高中数学北师大版选修1-1练习课件：1.2.2 充要条件
高中数学北师大选修1-1课件：第1章 §2 第2课时 充要条件的应用
1 1. ab
思考：(1)从命题的角度理解,等价符号“⇔”的意义是什么?
提示:⇔表示连接的两个命题,互为逆命题且同为真. (2)若A是B的充要条件，B是C的充要条件，则A是C的什么条件?
提示:由A是B的充要条件知A⇔B,由B是C的充要条件知B⇔C, ∴A⇔C即A是C的充要条件.
【互动探究】若题2中条件不变，分别指出q是p的什么条件.
【解析】(1)q是p的充要条件. (2)q是p的必要不充分条件. (3)q是p的既不充分又不必要条件. (4)q是p的必要不充分条件.
【拓展提升】判断充分条件、必要条件、充要条件的三种方法
方法一：利用定义判断充分条件和必要条件，主要是验证逻辑关系 “p⇒q”“q⇒p”是否成立，若肯定，则需充分论证，若否定，只需举一个 反例说明. 方法二：利用集合间的关系判断充分条件和必要条件，设条件p和q分别对应 集合A，B，利用集合间的关系判定p与q的关系. 方法三：传递法：由p1⇒p2⇒p3⇒p4⇒…⇒pn，可以得到p1⇒pn.
第2课时 充要条件的应用
充要条件的定义 1.若p⇒q，则p是q的_________. 2.若q⇒p，则p是q的_________. 两式同时成立,即_____,称p是q的充要条件.
充分条件
必要条件
p⇔q
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a>b>0是a2>b2的充分条件.( ) (2) 是a>b>0的必要条件.( ) (3)a>b>0是a3>b3的充要条件.( ) 提示：(1)正确.a>b>0⇒a2>b2. (2)正确.a>b>0⇒
高中数学 1.2充分条件与必要条件课件 北师大版选修2-1
北师大版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
常用逻辑用语 第一章
1.2 充分条件与必要条件 第一章
1 课前自主预习 2 知识要点解读 3 预习效果检测
4 课堂典例讲练 5 易混易错辨析
6
ห้องสมุดไป่ตู้
课时作业
课前自主预习
1．当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，
我们就说由p成立可推出q成立，记作________，读p⇒作q________.
预习效果检测
1．“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] x2＞2 013的条件下可以推出x2＞2 012，但x2＞2 012不能推出x2＞2 013，所以x2＞2 013是x2＞2 012的充分不必 要条件．
若 A＝B，则 p、q 互为充要条件
若 A B 且 B A，则 p 既不是 q 的充分条件， 也不是 q 的必要条件
4.判断充分条件与必要条件的基本思路： (1)首先分清楚条件是什么，结论是什么； (2)然后尝试用条件推结论，或用结论推条件(举反例说明 其不成立是常用的推理方法)； (3)最后再指出条件是结论的什么条件． 事实上，p是q的充分条件，就是条件p足以能保证结论q成 立．这种情况下，也可以理解为：条件p成立，必有q成立，说 明对p来说，q是必要的，所以q是p的必要条件．由此可见，判 断充分条件或者必要条件实质上就是要判断命题“若p，则 q”(或者其逆命题)的真假，即判断条件A能否推出B(或者条件B 能否推出A)．
5．一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断． (2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转 换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．这里要注意 “原命题⇔逆否命题”、“否命题⇔逆命题”只是等价形式之 一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等 价法． (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都 是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的 必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．
高中数学选修1-1北师大版 1.2.2必要条件课件 (14张)
在中学数学中经常用到性质定理，在性质 定理中“定理的结论”是“定理的条件”的必要 条件．
充分条件与必要条件的比较：
前提 相互关系 p是q的充分条件
“若p则q”为真命题，即 可由p推出q.
q是p的必要条件
例2, 在以下各组中 , 哪些使p q成立, 哪些 使q p成立, 并分析各组中的 p与q的关系. (1) p : 四边形是正方形 , q : 四边形的四个角都是直 角; (2) p : 直线l和平面内的一条直线垂直 , q : 直线l和平面垂直; (3) p : a, b, c成等比数列 , q : b ac.
