辽宁省大连二十中2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 理

2016-2017学年辽宁省大连二十中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i是虚数单位，则=（ ）　A．1﹣2i B．2﹣i C． 2+i D． 1+2i2．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（ ）　A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）3．“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是（ ）　A．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y全不为0　B．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0　C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2+y2=0　D．若x，y∈R且xy≠0，则x2+y2≠04．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ＞8）=0.4，则P（ξ＜0）=（ ）　A． 0.3B． 0.4C． 0.6D． 0.75．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ）　A． 83%B． 72%C． 67%D． 66%6．根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为．则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）　A．B．C．D．7．设函数f（x）=xe x，则（ ）　A． x=1为f（x）的极大值点B． x=1为f（x）的极小值点　C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点8．已知p：x≥k，q：（x+1）（2﹣x）＜0，如果p是q的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）　A． [2，+∞）B．（2，+∞）C． [1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]9．（x2+2）（）5的展开式的常数项是（ ）　A．﹣3B．﹣2C． 2D． 310．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）　A． 232B． 252C． 472D． 48411．观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（ ）　A． 3125B． 5625C． 0625D． 812512．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|．若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（ ）　A． [0，）B．（0，1）C．（0，）D．（0，1]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中，x5与x6的系数相等，则n= ．14．若曲线y=e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为 ．15．如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 ．16．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈（﹣2，0]时，f（x）=log2（2﹣x）+2，则 f（2014.5）= ．三、解答题（17题10，其余每题12分）17．已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）．若f′（﹣1）=0，求函数y= f（x）在[﹣，1]上的最大值．18．已知f（x）=ln（e x+a）是定义域为R的奇函数，g（x）=λf（x）．（1）求实数a的值；（2）若g（x）≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围．19．已知某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，1 00）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？（相关系数k=，k＞2. 706时有99%的把握具有相关性）20．求证：1﹣+﹣+…+﹣=++…+，n∈N*．21．甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）．22．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值．2016-2017学年辽宁省大连二十中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i是虚数单位，则=（ ）　A．1﹣2i B．2﹣i C． 2+i D． 1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案．解答：解：故选D点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握．2．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（ ）　A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项解答：解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x ＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键3．“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是（ ）　A．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y全不为0　B．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0　C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2+y2=0　D．若x，y∈R且xy≠0，则x2+y2≠0考点：四种命题．专题：计算题．分析：否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的题设，得到否命题的题设，再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的结论，得到否命题的结论．由此能够得到命题“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题．解答：解：先否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的题设，得到否命题的题设“若x，y∈R且x2+y2≠0”，再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的结论，得到否命题的结论“则x，y不全为0”．由此得到命题“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是：若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0．故选B．点评：本题考查四种命题的互换，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意全为0和否定形式是不全为0．4．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ＞8）=0.4，则P（ξ＜0）=（ ）　A． 0.3B． 0.4C． 0.6D． 0.7考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），得到曲线关于x=4对称，根据曲线的对称性得到小于0的概率和大于8的概率是相等的，从而得到所求．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），∴曲线关于x=4对称，∴P（ξ＜0）=P（ξ＞8）=0.4，故选B．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．5．