一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案解析
一、选择题
1、设、是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，则（）A． B． C． D．
2、下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）
Ａ．只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④
3、若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（）
A．有最大值 B．有最大值－ C．有最小值 D．有最小值－
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：
①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
5、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（）
A．1 B．12 C．13 D．25
二、填空题
6、设、是方程的两根，则代数式= 。
7、已知关于一元二次方程有一根是，则。
三、计算题
8、已知：关于的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求另一个根及值．
9、解方程：
四、综合题
10、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求
的值.
11、如图：抛物线与轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式。
12、已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4.
（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数.
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且+=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式.
13、如图，已知点，直线交轴于点，交轴于点
（1）求对称轴平行于轴，且过三点的抛物线解析式；（2）若直线平分∠ABC，求直线的解析式；
（3）若直线产（>0）交（1）中抛物线于两点，问：
为何值时，以为边的正方形的面积为
9？
14、如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结，是线段上一动点，以为一边向右侧作正方形，连结，交于点．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）求证：；
（3）连结，记的面积为，的面积为，若，试探究的最小值．
15、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3．
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)求△ABD的面积；
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
五、简答题
16、已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边的长是．
(1)为何值时，是以为斜边的直角三角形；
(2)为何值时，是等腰三角形，并求的周长
17、已知关于的一元二次方程：．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．
18、已知抛物线y = ax 2－x + c 经过点Q （－2，
），且它的顶点P 的横坐标为－1．设抛物线与x 轴相交于A 、B
两点，如图．
（1
）求抛物线的解析式；
（2）求A 、B 两点的坐标；
（3）设PB 于y 轴交于C 点，求△ABC 的面积．
19、如图，已知抛物线的顶点为A （1，4）、抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C 、D 两点
. 点P 是x 轴上的一个动点.
（1）求此抛物线的解析式.
（2）当PA+PB 的值最小时，求点P 的坐标．
二次函数试题及答案
2009年中考试题专题之13-二次函数试题及答案 一、选择题 1、向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。 2、在平面直角坐标系中，将二次函数2 2x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 A ．222-=x y B ．222 +=x y C ．2)2(2-=x y D ．2 )2(2+=x y 3、抛物线3)2(2 +-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 5、二次函数2 (1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ． 23 6、抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ， B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n --， 7、根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（ ） x … －1 0 1 2 … y … －1 47- －2 4 7 - … A ．只有一个交点 B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D ．无交点 8、二次函数2 365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-，
9、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 10、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2 -x-2 B 、y=12 1 212++-x C 、y=12 1 212+--x x D 、y=22++-x x 11、已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 则下列结论：0ac >①；②方程2 0ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ） A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 A ． B ． C ． D ．
二次函数选择题(含答案)
2008年全国中考数学试题分类精编 二次函数专题一、选择题 1.（2008资阳市） 在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2 不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) A ．y ＝2(x －2)2 + 2 B ．y ＝2(x + 2)2 －2 C ．y ＝2(x －2)2－2 D ．y ＝2(x + 2)2 + 2 2.（2008四川达州市）已知二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，当0y <时， x 的取值范围是（ ） A ．13x -<< B ．3x > C ．1x <- D ．3x >或1x <- 3．（2008泰州市）二次函数 342++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移而得 到，下列平移正确的是( ) A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 4．（2008山西省）抛物线 5422---=x x y 经过平移得到22x y -=，平移方法是( ) A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 5．（2008年陕西省）已知二次函数 2y ax bx c =++（其中000a b c >><，，）， 关于这个二次函数的图象有如下说法： ①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6、（2008年吉林省长春市）抛物线 ()2 23y x =++的顶点坐标是 【 】 A.（－2，3） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（2，－3） 7、（2008年吉林省长春市）二次函数 362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是【 】 A ．3 二次函数解析式的确定2 〈一〉三点式。 1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点， 求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。 1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。 1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21 a(x-2a)(x-b)的解析式。 〈四〉定点式。 