25.等腰三角形
第09讲 等腰三角形的性质和判定(解析版)
第09讲等腰三角形的性质和判定一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.四.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.例1．在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A=（）A．40°B．70°C．50°D．60°【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解析】解：∵AB=AC，∠B=70°，∴∠C=∠B=70°，∴∠A=180°-70°-70°=40°，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．例2．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠C=35°，则∠B的度数为（）A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】C【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC的度数，然后求得∠BDA的度数，最后利用等腰三角形的性质求得∠B的度数．【解析】解：∵AD=DC，∴∠DAC=∠C，∵∠C=35°，∴∠DAC=35°，∴∠BDA=∠C+∠DAC=70°，∵AB =AD ，∴∠BDA =∠B =70°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等．例3．已知：ABC 是等腰三角形，AB AC =，AD 是底边BC 上的高，下面结论不一定成立的是（）A ．BD CD=B ．BD AD =C ．AD 平分BAC ∠D ．B C∠=∠【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质即可确定答案．【解析】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：BD CD =，AD 平分BAC ∠，由等边对等角的性质可得B C ∠=∠，由等腰三角形的性质不一定有BD AD =，除非ABC 是等腰直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键．例4．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，则下列结论中错误的是（）．A ．BAC C∠=∠B ．BD CD =C ．BAD CAD ∠=∠D ．B C∠=∠【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质判断即可．【解析】解：∵AB AC =，AD BC ⊥，由等腰三角形三线合一可得：BD CD =，BAD CAD ∠=∠，由等边对等角可得：B C ∠=∠，而BAC ∠和C ∠不一定相等，故A错误，符合题意，B、C、D正确，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．例5．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A+∠B＝∠CC．∠A＝55°，∠B＝70°D．∠A：∠B＝1：2【答案】C【分析】根据三角形的内角和进行判断即可．【解析】解：A、∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，选项错误；B、∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，选项错误；C、∵∠A＝55°，∠B＝70°，∴∠C＝55°，∴∠A＝∠C∴△ABC为等腰三角形，选项正确；D、∵∠A：∠B＝1：2，∴∠A，∠B的度数不能确定，选项错误；故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的判定定理及三角形内角和定理，理解掌握定理是关键．例6．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【分析】利用等腰三角形的定义得到△ABC为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，接着根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝36°，然后判断△ABD和△BDC为等例则DE 的长为（A ．2【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得即可求解．【解析】解：∵=AB ∴CD =BD ，∴2ABC ABD S S =△△，∵DE AB ⊥，BF ⊥例例若B∠=例∵ADB AEC B C AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE (AAS )，∴BD =CE =3cm ，∴CD =DE +CE =4+3=7(cm )，故答案为：7．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证明△ABD ≌△ACE ．例11．已知：如图，在ABC 中，B C ∠=∠．求证：ABC 是等腰三角形．【答案】见解析【分析】如图，作BAC ∠的角平分线AD ，证明()AAS ABD ACD ≌△△，得到AB AC =，即可得证．【解析】证明：如图，作BAC ∠的角平分线AD ，交BC 于点D ，则：12∠=∠，在ABD △和ACD 中，∵12B C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ABD ACD ≌△△，∴AB AC =，∴ABC 是等腰三角形．【点睛】本题考查等腰三角形的判定．通过添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．例12．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，过点D 作EF BC ∥，与AB ，AC 分别相交于点E ，F ，若9AB =，7AC =，求AEF △的周长．【答案】16【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得EBD △和CFD △都是等腰三角形，从而可得EB ED FD FC ==，，进而可得AEF C AB AC =+△，进行计算即可解答．【解析】解：∵BO 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵EF BC ∥，∴EDB CBD ∠=∠，∴ABD EDB ∠=∠，∴EB ED =，同理可得，FD FC =，∴AE EF AF AE ED DF AF AE BE AF FC AB AC ++=+++=+++=+，∵9AB =，7AC =，∴16AB AC +=，∴AEF △的周长为16．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．例13．如图，E 为ABC 的外角CAD ∠平分线上的一点，AE //BC ，BF AE =．(1)求证：ABC 是等腰三角形；(2)若4AF =，求CE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）先根据平行线的性质可得DAE B ∠=∠，EAC ACB ∠=∠，再根据角平分线的定义可得DAE EAC ∠=∠，从而可得B ACB ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定即可得证；（2）先根据三角形全等的判定证出ABF CAE ≅ ，再根据全等三角形的性质即可得．【解析】（1）证明：∵AE //BC ，DAE B ∴∠=∠，EAC ACB ∠=∠，E 为ABC 的外角CAD ∠平分线上的一点，DAE EAC ∴∠=∠，B ACB ∴∠=∠，AB AC ∴=，ABC ∴ 是等腰三角形．（2）解：由（1）已得：,DAE B DAE EAC ∠=∠∠=∠，B EAC ∴∠=∠，在ABF △和CAE V 中，AB CA B EAC BF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABF CAE ∴≅ ，AF CE ∴=，4AF = ，4CE ∴=．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．一、单选题1．如图，ABC 中，AB AC =，80B ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．80︒B ．70︒C ．20︒D ．50︒【答案】C 【分析】根据等边对等角可得B C ∠=∠，结合条件根据三角形内角和定理即可求解．【解析】解：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵80B ∠=︒，∴80C ∠=︒，∵180A B C ∠+∠+∠=︒，∴20A ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质．解题的关键是掌握三角形的三个内角之和是180°．2．如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠C =35°，则∠B 的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC 的度数，然后求得∠BDA 的度数，最后利用等腰三角形的性质求得∠B 的度数．【解析】解：∵AD =DC ，∴∠DAC =∠C ，∵∠C =35°，∴∠DAC =35°，∴∠BDA =∠C +∠DAC =70°，∵AB =AD ，故选C ．【点睛】本题主要考查三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和以及等腰三角形的性质是解决本题的关键．5．如图，在∠ECF 的边CE 上有两点A 、B ，边CF 上有一点D ，其中BC =BD =DA 且∠ECF =27°，则∠ADF 的度数为（）A ．54°B ．91°C ．81°D ．101°【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ADF 的度数．【解析】解：∵BC =BD =DA ，∴∠C =∠BDC ，∠ABD =∠BAD ，∵∠ABD =∠C +∠BDC ，∠ECF =27°，∴∠ADF =∠C +∠BAD =3∠ECF =81°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．6．等腰三角形的“三线合一”指的是（）A ．中线，高线，角平分线互相重合B ．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合C ．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合D ．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质直接选取答案即可求解．【解析】解：三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线相互重合．故选：D【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握“三线合一”是解题的关键．7．如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边上的中点，54B ∠=︒，则DAC ∠等于（）A．3【答案】A【分析】利用等腰三角形三线合一解题即可．【解析】解：∵B∠=∴=AB AC，∴ABC是等腰三角形，∵AD平分BAC∠，∴AD是ABC的中线，∴132BD BC==；故选A．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质．熟记等角对等边判定三角形是等腰三角形，以及等腰三角形三线合一的性质，是解题的关键．9．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，2C CDB ∠=∠，12AB ＝，3CD =，则ABC 的周长为（）A ．2B ．24C ．27D ．3【答案】C 【分析】根据题意在AB 上截取BE BC =，连接DE ，由SAS 可证CBD △≌EBD △，可得CDB BDE ∠=∠，C DEB ∠=∠，可证ADE AED ∠=∠，可得AD AE =，进而即可求解．【解析】解：如图，在AB 上截取BE BC =，连接DE ，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，在CBD △和EBD △中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CBD △≌EBD △()SAS ，∴CDB BDE ∠=∠，C DEB ∠=∠，∴2CDE CDB ∠=∠，∵2C CDB ∠=∠，∴CDE DEB C ∠=∠=∠，∴ADE AED ∠=∠，∴AD AE =，∴ABC 的周长＝27AD AE BE BC CD AB AB CD ++++=++=，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．如图，已知12∠=∠，B C ∠=∠，不正确的等式是（）A ．AB AC=B ．BAE CAD ∠=∠C ．BE DC =D ．BD DE=【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】解：∵B C ∠=∠，∴AB AC =，故A 选项正确，不符合题意；在ABE 和ACD 中，12B C AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABE ACD ≌，∴BE CD =，BAE CAD ∠=∠，∵BE CD =，∴BE DE CD DE -=-，∴BD CE =，故B 选项、C 选项正确，D 选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．11．如图，ABC DEF ≌△△，点E 在AC 上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40,35A CED ∠=︒∠=︒，则下列结论正确的是（）A ．,EF EC AB FC==B ．,EF EC AE FC ≠=C ．,EF EC AE FC=≠D ．,EF EC AE FC≠≠【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，则EF EC =，由于D CED ∠≠∠，则CE CD ≠，则AE CF ≠，由此即可得到答案．【解析】解：∵ABC DEF ≌△△，∴ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，∴EF EC =，∵4035D CED ∠=︒≠∠=︒，∴CE CD ≠，∴AE CF ≠，∴四个选项中只有C 选项符合题意，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．12．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边的中线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，下列结论：①DE DF =；②BE CF =；③BDE CDF ∠=∠；④BDE DAF ∠=∠．其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【答案】D 【分析】根据三线合一得到AD BC ⊥，BAD CAD ∠=∠，B C ∠=∠，根据角平分线的性质得到DE DF =，可判断①；证明BDE CDF ≌，可得BE CF =，BDE CDF ∠=∠，可判断②③；再根据余角的性质，结合BAD CAD ∠=∠，可判断④．【解析】解：∵AB AC =，AD 是BC 边的中线，∴AD BC ⊥，BAD CAD ∠=∠，B C ∠=∠，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴DE DF =，故①正确，在BDE △和CDF 中，B C BED CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS BDE CDF ≌△△，∴BE CF =，BDE CDF ∠=∠，故②，③正确；∵90BDE ADE ∠+∠=︒，90ADE DAE ∠+∠=︒，∴∠=∠BDE DAE ，又DAE CAD ∠=∠，∴BDE CAD ∠=∠，故④正确；∴正确的有①②③④，故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性质是解题的关键．13．如图，等腰ABC 中AB AC =，AD BC ⊥，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，点G 是线段EF 上的一动点，若ABC 的面积是26cm ，6cm BC =，则ADG △的周长最小值是（）A ．4.5cmB ．5cmC ．5.5cmD ．6cm【答案】B 【分析】连接GB ．利用三角形的面积公式求出AD ，由EF 垂直平分AB ，推出GB GA =，推出AG GD BG GD +=+，由BG GD BD +≥，推出3GB GD +≥，GB GD +的最小值为3，由此即可解决问题．【解析】解：如图，连接GB ．∵AB AC =，AD BC ⊥，∴3BD DC ==，二、填空题15．如图所示，在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，垂足为D ，则BCE ∠=______．【答案】50︒/50度【分析】首先根据垂直平分线的性质得到AE CE =，然后根据等边对等角得到30A ACE ==︒∠∠，最后根据角的和差计算求解即可．【解析】∵DE 垂直平分AC 交AB 于E ，30A ∠=︒∴AE CE=∴30A ACE ==︒∠∠∵80ACB ∠=︒∴803050BCE ACB ACE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：50︒．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等边对等角性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．16．如图，在△ABC 中，高AD 、BE 交于H 点，若BH =AC ，求∠ABC 等于___度．【答案】45【分析】根据同角的余角相等求出∠CAD =∠HBD ，再利用“角角边”证明△ACD 和△BHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD =BD ，然后判断出△ABD 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答即可．【解析】解：∵AD 、BE 是△ABC 的高，∴∠CAD +∠C =∠HBD +∠C ，∴∠CAD =∠HBD ，在△ACD 和△BHD 中，90CAD HBD ADC BDH BH AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BHD (AAS )，∴AD =BD ，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴∠ABC =45︒．故答案为：45．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．17．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 是BC 边上的中线，且BD ＝BE ，则∠ADE 是_____度．【答案】15【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ＝30°，∠ADB ＝90°，根据三角形内角和定理计算．【解析】∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°，∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴∠ADB ＝90°，∵BD ＝BE ，∴∠BDE ＝75°，∴∠ADE ＝15°，故答案为15．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握，即可解题.18．如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，AB AD CD ==．若40BAD ∠=︒，则C ∠的大小为_____度．【答案】35【分析】在ABD △中利用等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出ADB ∠的度数，然后利用ADB ∠是【答案】16【分析】设2DBC α∠=，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得据题意得出A ADE ∠=∠，则AE DE =【解析】解：设2DBC α∠=，∵BD BC=∴()11802C BDC DBC ∠=∠=︒-∠=∴90A C α∠=︒-∠=∵DE DB⊥∴90BDE ∠=︒∴()1809090ADE αα∠=︒-︒-︒-=∴A ADE∠=∠∴AE DE=∴BDE 的周长是11516BD DE BE BC AE EB BC AB ++=++=+=+=，故答案为：16．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．20．如图，在ABC 中，65CAB ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转能与AED △重合，若CD AB ∥，则CAD ∠=_________．【答案】50︒【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACD =∠CAB ，根据旋转的性质可得AC =AD ，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CA D ．【解析】解：∵CD ∥AB ，∴∠ACD =∠CAB =65°，∵△ABC 绕点A 旋转得到△AED ，∴AC =AD ，∴∠CDA =∠ACD =65°，∴∠CAD =180°-2∠ACD =180°-2×65°=50°，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．21．如图，在ABC 中，ED BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，若3BE =，4CD =，5ED =，则FG 的长为__．【答案】2【分析】根据平行线的性质得到EGB GBC =∠∠，DFC FCB ∠=∠，由角平分线的定义得到GBC GBE ∠=∠，FCB FCD ∠=∠，于是得到BE EG =，CD DF =，代入数据即可得到结论．【解析】解：∵ED BC ∥，∴EGB GBC =∠∠，DFC FCB ∠=∠，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，∴GBC GBE ∠=∠，FCB FCD ∠=∠，∴EGB EBG ∠=∠，DCF DFC ∠=∠，∴BE EG =，CD DF =，∵3BE =，4CD =，5ED =，∴EB CD EG DF EF FG FG DG ED FG +=+=+++=+，即345FG +=+，∴2FG =，故答案为2．