17届高三理科数学11月19日同步测试(11.19周测试)答案
【高考数学】2017年全国卷(Ⅲ)(理)Word版含答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．22C ．2D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -=B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP=λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A ．3B ．22C ．5D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版含部分选填详解)
理科数学 2017年高三2017年全国丙卷理科数学理科数学考试时间：120分钟题型 单选题 填空题 简答题 总分 得分一、单选题 （本大题共12小题，每小题5分,共60分） 1．已知集合(){}(){}22,|1,,A x y x y B x y y x =+===，则AB 中元素的个数为( )A . 3B 。
2C 。
1D . 02．设复数z 满足(1+i )z =2i ，则z = （ )A .12 B 。
22C . 2D . 2 3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( ）A . 月接待游客量逐月增加B 。
年接待游客量逐年增加C 。
各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D 。
各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 ( )A . -80B . —40C 。
40D 。
805.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则C 的方程为（ ） A . 221810x y -= B 。
22145x y -= C 。
22154x y -= D 。
22143x y -=6．设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论错误的是( )A . f (x )的一个周期为−2πB 。
y =f (x )的图像关于直线83x π=对称 C 。
f （x +π)的一个零点为6x π=D 。
f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 7．执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为( )A 。
5B . 4C 。
一七年高考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 下列各数中，属于有理数的是（ ） A. √2 B. π C. -3 D. 0.1010010001…… 2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 3. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（ ） A. y = 2x + 1 B. y = -x^2 C. y = log2x D. y = e^x 4. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在 5. 已知等差数列{an}的前三项分别为2, 5, 8，则该数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 下列各点中，在直线3x + 4y - 12 = 0上的是（ ） A. (0, 3) B. (2, 3) C. (3, 2) D. (4, 4) 7. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，则f(x)的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 8. 若sinA + cosA = √2，则cosA的值为（ ） A. √2/2 B. 1/2 C. -√2/2 D. -1/2 9. 在三角形ABC中，∠A = 60°，AB = 8，AC = 6，则BC的长度为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 10. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 0，f(-1) = 0，则f(0)的值为（ ）
A. 0 B. a C. b D. c 11. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则第n项an的表达式为（ ） A. 2^n - 1 B. 2^n C. 2^n + 1 D. 2^n - 2 12. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(x)的值域为（ ） A. (-∞, -1) ∪ (1, +∞) B. (-1, 1) C. (-∞, -1) ∪ [1, +∞) D. (-∞, 1) ∪ (1, +∞) 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = _______。 14. 若sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ，则cos(α - β)的值为 _______。
2017学年高考理科数学年全国卷3答案
时，
y
2
log2
1 16
2
4
2
.
5．【答案】 7 5
【解析】 tan
tan（[
4
）
4
]
tan（ ） tan
4
4
1 tan（ ）tan
1 1
6 1
1
7
.
5
44 6
6．【答案】 3 2
【解析】设球 O 的半径为 r ，则圆柱的底面半径为 r 、高为 2r ，所以 V1 r2 2r 3 . V2 4 r3 2 3
y0 ，即 x02
y02
1或 x02
y02
1.
又 P 在椭圆 E 上，故 x02 y02 1. 43
由
x02 x02 4
y02 1
y02
，解得
1
3
x0
47 7
,
y0
37 7
；
x02 x02 4
y02 y02 3
1
，无解.
6 / 10
（如果将没入水中部分冶理解为水面以上部分冶，则结果为 24 cm ）
（2）如图， O，O1 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义， OO1 平面EFGH ，所以 平面E1EGG1 平面EFGH ， O1O EG .
同理， 平面E1EGG1 平面E1F1G1H1 ， O1O E1G1 .
所以 MC
402 (10
7)2
30 ，从而 sin∠MAC
安徽省六安2024-2025学年高三上学期第四次月考(11月)数学试题含答案
六安2025届高三年级第四次月考数学试卷（答案在最后）命题人：时间：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列命题不正确的是（）A.若m ∥,n m α⊥，则n α⊥B.若,m m αβ⊥⊥，则α∥βC.若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥D.若m ∥,n ααβ⋂=，则m ∥n【答案】D 【解析】【分析】利用空间线面位置关系逐项分析判断即可.【详解】若m ∥,n m α⊥，则n α⊥,故A 选项正确；由m α⊥，m β⊥，可以推出//αβ，故B 选项正确；由平面与平面垂直的判定定理可知，若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥，故C 选项正确；//m α，n αβ= ，则//m n 或,m n 异面，故D 不正确.故选：D.2.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA a = ,PB b = ,PC c =，则用基底{},,a b c 表示向量BE为（）A.111222a b c →→→-+B.111222a b c →→→--C.131222a b c →→→-+ D.113222a b c →→→-+【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可.【详解】连接BD ， E 为PD 的中点，111()()222BE BP BD PB BA BC =+=-++111111()()222222PB BA BC PB PA PB PC PB =-++=-+-+-311131222222PB PA PC a b c =-++=-+．故选：C ．3.某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（）A.8B.12C.16D.6【答案】A 【解析】【分析】根据分层抽样的定义列出式子，进行求解.【详解】由题意得，史地政”组合中选出的同学人数为12030824090120⨯=++.故选：A4.已知数列{}n a 的首项110,1n n a a a +==++，则8a =（）A.48B.80C.63D.65【答案】C 【解析】【分析】首先递推公式变形，结合等差数列的定义，即可求解.【详解】数列{}n a 的首项110,1n n a a a +==++，则：1111n n a a ++=++，整理得：)221=，所以：1=，1=（常数），所以数列是以1=为首项，1为公差的等差数列.()11n n=+-=，整理得：21na n=-（首项符合通项），则：21na n=-，所以：864163a=-=.故选：C5.已知等差数列{}n a满足131,3a a==，前n项和为nS，若12111nnTS S S=+⋯+，则与9T最接近的整数是（）A.5B.4C.2D.1【答案】C【解析】【分析】求出等差数列的前n项，然后由裂项相消法求得n T即可得9T，从而得出结论．【详解】设{}n a的公差为d，则3131122a ad--===，所以()()1(1)11211112,22nnS n n nS n n n nnn-=⎪+⎛⎫=+==-++⎝⎭，则912111111111992121,222311105 nnT TS S S n n n⎛⎫⎛⎫=+⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，则与9T最接近的整数是2.故选：C.6.已知数列{}n a满足*712,8,N2,8nna n na na n-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩，若对于任意*n∈N都有1n na a+>，则实数a的取值范围是（）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.113,220⎛⎫⎪⎝⎭C.13,120⎛⎫⎪⎝⎭D.31,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组求解即可.【详解】由对于任意*n∈N都有1n na a+>知，数列{}n a为递减数列，所以只需满足89102011392a a a a a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪=>=-⎩，解得13120a <<，故选：C7.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11A C 上一个动点，则下列结论正确的有（）A.不存在M 点使得异面直线BM 与AC 所成角为90B.存在M 点使得异面直线BM 与AC 所成角为30oC.存在M 点使得二面角M BD C --的平面角为45D.当1114A M AC =时，平面BDM 截正方体所得的截面面积为92【答案】D 【解析】【分析】异面直线BM 与AC 所成的角可转化为直线BM 与11A C 所成角，由当M 为11A C 的中点时判断选项A ；当M 与1A 或1C 重合时，直线BM 与AC 所成的角最小判断选项B ；当M 与1C 重合时，二面角M BD C --的平面角最小判断选项C ；对于D ，由1114A M AC =，过M 作EF ∥11D B ，得到四边形EFBD 即为平面BDM 截正方体所得的截面判断.【详解】解：异面直线BM 与AC 所成的角可转化为直线BM 与11A C 所成角，如图所示：当M 为11A C 的中点时，11BM AC ⊥，此时BM 与AC 所成的角为90，所以A 错误；如图所示；当M 与1A 或1C 重合时，直线BM 与AC 所成的角最小，为60o ，所以B 错误；当M 与1C 重合时，二面角M BD C --的平面角最小，1tan 21C OC ∠=>，所以145∠>C OC o ，所以C 错误；对于D ，如图所示：过M 作EF ∥11D B ，交11A B 于F ，交11A D 于E 点，因为1114A M AC =，所以E F ､分别是1111A D A B ､的中点，又11B D ∥BD ，所以EF ∥DB ，四边形EFBD 即为平面BDM 截正方体所得的截面，因为11122EF D B ==，且22115BF DE BB B F ==+=所以四边形EFBD 是等腰梯形，作FG DB ⊥交BD 于G 点，所以()1,222BG BD EF FG =-===，所以梯形的面积为()1922BD EF FG +⨯=，所以D 正确.故选：D8.