1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ， 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3，抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。 〈五〉平移式。 1，把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。 2，抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 〈六〉距离式。 1，抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物 线的解析式。 〈七〉对称轴式。 1、抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2 倍，求抛物线的解析式。 2、已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且OB-OA=4 3OC ，求此抛物线的解析式。 〈八〉对称式。 1，平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于E ，将 三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2，求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。 1. 2. 3. 4. 5. 6. 、选择题: 二次函数 抛物线y =(x-2)2 3的对称轴是( A.直线x = —3 B.直线x =3 二次函数y 二ax 2 在( ) A.第一象限 C.第三象限 已知二次函数 则一定有( 2 A. b —4ac 0 bx c 的图象如右图，则点 = ax 2 把抛物线y =x 2 ? bx B.第二象限 D.第四象限 C. M bx c ，且 a ::: 0，a -b c .0， 2 B. b -4ac =0 C. b 2 -4ac ：： 2 D. b —4ac < 0 c 向右平移3个单位，再向下平移 2个单位，所得图象的解析式是 2 y =x -3x 5，则有( A. b = 3 , c -1 C. b =3 , c =3 B. b = -9 , c = -15 D. b = —9 , c =21 下面所示各图是在同 一直 角 坐标 系内，二次 函数y 二ax 2 (a c)x c 与一次 函数 k 已知反比例函数y 的图象如右图所示，则二 x y =ax c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是( 11. 已知抛物线y =ax2 bx c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx 0的根的 情况是_______________________ 12. __________________________________________________________________ 已知抛物线 y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c= _______________________________ 13. 请你写出函数y=（x+1）2与y=x2+1具有的一个共同性质：_____________________ . 14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线x =4 ； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函 数的解析式：________________________. A.x 二-2 B. x =2 C. 8. 二 欠 函 1 数y :=(x -1)2'2的最小值是（) A.-2 B. 2 C. D. 1 9. - 二- 次函数y =ax2bx c的图象如图所 M=4 a 2b c N = a —b c , P = 4a-b ,则（ A.M0 , N 0, P 0 B.M<0 ,N 0, P 0 C.M0, N ：： 0, P 0 D.M0 , N 0, P ：：：0 、 填空题: 7.抛物线y=x2 -2x 3的对称轴是直线（ ）x = —1 D. x =1 10.将二次函数y =x2 -2x 3配方成y =(x -h)2? k的形式，则y= ____________________ 二次函数解析式的8种求法 河北 高顺利 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次． 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1 由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ． 二、开放型 此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ． 分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2 中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一） 三、平移型： 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变． 例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由22 1χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的． 解： 253212++= χχy = ()232 12-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的． 这两类题目多出现在选择题或是填空题目中 四、一般式 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2 ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值； 五、顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数； 六、两根式 已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，， ，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值． 例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式： 1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5） 2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5） 3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－ 29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得： 40542a b c a b c a b c -=++??=-+??=-+? 解得：?? ???-=-==321c b a 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 二次函数解析式的确定教案 0.3二次函数解析式的确定 一.知识要点 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式求 解析式。 若已知二次函数图象的顶点坐标，则应用顶点式，其中为顶点坐标。 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标 二.重点、难点： 重点：求二次函数的函数关系式 难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。 三.教学建议： 求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。 典型例题 例1.已知某二次函数的图象经过点A，B，c三点，求其函数关系式。 分析：设，其图象经过点c，可得，再由另外两点建立 关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。 解：设所求二次函数的解析式为 因为图象过点c,「? 又因为图象经过点A, B,故可得到： ???所求二次函数的解析式为 说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由c可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。 例2.已知二次函数的图象的顶点为，且经过点 求该二次函数的函数关系式。 分析：由已知顶点为，故可设，再由点确定a的值即可解：，则 ???图象过点， 即: 说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标，一般设，再根据其他条件确定a的值。本题虽然已知条件中已设，但我们可以不用这种形式而另设这种形式。因为在这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。 二次函数选择题难点大全 1．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： 从上表可知，下列说法中，错误的是（） A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 2．