江苏省海安高级中学高一3月线上考试数学试题
江苏省海安高级中学2019_2020学年高一数学月月考试题
江苏省海安高级中学2019-2020学年高一数学12月月考试题一、选择题：(本大题共13小题，每小题4分，其中1-10题为单选题，11-13为多选题.） 1．已知集合A ={x |-1≤x ≤3}，B ={x ∈Z|x 2<5}，则A ∩B=( )A ．{0，1}B ．{-1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{-2，-1，0，1，2} 2．函数f (x 24x-x +1)的定义域为 ( )A ．[12-，2]B ．[12-，2)C ．(12-，2]D ．(12-，2)3.2πsin()=3-（ ） A. 3B. 12-3 D.124．向量a =(1，x +1)，b =(1- x ，2)，a ⊥b ，则(a +b )∙(a -b )=( ) A ．-15 B ．15 C ．-20 D ．20 5. 已知a =log 52，b =log 73，c =125，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a < b < cB ．a < c < bC ．b < a < cD ．c < b < a6．已知将函数f (x )=sin(2ωx +π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度得到函数g (x )的图象，若函数g (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为π2，则函数g (x )的—个对称中心为( ) A ．(-π6，0) B ．(π6，0) C ．(-π12，0) D ．(π12，0)7．如图，已知△ABC 与△AMN 有一个公共顶点A ，且MN 与BC 的 交点O 平分 BC,若AB mAM =uu u r uuu r ，AC nAN =uuu r uuu r，则m n +的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．6 8．已知函数f (x )=log a x (a >0，a ≠1)的图象经过点2，12).若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[-2，2]时，有g (x )=f (x )，且函数g (x +2)为偶函数，则下列结论正确的是：( )A ．g (π)<g (3)<g 2．g (π)<g 2)<g (3) C ．g 2g (3)<g (π)D ．g 2)<g (π)<g (3)9．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数且(1)()f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f +++++=（ ）A ．4B ．0C ．3D ．210．对于实数a ，b 定义运算“⊗”:22,b a a ba b b a a b-<⎧⊗=⎨-⎩≥，设f (x )=(2x -3)⊗(x -3)，若关于x 的方程f (x )=k (k ∈R)恰有三个互不相同的实根x 1，x 2，x 3则x 1x 2x 3取值范围为( )A ．(0，3)B ．(-1，0)C ．(-∞，0)D ．(-3，0)11．下列四个说法中，错误的选项有（ ）.A ．若函数()f x 在(,0]-∞,(0,)+∞上都是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数B ．已知函数的解析式为2y x =，它的值域为[1,4]，这样的函数有无数个 C ．把函数22xy =的图像向右平移2个单位长度，就得到了函数222x y -=的图像 D ．若函数()f x 为奇函数，则一定有(0)0f = 12．下列命题中，正确的是（ ）.A.已知非零向量,a b rr 满足4a b =r r ，且()2b a b ⊥+r r r ，则a r 与b r 的夹角为56π.B.若,,a b c v v v是平面内三个非零向量，则()()a b c a b c ⋅=⋅v v v v v v ；C.若(sin a θ=v，(b =v ，其中3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则a b ⊥v v； D.若O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，()0,λ∈+∞，则直线AP 一定经过ABC ∆的内心. 13．函数()()()2a xb f x x b c-=-+()0,,0a b R c ≠∈>，()()2g x m f x n =-⎡⎤⎣⎦()0mn >，下列结论：A.函数()f x 的图像关于x 轴上某点成中心对称；B.函数()f x 在R 上单调递增；C.存在实数q p ,，使得()p f x q ≤≤对于任意的实数x 恒成立；D.关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}4,2,0,3--．正确结论为( ) 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共20分． 14. 函数()f x =的单调递减区间为 ▲ ．15.已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos θ=_____▲______.16.已知函数(21),(1)()1log ,(01)3a a x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，当120,0x x >>且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是 ▲ ．17.已知函数()()sin f x x ωϕ=+(016ω<<，02πϕ-<<),()04f π-=,对任意x R ∈恒有()()4f x f π≤且()f x 在区间(,)3216ππ上单调，则ϕ=____,ω的可能值有__________．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．已知实数a 为常数，U =R ，设集合A ={x |31x x -+＞0}，B ={x |y=}，C ={x |x 2﹣(4+a )x +4a ≤0}．（1）求A ∩B ；（2）若∁U A ⊆C ，求a 的取值范围．19．设a =(x ，1)，b =(2，-1)，c =(x -m ，m -1)(x ∈R ，m ∈R).（1）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围； （2）解关于x 的不等式|a +c |<|a -c |.20．我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数()f x 与第x 天近似地满足()88f x x=+（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费()g x 近似地满足()g 14322x x =--（元）．(1)求该村的第x 天的旅游收入()p x ,并求最低日收入为多少？（单位：千元，130x ≤≤，*N x ∈）；(2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入计量依据，并以纯收入的5%税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？21．已知函数())f x x ϕ=+02πϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1).