专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步

专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步 【微点综述】在处理解析几何“中点弦”问题时，我们常用的方法是“点差法”，该法模式化强，计算量小，学生易于掌握，其实在面临“非中点弦”问题时，我们依然可以使用“点差法”，只是在处理非中点问题时，需要根据线段所分得的比值做代数处理，一般把这种方法叫做“定比点差法”．相比于传统的点差法，定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势．本文在定比分点的基础上，分别以椭圆、双曲线、抛物线为例介绍该法的由来，并例举该法在几类解析几何问题中的初步应用，全面系统地介绍了“定比点差法”．在讲定比点差法前，我们先引出定比分点的概念． 一、定比分点若AP PB λ=，则称点P 为点,A B 的λ定比分点．若0λ>，点P 在线段AB 上，此时称点P 为内分点；若0λ<，点P 在线段AB 的延长线上，此时称点P 为外分点．①点在线段AB 上（()0,1APPBλ=∈） ①点在线段AB 的延长线上（(),1APPBλ=∈-∞-）①点在线段AB 的反向延长线上（()1,0APPBλ=∈-） 补充定义：当1λ=-时，对应的定比分点可以认为是无穷远点. 二、定比点差法原理1．线段定比分点向量公式及坐标公式已知AP PB λ=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,,111x x y y OA OB OP P λλλλλλ+++⎛⎫= ⎪+++⎝⎭．证明：证法一：设()00,P x y ，()1212,,,,111x x y y OA OB AP PB OP OA OB OP OP P λλλλλλλλ+++⎛⎫=∴-=-∴=∴ ⎪+++⎝⎭.证法二：设()00,P x y ，则()()01010202,,,AP x x y y BP x x y y λλ=--=--，利用对应坐标相等即可推出1212,11,1OA OB O x x y y P P λλλλλλ++⎛⎫⎪+⎭+=+∴+⎝． 2．“定比点差法”的由来（1）若点()()1122,,,A x y B x y 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2222221122222222,,b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩于是有()()()22222222222211221b x a y b x a y a b λλ+-+=-， 整理得()()()222212121212111x x y y b x x a y y a b λλλλλλλ++-⋅+-⋅=-++， 即12120022111x x y y x y a b λλλλ--⋅⋅--+=①（和定比分点坐标公式形式保持一致）． （2）若点()()1122,,,A x y B x y 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2222221122222222,,b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩于是有()()()22222222222211221b x a y b x a y a b λλ---=-， 整理得()()()222212121212111x x y y b x x a y y a b λλλλλλλ++-⋅--⋅=-++， 即12120022111x x y y x y a b λλλλ--⋅⋅---=①． （3）若点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线()220y px p =>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2112222,2,y px y px ⎧=⎨=⎩于是有()222212122y y p x x λλ-=-，变形得121212121111y y y y x x x x p λλλλλλλλ+-+-⎛⎫⋅=+ ⎪+-++⎝⎭，即12120011y y x x y p x λλλλ--⎛⎫⋅=+ ⎪-+⎝⎭①． 说明：1.上述表达式①、①、①的推导方法就叫“定比点差法”，由推导过程可以看出， 该法是“点差法”的更一般的推广而已，当1λ=时，“定比点差法”即为“点差法”． 2.上述表达式①、①、①的形式与()00000022221,1,x x y y x x y yy y p x x a b a b+=-==+的形式是一致的，因此和极点极线有关的题目都可以尝试利用定比点差法进行处理. 三、定比点差对称轴轴上点公式对于过轴上的定点(),0m 或()0,m 直线和圆锥曲线相交，一般可以都可以尝试利用定比点差法进行求解，而且会比常规的韦达定理法要简洁很多！下面给出常用的几个公式.过定点(),0M m 的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，设()11,,AM MB A x y λ=，()22,B x y ，则有①截距对偶公式：1221212,1,1x x m x x a m y y λλλλλ+⎧=⎪+⎪-⎪=⎨-⎪⎪⎪=-⎩；①坐标公式：221222122,2,a a x m m m m a m a m x m m y yλλλ⎧⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-⎨=++⎪⎪⎪⎪=-⎩； ①拓展公式之1212,x x y y ：44221222224221222112,412.4a a x x m m m m b a a y y m m a m m λλλλ⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎪⎨⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎛⎫⎢⎥=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩四、定比点差法的应用（一）应用定比点差法求点的坐标 例1．已知12,F F 分别是椭圆2213x y +=的左右焦点，点,A B 在椭圆上，且125F A F B =，则点A 的坐标是 ． 【答案】()0,1±【解析】如图，延长1AF 交椭圆于点C ，由对称性得12CF F B =，则115AF FC =． 设()()1122,,,A x y C x y ，则1212155,66x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，又()1,0F，1212550.x x y y ⎧+=-⎪∴⎨+=⎪⎩由点,A C 在椭圆上，则2211222233,257575,x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 于是有()()()()121212125535572x x x x y y y y +-++-=-，即)1212572,5x x x x --=-∴-=125x x +=-110,1x y =∴=±，则()0,1A ±．