水文学 PPT

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一、概率中的几个基本概念
随机试验及事件

随机试验：在概率论中，对随机现象的观测叫做随 机试验。 事件：随机试验的结果
分类： 必然事件：在一定的条件组合下，必然会发生的事件； （降雨-产流-水位上升） 不可能事件：在一定的条件组合下，一定不可能发生的 事件；（洪水-断流） 随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不发 生的事件。（洪峰流量）
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一、概率中的几个基本概念
随机变量




随机变量：随试验结果不同而发生变化的变量。通俗地讲，指在随 机试验中测量到的数量。水文统计研究的是水文随机变量。对于水 文现象而言，指某种水文特征值，如某地区流域出口的年径流量和 洪峰流量等。 通常随机变量用大写字母X表示，它的种种可能取值用相应的小写字 母x表示。 若取n个， 则X＝x1，X=x2 ，……，X＝xn。一般将x1，x2 ，……，xn称为系列。而可能取值出现的概率用P表示。 离散型随机变量：若随机变量仅能取得一个有限区间内的某些间断 的离散数值，则称为离散型随机变量。例如，掷一颗骰子出现的点 数。 连续性随机变量：若某随机变量可取得一个有限或无限区间内的任 何数值，则称此随机变量为连续型随机变量。 水文变量大多数属于 连续型随机变量，如年降水量、洪峰流量等可取0和极限值之间的任 何数值。
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三 水文统计的任务

任务
利用概率论与数理统计的理论和方法，研究和分析
水文随机现象的统计变化特性，并以此为基础对水文现象
未来可能的长期变化作出概率意义下的定量预估，为工程
的规划、设计、施工以及运营管理提供水文依据。
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四 水文统计所解决的主要问题
具体方法和内容
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2 均方差σ

含义：反映随机变量系列在均值两侧的绝对离散程度。 用于样本系列的均方差计算公式：

x
i
x

2
n 1
xA
xB
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A ＜ B
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2 均方差σ
均方差对密度曲线的影响
均方差越大，系列越离散；反之，则越集中。
σ1
σ2
σ2＞ σ1
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P( X x) F ( x) f ( x)dx
x
dF ( x) f ( x) F ( x) dx
对于连续性随机变量而言，密度函数 和分布函数从不同的角度完善的描述 了随机变量的概率分布规律，因此密 度函数和分布函数构成了随机变量的 基本特征。
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3 变差系数Cv


含义：反映随机变量系列在均值两侧的相对离散程度， 对水文现象来讲，反映了水文变量多年的变化情况。南 方河流水文变量的 Cv 一般比北方的小，原因为南方雨 量充沛，年际变化小。 计算公式：
Cv

x
xB
xA
XA＜ XB
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A ＜ B
Cv A ＞ Cv B
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第一节 概述

内容提要： 水文现象的两重性
概率论与数理统计（水文统计）
水文统计的任务

学习要求：
了解水文现象的基本特点
掌握水文统计的任务
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一 水文现象的特性

水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具 有偶然性的一面。 1、必然现象是指事物在发展、变化中必然会出现的现象 ；水文学中称水文现象的这种必然性为确定性。 2、偶然现象是指事物在发展、变化中可能出现也可能不 出现的现象，偶然现象也称随机现象；偶然现象短期观 测结果不稳定，甚至杂乱无章，无一定规律，但经过长 期观测后可呈现出一定的规律性。 一般将从随机现象长期观测资料中统计出来的规律称为 统计规律。
随机变量概率分布函数值F（x）与变量x之间的变化关系曲 线称为随机变量的累积频率曲线，水文上简称频率曲线。


随机变量概率密度函数f(x)： 指随机变量概率分布函数导数 的负值，或简称密度函数。
密度函数的几何曲线称密度曲线。
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二 随机变量的概率分布