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．22．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝BCA ＝44°，M 为△ABC 内一点；且∠MCA ＝30°，∠MAC ＝16°，则∠BMC 的度数为___．【答案】150°【分析】过B 作BD ⊥AC 于D ，延长CM 交BD 于O ，连接AO ，求出∠BAO =∠MAO ，计算∠ABO =∠AMO =46°，证明△ABO ≌△AMO ，得到OB=OM ，求出∠OMB 的度数即可得到∠BMC【解析】解：过B 作BD ⊥AC 于D ，延长CM 交BD 于O ，连接AO ，∴∠OAC =∠MCA =30°，∠BAO =44°-30°=14°，∠OAM =∠OAC -∠MAC =30°-16°=14°，∴∠BAO =∠MAO ，【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．三、解答题23．已知：如图，在ABC 中，点D 在CA 边的延长线上，AE 平分DAB ∠，AE BC ∥．求证：ABC 为等腰三角形．【答案】见解析【分析】首先依据平行线的性质证明2B ∠=∠，1C ∠=∠，然后结合角平分线的定义可证明B C ∠=∠，故此可证明ABC 为等腰三角形．【解析】证明：∵AE BC ∥，∴2B ∠=∠，1C∠=∠∵AE 平分DAB ∠，∴12∠=∠∴B C∠=∠即ABC 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键．24．如图，点D ，E 分别在BA ，AC 的延长线上，且AB AC =，AD AE =．求证：DE BC ⊥．【答案】见解析【分析】过点A 作AM BC ⊥于点M ，由等腰三角形的性质得出2BAC BAM ∠=∠，D E ∠=∠，由三角形外角的性质得出2BAC D ∠=∠，即可推出BAM D ∠=∠，最后根据平行线的判定和性质即可证明DE BC ⊥．【解析】证明：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ．AB AC = ，2BAC BAM ∠∠∴=，AD AE = ，D E ∴∠=∠，2BAC D E D ∠∠∠∠∴=+=，22BAC BAM D ∠∠∠∴==，BAM D ∠∠∴=，DE AM ∴∥，AM BC ⊥ ，DE BC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判断和性质，正确作出辅助线，构建等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．25．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC上，∠BAC＝∠DAE．(1)求证△ABD≌△ACE；(2)当∠B等于多少度时，AB∥EC？证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)60°，证明见解析【分析】（1）根据∠BAC＝∠DAE证得∠BAD＝∠CAE，再依据SAS即可证明三角形全等；（2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质证得∠B=∠ACB=∠ACE，再由平行线的性质即可求得∠B 度数．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE；（2）解：∠B＝60°，证明如下：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴∠ACB＝∠B＝60°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE ＝∠B ＝60°，∴∠B ＋∠BCE ＝180°，∴AB ∥EC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键．26．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【答案】(1)相等，理由见解析(2)50︒【分析】（1）连接CE ，根据中垂线的性质得到,AE CE BE CE ==，即可得到AE BE =；（2）利用等边对等角，求出ABC ∠的度数，三线合一，求出BAE ∠的度数，等边对等角得到ABE ∠的度数，利用EBD ABD ABE ∠=∠-∠，即可得解．【解析】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，∵AB AC =，AD 是BC 边上的高，∴BD CD =，(1)若37B ∠=︒，求CAD ∠的度数；(2)若点E 在边AC 上，EF AB ∥交AD 【答案】(1)53︒(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形底角相等，再根据直角三角形的性质即可求得（2）根据两直线平行内错角相等，再根据AD 是BAC ∠的角平分线即可得到DAC F ∠=∠，从而证得AE FE =．【解析】（1）解：AB AC = ，AD BC ⊥，37B C ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，9053CAD C ∴∠=︒-∠=︒；（2）证明：E F A B ∥ ，BAF F ∴∠=∠，AB AC = ，AD BC ⊥，AD ∴是BAC ∠的角平分线，BAF DAC ∴∠=∠，DAC F ∴∠=∠，AE FE ∴=．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、平行线、直角三角形的相关知识．28．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接AD ，DE ．已知12∠=∠，AD DE =．（1）求证：ABD △≌DCE △；（2）若3BD =，5CD =，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据等边对等角可得：B C ∠=∠，利用全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得5AB DC ==，3CE BD ==，由图形中各边的关系计算即可得出．【解析】（1）证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD 和DCE 中，12B C AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD DCE ≅ ；（2）解：∵ABD DCE ≅ ，∴5AB DC ==，3CE BD ==，∵5AB AC ==，∴532AE AB CE =-=-=．【点睛】题目主要考查全等三角形及等腰三角形的性质，理解题意，结合图形，熟练运用各个性质是解题关键．29．如图，ABC 是等腰直角三角形，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是斜边上AB 上任一点，AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥交CD 的延长线于F ，CH AB ⊥于H 点，交AE 于G ．(1)求证：AH BH =；(2)请问AE 与EF 、BF 之间有怎样的数量关系？并说明理由；(3)求证：BD CG =．【答案】(1)见解析(2)AE EF BF =+，理由见解析(3)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一即可得证；（2）证明ACE CBF ≌V V 即可得到答案；（3）证明ACG CBD ≌，即可得证BD CG =．【解析】（1）证明： AC BC =，CH AB ⊥，AH BH ∴=；（2）解：AE EF BF =+，理由如下：AE CD ⊥，BF CD ⊥，90AEC CFB ∴∠=∠=︒，90CAE ACE ∠+∠=︒，90ACE BCF ∠+∠=︒ ，CAE BCF ∴∠=∠，在ACE △和CBF V 中，AEC CFB CAE BCF AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ACE CBF ∴ ≌，CE BF AE CF ∴==，，AE CF CE EF BF EF ∴==+=+，即AE BF EF =+；（3）证明： ABC 是等腰直角三角形，CH AB ⊥，45ACG CBD ∠∠∴==︒，在ACG 和CBD △中，ACG CBD AC BC CAG BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ACG CBD ∴△≌△，BD CG ∴=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，是解题的关键．30．小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法．例如：在如图1所示的△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，且BD ＝BC ，求证：∠ABC ＝2∠ACD ．他发现，除了方法1直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法2：如图2，作BE ⊥CD ，垂足为点E ．方法3：如图3，作CF ⊥AB ，垂足为点F ．根据阅读材料，请你从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC ＝2∠ACD ，并写出其证明过程．【答案】证明见解析【分析】方法1，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC＝2∠ACD．方法2，作BE⊥CD，垂足为点E．利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等，即可得出∠ABC＝2∠ACD．方法3，作CF⊥AB，垂足为点F．利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到∠ACF＝2∠ACD，再根据同角的余角相等，即可得到∠ABC＝∠ACF，进而得出∠ABC＝2∠ACD．【解析】解：方法1：如图1，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°−∠ACD，又∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，∴△BCD中，∠ABC＝180°−2∠BCD＝180°−2（90°−∠ACD）＝2∠ACD，∴∠ABC＝2∠ACD；方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，又∵BC＝BD，BE⊥CD，∴∠ABC＝2∠CBE，∴∠ABC＝2∠ACD；方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．∵∠ACB＝90°，∠BFC＝90°，∴∠A＋∠ABC＝∠BCF＋∠ABC＝90°，∴∠A＝∠BCF，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，即∠BCF＋∠DCF＝∠A＋∠ACD，∴∠DCF＝∠ACD，∴∠ACF＝2∠ACD，又∵∠ABC＋∠BCF＝∠ACF＋∠BCF＝90°，∴∠ABC＝∠ACF，∴∠ABC＝2∠ACD．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的综合运用，注意等腰三角形的两个底角相等是解答本题的关键．(1)连接DM 并延长交BC 于N ，写出线段CN 与AD 的数量关系：；(2)写出直线BM 与DM 的位置关系：；(3)将ADE V 绕点A 逆时针旋转，使点E 在线段CA 的延长线上（如图②所示位置），（立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)CN AD=(2)BM DM⊥(3)成立，见解析【分析】（1）由90EDA ABC ∠=∠=︒可得DE BC ∥，再根据平行线的性质，推出()ASA EMD CMN ≌，证出CN DE =，因为AD DE =，即可得到CN （2）由（1）可知CN AD =，DM MN =，再由BA BC =，可得BD BN =形，且BM 是底边的中线，即可得到BM DM ⊥；（3）作DE CN ∥交DM 的延长线于N ，连接BN ，根据平行线的性质求出()ASA EMD CMN ≌，推出DBN 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出【解析】（1）CN AD =，理由如下：如图1，∵AD DE =，AB BC =，45EAD AED ∠=∠=︒，45BAC BCA ∠=∠=︒，∴ABC 和ADE V 为等腰直角三角形，∴90EDA ABC ∠=∠=︒，∴DE BC ∥，∴DEM MCB ∠=∠，在EMD 与CMN 中，DEM NCM EM CM EMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA EMD CMN ≌，∴CN DE =，∵AD DE =，∴CN AD =；故答案为：CN AD =；（2）BM DM ⊥，理由如下：由（1）得：EMD CMN ≌，∴CN AD =，DM MN =，∵BA BC =，∴BD BN =，∴DBN 是等腰直角三角形，且BM 是底边的中线，∴BM DM ⊥；（3）BM DM ⊥仍成立，理由如下：如图2，作DE CN ∥交DM 的延长线于N ，连接BN ，∴45E MCN ∠=∠=︒，在EMD 与CMN 中，DME NMC EM CM E MCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA EMD CMN ≌，∴CN DE AD ==，MN MD =，又∵18090DAB DAE BAC ∠=︒-∠-∠=︒，454590BCN BCM NCM ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴DAB BCN ∠=∠，在DBA 与NBC 中，DA CN DAB BCN BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS DBA NBC ≌，∴DBA NBC ∠=∠，DB BN =，∴90DBN ABC ∠=∠=︒，∴DBN 是等腰直角三角形，且BM 是底边的中线，∴BM DM ⊥．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、全等三角形的性质和判定；此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用．32．如图，四边形OACB 中，OA OB ⊥，联结OC ，且OA OB OC ==，分别作OE AC ⊥于点E ，OF BC ⊥于点F ，垂足分别为E 、F ．(1)如图1，当OC 为AOB ∠的平分线时，试说明：OC EF ⊥；(2)如图2，延长BF 、OE 交于点D ，①直接写出线段CD 、OF 、BF 之间的数量关系______；②联结AD ，若8OF =，求四边形OADB 的面积．【答案】(1)见解析(2)①OF DC BF =+；②64【分析】（1）利用()SAS AOC BOC ≌和()AAS OEC OFC ≌得到OE OF CE CF ==，即可得出结论；（2）①利用三角形内角和性质得到ECD ∠的度数，从而得出OFD △是等腰直角三角形，由OF DF DC CF DC BF ==+=+即可得到结果；②根据()2AOD COD OFC OFB COD OFCAOBD S S S S S S S =+++=+四边形△△△△△△即可求解．【解析】（1）证明：∵OC 是AOB ∠是平分线，∴AOC BOC ∠=∠，在AOC 和BOC 中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AOC BOC ≌，∴O C A O C B ∠=∠，∵OE AC OF BC ⊥⊥，，∴90OEC OFC ∠=∠=︒，在OEC △和OFC △中，OEC OFC OCE OCF OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴8OF DF OFD ==∠=，∵OF BC OB OC ⊥=，，∴90OFC OFB ∠=∠=︒，一、单选题1．（2016·山东滨州·中考真题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为()A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角18024492P ∴∠=︒-⨯︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．二、填空题3．（2019·四川成都·统考中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D ，E 都在边BC 上，BAD CAE ∠=∠，若9BD =，则CE 的长为_______.【答案】9.【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.【解析】因为△ABC 是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD ≅△ACE(ASA),所以BD=EC ，EC=9.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.三、解答题4．（2019·江苏无锡·统考中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC,点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD=CE ，BE 、CD 相交于点0；求证：（1）DBC ECB∆≅∆（2）OB OC=【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】(1)由AB=AC 可得∠ECB=∠DBC ，继而根据已知条件利用SAS 进行证明即可；(2)由(1)根据全等三角形的对应角相等可得∠DCB=∠EBC ，继而可得答案.【解析】(1)∵AB=AC ，∴∠ECB=∠DBC ，在DBC ECB ∆∆与中BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC ECB ∆≅∆；(2)由(1)DBC ECB ∆≅∆，∴∠DCB=∠EBC ，∴OB=OC.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.5．（2019·四川·统考中考真题）如图，在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的中线，且BD CE =求证：（1）点D 在BE 的垂直平分线上；（2）3BEC ABE∠=∠【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）连接DE ，根据垂直的定义得到∠ADC ＝90°，根据直角三角形的性质得到DE ＝CE ，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【解析】证明：（1）连接DE∵CD 是AB 边上的高∴CD AB⊥∴90ADC ∠=︒。
等腰三角形经典习题(必看)
等腰三角形经典习题(必看)等腰三角形经典题（必看）以下是一些经典的等腰三角形题，希望能对你的研究有所帮助。
1. 判断等腰三角形给定一个三角形ABC，其中AB=AC。
你需要判断这个三角形是否为等腰三角形。
解答：如果角B等于角C，则该三角形为等腰三角形。
2. 求等腰三角形的周长已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，且BC=8cm。
你需要求解这个等腰三角形的周长。
解答：由于AB=AC且BC=8cm，那么周长等于AB+AC+BC=2AB+BC=2(BC/2)+BC=BC+BC=2BC=2*8cm=16cm。
3. 求等腰三角形的面积已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=10cm，且角BAC等于60度。
你需要求解这个等腰三角形的面积。
解答：由于AB=AC=10cm且角BAC等于60度，我们可以利用正弦定理来计算三角形的高。
设三角形的高为h，那么有sin60度=h/10cm，解得h=10cm*sin60度=10cm*sqrt(3)/2=5sqrt(3)cm。
等腰三角形的面积可以通过底边乘以高再除以2来计算，即面积=10cm*5sqrt(3)cm/2=25sqrt(3)cm²。
4. 求等腰三角形的顶角已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=5cm，且BC=6cm。
你需要求解这个等腰三角形的顶角。
解答：由于AB=AC=5cm且BC=6cm，我们可以使用余弦定理来计算角BAC的大小。
设角BAC为x度，则有cosx=(5²+5²-6²)/(2*5*5)=19/25。
解得x=arccos(19/25)≈31.8度。
因此，等腰三角形的顶角大约为31.8度。
以上是一些关于等腰三角形的经典习题，希望对你的学习有所帮助。
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等腰和直角三角形
Байду номын сангаас
…
你有没有发现规律？ 所以P= 2 1 3 2
2002 2001 2003 2002
2003 1
16.求
P
的整数部分a和小数部分b. b= 2003 44 本题转化为求 2003 1 的整数部分a和小数部分b. 求实数的整数部分和小数部分 , 再进行有关计算 ,是数学中常见的题型之一. 可以采用逼近法，找接近于2003的平方数
8
6
又由折叠知，PF=BF,PH=HC 所以，BC=BF+FH+HC =PF+FH+PH=8+6+10=24
五.勾股定理的综合运用
6.如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm 的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这 扇卷闸门撑起 米高. 分析：表面上看似乎 这块木板最多可撑起 80cm高， 18 但如图所示，将卷 闸门撑起，我们通过 80 构造直角三角形，会 发现答案是 182 802 82
例 1(3)题
例 1(4)题
(4)(2010· 宁波)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36° ，BD、CE 分别是 △ABC、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( ) A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【点拨】本组题主要考查等腰三角形的有关性质和判定．
【解答】(1)根据“三角形任意两边之和大于第三边”知腰应为 7，该三角形 三边为 7、7、3.故选 B. (2)当 40° 为底角时，顶角为 100° ；40° 也可以为顶角．故选 C. (3)∵DE 垂直平分 AB，∴EA＝EB，∴∠EBD＝∠A＝20° .∵∠A＝20° ，AB ＝AC，∴∠ABC＝∠C＝80° ，∴∠CBE＝80° －20° ＝60° ，故选 C. (4)等腰三角形分别是△ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE.故选 A.
