第五章机械波2

缝足够大小
波面
从图中可以很明显地看出，波线已不再是平行射线，出 现了衍射现象。
3、波的反射和折射
★ 波的反射(略)
★ 波的折射
用作图法求出折射波的传播方向： 折射定律的证明：
BC u1Δt sin i1 AC AC
AD u2 Δt sin i2 AC AC
n1
n2
u1Δt
B i1 Δt C
称为:波的独立传播性 ）。 可将复杂的波分解为一系 列简谐波的叠加。 一系列简谐波可合成为复 杂的波。
二、波的干涉
1、波的干涉现象 ：
在多个波的相遇区，某些质元振动恒加强，某些质元振
动恒减弱，其他质元振动恒介于该强、弱之间。 这种恒定的 振动叠加分布现象称为波的干涉现象。 波的干涉为一种特殊的波的叠加现象；
所以
A
r1
r2
C
B
1.1m
频率
干涉减弱条件为
r2 r1 ( 2k 1) 2
k=0, 1, 2….
（1）
2 由几何关系有： r2

r12
1
r2 r1 ( 2k 1) (1) 2
A
所以
( r2 r1 )(r2 r1 ) 1
( 2)
r1
r2
C
1 2 r2 r1 r2 r1 ( 2k 1)

sin i1 u1 n2 sin i2 u2 n1
A Δt D u2Δt i2
§5－5 波的叠加、干涉、驻波
一、波的叠加原理：
在介质中，若干个振动不太强的波相遇，在相遇区任一点
处质元的振动，为这些波在该点引起该质元振动的线性叠加。 若介质是同一种均匀介质，则在相遇区内、外，各个波仍
保持原有的特性 (如：频率、波长、和振动方向等) 不变（此点
(iii) 驻波的动、势能在两相邻的波节之间相互转化，能量流动。 能量不能通过节点
驻波全局域的能流密度均值（即：波强）I = 0
Байду номын сангаас
3、弦线上的驻波
① 形成驻波对弦线长度L的限制：
弦长等于半波长的整数倍时 才能形成驻波。
L n , ( n 1, 2 ) 2
②驻波的简正模式、简正频率：
干涉现象是断定波动性的判据。
2、机械波的相干条件（非瞬 时性的）:
（1）主要条件：频率相同 必导致多个机械波的相位差(即为初相位差)恒定
（2）附加条件： 振动方向相同；各个分振动的幅差不太大
（保证相干效应显著） 对介质的要求： 足够大、均匀、无吸收
3 、相干波、相干波源:
满足相干条件的波、波源
4 、干涉加强(相长干涉)与干涉减弱(相消干涉):
（3）驻波中各点处质元的相位关系
相邻两个 波节之间各质元作振幅不同、相位相同的谐振动 每个 波节两侧的各个质元作振幅不同的相位相反的谐振动
（4）驻波的能量特征
（i）当各质元达皆在各自的最大位移处时，各质元的能量全部
为势能。驻波的势能集中在波节点附近(此处介质形变最大)。 (ii) 当各质元皆在各自的平衡位臵时，能量全部为动能。 驻波的动能集中在波腹点附近 (此处质元的速度幅最大)。
A A1 A2 2 A1 A2 cos Δ
2 2
tan 1
2 2 A1 cos(1 r1 ) A2 cos( 2 r2 )
A1 sin(1
2
r1 ) A2 sin( 2
2
r2 )
4. 合成波的强度：
由于波的强度正比于振幅的平方: 所以合成波的强度为：
四、实现机械波相干的方法： 1、取多个独立的相干波源实现相干 2、分波振面法实现相干 3、分振幅法实现相干
波 的 干 涉 举 例
例1:均匀介质中A、B 两点的两相干波源振幅同，频率为100Hz，
相位差为 π ，两点 相距 L=30 m，波速为400 m /s
求: AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵。 L=30m 解：取 A 点为坐标原点，A、B A 连线为 x 轴， 如图示。 o
r1
)
P 点处质元的合振动为：同振向、同频谐振动的合成
P 点处质元的合振动为：同振向、同频谐振动的合成
y y1P y2P A cos ( t )
两相干波在相遇点的相位差为：
Δ 2 1 2
r2 r1