【评注】由向量数乘的几何意义知1F A //2F B 且125F A F B =，考虑到椭圆的中心对称性，可以延长1AF 交椭圆于点C ，得到12FC F B =，从而得到2,,A F C三点共线，且115AF FC =，于是定点1F 为焦点弦AC 的定比分点，自然想到使用定比点差法．（二）应用定比点差法求离心率例2．已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>内有一点(2,1)M ，过M 的两条直线1l 、2l 分别与椭圆E 交于,A C 和,B D 两点，且满足AM MC λ=，BM MD λ=（其中0λ>且1λ≠），若λ变化时直线AB 的斜率总为12-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12BCD【答案】D【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由AM MC λ=可得：()()11332,12,1x y x y λ--=--，据此可得：131322{1x x y y λλλλ+=++=+，同理可得：242422{1x x y y λλλλ+=++=+，则：()()()()1234123441{21x x x x y y y y λλλλ+++=++++=+，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程做差可得：2121221212y y x x b x x a y y -+=-⨯-+， 即：()()222121212212122x x b a y y b x x a y y +-=-⨯⇒+=++，同理可得：()()2234342a y y b x x +=+，两式相加可得()()()()22123412342a y y y y b x x x x ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦，故：()()()()1234123421y y y y x x x x λλ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦，据此可得：22221a b e =⇒=【评注】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ①只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．例3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过其左焦点F,A B两点，若2AF FB =，求椭圆的离心率．【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由2AF FB =得121222,33x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，由(),0F c -得121223,20.x x c y y +=-⎧⎨+=⎩由点,A B 在椭圆上，则2222221122222222,444,b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩两式作差得()()()()22221212121222223b x x x x a y y y y a b +-++-=-，()22221212323,2a b c x x a b x x c∴--=-∴-=，联立1223x x c +=-，得22132a c x c -=，又111y y x c ∴=+2222222232a c b a a b c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422441390a a c c -+=，两边都除以4c ，得4291340e e -+=，解得23e =或1e =，又201,3e e <<∴=． 【评注】处理焦点弦问题时，相较于联立直线与曲线方程法，定比点差法运算量小，过程简洁．（三）应用定比点差法求直线方程例4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2，过点2F 作直线与椭圆C 相交于,A B 两点，且①1ABF的周长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24AB F A =，求直线AB 的方程．【解析】（1）由已知可得22,4c a ==222a c b -=，解得1,a b ==∴所求的椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由24AB F A =，得2213AF F B =．设()()1122,,,A x y B x y ，得1212233,44x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，又()21,0F ，121234,30.x x y y +=⎧∴⎨+=⎩由点,A B 在椭圆上，得2211222291818,22,x y x y ⎧+=⎨+=⎩两式作差得()()()()()1212121212123323316,4316,34x x x x y y y y x x x x +-++-=∴-=∴-=，联立1234x x +=，解得143x =，又221191818x y +=，解得21141,,,1,333AF y A k ⎛⎫=±∴±∴=±∴⎪⎝⎭直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+．【评注】由平面向量共线定理及向量数乘的几何意义，得2213AF F B =，自然考虑定比点差法（四）应用定比点差法求弦长例5．已知斜率为32的直线l 与抛物线23y x =的交于,A B 两点，与x 轴交于点P ，若3AP PB =，求AB ．【解析】设()()()()112200,,,,,00A x y B x y P x x >，由3AP PB =，得121233,44x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，则由1201234,30.x x x y y +=⎧⎨+=⎩点,A B 在抛物线上，则2112223,927,y x y x ⎧=⎨=⎩于是有()()()1212123339y y y y x x +-=-，则1290x x -=，联立12034x x x +=，得103x x =，又11032y x x =-，则103y x =，由22110001043,99,1,,3y x x x x AP x AB AP =∴=∴=∴=-=∴== 【评注】由已知条件3AP PB =可知该题可使用定比点差法，得到点A 的横坐标103x x =，再利用32AP k =，得到103y y =，利用抛物线方程得到01x =，求出AP ，最后由43AB AP=得出答案．例6．（2022·上海徐汇·三模）已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>焦距为⎭，斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点A ､B ． （1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，AB 的最大值；（3）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ､D 和点7142Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,共线，求实数k 的值．