(完整版)两角和与差的正弦余弦正切公式

两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．（重点)2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．（难点）3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)［基础·初探］教材整理1 两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究"以上内容,完成下列问题。

cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos（75°＋15°)＝cos 90°＝0.【答案】0教材整理2 两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究"以下内容，完成下列问题．1．公式2.重要结论－辅助角公式y＝a sin x＋b cos x＝错误!sin（x＋θ)(a，b不同时为0）,其中cos θ＝错误!，sin θ＝错误!．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（）（2）存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ）(3）对于任意α,β∈R，sin（α＋β）＝sin α＋sin β都不成立．（）(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°。

( ）解：(1）√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°,β＝0°时，sin（α－β）＝sin α－sin β.（3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立．(4）√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．【答案】(1)√(2)√（3）×(4)√教材整理3两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×")（1)存在α,β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ）（2）对任意α，β∈R，tan（α＋β）＝错误!都成立．( )（3）tan(α＋β）＝错误!等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )解:（1)√。

当α＝0，β＝错误!时，tan（α＋β）＝tan错误!＝tan 0＋tan 错误!,但一般情况下不成立．(2）×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋错误!（k∈Z)．（3)√。

当α≠k π＋π2（k ∈Z ），β≠k π＋错误!（k ∈Z ），α＋β≠k π＋错误!（k ∈Z ）时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．【答案】 （1）√ （2)× (3)√［小组合作型]灵活应用和、差角公式化简三角函数式 （1)（2016·济宁高一检测）错误!＝（）A ．－错误!B ．－错误!C ．错误!D ．错误!(2）化简求值： ①错误!；②sin （θ＋75°）＋cos （θ＋45°)－错误!cos （θ＋15°）;③（2016·遵义四中期末）tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°。

(1)化简求值应注意公式的逆用．(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值． 解：（1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝错误! ＝错误!＝错误!＝sin 30°＝错误!. 【答案】 C （2)①原式＝错误!＝tan(45°＋75°）＝tan 120°＝－错误!。

∴原式＝－错误!.②设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos（α＋30°)－错误!cos α＝错误!＋错误!－错误!cos α＝0。

∴原式＝0.③原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°）＋错误!tan 20°·tan 40°＝错误!.∴原式＝3。

1．公式T（α＋β)，T（α－β）是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β,tan α＋tan β(或tan α－tan β),tan（α＋β)（或tan(α－β)）．三者知二可表示出或求出第三个．2．化简过程中注意“1”与“tan 错误!”、“错误!”与“tan 错误!"、“错误!”与“cos 错误!”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．[再练一题］1．化简求值：（1）cos 61°cos 16°＋sin 61°sin 16°；（2)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°；（3）错误!.解：(1）原式＝cos（61°－16°)＝cos 45°＝错误!.（2)原式＝sin(13°＋17°）＝sin 30°＝错误!.（3)原式＝错误!＝－错误!＝－错误!。

给值求值（2016·普宁高一检测）已知错误!<α〈错误!，0〈β<错误!，cos错误!＝－错误!，sin错误!＝错误!，求sin(α＋β)的值。

【导学号：00680069】可先考虑拆角，π＋α＋β＝错误!＋错误!,然后再利用sin（α＋β)＝－sin（π＋α＋β）求值．解：因为错误!〈α<错误!π,所以错误!<错误!＋α〈π。

所以sin错误!＝错误!＝错误!。

又因为0〈β〈错误!,错误!π<错误!π＋β〈π，所以cos错误!＝－错误!＝－错误!，所以sin（α＋β）＝－sin(π＋α＋β）＝－sin错误!＝－错误!＝－错误!＝错误!。

1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝(α＋β）－α这一关系．2．常见角的变换为（1)2α＋β＝（α＋β)＋α，2α－β＝(α－β）＋α；（2)错误!＝错误!－错误!，错误!＝错误!－错误!；(3）错误!＋错误!＝错误!＋（α＋β)；(4)错误!＋错误!＝错误!＋(α－β）．[再练一题］2．已知cos α＝－错误!，α∈错误!，tan β＝－错误!，β∈错误!，求cos(α＋β)．解：因为α∈错误!，cos α＝－错误!，所以sin α＝－错误!.因为β∈错误!，tan β＝－错误!,所以cos β＝－错误!，sin β＝错误!.所以cos（α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!。