已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为（）A.1B.2C. D.4【答案】D 【解析】【分析】先通过圆柱的轴截面为正方形，可得该圆柱的内切球半径，再去研究球的内接正四面体，从而转化为研究正四面体的外接球问题即可.【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，母线长为，若该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长a 最大，如图该正四面体P ABC -的棱长为a ，设点P 在面ABC 内的射影为H ，即PH ⊥面ABC ，则球心O 在PH 上，且OP OA ==，2cos3033AH AB a =⋅= ，所以3PH a ===，所以63OH PH OP a =-=在Rt OAH △中，222OA OH AH =+，即2226333a a ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，整理可得：240a a -=，解得4a =或0a =（舍），所以a 的最大值为4，故选：D【点睛】方法点睛：要让正四面体在圆柱内任意转动起来，转化为这个正四面体在圆柱的内切球内，从而问题得解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A.34S a =B.132n n n a a ++-=C.11n n a a n +-=+D.1055a =【答案】ACD 【解析】【分析】由已知题意，探索{}n a 递推规律，由规律得通项n a ，由此判断选项.【详解】由题意得，第n 层有n a 个球，121321,2,3,,a a a a a ==+=+ 11n n a a n +=++.即2123a =+=，31236a =++=，L ，()11232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=，因为3123413610,123410S a a a a =++=++==+++=，所以34S a =，A 正确；由11n n a a n +-=+，当2n =时，322332a a +-=≠，故B 错误，C 正确；由101011552a ⨯==，D 正确；故选：ACD.10.在边长为6的菱形ABCD 中，π3A ∠=，现将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使得二面角P BD C --是锐角，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积可以是（）A.58πB.45πC.48πD.55π【答案】AD 【解析】【分析】作出二面角的平面角，利用球的性质确定外接球球心位置，求出球的半径，再由角的范围得出半径的范围，即可求出外接球表面积的范围.【详解】如图，由菱形边长为6，π3A ∠=，可知,PDB CDB △△是边长为6的正三角形，取BD 的中点为M ，连接,PM CM ，则,PM BD CM BD ⊥⊥,所以PMC ∠是二面角P BD C --的平面角，设π02PMC θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，外接球球心为O ，取,E F 分别为,PM CM 靠近M 的三等分点，连接,OE OF ,则EO ⊥平面PBD ，FO ⊥平面BCD ，连接,OC OM ，因为216233MC CF MC MF =⨯=====，所以在Rt OMF △中，tan2OF MF θ=，即tan 22OF MF θθ==，所以22222123tan 2R OC OF CF θ==+=+，由π02θ<<，可知π024θ<<，所以20tan 12θ<<，故21215R <<，所以()24πR 48π,60πS =∈.结合选项可知，AD 符合，BC 不符合.故选：AD11.对于棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（）A.底面半径为1m,高为1m 的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体B.以该正方体同一顶点出发的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为2C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为0.5m,高为0.8m 的圆锥D.该正方体内能整体放入一个体积为33πm 17的圆锥【答案】BCD 【解析】【分析】选项A ，对照圆锥轴截面和正方体的表面，即可判断；选项B ，以1,,AB AA AD 三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为平面1A BD ，等体积法求点A 到平面1A BD 的距离为，可求圆锥的母线与底面所成角的正切值；选项C ，过1AC 的中点P 作1AC 的垂线MN ，分别交11,AC A C 于点,M N ，计算,AP PM 的长度，判断能否放入两个圆锥；选项D ，计算以正方体的体对角线1AC 为圆锥的轴，1C 为圆锥顶点的最大圆锥体积即可，【详解】对于A ，圆锥和正方体高度相同，对照圆锥轴截面和正方体的表面，显然圆锥不可能罩住水平放置的该正方体，A不对；对于B ，如图，以1,,AB AA AD 三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为平面1A BD ，等价于求AB 与平面1A BD 所成角的正切值，因为1,A A BD B AA D V V --=，所以1131111132232h ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点A 到平面1A BD的距离为h ，则此圆锥的母线AB 与底面1A BD232=，B 正确；对于C ，如图，平面11AA C C 内，过1AC 的中点P 作1AC 的垂线MN ，分别交11,AC A C 于点,M N ，13AC =，30.82AP =>，1326tan 0.5224PM AP C AC ∠=⋅=⨯=>，以正方体的体对角线1AC 作为圆锥的轴，正方体内能同时整体放入两个底面半径为0.5m,高为0.8m 的圆锥，C正确；对于D ，以正方体的体对角线1AC 作为圆锥的轴，1C 为圆锥顶点，MN 为圆锥底面圆的直径时，该圆锥的体积为221116333ππππ33421617V PM C P ⎛=⨯⨯=⨯⨯=> ⎝⎭，D 正确.事实上，以正方体的体对角线1AC 作为轴，1C 为顶点的圆锥的体积最大值，显然底面圆心在线段AP 上（不含P 点），设AG x =，当G I 与MN （M 为AC 的四等分点）重合时，MP NP =，因此3204x <≤，因为1AGH AC C ∽△△，所以11AG AH GH AC AC CC ==，则1636,,3333AH x GH x C H x ===，圆锥体积()22113232ππ1,03934V x GH C H x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=-<≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()32209V x x x '=>在320,4⎛ ⎝⎦上恒成立，所以()V x 在0,4⎛ ⎝⎦上单调递增，体积的最大值为ππ41617V ⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：判断CD 选项的关键是以矩形11AA C C 的中心为圆锥底面圆圆心，体对角线1AC 作为轴，算出圆锥的底面半径和最大高度，对结论时行判断.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据1，2，0，1-，x ，1的平均数是1，则这组数据的中位数为______.【答案】1【解析】【分析】由平均数的公式求得x ，根据中位数的概念求出结果.【详解】这组数据的平均数为1，有()11201116x ++-++=，可求得3x =.将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是1与1，其平均数即中位数是(11)21+÷=.故答案为：1.13.已知四棱锥,A EBCD AE -⊥平面BCDE ，底面EBCD 是E ∠为直角，EB ∥DC 的直角梯形，如图所示，且224,CD EB AE DE ====，点F 为AD 的中点，则F 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】以E 为原点，建立空间直角坐标系，向量法求点到直线的距离.【详解】由题意知，AE ⊥平面BCDE ，,BE ED ⊂平面BCDE ，所以,AE BE AE ED ⊥⊥，又BE ED ⊥，故以E 为原点，,,EB ED EA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,2,0,0,4,3,0,0,3,0A B C D ，得()3,1F 所以()()2,23,0,2,3,1BC FB ==- ，记()13,,0,2,3,122BC c a FB BC ⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则4312a =++= ，31122a c ⋅=-=- ，所以F 到直线BC 的距离为22131||()842d a a c =-⋅=-= .故答案为：312.14.若在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AB BC AA ===.则四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分的体积为__________.【答案】43【解析】【分析】先判断出公共部分的位置，然后利用锥体体积公式来求得正确答案.【详解】记11111,,A D AD O A B AB E BO AC F ⋂=⋂=⋂=，由于1112OA AF BC FC ==，则F 为1AC 的第一个三等分点（靠近A ），连1EF EC ､，E 是1A B 的中点，由于B ∈平面11ABC D ，所以E 到平面11ABC D 的距离E d 是1A 到平面11ABC D 的独立1A d 的一半，则公共部分是三棱锥11111111,332E BFC BFC E BFC A E BFC V S d S d --=⨯=⨯ ，又112253BFC BAC S S == ，作11A H AD ⊥，垂足为H ，根据长方体的性质可知111111111,,,C D A H C D AD C D AD ⊥⋂⊂平面11ABC D ，所以1A H ⊥面11ABC D ，由等面积法可得111242522A H ⨯⨯=⨯⨯，所以1145A d A H ==，故14251143532E BFC V -⨯⨯==⨯.故答案为：43【点睛】方法点睛：几何图形的公共部分和体积计算：通过分析两个几何体公共部分的几何位置，逐步构造关键点，利用三角形面积和锥体体积公式，最终得出公共部分的体积，此方法清晰有效，能充分展示逻辑推理与代数运算等解题技巧.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设三角形ABC 的内角A B C ､､的对边分别为,,a b c 且()2sin 23sin2A B C +=.（1）求角A 的大小；（2）若3,b BC =332ABC 的周长.【答案】（1）π3A =（2）9【解析】【分析】（1）利用三角形内角和的关系以及二倍角的余弦公式，并由辅助角计算可得结果；还可以根据二倍角的正弦公式求出正切值计算；（2）由三角形面积公式代入计算可得3a b c ===，求出周长.【小问1详解】因为,,A B C 为三角形ABC 的内角，所以()sin sin B C A +=，因为21cos sin 22A A -=，所以()2sin 2A B C +=可化为)sin 1cos A A =-，即sin A A +=πsin 32A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又易知ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，解得π2π33A +=，即π3A =.【小问2详解】由三角形面积公式得11sin ,322bc A b ==，代入得：1π13sin 232c ⨯=⨯，所以a c =，故ABC V 为正三角形，3a b c ===，周长等于9.16.已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和为3nn S b =+.（1）求1,b a 的值；（2）设221,1,2,3,n n c a n n =+-= ，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）11,2b a =-=（2）()23914n n -+【解析】【分析】（1）根据等比数列中,n n a S 的关系可得解；（2）根据分组求和，利用等比数列、等差数列求和公式得解.【小问1详解】当2n ≥时，1123n n n n a S S --=-=⨯，因为{}n a 是等比数列，所以12a =，又因为113a S b ==+，所以1b =-.