【答案】（1）2213x y +=；（2；（3）2.【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到12AB x =-=m 的取值范围，求出最大值；（3）设出直线方程，表达出,C D 两点坐标，由Q ､C ､D 三点共线得到方程，化简后得到12122y y k x x -==-． 【解析】（1）由题意得：焦距为2222c a b ==-，点坐标⎭代入椭圆方程得：222113a b +=， 222221132a b a b⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：23a =，21b =， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得2246330x mx m ++-=，则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -=， 易得当20m =时，max ABAB ． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y +=①，222233x y +=①， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 由1112y k x =+，及①221133y x =-，代入可得13171247x x x --=+， 又3111322y y k x x ==++，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,， 同理可得22227124747x yD x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭,．故3371,42QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，4471,42QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为Q ､C ､D 三点共线，所以3443717104242x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．将点C ，D 的坐标代入，通分化简得22112424y x y x -=-，即12122y y k x x -==-． 【评注】处理圆锥曲线问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再利用弦长公式或题干中条件，求出取值范围或得到方程，求出参数． 例7.（2022·山西太原·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点)P，离心率为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点M （4，1）的动直线与椭圆C 相交于不同的两点A ，B 时，在线段AB 上取点N ，满足MB A N M N B A λλ=-=，求线段PN 长的最小值．【答案】（1）22142x y +=；（2. 【分析】（1）由椭圆的几何性质列方程组求解；（2）由定比分点公式化简得N 点轨迹方程，由点到直线距离公式求解.【解析】（1）根据题意，22211c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2242a b ==，，椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），N （x ，y ）， 由λλAM MB AN NB =-=，，得 12121212λλ41λ1λλλ11λ1λx x x x x y y y y y -+⎧⎧==⎪⎪⎪⎪-+⎨⎨-+⎪⎪==⎪⎪-+⎩⎩，，①222222121222λλ41λ1λx x y y x y --==--，， 又222211222424x y x y +=+=，，①2244λ4241λx y -+==-，①点N 在直线220x y +-=上，①PN ===最小．【总结】定比点差法，实际上是直线参数方程的变异形式，核心思想是“设而不求”．它是利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，代点、扩乘、作差，解决相应的圆锥曲线问题，尤其是遇到定点、成比例等条件时，定比点差法有独特的优势． 【针对训练】（2018年高考浙江卷）1．已知点P (0，1)，椭圆224x y m += (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点(),P a b 为椭圆外一点，斜率为12-的直线与椭圆交于A ，B 两点，过点P 作直线PA ，PB 分别交椭圆于C ，D 两点．当直线CD 的斜率为12-时，此椭圆的离心率为______．3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过椭圆的左焦点Fl 与椭圆交于A 、B 两点（A 点在B 点的上方），若有2AF FB =，求椭圆的离心率．（2022·吉林市教育学院模拟预测）4．已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>经过抛物线1C 的焦点F ．(1)求抛物线1C 的方程及a ；(2)已知O 为坐标原点，过点(1,1)M 的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，若=AM mMB ，点N 满足=-AN mNB ，且||ON 最小值为125，求椭圆2C 的离心率． （2022·山东济南·二模）5．已知椭圆C 的焦点坐标为()11,0F -和()21,0F ，且椭圆经过点31,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若()1,1T ，椭圆C 上四点M ，N ，P ，Q 满足3MT TQ =，3NT TP =，求直线MN 的斜率.（2022·重庆南开中学模拟预测） 6．已知0a b>>，直线l 过椭圆22122:1x y C a b+=的右焦点F 且与椭圆1C 交于A 、B 两点，l 与双曲线22222:1x y C a b-=的两条渐近线1l 、2l 分别交于M 、N 两点．(1)若OF =l x ⊥轴时，①MON 的面积为32，求双曲线2C 的方程；(2)如图所示，若椭圆1C 的离心率e =1l l ⊥且()0FA AN λλ=>，求实数λ的值． （2022云南红河·模拟预测）7．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是以原点O 为圆心，半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心，半径为()0b a b >>的圆与线段OM 交于点N ，作MD x ⊥轴于点D ，作NQ MD ⊥于点Q .