等腰三角形的性质
教学过程一、复习预习轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴二、知识讲解1、等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边腰与底边的夹角叫做底角两腰的夹角叫做顶角2、等腰三角形的特征等腰三角形是轴对称图形等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴等腰三角形的两个底角相等3、等腰三角形的判别方法根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边考点/易错点1等腰三角形三线合一的运用考点/易错点2等腰三角形腰上高的运用三、例题精析【例题1】【题干】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为（）【答案】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴7∠A=180°，∴∠A=度【解析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可．【例题2】【题干】等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）【答案】解：①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32【解析】．因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【例题3】【题干】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是（）【答案】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．四、课堂运用【基础】1、在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）分析：题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．解答：解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得①或②解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；2、如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）（难）分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD，∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180-2x）+（180-2y）=180，∴x+y=140，∴∠DCE=180-（∠AEC+∠BDC）=180-（x+y）=40°．故答案为40°．3、若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（）解：①如图，∵∠ABD=25°，∠BDA=90°，∴∠A=65°，∵AB=AC，∴∠C=（180°-65°）÷2=57.5°②如图，∵∠ABD=25°，∠BDA=90°，∴∠BAD=65°，∵AB=AC，∴∠C=65°÷2=32.5°．故答案为：57.5°或32.5°【巩固】1、等腰三角形两边长为3cm和5cm，则它的周长是（）分析：分3cm是腰长与底边两种情况讨论求解即可．解答：解：①3cm是腰长时，三角形的三边长分别为：3cm、3cm、5cm，能组成三角形，周长=3+3+5=11cm；②3cm是底边时，三角形的三边长分别为：3cm、5cm、5cm，能组成三角形，周长=3+5+5=13cm，综上所述，它的周长是11cm或13cm．2、等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）分析：△BEC的周长=BC+BE+CE．根据线段垂直平分线性质，BE=AE．所以BE+CE=AE+EC=AC．根据已知求AC即可．解答：解：∵等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，∴AC=（21-5）÷2=8．∵DE垂直平分AB，∴AE=BE．∴△BEC的周长=BC+BE+CE=BC+AC=5+8=13．【拔高】1、等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（）分析：先求出与这个外角相邻的内角是80°，再分这个内角是底角和顶角两种情况讨论．解答：解：与这个外角相邻的内角为：180°-100°=80°．分两种情况：（1）当80°角为底角时，顶角为180°-80°×2=20°，与其不相邻的两个内角的度数是80°，20°；（2）当80°角为顶角时，底角为（180°-80°）÷2=50°，与其不相邻的两个内角的度数是50°，50°．故与其不相邻的两个内角的度数是50°，50°或80°，20°．故答案为：50°，50°或80°，20°．2、如图，将等腰△ABC沿DE折叠，使顶角顶点A落其底角平分线的交点F，若BF=DF，则∠C的大小是（）（难）分析：根据点F是底角平分线的交点，可得点F是三角形ABC角平分线的交点，连接AF，则AF平分∠BAC，设∠C=x，利用等腰三角形的性质分别得出∠BAF、∠ABF、∠AFB，然后利用三角形的内角和定理可得出答案．解答：解：连接AF，∵点F是底角平分线的交点，∴点F是三角形ABC角平分线的交点（三角形的额角平分线交于一点），∴AF平分∠BAC，设∠C=x，则∠ABF=x，∠BAF=∠BAC=（180°-2x）=90°-x，又∵BF=DF，AD=DF（折叠的性质），∴∠FDB=∠FBD，∠DAF=∠DFA，∴∠DFB=180°-2∠ABF=180°-x，∴∠AFB=∠DFB+∠AFD=∠DFB+∠DAF=180°-x+（90°-x）=270°-2x，在三角形ABF中，∠BAF+∠ABF+∠AFB=180°，即（90°-x）+（x）+（270°-2x）=180°，解得：x=72°，即∠C=72°．五、课程小结等腰三角形性质的综合运用六、课后作业【基础】1、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为48°，则∠B等于分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠DAE，再分AB的垂直平分线与AC相交和与CA的延长线相交解答．解答：解：∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为48°，∴∠DAE=90°-48°=42°，如图1，AB的垂直平分线与AC相交时，∠BAC=∠DAE=42°，如图2，AB的垂直平分线与CA的延长线相交时，∠BAC=180°-∠DAE=180°-42°=138°，综上所述，∠BAC的度数为42°或138°．故答案为：42°或138°．【巩固】2、如图，在等腰△ABC中，AC=BC，AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC 于点E，△ABD的周长为10，BC=6，则△ABC的周长为分析：根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，由△ABD的周长为10得AB+AD+BD=10，则AB+DC+BD=10，即AB+BC=10，而CA=CB，BC=6，即可得到△ABC的周长．解答：解：∵AC的垂直平分线DE交BC于点D，∴DA=DC，又∵△ABD的周长为10，即AB+AD+BD=10，∴AB+DC+B D=10，∴AB+BC=10，而CA=CB，BC=6，∴CA=6，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=10+6=16．【拔高】3、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．分析：连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解答：解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-54°）=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°．。
特殊三角形知识点
等腰三角形和直角三角形都是特殊三角形,具有一般三角形的性质,同时具有一般三角形所不具备的特殊性,这些特性在几何证明中有着极为重要的应用价值,也是研究其他三角形和多边形的基础. 利用等腰三角形的轴对称性,"三线合一"等性质探求解题途径。
一、直角三角形1)直角三角形的定义:有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质。
又叫Rt三角形。
2)直角三角形的性质:(1)直角三角形两个锐角互余;(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(3)在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半;且三边比为1比根号3比2;(4)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°;(5)在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 (勾股定理);(6)直角三角形斜边上的高h等于该直角三角形外接圆半径斜边上的中线等于该直角三角形内切圆半径.( 7) 直角三角形的垂直平分线交于斜边的中点。
(8)直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
3)直角三角形的判定:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形;(2)一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形;(3)若a^2+b^2=c^2，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边直角三角形(勾股定理的逆定理);(4)若三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形;(5)两个锐角互余的三角形是直角三角形.4)直角三角形角的性质若直角三角形ABC中∠C=90°，则sinA=cosB，sinB=cosA，sinA=cos(90°-A)=sin(180°-A)cosA=sin(90°-A)=-cos(180°-A)tanA=-tan(180°-A)对于特殊角30°，45°，60°，15°，75°，90°sin30°=cos60°=1/2sin45°=cos45°=√2/2sin60°=cos30°=√3/2sin75°=cos15°=(根号6+根号2)/4 cos75°=sin15°=(根号6-根号2)/4tan75°=2+根号3 tan15°=2-根号3sin90°=1 cos90°=0 tan90°=无限大二、等腰三角形1)等腰三角形的定义:有两边相等的三角形是等腰三角形2)等腰三角形的性质:1.等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形专题复习(4大题型)(解析版)
等腰三角形专题复习（4大题型）轴对称与“将军饮马”1、轴对称的性质：①成轴对的连个图形全等；②对应点的连线被对称轴垂直平分。
2、“将军饮马”模型等腰三角形的边与角的考法1、等腰三角形的定义方面，常和△的三边关系、△的周长、边的奇偶性等考点一起出题，做题时注意考虑全面；2、等腰三角形的两底角相等，常和三角形内角和、三角形外角定理、平行线等考点一起出题，做题时谨遵一条——题目中出现什么概念，就立刻想其对应的性质。
“知二得一”模型①角平分线、②平行线、③等腰三角形以上三个条件，已知任意两个，就可以推出剩余一个。
“两定一动”型等腰三角形的存在性问题利用“两圆一线”确定等腰三角形如图，已知线段AB ，在直线L 上找点P 使得△ABP 为等腰三角形等腰三角形ABP 可分为三种情况：①当AB=AP 时：以A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线l 相交于P 1、P 2；②当AB=BP 时：以B 为圆心，AB 为半径作圆，与直线l 相交于P 3、P 4；③当AP=BP 时：作AB 的垂直平分线交直线l 于P 5；则P 1、P 2、P 3、P 4、P 5即为所求题型一 线段和最小模型—将军饮马【例1】．（2024春•东阳市期末）如图，直线l 1、l 2表示一条河的两岸，且l 1∥l 2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）方案一：①将点A向上平移d 得到A '；②连接A 'B 交l 1于点M ；③过点M 作MN ⊥l 1，交l 2于点N ，MN 即桥的位置．方案二：①连接AB 交l 1于点M ；②过点M 作MN ⊥l 1，交l 2于点N ．MN 即桥的位置．A ．唯方案一可行B ．唯方案二可行C．方案一、二均可行D．方案一、二均不可行【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可利用平移解决问题．【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可．∵AA'垂直于河岸l2，AA′＝d，连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l1，由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA，根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短．故方案一符合题意，故选：A．【变式1-1】．（2023秋•温岭市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E，F分别在AC，AB，BC上，连接BD，DE，DF，∠DBC＝30°，BE＝BF，当DE+DF最小时，则∠DFB＝（ ）A．75°B．82.5°C．90°D．97.5°【分析】将△BED绕点B旋转45°，得到△BD′F，则：DE＝D′F，进而得到DF+DE＝DF+D′F≥DD′，得到当D，F，D′三点共线时，DE+DF最小，利用等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝45°，∵BE＝BF，∴将△BED绕点B旋转45°，得到△BFD′，∴DE＝D′F，BD＝BD′，∠DBD'＝45°，∴DF+DE＝DF+D′F≥DD′，∴当D，F，D′三点共线时，DE+DF最小，如图：∵BD＝BD′，∠DBD'＝45°，∴，∴∠DFB＝180°﹣∠DBC﹣∠BDD′＝180°﹣30°﹣67.5°＝82.5°，故选：B．【变式1-2】．（2024•惠阳区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 60° ．【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故答案为60°．【变式1-3】．（2023秋•义乌市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD 是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）A．2.4B．4.8C．4D．5【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，∵S＝AB•CM＝AC•BC，△ABC∴CM＝＝，即PC+PQ的最小值为．故选：B．【变式1-4】．（2023秋•北仑区期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）△ABC的面积为 5 ；（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．（3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹）【分析】（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；（2）分别作出各点关于直线的对称点，再顺次连接即可；（3）连接BC′交直线MN于点P，则点P即为所求点．＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5．【解答】解：（1）S△ABC故答案为：5；（2）如图，△A′B′C′即为所求；（3）如图，点P即为所求．【变式1-5】．（2023•滨江区校级开学）如图所示，点P在∠AOB内，点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F．（1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝ 2α° ，∠EPF＝ 180°﹣2α° （用含α的代数式表示）；（2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长．②若∠O＝45°，OP＝x cm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示）【分析】（1）如图，连接OP、OM、ON，根据轴对称的性质可得△OMP和△EMP都是等腰三角形，且∠MOA＝∠AOP，进而可根据等腰三角形的性质得∠OME＝∠OPE，同理可得∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，于是可推得∠MON＝2∠AOB，∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案；（2）①根据轴对称的性质可推出MN＝△PEF的周长，进而可得结果；②易得△OMN是等腰直角三角形，且OM＝ON＝OP＝x，从而可根据勾股定理求出MN，而由轴对称的性质可知MN即为△PEF的周长的最小值，于是可得结果．【解答】解：（1）如图，连接OP、OM、ON．∵M是点P关于AO的对称点，∴OP＝OM，ME＝PE，∠MOA＝∠AOP，∴∠OMP＝∠OPM，∠EMP＝∠EPM，∴∠OME＝∠OPE，同理可得：OP＝ON，∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，∴OM＝ON，∠MON＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α°；∴∠OMN+∠ONM＝180°﹣∠MON＝180°﹣2α°，∴∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM＝180°﹣2α°，故答案为：2α°，180°﹣2α°；（2）①∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，∴ME＝PE，NF＝PF，∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周长，∵△PEF的周长等于10cm，∴MN＝10cm；②∵∠AOB＝45°，OM＝ON＝OP＝x，∴∠MON＝2∠AOB＝90°，，∵MN＝△PEF的周长，且△PEF的周长的最小值为MN的长，∴△PEF的周长的最小值是cm．题型二等腰三角形的边与角【例2】．（2023秋•浙江月考）等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（ ）A．80°或50°B．80°C．50°D．50°或20°【分析】由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论．【解答】解：分两种情况：①当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝（180°﹣80°）÷2＝50°；②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，故它的底角度数是50°或80°．故选：A．【变式2-1】．（2023秋•苍南县期中）等腰三角形有两条边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为（ ）A．15B．20C．25或20D．25【分析】根据腰为5或10，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．【解答】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，10，5+5＝10，三边关系不成立；当等腰三角形的腰为10时，三边为5，10，10，三边关系成立，周长为5+10+10＝25．故选：D．【变式2-2】．（2023秋•龙湾区校级月考）如图，D为BC延长线上一点，点E在AB上，连结DE交AC于点F．若DB＝DE，∠A＝35°，∠D＝30°，则∠ACD的度数是（ ）A．115°B．110°C．105°D．95°【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠B＝∠DEB＝75°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．【解答】解：∵DB＝DE，∠D＝30°，∴∠B＝∠DEB＝＝75°，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝35°+75°＝110°，故选：B．【变式2-3】．（2024•鄞州区校级开学）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（ ）A．90B．92C．96D．98【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据全等三角形的判定证得△AMK≌△BKN，得到∠AMK ＝∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A＝∠MKN＝44°，根据三角形内角和定理计算即可求出∠P．【解答】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN（SAS），∴∠AMK＝∠BKN，∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝44°，∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°，故选：B．【变式2-4】．（2024•路桥区校级开学）如图，AB＝AC，D为AC的垂直平分线上一点，且CD＝BC，BD＝AB，则∠BAC＝ 36° ．【分析】连接AD，过点D作DE⊥AC交于点E，BD与AC交于点G，根据垂直平分线的性质得出AD＝CD，根据等边对等角得出∠CBD＝∠CDB，等量代换得出AC＝BD，根据三条边对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等得出∠DAC＝∠DCA＝∠CBD＝∠CDB，根据等角对等边得出DG＝CG，推得AG＝BG，根据等边对等角得出∠ABG＝∠BAG，结合对顶角相等得出∠ABG＝∠CDG＝∠CBG，即∠ABC＝2∠GAB＝2∠BAG，据此设∠BAC＝α，则∠ABC＝∠ACB＝2α，根据三角形内角和定理列出方程，求得α＝36°，即∠BAC＝36°．【解答】解：连接AD，过点D作DE⊥AC交于点E，BD与AC交于点G，如图：∵D为AC的垂直平分线上一点，∴AD＝CD，∵CD＝BC，∴∠CBD＝∠CDB，AD＝BC，∵AB＝AC，BD＝AB，∴AC＝BD，∴△ADC≌△BCD（SSS），∴∠DAC＝∠CBD＝∠DCA＝∠CDB，∴DG＝CG，∴AG＝BG，∴∠ABG＝∠BAG，∵，，且∠AGB＝∠DGC，∴∠CDG＝∠ABG＝∠CBG，∴∠ABC＝2∠BAG＝2∠GAB，设∠BAC＝α，则∠ABC＝∠ACB＝2α，故5α＝180°，∴α＝36°，即∠BAC＝36°．