（1）求724f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）利用五点作图作出函数在一个周期内的图像； （3）当5,248x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()f x k =恰有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围.22．对于函数f 1(x )，f 2(x )，h (x )，如果存在实数a ，b 使得h (x )=af 1(x )+bf 2(x )，，那么称h (x )为f 1(x )，f 2(x )，的生成函数. （1）给出函数f 1(x )=lg 10x，f 2(x )=lg(10x )，h (x )=lg x ，h (x )是否为f 1(x )，f 2(x )的生成函数？并说明理由.（2）设f 1(x )=log 2x ，f 2(x )=log 12x ，a =2，b =1，生成函数.若不等式3h 2(x )+2h (x )+t >0在x∈[2，4]上恒成立，求实数t 的取值范围.23．已知函数()2327mx n h x x +=+为奇函数，()13x mk x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，其中m n R ∈、.(1)若函数()h x 的图像过点()1,1A ，求实数m 和n 的值； (2)若3m =，试判断函数()()()11f x h x k x =+在[3,)x ∈+∞上的单调性并证明； (3)设函数()()(),39,3h x x g x k x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩若对每一个不小于3的实数1x ，都恰有一个小于3的实数2x ，使得()()12g x g x =成立，求实数m 的取值范围.阶段测试（二）一、选择题：(本大题共13小题，每小题4分，其中1-10题为单选题，11-13为多选题.） 1． B 2． D 3. A 4． A 5. A 6．D 7． C 8. C 9． B 10． D 11． ACD 12． CD 13． AC三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 14. (],3-∞- ． 15. ________35___. 16. 10,3⎛⎤⎥⎝⎦．17 ϕ=__4π-__, ____3,7,11______．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．解：(1)()()[)3,,1,2,A B =+∞⋃-∞-=+∞则[)2,A B ⋂=+∞. (2) []1,3U C A =-，当[]{}[]4,4,;4,4;4,,4a C a a C a C a >===<=因为∁U A ⊆C ,则4,1a a <⎧⎨≤-⎩解得1a ≤-.19．解：（1）依题意得0a b •<r r 且,a b r r 不反向共线，即210,2x x -<⎧⎨≠-⎩解得12x <且 2.x ≠- （2）依题意得0a c •<r r ，即210x mx m -+-=当2,m =不等式的解集为空集； 当2m >，不等式的解集为()1,1m -；当2m <不等式的解集为()1,1m -.20．解：(1)依据题意，有()()()()8g 814322x f x x x p x ⎛⎫=⋅=+⋅-- ⎪⎝⎭(130x ≤≤,*N x ∈) 即()**9688976,122,N 132081312,2230,N x x x xp x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩，1当*122,N x x ≤≤∈时，()96889769761152x p x x =++≥= (当且仅当11x =时，等号成立) ． 因此，()()p 111152min p x == (千元) ．2当*2230,N x x <≤∈时，()132081312p x xx =-++． 易知函数132081312xy x =-++ 在(]22,30上单调递减，于是，()()301116min p x p == (千元) ． 又11521116>，所以，日最低收入为1116千元．(2)该村两年可收回的投资资金为111620%5%301228035.2⨯⨯⨯⨯⨯=(千元)= 803.52 (万元)．因为803.52万元> 800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金． 21．【详解】（1）由题知()01fϕ==，∴cosϕ=，又02πϕ-<<，∴4πϕ=-，∴772242442fπππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)作图略（3）∵5,2,24843x xπππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当2,043xππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦即在区间,248ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上f(x)为增函数; []20,,4xππ-∈即在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上f(x)为减函数，又242fπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，8fπ⎛⎫=⎪⎝⎭58fπ⎛⎫=⎪⎝⎭∴当方程()f x k=恰有两个不同实根时，2k∈⎣.22．解:(1)由题意得lg lg lg(10)()lg10xx a b x a b x b a=+=++-由1a bb a+=⎧⎨-=⎩解得1212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以h(x)是f1(x)，f2(x)的生成函数.（2）由题意得,2()log xh x=,令[]2log,1,2xm m=∈即232t m m>--在[]1,2m∈上恒成立解得5t>-.23．解;()1()2327mx nh xx+=+Q为奇函数()()h x h x ∴-=-，即22()327327mx n mx nx R x x -++=+∈-+恒成立，0n ∴=()h x Q 的图像过点()1,1A()11,h ∴=130m n+= 30,0m n ∴==()2有题意知()393x f x x x-=++，()f x 在[)3,+∞上单调递增证明：任取123x x ≤≤，则()()12331212129933x x f x f x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()1221123312933x x x x x x x x ----=+-123x x ≤≤Q210x x ∴->，129x x >，1233x x -<-()()21121290x x x x x x -∴-<123333x x --<()()12f x f x ∴<，函数()f x 在区间[3,)+∞上单调递增；()3当3x ≥时，()()2273273mx mg x h x x x x===++当3x <时，()()1993x mg x k x -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭① 当0m ≤时， 3x ∀≥，()211111027327(3)mx mg x x h x x x ===≤++不满足条件()()2213,9903x mx g x k x -⎛⎫∀<==⋅> ⎪⎝⎭，舍；②当0 3m <<时，3x ∀≥，()211111()0,27327183mx m m g h x x x x x ⎛⎤===∈ ⎥+⎝⎦+ 23,0,x x m ∀<-≥()()(]221990,93x mg x k x -⎛⎫==⋅∈ ⎪⎝⎭由题可知(]0,0,918m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即918m ≤，162m ≤ 03m ∴<<③当3m ≥时，3x ∀≥，()211111()0,27327183mx m m g h x x x x x ⎛⎤===∈ ⎥+⎝⎦+23,30,x x m m ∀<->-≥()()32211990,933x mm g x k x --⎛⎤⎛⎫⎛⎫==⋅∈⋅ ⎥ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎥⎝⎦ 由题可知310,0,9183m m -⎛⎤⎛⎤⎛⎫∈⋅ ⎥ ⎪⎥ ⎝⎦⎝⎭⎥⎝⎦，即5318mm -<令()5318xxH x -=-单调递减，()60H = 5318x x-<，可得6m < 36m ∴≤< 综上:()0,6m ∈。