概率分布函数与概率密度函数的关系
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一、概率中的几个基本概念
概率及频率
在同等可能的条件下，随机事件在试验的结果中可能出现也 可能不出现，但其出现或不出现的可能性大小则不相同，例如， 年降雨量出现在均值附近的可能性要比出现极大值或极小值的可 能性要大得多。为了比较随机事件出现的可能性大小，引入概率 的概念。

概率：随机事件在随机试验中出现的可能结果数与随机试 验中所有可能出现的结果数的比值，反映了随机事件出现 的可能性。 P(A)=k/n 显然，必然事件的概率等于 1 ，不可能事件概率等于 0 ，随 机事件概率介于0与1之间。 频率：指在具体的重复试验中，随机事件A出现的次数m与 试验总次数n的比值。 W(A)=m/n
第六章 水文统计

研究对象：频率计算，相关分析 研究内容： 频率计算： 随机变量及其概率分布 水文频率曲线
水文频率计算适线法
相关分析： 两变量直线相关
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第六章 水文统计
研究目的
研究河川径流的统计变化规律，预估径流未来的变化趋 势，以满足水利工程规划、设计、施工和运行管理的需要。
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4 偏态系数 CS

Cs 值对密度曲线的影响
Cs=0——对称分布；随机变量大于均值与小于均值出现机会相等 Cs>0——正偏分布；随机变量大于均值比小于均值出现的机会小 Cs<0——负偏分布；随机变量大于均值比小于均值出现的机会大
三 随机变量的统计参数
从统计学的观点来看，任何一个随机变量系列的统计规律都可以用密度 曲线或分布曲线完整的刻画，但对于水文随机变量总体未知，无法求出 F(x) 和f(x)的明确解析函数表达式。对一些具体问题而言，有时不一定需要用完 整的形式说明随机变量，而只要知道能够说明随机变量主要特性的某些特征 数值就可以了。例如，某地年降水量是一个随机变量，各年不同，有一定概 率分布曲线。若只要了解该地年降水量的概括情况，其多年平均年降水量就 是反映该地年降水量多寡的一个重要的数量指标。
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二 随机变量的概率分布

随机变量可以取所有可能值中的任何一个值，但是取某一 可能值的机会是不同的，有的机会大，有的机会小。

一般将随机变量的取值与取值概率之间存在的相互对应关 系称为概率分布。
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水文中概率分析的目的就是要由样本的统计规律来估计总体的规律。
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一、概率中的几个基本概念
重现期


定义：某一随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次， 又称多少年一遇，T，年 重现期与频率的关系： 根据研究对象不同，重现期T与频率P（%）之间分别存在如 下两种关系： 研究洪水：设计频率P<50%，T=1/P； 研究枯水：设计频率P>50%，T=1/(1-P)。
根据已有的资料（样本），进行频率计算，推求指 定频率的水文特征值； 研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长 、插补水文特征值和作水文预报；
根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。
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第二节 随机变量及其分布参数

内容提要
概率中基本概念、随机变量的概率分布与统计参数

学习要求： 1.了解概率中的基本概念； 2.掌握水文随机变量的概率分布与统计参数

统计参数： 用于反映随机变量的统计规律或分布规律的某些特征数字。 统计参数分为总体统计参数和样本统计参数两类。水文现象的总体通常
是无限的，它是指自古迄今以至未来长远岁月所有的水文系列。显然，水文 随机变量的总体是不知道的，这就需要在总体不知道的情况下，靠有限的样 本观测资料去估计总体统计参数或总体的分布规律。

必须指出的是，由于水文现象一般无固定周期性，所谓百年一 遇洪水是指大于或等于该频率的洪水在长时期内平均 100 年发 生一次，而不能理解为恰好每隔 100 年遇上一次。对于具体的 100 年来说，超过或等于这样的洪水可能有几次，也可能一次 也不会出现。长江98大洪水以及99大洪水就是实例。 2018/3/26 18
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一、概率中的几个基本概念
概率与频率的区别与联系 区别： 概率为理论值，频率为经验值 联系：当n趋于无穷大时，频率稳定并趋于概率，水文 上用频率代替概率。
lim W ( A) P ( A)
n
对于水文现象，所有可能的取值无法获取，只能采用有 限的多年实测水文资料组成样本系列，推求频率作为概率的 近似值。
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一、概率中的几个基本概念
总体、样本、样本容量