【小问2详解】由（1）知123n n a -=⨯，因为26a =，且222 9n na a +=，所以{}2n a 是以6为首项，9为公比的等比数列，()()2421321n n T a a a n ⎡⎤=+++++++-⎣⎦()29123691.9124n n n n n -⋅=⨯+=-+-17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，112,AC BC AB AB ===⊥平面ABC ，1,AC AC D ⊥点是AC 的中点（1）证明：11AC B C ⊥；（2）求1A D 与平面11BB C C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）sin 34θ=【解析】【分析】（1）先根据线面垂直性质得出1AC AB ⊥，再应用线面垂直判定定理得出AC ⊥平面11AB C ，进而得出线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，应用线面角求解即可；先根据等体积求出M 到平面11BB C C 距离，再应用线面角的定义进而得出线面角的正弦值.【小问1详解】由题意，1AB ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以1AC AB ⊥，又1AC AC ⊥，且11AB AC ⊂､平面1111,AB C AB AC A ⋂=，所以AC ⊥平面11AB C ，因为11B C ⊂平面11AB C ，所以11AC B C ⊥.【小问2详解】法一：由（1）知11AC B C ⊥，又BC //11B C ，所以AC BC ⊥，以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0C B B A ，0,1,0，所以()()()12,0,0,2,2,2,0,1,0CB BB DA ==-= ，()()()1110,1,02,2,22,3,2DA DA AA DA BB =+=+=+-=- ，设平面11BB C C 的法向量为 =s s ，则1202220n CB x n BB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，所以 =0,1,−1，从而111cos ,34DA n DA n DA n⋅==⋅ ，故直线1A D 与平面11BB C C 所成角的正弦值为34.法二：取11C A 中点M ，则CM //1A D ，CM =1A D ，记CM 与平面11BB C C 所成角为θ，则1111112sin A CC B B M CC B Bd d CM CMθ--==，因为1,BC AC AB ⊥⊥平面ABC ，所以111,,,AB BC AC AB A AC AB ⊥⋂=⊂平面1AB C ,所以BC ⊥平面11,AB C CB ⊂平面1AB C ,所以1BC CB ⊥,1ACB中，1CB ==,所以111111*********,222B C C A B C S B C CB S =⨯=⨯⨯==⨯⨯=由111111A B C C C A B C V V --=，知1111111111133B C C A CC B B A B C S d S AB -⋅=⋅，即1112222A CC B B d -⋅=⨯解得1112A CC B B d -=，过M 做AC 垂线交C 的延长线垂足为H ,122,3MH C A CH ===又2223817CM CH MH =+=+=，所以34sin 34θ=18.如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥,8,4,60BC AD BC DAB ∠=== ，点,E F 在以AD 为直径的半圆上，且 AE EFFD ==，将半圆沿AD 翻折如图2.（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）当多面体ABE DCF -的体积为32时，求平面ABE 与平面CDF 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理来求得正确答案.（2）利用几何法，或建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面ABE 与平面CDF 夹角的余弦值.【小问1详解】设O 是AD 的中点，连,,,,,,OB OC OE OF AE EF FD ，依题意，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥,8,4,60BC AD BC DAB ∠=== ，点,E F 在以AD 为直径的半圆上，且 AE EFFD ==，由等边三角形可知A B C D F E ､､､､､分布在同一个圆周上，且AE EF FD DC CB BA =====，则六边形ABCDFE 为正六边形，EF ∴//AD ∥,BC EF ⊄面,⊂ABCD BC 面,ABCD EF ∴∥ABCD .【小问2详解】在图1中连EB 交AD 于1O ，则AD EB ⊥，连FC 交AD 于2O ，则AD FC ⊥，故在图2中，1111111,,,,AD O E AD O B O E O B O O E O B ⊥⊥⋂=⊂平面1EOB ，所以AD ⊥平面1EO B ，同理可证得AD ⊥平面2FO C ，记面ABE 与面CDF 所成角为θ，则1212,6sin EO B FO C EO B FO C S S ∠∠θθ==== ，1221ABE DCF EO B FO C D FO CA EOB V V V V ----=++锥112121132sin 3233EO B EO B FO C S AO S EF S DO θ=⨯+⨯+⨯== ，故πsin 1,2θθ==，即面AEFD ⊥面ABCD .法一（几何法）：延长AB DC ､交于,Q 延长AE DF ､交于,P 则PQ 为面ABE 与面CDF 交线且8,8AP AQ PD QD ====，取PQ 中点M ，连接AM DM ､，则,AM PQ DM PQ ⊥⊥，则AMD ∠即为面ABE 与面CDF 所成角.在AMD中，8AM DM AD ===，故281cos 5AMD +-∠==，故面ABE 与面CDF 所成角的余弦值为15.法二（坐标法）：以1O 为坐标原点，111,,O B O D O E 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()(()()(0,2,0,,0,0,,4,0,0,6,0,0,4,2A B E C D F-，()(2,0,0,2,AB AE ==，有2020AB n y AE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1,x =得()1,n = ，同理可得面CDF 法向量()m = ，设面ABE 与面CDF 所成角为α，故1cos 5m n m n α⋅==⋅ .19.若存在非零常数t ，使得数列{}n a 满足()11231,n n a a a a a t n n +-=≥∈N ，则称数列{}n a 为“()H t 数列”.（1）判断数列：1,3,5,11,152是否为“()2H 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 是首项为1的“()H t 数列”，数列{}n b 是等比数列，且{}n a 与{}n b 满足212321log n i n n i aa a a ab ==+∑ ，求t 的值和数列{}n b 的通项公式；（3）若数列{}n a 是“()H t 数列”，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11,0a t >>，证明：1e nS n n n t S S -+>--【答案】（1）不是，理由见解析（2）1t =-，12n n b -=.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由“()H t 数列”定义验证即可；（2）由题可得212321111log n n n i n i aa a a a ab +=++=+∑ ，与212321log ni n n i a a a a a b ==+∑ 相减结合“()H t 数列”定义可得关于t 的方程，即可得答案；（3）要证1e n S n n n t S S -+>--等价于12e n S n n a a a -< ，即1212ln ln ln n n a a a a a a n +++<+++- ，构造函数()ln 1f x x x =-+，利用其单调性可证明结论.【小问1详解】根据“()H t 数列”的定义，则2t =，故11232n n a a a a a +-= ，因为212a a -=成立，3212a a a -=成立，43211113542a a a a -=-⨯⨯=-≠不成立，所以1,3,5,11,152不是“()2H 数列”.【小问2详解】由{}n a 是首项为1的“()H t 数列”，则231,21a t a t =+=+，由{}n b 是等比数列，设公比为q ，由212321log n i n n i aa a a ab ==+∑ ，则212321111log n n n i n i a a a a a a b +=++=+∑ .两式作差可得()2112312121log log n n n n n a a a a a a b b +++=-+- ，即()21123121log n n n a a a a a a q ++=-+ ，由{}n a 是“()H t 数列”，则1231n n a a a a t a +-= ，对于1,n n ≥∈N 恒成立，所以()()211121log n n n a a t a q +++=--+，即()12121log log n n n t a t b b +++=+-对于1,n n ≥∈N 恒成立，则()()22321log 1log t a t q t a t q ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，即()()222(1)log 121log t t q t t t q ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩，因为0t ≠解得，1,2t q =-=，又由2111211,log a a a b ==+，则11b =，即12n n b -=，故所求的1t =-，数列{}n b 的通项公式12n n b -=.【小问3详解】设函数()ln 1f x x x =-+，则()11f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =，当1x >时，()0f x '<，则()ln 1f x x x =-+在区间()1,∞+单调递减，且()1ln1110f =-+=，又由{}n a 是“()H t 数列”，即1231n n a a a a t a +-= ，对于1,n n ≥∈N 恒成立，因为11,0a t >>，则211a t a =+>，再结合121,0,1a t a >>>，反复利用1231n n a a a a t a +=+ ，可得对于任意的1,,1n n n a ≥∈>N ，则()()10n f a f <=，即ln 10n n a a -+<，则ln 1n n a a <-，即1122ln 1,ln 1,,ln 1n n a a a a a a <-<-⋯<-，相加可得1212ln ln ln n n a a a a a a n +++<+++- ，则()12ln n n a a a S n <- ，又因为ln y x =在()0,x ∞∈+上单调递增，所以12e n S n n a a a -< ，又1231n n a a a a t a +-= ，所以1e n S n n a t -+-<，即1e n S n n n S S t -+--<，故1e n S n n n t S S -+>--.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题关键为理解“()H t 数列”的定义，通过构造函数()ln 1f x x x =-+利用单调性来证明ln 10n n a a -+<，进而得到()12ln n n a a a S n <- ，得证.。
2017年高考真题——理科数学(全国Ⅲ卷)+Word版含解析
2．设复数z满足 (1 + i) z = 2i ，则 z =
1 2 答案 C
A．
B．
2 2
C． 2
D．2
解析 由题， z =
2i (1 − i ) 2i 2i + 2 = = = i + 1 ，则 z = 12 + 12 = 2 ，故选C. 1 + i (1 + i )(1 − i ) 2
1 2016
7．执行右图的程序框图，为使输出 S 的值小于91，则输入的正整数 N 的最小值为 A．5 B ．4 C ．3 D．2 答案 D 解析 程序 行过程如 表所示 S M 0 100 1 初始状态 100 −10 2 第1次循环结束 90 1 3 第2次循环结束 时 S = 90 < 91 首次满足条 ， 程序需在 t = 3 时跳出循环， 即 N = 2 为满足条 的最小值，故选D.
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
试题及答案解析
一、选择题： 本题共12小题，每小题5分，共60分
全国
2 2 1．已知集合 A = ( x, y ) x + y = 1 ， B = {( x, y ) y = x} ，则 A I B 中元素的个数为
{
}
B ．2 C ．1 D．0 A．3 答案 B 解析 A 表示圆 x 2 + y 2 = 1 所 点的集合， B 表示直线 y = x 所 点的集合， 故 A I B 表示两直线 圆的交点， 由图可知交点的个数为2， 即 A I B 元素的个数为2， 故选B.