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ）　A． 83%B． 72%C． 67%D． 66%考点：线性回归方程．专题：阅读型．分析：把y=7.675代入回归直线方程求得x，再求的值．解答：解：当居民人均消费水平为7.675时，则7.675=0.66x+1.562，即职工人均工资水平x≈9.262，∴人均消费额占人均工资收入的百分比为×100%≈83%．故选：A．点评：本题考查了回归直线方程的应用，熟练掌握回归直线方程变量的含义是解题的关键．6．根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为．则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）　A．B．C．D．考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：利用条件概率的计算公式即可得出．解答：解：设事件A表示宜都三月份吹东风，事件B表示三月份下雨．根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P（B|A）==．故选B．点评：正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键．7．设函数f（x）=xe x，则（ ）　A． x=1为f（x）的极大值点B． x=1为f（x）的极小值点　C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点解答：解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选：D点评：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，8．已知p：x≥k，q：（x+1）（2﹣x）＜0，如果p是q的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）　A． [2，+∞）B．（2，+∞）C． [1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：由：（x+1）（2﹣x）＜0＜0得x＞2或x＜﹣1，即q：x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．9．（x2+2）（）5的展开式的常数项是（ ）　A．﹣3B．﹣2C． 2D． 3考点：二项式定理的应用．专题：计算题．（x2+2）（）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，故可得结论．解答：解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=5；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，可得2×（﹣1）5=﹣2∴（x2+2）（）5的展开式的常数项是5+（﹣2）=3故选D．点评：本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）　A． 232B． 252C． 472D． 484考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．点评：本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．11．观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（ ）　A． 3125B． 5625C． 0625D． 8125考点：归纳推理．专题：计算题．分析：根据所给的以5为底的幂的形式，在写出后面的几项，观察出这些幂的形式是有一定的规律的每四个数字是一个周期，用2011除以4看出余数，得到结果．解答：解：∵55=3125，56=15625，57=78125，58=390625，59=1953125，510=9765625，511=48828125…可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的，∵2011÷4=502…3，∴52011的末四位数字与57的后四位数相同，是8125，故选D．点评：本题考查归纳推理，考查幂的周期性，这种题目的解法一般是看出式子的变化规律，根据规律做出要求的结果．12．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|．若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（ ）　A． [0，）B．（0，1）C．（0，）D．（0，1]考点：函数的零点与方程根的关系；函数的周期性；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数y=f（x）在区间[﹣3，4]上图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f（x）﹣a=0得f（x）=a，作出函数f（x）在[﹣3，4]上的图象如图：∵f（0）=f（1）=f（2）=，∴当a=时，方程f（x）=在[﹣3，4]上有8个根，当a=0时，方程f（x）=0在[﹣3，4]上有5个根，则要使函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点，即方程f（x）=a在区间[﹣3，4]上有10个根，则0＜a＜，故选：C点评：本题主要考查函数零点的应用，利用函数的周期性作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中，x5与x6的系数相等，则n=　7　．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：先写出展开式的通项，再利用x5与x6的系数相等，建立方程，即可求得n 的值．解答：解：展开式的通项为T r+1=∵x5与x6的系数相等，∴解得n=7故答案为：7．点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．14．若曲线y=e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为　（﹣ln2，2）　．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．解答：解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，令﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．点评：本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．15．如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 ．考点：几何概型；定积分在求面积中的应用．专题：综合题；概率与统计．分析：求出正方形OABC的面积，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为（﹣x）dx=（）=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为．故答案为：．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．16．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈（﹣2，0]时，f（x）=log2（2﹣x）+2，则 f（2014.5）=　log27+1　．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），可得函数的周期为4，进而可得f（2014.5）=f（﹣1.5），代入可得答案．解答：解：∵函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是以4为周期的周期函数，又∵2014.5÷4=503…2.5，∴f（2014.5）=f（2.5）=f（﹣1.5），∵当x∈（﹣2，0]时，f（x）=log2（2﹣x）+2，∴f（﹣1.5）=log2（2+1.5）+2=log2+2=log27+1，故答案为：log27+1点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，对数的运算性质，是函数图象和性质的简单综合应用，难度中档．三、解答题（17题10，其余每题12分）17．已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）．若f′（﹣1）=0，求函数y= f（x）在[﹣，1]上的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出a的值，得到函数f（x）的单调区间，从而求出区间上的最大值．