(1)令MOD α∠=，若4a =，1b =，3πα=，求点Q 的坐标；(2)若点Q 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(3)设（2）中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正负半轴分别交于点1B ，2B ，若点E ､F 分别满足3AE OE =-，243AF OB =，证明直线1B E 和2B F 的交点K 在曲线C 上.（2022重庆·模拟预测）8．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，其中A 点在第一象限内，射线AF ，BF 与椭圆C 的交点分别为M ，N . （1）若AF FM =，2BF FN =，求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍，求椭圆C 的方程. （2022·全国·高三专题练习）9．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B . （①）求椭圆M 的方程； （①）若1k =，求||AB 的最大值；（①）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .参考答案：1．5【分析】方法一：先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出. 【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=- 因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+= 22224(23)4x y m ∴+-=，即22223()424x m y +-=，与22224x y m +=相减得：234m y +=，所以，()222211(109)54444x m m m =--+=--+≤，当且仅当5m =时取最等号，即5m =时，点B横坐标的绝对值最大. 故答案为：5．［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理由条件知直线AB 的斜率存在，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠，联立221,,4y kx x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22418440k x kx m +++-=，根据韦达定理得122841k x x k +=-+，由2AP PB =知122x x =-，代入上式解得22841kx k =+，所以228||821414||||k x k k k ==≤=++．此时214k =，又21222442841m x x x k -==-=-+，解得5m =． ［方法三］：直线的参数方程+基本不等式设直线AB 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩其中t 为参数，α为直线AB 的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得()2213sin 8sin 440t t m αα+++-=，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则122t t =-．由韦达定理知1212228sin 44,13sin 13sin m t t t t ααα-+=-=++，解得228sin 13sin t αα=+，所以()222222222222222222cos 4sin 64sin cos cos 4sin 13sin 13sin cos 1616413sin 13sin 213sin x t αααααααααααα⎛⎫+ ⎪++===⨯⋅≤⨯= ⎪+++ ⎪⎪⎝⎭，此时22cos 4sin αα=，即222241cos ,sin ,555t αα===，代入12122442,13sin m t t t t α-=-=+，解得5m =．［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质设()()1122,,,A x y B x y ，因为2AP PB =，所以()()1122,12,1x y x y --=-． 即122x x =- ①，1223y y += ①，又因为22221212,44x x y m y m +=+=，所以222144x y m +=．不妨设20y >，因此12y y ==①式可得(223=．化简整理得22224109(5)16xm m m =-+-=--+．由此可知，当5m =时，上式有最大值16，即点B 横坐标的绝对值有最大值2． 所以5m =．［方法五］：【最优解】仿射变换如图1，作如下仿射变换112x x y y =⎧⎨=⎩，则2211(1)x y m m +=>为一个圆．根据仿射变换的性质，点B 的横坐标的绝对值最大，等价于点1B 的横坐标的绝对值最大，则11cos 2||cos 2||sin cos B x PB POM PM POM OP POM POM =∠=∠=∠∠||sin2||OP POM OP =⋅∠≤．当π4POM ∠=时等号成立，根据||1OP =易得1OB =5m =． ［方法六］：中点弦性质的应用设()22,B x y ，由2AP PB =可知()22,232A x y --，则AB 中点223,22x y M -⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为22AB CM b k k a ⋅=-，所以22223114y y x x --⋅=-，整理得()2222214x y +-=，由于22x ≤，则2max 2x =时，22y =，所以4454m =+=．【整体点评】方法一：由题意中点,A B 的坐标关系，以及点差法可求出点B 的横、纵坐标，从而可以根据二次函数的性质解出；方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点B 的横坐标，然后利用基本不等式求出最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点B 的横坐标，再利用基本不等式求出最值，由取等条件得解；方法四：利用题目条件硬算求出点B 的横坐标，再根据二次函数的性质解出；方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，从而解出，计算难度小，是该题的最优解；方法六：利用中点弦的性质找出点B 的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点B 的横坐标的绝对值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法． 2【分析】由题意，不妨设直线AB 过原点O ，则 //CD AB ，设CD 及中点的坐M 标，再利用点差法求出OM 和CD 斜率的关系，然后根据O ，M ，P 三点共线，求出a ，b 的关系即可. 