3．某城 为了解游客人数的变化规律，提高旅游服 ，收集并整理了2014 12 期间 接 游客 单 万人 的数据，绘制了 面的折线图．
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绝密★启用前理科数学注意事项:1. 答题前，考生先将自己的姓名、 准考证号填写清楚， 将条形码准确粘贴在条形码区域 内。
2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5•保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀项是符合题目要求的。
A. 1 2i灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（） A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A. 90B . 63C. 42D . 362x 3y 3 05.设x , y 满足约束条件 2x 3y 3 0，则z 2x y 的最小值是（）y 3 02017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2)、选择题：本题共12小题，每5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 2.设集合A1,2,4 ,4x•若 AI B{1}，则 B3. A.1, 3 1,01,31,5我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题:"远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 2i26. 7. 8. 9. 10. 11. 12. A.15安排3名志愿者完成 排方式共有( )A. 12 种4项工作，每人至少完成.18种1项，每项工作由 .24种 1人完成，则不同的安.36种甲乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、 后甲对大家说：我还是不知道我的成绩. A.乙可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 执行右面的程序框图，如果输入的 A. B. C. D.若双曲线C: A. 2C. 2丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看 根据以上信息，则( .丁可以知道四人的成绩 2x~~2a已知直三棱柱 4所截得的弦长为2,.-.3.乙、丁可以知道自己的成绩DABC AB1G 中，C 120o ,C CC 1 1，则异面直线 1与G 所成角的余弦值为(15 5.10 5若x 2是函数f(x)(x 2axx 1'1)e 的极值点，则f(x)的极小值为A. 1B.2e 3C.5e 3D.1已知 ABC 是边长为2uun 的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，贝U PA uuu uuu(PB PC)的最小值是( ) 3 4 A. 2B.C.D.123二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。
浙江省稽阳联谊学校2024届高三上学期11月联考数学试题含解析
2023年11月稽阳高三联考数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合01x A x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，112B x x ⎧⎫=->⎨⎩⎭，则A B ⋃=（）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.()3,1,2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭C.13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】解出分式不等式和绝对值不等式，根据并集含义即可得到答案.【详解】(){}{}010011xA xx x x x x x ⎧⎫=<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭，112x ->即112x ->或112x -<-，解得12x <或32x >，则1{|2B x x =<或3}2x >，则()3,1,2A B ⎛⎫-∞⋃+∞⋃ ⎝=⎪⎭，故选：B.2.已知复数z 满足()12i 3i z -=+，则z z ⋅=（）A.175i+ B.45C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算结合共轭复数的概念即可.【详解】由题意得3i (3i)(12i)17i12i (12i)(12i)5z ++++===--+，则17i 17i 5025525z z -+⋅=⋅==，故选：C.3.已知平面向量a ，b ，c 均为单位向量，则“3a b c +-= ”是“a 与b共线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用向量加法的三角形不等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】平面向量a ，b ，c 均为单位向量，则||||||||3a b c a b c +-≤++= ，当且仅当,,a b c -同向共线时取等号，则当3a b c +-= 时，a 与b 共线，反之，a 与b共线并且方向相反时，1a b c +-= ，所以“3a b c +-= ”是“a 与b共线”的充分不必要条件，A 正确.故选：A4.我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正n 边形随着边数n 的无限增大，圆的内接正n 边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率π的近似值．如图当6n =时，圆内接正六边形的周长为6r ，故6π2rr≈，即3π≈．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（）A.12n =时，π12sin15≈B.12n =时，π6sin15≈C.12n =时，π12cos15≈D.12n =时，π24cos15≈【答案】A 【解析】【分析】求出正十二边形的周长L ，可得出π2Lr≈，即可得解.【详解】设圆的内接正十二边形被分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30 ，即30AOB ∠= ，作OH AB ⊥于点H ，则H 为AB 的中点，且15AOH ∠=，因为OA OB r ==，在Rt AOH △中，sin AH AOH OA∠=，即sin15AH r =，所以，sin15AH r = ，则22sin15AB AH r == ，所以，正十二边形的周长为122sin1524sin15L r r =⨯⨯=，所以，24sin15π12sin1522L r r r≈==.故选：A.5.已知等比数列{}n a 满足2342a a a +=，()()235111a a a ++=-，则1a 的值不可能．．．是（）A.2-B.14C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出首项和公比即可得解.【详解】设公比为()0q q ≠，由2342a a a +=，()()235111a a a ++=-，得()()23111241112111a q a q a qa q a q a q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得112q a =-⎧⎨=-⎩或111q a =-⎧⎨=⎩或121q a =⎧⎨=⎩或1214q a =⎧⎪⎨=⎪⎩.故选：D .6.第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能A ，B 两地承办，且各自承办其中一项.5个表演项目分别由A ，B ，C 三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种 B.300种C.720种D.1008种【答案】B【解析】【分析】根据组合数与排列数的计数方法，结合分类分步两个基本原理求解即可得的答案.【详解】首先电子竞技和冲浪两个项目仅能,A B 两地举办，且各自承办其中一项有22A 2=种安排；再次5个表演项目分别由,,A B C 三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目则有3211253534C A C C C 150+=种，故总数为2150300⨯=种不同的安排方法.故选：B.7.已知()()221x x b f x b -=∈+R 是奇函数，实数m 、n 均小于1，e 2.71828= 为自然对数底数，且22log 2e 1e m b -+-=，22log 4e 14e n b -+-=，则（）A.0m n <<B.0n m << C.01m n <<< D.01n m <<<【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的性质可得出1b =，由已知可得出()22log 1e 1m -=-，()22log 12e 1n -=-，由()()22e 12e 1-<-结合对数函数的单调性可得出11m n -<-，可得出()()20m n m n -+-<，可得出n m <，并推导出1m <-、1n <-，即可得解.【详解】对任意的x ∈R ，210x+>，则函数()()221x x bf x b -=∈+R 的定义域为R ，因为函数()()221x x b f x b -=∈+R 为奇函数，则()1002b f -==，可得1b =，所以，()2121x x f x -=+，()()()()22121122112221x xx xx xx x f x f x --------====-+++，则函数()f x 为奇函数，合乎题意，因为22log 12e 1e m -+-=，22log 14e 14e n -+-=，则()222log 1e 2e 1e 1m -=-+=-，()222log 14e 4e 12e 1n -=+=--，因为()()22e 12e 1-<-，则22log 1log 1m n -<-，所以，11m n -<-，即()()2211m n -<-，即22220m m n n --+<，即()()20m n m n -+-<，因为1m <，1n <，则2m n +<，则20m n +-<，故0m n ->，即n m <，又因为()22log 1e 11m -=->，即12m ->，可得12m -<-或12m ->，则1m <-或3m >，即1m <-，同理可知，1n <-，故0n m <<.故选：B.8.椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的倾斜角为45 的直线l 交椭圆Γ于点M ，N （点M 在x 轴的上方）．若AMF 为等腰直角三角形，则椭圆Γ的离心率是（）A.1- B.12C.2D.34【答案】C 【解析】【分析】求出,22a c a c M -+⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程化简得到关于e 的方程，解出即可.【详解】显然90AMF ︒∠=，则由题意得2M a c x -=，则22M a c a cy a -+=-=，又因为点,22a c a c M -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆Γ上，所以2222()()144a c a c a b -++=，即()22222()()144a c a c a a c -++=-，即()22()()144a c a c a a c -++=-，根据c e a=得2(1)1144(1)e e e -++=-，整理得323220e e e --+=.所以()2(1)420e e e +-+=，解得2e =，(其中21,10e e =+>=-<均舍去)，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()()πsin 210,2f x A x A ϕϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则（）A.()f x 的一个周期为π2B.()f x 的图像关于直线2π3x =-对称C.()f x 在区间5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有1个极值点 D.()f x 在区间5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，求得最小正周期即可判断；对于B ，由题意求得π6ϕ=-，检验2π3x =-πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是否为1±即可判断；对于CD ，由5ππ,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得π11π7π2,366x ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，从而可得()f x 在区间5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，没有极值点，即可判断.【详解】对于A ，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，A 错；对于B ，因为()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，所以当π3x =时，()f x 取得最大值，所以ππ22π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈，解得π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()πsin 216f x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以当2π3x =-时，π4ππsin 2sin 1636x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于直线2π3x =-对称，B 对；对于CD ，因为5ππ,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π11π7π2,366x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，没有极值点，C 错D 对.故选：BD.10.已知()()P A P A =，()()||P B A P B A >，则（）A.()()P B P A >B.()()P A B P A B⋅>⋅C.()()||P A B P A B > D.()()P A B P A B⋅<⋅【答案】BD 【解析】【分析】根据对立事件的性质结合已知可得()()12P A P A ==，利用条件概率公式和全概率公式推导可判断ABD ；举特例可判断C.【详解】由对立事件性质知，()()1P A P A +=，又()()P A P A =，所以()()12P A P A ==，因为()()||P B A P B A >，所以()()()()P BA P BA P A P A >，所以()()P BA P BA >，B 正确；又因为()()()()()()P AB P AB P A P A P AB P AB +===+，所以()()()()0P AB P AB P AB P AB -=-<，得()()P AB P AB <，D 正确；由()()P BA P BA >，()()P AB P AB <得()()()()P AB P AB P AB P AB +>+，则()()P B P B >，又()()1P B P B +=，所以()()12P B P B >>，故()()P B P A <，A 错误；以掷一颗骰子为例，不妨记事件A ：掷出的点数为奇数；事件B ：掷出的点数为1点或3点.则A ：掷出的点数为偶数；B ：掷出的点数为2点或4点或5点或6点.易知，()()()()112,,233P A P A P B P B ====，()()()()111,0,,362P AB P AB P AB P AB ====，所以()()()()()()1|,|03P BA P BA P B A P B A P A P A ====满足题设()()P A P A =，()()||P B A P B A >，但()()()()()()1|0,|4P AB P AB P A B P A B P B P B ====，故C 错误.故选：BD11.在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 为1CC 中点，点Q 满足1DQ DB DD λμ=+，()0,1λ∈，()0,1μ∈（）A.