解答：解：∵f′（﹣1）=0，∴3﹣2a+1=0，即a=2，∴f′（x）=3x2+4x+1=3（x+）（x+1）．由f′（x）＞0，得x＜﹣1或x＞﹣；由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜﹣．因此，函数f（x）在[﹣，1]上的单调递增区间为[﹣，﹣1]，[﹣，1]，单调递减区间为[﹣1，﹣]．∴f（x）在x=﹣1处取得极大值为f（﹣1）=2；又∵f（1）=6，∴f（x）在[﹣，1]上的最大值为f（1）=6点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．18．已知f（x）=ln（e x+a）是定义域为R的奇函数，g（x）=λf（x）．（1）求实数a的值；（2）若g（x）≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令f（0）=0，解得a=0，可得函数f（x）=ln（e x）=x，经检验满足条件，故所求实数a的值为0．（2）根据f（x）=x，g（x）=λx，可得λ≤log2x在x∈[2，3]上恒成立，求出函数y=log2x在x∈[2，3]上的最小值为log22=1，可得λ的取值范围．解答：解：（1）函数f（x）=ln（e x+a）是定义域为R的奇函数，令f（0）=0，即ln（1+a）=0，解得a=0，故函数f（x）=ln（e x）=x．…（4分）显然有f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）=x是奇函数，满足条件，所求实数a的值为0．…（6分）（2）f（x）=x，g（x）=λx，则λx≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，即λ≤lo g2x在x∈[2，3]上恒成立，…（8分）∵函数y=log2x在x∈[2，3]上的最小值为log22=1，…（11分）∴λ≤1，即λ的取值范围为（﹣∞，1]．…（12分）点评：本题主要考查函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，属于中档题．19．已知某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，1 00）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？（相关系数k=，k＞2. 706时有99%的把握具有相关性）考点：独立性检验的应用；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1 .79＜2.706，可得结论．解答：解：（1）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名，所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.0 5=3（人），记为A1，A2，A3.25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），记为B1，B2．从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，即：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．其中，至少抽到一名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．故所求概率P=．（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375= 15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手总计25周岁以上组15456025周岁以下组152540总计3070100所以得：k==≈1.79．因为1.79＜2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．点评：本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题20．求证：1﹣+﹣+…+﹣=++…+，n∈N*．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：1﹣+﹣+…+﹣=1++++…++﹣2（++++…+），由此能证明1﹣+﹣+…+﹣=++…+，n∈N*．解答：证明：1﹣+﹣+…+﹣=1++++…++﹣2（++++…+）=1++++…++﹣（1++++…++）=++…+．∴1﹣+﹣+…+﹣=++…+，n∈N*．点评：本题考查数列前n项和与差的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．21．甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）．考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式．专题：计算题．分析：（1）由题意甲队中每人答对的概率均为，故可看作独立重复试验，故，（2）AB为“甲、乙两个队总得分之和等于3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足，有两种情况：“甲得（2分）乙得（1分）”和“甲得（3分）乙得0分”这两个事件互斥，分别求概率，再取和即可．解答：解：（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且，，，．所以ξ的分布列为ξ的数学期望为．解法二：根据题设可知，，因此ξ的分布列为，k=0，1，2，3．因为，所以．（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”这一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又=，，由互斥事件的概率公式得．解法二：用A k表示“甲队得k分”这一事件，用B k表示“乙队得k分”这一事件，k=0，1，2，3．由于事件A3B0，A2B1为互斥事件，故有P（AB）=P（A3B0∪A2B1）=P（A3B0）+P（AB1）．2由题设可知，事件A3与B0独立，事件A2与B1独立，因此P（AB）=P（A3B0）+P（A2 B1）=P（A3）P（B0）+P（A2）P（B1）=．点评：本题考查独立重复试验、二项分布、期望、及互斥事件、独立事件的概率问题，同时考查利用概率知识分析问题解决问题的能力．在求解过程中，注意P（AB）=P（A）P（B）只有在A和B独立时才成立．22．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）对f（x）进行求导，已知f（x）的最小值为0，可得极小值也为0，得f′（0）=0，从而求出a的值；（2）由题意任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，可以令g（x）=f（x）﹣x2，求出g（x）的最大值小于0即可，可以利用导数研究g（x）的最值；解答：解：（1）f′（x）=1﹣=，（x+a＞0）令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a，令f′（x）＞0，x＞1﹣a；f（x）为增函数；f′（x）＜0，﹣a＜x＜1﹣a，f（x）为减函数；∴x=1﹣a时，函数取得极小值也是最小值，∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，∴f（1﹣a）=1﹣a=0，得a=1；（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数可得g′（x）=，令g′（x）=0，可得x1=0，x2=＞﹣1，当k≥时，，g′（x）＜0，在（0，+∞）上恒成立，g（x）在[0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（0）=0，∴对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；当0＜k＜时，x2=＞0，g（x）在（0，）上g′（x）＞0，g（x）为增函数；g（x）在（，+∞）上g′（x）＜0，g（x）为减函数；因此存在x0∈（0，）使得g（x0）≥g（0）=0，可得x0﹣ln（x0+1）≥kx02，即f（x0）≥kx02，与题矛盾；∴综上：k≥时，对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，∴实数 k的最小值为：；点评：此题考查函数的恒成立问题，第二问构造新函数，将问题转化为g（x）的最大值小于等于0，即可，这种转化的思想在高考中经常会体现，我们要认真体会；。