已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（） A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0． 其中所有正确结论的序号是（） A．③④B．②③C．①④D．①②③ 4．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b ＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，其对称轴为直线x=﹣1，给出下列结果： （1）b2＞4ac；（2）abc＞0；（3）2a+b=0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＜0． 则正确的结论是（） A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（4）（5）C．（2）（3）（4）D．（1）（4）（5）6．如图：二次函数y=ax2+bx+c的图象所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b=0； ③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2，正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论： ①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac， 《二次函数解析式的确定》说课稿 王焕义 尊敬的各位、老师： 大家好！很高兴能有这样一个机会与大家一起学习、交流，希望大家多多指教！今天，我说课的课题是《专题复习之二次函数解析式的确定》 教材分析：求函数解析式是初中数学主要内容之一，求二次函数的解析式也是联系高中数学的重要纽带。求函数的解析式，应恰当地选用函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。在新课标里求函数解析式也是中考的必考内容 通过教学，让学生掌握：（1）已知图象上任意三点坐标的二次函数解析式；（2）已知图象的顶点和另一点的坐标的二次函数解析式；（3）已知图象与x轴的两个交点和另一点的坐标的二次函数解析式；（4）会通过对简单现实情境的分析，确定二次函数的解析式。 教学目标： 能根据具体情况确定二次函数的解析式，在学习过程中发展学生的转化、化归思维方式。 教学重点难点 重点：求二次函数的函数关系式 难点：如何选择合理的求函数解析式的方法。 4、突破重难点办法： 通过做题总结归纳待定系数法、顶点式适用的题目 二、学生分析（说学情） 从认知状况来说，学生在此之前已经学习了用待定系数法确定一次函数的关系式，对求函数解析式已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于顶点式和两根式，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。 三、教法分析（说教法） 本节课主要采用师生合作的学习方式，引导学生运用类比的方式，动手解决问题。 四、教学设计（说过程） 一、导入 1、本节课一起来学习二次函数解析式的确定。二次函数的确定是历年中考的一个重要考点，更 是有些二次函数的中考压轴题后续问题得以解决的先决条件，因此，希望通过这节课的学习，每个同学都能熟练的掌握确定二次函数解析式的方法。 二、自主学习，探究新知 （一）二次函数解析式常见的几种形式 1. 二次函数解析式常见的形式有哪些？各自有何特点？一般式，顶点式，交点式， 2、每种解析式各有几个待定系数，各需几个条件？ 设计意图：通过表格回顾二次函数表示方法，为探究如何确定函数解析式服务。 (二) 典例分析 例题： 已知一个二次函数的图像经过A（-1,0）B（3,0）C（1，-4）三点，求此二次函数的解析式。 （1）学生自主完成并集体交流。 （2）学生可能有三种设法： 设一般式、设交点式、顶点式。 （3）通过比较分析发现一般式适用面广，但解法较复杂；交点式与两根式解法简单，但需要特 二次函数练习题 一、选择题 1、抛物线 y=12x 2 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. y=12(x+8)2-9 B. y=12(x-8)2+9 C. y=12(x-8)2-9 D. y=12(x+8)2+9 2、二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( ) A ．(－1,8) B ．(1,8) C ．(－1,2) D ．(1，－4) 3、 抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 4、函数y ＝x 2－2x －2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( ) A ．－1≤x ≤3 B ．－1 二次函数解析式的确定（5） 1、已知抛物线y＝ax2经过点A(1，1)．求这个函数的解析式； 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)， 求此二次函数的解析式． 3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点， 求抛物线的解析式． 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象经过（1，3），求函数解析式． 5.已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1． 求a、b、c，并写出函数解析式． 6.已知二次函数为x＝4时有最小值 -3且它的图象与x轴交点的横坐标为1， 求此二次函数解析式． 7．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 8．把抛物线y＝(x－1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 25求二次函数解析式．9．二次函数y＝x2－mx＋m－2的图象的顶点到x轴的距离为, 16 2的最小值为1，求m的值． 10．已知二次函数m - =6 y+ x x 11．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)． (1)求这个函数的解析式； (2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标； (3)求△OAB的面积； 12．若抛物线沿y轴向上平移2个单位后，又沿x?轴向右平移2个单位，得到的抛物线的函数关系式为y=5（x-4）2+3，求原抛物线的函数关系式． 13.已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2+bx－4的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴直线是x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式. 14.直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点,已知点A的横坐标是3,求A、B两点 坐标及抛物线的函数关系式. 二次函数练习题 一、选择题： 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交 x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点， 且-1 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是() A. B. C. D. 二、填空题： 11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________. 12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________. 13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________. 14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的 情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________. 三、解答题： 19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)，(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此二次函数的解析式； 二次函数 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点) ,(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 c bx ax y ++=2，且0+-c b a ， 则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ） x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线（） A. 2 - = x B. 2 = x C. 1 - = x D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是（） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =，b a P- =4，则（） A. 0 > M，0 > N，0 > P B. 0 < M，0 > N，0 > P C. 0 > M，0 < N，0 > P D. 0 < M，0 > N，0 < P 二、填空题： 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成k h x y+ - =2) (的形式，则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点，那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -，则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质：_______________. 