反比例函数的图象与性质

4 ，3 ） B、（ 2 3
3 ， 8 ） D、（ 4 3
练一练
5
2 8.函数 y 是 反比例 函数，其图象为双曲线 ， x
其中k= 2 ，自变量x的取值范围为 x≠ 0
.
6 9.函数 y 的图象位于第一、三 象限, x
在每一象限内,y的值随x的增大而 减小 , 当x＞0时,y ＞ 0,这部分图象位于第 一 象限.
解：（１）反比例函数图象的分布只有两种 可能，分布在第一、第三象限，或者分布在 第二、第四象限。这个函数的图象的一支在 第一象限，则另一支必在第三象限。 ∵函数的图象在第一、第三象限 ∴ ｍ－５＞０ 解得 ｍ＞５
m5 y x
例3：如图是反比例函数 的图象一支， 根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值 范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a， b）和b（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎 样的大小关系？
练一练
6
6 10.函数y 的图象位于第二、四 象限, x
在每一象限内,y的值随x的增大而 增大 ,
当x＞0时,y ＜ 0,这部分图象位于第 四 象限.
例2:已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何 变化? 1 4 (2)点B(3，4)、C( 2 , 4 ）和D（2，5）是否在 5 2 这个函数的图象上？ k 解：（１）设这个反比例函数为 y ， x
8 7 6 5 4 3 2 1
● ●
8
1 2
描点
●
● ● ● ●
连线
-8●–7–6 –5–4 –3 -2-1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
● ●
-1 -2 -3 ●-4 -5 -6 -7 ● -8
x
想一想
反比例函数的图象和性质
4 4 和y 的图象, x x 它们有什么相同点和不 同点? 观察并比较反比例函数 y
y
n
P (m,n)
o
D
x
练一练Biblioteka 11k y 5.反比例函数 x
上一点P（x0，y0），过
点P作PA⊥y轴，PB⊥X轴，垂足分别为A、
B，则四边形AOBP的面积为
k
；且
S△AOP =
S△BOP
k 2
。
练一练
12
6.(武汉 市2000年) 1 y 如图:A、C是函数 x 的图象上任意两点， 过 A作x轴 的垂 线 垂足为 过 , B. C作y轴 的垂线 , 垂足为 记 ΔAOB的面积为S1 , D. Rt RtΔOC D的面积为 S2 , 则 C ___.
k 或y kx 1或xy k(k 0) x
y
图象 及象限
y
o x o k<0 x
y
0
y
x
0
x
k>0
k>0
k<0
当k>0时，y随x的增大而增大;
性质 当k<0时，y随x的增大而减小.
在每一个象限内: 当k>0时，y随x的增大而减小; 当k<0时，y随x的增大而增大.
5 反比例函数y= 的图象大致是（ x y
练一练
3
k 5、反比例函数 y 的图象经过（2， x -1），则k的值为 ；1
k 6、反比例函数 y 的图象经过点（2， x 5），若点（1，n）在反比例函数图象
上，则n等于（
A ）
A、10
B、5
C、2
D、-6
练一练
4
2 7、下列各点在比曲线 y x 上的是（ B ）
4 3） A、（ ， 3 2 4 3 C、（ ， ） 3 4
例 1
6 画出反比例函数 y = x 和 y = 的函数图象。
列 表 描 点 连 线
6 x
函数图象画法
描点法
y= 6 x y= 6 x
x
注意：①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。
x
… -6 1
y
6 5 4 3 2 1
-5 -4
-3 -2
-1 -6 6
1 6
2 3
3 2
性 质
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
k y=— x y
y=-x
y=x
0
12
x
小结
拓展
回味无穷
反比例函数
一般地, 如果两个变量 , y之间的关系可以表示成 x k y k为常数, k 0 的形式那么称 是x的反比例函数 y . x
形状 反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此 称反比例函数的图象为双曲线; 位置 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;

反比例函数的 图象和性质
4 y x
10
8
１、这几个函数图 象有什么共同点？ ２、函数图象分别 位于哪几个象限？
练一练
8
a2 1 2、在反比例函数 y x 的图象上有三
点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）， 若x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是 （ A ） A、y3>y1>y2 B、y3>y2>y1 C、y1>y2>y3 D、y1>y3>y2
练一练
9 的图象,当x=-2时,y= -1 ___ ,当x<-2
y
A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定.
o
S2
S1
A
B D
x
C
练一练
13
7.如图,点P是反比例函数图象上的一
点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴 影部分面积为3,则这个反比例函数的
3 y 关系式是 x .
p
y
N
o x
M
练一练
14
1 8.如图, 在y ( x 0)的图像上有三点 , B, C , A x 经过三点分别向 轴引垂线, 交x轴于A1 , B1 , C1三点, x 边结OA, OB, OC, 记OAA , OBB1 , OCC1的 1
2 3.考察函数 y x
时,y的取值范围是 -1<y<0 ;当y﹥-1时,x的取值范围 _____ 是 _________ . X<-2或x>0
2 4.如图,点P是反比例函数 y 图象上 x 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
为 1 .
练一练
10
S△POD
1 = OD· PD 2
1 = m 2 1 = k 2
y
y 2 x y 2 x
y
o
x
o
x
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
“预见性”,猜一猜
给反比例函数“照相”
一般地, 如果两个变量 , y之间的关系可以表示成 x k y k为常数, k 0 的形式那么称 是x的反比例函数 y . x
反比例函数的图象又会是什么样子呢? 你还记得作函数图象的一般步骤吗?

用图象法表示函数关系时,首先在自变 量的取值范围内取一些值,列表,描点, 连线(按自变量从小到大的顺序,用一 条平滑的曲线连接起来).
反比例函数的图象与性质
回顾与思考 1
挑战“记忆”

一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线, 称直线y=kx+b. 当k>0时, 当k<0时,
y
b>0 b=0 o x b<0 b=0
你还记得一次函数的图象与性质吗?
y
o b<0
b<0
x

y随x的增大而增大;

y随x的增大而减小.
回顾与思考2
4
5
6 1
… … …
y= 6 … x y= 6 … x
-1 -1.2 -1.5 -2 -3
1.2 1.5
1.5 1.2
2
3
-6 -3
-2 -1.5 -1.2 -1
y
6 5
y= 6 x
y =- 6 x
4 3 2 1
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6
0
1
2
3
4
5
6
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2 -3 -4 -5 -6
想一想

你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？ 列表时,自变量的值可以选取一些互为相反数的值,这 样既可简化计算,又便于对称性描点; 列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样 既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;

3、函数 y ,当x>0时,图象在第____象限, 一 x 减小 y随x 的增大而_________.
练一练
2
4k 4已知反比例函数 y x
(1)若函数的图象位于第一三象限，
则k_____________; <4