解:
(1)由于p q, 则p是q的充分条件, q是p 的必要条件; (2)由于q p, 则q是p的充分条件, p是q 的必要条件; (3)由于p q, 则p是q的充分条件, q是p 的必要条件 .
定义
如果已知p q,则说p是q的充分条件, q是p的必要条件. ①认请条件和结论, ②考察p q和q p的真假.
解：
(1)由于" 若函数为y x , 则这个函数是偶
2
函数"是一个真命题, 它可以写成"函数 y x " "函数是偶函数 ".
2
即p q.故"函数是偶函数 "是"函数为 y x "的必要条件.
2
(2)由于" 若四边形是正方形 , 则它的对 角线相互垂直平分 "是一个真命题 ,它 可以写成"四边形是正方形 " "四边形 的对角线相互垂直平分 ". 即p q."四边形的对角线相互垂 直平 分" 是"四边形是正方形 (1)由于p q, 则p是q的充分条件, q是p 的必要条件; (2)由于q p, 则q是p的充分条件, p是q 的必要条件; (3)由于p q, 则p是q的充分条件, q是p 的必要条件 .
高中数学北师大版选修1-1课件：第1章 §2 第1课时 充分条件与必要条件
【解析】(1)由x＞1⇒x2＞1,∴p⇒q.∵x2＞1, ∴x＞1或x＜-1, ∴q p,∴p是q的充分不必要条件.
(2)△ABC有两个角相等，则△ABC是等腰三角形，不一定是正 三角形，所以p q;若△ABC是正三角形，则三个角均相等， 即任意两个角都相等，所以q⇒p,故p是q的必要不充分条件.
f(0)＜0, f(3)≤0，
得到a∈(-∞,-2］∪［2,+∞)，
所以实数a的取值范围是(-∞,-2］∪［2,+∞).
答案：(-∞,-2］∪［2,+∞)
第三十三页，编辑于星期日：二十三点 三十一 分。
1.“x2-1=0”是“x-1=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十一分。
类型二 用集合法判断充分条件与必要条件
【典型例题】
1.p:A={x|x是正方形}，q:B={x|x是菱形}，则p是q的
_______条件.
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2.下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p:A={x|x(x-1)＜0}，
q:B={x|0＜x＜3}.
(2)p:A={x|1＜2x＜2},
又 x2 5 x 1 0 1 x 1.
66
3
2
∴ B {x | 1 x 1},
∴A B且B3 A， 2
⊆
⊆
∴p是q的既不充分也不必要条件.
第二十页，编辑于星期日：二十三点 三十一分。
【拓展提升】从集合的角度判断充分、必要条件的方法 p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件 第一章 §2 充分条件与必要条件
且 q 不能推出 p
结 论
p 是 q 的充分不必要条件
p 是 q 的必要不充分条件
p 是 q 的充要条件
p 是 q 的既不充分也不必要条件
-6-
§2充分条件与必要条件
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自主预习
【做一做2】 下列各项中,p是q的充要条件的是(
探究学习
当堂检测
)
A.p: பைடு நூலகம் ,q:a=b
同理x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx-a2+c2=0,
即(x+a+c)(x+c-a)=0,
所以两根分别为x1=-a-c,x2=a-c.
故两个方程有公共根-a-c.
-16-
§2充分条件与必要条件
探究一
探究二
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探究学习
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思维辨析
(2)(必要性)
设两个方程有公共根α,则α2+2aα+b2=0,α2+2cα-b2=0,显然α≠0.
∴A+C=2B.
又A+B+C=180°,
∴3B=180°.
∴B=60°.
故A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.
-19-
§2充分条件与必要条件
探究一
探究二
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考虑不周致误
【典例】 “直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线
l的斜率等于-2”的(
)
A.充分不必要条件
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解析:若直线l的斜率等于-2,则直线l在y轴上的截距一定是它在x
最新2018-2019北师大版选修1-1-1.2.1充分条件-课件(49张)教学讲义ppt
(理)命题“若C＝90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆 命题、否命题、逆否命题．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 原命题为真命题，因此它的逆否命题也为真命
题；它的逆命题是“若△ABC是直角三角形，则C＝90°”，它
是假命题，故其否命题也为假命题．选B.