当1λμ+=时，1B Q AC ⊥B.当1λμ+=时，11B Q A C ⊥C.当12λμ+=时，//PQ 平面11AC D D.当12λμ+=时，//PQ 平面11AB D 【答案】AC 【解析】【分析】根据共面向量定理和共线向量定理结论结合线面垂直的判定、面面平行的判定和性质一一分析即可.【详解】由题意得三向量共面，当1λμ+=，根据共线向量定理的结论知1Q BD ∈（不与边界点重合），因为底面为菱形的直四棱柱，AC BD ⊥，1DD ⊥底面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，又因为1,BD DD ⊂平面11BDD B ，1BD DD D = ，所以AC ⊥平面11BDD B ，因为1B Q ⊂平面11BDD B ，所以1AC B Q ⊥，故A 正确；对B ，若11B Q A C ⊥，且由A 知1AC B Q ⊥，又因为1,AC AC ⊂平面11AA C C ，且1AC C AC ⋂=，所以1B Q ⊥平面11AA C C ，根据A 中的同样方法可证明11B D ⊥平面11AA C C ，则111//B Q D B ，显然不可能，故B 错误；对C ，当12λμ+=时，设BD 的中点为O ，1DD 的中点为M ，则22M DQ DO D λμ=+，则根据()21λμ+=可知Q OM ∈（不包含边界），根据中位线可知1//OP AC ，1AC ⊂平面11AC D ，OP ⊄平面11AC D ，所以//OP 平面11AC D ，同理根据11//PM C D 可得//PM 平面11AC D ，因为OP PM P = ，且,OP PM ⊂平面OPM ，所以平面//OPM 平面11AC D ，因为PQ ⊂平面OPM ，所以//PQ 平面11AC D ，故C 正确；对D ，由平面11AB D 与平面11AC D 相交，所以平面11AB D 与平面OPM 相交，则无法得到//PQ 平面11AB D ，故D 错误.故选：AC.12.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其导函数分别为()f x '，()g x '，()()6f x g x =-'，()()161f x g x -=++'，且()2g x -为奇函数，则（）A.()02g =B.()()2f x f x +'='C.()()4g x g x +=D.()()()()113324f g f g +=【答案】ACD【解析】【分析】先根据条件分析出()g x '的周期性对称性，再得到()f x 的周期性的对称性，最后由求导得到()f x '和()g x 的周期性和对称性，代入求解即可.【详解】由题意得()()()()6161f x g x f x g x ⎧=-⎪⎨-=+'+'⎪⎩，所以()()()()161161f x g x f x g x ⎧-=--⎪⎨-+'=+'⎪⎩，两式相减可得()()11g x g x +=-'-'①，所以()g x '关于点()1,0中心对称，又因为()2g x -为奇函数，所以()()()222g x g x g x -=---=--+⎡⎤⎣⎦②，即()()4g x g x +-=，所以()g x 关于点()0,2中心对称，而()g x 定义域为R ，所以()g 02=，A 正确；②式两边对x 求导可得()()g x g x ''=-，所以()g x '是偶函数，以1x +替换①中的x 可得()()()2g x g x g x '''+=--=-，所以()()()42g x g x g x '''+=-+=，所以()g x '是最小正周期为4的周期函数，因为()()6f x g x =-'，所以()f x 也是最小正周期为4的周期函数，即()()4f x f x +=，两边求导可得()()4f x f x ''+=，所以()f x '也是最小正周期为4的周期函数，所以()()2f x f x +'='不恒成立，B 错误；由①得()()11g x g x C +=-+，令0x =，解得0x =，所以()()11g x g x +=-③，即()g x 关于直线1x =对称，以1x +替换③中的x 可得()()2g x g x +=-，由②可知()()4g x g x -=-，所以()()24g x g x +=-④，所以()()()442g x g x g x +=-+=，所以C 正确；由上可知()g x '关于点()1,0中心对称，所以()10g '=又因为()g x '是偶函数，所以()()110g g ''-==又因为()g x '是最小正周期为4的周期函数，所以()()310g g ''=-=，由条件()()6f x g x =-'可得()()()()16163636f g f g ⎧=-=⎪⎨=='-'⎪⎩，所以()()()()()()()()()11336163613f g f g g g g g +=+=+，由④知()()134g g +=，所以()()()()11336424f g f g +=⨯=，D 正确，故选：ACD【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于y 轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于y 轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知锐角θ满足1sin 3θ=；则ππsin(sin()44θθ+--=________．【答案】43##113【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式、和差角的正弦公式计算得解.【详解】锐角θ满足1sin 3θ=，则cos 3θ==，所以πππ4sin()sin(2cos sin 44433θθθ+--===.故答案为：4314.已知0a >，0b >，193a b -=，则128181ab a b++的最小值为________．【答案】29【解析】【分析】依题意得，21a b +=，则122181818181a b ab ab ab a b ab ab+++=+=+，由基本不等式求解即可.【详解】解：依题意得，2133a b -=，则21a b +=，故12212818181819a b ab ab ab a b ab ab +++=+=+≥=，当且仅当181ab ab=时等号成立，又21a b +=，解得1112,,或,3363a b a b ====，所以128181ab a b++的最小值为29.故答案为：29.15.已知抛物线2:4C x y =，圆222:(4)(0)M x y r r +-=>，若抛物线C 与圆M 有四个公共点，则r 的取值范围为________．【答案】()【解析】【分析】根据抛物线与圆的交点个数联立消元列不等式求解即可得r 的取值范围.【详解】联立方()222244x yx y r⎧=⎪⎨+-=⎪⎩消去x 整理得224160y y r -+-=因为抛物线C 与圆M 有四个公共点，所以()22Δ164164480rr=--=->，且2160r ->所以解得4r <<，则r的取值范围为().故答案为：().16.体积为111ABC A B C -中，2AB =，3AC =，则此三棱柱外接球的表面积的最小值为________．【答案】18π【解析】【分析】设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，ABC 外接圆的半径为r ，(),0,πBAC θθ∠=∈，直三棱柱111ABC A B C -外接球的的半径为R ，根据棱柱的体积可得7sin h θ=，利用正弦定理求出ABC 外接圆的半径，再利用勾股定理求出2R 的最小值，再根据球的表面积公式即可得解.【详解】设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，ABC 外接圆的半径为r ，(),0,πBAC θθ∠=∈，直三棱柱111ABC A B C -外接球的的半径为R ，则123sin 2h θ⨯⨯⋅=，所以sin h θ=，在ABC 中，由余弦定理可得49223cos 1312cos BC θθ=+-⨯⨯=-，则1312cos 2sin sin BC r θθθ-==，所以1312cos 2sin r θθ-=，所以22222221312cos 753cos 53cos 924sin 2sin sin 99cos h R r θθθθθθθ---⎛⎫=+=+==⋅ ⎪-⎝⎭，令()53cos ,2,8t t θ=-∈，则3cos 5t θ=-，则()222999916101629510t tR t t t t t ===≥=-+-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，当且仅当16t t =，即4t =，即1cos 3θ=时取等号，所以此三棱柱外接球的表面积的最小值为94π18π2⨯=.故答案为：18π.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，已知()223sin sin 2sin sin 8sin sin cos A C A C A C B +=+．（1）证明：2a c b +=；（2）若11cos 14B =，ABC ，求ABC 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）根据正、余弦定理进行角换边即可证明；（2）首先求出sin B =，再结合三角形面积公式得21ac =，最后利用（1）中结论和余弦定理即可求出周长.【小问1详解】由正弦定理及余弦定理可得：()()22222222328242a c b a cac ac ac a c b ac+-+=+=++-化简得：22()42a c b a c b +=⇒+=.【小问2详解】因为11cos 14B =，且B 为三角形内角，sin B ∴==.11sin 22ABC S ac B ac ∴==⋅ ，所以21ac =.由余弦定理可得:2222cos a c b ac B =+-，所以22()2(cos 1)a c b ac B +-=+，112,cos ,2114a cb B ac +=== ，2211422117514b b ⎛⎫∴-=⨯⨯+= ⎪⎝⎭，即225,5b b ==，所以周长为315a c b b ++==.18.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面SAB ⊥平面ABCD ，2AB AS ==，SB =1AD =，G 为ABC 的重心，(1)SB SE λλ=>．（1）当直线//GE 平面SDC 时，求λ的值；（2）当32λ=时，求平面CAE 与平面DAE 的夹角的大小．【答案】（1）32λ=；（2）π4.【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质，结合三角形重心定理求解即得.（2）在平面SAB 内作Ax AB ⊥，以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】连接DB AC O = ，由四边形ABCD 是矩形，得O 是AC 中点，而G 为ABC 的重心，则点G 在线段DB 上，有2133BG BO BD ==，于是2DGGB=，由//GE 平面SDC ，GE Ì平面SDB ，平面 SDB 平面SDC SD =，得//GE DS ，因此2SE DGEB GB==，所以32λ=.【小问2详解】在SAB △中，32,2AB AS SB ===，则132cos 2SBSBA AB ∠==，有30SBA ∠= ，在平面SAB 内作Ax AB ⊥，由平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，得Ax ⊥平面ABCD ，显然射线,,Ax AB AD 两两垂直，以点A 为坐标原点，射线,,Ax AB AD 分别为,,x y z 轴非负半轴，建立空间直角坐标系，由（1）知，33BE =，则3(0,0,0),(0,0,1),(0,2,0),(0,2,1),(,1,0)3A DBC E ，(0,0,1),(,1,0),(0,2,1)3AD AE AC === ，设平面DAE 的一个法向量为1(,,)n x y z = ，则11003n AD z n AE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，得1(n = ，设平面CAE 的一个法向量为2(,,)n a b c =，则222003n AC b c n AE a b ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令a =，得21,2)n =- ，设平面CAE 与平面DAE 的夹角为θ，因此121212||cos |cos ,|2||||n n n n n n θ⋅=〈〉===，从而π4θ=，所以平面CAE 与平面DAE 的夹角的大小为π4.19.电网公司将调整电价，为此从某社区随机抽取100户用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50350kw h ~⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．调价方案为：月用电量在kw h m ⋅以下（占总数的71%）的用户电价不变，月用电量在kw h m ⋅以上则电价将上浮10%．（1）求a 和m 的值；（2）若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从月用电量不低于250kw h ⋅的用户中抽9户用户，再从这9户用户中随机抽取3户，记月用电量在区间[)300,350内的户数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）0.0044,225a m ==（2）分布列见解析，数学期望为1【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率之和为1可求得a 的值，结合百分位数的估计可得m 的值；（2）利用分层抽样得两组各抽取样本数，结合超几何分布求解概率即可得分布列，从而可求数学期望.【小问1详解】因为()500.00240.00360.00600.00240.00121a ⨯+++++=所以0.0044a =第一到第六组的频率依次为：0.12,0.18,0.30,0.22,0.12,0.06前三组频率之和为0.120.180.300.60++=，前四组频率之和为0.120.180.300.220.82+++=，则第71百分位数m 在[)200,250区间内，所以()0.120.180.302000.00440.71m +++-⨯=，解得225m =；【小问2详解】月用电量在[)250,300，[)300,350的频率分别为：0.12,0.06，据按比例分配的分层随机抽样可知：用电量在[)250,300，[)300,350的分别有6人，3人，从而ξ可取的值为：0，1，2，3.()()()()32112366363333339999C C C C C C 515310,1,2,3C 21C 28C 14C 84P P P P ξξξξ============故ξ的分布列为：ξ123P5211528314181则()515310123121281484Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=20.已知各项非零的数列{}n a ，其前n 项的和为n S 2n a c =+．（1）若0c =，证明：221n n a a +>；（2）是否存在常数c ，使得{}n a 是等差数列？若存在，求出c 的所有可能值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，18c =.【解析】【分析】（1）利用给定的递推公式，结合已知可得0n a >，再借助11n n n S S a ++-=推理即得.（2）假定存在，利用等差数列的通项公式建立关于n 的恒等式，再分析计算判断即得.【小问1详解】由0c =2n a =12a =，又数列{}n a 的首项不为零，则114a =，由20,0n n a a =≥≠，于是0n a >，由21214,4n n n n S a a S ++==，得1112240()n n n n n S a a S a +++-=-=>，所以221n n a a +>.【小问2详解】2n a c =+，得22)(n n S a c =+，有2112)(n n S a c ++=+，两式相减并整理得：1114(())n n n n n a a a a a c +++=-++，假设存在常数c ，使得{}n a 是等差数列，设公差为d ，则有114[2(21)]a nd d a n d c +=⋅+-+，因此对任意*N n ∈，2211)(8448a dn a d cd d d n +=+-+恒成立，从而21128448a a d cd d d d ⎧=+-⎨=⎩，解得10a d ==(舍去)或18c d ==，1128a =+，解得1116a =，则2116n n a -=，所以存在c ，使得{}n a 是等差数列，此时121,816n n c a -==.21.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，2AF BF =，且ABF △的面积为254．（1）求双曲线C 的方程；（2）若点B 在第一象限，且有3BFA BAF ∠=∠，求点B 的横坐标．