欧拉方程与纳维-斯托克斯方程
计算流体力学的发展过程
计算流体力学的发展过程计算流体力学是一种利用计算机解决流体力学问题的方法，可以模拟各种流体动力学现象，如流体的流动、湍流等。
它在现代工业、航空航天、环境保护等领域有着广泛的应用，是现代科技取得的重要成果之一。
本文将从历史和技术两个方面，探讨计算流体力学的发展过程。
一、历史1.早期研究计算流体力学的起源可以追溯到20世纪40年代，当时美国哈佛大学的约翰·冯·诺伊曼等人开始使用电子计算机来解决气体动力学问题。
他们开发出了一种名为“脉动方程”的方法，可以解决流体运动的基本方程。
这标志着计算流体力学的诞生。
2.有限差分方法20世纪50年代至60年代，人们开始使用有限差分方法来解决流体力学问题。
有限差分方法将连续的时间和空间离散化，将偏微分方程转化为代数方程，然后使用计算机求解。
有限差分方法的优点是简单易懂，计算速度快，但它也存在精度较低、稳定性差等问题。
3.有限体积方法20世纪70年代后期至80年代初，有限体积方法逐渐成为主流。
有限体积方法使用小区域的平均值代替整个区域的实际值，从而保证了守恒定律的严格符合。
此外，有限体积方法还能很好地处理边界条件和复杂流动情况，因此得到了广泛应用。
4.计算能力的提高20世纪90年代至今，随着计算机计算能力的提高，计算流体力学的应用范围越来越广泛。
基于计算流体力学的仿真技术已经应用于汽车、航空航天、电子、环保等行业和领域。
人们正在不断发掘计算流体力学在这些领域的潜力。
二、技术1.数值格式计算流体力学的数值格式是计算流体力学算法的核心。
主要分为欧拉方程和纳维-斯托克斯方程两种类型。
欧拉方程适用于高速稀薄气体流动，而纳维-斯托克斯方程适用于低速流动和液体流动。
在实际运用中，人们还可以根据具体需求制定相应的数值格式。
2.求解器计算流体力学的求解器是模拟流体力学问题并求解数学模型的软件程序。
求解器的性能直接影响到计算的精度和速度。
目前求解器的种类已经非常丰富，包括商业求解器和开源求解器，如ANSYS、FLUENT、OpenFOAM等。
第二章 动量传输基本方程.
2.1 流体运动的描述
研究方法－－（2）欧拉法 欧拉法以流场中某一空间点作研究对象，分析该点 以及该点与其他点之间物理量随时间的变化过程来研究 流体运动情况的。因此，凡是表征流体运动特征的物理 量都可表示为时间 τ 和空间x、y、z的函数。 z着眼点不是流体质点，而是空间点，设法在流体空间的 每一个点上，描述出流体运动随时间变化的状况。 z每一空间点的运动 整个流场的运动状况。 z以速度作为描述流体在空间变化的变量，研究流体速度 在空间的分布。 z欧拉法把流体视为连续介质，用场论的方法研究流体流 动，是一套最重要的研究方案。我们将采用它来研究动 量传输。
第二章 动量传输的基本方程
2.1 流体运动的描述 2.2 连续性方程 2.3 理想流体动量传输微分方程－欧拉方程 2.4 实际流体动量传输方程－纳维尔-斯托克斯方程 2.5 柏努利方程 2.6 柏努利方程的应用 小结
2.1 流体运动的描述
引入场的概念——物理量在空间的分布 流场的概念
流场是指充满运动流体的空间。运动参数表 示流体运动特征的所有物理量，如速度、密度、 压力、粘性力等。流体动力学研究流体质点的运 动参数随时间及空间位置变化的规律。
v v ′(M ′,τ + Δτ ) v v (M , τ )
M′
v ∂v ∂τ
)+
Δτ → 0
M
lim v (M ′ , τ
v dv v (M , τ + Δ τ ) − v (M , τ = lim Δτ dτ Δτ → 0
) − v (M , τ )
Δτ
v v MM ′ v (M ′, τ ) − v (M , τ ) ∂v (M , τ ) v lim lim = Δτ → 0 Δτ MM ′ → 0 ∂S MM ′
流体力学中三个主要力学模型
流体力学中三个主要力学模型流体力学是研究流体运动的一门学科，涉及到物理学、数学、工程学等多个领域。
在流体力学中，有三个主要的力学模型，分别是欧拉方程、纳维-斯托克斯方程和边界层方程。
这三个模型在不同的情况下有不同的应用，下面将分别介绍它们的基本原理和应用。
一、欧拉方程欧拉方程是描述流体运动的最基本的方程之一，它是由欧拉在1755年提出的。
欧拉方程是基于质点运动的牛顿第二定律得出的，它描述了流体在不受外力作用时的运动状态。
欧拉方程的基本形式如下：ρ/t + ·(ρu) = 0ρ(dv/dt) = -p其中，ρ是流体的密度，t是时间，u是流体的速度，p是压力，v是速度的随时间的变化率，是向量微分算子。