14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4 = x； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函 数的解析式：_____________________. 二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9的 顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23 212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4. 再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(2 2 --=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d= a ?就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型 二次函数经典测试题附答案 一、选择题 1．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）． A ．①②④ B ．②③④ C ．③④⑤ D ．①③⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 ①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0； ∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0， 又∵a>0， ∴b<0； 由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c<0， 故abc>0，故②错误； ③结合图象得出x=?1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a?b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2?4ac>0，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12 则2a=?2b ，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故选：C 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件． 2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b + ＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2 22ax bx +， 且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】 解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则- 2b a =1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0； 由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确） ：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误） ⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2 11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1- x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a a a -=-=2 （故⑤正确） 故选D ． 考点：二次函数图像与系数的关系. 3．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 沁乐教育沁心学习乐在其中 2015年秋季九年级数学辅导资料第二讲函数图像性质及应用 学校：姓名： 二次函数的图象与基本性质 （一）、知识点回顾 【知识点一：二次函数的基本性质】 【知识点二：抛物线的图像与a、b、c关系】 （1）a决定抛物线的开口方向：a>0，开口向________ ；a<0，开口向________ （2）c决定抛物线与________的位置：c>0，图像与y轴的交点在___________； c=0，图像与y 轴的交点在___________；c<0，图像与y 轴的交点在___________； （3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：___________； （4）△＝b 2－4ac 决定抛物线与________交点情况： △＝b 2－4ac ?? ? ??<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000 【知识点三：二次函数的平移】 设0,0>>n m ，将二次函数2 ax y =向右平移m 个单位得到___________；向左平移m 个 单位得到___________；向上平移n 个单位得到___________；向下平移n 个单位得到___________。简单总结为___________，___________。 （注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作） 【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ，当0=y 时，即变为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，从图象上来说，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的 交点的横坐标x 的值就是方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根。 【知识点五：二次函数解析式的求法】 （1） 知抛物线三点，可以选用一般式：c bx ax y ++=2，把三点代入表达式列三元一次 方程组求解； （2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：k h x a y +-=2 )(；其中抛 物线顶点是),(k h ； （3） 知抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x 可选用交点式： 二次函数试题 一、选择题 2010.12.20 1、（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2 bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ (A) 第8秒(B) 第10秒(C) 第12秒(D) 第15秒。 2、(2009年陕西省)根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴【】 x…－ 1 012… y…－ 1 － 2 … A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧 C．有两个交点，且它们均在y轴同侧 D．无交点 3、（2009湖北省荆门市）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（） 4、（2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能 ．．是（） A、y=x2-x-2 B、y= C、y= D、y= 5、（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数的图象如图所示，则下列结 论：；方程的两根之和大于0；随的增大而增大； ④，其中正确的个数（） A．4个B．3个C．2个D．1个 6、（2009年深圳市）二次函数的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（） A．B．C．D．不能确定 7、（2009丽水市）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a＞0. ②该函数的图象关于直线对称. ③当时，函数y的值都等于0. 其中正确结论的个数是（） A．3B．2C．1D．0 8、（2009烟台市）二次函数的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）二次函数解析式的确定(10种)
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