【答案】（1）22145x y -=；（2）298+.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出点B 的坐标，进而求出|BF |，再结合三角形面积求出22,a b 即得.（2）设出点B 的坐标，利用斜率坐标公式及倍角的正切公式列式计算即得.【小问1详解】设双曲线的半焦距为c ，则(c,0)F ，由222222x c b x a y a b=⎧⎨-=⎩，得2(,)bB c a ±，由||2||AF BF =，得22b aa c =+，于是2()c a a -=，即35,22c a b a ==，由ABF △的面积为254，得2125()24b a c a ⋅+⋅=，解得224,5a b ==，所以双曲线C 的方程为22145x y -=.【小问2详解】设()00,B x y ，其中220000,0,145x y x a y >>-=，当0x c =时，有BF AF ⊥，||2||AF BF =，则1πtan 232BAF BFA ∠=≠∠=，此时3BFA BAF ∠≠∠，因此0x c ≠，设直线AB 、BF 的倾斜角分别为,αβ，则有,πBAF BFA αβ∠=∠=-，又00tan tan(π)tan 3y BFA x ββ∠=-=-=--，00tan tan 2y BAF x α∠==+，则22222tan tan tan tan 2tan (3tan )1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan αααααααααααααα++--===-⋅--⋅-20022220000000022222000000005[3()[3(2)(4)]22[3(2)]415(2)[(2)3](2)[(2)(4)]13()2]4y y y x x x x y x y y x x y x x x x ⋅-+--+++-===++-++---+0000020000(2)(734))734)(2)(3811(2)(381)1(y x x y x x x x x +++==+-+-，当3BFA BAF ∠=∠时，有000000734)tan 3tan (2)(33(8)11y x yBFA x x x α+==-=∠+--，所以0000(734)(3)(2)(38110)x x x x +-++-=，即200429260x x -+=，解得0298x ±=，而02x >，于是0298x +=，所以点B的横坐标为298+.【点睛】关键点睛：本题第2问，设出点B 的坐标，利用斜率坐标公式，结合倍角公式列出方程是求解问题的关系.22.已知函数()2ex f x a -=，()12ln g x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，e 2.71828= 为自然对数底数．（1）证明：当1x >时，1ln 22x x x<-；（2）若不等式()()f x g x >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】【分析】（1）记()()1ln ,122x h x x x x=-->，利用导数研究单调性，结合()10h =可证；（2）构造函数()()()m x f x g x =-，根据()92ln 202m a =->确定4a ≥，再构造函数()211222e x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，利用导数求函数()x ϕ的最大值，结合（1）中结论即可确定a 的最小值.【小问1详解】记()()1ln ,122x h x x x x=-->，则()222111112111102222h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又()111ln1022h =--=，所以，当1x >时，()1ln 022x h x x x =-->，即1ln 22x x x<-.【小问2详解】令()()()21e 2ln x m x f x g x a x x x -⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，由题可知，当()0,x ∈+∞时，()0m x >恒成立.因为()92ln 202m a =->，所以9ln 22a >，因为28e >，所以ln82>，即2ln 23>，所以992ln 23223a >>⨯=，因为a ∈Z ，所以4a ≥.当(]0,1x ∈时，ln 0x ≤，故()0m x >.当()1,x ∈+∞时，不等式()()f x g x >等价于212ln ex x x x a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭>，设()222211212e 222e 2e x xx x x x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==，由（1）知，()212ln ex x x x x ϕ-⎛⎫++ ⎪⎝⎭>，()2223232e 22e xx x x x x ϕ⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭'=，记()2232322n x x x x x=-++++，易知，()n x 在()1,+∞上单调递减，且()2232322220222n =-++++=，所以，当()1,2x ∈时，()0n x >，即()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0n x <，即()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减.故当2x =时，()x ϕ取得最大值()222221e 222272222e 8ϕ⎛⎫+⨯-- ⎪⎝⎭==.所以，()212ln 4e x x x x x ϕ-⎛⎫++ ⎪⎝⎭>>在区间()0,∞+上恒成立，所以，整数a 的最小值为4.【点睛】本题难点有二：一是通过取特值确定4a ≥，二是利用（1）中结论进行放缩，构造函数()211222e x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，利用导数求最值即可.对于参变分离之后，函数复杂，不宜直接研究时经常采取适当放缩进行处理.。
陕西省十七校联考2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题含答案
2025届高三第一学期期中考试检测卷数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：高考范围．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数2i1i z -=-，则z 的虚部为（）A.12-B.12C.1i2- D.1i 2【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z ，再利用共轭复数及复数的意义即可得解.【详解】依题意，2i (2i)(1i)3i 31i 1i (1i)(1i)222--++====+--+z ，则31i 22z =-，所以z 的虚部为12-.故选：A2.已知集合{}13A x x =-<<，集合{}24B x x =≤<，集合{}14C x x =-<<，则（）A.A B B =B.A B =∅C.C B =∅I D.A C C= 【答案】D 【解析】【分析】根据交集、并集的定义计算可得.【详解】因为集合{}13A x x =-<<，集合{}24B x x =≤<，集合{}14C x x =-<<，所以{}|14A B x x B ⋃=-<<≠，{}|23A B x x ⋂=≤<≠∅，{}24C B x x B ⋂=≤<=≠∅，{}14A C x x C ⋃=-<<=，故正确的只有D.故选：D 3.已知11tan ,tan()23ααβ=+=，则tan β=（）A.16 B.17-C.17D.56【答案】B 【解析】【分析】利用角的变换()βαβα=+-，代入两角差的正切公式即可求解.【详解】11132tan tan[()]1716βαβα-=+-==-+．故选：B.【点睛】本题主要考查了角的变换，两角差的正切公式，属于基础题.4.已知23a =，ln 3b =，4πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.c b a>>【答案】A 【解析】【分析】本题根据指数函数、对数函数的性质借助中间值1比较可得.【详解】因为23a =，所以ln 2ln 3a =，即ln 3ln 2a =，又ln1ln 2ln e ＜＜，即ln 210＜＜，又ln 3ln e=1＞，所以ln 3ln 3ln 2a =＞，所以1a b ＞＞；因为4πc =，所以22πc =，所以22log πc =，所以2221log πlog log 12c ===所以a b c ＞＞.故选：A.5.60C 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，,,A B C 为正多边形的顶点，则⋅=AB AC （）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】运用数量积定义计算即可.【详解】如图所示，连接BA ，BC ，由对称性可知，BA BC =，取AC 的中点H ，则AC BH ⊥，12AH AC =，又因为正六边形的边长为1，所以2AC =，所以cos 2AB AC AC AB BAC AC AH ⋅=⋅∠=⋅=，故选：B ．6.已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（）A.15︒B.30︒C.45︒D.60︒【答案】C 【解析】【分析】设相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得1l r h ⎧=⎪⎨==⎪⎩，再结合线面夹角运算求解.【详解】设圆锥的母线为0l >，底面半径为0r >，高为0h >，由题意可得：222π2π1212rl r h l r h ⎧=⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，解得21l r h ⎧=⎪⎨==⎪⎩，设该圆锥的母线与底面所成的角为θ，则090θ︒<<︒，可得tan 1hrθ==，所以该圆锥的母线与底面所成的角为45θ=︒.故选：C.7.将函数()cos(2)(0)f x x ϕϕ=+>的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y g x =图象的一个对称中心，则ϕ的最小值为（）A.6π B.4π C.3π D.43π【答案】C 【解析】【分析】先求出平移后函数解析式，再由图象的对称中心，可得ϕ，从而得出结论．【详解】由已知得()cos 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以232k πππϕπ--+=+，解得4()3k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，当1k =-时，min 3πϕ=．故选：C.【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查函数的对称性，掌握诱导公式是解题关键．平移变换时要注意平移单位是对自变量x 而言，属于中档题．8.已知函数()()()22e 2e R xx f x x a a a =+-+∈的最小值为()g a ，则()g a 的最小值为（）A.e -B.1e-C.0D.1【答案】B 【解析】【分析】由二次函数的性质可知()e xf x x ≥，令()e xP x x =，运用导数可求得()P x 的最小值，进而可得结果.【详解】因为()()()222e 2e e e e x x x x x f x x a a a x x =+-+=-+≥，令()e xP x x =，则()()e1xP x x ='+，当(),1x ∈-∞-时，()0P x '<，()P x 单调递减，当()1,x ∈-+∞时，()0P x '>，()P x 单调递增，()()11e P x P ∴≥-=-，()1e ex f x x ∴≥≥-，故选：B ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在62x⎛⎝的展开式中，下列命题正确的是（）A.二项式系数之和为64B.所有项系数之和为1-C.常数项为60D.第3项的二项式系数最大【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：根据二项式系数之和为2n 分析判断；对于B ：令1x =，可得所有项系数之和；对于C ：结合二项展开式的通项分析求解；对于D ：根据二项式系数的最值分析求解.【详解】对于选项A ：因为6n =，可知二项式系数之和为6264=，故A 正确；对于选项B ：令1x =，可得所有项系数之和为()6211-=，故B 错误；对于选项C ：因为展开式的通项为()()36662166C 212C ,0,1,,6rr rr rr r r T x xr ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎝，令3602r -=，可得4r =，所以常数项为()4245612C 60T =-⋅⋅=，故C 正确；对于选项D ：因为6n =，可知二项式系数最大值为36C ，为第4项，故D 错误；故选：AC.10.已知a ，b 均为正实数，且2a b +=，则下列结论中正确的是（）A.1ab ≤ B.22log log 0a b +≤C.228a b +≥D.191613a b ++≥【答案】ABD 【解析】【分析】根据基本不等式结合对数与指数的运算性质逐一分析即可得出答案.【详解】对于A ，2a b +=，∴212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2222log log log log 10a b ab +==≤，故B 正确；对于C ，22224a b +===≥，故C 错误：对于D ，()191191131a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭11911610103133b a a b ⎛+⎛⎫=++≥+= ⎪ +⎝⎭⎝，故D 正确．故选：ABD.11.已知函数()21e 2xf x x x =--，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 在R 上单调递增B.0x =是函数()f x 的极值点C.过原点O 仅有一条直线与曲线()y f x =相切D.若0a b +>，则()()2f a f b +>【答案】ACD 【解析】【分析】求导根据导函数即可得出函数的单调性以及极值，进而判断A 、B 项；设出切点坐标，根据已知列出关系式，构造函数，根据导数研究函数的性质得出函数零点的个数，即可判断C 项；根据函数的单调性，得出()()()()f a f b f b f b +>+-，整理即可构造()2e exxh x x -=+-，利用导函数求出函数的最小值，即可得出D 项.【详解】对于A 项，由已知可得()e 1xf x x '=--，令()e 1xg x x =--，则()e 1xg x '=-.解()0g x '>可得，0x >，所以()g x 在()0,∞+上单调递增；解()0g x '<可得，0x <，所以()g x 在(),0-∞上单调递减.所以，()g x 在0x =处取得唯一极小值，也是最小值()00g =，所以，()0g x ≥恒成立，即()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增，故选项A 正确；对于B 项，由A 可知，()f x 在R 上单调递增，故B 项错误；对于选项C ，设切点P 的坐标为21,e 2mm m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据导数的几何意义可知，切线的斜率e 1m k m =--，所以过P 的切线方程为()21e (e 1)2mm y m m m x m ⎛⎫---=--- ⎪⎝⎭.又切线经过原点，所以有()()21e e 12mm m m m m ⎛⎫---=--- ⎪⎝⎭，整理为()211e 02mm m --=.令()()211e 2xh x x x =--，有()()e 1x h x x '=-，当0x ≥时，e 1x ≥，有()0h x '>；当0x <时，e 1x <，有()0h x '>.所以()0h x '≥恒成立，函数()h x 单调递增.又由()010h =-<，()22e 20h =->，根据零点存在定理可得函数()h x 在区间()0,2内有且仅有一个零点.故过原点O 仅有一条直线与曲线()y f x =相切，选项C 正确；对于D 选项，若0a b +>，有a b >-，由函数()f x 单调递增，有()()f a f b >-，()()()()22211e e e e 22bb b b f a f b f b f b b b b b b --+>+-=--+-+=+-.令()2e exxh x x -=+-，有()e e 2x x h x x -=--'．