2023年江苏省南通市海安高级中学高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年江苏省南通市海安高级中学高考数学一模试卷1. 已知集合，，则的元素个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 32. 若复数z满足，则z的虚部为( )A. B. C. D.3. 设向量，，当数m与n满足下列哪种关系时，向量与x轴垂直( )A. B. C. D.4. 如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是( )A.B.C.D.5. 已知p：，q：，则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 将一个顶角为的等腰三角形含边界和内部的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作.如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch 曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是( )A. B. C. D.7. 已知等边的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，，垂足为E，当时，( )A. B. C. D.8. 双曲线C：的左，右焦点分别为，，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，，，的内切圆圆心分别为，，，则的面积是( )A. B. C. D.9. 李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则( )A. B.C. 李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D. 李明计划7：40前到校，应选择骑自行车10. 如图的六面体中，，，则( )A. 平面ABCB. AC与BE所成角的大小为C.D. 该六面体外接球的表面积为11. 已知函数，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是( )A. 在是增函数B. 是奇函数C. 在上有两个极值点D. 设，则满足的正整数n的最小值是212. 已知函数的部分图象如图所示，其中，且的面积为2，则下列函数值恰好等于a的是( )A.B.C.D.13. 展开式中含项的系数为______ .14. 定义在R上的函数，，满足为偶函数，为奇函数，若，则______ .15. 如图是数学家Ger min alDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点E，是截口椭圆的焦点，则此椭圆的离心率等于______ .16. 在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量，记，，1，2，…，在研究的最大值时，小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当k取的整数部分，则是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为______ 的概率最大.17. 中，D是线段BC上的点，：：3，的面积是面积的2倍.求；若，，求DC和AB的长.18. 已知数列满足，且，求的通项公式；设，求数列的前15项和用具体数值作答19. 如图，四棱锥，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．证明：平面AEC；设二面角为，，，求直线AC与平面ECD所成角的正弦值．20. 某城市决定在夹角为的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为，交OD于若千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；若椭圆的离心率为，当线段OG长为何值时，游乐区域的面积最大？21. 已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合．求抛物线C和圆M的方程；设为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，且，证明：点P在一条定曲线上．22.已知函数，且设，讨论的单调性；若且存在三个零点，，①求实数a的取值范围；②设，求证：答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意可得，，根据交集运算可得，所以的元素个数为故选：解出集合B，再根据交集运算求出，即可得出结果．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查考查的运算，以及复数虚部的概念．根据已知条件，结合复数的四则运算和复数模的公式，对z化简，再结合复数虚部的概念，即可求解．【解答】解：，，，的虚部为故选：3.【答案】A【解析】解：，，，取x轴的方向向量为，若向量与x轴垂直，则，解得：，故选：根据向量的坐标运算得到关于m，n的关系即可．本题考查了向量的坐标运算，考查向量的垂直关系，是基础题．4.【答案】A【解析】解：如图，正方体，若要使液面形状不可能为三角形，则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC，若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，设液面的体积为V，而，而，，所以V的取值范围是故选：如图，正方体，若要使液面形状不可能为三角形，则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC，计算即可．本题考查正方体截面的性质，考查空间想象能力，属中档题．5.【答案】C【解析】解：令，，且，故为奇函数，时，递增，则也递增，又为奇函数，则在R上递增，，若，则，则，即即；，若，则等价于，即，由在R上递增，则，即，故p是q的充要条件，故选：令，结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立．本题主要考查了对数函数的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，由此可得，第n次操作之后所得图形的面积是，即经过4次操作之后所得图形的面积是故选：根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的，按照等比数列即可求得结果．