【详解】如图所示：设直线AB 过原点O ，由题意得 //CD AB ， 设()()1122,,,C x y D x y ，CD 的中点为()00,M x y ，则012012y y y x x x +=+， 因为C ，D 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2201212221212012x y y x x b b x x a y y a y -+=-⋅=-⋅=--+， 所以20202OMy b k x a==， 因为O ，M ，P 三点共线， 所以OM OP bk k a==， 即222b b a a=，解得12b a =，所以c e a ===，【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 3．23【分析】利用点差法，设()11,A x y 、()22,B x y ，代入椭圆方程中，变形后作差，由2AF FB =可得1223x x c +=-，1220y y +=，从而可得2122a x x c-=，求出点A 的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率【详解】因为2AF FB =，设()11,A x y 、()22,B x y ，2211222222221444x y a b x y a b ⎧+=⋅⋅⋅⎪⎪⎨⎪+=⋅⋅⋅⎪⎩①② ①-①得：()()()()121212122222223x x x x y y y y a b +-+-+=-，1223x x c +=-，1220y y +=， 则2122a x x c-=，得222113322a a c x c c c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，①11y x c =+，①22132a c y c c ⎫-=+=⎪⎭，将A 代入椭圆方程 整理得：422241390a a c c -+=，所以2249a c =或22a c =（舍） 故23c e a ==． 4．(1)28y x =；2a = (2)12【分析】(1)由条件列方程求p ，由此可得抛物线方程及其焦点坐标，再由条件求a ，(2)联立方程组，利用设而不求法结合条件求出点N 的轨迹，列方程求b ，由此可得离心率.【详解】（1）抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4可得4p =抛物线1C 的方程：28y x =椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>经过抛物线1C 的焦点(2,0)F椭圆2C 的右顶点为(2,0)F ， 所以2a =．（2）①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()()()1122001(1),,,,,,-=-y k x A x y B x y N x y 由()222141x y b y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩得()2222248(1)4(1)40++-+--=b k x k k x k b ， ()222163210∆=+-+>b k k b22121222228(1)4(1)4,44---+=-=++k k k b x x x x b k b k①,==-AM mMB AN mNB①()()12012011,-=--=--x m x x x m x x ，即①10122011--=---x x xx x x ①()212120212244424-++-==+-+x x x x k b x x x k b ，①()22004144-+=-k x b x b又①()0011-=-y k x①()22004144-+=-y b x b ，即①2200440+-=b x y b①N 点轨迹为直线22440+-=b x y b①当直线AB 斜率不存在时，经检验点231,4⎛⎫⎪⎝⎭b N 在直线22440+-=b x y b 上． ①N 点轨迹方程为22440+-=b x y b||ON 最小值即点O 到直线22440+-=b x y b 的距离2125=，即23b = 椭圆2C的离心率为12c e a ==．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 5．(1)22143x y +=(2)34-【分析】（1）根据题意得到c =1，再将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程求解；（2）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ，由3MT TQ =得到12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，根据()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，得到()()111122143x y -+-=，同理得()()331122143x y -+-=，两式相减求解. 【详解】（1）解：由题意可知，c =1，设椭圆方程为222211x y a a +=-，将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得()()224410a a --=，解得214a =（舍），24a =， 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ， 因为3MT TQ =，所以()()1212131131x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，即12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，所以2211143x y +=，2211441114333x y --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()221122111431144943x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩①②，①-①得()()1111424424843x y -⋅+-⋅=， 即()()111122143x y -+-=……①， 又3NT TP =，同理得()()331122143x y -+-=……① ①-①得()()131311043x x y y -+-=， 所以1313134143MNy y k x x --===--.6．(1)2214x y -=；(2)λ=【分析】（1）由题设可得F、||MN =2a b =，由椭圆参数关系求a 、b ，即可写出双曲线方程.（2）由椭圆离心率可得a =，进而可得双曲线渐近线，假设1:b l y x x a ==，写出2l 、l 方程，联立求N 坐标，由向量的数量关系及向量坐标表示求A 坐标，根据A 在椭圆上求λ值.【详解】（1）由题设F ，且双曲线22222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =±，当l x ⊥轴时，||MN =OF ①MON 的面积为32，所以13||||22OF MN ⋅=，故2a b =，而2223a b c -==，可得224,1a b ==，所以双曲线2C 的方程为2214x y -=.