课堂典例讲练
四种命题间的关系及命题真假的判断
(1)(2014·潍 坊 市 三 模 ) 命 题 “ 若 a>b，则2a>2b”的否命题是( )
A．若a>b，则2a≤2b B．若2a>2b，则a>b C．若a≤b，则2a≤2b D．若2a≤2b，则a≤b (2)设a>0，b>0，e是自然对数的底数( ) A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b B．若ea＋2a＝eb＋3b，则a<b C．若aa－2a＝eb－3b，则a>b D．若ea－2a＝eb－3b，则a<b
[思路分析] (1)根据否命题的定义改写． (2)利用逆否命题真假关系判断． [规范解答] (1)否命题为“若a≤b，则2a≤2b”． (2)通过逆否命题判断真假． 当0<a≤b时，显然ea≤eb，且2a<2b<3b，∴ea＋2a≤eb＋3b， 即 ea ＋ 2a≠eb ＋ 3b 成 立 ， 所 以 它 的 逆 否 命 题 ： 若 ea ＋ 2a ＝ eb ＋ 3b ， 则 a>b 成 立 ， 故 A 正 确 ， B 错 误 ； 当 0<a≤b 时 ， 有 ea≤eb,2a<3b，知ea－2a与eb－3b的大小关系不确定，故C错误； 同理，D错误． [答案] (1)C (2)A
形不一定是菱形．故选A.
(理)(2014·安徽高考)“x＜0”是ln(x＋1)＜0的( )
北师大版高中数学选修1-1§2 充分条件与必要条件
§2充分条件与必要条件（北京师大版选修1-1）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.“|x|=|y|”是“x=y”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知p:|x+1|≤4，q:x2＜5x－6,则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A.m∥l1且n∥l2B.m∥β且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且l1∥α4.设集合A={x∈R|x-2＞0},B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x(x-2)＞0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列各小题中，p是q的充要条件的是()（1）p:m＜－2或m＞6，q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点；（2）p:f(－x)f(x)=1，q:y=f(x)是偶函数；（3）p:cosα=cosβ，q:tanα=tanβ；（4）p:A∩B=A，q:∁U B⊆∁U A.A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)6.已知p：x2−x<0，那么p的一个必要不充分条件是（）A.B.−1<x<1C.D.7.已知集合A={x∈R|12<2x<8},−1<x<m+1}.若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是（）A.m≥2B.m≤2C.m>28.“函数y=(a−1)x+b在区间（−∞,+∞）上是减函数”是“函数y=a x−1（a>0且a≠1）在区间（−∞,+∞）上是减函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）9.对于函数，的像关于y轴对称”是“是奇数”的_条件.10.下列四个式子：①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a.其中能使1a <1b成立的充分条件有 .（只填序号）11.设p，r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p 是t的条件,r是t的条件.三、解答题（本题共5小题，共45分）12.（本小题满分8分）已知a,b是实数，求证：a4−b4−2b2=1成立的充分条件是a2−b2=1.该条件是不是必要条件？试证明你的结论．13.（本小题满分8分）证明：0<a≤15是函数f(x)= ax2+2(a−1)x+2在区间（- ，4]上为减函数的充分不必要条件. 14.（本小题满分9分）求证：关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+ b=−(c+d).15.（本小题满分9分）已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−3a−1<0}，B={x|x−a2−2x−a<0}.（1）当a=12时，求（∁U B）∩A；（2）命题p:x∈A，命题q:x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．16.（本小题满分11分）已知p:|1－x－1|≤2,q:x2－32x+1－m2≤0(m＞0),若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.§2充分条件与必要条件（北京师大版选修1-1）答题纸得分：______ 一、选择题二、填空题9.__________10.＿＿＿＿＿＿11._____________三、解答题12.解：13.解：14.