总体：随机变量所有可能取值的全体，分有限总体和无限总体。成因 相同、相互独立的同一水文变量的集合。有限总体：检验某厂生产的1 万个产品的质量，不必全部检验，而抽取一种一部分检验就可以了。 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 样本容量：样本中所含随机变量的项数。
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3 变差系数Cv

Cv 值对密度曲线的影响
变差系数越大，系列越离散；反之，则越集中
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4 偏态系数CS

含义：反映随机变量系列在均值两侧分布不对称程度。 n 计算公式： 3
Cs
(x
i 1
i
x)
n 3 3
xA
xB
Cs A ＜ Cs B

常用统计参数类型：主要有均值、均方差、变差系数、偏态系数
2018/3/26 此处只介绍样本统计参数。 28

1 均值

含义：反映随机变量系列平均水平的高低。 计算公式 设某水文变量的观测系列（样本）为x1，x2，…… ,xn ，则其 均值计算公式为 :
x1 x2 xn 1 n x xi n n i 1
P（X<x）=1- P（X≥x）

P(x+△x>X≥x)= P（X≥x） - P（X≥x+ △ x）

水文统计中通常研究X≥x 的概率及其分布。
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二 随机变量的概率分布
（2）连续型随机变量的概率分布

随机变量概率分布函数: 随机变量X的取值大于或等于某数 值x的概率即P（X≥x）为x的函数，水文上称P（X≥x）为随 机变量X的概率分布函数，即为F(x)，它代表X的取值大于 等于某一取值x的概率。
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二 随机变量的概率分布
（1）离散型随机变量的概率分布

离散型随机变量的概率分布一般用分布列表示
X
P(X=xi)
x1
p1
x2
p2
……
……
xi
pi
……
……

概率满足下列两个条件： ① pn≥0 ②∑pn =1
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二 随机变量的概率分布
（2）连续型随机变量的概率分布

对连续性随机变量而言，由于其可能取值为无限，而 取个别值的概率趋于零，因而无法研究个别值的概率 ，只能研究某个区间的概率：X≥x，X≤x或a<X<b 一般研究随机变量 X的取值大于或等于某一个取值 x的 概率，即研究X≥x的概率，表示为P（X≥x）；




将从水文随机现象长期观测资料中统计出来的规律称为 水文统计规律。 2018/3/26 4
二 水文统计定义及其研究对象

定义 利用概率论与数理统计的理论和方法，研究和分析水文随机现象的 统计变化规律的科学称为水文统计。

研究对象
水文统计主要研究对象为各种水文特征值，如年洪峰流量、年径流 量、各种雨量、泥沙、水位等。 工程水文计算中运用数理统计方法来解决一些实际工程问题。例如 ，在某流域上设计一个水库，为了保障水库的防洪安全，就必须了解水 库运营期间可能发生的最大洪水。水库运营期一般在100年以上，要预 测这么长时间内可能发生的最大洪水，又由于影响洪水大小的因素众多 ，难以基于必然现象的规律，应用成因方法对径流做出这样长期的时序 定量预报，因而只能基于统计规律，运用数理统计方法对径流做出概率 预估，估计出在水库运营期内可能出现的洪水（概率意义上预测），作 为水库防洪安全设计的重要依据。


水文现象属无限总体，因为其个体沿时程变化的数量应包括过去、现 在和将来的所有情况。不可能完全找到总体，只能将已观测到的水文 资料作为总体的一个随机样本，如果样本容量足够大的话，利用数理 统计方法分析得到的随机样本的统计规律性才能比较准确的反映总体 的近似情况，
区域年径流量的总体属于无限总体，其总体是自古至今乃至将来极其 长远岁月的每一年的径流总量。