（2）对于椭圆有c e a ==，而222a c b -=，则a =，不妨假设1:b l y x a =，则2:b l y x a =-=且l为)y x c =-，所以(2,)N c ，又(c,0)F ，()0FA AN λλ=>，令(,)A x y，则(,),(2,)FA x c y AN c x y =-=--，故(2))x c c x y y λλ-=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，所以211x c y λλ+⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩，而A 在椭圆22122:12x y C c c +=上，则2222222(21)2(21)412(1)(1)2(1)λλλλλλλ++++==+++，整理得261λ=，综上，可得λ=. 7．(1)2,Q ⎛± ⎝⎭ (2)()222210x y a b a b+=>> (3)证明见解析【分析】（1）根据数形结合直接可得点Q 坐标；（2）由题意列出点Q 轨迹的参数方程，进而可得点Q 轨迹的普通方程； （3）由题意写出直线1B E 和2B F 方程，进而可得交点K 的坐标，进而得证.【详解】（1）解：设(),Q x y，则由题知4cos 23sin 3M Nx x y y ππ==±=±=⎧⎪⎪⎨=±=⎪⎪⎩因此2,Q ⎛± ⎝⎭； （2）解：设MOD α∠=及(),Q x y ，则由题知cos sin x a y b αα=±⎧⎨=±⎩，则点Q 的轨迹C 为椭圆，方程为：()222210x y a b a b+=>>；（3）设(),K x y ，由知，()10,B b ，,04a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()20,B b -，3,4F a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1:14B E x yl a b +=，即4bx ay ab +=， 2:34B F y b xl a b b +=-+，即44bx ay ab -=， 联列上述直线方程，解得8171517x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222222281511717x y a b 2+=+=，因此交点K 在椭圆C 上. 8．（1）22154x y +=；（2）22132x y +=. 【分析】（1）由AF FM =结合椭圆的对称性知AM x ⊥轴，从而得出点,,A B M 的坐标，再由2BF FN =得出点N 的坐标，代入椭圆方程可得答案.（2）设()00,A x y ，()00,B x y --，设FM AF λ=，FN BF μ=，表示出点M N ，的坐标，代入椭圆方程，结合点,A B 在椭圆上分别得到0x 与,λμ的式子，由直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍可得0x 关于,λμ的式子，从而可得答案.【详解】解：（1）由AF FM =，根据椭圆的对称性知AM x ⊥轴，AM 过右焦点()1,0F所以21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,b M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()21,2N N b BF FN x y a ⎛⎫ ⎪⎝⎭==-，，，由2BF FN =，可得()22212N Nx b y a⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得22,2b N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得42224114b a b a +⋅=，解得22164b a +=，所以221164a a -+=，即25a =，所以2224b a c =-=，故椭圆方程为22154x y +=； （2）设()00,A x y ，()00,B x y --，令()00=1,FM AF x y λλ=--，则()001,M x y λλλ+--，代入椭圆方程得()()22002211x y a b λλλ+--+=，即()()22222000221211x x y a bλλλλλ+-+++=，又2200221x y a b +=，所以()()20221211x a λλλλ+-++=，化简得到()()20121x a λλλ+-=- ① 同理：令FN BF μ=，同理解得()001,N x y μμμ++，代入椭圆方程同理可得()()20121x a μμμ++=- ①由题知()()()()000000211M N M N y y y y yx x x x x λμλλμμ---==⋅-+--++，解得()()02x λμλμ+=-，①①-①得()()()202x a λμλμμλ--+=-，将①式代入得()()()24a λμλμμλ---=-，故23a =，故椭圆方程为22132x y +=. 【点睛】关键点睛：本题考查向量在椭圆中的应用以及直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是设FM AF λ=，得出()001,M x y λλλ+--代入椭圆方程可得()()20121x a λλλ+-=-，同理设FN BF μ=，可得()()20121x a μμμ++=-，由直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍可得()()02x λμλμ+=-，联立可得解，属于难题. 9．（①）2213x y +=；（①；（①）1.【分析】（①）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（①）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；（①）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】（①）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=； （①）设直线AB 的方程为y x m =+， 由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -=， 易得当20m=时，max ||ABAB ；（①）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ①， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,． 故3371,44QC x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝，4471,44QD x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝， 因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 将点,C D 的坐标代入化简可得12121y yx x -=-，即1k =．【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式21AB x-变形为||AB =，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.。