解：15.解：16.解：§2充分条件与必要条件（北京师大版选修1-1）参考答案一、选择题1.B解析：若x=y，显然有|x|=|y|成立；反之，若|x|=|y|，则x=y或x=－y.2.B解析：由|x+1|≤4⟹－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由x2＜5x－6⟹x2－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p是q成立的必要不充分条件.3.A解析：当m∥l1且n∥l2时，由面面平行的判定定理，知α∥β.但当α∥β时，未必有m∥l1且n∥l2.4.C解析：A={x|x-2＞0}={x|x＞2}=(2,+∞)，B={x|x＜0}=(-∞,0),∴A∪B=(-∞,0)∪(2,+∞).∵C={x|x(x-2)＞0}={x|x＜0或x＞2}=(−∞,0)∪(2,+∞),∴A∪B=C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5.D解析：（2）由f(－x)f(x)=1可得f(－x)=f(x)，但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称；（3）cosα=cosβ是tan α=tanβ的既不充分也不必要条件.6.B解析：由x2−x<0得0<x<1.设p的一个必要不充分条件为q，则p⇒q,但q⇏p,故选B.7.C解析：A={x∈R|12<2x<8}={x|−1<x<3},因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AÜB，所以3<m+1，即m>2.8.B解析：函数y=(a−1)x+b在区间（−∞,+∞）上是减函数的充要条件是a<1，函数y=a x−1（a> 0且a≠1）在区间（−∞,+∞）上是减函数的充要条件是0<a<1，从而易知选B.二、填空题9.必要不充分解析：若是奇数，则的图像关于y轴对称.但当是偶数时，的图像也关于y轴对称.所以“的图像关于y轴对称”是“是奇数”的必要不充分条件.10.①②④解析：当a<0<b时，1a <0<1b；当b<a<0，1a<1b<0；当b<0<a时，1b <0<1a；当0<b<a时，0<1a<1b.所以使1a<1b成立的充分条件有①②④.11.充分充要解析：由题意可画出图形，如图所示.由图形可以看出p是t的充分条件,r是t的充要条件.三、解答题12.解：是必要条件.证明如下：因为a2−b2=1，所以a4−b4−2b2=(a2−b2)(a2+b2)−2b2=(a2+b2)−2b2=a2−b2= 1.即a4−b4−2b2=1成立的充分条件是a2−b2=1.另一方面，若a4−b4−2b2=1，即为a4−(b4+2b2+1)=0，,(a2−b2−1)(a2+b2+1)=0.又a2+b2+1≠0,所以a2−b2−1=0，即a2−b2=1.因此a2−b2=1是a4−b4−2b2=1成立的充要条件．从而结论成立.13.解：当a=0时，函数f(x)为一次函数，f(x)=−2x+2是减函数，因此不是必要条件.当a <0时，二次函数f(x)的图像开口向下，而已知函数f (x )=ax 2+2(a −1)x +2在区间（-∞，4]上为减函数，这是不可能的.当a >0时，二次函数f (x )的图像开口向上，数形结合可知，只需满足对称轴x =1−a a=1a−1≥4,解得a ≤15.所以0<a ≤15.综上所述，0<a ≤15是函数f (x )在区间（-∞，4]上为减函数的充分不必要条件.14.证明：充分性：因为a +b =−(c +d )，所以a +b +c +d =0.所以a ×13+b ×12+c ×1+d =0成立， 故x =1是方程ax 3+bx 2+cx +d =0的一个根．必要性：关于x 的方程ax 3+bx 2+cx +d =0有一个根为1，所以a +b +c +d =0， 所以a +b =−(c +d )成立．15.解：（1）当a =12时，A ={x|2<x <52}，B ={x|12<x <94}.所以∁U B ={x|x ≤12或x ≥94}，所以(∁U B )∩A ={x|94≤x <52}．（2）若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B .由a 2+2>a ，得B ={x |a <x <a 2+2}.当3a +1>2，即a >13时，A ={x |2<x <3a +1}，所以{a 2+2≥3a +1，a ≤2，解得13<a ≤3−√52；当3a +1=2，即a =13时，A =∅，符合题意；当3a +1<2，即a <13时，A ={x |3a +1<x <2}， 所以{a ≤3a +1，a 2+2≥2，解得−12≤a <13.综上，a ∈[−12,3−√52]．16..解：由p :|1－x －13|≤2⟹－2≤x ≤10,由q 可得(x －1)2≤m 2(m ＞0),所以1－m ≤x ≤1+m .所以¬p :x ＞10或x ＜－2，¬q :x ＞1+m 或x ＜1－m .因为¬p 是¬q 的必要不充分条件,所以¬q ⟹¬p ，¬p ⇏¬q ,故只需满足{1+m ≥10,1－m ＜－2或{1+m ＞10,1−m ≤−2,所以m ≥9.。
高中数学北师大选修1-1课件：第1章 §2 第1课时 充分条件与必要条件
2.“条件”和“结论”中均有否定词的充分条件和必要条件的判断方法 对于条件和结论中含有否定词的判断，应从它的等价命题即逆否命题判断.