本题考查等比数列的通项公式，归纳推理，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：设，则，，，，或舍去，为的重心，，为AC的中点，，故选：设，由求出，得到P为的重心，E为AC的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：由题意如图所示：由双曲线C：，知，所以，所以，所以过作垂直于x轴的直线为，代入C中，解出，由题知，的内切圆的半径相等，且，，的内切圆圆心，的连线垂直于x轴于点P，设为r，在中，由等面积法得：，由双曲线的定义可知：，由，所以，所以，解得：，因为为的的角平分线，所以一定在上，即x轴上，令圆半径为R，在中，由等面积法得：，又，所以，所以，所以，，所以，故选：由题意画出图，由已知求出c的值，找出A，B的坐标，由，，的内切圆圆心分别为，，，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可．本题主要考查了双曲线性质，定义的综合应用，考查了一定的运算能力，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：由条件可知，，根据对称性可知，故A错误；B.，，所以，故B正确；C.，所以，故C正确；D.，，所以，故D正确．故选：首先利用正态分布，确定和，再结合正态分布的对称性，和的原则，即可求解．本题主要考查正态分布曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】ACD【解析】解：，，，，即，，又，平面ABC，故A正确；以点C为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：，四面体是正三棱锥，，四面体是正四面体，在正三棱锥中过点C作底面的垂线，垂足为正三角形ABD的中心，同理，在正四面体中，过顶点E作底面的垂线，垂足为正三角形ABD的中心，、G、E三点共线，，，，，且G是正三角形ABD的中心，，设，在正四面体中，，在正三棱锥中，，，解得，，，又，，故AC与BE所成角的大小为，故B错误；，，故C正确；显然，该六面体外接球的球心位于线段CE的中点，，六面体外接球的半径，该六面体外接球的表面积为，故D正确．故选：利用线面垂直的判定定理、空间向量以及球的表面积公式进行计算求解．本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，以及多面体的外接球问题，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查的知识要点：函数的求导问题，函数的导数和单调性的关系，函数的导数和极值点的关系，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于难题．①，，从而确定A的结论；②设，直接利用函数和函数的关系确定B的结论；③分段讨论，时，；时，存在；时，，从而确定C的结论；④当时，时，比较出函数值的大小，从而确定D的结论．【解答】解：对于函数，其中e是自然对数的底数，所以，对于A：由于时，，，所以，所以函数为增函数，故A正确；对于B：设，所以，所以是奇函数，故B正确；对于C：由，在时，，，所以，函数为增函数，所以函数在上无极值点，由时，，下面考虑上，设，由，当时，，，所以，函数为单调递减函数，由，，故明显存在；在上，，由，而，，所以，所以，而，则，即，所以不存在零点，故在只有一个零点，即函数只有一个极值点．故C错误；对于D：设，当时，，所以，明显不成立，当时，，，由，，所以，所以正整数n的最小值为2，故D正确．故选：12.【答案】AC【解析】解：根据函数的部分图象，，的面积为，，，函数，，，，故选：由题意，由周期求出，由的面积求出，可得函数的解析式，再利用诱导公式求出各个选项中的函数值，从而得出结论．本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由周期求出，由的面积求出，诱导公式，属于中档题．13.【答案】【解析】解：的展开式中含项为，故答案为：根据二项式定理逐步展开，分析即可．本题考查了二项式定理，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：由于为偶函数，则，令，则，由于为奇函数，则，即，令，则，于是，由于，则故答案为：由奇偶函数的定义，可得，满足的关系，赋值计算即可．本题考查抽象函数赋值计算，以及奇偶函数的性质，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设，由，解得，，，所以，设直线EF与圆锥的母线相交于点A，圆锥的母线与球相切于B，C两点，如图所示，则，，两式相加得，即，过作，垂直为G，则四边形为矩形，所以，，所以椭圆的离心率为故答案为：根据已知条件求得a，c，从而求得椭圆的离心率．求解椭圆离心率的问题，思考方向有两个，一个求得a，c，从而求得椭圆的离心率；一个是求得关于a，c的关系式，可以是一次式，也可以是二次式，但必须是齐次式，由此化简求得椭圆的离心率．16.【答案】18【解析】【分析】由随机变量，结合取整数部分可得后面80次出现点数1的次数为13的概率最大，由此得解．本题考查了古典概型的概率计算公式，涉及到随机变量服从二项分布的性质，考查了学生分析问题的能力，属于基础题．【解答】解：继续再进行80次投掷实验，出现点数为1次数X服从二项分布，由，结合题中的结论可知，当时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大，故答案为：17.【答案】解：设，则由：：3，的面积是面积的2倍，可得，求得在中，由正弦定理可得①，中，由正弦定理可得②．由于和互补，故，由①②求得的面积是面积的2倍，，，，设，则，中，由余弦定理可得①，中，由余弦定理可得②，由①②求得，，【解析】由题意可得，再利用正弦定理求得求得的值．由条件求得，设，则，中、中，分别利用余弦定理求得k的值，可得AB的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，注意边角互换，属于中档题．18.【答案】解：由，知数列是等差数列，因为，所以，又，所以公差，所以数列的通项公式为，由于，所以当时，；当时，，故…………【解析】根据等差中项公式，可判断数列是等差数列，进而求得公差d，再由等差数列的通项公式，得解；，根据，知当时，；当时，，再利用等比数列的前n项和公式，得解．本题考查数列的求和，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：连接BD交AC于O点，连接EO，则O为BD中点，为PD中点，，平面AEC，平面AEC，平面AEC；解：由，，可得延长AE，过D作AE的延长线的垂线，垂直为F，连接CF，由平面ABCD，可得，又，可得平面PAD，则，又，平面CDF，则为二面角的平面角，在中，由，，可得在中，由，，可得，则取PE中点G，连接AG，则，平面平面PCD，且平面平面，平面PCD，连接CG，则为直线AC与平面ECD所成角，即直线AC与平面ECD所成角的正弦值为【解析】连接BD交AC于O点，连接EO，则O为BD中点，由已知结合三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定可得平面AEC；首先找出二面角平面角，结合已知求得CD，然后找出直线AC与平面ECD所成角，求解三角形得答案．本题考查直线与平面平行的判定，考查线面角的求法，关键是找出线面角，是中档题．20.【答案】解：以O为坐标原点，以OD所在的坐标为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意，，由，所以，所以，，所以直线EF的方程为：，设，则，所以椭圆，当a最大时直线EF与椭圆相切，整理可得：，，解得舍所以椭圆的长半轴长为；因为，，，所以，所以椭圆的方程为：；设，则，直线MN的方程为：，联立，整理可得：，，设，则，，，，要保证MN与半椭圆有交点，当N位于B时，所以，当，即，有最大值为1，综上所述，当时，三角形OMN的面积最大．【解析】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，椭圆中三角形的面积，二次函数的最值的求法．