欧拉方程的应用范围很广，可以用来描述各种不可压缩流体的运动，例如水、油、气体等。
欧拉方程可以用来研究流体的基本运动规律，如速度分布、压力分布等。
欧拉方程还可以用来研究流体的力学性质，如流体的动量、能量守恒等。
二、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的另一个重要方程，它是由纳维和斯托克斯在19世纪提出的。
纳维-斯托克斯方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在受外力作用时的运动状态。
纳维-斯托克斯方程的基本形式如下：ρ(dv/dt) = -p + μ^2v + f·v = 0其中，μ是流体的动力粘度，f是体积力，如重力、电磁力等。
纳维-斯托克斯方程适用于各种流体的运动，包括不可压缩流体和可压缩流体。
它可以用来研究流体的运动规律、流体的力学性质和流体的稳定性等问题。
纳维-斯托克斯方程还可以用来模拟流体在各种工程应用中的运动，如飞机、汽车、船舶等。
三、边界层方程边界层方程是描述流体在边界层内的运动的方程，它是由普拉特在1904年提出的。
边界层是指流体与固体表面接触的区域，它的厚度很小，但是流体的速度和压力在这个区域内发生了显著的变化。
边界层方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在边界层内的运动状态。
流体动力学的理论与仿真技术
流体动力学的理论与仿真技术流体动力学是关于流体运动及其相关现象的研究学科，包括流体运动的基本原理、流体力学基础方程、流体现象数值计算方法等等。
随着计算机技术的不断发展，流体动力学仿真技术在航空航天、汽车工程、建筑工程等领域得到了广泛应用，并取得了一系列重要的成果。
流体动力学的理论基础包括流体力学基本定律、描述流体运动的方程、流体的动力学及其它方面的基础理论。
其中，描述流体运动的方程主要包括纳维-斯托克斯方程、欧拉方程和约化模式方程等。
纳维-斯托克斯方程是描述流体运动中黏性效应的方程，欧拉方程则是不考虑黏性效应的流体动力学基本方程。
约化模式方程则是对复杂流动过程提出的数学模型，如湍流模型、多相流模型等。
流体动力学的仿真技术是基于流体动力学基本方程的数值解法，通过计算机模拟流体运动的过程来研究复杂的流动现象。
仿真技术主要分为两类：基于拉格朗日方法的方法和基于欧拉方法的方法。
拉格朗日方法是一种追踪流体粒子的方法，它描述流体粒子的运动轨迹，并通过计算流体中的粒子相互作用来描述整个流体的运动状态。
欧拉方法是将控制体的流动转换成空间网格上的数值求解问题，因此欧拉方法适用于复杂流动领域。
除此之外，还有一种基于拉格朗日和欧拉方法的耦合模拟方法，它将两种方法的优点相结合，可以减少误差，提高仿真精度。
流体动力学仿真技术在航空航天领域得到了广泛应用。
在气动力学研究中，仿真技术可以帮助工程师进行机翼、机身、发动机进气口等部件的设计优化。
另外，在飞行器的研制过程中，仿真技术也可以通过计算燃烧室内的流场特性来确定发动机的工作性能，提高发动机的整体性能。
在汽车工程方面，流体动力学仿真技术可以帮助汽车设计师优化汽车的空气动力学特性，减少风阻并提高燃油效率。
通过计算汽车外壳表面的湍流势能和压力，可以完善车身形状、缩短车身长度、减轻车重和降低制动系统的发生概率。
在建筑工程方面，流体动力学仿真技术可分为建筑内部流动和外界流动。
前者可以用于设计通风系统、空气调节和火灾逃生通道等，后者可以用于研究建筑物的耐久性、抗风能力和结构强度等方面。
流体知识点总结
流体知识点总结一、流体的基本性质1. 流体的定义和分类流体是指物质的一种状态，不固定的形状和体积，能够流动。
根据流体的粘性和压缩性，流体可分为理想流体和真实流体两大类。
理想流体是一种没有黏性和压缩性的流体，其运动规律可以用欧拉方程描述，而真实流体具有一定的粘性和压缩性，其运动规律则需用纳维-斯托克斯方程描述。
2. 流体的密度和压强流体的密度是指单位体积内的质量，通常用ρ表示。
流体的压强是指单位面积上的力，通常用p表示。
密度和压强是描述流体基本性质的重要参数，它们与流体的运动和压力有着密切的关系。
3. 流体的黏性和运动流体的黏性是指其内部分子间存在的摩擦力，使得流体在运动时具有阻力。
黏性是影响流体流动的一个重要因素，它使得流体在流动时会出现一些特有的现象，如粘滞流动、湍流等。
流体的运动规律受到黏性的影响，需要用纳维-斯托克斯方程来描述。
二、流体静力学1. 流场及其描述流场是指流体中任意空间中各点速度和密度的分布状态，可以分为定常流场和非定常流场。
描述流场的方法通常有拉格朗日描述和欧拉描述两种。