【变式训练】指出下列各组命题中，p是q的什么条件？ (1)p:x＞1,q:x2＞1. (2)p:△ABC有两个角相等，q:△ABC是正三角形. 【解析】(1)由x＞1⇒x2＞1,∴p⇒q.∵x2＞1, ∴x＞1或x＜-1, ∴q p,∴p是q的充分不必要条件. (2)△ABC有两个角相等，则△ABC是等腰三角形，不一定是正 三角形，所以p q;若△ABC是正三角形，则三个角均相等， 即任意两个角都相等，所以q⇒p,故p是q的必要不充分条件.
显然l1∥l2,
∴aБайду номын сангаас1是l1与l2平行的充分条件.
若l1∥l2，∴
∴a=-2或a=1.
答案：充分不必要
a 2 1, 1 a 1 4
2.(1)(x+1)(x-2)=0,∴x1=-1或x2=2, 由(x+1)(x-2)=0 x+1=0, 由x+1=0⇒(x+1)(x-2)=0. ∴p是q的必要不充分条件.
(2)p:x=y,q:sin x=sin y.
【解题探究】1.充分条件和必要条件是如何定义的？ 2.判断充分条件和必要条件的依据是什么？
探究提示：1.如果“若p,则q”形式的命题为真命题，即p⇒q,称p是q的充分条
件，q是p的必要条件.
2.依据是充分条件和必要条件的定义.
【解析】1.当a=1时，直线l1为x+2y-1=0,直线l2为x+2y+4=0,
1 ＜x＜1 ， 32
【互动探究】改变题2中的集合A如下，p是q的什么条件?
(1)p:A=
高中数学北师大版选修1-1课件：第一章 2 充分条件与必要条件(一) (2)
例3 在以下各题中，判断哪些有 p q ，哪些有q p，
并分析各题中p与q的关系：
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的四个角都是 直角. （2）p：直线l和平面α内的一条直线垂直，q：直线l 和平面α垂直. （3）p：a,b,c成等比数列，q：b2=ac.
解：
(1)由于p q,故p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)由于q p,故q是p的充分条件，p是q的必要条件. (3)由于p q,故p是q的充分条件，q是p的必要条件.
件p可以得到结论q，通常记作： p q
读作“p推出q”.此时我们称p是q的_充__分__条__件___.
小结：对 p q 的理解
只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的. 也就是说，为了得到结论q，具备条件p就足够了.
思考2.上述思考问题中的p和q的关系式是什么?
提示：(1) “两条直线同垂直于一个平面”是判定“两 条直线平行”的充分条件.
探究点2 必要条件 定义：如果“若p，则q”形式的命题为真命题，
即 p q,
称p是q的充分条件，同时，我们称q是p的必要条件.
探究点1 也可以解释为： (1)“两条直线平行” 是“两条直线同垂直于一个平 面”的_必__要__条__件__. (2)“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有两 个交点” 是“在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中， b2-4ac>0” 的_必__要__条__件__.
想一想： 下列命题中，p是q的充分条件吗？ （1）p：α是第一象限角，q：sin α>0. （2）p：y=f(x)是正弦函数，q： y=f(x)是周期函数. （3）p：直线l1和l2是异面直线，q：直线l1和l2不相交. 【答案】是，以上各式p是q的充分条件.
北师大版数学选修1-1课件：充分条件与必要条件
2
在△ABC 中,“sin A> A.充分不必要条件 C.充要条件
3 π ”是“A> ”的( 2 3
A
).