由题意可得E，F的坐标，进而求出直线EF 的直线方程，设出椭圆的方程，由题意可得直线EF 与椭圆相切时，椭圆的长半轴最大，由判别式为0可得参数a的值，求出椭圆的长半轴的值；由离心率及b的值可得a的值，进而求出椭圆的方程，设出直线MN的方程，由直线MN与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出三角形OMN的面积的表达式，当N与B重合时，可得t的范围，由面积的最大值可得t的值，进而求出的大小及三角形的面积．21.【答案】解：由题设得，所以抛物线C的方程为，因此，抛物线的焦点为，即圆M的圆心为，由圆M与y轴相切，所以圆M半径为1，所以圆M的方程为；证明：由于，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则，故设过点P且与圆M相切的切线方程为，即，依题意得，整理得①，设直线PA，PQ的斜率分别为，，，则，是方程①的两个实根，故，②，由得③，因为点，，，，则④，⑤，由②，④，⑤三式得：，即，则，即，所以点P在圆【解析】根据抛物线的焦点F到准线的距离可得p的值，即可得抛物线方程；根据圆的性质确定圆心与半径，即可得圆M的方程；根据直线与圆相切，切线与抛物线相交联立，结合韦达定理，即可得，所满足的方程．本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．22.【答案】解：，，因为，，定义域为，当时，，解，得，解，得，当时，，解，得，解，得，综上，当时，增区间为，减区间为，当时，增区间为，减区间为，①因为，且存在三个零点，，所以有3个根，当时，，，，在上是单调递增的，由零点存在定理，方程必有一个负根．当，，即有两个根，令，可转化为与有两个交点，，可得，，是单调递增的，可得，，是单调递减的，其中，当，，所以可得，即得②证明：因为，且存在三个零点，，设，，易知其中，，因为，所以，，故可知；①由可知，与有两个交点，，是单调递增的，，，，所以；②，若，则若，构造函数，，，设，，因为，又因为，所以③，因为，又因为，所以，即得④，由③④可知，在上单调递增，时，可得，，可知与同号，所以，在上单调递增．，，，又由①可知，所以，，，是单调递增的，所以⑤，由①②⑤可知【解析】先求的导函数，再分类讨论即可．①根据存在三个零点，，，转化为两个函数有三个交点，再根据最值可求．②根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得．本题考查利用导数证明不等式，解决问题的关键点是极值点偏移问题，属于难题．。
江苏省南通市海安县海安高级中学2023届数学高一上期末联考模拟试题含解析
B.②③
C.①④
D.③④
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．已知
f
x 是定义在
R
上的周期为
2
的奇函数，当 0
x
1 时，
f
x
3x
，则
f
5 2
___________.
12．已知幂函数 f (x) 的图象经过点 (3, 3) ，且满足条件 f (a) f (a 1) ，则实数 a 的取值范围是___
10、C 【解析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案.
【详解】对于①， y x 是偶函数，且值域为0, ；
对于②， y x3 是奇函数，值域为 R ；
对于③， y 2 x 是偶函数，值域为1, ；
对于④， y x2 x 偶函数，且值域为0, ，
所以符合题意的有①④
2
则
f
17 3
A. 1
B. 3
2
2
C.1
D. 3
7．已知弧长为 的弧所对的圆心角为 ，则该弧所在的扇形面积为（ ）
3
6
A. 3π
B. 1 π 3
C. 2 π 3
D. 4 π 3
8．已知 α 是第三象限的角，且 sin 1 ，则 sin( ) （ ）
3
2
A. 1 3
B. 2 2 3
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据已知条件，应用向量数量积的运算律可得
2
a
2
2a b b
2
c
【全国百强校】江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查奇函数的概念，以及奇函数g（x）在原点有定义时，g（0）=0，属于基础题。
6．
【解析】
【分析】
应用对数运算法则计算即可．
【详解】
原式= .
【点睛】
本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
7．c＜b＜a
【解析】
【分析】
利用指数与对数函数的单调性即可得出答案．
【详解】
【详解】
由于f（x）=x3在R上单调递增；
∴由f（x2-4）＜f（2x-1）得，x2-4＜2x-1；
(Ⅰ)写出年利润 (万元）关于年产量 (万只）的函数的解析式；
(Ⅱ)当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.
19．已知函数f（x）=loga ，其中0＜a＜1，b＞0，若f（x）是奇函数．
（1）求b的值并确定f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
∵0＜m＜1，
∴a=2m＞1，b=m2∈（0，1），c= ＜0，
故a，b，c的大小关系是c＜b＜a．
故答案为：c＜b＜a．
【点睛】
本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．偶函数
【解析】
【分析】
由f（-x）=|-x+n|+|-x-n|=|x-n|+|x+n|=f（x）可以判断函数的奇偶性．
【全国百强校】江苏省南通市海安高级中学【最新】高一上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
专题02 相等关系与不等关系(解析版)
1 专题0
2 相等关系与不等关系
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）
A ．22a b >
B ．1b
a < C ．()10g a
b -> D ．1122a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】D
【解析】a 、b 是任意实数，且a b >，如果0a =，2b =-，显然A 不正确； 如果0a =，2b =-，显然B 无意义，不正确；
如果0a =，1
2b =-，显然C ，1
02lg <，不正确； 因为指数函数12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且a b >，1122a
b
⎛
⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足条件，正确．
故选：D ．
2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x
⎛⎫
⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的(
) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 由121x
⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“
0x <”，反之，不能推出；。
江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
x+ y 1+ xy
ö ÷ ø
，且当
x
Î
(
-1,
0)
，
f
(x)
>0．
(1)求证：函数 f ( x) 是奇函数；
(2)求证： f ( x) 在 (-1,1) 上是减函数；
(3)解不等式：
f
(x
+1)
+
f
æ çè
1 1-
x
ö ÷ø
>
0
；
(4)求证：
f
æ çè
1 5
ö ÷ø
+
f
æ çè
1 11
ö ÷ø
+
×
3sina cosa
的值.