故答案为：36°．【变式2-5】．（2024•海曙区校级开学）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．（1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AP＝BP，根据等边对等角可得∠A＝∠ABP，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；（2）求出△PBC的周长＝AB+BC，代入数据计算即可得解．【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点，∴AP＝BP，∴∠A＝∠ABP＝35°，∴∠BPC＝∠A+∠ABP＝35°+35°＝70°；（2）△PBC的周长＝BP+PC+BC，＝AP+PC+BC，＝AC+BC，＝AB+BC，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴△PBC的周长＝5+3＝8cm．【变式2-6】．（2023秋•德清县月考）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°），现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．如图所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1．（1）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝ 2θ ，θ2＝ 3θ ，θ3＝ 4θ （用含θ的式子表示）；（2）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．【分析】（1）本题需先根据A1A2＝AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值；（2）根据（1）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）∵A1A2＝AA1∴θ1＝∠A2A1A3＝2θ，∴θ2＝∠A2A4A3＝θ+2θ＝3θ，∴θ3＝∠A2A4A3+θ＝4θ，故答案为2θ，3θ，4θ；（2）由题意得：，∴18°≤θ＜22.5°．题型三等腰三角形“三线合一”【例3】．（2023秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD长为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的BC边的中线，∴BD＝DC＝BC＝2，故选：B．【变式3-1】．（2024•鹿城区校级开学）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠AEC的度数是（ ）A ．95°B ．100°C ．105°D ．110°【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB ＝2∠CAD ＝40°，∠B ＝∠ACB ＝（180°﹣∠CAB ）＝70°．再利用角平分线定义得出∠ACE ＝∠ACB ＝35°，最后根据三角形内角和180°得∠AEC ＝180°﹣∠ACE ﹣∠CAB ＝105°即可．【解答】解：∵AD 是△ABC 的中线，AB ＝AC ，∠CAD ＝20°，∴∠CAB ＝2∠CAD ＝40°，∠B ＝∠ACB ＝（180°﹣∠CAB ）＝70°．∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE ＝∠ACB ＝35°，∴∠AEC ＝180°﹣∠ACE ﹣∠CAB ＝180°﹣35°﹣40°＝105°．故选：C ．【变式3-2】．（2023秋•娄星区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D 点，点E 、F 分别是AD 的任意两点，若△ABC 的面积为18cm 2，则图中阴影部分面积为 9 cm 2．【分析】根据等腰三角形是轴对称图形知，△CEF 和△BEF 的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴S △BEF ＝S △CEF ，∵，∴阴影部分面积＝．故答案为：9．【变式3-3】．（2023秋•杭州期中）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．【分析】此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．【解答】证明：作AF⊥BC于F，∵AB＝AC（已知），∴BF＝CF（三线合一），又∵AD＝AE（已知），∴DF＝EF（三线合一），∴BF﹣DF＝CF﹣EF，即BD＝CE（等式的性质）．【变式3-4】．（2023秋•富阳区校级月考）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD＝DE，连接AE．（1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数．（2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；（2）根据已知能推出AB+BD＝EC+DE＝DC，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，EF垂直平分AC，BD＝DE，∴AE＝AB＝EC，∴∠CAE＝∠C，∵∠BAE＝44°，∴，∴．（2）由（1）知：EC＝AE＝AB，∵DE＝BD．∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝2DC+AC＝2×5+7＝17（cm）．答：△ABC的周长为17cm．题型四等腰三角形的判定及存在性问题【例4】．（2023秋•金华期中）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形【分析】动点Q从M点出发沿直线l向N点移动的过程中，由等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，即可解决问题．【解答】解：动点Q从M点出发沿直线l向N点移动，当AQ＝AP＝1时，△APQ是等腰三角形；当Q 运动到A 的右侧AQ ＝AP ＝时，△APQ 是直角三角形；当AQ ＝AP ＝1时，因为∠PAN ＝60，此时△APQ 是等边三角形；当AQ ＝2PA ＝2时，△APQ 是直角三角形．∴依次出现的特殊三角形是等腰三角形——直角三角形——等边三角形——直角三角形．故选：D ．【变式4-1】．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＞BC ，作高线CE ，角平分线BF ，中线AD ，三者两两相交于点G ，H ，I ．则下列说法正确的是（ ）A ．△ACE 一定为等腰三角形B ．△ABF 一定为等腰三角形C ．△CFG 一定为等腰三角形D ．△GHI 一定为等腰三角形【分析】IGH ＝∠EGB ＝90°﹣∠1，∠GH ＝90°﹣∠2＝90°﹣∠1，推出∠IGH ＝∠GIH ，即可判断选项D 符合题意．【解答】解：如图，∵CE 是高线，∴∠AEC ＝90°，若△ACE 为等腰三角形，则EA ＝EC ，∴∠EAC ＝∠ECA ＝45°，而题设中∠BAC并不一定是45°，故选项A不符合题意；∵AB＝AC＞BC，若△ABF为等腰三角形，则FA＝FB，∴∠FAB＝∠FBA＝∠1，∵角平分线BF，∴∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB＝2∠1，∴5∠1＝180°，∴∠1＝36°＝∠BAC，而题设中∠BAC并不一定是36°，故选项B不符合题意，同理选项C不符合题意；∵AB＝AC，中线AD，∴AD⊥BC，∵角平分线BF，CE是高线，∴∠IGH＝∠EGB＝90°﹣∠1，∠GIH＝90°﹣∠2＝90°﹣∠1，即∠IGH＝∠GIH，∴IH＝HG，∴△GHI一定为等腰三角形，故选项D符合题意．故选：D．【变式4-2】．（2023秋•义乌市校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 6 ．【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG＝∠EGB，从而得到EB＝EG，同理可得DF＝DC，再根据EB+DC ＝EG+DF＝ED+FG即可得答案．【解答】解：∵BG平分∠EBC，∴∠EBG＝∠GBC，∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG，同理可得DF＝DC，∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6，故答案为：6．【变式4-3】．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE．（1）求证：DG⊥CE．（2）若AF＝EF，求∠B的度数．【分析】（1）连接DE ADB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到DE＝CD，根据等腰三角形的性质得到结论．（2）根据余角的性质得到∠B+∠BAD＝90°，求得∠BAD＝90°﹣∠B，根据等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠BAF＝90°﹣∠B，∠DEC＝∠ECD，设∠DEC＝∠ECD＝α，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接DE，∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝90°，∵DE是AB边上的中线，∴BE＝，∵AE＝CD，∴DE＝CD，∵点G为CE的中点，∴DG⊥CE．（2）解：连接DE，则DE＝AE＝CD，∵点G为CE的中点，∴DG⊥CE，∵BE＝DE，EF＝AF，∴∠B＝∠BDE，设∠B＝∠BDE＝x，则∠AED＝2x，∠AEF＝y，∴∠DEF＝2x﹣y，∵DE＝DC，∴∠DEF＝∠BDE＝x，∴2x﹣y＝x，∴y＝x，∴x+x＝90°，∴x＝36°，∴∠B＝36°．【变式4-4】．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．（1）求证：△OBC为等腰三角形；（2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数．【分析】（1）连接OA，如图，利用等腰三角形的性质得到CF⊥AB，则CF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，所以OB＝OC，从而得到结论；（2）利用等腰三角形的性质得到CF平分∠ACB，则∠BCF＝∠ACF＝23°，再利用OB＝OC得到∠OBC ＝∠OCB＝23°，接着根据互余计算出∠DEC＝44°，然后根据三角形外角性质计算∠BOE的度数．【解答】（1）证明：连接OA，如图，∵AC＝BC，点F为AB的中点，∴CF⊥AB，∴CF垂直平分AB，∴OA＝OB，∵DE垂直平分AC，∴OA＝OC，∴OB＝OC，∴△OBC为等腰三角形；（2）解：∵CA＝CB，CF⊥AB∴CF平分∠ACB，∴∠BCF＝∠ACF＝23°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝23°，∵∠EDC＝90°∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣23°﹣23°＝44°，∵∠OEC＝∠OBE+∠BOE，∴∠BOE＝44°﹣23°＝21°．【变式4-5】．（2023秋•婺城区校级月考）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 4 个．（2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 2 个．想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画 5 条．算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数．【分析】（1）根据等腰三角形的判定，两个边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论；（2）以O为圆心，OA为半径画弧，交AB于两点，即可得到结论；想一想：①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CE，于是得到结论；算一算：如图3，当AD＝CD，①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝80°；②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB ＝20°；③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°；如图4，当AC＝AE，CE＝BE时，G根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，①当AO＝OP1，②当AO＝AP2；③当AO＝OP3，④当AP4＝OP4，这样的等腰三角形能画4个．故答案为：4；（2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点；故这样的等腰三角形能画2个，故答案为：2；想一想：如图2中，①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CE，④当AD＝CD，⑤当BE＝EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条，故答案为：5；算一算：如图3，当AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝10°，∴∠CDB＝20°，∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝80°；②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝20°；③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°；如图4，当AC＝AE，CE＝BE时，∵∠A＝10°，∴∠ACE＝∠AEC＝85°，∴∠B＝∠BCE＝42.5°，如图5，当AC＝CE，CE＝BE时，∵∠A＝10°，∴∠AEC＝∠A＝10°，∴∠B＝5°，综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为80°或20°或140°或42.5°或5°．【变式4-6】．（2022秋•金华期中）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4．（1）试说明△ABC是等腰三角形；＝160cm2，动点M从点B出发以每秒3cm的速度沿线段BA向点A运动，同时（2）如图2，已知S△ABC动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t（秒），使△DMN的一边与BC平行？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，根据等腰三角形的概念证明结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD，分当MN∥BC、DN∥BC两种情况，根据平行线分线段成比例定理列出方程，解方程得到答案．【解答】（1）证明：设BD＝2x，则AD＝3x，CD＝4x，∴AB＝BD+AD＝5x，在Rt△ACD中，AC＝＝5x，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB＝5x，CD＝4x，＝×5x×4x＝160，而x＞0，∴S△ABC∴x＝4（cm），则BD＝8cm，AD＝12cm，CD＝16cm，AB＝AC＝20cm，由题意知，AM＝（20﹣3t）cm，AN＝3t cm，当MN∥BC时，AM＝AN，即20﹣3t＝3t，∴t＝；当DN∥BC时，AD＝AN，∴12＝3t，∴t＝4，∴△DMN的边与BC平行时，t值为或4．【变式4-7】．（2023秋•江北区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P 从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（点A除外），求t的值；（2）点P运动的过程中，当△BPC为等腰三角形时，则t的值．【分析】（1）过P作PE⊥AB，设CP＝x，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程式进行解答即可；（2）分类讨论：当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD＝CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP＝AB＝5，易得t的值；当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值．【解答】解：（1）如图1，过P作PE⊥AB，∵∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝8，∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴CP＝EP，在Rt△ACP和Rt△AEP中，，∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL），∴AC＝8cm＝AE，BE＝2，设CP＝x，则BP＝6﹣x，PE＝x，∴Rt△BEP中，BE2+PE2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2，解得x＝，∴CP＝，∴CA+CP＝8+＝，∴t＝÷1＝；当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，此时，t＝（10+8+6）÷1＝24．综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或6；（2）①如图2，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，则t＝8﹣6，解得t＝2；②如图3，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，∴t＝20；③如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，根据面积法求得CD＝4.8，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝3.6，∴PB＝2BD＝7.2，∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，此时t＝21.2；④如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，∴PD为△ABC的中位线，∴AP＝BP＝AB＝5，∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，∴t＝19；综上所述，t为2或21.2或20或19时，△BCP为等腰三角形．故答案为：2或21.2或20或19．。
等腰三角形的性质及判定含答案
等腰三角形的性质及判定一．选择题（共30小题）1．如图，已知AB＝AC＝BD，那么（）A．∠1＝∠2B．2∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．3∠1﹣∠2＝180°2．如图，△ABC中，CA＝CB，∠A＝20°，则三角形的外角∠BCD的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．140°3．若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个4．如果某等腰三角形的两条边长分别为4和8，那么它的周长为（）A．16B．20C．20或16D．不确定5．△ABC中，AB＝AC，顶角是120°，则一个底角等于（）A．120°B．90°C．60°D．30°6．已知等腰三角形ABC的两边满足+|6﹣BC|＝0，则此三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（不含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．3个C．2个D．1个8．已知等腰三角形的两边长分别为6和1，则这个等腰三角形的周长为（）A．13B．8C．10D．8或139．若等腰三角形的周长为26cm，底边为11cm，则腰长为（）A．11cm B．11cm或7.5cmC．7.5cm D．以上都不对10．若实数m、n满足|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12B．15C．12或15D．911．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．在射线BC上取一点D，使得△ABD 为等腰三角形，这样的等腰三角形有几个？（）A．2个B．3个C．4个D．5个12．若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（）A．15或17B．16C．14D．14或1613．若等腰三角形的顶角为70°，则它的一个底角度数为（）A．70°或55°B．55°C．70°D．65°14．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．等腰三角形的一个角是30°，则这个等腰三角形的底角为（）A．75°B．30°C．75°或30°D．不能确定16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于E，CD平分∠ACB 交BE于D，图中等腰三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个17．如图，直线l1，l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1，l2上找一点C，使△ABC 为一个等腰三角形，满足条件的点C有（）A．2个B．4个C．6个D．8个18．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（）A．54°B．60°C．72°D．76°19．如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（）A．AB＝AC B．AD⊥BCC．∠BAD＝∠CAD D．△ABC是等边三角形20．等腰三角形的边长为2和3，那么它的周长为（）A．8B．7C．8或7D．以上都不对21．等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）A．55°B．70°C．40°或70°D．55°或70°22．如图所示，在三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在BC上分别取点D，E使∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，则图中的等腰三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个23．三角形三个内角的比是∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．不能确定24．