令()e e2xxx x ϕ-=--，有()e e 220x x x ϕ-=+-≥-='（当且仅当0x =时取等号），可得()0x ϕ'≥恒成立，所以函数()x ϕ单调递增.又由()00ϕ=，所以0x <时，()0x ϕ<，()0h x '<，所以()h x 在(),0-∞上单调递减；0x >时，()0x ϕ>，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增.所以，()h x 在0x =处取得唯一极小值，也是最小值()02h =，所以()()02h x h ≥=，故()()2f a f b +>成立，选项D 正确．故选：ACD ．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为______盏.【答案】30【解析】【分析】根据给定条件，构造等比数列，再利用等比数列列n 项和公式计算即得.【详解】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列{}n a ，公比2q =，6n =，前6项和61890S =，于是66116(11218901)(12)a q a S q --===--，解得130a =，所以底层所开灯的数量为30盏.故答案为：3013.已知()ln f x x x =+，()e xg x x =+，若()()f a g b =，则2e 41b aa +++的最小值为_________.【答案】3【解析】【分析】合理分析题意，利用同构得到()()e bf a f =，再利用导数确定()f x 的单调性，消元后把目标式变为一元函数，利用基本不等式求解即可.【详解】因为()()f a g b =，所以ln e b b a a ++=，所以()()e bf a f =，易得()f x 定义域为(0,)x ∈+∞，而()110f x x'=+>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，故e b a =，所以22e 444111b a a a a a a a ++++==++++，411131a a =++-≥-=+，当且仅当411a a +=+时取等，此时解得1a =.故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用同构思想得到()()e bf a f =，然后化简目标式，由基本不等式得到所要求的最值即可．14.设A 为双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b-=>>的一个实轴顶点，,B C 为Γ的渐近线上的两点，满足4BC AC =，AC a =，则Γ的渐近线方程是______．【答案】y =【解析】【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得,OC OB ，再求AOC ∠的正切值，进而即可求得渐近线方程.【详解】根据题意，作图如下：依题意，OA 为COB ∠的角平分线，且444CB OA CA a ===，设OC m =，由角平分线定理可得：3OB AB OCAC==，则3OB m =；在OAC 中，由余弦定理2222cos 222AC CO OAm mOCA AC COam a+-∠===；在OBC △中，由余弦定理可得，2222cos OB OC BC OC BC OCA =+-⋅∠，即222916242m m m a m a a =+-⨯⨯⨯，解得3m a =.故cos cos 23m COA OCA a ∠=∠==，tan COA ∠=，所以Γ的渐近线方程是y =．故答案为：y =.【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法：①直接求出,a b ，从而得解；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a b 的齐次式，从而得解；③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．15.已知命题p ：“x ∃∈R ，210x ax -+=”为假命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A .（1）求集合A ；（2）设集合{}121B x m x m =+<<+，若t A ∈是t B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}22A a a =-<<（2）12m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）p 为假命题时，既可转化为关于x 的一元二次方程无解，然后利用判别式即可；（2）由t A ∈是t B ∈的必要不充分条件可得B A ，然后分B 为空集和非空集两种情况讨论即可.【小问1详解】因为命题p 为假命题，故关于x 的一元二次方程210x ax -+=无解，即()22440a a ∆=--=-<，解得22a -<<，故集合{}22A a a =-<<；【小问2详解】由t A ∈是t B ∈的必要不充分条件，可知B A ，当B =∅时，既121m m +≥+，解得0m ≤，此时满足B A ，当B ≠∅时，如图所示，故021212m m m >⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩且等号不同时成立，解得102m <≤，综上所述，m 的取值范围是12m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.16.在ABC V 中，A ，B ，C 分别为边a ，b ，c 所对的角，且满足()sin 20sin cos B C a C Bc++=⋅.（1）求B 的大小（2）若1a =，b =，求ABC V 的面积【答案】（1）2π3（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，求解角度即可.（2）利用余弦定理求出边长，结合三角形面积公式求解面积即可.【小问1详解】因为()sin 20sin cos B C aC Bc++=⋅，且在ABC V 中，sin ,sin 0A C >，所以sin 20sin cos A a C B c +=⋅，由正弦定理得sin 2sin 0sin cos sin A AC B C +=⋅，所以sin 2sin sin cos sin A A C B C =-⋅，1cos 2B=-，故1cos 2B =-，()0,πB ∈，所以2π3B =.【小问2详解】在ABC V 中，由余弦定理得2113221c c+--=⨯⨯，解得1c =(负根舍去)，所以111224ABC S =⨯⨯⨯=.17.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是矩形，11,2AC DB AA ⊥==，点P是棱1DD 上的一点，且12DP PD =.（1）求证：四边形ABCD 为正方形；（2）求直线1AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）615【解析】【分析】（1）先证1BB AC ⊥，再由条件推导AC ⊥平面1BDB ，得到AC BD ⊥即可证得；（2）依题建系，写出相关点坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】如图，连接DB ，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥，又111111,,,AC DB BB DB B BB DB ⊥⋂=⊂平面1BDB ，所以AC ⊥平面1BDB ，又BD ⊂平面1BDB ，所以AC BD ⊥，又四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 为正方形；【小问2详解】如图，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则)()()14,,0,0,2,0,0,3AC D P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()144,,233PA PC AD ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎭⎝⎭，设平面PAC 的一个法向量为(),,n x y z =，所以403403n PA z n PC z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，故可取()n =，设直线1AD 与平面PAC 所成角的大小为θ，所以111sin cos ,,15n AD n AD n AD θ⋅====即直线1AD 与平面PAC 所成角的正弦值为615.18.驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为1516，科目二：平均通过的概率为45，科目三平均通过的概率为45．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试．（1）记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X ，求X 的分布列和数学期望及方差；（2）根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生）0.9975≈，lg 20.3010≈【答案】（1）分布列见解析，()125E X =，()2425D X =（2）6【解析】【分析】（1）根据题意可知34,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，分步计算即可；（2）增加k （k 为正整数）天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为1215k +⎛⎫- ⎪⎝⎭，若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有41210.995k +⎡⎤⎛⎫->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用用对数运算求解不等式.【小问1详解】1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为1544316555⨯⨯=，根据题意可知34,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，X 的取值分别为0，1，2，3，4，()443160C 15625P X ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭，()31433961C 155625P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()2224332162C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()334332163C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()44433814C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X 01234P166259662521662521662581625()312455E X =⨯=，()3324415525D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】增加k （k 为正整数）天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为1322111555k k +⎛⎫⎛⎫--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有41210.995k +⎡⎤⎛⎫->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，有1210.99755k +⎛⎫-> ⎪⎝⎭，有120.00255k +⎛⎫< ⎪⎝⎭，有0.4log 0.00251k >-，又由0.4lg0.0025lg2542lg4422lg2220.3010log 0.0025 6.54lg0.4lg41lg4112lg2120.3010---++⨯====≈≈----⨯．可得 5.54k >，故这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证．19.已知函数()2ln 2x f x x ax =+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）已知()f x 有两个极值点.（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）若()f x 的极小值小于ln23-，求()f x 的极大值的取值范围.【答案】（1）2230x y --=（2）（ⅰ）()2,+∞；（ⅱ）9,ln 28⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）（ⅰ）分析可知原题意等价于1x a x+=有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设1x a x+=有两个不同的正实数根1201x x <<<，根据单调性可知()f x 的极值点012,x x x =，结合零点代换可得()0002ln 12x f x x =--，构建()()()2ln 1,0,11,2x g x x x =--∈+∞U ，结合单调性分析可得22x >，则110x 2<<，即可得取值范围.【小问1详解】当1a =时，则()2ln 2x f x x x =+-，()11f x x x =+-'，可得()112f =-，()11f '=，即切点坐标为11,2⎛⎫-⎪⎝⎭，切线斜率1k =，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --=.【小问2详解】（ⅰ）由题意可知：()f x 的定义域为()0,∞+，()211x ax f x x a x x-+=+-='，令()10f x x a x=+-='，可得1x a x +=，原题意等价于1x a x+=有两个不同的正实数根，因为12x x+≥，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立，可知2a >，所以a 的取值范围()2,+∞；（ii ）由（i ）可知：1x a x+=有两个不同的正实数根1x ，2x ，不妨设1201x x <<<，可知121x x =，当12x x x <<时，()0f x '<；当10x x <<或2x x >时，()0f x '>；可知()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，所以2x 为()f x 的极小值点，1x 为()f x 的极大值点，对于()f x 的极值点012,x x x =，则()()0001,0,11,a x x x =+∈+∞U ，可得()000000022000201ln ln ln 1222x x x f x x ax x x x x x ⎛⎫=+-+-+=-- ⎪⎝⎭=，设()()()2ln 1,0,11,2x g x x x =--∈+∞U ，则()211x g x x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<；可知()g x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()2ln 1ln 2322x g x x g =--<-=，可知22x >，则110x 2<<，又因为()g x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()119ln 228f x g ⎛⎫<=--⎪⎝⎭，所以()f x 的极大值的取值范围是9,ln 28⎛⎫-∞--⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法（1）若求极值，则先求方程()0f x '=的根，再检查()f x '在方程根的左右函数值的符号；（2）若探究极值点个数，则探求方程()0f x '=在所给范围内实根的个数；（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程()0f x '=根的大小或存在情况来求解；（4）求函数f (x )在闭区间[],a b 的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值()f a ，()f b 与()f x 的各极值进行比较，从而得到函数的最值．。
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2
(2 分) ＝3. (4 分)
因为 b＝ 所以 ( a
c)
2
3 ,b
a c 2 ac cos B
,所以 a 2
c ac
＝3,即 ( a
＝12,所以 a＋c＝ 2
A sin C
3
.