19．已知函数 f ( x) = ax2 - bx .
(1)若 f ( x) ³ c 的解集为{x - 3 £ x £ 2} ，求不等式 bx2 + ax + c £ 0 的解集；
(2)若
a
>
0
，
b
>
0
且
f
(1)
>
0
，求
a
+
4 b
+
a
1 -
b
的最小值.
20．某地种植了一种水果，据调查，该水果每斤的售价为 25 元时，年销售量为 8 万斤．
(1)经过市场调研，价格每提高 1 元，销售量将相应的减少 0.2 万斤，若每斤的定价为 t
（ t ³ 25 ）元，求每年的销售总收入 W 的表达式． (2)在（1）的条件下，若使提价后每年销售的总收入不低于原销售收入的 105%，则该 水果每斤的定价最高应为多少元？ (3)该地为提高年销售量，决定 2023 年末对该水果品质进行改良，改良后将定价提高到
2018～2019学年江苏省海安高级中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省南通市海安高级中学2018～2019学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）一、填空题（本大题共14小题,共70.0分）1.已知集合U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},则∁U M═______．【答案】{3,4}【解析】【分析】根据集合的补集定义进行计算即可．【详解】∵U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},∴∁U M={3,4},故答案为：{3,4}【点睛】本题考查了集合的基本运算,属于基础题．2.若函数f（x）=（m-3）x m为幂函数,则实数m的值为______．【答案】4【解析】【分析】根据幂函数的定义,写出实数m的值即可．【详解】函数f（x）=（m-3）x m为幂函数,∴m-3=1,m=4,∴实数m的值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了幂函数的定义,属于基础题．3.已知f（x）=,则f（-2）=______．【答案】【解析】【分析】根据题意,由函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意,f（x）=,则.故答案为：．【点睛】本题考查函数值的计算,关键是掌握分段函数解析式的形式,属于基础题．4.设函数f（x）满足f（x-1）=4x-4,则f（x）=______．【答案】4x【解析】【分析】变形f（x-1）得出f（x-1）=4（x-1）,从而得出f（x）=4x．【详解】由题意得,f（x-1）=4x-4=4（x-1）,∴f（x）=4x．故答案为：4x．【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法,属于基础题。
5.设函数g（x）=e x+ae-x（x∈R）是奇函数,则实数a=______．【答案】-1【解析】【分析】根据条件知g（x）在原点有定义,从而有g（0）=0,这样即可求出a的值．【详解】由于g（x）在R上为奇函数；∴g（0）=0；即1+a•1=0；∴a=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查奇函数的概念,以及奇函数g（x）在原点有定义时,g（0）=0,属于基础题。
江苏省海安高级中学2019_2020学年高二数学3月线上考试试题(无答案)
江苏省海安高级中学2019-2020学年高二数学3月线上考试试题（无答案）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1． 若集合{}2320A x x x -+＝＞，{}12B x x -＝＜，则A B I ＝（ ）A ．()1,1-B ．()2,3C ．()1,3-D ．()()1,12,3-U 2． 若复数z 满足()12i 43i z ++＝，则z ＝（ ）A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i 3． 命题“0x ∃≤，20x x -＞”的否定是（ ）A ．0x ∀＞，20x x -≤B ．0x ∀≤，20x x -≤C ．0x ∃＞，20x x -≤D ．0x ∃≤，20x x -≤4． 已知抛物线C ：22y px ＝（p ＞0）的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF ＝，则∠PTF ＝（ ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．75o5． 已知()π3cos 45α-＝，()π,π2α∈，则sin cos αα-＝（ ）A ．725B ．725-C ．6． 某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年 B ．9年 C ．10年 D ．11年7． 公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a ＝，则14m n+的最小值为（ ）A ．97B ．53C ．43D ．13108． 函数()3221f x x ax -+＝在()0,+∞内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－29． 设1F ，2F 分别为双曲线22221y x a b-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b +＝ 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF ＝，则双曲线的离心率为（ ） AD10．已知正三棱锥S －ABC的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的不，表面积为（ ）A ．16πB ．20πC ．32πD ．64π二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分．11．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若ab ＞0，bc －ad ＞0，则0c d a b -＞C ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －cD ．若a ＞b ，c ＞d ＞0，则a b d c＞12．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 为BC 边上一点，且3BC EC u u u r u u u r＝，F 为AE 的中点，则（ ）A ．12BC AB AD -+u u u r u u u r u u u r ＝ B ．1133AF AB AD +u u u r u u u r u u u r ＝C ．2133BF AB AD -+u u u r u u u r u u u r ＝ D ．1263CF AB AD -u u u r u u u r u u u r ＝13．已知函数是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，()()e 1x f x x +＝，则下列命题正确的是（ ）A ．当x ＞0时，()()e 1x f x x --＝-B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x ＜的解集为()(),10,1-∞-UD ．1x ∀，2x ∈R ，都有()()122f x f x -＜三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上． 14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知52a -＝，3213S a a +＝，则1a ＝ ▲ ．ABDCEF15．在△ABC 中，若cos cos sin A B C a b c +＝，22265b a a bc +-＝，则tan B ＝ ▲ ．16．已知抛物线22y px ＝（p ＞0）的焦点为，过F 作直线交抛物线于M ，N 两点，则p ＝ ▲ ，49NFMF-的最小值为 ▲ ． 17．在△ABC 中，∠BAC ＝60o ，AD 为∠BAC 的角平分线，且1344AD AC AB +u u u r u u u r u u u r＝，若AB ＝2，则BC ＝ ▲ ．四、解答题：本题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()24sin 2CA B +＝．（1）求cos C ；（2）若b ＝7，D 是BC 边上的点，且△ACD 的面积为，求sin ∠ADB ．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2512a a +＝，416S ＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足141n n b S -＝，n T 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，k （1＜m ＜k ），使得23k m T T ＝？