2. 流体的静力学平衡流体的静力学平衡是指在无外力作用时，流体处于静止状态的平衡规律。
根据流体受力的性质，静力学平衡可以分为流体的静平衡、压强平衡和重力平衡。
3. 流场的描述方法欧拉描述和拉格朗日描述是流体静力学研究的两种基本方法。
欧拉描述是以空间任意一点作为参照系来描述流体状态和运动规律，而拉格朗日描述则是以流体质点为参照系来描述流体运动。
三、流体动力学1. 流体的运动规律根据流体的运动性质，流体运动可以分为层流和湍流两种。
层流是指流体在运动中，各层流体分层并按某种规律运动的现象，而湍流则指流体在运动中乱七八糟、无规律的运动现象。
2. 流体的动能和动量流体的动能是指流体由于运动而具有的能量，通常用K表示，而流体的动量则是指流体在运动中具有的动能量，通常用L表示。
动能和动量是描述流体动力学运动规律的关键参数，与流体的流速、流量、压力等有着密切的关系。
改变世界的17个方程
改变世界的17个方程1. E=mc^2 (爱因斯坦的质能方程，改变了人们对能量和物质的理解)2. F=ma (牛顿的第二定律，描述了物体运动的力学关系)3. G=6.67430 × 10^-11 N(m/kg)^2 (引力常数，描述了万有引力的强度)4. PV=nRT (理想气体状态方程，描述了气体的压力、体积和温度之间的关系)5. Schrödinger equation (薛定谔方程，描述了量子力学中粒子的行为)6. Maxwell's equations (麦克斯韦方程组，描述了电磁场的行为)7. Navier-Stokes equations (纳维-斯托克斯方程，描述了流体的运动)8. Black-Scholes equation (布莱克-斯科尔斯方程，描述了金融市场中期权的定价)9. General relativity equation (广义相对论方程，描述了引力的弯曲时空)10. Logistic growth equation (Logistic增长方程，描述了生物种群的增长模式)11. Wave equation (波动方程，描述了波的传播)12. Heat equation (热传导方程，描述了热的传播)13. Bernoulli's equation (伯努利方程，描述了流体在不同高度下的压力和速度之间的关系)14. Euler's equation (欧拉方程，描述了理想流体的流动)15. Drake equation (德雷克方程，用于估算外星文明的存在概率)16. Lorenz equations (洛伦兹方程，描述了混沌系统的行为)17. Schrödinger-Poisson equation (薛定谔-泊松方程，描述了半导体中电子的行为)。
流体力学在水利工程中的应用
流体力学在水利工程中的应用流体力学是研究流体运动规律和性质的科学，它在水利工程中具有重要的应用价值。
水利工程是指利用水资源进行水利设施建设和水资源管理的工程领域。
流体力学在水利工程中的应用，既可以用于理论分析和计算，也可以用于实际工程设计和施工。
一、流体力学在水利工程中的理论分析和计算通过对流体运动规律和性质的研究，流体力学为水利工程提供了重要的理论依据和计算方法。
在水力学中，流体力学的基本方程是欧拉方程和纳维-斯托克斯方程，这些方程可以描述流体在管道、渠道、水泵等流动过程中的运动和力学性质。
通过对这些方程的求解和计算，可以预测水力工程中的水流速度、液位高度、水压等参数，为水利工程的设计和施工打下基础。
二、流体力学在水利工程设计中的应用流体力学在水利工程设计中发挥着重要的作用。
比如，在水电站的设计中，需要计算水流通过水轮机的功率和效率。
通过应用流体力学的知识，可以对水流的流速、流量和压力进行计算和分析，从而确定水轮机的设计参数，提高水电站的发电效率。
此外，在渠道的设计中，流体力学可以用来确定渠道的横断面形状、水流速度和水位高度等参数，以保证渠道的正常运行和水流的稳定。
三、流体力学在水利工程施工中的应用流体力学也被广泛应用于水利工程的施工过程中。
在施工过程中，需要进行水流的排泄和控制，以确保施工安全和水流的合理利用。
通过应用流体力学的原理，可以对水流的流速和流涌力进行计算和模拟，从而确定合适的排水和控水措施。
比如，在大型水坝的施工中，可以利用流体力学的知识，进行水流的调控和测量，以确保施工过程的顺利进行。
四、流体力学在水利工程管理中的应用流体力学在水利工程管理中也发挥着重要的作用。
在水库的管理中，需要对水流的流量、位移和压力进行预测和控制。
通过应用流体力学的方法，可以对水库的水位变化和水流的波动进行模拟和预测，从而制定合理的水库调度方案，保证水库的正常运行和水资源的合理利用。