1 2
(6 分)
s in C ) s in C
(2) 2 sin
＝ 2(
f ( x ) 0 x 1
或 x 0 ; f ( x ) 0 0 x 1 , 故 f ( x ) 在 ( , 0 ) 和 (1, ) 上
递增,在 ( 0 , 1) 上递减. 欲 f ( x ) 在 2 , t 上为单调函数,则 2 t 0 .(3 分) (2)因 f ( x ) 在 ( , 0 ) 及 (1, ) 上递增,在 ( 0 , 1) 上递减,所以 f ( x ) 在 x 1 处取得极 小值 e ,又 f ( 2 )
B (3, 2 3 ) ,故可得分布列:
(6 分)
由此分布列知 X 的期望 E ( X ) 3
3
2 3
2 .
(12 分)
18.解.(1)由条件, B＝ 因为 A B
BC
.
(1 分)
B)
＝
2
3 2
,所以 a c co s(
2 2
＝
3Hale Waihona Puke 2,所以21 2
ac
＝
3 2
,即 ac＝3.
x 2 cos α 1 y 2 sin α
,(3 分)
所以 C 1 为 ( x 1 ) 2 y 2 4 .(4 分) 又 C 2 为 4 sin ,即 x 2 y 2 4 y ,(5 分) 所以 C 1 和 C 2 公共弦所在直线为 2 x 4 y 3 0 (7 分) 所以 (1, 0 ) 到 2 x 4 y 3 0 距离为 23.解.(1)对于函数 当x
13 e
2
e ,所以 f ( x ) 在 2 , 上的最小值为 f ( 2 )
从而当 t 2 时,恒有 f ( 2 ) f ( t ) .(6 分) (3)证:因为
f ( x ) e
2
x
x x ,原方程即为 x x
2 3
2
2
2
2 3
( t 1) .
高三 11 月 19 日数学小练习(理科)
理科参考解答 一、选择题 DABB, ACCA, DCAC 二、填空题 13. 三、解答题 17.解.(1)
2
1 3
14. 2
15. 5 5
16. ( , 2 ) ( 0 , )
25 9
3 .8 4 1 ,
由此可知没有 95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”. (2)由原条件, X
2 3 2 3
( t 1)
2
1 3
( t 2 ) ( t 1) ,故
当 t 4 或 2 t 1 时, g ( 2 ) g ( t ) 0 ,故 g ( x ) 0 在 ( 2 , t ) 上有唯一解. 当 1 t 4 时 , g ( 2 ) 0 且 g (t ) 0 , 但 g (0 )
f ( x ) | x 1 | | x 2 | ,则 | x 1 | | x 2 | 2
1 5 , ]. 2 2
…4 分 | f (x) .
,解得
1 2
x
5 2
. …10 分
故实数 x 的范围是 [
① E (1, 0 , 1) , B E ( 0 , 1,1) , B 1 E ( 0 , 1, 1) ,
C 1 E ( 1, 1, 1) .计算易得 B E B 1 E 0 , B E C 1 E 0 ,即 BE ⊥ B 1 E , BE ⊥ C 1 E ,
V 1 3 1 2
2
1
2 ,故所求的体积是
1 3
1 2
……2 分
(2)当 E 点为 A A1 的中点时,以 D 为原点, D A , D C , D D 1 所在直线分别为 x , y , z 轴建立直角坐标系如图,则易得
B (1,1, 0 ), B 1 (1,1, 2 ), C 1 ( 0 ,1, 2 ) ,
再设 E (1, 0 , m ) ,则 CE (1, 1, m ) , CD
( 0 , 1, 2 ) ,
设向量 n ( x , y , z ) 满足 n ⊥ CE ,且
1
n ⊥ CD
,故
x y mz 0 y 2 z 0
,解得
2
2
令 g (x) x x
( t 1) ,从而问题转化为讨论函数 g ( x ) x x
2 3
( t 1) 在区
2
间 ( 2 , t ) 内零点的个数.因
g (2) 6
2 3
( t 1)
2
2 3
( t 2 ) ( t 4 ) , g ( t ) t ( t 1)
x (2 m ) z y 2z
2 2
,取 z 1 ,则 n ( 2 m , 2 ,1 ) .……8 分
又 DC ( 0 ,1, 0 ) , c o s n , D C 解得 m 2
,故
2 2
m
m , 2 , 1 0 , 1, 0
) ,所以
3 2
cos C
＝
3 cos C
.
(9 分)
因为 C ( 0 , 于是 2 sin
2 3
3 cos C (
3 2
3 2
， 3)
.
(11 分)
A sin C
的取值范围是 (
, 3)
.
(12 分)
19.解.(1)该三棱锥的直观图是有一条侧棱垂直于底面的三 棱锥,如图所示的三棱锥 D 1 ACD 其中底面 ACD 是直角边长 为 1 的直角三角形,高 DD
2 2
2
2 2
2 2
,
2 1
0 1 0
2
3 ,再由 m 2 ,得 m 2
3 .
0
即 AE 2
3 时,二面角 C E D 1 D 的大小为 4 5 .……12 分
21.解.(1)因为 f ( x ) ( x 2 3 x 3) e x ( 2 x 3) e x x ( x 1) e x .
故 B E 平面 B 1 C 1 E .……4 分 ②当 A 1 E PC 时,显然有 AD 1 ∥ BC 1 ,
BE ∥ PD 1 ,所以平面 B C 1 E ∥平面 P A D 1 ……6 分
③如前所述建坐标系,则 C ( 0 ,1, 0 ), D 1 ( 0 , 0 , 2 ) ,
1
(2, t)
( t 1) 0 , 故 g ( x ) 0 在
2
上有解,且只有两解.
当 t 1 时, g ( x ) x 2 x 0 x 0 或 x 1 ,故 g ( x ) 0 在 ( 2 , t ) 上有唯一解. 当 t 4 时, g ( x ) x 2 x 6 0 x 2 或 x 3 ,故 g ( x ) 0 在 ( 2 , 4 ) 上也有且 只有一解. 综上所述,当 t 4 或 2 t 1 时,原方程在 ( 2 , t ) 内有唯一解;当 1 t 4 时,有两个 不同解.(12 分) 22.解.曲线 y sin α
1或x 2
5 2
,所以公共弦长为 2 4 .
5 4
11 .
10 分
f 1 ( x ) | x 1 | | x 2 | ,当 x [1, 2 ] 时, f 1 ( x ) 1
时, f 1 ( x ) | ( x 1) ( x 2 ) | 1 恒成立,故 f 1 ( x ) 是“平底型”函数. (2)若 | t k | | t k | | k | f ( x ) 对一切 t R 恒成立,则 (| t k | | t k |) m in | k 因为 (| t k | | t k |) m in 2 | k | ,所以 2 | k | | k | f ( x ) .又 k 0 ,则 f ( x ) 2 . 因为
x 4 cos α
( 为参数)上的每一点纵坐标不变, 横坐标变为原来的一半
x 2 cos α 1 ,(2 分) y sin α
得到 y sin α
x 2 cos α
,然后整个图象向右平移 1 个单位得到
最后横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到