若存在，求出m ，k 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分14分）已知()ln 1f x m x x +-＝（m ∈R 且m 为常数）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意的()0,m ∈+∞，都存在()0,x ∈+∞，使得()e x f x k +≥（其中e 为自然对数的底数），求实数k 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知抛物线24y x ＝的准线过椭圆C ：22221y x a b+＝（a ＞b ＞0）的左焦点F ，且点F 到直线l ：2a x c＝（c 为椭圆焦距的一半）的距离为4． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 做直线与椭圆C 交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，线段AB 的中垂线交直线l 于点Q ．若2PQ AB ＝，求直线AB 的方程．22．（本小题满分14分）在以ABCDEF 为顶点的五面体中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，AB ＝AE ＝ED ＝2EF ，EF ∥AB ，点G 为CD 中点，平面EAD ⊥平面ABCD ．（1）证明：BD ⊥EG ；（2）若三棱锥12E FBC V -＝，求菱形ABCD 的边长．23．（本小题满分14分）设函数()e 1x f x ax --＝（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的方程()ln 11ax a x +++＝有唯一的实数解，求a 的取值范围．。
江苏省南通市海安市2024-2025学年高三上学期开学数学试题(解析版)
2025届高三期初学业质量监测试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集运算可得.【详解】解不等式，得，所以.故选：B2. 已知命题，则：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论.【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以：.故选：C3. 函数在区间上（）A单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增【答案】D【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】，即，设，则单调递减，且故存在唯一一个使故在上，，此时单调递减；在上，，此时单调递增；故在区间上先减后增.故选：D4. 已知函数，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据解析式代入验证即可.【详解】因为，而，所以.故选：C5. 已知，则（）A. B. 6 C. 8 D. 9【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解.详解】由，可得，则，则.故选：D.6. 设，函数，则“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分不必要【答案】A【解析】【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可；【详解】因为关于x的不等式的解集为，则，可得恒成立，故充分性成立；取，满足恒成立，但的解集为，故必要性不成立；所以“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的充分不必要条件.故选：A.7. 已知直线与曲线相切，则的最大值为（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】设切点切点横坐标为，由题意列出的关系，进而得到，再由二次函数求最值即可.【详解】设切点横坐标为，求导：得，由题意可得解得：，所以，所以时，的最大值为.故选:C8. 若函数的3个零点由小到大排列成等差数列，则（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将问题转化为和的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得，，即可利用等差中项求解.【详解】令可得，在同一直角坐系中作出和的图象如下：要使有3个零点，则，由图可知：有一个零点，有2个零点，且，即有一个零点，有2个零点，且故，，由于，故，化简可得，平方解得，由于，故，故选：D【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列曲线平移后可得到曲线的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据图像的平移变换可判断ABD，根据图像的伸缩变换可判断C.【详解】对于A，曲线向右平移3个单位可得到曲线，故A正确；对于B，曲线向上平移3个单位可得到曲线，故B正确；对于C，曲线横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线，故C错误；对于D，曲线，向左平移个单位可得到曲线，故D正确；故选：ABD10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（）A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为B. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好D. 若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差【答案】BC【解析】【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D.【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意有，解得，所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误；对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，所以公寓采光效果不变，故B正确；对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，因为，且，所以，即,所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，故C正确；对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为,地板增加后的面积为，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，因为，又因为，所以，因为，所以,当时，采光效果不变，所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故D错误.故选：BC.11. 设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论正确的是（）A. 若具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0B. 若不具有奇偶性，则满足奇函数与偶函数不存在C. 若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对D. 若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对【答案】ACD【解析】【分析】利用奇偶性的定义即可判断A选项；通过举例，即可判断B选项；通过构造，即可判断C选项；通过构造即可判断D选项.【详解】对于A，，则，当为奇函数时，则，即；当为偶函数时，则，即，即满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A正确；对于B，当，时，不具有奇偶性，满足的奇函数与偶函数存在，故B错误；对于C，为奇函数时，令奇函数，偶函数，则，，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故C正确；对于D，为偶函数，令奇函数，偶函数，则，，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设函数的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可.【详解】设，则.