给值求角已知sin α＝错误!，sin β＝错误!，且α，β为锐角，求α＋β的值．sin α，sin β→错误!→错误!→确定α＋β的范围→错误!解:∵sin α＝错误!，α为锐角，∴cos α＝错误!＝错误!错误!.又sin β＝错误!,β为锐角，∴cos β＝错误!＝错误!错误!.∴cos（α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.又α，β∈错误!,∴0<α＋β<π，因此α＋β＝错误!。

1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大（小）,导致求出的角不合题意或者漏解．2．求角的大小，要解决两点：（1）确定所求角的范围，(2）求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．[再练一题］3．若把本例题的条件改为“α∈错误!，β∈错误!，且cos(α－β）＝错误!，sin β＝－错误!”，试求角α的大小．解：∵α∈错误!，β∈错误!，∴α－β∈（0，π），由cos(α－β）＝错误!，知sin（α－β)＝错误!.由sin β＝－错误!，知cos β＝错误!.∴sin α＝sin［（α－β)＋β］＝sin(α－β）cos β＋cos（α－β)sin β＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

又α∈错误!，∴α＝错误!。

[探究共研型］辅助角公式的应用探究1函数y＝sin x＋cos x(x∈Z）的最大值为2对吗?为什么?【提示】不对．因为sin x＋cos x＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!sin错误!。

所以函数的最大值为 2.探究2函数y＝3sin x＋4cos x的最大值等于多少？【提示】因为y＝3sin x＋4cos x＝5错误!，令cos φ＝错误!，sin φ＝错误!,则y＝5（sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x＋φ)，所以函数y的最大值为5.探究3如何推导a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）错误!公式．【提示】a sin x＋b cos x＝错误!错误!，令cos φ＝错误!，sin φ＝错误!，则a sin x＋b cos x＝a2＋b2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝错误!sin(x＋φ)（其中φ角所在象限由a、b的符号确定，φ角的值由tan φ＝错误!确定，或由sin φ＝错误!和cos φ＝错误!共同确定)．当函数y＝sin x－错误!cos x(0≤x〈2π)取得最大值时，x＝________。

可先用公式Sα±β将函数化为y＝A sin(ωx＋φ)形式再求最大值对应的x值．解：函数为y＝sin x－错误!cos x＝2错误!＝2错误!＝2sin错误!,当0≤x<2π时,－错误!≤x－错误!<错误!，所以当y取得最大值时，x－错误!＝错误!，所以x＝错误!。

【答案】错误!1．对于形如sin α±cos α,错误!sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系,运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想,在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．［再练一题］4．函数f（x）＝sin x－cos错误!的值域为（）A．［－2，2] B．错误!C．［－1，1］D．错误!解：f（x）＝sin x－cos错误!＝sin x－错误!cos x＋错误!sin x＝错误!sin x－错误!cos x＝错误!sin错误!,所以函数f（x)的值域为[－错误!，错误!］．故选B．【答案】B[构建·体系]1．（2016·清远期末)化简:sin 21°cos 81°－cos 21°·sin 81°等于（) A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!解：原式＝sin(21°－81°）＝－sin 60°＝－错误!.故选D．【答案】D2．已知α是锐角,sin α＝错误!,则cos错误!等于( ）A．－错误!B．错误!C．－错误!D．错误!解：因为α是锐角,sin α＝35,所以cos α＝错误!，所以cos错误!＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.故选B．【答案】B3．函数y＝sin x－cos x的最小正周期是( )A．错误!B．πC．2πD．4π解:y＝sin x－cos x＝2sin错误!，所以T＝2π.【答案】C4．计算错误!＝________．解：错误!＝错误!＝tan 45°＝1.【答案】15．已知α，β均为锐角，sin α＝错误!，cos β＝错误!，求α－β.解：∵α，β均为锐角，sin α＝错误!,cos β＝错误!，∴sin β＝错误!,cos α＝错误!.∵sin α<sin β，∴α<β,∴－错误!〈α－β〈0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×错误!－错误!×错误!＝－错误!,∴α－β＝－错误!。