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3 π 2π 3
【解析】∵在△ABC 中,sin A> ,则 A∈( ,
2 3
),
∴“sin A> ”是“A> ”的充分条件.
2 3
3
π
∵在△ABC 中,取 A=
【解析】B={x∈R|x -3x+2≤0}={x|1≤x≤2}, ∵p 是 q 的充分不必要条件,∴p⇒q,即 A⫋B, 可知 A=⌀或方程 x +ax+1=0 的两根要在区间[1,2]内,
2 2
∴Δ =a -4<0 或
2
Δ ≥ 0, a 1 ≤ - ≤ 2, 4 + 2a + 1 ≥ 0, 1 + a + 1 ≥ 0,
(2k-1) -4k 2 ≥ 0, Δ ≥ 0, x1 + x2 > 2,即 -(2k-1) > 2, 解得 k<-1, x1 ·x2 > 1, k 2 > 1, ∴所求充要条件为 k<-1.
2
[问题]使方程有两个大于1的根的充要条件是k<-1吗?
[结论]问题的实质是确定所给方程的两根都大于 1 时 k 应 满足的充要条件, 而上面的解析中所列的不等式组仅是两根 x1、 x2 都大于 1 的必要条件,并不充分,例如,x1=1,x2=3,有 x1 + x2 > 2, 但没有 x1>1,x2>1.错误的本质是没有把函数、函 x1 ·x2 > 1, 数图像和方程三者有机结合起来,从而找出等价关系. 于是,正确解答如下: (法一)使两根 x1, x2 都大于 1 的充要条件为 Δ ≥ 0, (x1 -1) + (x2 -1) > 0,解得 k<-2, (x1 -1)(x2 -1) > 0, ∴所求的充要条件为 k<-2.
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知识点三
充要条件的证明
1 1 5.已知 x，y 都是非零实数，且 x>y，求证：x < y的充要条件 是 xy>0.
1 1 证明：(1)必要性：由x <y ， y－x 1 1 得x －y <0，即 xy <0， 又由 x>y，得 y－x<0，所以 xy>0.
1 1 x y (2)充分性：由 xy>0，及 x>y，得xy>xy，即x < y. 1 1 综上所述，x <y 的充要条件是 xy>0.
知识点二
充要条件的探求
• 4.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝ 1对称的充要条件是__________． • 解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其 图像关于直线x＝1对称，反之也成立，所 以f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对 称的充要条件是m＝－2. • 答案：m＝－2
解析：由题可知，若
a1<a1q a1<a2<a3，即 2 a q < a q 1 1
，当 a1>0 时，
解得 q>1，此时数列{an}是递增数列，当 a1<0 时，解得 0<q<1， 此时数列{an}是递增数列；反之，若数列 {an}是递增数列，则 a1<a2<a3 成立，所以“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的充 要条件． 答案：C
选修1-1
第一章 常用逻辑用语
§2 充分条件与必要条件
课时作业5 充要条件
• [目标导航] • 1．结合实例，理解充要条件的意义． • 2．会判断(证明)某些命题的条件关系．
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课堂对点训练
2
课后提升训练
课堂对点训练
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知识点一
充要条件的判断
1 1.“m<4”是“一元二次方程 x2＋x＋m＝0 有实数解”的 ( ) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
• • • • •
解析：A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}， C＝{x∈R|x<0或x>2}， ∵A∪B＝C， ∴x∈(A∪B)是x∈C的充分必要条件． 答案：C
• 3．设{an}是等比数列，则“a1<a2<a3”是 “数列{an}是递增数列”的( ) • A．充分不必要条件 • B．必要不充分条件 • C．充要条件 • D．既不充分又不必要条件
课后提升训练
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解析：一元二次方程 x2＋x＋m＝0 有实数解⇔ 1 1 1 1 Δ＝1－4m≥0⇔m≤4.当 m<4时，m≤4成立，但 m≤4时， 1 m<4不一定成立． 1 故“m<4”是“一元二次方程 x2＋x＋m＝0 有实数解”的 充分不必要条件．
答案：A
• 2．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}， C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈(A∪B)”是 “x∈C”的( ) • A．充分而不必要条件 • B．必要而不充分条件 • C．充分必要条件 • D．既不充分也不必要条件