

n ≥22m × 2n

1≥41

m n

116≥1mn

所以，mn ≥16

故mn 的最小值是16 7、 解：

因为x ，y ，z 为正数 所以，9x 2+4y 2≥ 12xy 两边同时加上9x 2+4y 2

得2（9x 2+4y 2）≥ 9x 2+4y 2+12xy---------① 同理：

2（4y 2+z ）2≥ 4y 2+ z 2+4yz-------------②

2（9x 2+z ）2≥ 9x 2+z 2+6xz--------------③ ① ② ③相加，得

4（9x 2+4y 2+z 2）≥（9x 2+4y 2+z ）+[（9x 2+4y 2+z 2）+12xy+4yz+6zx]

两边同时减去（9x 2+4y 2+z ）

3（9x 2+4y 2+z 2）≥（3x+2y+z ）2（已知3x+2y+z=2） 所以：9x 2+4y 2+z 2≥ 4

3

故，9x 2+4y 2+z 2的最小值是 4

3

8、解

解：32x +43y = 122 · （14 x ） + 163·（14 y ）（因为x+2y= 14，将1

4

替换成x+2y ）

=6·（1+

2y x ）+ 163·（2+x

y

） = 503 +（12y x + 163· x y ）≥ 50

3 + 16 故，32x +43y 的最大值 98

3

9、【方法1】因为 1a +a ≥ 2

a × 1

a

=2

即： 1

a +a ≥2

同理：1b +b ≥2 , 1

c +c ≥2

三式相加得，

（1a + 1b + 1

c ）+（a+b+c ）≥6 而 a+b+c=1 故1a + 1b + 1

c ≥ 5

所以，1a + 1b + 1

c

有最小值5

其实，这是错误的

【方法2】 因为a+b+c=1，

所以将其带入 1a + 1b + 1

c

则有：a+b+c a + a+b+c b + a+b+c

c

= 1+ b a + c a + 1 + a b + c b + 1+ a c + b

c

=3+（ b a + a b ）+（c a + a c ）+（c b + b c

）

≥3+2+2+2=9

即： 1a + 1b + 1

c ≥ 9

答案1a + 1b + 1

c 最小值为9

10、 解，

【方法1】

因为2=x 2+y 2≥2xy

3=y 2+z 2≥2yz 3=z 2+x 2≥2zx 三式相加，

8≥2（xy+yz+zx ） 4≥xy+yz+zx

即xy+yz+zx 的最大值是4 其实，方法1是错误的。

【方法2】

x 2+y 2=2----------------① y 2+z 2=3----------------② z 2+x 2=3----------------③

① -②，得 x 2-z 2=-1----④

x=±1

y=±1

z=± 2

xy+yz+zx 的结果如下：

故，xy+yz+zx 的最大值是1+2 2

三、解答题

1、

证明：因为xyz=1

1x + 1y + 1

z （因为xyz=1，将1替换为zxy ） = xyz x + xyz y +xyz z

=yz+xz+xy ------------------------------①

x 2+ y 2 ≥2xy z 2+ y 2 ≥2yz x 2+ z 2 ≥2xz

三式相加，得，2（x 2+ y 2+z 2）≥2（xy+yz+xz ）

即：x 2+ y 2+z 2≥xy+yz+xz------------②

由① ②得，xy+yz+xz ≤x 2+ y 2+z 2 即1x + 1y + 1

z ≤x 2+ y 2+z 2 故得证 2、

解，由柯西不等式得， （6x 2+ 12y 2）（13x 2 +4y 2）≥（ 6x · 13x + 12y

· 2y ）2=（ 2 + 2）2=8 （6x 2+

12y 2）（13x 2

+4y 2）的最小值是8 3、解

（a+b ）3+（b+c ）3+（c+a ）3≥

3 （a+b ）3· （b+c ）3· （c+a ）3

=3（a+b ）· （b+c ）· （c+a ）------① 3

三式相乘，得，（a+b）·（b+c）·（c+a）≥8abc---------------②

由①②得，（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24·1（已知abc=1）

即（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24

所以，（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3的最小值为24。