小方画了一个有两边长为3和5的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（）A．11B．13C．8D．11或1325．如图钢架中，∠A＝a，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．若P1A ＝P1P2，且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是（）A．15°≤a＜18°B．15°＜a≤18°C．18°≤a＜22.5°D．18°＜a≤22.5°26．已知等腰△ABC中，∠A＝120°，则底角的大小为（）A．60°B．30°或120°C．120°D．30°27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，该三角形的面积为65，点D是边BC上任意一点，则点D分别到边AB，AC的距离之和等于（）A．5B．6.5C．9D．1028．如图，直线L1∥L2，点A、B在L1上，点C在L2上，若AB＝AC、∠ABC＝70°，则∠1的大小为（）A．20°B．40°C．35°D．70°29．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°30．等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则另两条边的长是（）A．5、5B．2、8C．5、5或2、8D．以上结果都不对二．填空题（共15小题）31．等腰三角形的一个内角为30°，那么其它两个角的度数为______．32．已知AD是△ABC的高，若AB＝AC，BC＝4，则CD＝______，33．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在y轴上找一点P，使△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点共有______个．34．如图，直线a、b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有______．35．若等腰三角形的两边的长分别为3和10，则它的周长为______．36．如果等腰三角形的两边长分别是6、8，那么它的周长是______．37．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AE＝AO，BF＝BO，则∠EOF的度数是______．38．等腰△ABC的边长分别为6和8，则△ABC的周长为______．39．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是______．40．已知等腰三角形的周长为20，底长为x，则x的取值范围是______．41．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为______cm．42．如图，△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上两点，AD＝AE，BE＝6，DE＝4，则EC ＝______．43．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C═30°，DA⊥BA于点A，BC＝16cm，则AD＝______．44．如图，AB＝AC＝CD，∠BAC＝56°，则∠B＝______，∠D＝______．45．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有______个．三．解答题（共5小题）46．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．47．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，①求证：△APF是等腰三角形；②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．48．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．49．已知等腰三角形的周长为24cm，其中两边之差为6cm，求这个等腰三角形的腰长．50．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB，EC＝EA．（1）求∠A的度数；（2）若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．等腰三角形的性质及判定参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．解：∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠1，∵∠1＝∠C+∠2，∴∠BAD＝∠1＝∠C+∠2，∵∠B+∠1+∠BAD＝180°，∴∠C+2∠1＝180°，∵∠C＝∠1﹣∠2，∴∠1﹣∠2+2∠1＝180°，即3∠1﹣∠2＝180°．故选：D．2．解：∵CA＝CB，∠A＝20°，∴∠B＝∠A＝20°，∴∠BCD＝∠A+∠B＝40°，故选：B．3．解：如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有2个．故选：C．4．解：若4为腰，8为底边，此时4+4＝8，不能构成三角形，故4不能为腰；若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长为4+8+8＝20，综上三角形的周长为20．故选：B．5．解：∵△ABC中，AB＝AC，顶角是120°，∴∠B＝∠C，∠A＝120°∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝＝30°，故选：D．6．解：∵+|6﹣BC|＝0，∴AB﹣3＝0，6﹣BC＝0，解得AB＝3，BC＝6，（1）若AB是腰长，BC为底，则三角形的三边长为：3、3、6，不能能组成三角形，（2）若AB是底边长，BC为腰，则三角形的三边长为：3、6、6，能组成角形，周长为3+6+6＝15．故此三角形的周长为15．故选：B．7．解：过A作AE⊥BC，∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，∴AE＝＝3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD＝3或4，∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个，故选：B．8．解：当等腰三角形的腰为1时，三边为1，1，6，1+1＝2＜6，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为6时，三边为1，6，6，三边关系成立，周长为1+6+6＝13．故选：A．9．解：∵11cm是底边，∴腰长＝（26﹣11）＝7.5cm，故选：C．10．解：|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，∴m﹣3＝0，n﹣6＝0，解得m＝3，n＝6，当m＝3作腰时，三边为3，3，6，不符合三边关系定理；当n＝6作腰时，三边为3，6，6，符合三边关系定理，周长为：3+6+6＝15．故选：B．11．解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，①如图1，当AB＝AD＝10时，CD＝CB＝6时，CD＝CB＝6，得△ABD的等腰三角形．②如图2，当AB＝BD＝10时，△ABD是等腰三角形；③如图3，当AB为底时，AD＝BD时，△ABD是等腰三角形．故选：B．12．解：当4为底边时，腰长为6，则这个等腰三角形的周长＝4+6+6＝16；当6为底边时，腰长为4，则这个等腰三角形的周长＝4+4+6＝14；故选：D．13．解：∵等腰三角形的顶角为70°，∴它的一个底角度数为（180°﹣70°）＝55°，故选：B．14．解：如图所示：由勾股定理得：AB＝＝，①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；若AC＝BC，则不存在这样格点．∴这样的C点有5个．故选：D．15．解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣30°）÷2＝75°；②当这个角是底角时，底角＝30°；故选：C．16．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴△ABC是等腰三角形．∴∠C＝∠ABC＝72°．∵BD平分∠ABC交AC于E，∴∠ABE＝∠EBC＝36°，∵∠A＝∠ABE＝36°，∴△ABE是等腰三角形．∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，∴△BEC是等腰三角形．∵∠DBC＝∠DCB＝36°，∴△BCD是等腰三角形，∵∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝72°＝∠DEC，∴△CDE是等腰三角形，∴共有5个等腰三角形．故选：C．17．解：以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点；以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点，再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点，共有8个点，故选：D．18．解：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝36°，∵BC∥AO，∴∠BCA＝∠A＝36°，∴∠BCO＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝72°．故选：C．19．解：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴选项A不符合题意；∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴选项B、选项C不符合题意；当△ABC中有一个角为60°时，△ABC是等边三角形，∴选项D符合题意；故选：D．20．解：分两种情况讨论：当这个三角形的底边是2时，三角形的三边分别是2、3、3，能够组成三角形，则三角形的周长是8；当这个三角形的底边是3时，三角形的三边分别是2、2、3，能够组成三角形，则三角形的周长是7．故等腰三角形的周长为8或7．故选：C．21．解：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为＝70°．故选：B．22．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，∵∠BAD＝∠B＝36°，∴△ABD是等腰三角形，∵∠CAE＝∠C＝36°，∴△AEC是等腰三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝72°，∴△ADC是等腰三角形，同理，△ABE是等腰三角形，∴∠ADE＝∠AED＝72°，∴△ADE是等腰三角形，故选：D．23．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°．则该三角形的等腰直角三角形．故选：B．24．解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3时，能构成三角形，周长＝2×3+5＝11；（2）当腰长为5时，能构成三角形，周长＝2×5+3＝13．故选：D．25．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A＝4α°，∵要使得这样的钢条只能焊上4根，∴∠P5P4B＝5α°，由题意，∴18°≤α＜22.5°．故选：C．26．解：∵在等腰△ABC中，∵∠A＝120°，∴∠A为等腰三角形的顶角，∴∠B＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°；故选：D．27．解：连接AD，∵在△ABC中，AB＝AC＝13，该三角形的面积为65，∴三角形ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积＝AB•DN+AC•DM＝AB•（DN+DM）＝×13×（DN+DM）＝65，解得：DN+DM＝10．故选：D．28．解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∵直线l1∥l2，∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．29．解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝＝70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选：D．30．解：当腰长为8时，底长为：18﹣8×2＝2；2+8＞8，能构成三角形；当底长为8时，腰长为：（18﹣8）÷2＝5；5+5＞8，能构成三角形．故另两条边的长是5、5或2、8．故选：C．二．填空题（共15小题）31．解：①30°是顶角，则底角＝（180°﹣30°）＝75°；②30°是底角，则顶角＝180°﹣30°×2＝120°．∴另两个角的度数分别是75°、75°或30°、120°．故答案为75°、75°或30°、120°．32．解：∵AD是△ABC的高，AB＝AC，∴CD＝BD＝BC＝4＝2，故答案为：2．33．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P．③当AP＝BP时，在y轴上有一点满足条件的点P．综上所述：符合条件的点P共有4个．故答案为：434．解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，1+1+2＝4，故答案为：435．解：（1）若3为腰长，10为底边长，由于3+3＜10，则三角形不存在；（2）若10为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为10+10+3＝23．故答案为：23．36．解：当6是腰长时，周长＝6+6+8＝20；当8是腰长时，周长＝6+8+8＝22．故周长是20或22．故答案为：20或22．37．解：∵Rt△ABC中，AC⊥BC，∴∠A+∠B＝90°，∵AE＝AO，BF＝BO，∴∠AOE＝∠AEO＝，∠BOF＝∠BFO＝，∴∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF＝180°﹣（+）＝（∠A+∠B）＝45°，故答案为45°．38．解：当6为底时，三角形的三边为6，8、8可以构成三角形，周长为6+8+8＝22；当8为底时，三角形的三边为8，6、6可以构成三角形，周长为8+6+6＝20．则△ABC的周长为22或20．故答案为：22或20．39．解：设底角为x°，则顶角为3x°，根据题意得：x+x+3x＝180解得：x＝36；故答案为：36°．40．解：根据三角形的三边关系，x＜（20﹣x），解得x＜10，∴x的取值范围是0＜x＜10．故答案为：0＜x＜10．41．解：设较短的边长为xcm，则较长的边长为2xcm，①若较短的边为底边，较长的边为腰，则x+2x+2x＝20，解得x＝4，此时三角形三边长分别为4cm，8cm，8cm，能组成三角形；②若较短的边为腰，较长的边为底边，则x+x+2x＝20，解得x＝5，此时三角形三边长分别为5cm，5cm，10cm，∵5+5＝10，∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能围成三角形；综上所述，等腰三角形的腰长8cm，故答案为8．42．证明：∵BE＝6，DE＝4，∴BD＝BE﹣DE＝2，过A作AP⊥BC于P，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝CP，同理有DP＝EP，∴CE＝BD＝2，故答案为：2．43．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，∵BC＝16cm，∴AD＝cm，故答案为：cm．44．解：∵AB＝AC，∠BAC＝56°∴∠B＝∠ACB＝＝62°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∴∠D＝∠ACB＝31°，故答案为：62°，31°．45．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故答案为：8．三．解答题（共5小题）46．解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°．则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．47．①证明：∵EF∥AD，∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠P，∴AF＝AP，即△APF是等腰三角形；②AB＝PC．理由如下：证明：∵CH∥AB，∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，∵EF∥AD，∴∠1＝∠3，∴∠H＝∠3，在△BEF和△CDH中，∵，∴△BEF≌△CDH（AAS），∴BF＝CH，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠H，∴AC＝CH，∴AC＝BF，∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，∴AB＝PC．48．解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，∴∠DAC＝45°，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝15°，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；（3）∠DAE＝∠BAC，理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x ∴∠DAE＝∠BAC．49．解：设三角形的腰为x，底为y，根据题意得或，解得或，又知6+6＜12，不能构成三角形，即等腰三角形的腰长为：10cm．50．解：（1）∵EA＝EC，∴设∠A＝∠2＝x，∵EC平分∠ACB，∴∠ACB＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2x，在△ABC中，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°；（2）∵∠A＝∠2，∴∠2＝36°，∵BD⊥AC，∴∠DFC＝90°﹣36°＝54°，∴∠1＝∠DFC＝54°．第1页（共1页）。
特殊三角形的性质-等腰三角形易错题
选择题1、等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两部分，则腰长为（）A、6B、8C、10D、6或82、等腰三角形的周长为19cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边边长为（）A、9cmB、5cmC、9cm或5cmD、10cm3、等腰三角形的腰长等于2m，面积等于1m2，则它的顶角等于（）A、150°B、30°C、150°或30°D、60°4、若等腰三角形的周长为10，一边长为4，则此等腰三角形的腰长为（）A、2B、3C、4D、3或45、下列说法中正确的是（）A、等腰三角形的两个底角的角平分线所夹的角是这个等腰三角形顶角的两倍B、在等腰三角形中“三线合一”是指等腰三角形的中线、高线、角平分线重合C、等边对等角D、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形6、等腰三角形有两条边长为3和5，则它的周长可以是（）A、12B、11C、10D、11或137、等腰三角形的对称轴有（）A、一条B、二条C、三条D、一条或三条8、等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A、16cmB、4cmC、20cmD、16cm或4cm9、等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，其它两边长分别为（）A、4cm，10cmB、7cm，7cmC、4cm，10cm或7cm，7cmD、无法确定10、一个等腰而非等边的三角形，它的所有的内角平分线、中线和高的条数为（）A、9B、6C、7D、311、已知等腰三角形的两边长分别为8与16，则其周长为（）A、32B、40C、32或40D、8或1612、一个等腰三角形的周长是16，其中一边长是6，另两边长分别是（）A、6和10B、6和4C、5和5D、5和5或4和613、等腰三角形ABC，其中AB=8cm，周长为20cm，则这个等腰三角形的腰长是（）A、8cmB、4cmC、6cmD、6cm或8cm14、等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（）A、4cm或10cmB、4cm或7cmC、4cmD、7cm15、如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A是（）A、30°B、45°C、60°D、20°16、有下列命题说法：①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个17、等腰三角形中一个角是40°，则另外两个角的度数分别是（）A、70°，70°B、40°，100°C、40°，40°D、70°，70°或40°，100°18、如图，一钢架中，∠A=15°，焊上等长的钢条来加固钢架．若A P1=P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（）条．A、4B、5C、6D、7填空题19、（2009•广安）一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为_________cm．20、（2007•双柏县）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为_________．21、等腰三角形的对称轴最多有_________条．22、一个等腰三角形周长为5，它的三边长都是整数，则底边长为_________．23、若等腰三角形的三条边长分别为a2+1，a+1，4a﹣3，则a可以取的值为_________．24、等腰三角形一个底角为36°，则此等腰三角形顶角为_________度．25、等腰三角形的两边长为5cm，10cm，则它的周长等于_________cm．26、一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，则它的各个内角的度数是_________．27、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为_________．28、如图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________度．29、如图，在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是_________度．30、一个三角形有两条边相等，周长为18cm，三角形的一边长为4cm，则其他两边长分别为_________ cm，_________cm．