★ 相位差 = 初相差 + 由于传播距离不同引起的相位差。 合振动的合振幅、初相分别为：
例3、平面简谐波为 y 2 cos 600 ( t x )（SI），传至隔板上
波传到C点恰好相消。求C点到A点的最小距离。
330 的两个小孔A、B（如图）。两孔间距为1， 若A、B发出的子
解：波的表达式为
x y 2 cos 600 ( t ) 330 x 2 cos 2 (300t ) 1.1
r2 r1 Δ 2 1 2 2k , ( k 0, 1, 2 )
Δ 2 1 2
则合振幅为：
r2 r1

2k , ( k 0, 1, 2 )
A Amax A1 A2
干涉始终加强，称 相长干涉。
P A
L=30m
x
o rB
B
X
rA
rB rA 30 2 Δ B A 2 14 4
则 A 点外侧没有因干涉而静止的点
解(3):两相干波在AB 连线之间某 P点处(0≤ x ≤ L)的相位差为：
L=30m
A
o
P
B
L X
rB rA 2 Δ B A 2 [( L x ) x ] x 14
可能形成驻波。
2、驻波的波形 ：
y
负向波
u
t=0时刻的合成波形
正向波
u
x
y
u
负向波
正向波
u
x
t=T/8时刻的合成波形
y
负向波
u
t=T/4时刻的合成波形
正向波
u
x
y
t=3T/8时刻的合成波形
x
y

t=T/2

可见：
4
x
各时刻合成的 波形驻定
2
λ
⑴ 各时刻合成的波形驻定不行进，为驻波;
⑵ 有些质元的合振幅恒为零（静止）称为波节; 有些质元的合振幅恒最强，称为波腹。 •两个相邻波节（或波腹）间的距离为λ/2; •相邻的波节与波腹间的距离为λ/ 4 。
意时刻排成的波形不沿波线
行进，呈驻定状态，称为驻 波。例：弦线上的驻波。
1、驻波的形成 ：
(1) 在均匀、足够大、无吸收的介质中，两个等幅相干波沿同 一波线相向传播，在该波线上可形成驻波。 (2) 在均匀、足够大、无吸收的介质中，一个波与其自身反向 传播的反射波，沿同一波线相向传播并 相干，在该波线上
P
AP
AB 2 BP 2
10 m.s-1
A
20m
(15) 2 ( 20) 2 25 m
已知: v = 100 Hz ，u = 15m
B
则:

u

10 0.10 m
100
由题知，两波反相位，设 A 的相位较 B 超前， 则二者的初相差：
A B
A, B 发出的两列波传到 P 点时的相位差与波程差的关系为：
§5 - 4 惠 更 斯 原 理
一、惠更斯原理
1. 惠更斯原理
— 介质中波动到达的各点都可以看作发射子波的波源，
在其后任一时刻，这些子波的包络面就是新的波前。
2、 要点：
★ 介质中波动到达的各点可视作新波源
★ 提出了子波概念
★ 波在介质内逐点传播，各质元以一定的时间差、
•
以一定的程度重现波源的振动
x
( x ) x 14
由干涉静止的条件：
Δ ( 2k 1)
(k 0 , 1 , 2 , )

x 14 ( 2k 1)
x 2k 15 (0 x L)
(k 0 , 1 , 2 , , 7 )
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为：
干涉加强：对应干涉区质元合振动的合振幅为最大值； 干涉减弱：对应干涉区质元合振动的合振幅为最小值。
5 、干涉相长条件、干涉相消条件：
满足相长干涉 、相消干涉所服从的条件， 形式可以为：干涉相长、干涉相消的相位差形式 干涉相长、干涉相消的波程差形式
三、两个平面简谐相干机械波的干涉：
1. 两相干波源的振动：
相长干涉 相消干涉
(k 0, 1, 2, )
当 φ1 = φ2 时，相位差为：
Δ 2
r2 r1

2
k
相长干涉
r2 r1
( 2k 1) 2
( k 0, 1, 2, )
相消干涉
★ 注意: 上述条件适用于两相干波在同一均匀介质中传播的情况。
t 波面
t + t 波面
t + t t
传播方向 传播方向
u t
2、波的衍射 :
波传播过程中，遇到障碍物明显偏离直线传播规律、并 且波场中波的能量非均匀分布的现象 故：波能发生绕过障碍物及其边缘，而改变原来的传播方向 而进行传播的现象（如图示）。 以平面波遇阻为例作图解释。
波线
衍射区
平面波区
衍射区
x 1, 3, 5, 7, 9, , 25, 27, 29 m
例 2: 如图，A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源，