此外，在水资源管理中，流体力学也可以用于对水流的输送和分配进行优化和控制，提高水资源的利用效率和管理水平。
流体力学计算公式
流体力学计算公式流体力学是研究流体的运动规律和性质的一门学科，广泛应用于工程和科学领域中。
在流体力学的研究过程中，有许多重要的计算公式和方程被提出和应用。
下面是一些重要的流体力学计算公式。
1.压力力学方程:压力力学方程是描述流体力学中流体静压力分布和变化的方程。
对于稳定的欧拉流体，方程为:∇P=-ρ∇φ其中，P是压力，ρ是流体的密度，φ是流体的势函数。
2.欧拉方程:欧拉方程用于描述流体的运动,它是流体运动的基本方程之一:∂v/∂t+v·∇v=-1/ρ∇P+g其中，v是流体的速度，P是压力，ρ是流体的密度，g是重力加速度。
3.奇异体流动方程:奇异体流动是流体与孤立涡流动的一种类型，其方程为:D(D/u)/Dt=0其中，D/Dt是对时间的全导数，u是速度向量。
4.麦克斯韦方程:5.纳维-斯托克斯方程:纳维-斯托克斯方程是描述流体的动力学行为的方程，它是流体力学中最重要的方程之一:∂v/∂t+v·∇v=-1/ρ∇P+μ∇²v其中，v是速度矢量，P是压力，ρ是密度，μ是动力黏度。
6.贝努利方程:贝努利方程描述了在不可压缩流体中流体静力学的变化。
贝努利方程给出了伯努利定律，即沿着一条流线上的速度增加，压力将降低，反之亦然。
贝努利方程的公式为:P + 1/2ρv^2 + ρgh = const.其中，P是压力，ρ是密度，v是流体速度，g是重力加速度，h是流体高度。
7.流量方程:流量方程用于描述流体在管道或通道中的流动。
Q=A·v其中，Q是流量，A是截面积，v是流速。
8.弗朗脱方程:弗朗脱方程是描述管道中流体流动的方程，其中考虑了摩擦阻力的影响:hL=f(L/D)(v^2/2g)其中，hL是管道摩擦阻力头损失，f是阻力系数，L是管道长度，D 是管道直径，v是流速，g是重力加速度。
以上是一些重要的流体力学计算公式。
这些公式和方程在流体力学中具有广泛的应用，是工程和科学领域中进行流体流动分析和计算的基础。
纳维-斯托克斯方程ying
纳维-斯托克斯方程ying
亨纳维-斯托克斯方程（Henon–Heiles equation）是一个双维非线性欧拉方程，表示一个无质量的点以角速度和角位移两个自由度移动的系统。
它是1964年由普林斯顿数学家Michel Hénon和物理学家Curtis Heiles共同发现的。
当表示为位势函数V(x,y)或动能函数E(x,y,v_x,v_y)时，亨纳维-斯托克斯方程可以写成：
V(x,y)=1/2(x^2+y^2)+αx^2y-βy^3
E(x,y,v_x,v_y)=1/2(v_x^2+v_y^2)+V(x,y)
它的衍生方程也常被用来研究非线性动力系统，如通道流动、电路、激光系统、行星系统和声学系统。
关于亨纳维-斯托克斯方程的有趣特性是它有很多稀疏的谱线，可以用来推测它的行为特性，甚至可以证明它具有奇特的数学性质。
;。
《流体力学》第六章_粘性流体绕物体的流动
第四节 平面层流边界层的微分方程
❖ 在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、 速度与温度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为 一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。 在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量 力，则流动的控制方程N-S方程为：
vx
vx x
◆空间流动三维问题，N—S方程及其求解 ◆扰流阻力及其计算 ◆附面层的问题
第一节 不可压缩粘性流体的运动微分方程
以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为 如下的矢量形式：
DV F P
Dt
(8-1)
这里 ：
DV V V V
Dt t
(8-2)
是流体微团的加速度，微分符号：
D Dt
t
V
p 2
vr r
p
3
2 r0
cos
( ) r, rr0
(1 vr r
v0 r
v ) v
r
r
3
sin
2 r0
（8-25）
对上述两式积分，可分别得到作用在球面上的压强和切应力 的合力。将这两个合力在流动方向的分量相加，可得到流体 作用在圆球上的阻力为：
FD 6 r0 3 d
2vy z 2
)
p z
(2vz
x 2
2vz y 2
2vz z 2
)
（8－18）
一、蠕动流动的微分方程