选择题1、（2010•宁波）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A、5个B、6个C、7个D、8个2、（2010•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A、4个B、5个C、6个D、7个3、（2008•大庆）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC 的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）A、3B、4C、6D、74、（2006•贵港）小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A、4B、3C、2D、15、（2004•宿迁）如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A、（1）（2）（3）B、（1）（2）（4）C、（2）（3）（4）D、（1）（3）（4）6、若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、锐角三角形7、△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A、1个B、2个C、3个D、4个8、如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形一定是（）A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形9、在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（）A、（1）和（2）B、（2）和（3）C、（3）和（4）D、（1）和（4）填空题10、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有_________个．11、△ABC中，AD⊥BC于D，且BD=CD，若AB=3，则AC=_________．12、如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形有_________个．13、（2005•绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_________cm．解答题14、（2008•金华）如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC的形状是_________．（直接写出结论，不需证明）15、（2008•乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，如图，并写下了四个等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）16、（2008•温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．17、（2008•内江）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD 与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．18、（2006•南充）已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．19、（2006•兰州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．20、（2006•莱芜）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．21、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．22、如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，并予以证明．（写出一种即可）等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．已知：求证：△AED是等腰三角形．证明：23、已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．24、已知，如图△ABC中，AB=AC，D点在BC上，且BD=AD，DC=AC．将图中的等腰三角形全都写出来．并求∠B的度数．25、如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．26、如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，试说明△ADF是等腰三角形的理由．27、如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=，△ABF是△ADE的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？（4）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？。
等腰三角形随堂练习
等腰三角形练习题一题型研究题型一：等腰三角形的性质+=，则∠B的1．如图，在ABC中，105∠=︒，AD BCBAC⊥，垂足为D，若AB BD CD度数为（）A．20︒B．25︒C．45︒D．50︒2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=20，点D在边AB上，CA=CD，BD=8，则AD=（）A．2 B．3 C．4 D．63．如图，在ABC中，10==，8AB ACBC=，AD平分BAC∠交BC于点D，点E为AC的△的周长为（）中点，连接DE，则CDEA．12 B．13 C．14 D．18题型二：等腰三角形的判定4．点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CF与DE相交于点G．(1)求证∠E＝∠F；(2)若CF＝10，DG＝4，求EG的长．5．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，且MN ∥BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ．求证：MN ＝BM +CN ．6．【问题提出】在ABC 中，2ACB B ∠=∠，AD 为BAC ∠的角平分线，探究线段AB ，AC ，CD 的数量关系．【问题解决】如图1，当90ACB ∠=︒，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，易得AB AC CD =+；由此，如图2，当90ACB ∠≠︒时，猜想线段AB ，AC ，CD 有怎样的数量关系？给出证明．【方法迁移】如图3，当90ACB ∠≠︒，AD 为ABC 的外角平分线时，探究线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？直接写出结论，不证明．题型三：等边三角形的性质7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，等边三角形ADE的顶点D在BC边上，连接CE，已知∠DCE=90°，CD=2，则AB的长为（）A．2B．31+C．22D．38．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．12AD=，E是高AD上的一个动点，F是边AB 9．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高8的中点，在点E运动的过程中，存在EB EF+的最小值，则这个最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8题型四：等边三角形的判定10．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，点E在AB上，将△BCE沿CE对折得到△FCE，EF恰好过点A，FC边与AD边交于点G，且DC=DG．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)试判断△F AG的形状，并说明理由．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，以AB为一边向上作等边三角形ABD，点E在BC垂直平分线上，且EB⊥AB，连接CE，AE，CD．(1)判断△CBE的形状，并说明理由；(2)求证：AE=DC；(3)若CD与AE相交于点F，CD与AB相交于点G，求∠AFD的度数．12．在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，BD＝CE，BE＝CF，（1）求证：∠B＝∠DEF；（2）连接DF，当∠A的度数是多少时，△DEF是等边三角形．题型五：等腰和等边三角形的综合问题13．如图，ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，AD BE =，线段AE ，CD 交于点F ．作AEH CFE ∠=∠，交CF 于点H ．(1)求证：ACD BAE ∠=∠；(2)用等式表示线段AF ，DF ，CH 之间的数量关系，并证明．14．已知在ABC 中，BAC 45∠=︒，AE ，BF 是ABC 的高，分别交BC ，AC 于点E ，F ．(1)如图1，若ABC C ∠<∠，且75BDE ∠=︒，求BAE ∠的度数；(2)如图2，若ABC C ∠=∠．①求BAE ∠的度数；②求证：ADF BCF ≌△△．15．在等边△ABC中，D为BA延长线上一点，F为BC上一点，过B作BE∥AC，连接DE，EF，且∠DEF＝60°．(1)如图1，若BE＝2，BD＝5，求BF的长．(2)如图2，若F为CB延长线上一点，试探究BD、BE、BF的关系，并说明理由．(3)如图3，若F为BC延长线上一点，且AD：BE：AC＝1：2：3，请直接写出CF：BE的值．二随堂练习一、单选题16．如图，等边△ABC 中，AD 为BC 边上的高，点M 、N 分别在AD 、AC 上，且AM ＝CN ，连BM 、BN ，当BM +BN 最小时，∠MBN 的度数为（ ）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．47.5°17．如图，已知ABC 是等腰三角形，AB BC =，BD 平分ABC ∠，若6AC =，则AD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．818．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()2,0，若点A 在第一象限内，且AB OB =，60AOB ∠=︒，则点A 到y 轴的距离为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2 19．如图，30ABC ︒∠=，点D 是它内部一点，BD m =．点E ，F 分别是BA ，BC 上的两个动点，则DEF 周长的最小值为（ ）A ．0.5mB ．mC ．1.5mD ．2m20．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点D 的对应点为点,F CF 与AB 交于点E ，若长方形ABCD 的周长为16，则CBE △的周长为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．421．如图，ABC 中，AB BC =，60C ∠=°，AD 是BC 上的高，DE AC ∥，图中与BD （BD 除外）相等的线段共有（ ）条．A ．1B ．2C ．3D ．422．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM +CN ＝9，则线段MN 的长（ ）A ．大于9B ．等于9C ．小于9D ．不能确定23．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，且BD CE =，DC BF =，且60EDF ∠=︒．(1)求证：BDF CED △≌△；(2)判断ABC 的形状，并说明理由．24．△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且AD ＝CE ，连接AE 、BD 交于点F ．(1)如图1，求∠BFE 的度数；(2)如图2，连接CF ，当CF ⊥BD 时，求AF BF的值； (3)如图3，点P 在线段AE 上，连接CP ，且CP ＝AF ，在图中找出与线段 AP 相等的线段，并证明．高分突破一：选择题25．如图，在ACD △中，60CAD ∠=︒，以AC 为底边向外作等腰ABC ，60BAC ADC ∠+∠=︒，在CD 上截取DE AB =，连接BE ．若30BEC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°26．如图，将一个等腰直角三角形△ABC 按如图方式折叠，若DE =a ，DC =b ，下列四个结论：①DC ′平分∠BDE ；②BC 长为2a +b ；③△BDC ′是等腰三角形；④△CED 的周长等于BC 的长．其中，正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．②③D ．②④27．如图，过边长为4的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A =CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．95B ．2C ．115D ．12528．已知：如图在ABC ∆，ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD CE =；②BD CE ⊥；③45ACE DBC ∠+∠=︒；④180BAE DAC ∠+∠=︒，其中结论正确的个数是（ ）（注:等腰三角形的两个底角相等）A ．1B ．2C ．3D ．429．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE =BD +CE ；③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF =CF ．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．①30．如图，∠EAF ＝18°，AB BC CD ==，则∠ECD 等于（ ）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°31．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB =90°，M 是AB 边上的中点，点D 、E 分别是AC 、BC 边上的动点，DE 与CM 相交于点F 且∠DME ＝90°．则下列5个结论：（1）图中共有两对全等三角形；（2）△DEM 是等腰三角形；（3）∠CDM ＝∠CFE ；（4）AD +BE ＝AC ；（5）四边形CDME 的面积发生改变．其中正确的结论有个（ ）A ．2B ．3C ．4D ．532．如图所示，△ABC 与△ADE 顶点A 重合，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且AB ＝AC ，AD ＝DE ，∠B ＝∠ADE ＝40°，则∠EDC 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．5033．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，把△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 上的点F 处，若点F 为BC 的中点，则CE AC 的值是（ ） A ．12B ．22C ．25D ．38 二、填空题 34．如图，1230∠=∠=︒，A B ∠=∠，AE BE =，点D 在边AC 上，AE 与BD 相交于点O ，则∠C 的度数为______．35．如图，在ABC 中，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ，连结BD ．若AB BD =，BCD △的面积为10，则ABC 的面积为______．36．如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =10，BC =16，AD 是BC 边上的中线且AD =6，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF +EF 的最小值等于______．37．如图，已知等腰△ABC ，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP =OC ，下面结论：①∠ACO=15°；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC 是等边三角形；④AC=AO+AP ；其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．38．如图，在R △ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点，点E 在AB 边上，连接DE ，过点D作DE 的垂线，交AC 于点F ．下列结论：①△AED ≌△CFD ；②EF ＝AD ；③BE +CF ＝AC ；④S 四边形AEDF ＝12AD 2，其中正确的结论是 _____（填序号）．三、解答题39．如图，在ABC 中，60ACB ∠=︒，点D 在AC 上，BC CD =，以AB 为边向左侧作等边三角形ABE ，连ED ．(1)求证：ABC EBD ≌△△；(2)过点B 作BF ED ⊥于点F ，2DF =，求BD 的长．40．如图，ABC 是等边三角形，过点B 作BD //AC ，点D 在直线AB 下方，在射线BD 上截取2BD BC =，连接AE ．(1)用无刻度的直尺和圆规按要求作图，并在图中标出相应字母（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）条件下，求证：AE AB ⊥．41．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，3AB AC ==，D 为BC 边的中点，点E 、F 分别在AB 、AC 边上运动，且始终保持BE AF =，连接DE 、DF 、EF ．(1)求证：ADE ≌CDF ；(2)判断DEF 的形状，并说明理由；(3)求四边形AEDF 的面积；(4)若2BE =，求EF 的长．42．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD 是BC 的中线，AE BF =．(1)求证：DE DF =(2)DEF 是什么形状的三角形？请说明理由．43．在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且AD =BE ，BD =AC ，连接CD 、DE ．(1)如图1，求证：DE =CD ；(2)如图2，过E 作EF ⊥AB 于F ，求证：∠FED =∠CED ；(3)如图3，若延长ED 、CA 相交于G ，求证：D 为EG 的中点．44．如图1，在△ABC 中，AB AC =，点E 在线段BC 上，连接AE 并延长到G ，使得EG AE =，过点G 作GD BA ∥分别交BC ，AC 于点F ，D ．(1)求证：△≌△ABE GFE ；(2)若3GD =，1CD =，求AB 的长度；(3)如图2，过点D 作DH BC ⊥于H ，P 是直线DH 上的一个动点，连接AF ，AP ，FP ，若45C ∠=︒，2AF =，在（2）条件下，求△AFP 周长的最小值．45．已知△ABC ≌△ADE ，且它们都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°．(1)如图1，当点D在边AC上时，连接BD并延长交CE于点F，①求证：∠CBD=∠EDF；②求证：点F为线段CE的中点；(2)△ADE绕着点A顺时针旋转，如图2所示，连接BD并延长交CE于点F，点F还是线段CE的中点吗？请说明理由．。
专题19 等腰三角形(归纳与讲解)(解析版)
专题19 等腰三角形【专题目录】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【题型】一、等腰三角形的定义【题型】二、根据等边对等角求角度【题型】三、根据三线合一求解【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形【题型】五、根据等角对等边求边长【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合【题型】七、等边三角形的性质【题型】八、含30°角的直角三角形【考纲要求】1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2.了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3.掌握线段中垂线的性质及判定．【考点总结】一、等腰三角形【考点总结】二、等边三角形【考点总结】三、直角三角形【技巧归纳】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法【类型】一、作“三线”中的“一线”1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.【类型】二、作平行线法2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD.(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【类型】三、截长补短法3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.【类型】四、加倍折半法4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.参考答案1．证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF.∴DE＝DF.2．(1)证明：如图①，过点P作PF∥AC交BC于F.①点P和点Q同时出发，且速度相同，①BP＝CQ.①PF①AQ，①①PFB＝①ACB，①DPF＝①DQC.又①AB＝AC，①①B＝①ACB，①①B＝①PFB，①BP＝FP，①FP＝CQ.在①PFD和①QCD中，①DPF＝①DQC，①PDF＝①QDC，FP＝CQ，①①PFD①①QCD(AAS)，①PD＝QD.(2)解：线段ED的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝E F.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝12BC，∴线段ED的长度保持不变．3．证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.∵∠A BE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形．∴∠AEB＝60°，AB＝AE.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB.4．解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝DC，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠C，可设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠EAC ＋∠C ＝2x ，∴∠B ＝2x ，∴∠BAE ＝180°－2x －2x ＝180°－4x.∵∠BAC ＝120°，∴∠BAE ＋∠EAC ＝120°，即180°－4x ＋x ＝120°，解得x ＝20°，则∠C ＝20°.5．证明：如图，延长CE 到点F ，使EF ＝CE ，连接FB ，则CF ＝2CE.∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝BE.在△BEF 和△AEC 中，⎩⎨⎧BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEC ，EF ＝EC ，∴△BEF ≌△AEC(SAS)． ∴∠EBF ＝∠A ，BF ＝AC.又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF.∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD.又∵AB ＝AC ，AC ＝BF ，∴BF ＝BD.在△CBF 与△CBD 中，⎩⎨⎧CB ＝CB ，∠CBF ＝∠CBD ，BF ＝BD ，∴△CBF ≌△CBD(SAS)．∴CF ＝CD.∴CD ＝2CE.技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形【类型】一、直接运用含30°角的直角三角形的性质1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝1，则BC ＝( )A . 3B ．2C ．3D .3＋22．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝30°，AB ⊥AD ，AD ＝4 cm .求BC 的长．【类型】二、连线段构造含30°角的直角三角形3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE ＝8，求CE的长．4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于点D，交BC 于点E.求证：CE＝2BE.【类型】三、延长两边构造含30°角的直角三角形5．如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．【类型】四、作垂线构造含30°角的直角三角形6．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB＝30°.求证：AD＝2BC.参考答案1．C2．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵AB⊥AD，∴∠ADB＝60°.又∵∠ADB＝∠C＋∠CAD，∴∠CAD＝30°＝∠C.∴CD＝AD＝4 cm.∵AB⊥AD，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8 cm.∴BC＝BD＋CD＝12 cm.3．解：连接AD，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°.在Rt△ADE中，∠EAD＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝16.在△ABC中，AB ＝AC，∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝30°，∴AC＝2AD＝2×16＝32.∴CE＝AC－AE＝32－8＝24.4．证明：如图，连接AE.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠EAC＝120°－30°＝90°.又∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.又∵BE＝AE，∴CE＝2BE.5．解：延长AD，BC交于点E.∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°.又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝180°－120°＝60°.∴△DCE是等边三角形．设CD＝CE＝DE＝a，则有2(1＋a)＝4＋a，解得a＝2.∴CD的长为2.6．证明：过点C作CE⊥AD交AD的延长线于E.∵DC∥AB，∠DAB＝30°，∴∠CDE＝30°.在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE.又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，又∵DC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD.又∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠DAB，∴BC＝CE，∴AD＝2BC.7．证明：过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，则∠DEB＝90 °.∵∠BAD＝30°，∴BE＝12AB.∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠DEB＝∠DAC.又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，∴△BED≌△CAD，∴BE＝AC，∴AC＝12AB.点拨：由结论AC＝12AB和条件∠BAD＝30°，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，这样就得到了直角三角形ABE，这是解决本题的关键．技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【类型】一、当顶角或底角不确定时，分类讨论1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝12BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．【类型】二、当底和腰不确定时，分类讨论4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为() A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．6．若实数x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．【类型】三、当高的位置关系不确定时，分类讨论7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．【类型】四、由腰的垂直平分线引起的分类讨论8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．【类型】五、由腰上的中线引起的分类讨论9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．【类型】六、点的位置不确定引起的分类讨论10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．7个B．6个C．5个D．4个11．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．参考答案1．D 2.C 3.32° 4.C 5.23或25 6.207．解：设AB＝AC，BD⊥AC；(1)高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，如图①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，高在△ABC的内部时，∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如图③，高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各个内角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．8．解：此题分两种情况：(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC ＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小为65°或25°.9．分析：由于题目中没有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”为3 cm，还是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”为3 cm，因此必须分两种情况讨论．解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD，(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，有AB－BC ＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5＋3＝8(cm)；(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，有BC－AB＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5－3＝2(cm)，但是当AB＝2 cm时，三边长分别为2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不能构成三角形，舍去．故腰长为8 cm.[来源:学*科*网Z*X*X*K]10．B11．解：(1)当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)当点D、E在点A的同侧，且点D在D′的位置，E在E′的位置时，如图②，与(1)类似地也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)当点D、E在点A的两侧，且E点在E′的位置时，如图③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC ＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2， 又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C ＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC ＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)当点D 、E 在点A 的两侧，且点D 在D′的位置时，如图④， ∵AD′＝AC ，∴∠AD′C ＝(180°－∠BAC)÷2， ∵BE ＝BC ，∴∠BEC ＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE ＝180°－(∠D′EC ＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC ＋∠AD′C) ＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2] ＝(∠BAC ＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE 的度数为20°或110°或70°.【题型讲解】【题型】一、等腰三角形的定义例1、已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ） A ．9 B ．17或22C ．17D ．22【答案】D【提示】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可． 【详解】解：分两种情况：当腰为4时，449+<，所以不能构成三角形；当腰为9时，994,994+>-<，所以能构成三角形，周长是：99422++=． 故选：D ．【题型】二、根据等边对等角求角度例2、如图，在①ABC 中，①A ＝40°，AB ＝AC ，点D 在AC 边上，以CB ，CD 为边作□BCDE ，则①E 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】D【提示】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出①C的度数，再根据平行四边形的性质解答即可．【详解】解：①①A＝40°，AB＝AC，①①ABC=①C=70°，①四边形ABCD是平行四边形，①①E=①C=70°．故选：D．【题型】三、根据三线合一求解例3、如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【提示】根据尺规作图的方法步骤判断即可．【详解】由作图痕迹可知AD为①BAC的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形例4、下列能断定①ABC为等腰三角形的是（）A．①A=40°，①B=50°B．①A=2①B=70°C．①A=40°，①B=70°D．AB=3，BC=6，周长为14【答案】C【提示】根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长计算是否有相等的边即可判断.【详解】A.①C=180°−40°−50°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；B、①①A=2①B=70°，①①B=35°，①①C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；C 、①C=180°−40°−70°=70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确；D 、①AB=3，BC=6，周长为14，①AC=14−6−3=5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误； 故选C ．【题型】五、根据等角对等边求边长例5、如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（ ）A B C ．D ．【答案】C【提示】先证明,AE AF =再求解,,AB AC 利用轴对称可得答案． 【详解】解：由对折可得：,,AFO CFO AF CF ∠=∠= 矩形ABCD ，//,90,AD BC B ∴∠=︒ ,CFO AEO ∴∠=∠ ,AFO AEO ∴∠=∠ 5,AE AF CF ∴=== 3,BF =4,AB ∴==BC=8AC ∴===由对折得：12OA OC AC === 故选C ．【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合例6、如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离． 1.4≈ 1.7≈，结果精确到1千米）．【答案】A 、B 两点间的距离约为11千米． 【提示】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD 、AD 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD 的长，然后根据线段的和差即可得． 【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，8AC =千米118422CD AC ∴==⨯=（千米），AD == 在Rt BCD 中，45DBC ∠=︒Rt BCD ∴是等腰直角三角形4BD CD ∴==千米44 1.7410.811AB AD BD ∴=+=≈⨯+=≈（千米）答：A 、B 两点间的距离约为11千米．【题型】七、等边三角形的性质例7、如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF ∆的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D【提示】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14． 【详解】①,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点,且①ABC 是等边三角形, ①①ADF①①DBE①①FEC①①DFE, ①①DEF 的面积是14． 故选D ．【题型】八、含30°角的直角三角形例8、如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmCD ．【答案】B【提示】由旋转的性质可知，'=60∠∠=CAB BAB ，进而得出'∆BAB 为等边三角形，进而求出'==2BB AB ．【详解】解：① 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒= 由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知， ①=2=2AB AC cm ，又①CAB =90°-①ABC =90°-30°=60°，由旋转的性质可知：'=60∠∠=CAB BAB ，且'=AB AB ， ①'∆BAB 为等边三角形， ①'==2BB AB ． 故选：B ．等腰三角形（达标训练）一、单选题1．如图，在①ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，连接AE ，若AE ＝4，EC ＝2，则BC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA ＝4，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：①DE 是AB 的垂直平分线，AE ＝4， ①EB ＝EA ＝4，①BC ＝EB ＋EC ＝4＋2＝6， 故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．2．如图，在ABC 中，5AC =，7BC =，9AB =，用图示尺规作图的方法在边AB 上确定一点D ．则ACD 的周长为（ ）．A ．12B ．14C ．16D ．21【答案】B【分析】根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是BC 的垂直平分线，可得CD BD = ，从而得到ACD 的周长为AC CD AD ++ ，即可求解．【详解】解：根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是BC 的垂直平分线， ①CD BD = ， ①9AB =，①9CD AD AD BD AB +=+== ， ①5AC =，①ACD 的周长为5914AC CD AD AC AB ++=+=+= ． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 3．下列命题，错误的是（ ）A ．有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等B ．如果①A 和①B 是对顶角，那么①A ＝①BC ．等腰三角形两腰上的高相等D ．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 【答案】D【分析】利用全等三角形的判定、对顶角的性质、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解：A 、有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确，不符合题意； B 、如果①A 和①B 是对顶角，那么①A ＝①B ，正确，不符合题意； C 、等腰三角形两腰上的高相等，正确，不符合题意；D 、三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等，故原命题错误，符合题意． 故选：D ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定、对顶角的性质、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，属于基础性知识，比较简单．4．如图，点F ，E 在AC 上，AD CB =，D B ∠=∠．添加一个条件，不一定能证明ADE CBF ≌的是（ ）A ．AD BC ∥B ．DE FB ∥C ．DE BF =D ．AE CF =【答案】D【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】A ：①AD BC ∥， ①A C ∠=∠，①在ADE 和CBF 中， A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①()ADE CBF ASA ≌，正确，故本选项错误； B ：①DE FB ∥， ①AED CFB ∠=∠， ①在ADE 和CBF 中，AED CFB D BAD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①()ADE CBF AAS ≌，正确，故本选项错误； C ：①在ADE 和CBF 中， DE BF D B AD CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①()ADE CBF SAS ≌，正确，故本选项错误；D ：根据AD CB =，D B ∠=∠，AE CF =不能推出ADE CBF ≌，错误，故本选项正确． 故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定的应用，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．5．如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 、BC 于点E 、O 、F ，若1216AB BC ==，，则EF 的长为（ ）A ．8B ．15C ．16D ．24【答案】B【分析】根据矩形的性质得到AO =CO ，①AOE =①COF ,根据平行线的性质得出①EAO =①FCO ,根据ASA 推出①AEO ①①CFO ，由全等得到OE =OF ，推出四边形是平行四边形，再根据EF ①AC 即可推出四边形是菱形，根据垂直平分线的性质得出AF =CF ，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】连接AF ，CE ，①EF 是AC 的垂直平分线， ①AO =CO ，①AOE =①COF =90°， ①四边形ABCD 是矩形， ①AD ①BC ， ①①EAO =①FCO ， 在①AEO 和①CFO 中，EAO FCO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩, ①①AEO ①①CFO （ASA ）， ①OE =OF ， 又①OA =OC ，①四边形AECF 是平行四边形， ①EF ①AC ，①平行四边形AECF 是菱形， ①AE =CE ， 设AE =CE =x ，①EF 是AC 的垂直平分线， ①AE =CE =x ，DE =16-x ，在Rt ①CDE 中，222CD DE AE +=,()2221216x x +-=，解得252x =， ①AE =252,①20AC =, ①12AO AC ==10,①152OE =, ①EF =2OE =15, 故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证得四边形AECF 是菱形是解题的关键．二、填空题6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，2BD CD =，点D 到AB 的距离为5.6，则BC =___cm ．【答案】16.8【分析】过D 作DE ①AB 于E ，根据角平分线性质得出CD ＝DE ，再求出BD 长，即可得出BC 的长． 【详解】解：如图，过D 作DE ①AB 于E ，①①C ＝90°， ①CD ①AC ， ①AD 平分①BAC ， ①CD ＝DE ，①D 到AB 的距离等于5.6cm ， ①CD ＝DE ＝5.6cm ， 又①BD ＝2CD ， ①BD ＝11.2cm ，①BC ＝5.6＋11.2＝16.8cm ， 故答案为：16.8．