在上任取一点，则函数在该点处的切线方程为：即.只要不同，切线方程就不同.故答案为：（答案不唯一）13. 已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则______________（用x表示），当的面积最大时，______________．【答案】①. . ②.【解析】【分析】结合图形，折叠后易得，设，利用，即可求得的表示式；依题意，求出的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时的值.【详解】如图2是图1沿着折叠后的图形，因，则，因矩形的周长为24，则，对折后,易得,设，则,在中，由勾股定理，，整理得，即的面积为，因，则当且仅当时，，此时时，.故答案为：；.14. 已知a为常数，且．定义在上的函数满足：，且当时，，则______________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，先求出，再赋值得到，将转化为，运用不等式传递性，得到.式子恒成立.只能.解方程即可.【详解】时，，则.．定义在上的函数满足：．令，得到，即.由于，则.则要使得式子恒成立，则，解得或或者.由于.则.故答案为：1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，在三棱柱中，平面，E，F，G 分别是棱AB，BC，上的动点，且．（1）求证：；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求．【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系；（2）在（1）的基础上，得到，故，从而得到线面垂直，故为平面的一个法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出，从而求出.【小问1详解】因为平面，平面，所以，，又，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，，设，，所以，则，则，故；【小问2详解】，则，则，则，又，平面，所以平面，故为平面的一个法向量，又平面的法向量为，则平面与平面的夹角的余弦值为，又平面与平面的夹角的余弦值为，所以，解得，故.16. 某学习小组研究得到以下两个公式：①；②．（1）请你在①和②中任选一个进行证明；（2）在中，已知，求的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；（2）利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得，再利用面积公式求解.【小问1详解】若选①，证明如下：.若选②，证明如下：.【小问2详解】由已知，可得，即，即，由正弦定理可得，又，所以，所以的面积.17. 分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点．（1）当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率；（2）求四边形的面积的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）结合图形，易得，求得的斜率，由直线与椭圆的方程联立，求得点，即得直线PQ的斜率；（2）结合图形，由对称性可知，四边形是平行四边形，四边形的面积是面积的一半，设直线的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出和点到直线的距离，得到四边形的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值.【小问1详解】由可知,椭圆上顶点为，即,直线的斜率为，则直线的方程为：，将其代入整理得，，解得，或，因点在x轴上方,故得点，于是直线PQ的斜率为：；【小问2详解】如图，设过点的两条平行线分别交椭圆于点和，利用对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形面积是面积的一半.显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线的方程为代入，整理得：，显然，设，则，于是，，点到直线的距离为，则四边形的面积为，令，则，且，代入得，，因函数在上单调递增，故，当时，取得最小值为4，此时.18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.求：（1）概率；（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的概率分布及数学期望；（3）在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率．【答案】（1），（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出；（2）求出的可能取值范围及对应的概率，求出；（3）分蓝方击中、和次三种情况讨论.【小问1详解】，；【小问2详解】的可能取值为，因为，，，所以分布列为：所以；【小问3详解】若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，所以红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为.19. （1）函数与的图象有怎样的关系?请证明；（2）是否存在正数c，对任意，总有？若存在，求c的最小值；若不存在，请说明理由；（3）已知常数，证明：当x足够大时，总有．【答案】（1）关于直线对称，证明见解析；（2）存在，；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用互为反函数的性质判断并证明.（2）由零点，可得，再构造函数，利用导数证明时不等式恒成立.（3）根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得.【详解】（1）函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，令为函数图象上任意一点，即，则，因此点在函数的图象上，反之亦然，而点与关于直线对称，所以函数与的图象关于直线对称.（2）存在正数，对任意的，恒成立，令，显然，根据指数函数与幂函数的增长特征，在上恒有，当时，求导得，令，求导得，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，因此，；令，求导得，函数在上单调递增，，因此函数在上单调递增，，所以存在正数c，对任意的，总有，.（3），不妨令，则不等式，令，求导得，当时，；当，函数在上单调递增；在上单调递减，当时，，，当时，由，得是函数的一个零点，又，而趋近于正无穷大时，趋近于，因此存在大于的正数，使得，当时，，所以对于，存在正数，使得，恒有；，不妨令，，不等式，令，则函数在上单调递增；在上单调递减，，令，求导得，函数在上单调递增，值域为，存在，使得，当，即时，，恒成立，当，即时，函数有两个零点，对于，恒成立，因此对于，存在正数，使得，恒成立，取，对于任意的，成立，所以当x足够大时，总有.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.。
江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高一下学期阶段检测(一)数学试题(含答案解析)
(1)若向量 m 与 2a b 垂直，求实数 k 的值；
(2)若向量 c (1, 1) ，且 m 与向量 kb c 平行，求实数 k 的值．
18．设函数
f
(x)
cos x cos
x
π 6
3 sin 2x 3 3 ． 4
试卷第 3页，共 5页
(1)求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间；
角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形 ABCD 的边长为 2 ，则 AE BF ＝
（）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．已知函数
f
x
sin
x
sin
x
3
1 4
的定义域为m, nm
n
，值域为
1 2
,
1 4
，则
n m 的最小值是（ ）
A．
6
B．
4
C．
3
D．
2 3
7．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某
两条对称轴之间的距离为 2 ， 且其在 x 1 处取得最小值． 2
试卷第 4页，共 5页
(1)求参数 和 的值;
(2)若 A 1 ，求向量 2BC CD 与向量 BC 3CD 夹角的余弦值;
(3)若点 P 为
f
x 函数图象上的动点，当点 P 在 C，E 之间运动时，
BP PF 1 恒成立，
【详解】由于
0,
2
，所以
2
0, π
，所以
sin
2
0
由 sin
2
cos
4
化简得
2 sin 2 sin cos ，