●如果流动是不可压缩流体，则连续性方程为：
vx v y vz 0 x y z
（8－19）
将式（8－18）依次求
2 x
p
2
、
2 y
p
2
、 2
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欧拉方程与纳维-斯托克斯方程
一发展历史
以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流；它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。
这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。
用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实际上，只有最简单的情况才能用上述方法解答，而它们的确切答案是已知的。
这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。
一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。
二表达式
1纳维-斯托克斯方程
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u x z u y u x
u x p
X D Du z y x x x x x μμρθρ31222222 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u y z u y u x u y p
Y D Du z y x y y y y
μμρθρ31222222 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u y z u y u x u z p Z D Du z y x y y y z μμρθρ31222222 2欧拉方程
欧拉方程就是纳维－斯托克斯方程的0=μ时的特殊形式。
)61(a x
p
X D Du x -∂∂-=ρθρ
)61(b y
p
Y D Du y -∂∂-
=ρθ
ρ
)61(c z
p
Z D Du z -∂∂-=ρθρ
三 推倒、证明
由应力表示的黏性流体的运动方程
剪应力
法向应力
)31(322)31(322)
31(322c z u y u x u z u p b z u y u x u y u p a z u y u x u x u p z y x
z zz
z y x
y yy z y x
x xx -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+-=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+-=μμτμμτμμτ 牛顿粘性运动方程
)41(a z
y x X D Du zx
yx xx x -∂∂+∂∂+∂∂+=τττρθρ
)41(b z
y
x
Y D Du zy yy xy y -∂∂+
∂∂+
∂∂+
=τττρθ
ρ
)41(c z
y x X D Du zz yz xz x -∂∂+∂∂+∂∂+=τττρθρ
将剪应力和法向应力代入牛顿粘性运动方程得纳维－斯托克斯方程
x 分量
)51(31222222a z u y u x u x z u y u x u x p
X D Du z y x x x x x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ y 分量
)51(31222222b z u y u x u y z u y u x u y p
Y D Du z y x y y y y
-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ z 分量
)51(31222222c z u y u x u y z u y u x u z p
Z D Du z y x y y y z -⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ 以上即是纳维－斯托克斯方程。
欧拉方程
欧拉方程就是纳维－斯托克斯方程的0=μ时的特殊形式。
x 分量
)61(a x
p
X D Du x -∂∂-=ρθρ
y 分量
)61(b y
p
Y D Du y -∂∂-
=ρθ
ρ
z 分量
)61(c z
p
Z D Du z -∂∂-=ρθρ
以上即是欧拉方程。