【点睛】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BE CE ⊥于点E ，AD CE ⊥于点D ，请你添加一个条件__________，使BEC CDA ≌（填一个即可）．【答案】AC BC =（答案不唯一）【分析】两个三角形全等已具备的条件是：90ADC CEB ∠=∠=︒，ACD CBE ∠=∠，根据三角形全等的判定方法即可确定添加的条件． 【详解】解：添加的条件是AC BC =， BE CE ⊥，AD CE ⊥，90BEC ADC ∴∠=∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒ ，90ACB ACD ECB ∠=∠+∠=︒，ACD CBE ∴∠=∠，在BEC ∆和CDA ∆中， 90BEC ADC ACD CBEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEC CDA AAS ∴∆≅∆．故答案为：AC BC =（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．三、解答题8．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 对角线上的两点，且BE DF =．求证：AE CF =．【答案】见解析；【分析】根据矩形ABCD 的性质得出AB CD =，ABE CDF ∠=∠ ，再根据BE DF = ，用SAS 可直接证明出ABE CDF ≅，即可证明出AE CF = ． 【详解】证明：ABCD 是矩形， ∴ AB CD = ,ABE CDF ∠=∠，在ABE △和CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ABE CDF ≅()SAS ，AE CF ∴= ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．等腰三角形（提升测评）一、单选题1．如图，点D 、E 分别为①ABC 的边AB 、AC 的中点，点F 在DE 的延长线上，CF ∥BA ，若①ADE 的面积为2，则四边形BCFD 的面积为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】B【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，证明ADEABC ；根据相似三角形的性质计算（相似三角形的面积比等于相似比的平方），可求得S ABC 的面积；根据三角形全等的判定和性质定理，证明ADE ≌CFE ，可得S ADE =S CFE ，从而可得S 四边形BCFD = S ABC 即可． 【详解】解：①D ，E 分别是ABC 的边AB ，AC 的中点 ①DE 是ABC 的中位线 ①AE =CE ，DE ∥BC ，DE =12BC ①ADEABC①S ADE =21()2ABCS①S ADE =2 ①S ABC =8 又①CF ∥BA ①∠A=∠FCE在ADE 和CFE 中，A FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①ADE ≌CFE （ASA ） ①S ADE =S CFE①S ADE + S 四边形BCED =S CFE +S 四边形BCED ①S 四边形BCFD = S ABC =8故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相以三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．如图，Rt①ABC中，①C＝90°，BD平分①ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD ＝3，则①DBE的面积为（）A．10B．12C．9D．6【答案】C【分析】如图：过D作DF①AB于F,然后根据角平分线的性质可得DF=CD=3,然后再根据中点的定义求得BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图：过D作DF①AB于F,①①C＝90°，BD平分①ABC交AC于点D，①DF=CD=3①点E为AB的中点，AB＝12①BE=12AB=6①①DBE的面积为1163922BE DF=⨯⨯=．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出①DBE的高并运用角平分线定理求出成为解答本题的关键．3．如图，Rt①ABC中，①C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为()A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】当DP ①AB 时，根据垂线段最短可知，此时DP 的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP =CD 解决问题；【详解】解：当DP ①AB 时，根据垂线段最短可知，此时DP 的值最小． 由作图可知：AE 平分①BAC ， ①①C =90°， ①DC ①AC ， ①DP ①AB ， ①DP =CD =5， ①PD 的最小值为5， 故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题．4．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在CD 边上，GAE BAE ∠=∠，AG交BF 于点H ，连接,,EH EG CH ．下列结论：①AHE BCF △≌△；①GE BF ∥；①sin ABF ∠=①14GCH ABH S S =△△，其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个．【答案】B【分析】先证明①AHE ①①BCF （AAS ），即可判断①，由三角形的中位线定理可证GE BF ，即可判断①，由勾股定理可求BF 的长，即可求sin①ABF ＝sin①BFC ，即可判断①，由相似三角形的性质可求FH ，CH ，AO 的长，即可求出16GCHABHSS，即可判断①．【详解】解：如图，设BF 与AE 的交点为O ，设AB ＝4a ，①四边形ABCD 是正方形，①AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝4a ，①ABC ＝①BCD ＝90°， ①E ，F 分别为BC ，CD 的中点， ①CF ＝DF ＝2a ＝CE ＝BE ， ①①ABE ①①BCF （SAS ），①①BAE ＝①CBF ，BF ＝AE ，①AEB ＝①BFC ， ①①ABF +①CBF ＝90°＝①ABF +①BAE ， ①①AOB ＝90°＝①AOH ， 又①①BAE ＝①GAE ，AO ＝AO ， ①①AOH ①①AOB （ASA ）， ①AH ＝AB ，①AOB ＝①AOH ＝90°， ①AE 垂直平分BH ，①BE ＝EH ，①ABE ＝①AHE ＝90°，①①AHE ＝①BCF ＝90°，AH ＝AB ＝BC ，①GAE ＝①BAE ＝①BCF ， ①①AHE ①①BCF （AAS ），故①正确； ①AH ＝AB ， ①①AHB ＝①ABH ， ①AB CD ， ①①ABF ＝①CFB ，①①CFB ＝①AHB ＝①CHF ， ①FG ＝GH ， ①HE ＝BE ＝CE ，①①CHE ＝①ECH ，①EHB ＝①EBH ，①①CHE ＋①ECH ＋①EHB ＋①EBH ＝2①CHE ＋2①EHB ＝180°， ①①BHC ＝①CHE ＋①EHB ＝ 90°， ①①GHC ＝①GCH ， ①CG ＝GH ， ①FG ＝GC ＝GH ＝a ， 又①CE ＝BE ， ①GE BF ，故①正确；①BF ==，①sin①ABF ＝sin ①BFC ＝BC BF ==， 故①正确；①①CHF ＝①BCF ＝90°，①CFH ＝①CFB ， ①①CFH ①①BFC ， ①CF CH FHBF BC CF == ，42CH FHa a ==，①CH =，FH =，①BH =，①sin ①ABF ＝AO AB ，①AO =， ①FG ＝GC ，①211122225GCHFCHS S a ==⨯=，①21132225ABHSAO BH a =⨯⨯==， ①16GCHABHSS=，故①错误，故选：B ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．二、填空题5．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点．且BE CF =，连接BF 、DE ，则BF DE +的最小值为______．【答案】【分析】连接AE ，利用ABE BCF △△≌转化线段BF 得到BF DE AE DE +=+,则通过作点A 关于BC 的对称点H ，连接DH 交BC 于点E ，利用勾股定理求出DH 的长即可． 【详解】解：连接AE ，如图1， 四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABE BCF ∠∠==︒，又BE CF =，ABE ∴①(BCF SAS ）． AE BF ∴=．所以BF DE +最小值等于AE DE +最小值． 作点A 关于BC 的对称点H 点，如图2， 连接BH ，则A 、B 、H 三点共线，连接DH ，DH 与BC 的交点即为所求的E 点． 根据对称性可知AE HE =， 所以AE DE DH +=．在Rt ADH中，DH=∴+最小值为BF DE故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．6．正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，连接CE，过点B作BF CE⊥交CD于点F，垂足为G，则EG=______．【分析】先证明①BFC①①CED，得到DE＝CF＝2，CE＝BF，利用勾股定理可求BF的长，由面积法可求EG．【详解】解：正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，∠=∠=︒，DE＝2，BCD ADC∴==，90AD CD BC∴∠+∠=︒，90DCE DEC⊥，BF CE①①CGF＝90°，DCE CFB∴∠+∠=︒，90∴∠=∠，BFC DEC∴△①CEDBFC△（AAS），2DE CF ∴==，CE BF =，BF ∴=CE ∴=1122BFCSBC CF BF CG =⨯⨯=⨯⨯，42∴⨯=，CG ∴，①EG ＝CE －CG【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题7．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 为EF 的中点，连接BD 、DG ．(1)试判断ECF △的形状，并说明理由； (2)求BDG ∠的度数．【答案】(1)ECF △是等腰直角三角形，理由见解析 (2)45°【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义及平行线的性质证得45CEF F ∠=∠=︒，90ECF BCD ∠=∠=︒，再根据等角对等边得到EC FC =即可得到结论；（2）根据矩形性质和等腰直角三角形的性质证得BE CD =，DCG BEG ∠=∠，CG EG ，再根据全等三角形的判定与性质证明DCG BEG ≌△△得到DG BG =，DGC BGE ∠=∠，则有90BGD EGC ∠=∠=︒，进而求解即可．（1）解：ECF △是等腰直角三角形；理由如下：①四边形ABCD 是矩形，①AD BC ∥，AB CD ∥，90DAB ABC BCD ∠=∠=∠=︒，①DAE CEF ∠=∠，BAE F ∠=∠．①AE 平分BAD ∠，①45DAE BAE ∠=∠=︒，①45CEF F ∠=∠=︒，①EC FC =．又①90ECF BCD ∠=∠=︒，①ECF △是等腰直角三角形；（2）解：①四边形ABCD 是矩形，①AB CD =，AD BC ∥，①45BEA BAE ∠=∠=︒①AB BE =，即BE CD =．①EC FC =，90ECF ∠=︒，点G 为EF 的中点， ①12CG EF EG ==，1452ECG ECF ∠=∠=︒，90EGC ∠=︒， ①9045135DCG ∠=︒+︒=︒．①18045135BEG ∠=︒-︒=︒，①DCG BEG ∠=∠．在DCG △和BEG 中，DC BE DCG BEG CG EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()DCG BEG SAS △≌△，①DG BG =，DGC BGE ∠=∠，①90BGD EGC ∠=∠=︒．又①DG BG =，①BGD △是等腰直角三角形①45BDG ∠=︒．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的斜边中线性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明DCG BEG ≌△△是解答的关键． 8．如图，在四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，=AD DE ，CE AD DE BC ∥，∥，作BF CD ∥交线段DE 于点F ，连接AF ，求证：ΔΔDAF EDC ≅．【答案】证明见解析【分析】根据题意得到四边形BCDF 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DF BC =，根据平行线的性质及等腰三角形的性质推出=DF CE ，即可利用SAS 证明ΔΔDAF EDC ≅．【详解】∥DE BC ，BF CD ∥，∴四边形BCDF 是平行四边形，=DF BC ∴，①CE AD ∥，=DAE CEB ∴∠∠，ADF DEC ∠=∠，①∥DE BC ，=DEA CBE ∴∠∠，AD DE =，=DAE DEA ∴∠∠，=CEB CBE ∴∠∠，=CE BC ∴，=DF CE ∴，在ΔDAF 和EDC ∆中，===AD DE ADF DECDF CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，ΔΔ()DAF EDC SAS ∴≅．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定，熟记平行四边形的判定与性质是解题的关键．。
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等腰三角形 一、选择题 1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边
形BCED的面积为（ ）
（A）32 （B）33 （C）34 （D）36
【答案】B 2. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D
在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=CDBC;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
ME
DCB
A
【答案】D 3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， 四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交 CE于点G，连结BE. 下列结论中： ① CE=BD； ② △ADC是等腰直角三角形； ③ ∠ADB=∠AEB； ④ CD·AE=EF·CG； 一定正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别
A B C D E F
G
（第7题） ABCDE交AC、AB 于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30∘，AB＝AC，则∠BDE的度数为何？
A． 45 B． 52．5 C． 67．5 D． 75 【答案】Ｃ 5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为
△ABC、△DEF 的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在DE上，如图(十七)所示．求图(十六)与图(十 七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？
A．2：1 B． 3：2 C． 4：3 D． 5：4 【答案】Ｃ 6. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是 A．15cm B．16cm C．17cm D．16cm或17cm 【答案】D 7. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在ABC△中，13ABAC，10BC，点D
为BC的中点，DEDEAB，垂足为点E，则DE等于（ ）
A．1013 B．1513 C．6013 D．7513 【答案】C 8. 二、填空题 1. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.
【答案】33cm 2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 【答案】4或6 3. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为 ．
【答案】313122或 4. （2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ, EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º ，则∠EGC的度数为
【答案】80º 5. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在△ABC中，AB=AC，40A，则△ABC的外
角∠BCD＝ °．
【答案】110 6. （2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。
【答案】80°。提示：∠A=180°-2×50°=80°。 7. （2011山东济宁，15，3分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上
的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则FGAF ．
（第14题） ABCD 【答案】12 8. （2011湖南怀化，13，3分）如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=__________________.
【答案】4 9. （2011四川乐山16，3分）如图，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连结A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1 B2= B1 A2，连结A2 B2…按此规律上去，记∠A2 B1 B2=1，∠3232ABB，…，∠n+11AnnnBB 则⑴1= ； ⑵ n= 。
【答案】⑴2180 ⑵nn218012 10．（2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。
GFECBA
第15题 D 【答案】80°。 11. （2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，„，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．
（第15题图） 【答案】 12. （2011广东茂名，14，3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一
直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．
【答案】15 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20．
三、解答题 1. （2011广东东莞，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ； （2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）； （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？ 【解】（1）△HGA及△HAB； （2）由（1）可知△AGC∽△HAB
∴CGACABBH，即99xy，
所以，81yx （3）当CG＜12BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH ∵AG＜AC，∴AG＜GH 又AH＞AG，AH＞GH 此时，△AGH不可能是等腰三角形；
当CG=12BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；
此时，GC=922，即x=922 当CG＞12BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA 所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9
综上，当x=9或922时，△AGH是等腰三角形． 2. （2011山东德州19,8分）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O． （1）求证AD=AE；(2) 连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
【答案】（1）证明：在△ACD与△ABE中， A
B C
E D
O
A E D ∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC， ∴ △ACD≌△ABE．„„„„„„„„ 3分 ∴ AD=AE． „„„„„„„„4分 (2) 互相垂直 „„„„„„„„5分 在Rt△ADO与△AEO中， ∵OA=OA，AD=AE， ∴ △ADO≌△AEO． „„„„„„„„„„„„„„6分 ∴ ∠DAO=∠EAO． 即OA是∠BAC的平分线． „„„„„„„„„„„„„„„7分 又∵AB=AC， ∴ OA⊥BC． „„„„„„„„„„„„„„„8分 3. （2011山东日照，23，10分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA． （1）求证：DE平分∠BDC； （2）若点M在DE上，且DC=DM， 求证： ME=BD．
【答案】（1）在等腰直角△ABC中， ∵∠CAD=∠CBD=15o， ∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o， ∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC， ∴∠DCA=∠DCB=45o． 由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o， ∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，
∴∠BDM=∠EDC， ∴DE平分∠BDC； （2）如图，连接MC， ∵DC=DM，且∠MDC=60°， ∴△MDC是等边三角形，即CM=CD． 又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°， ∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°， ∴∠EMC=∠ADC． 又∵CE=CA， ∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．