2019-2020学年江西省赣州市十五县(市)高二上学期期中考试 数学(理) word版
江西省赣州市十五县（市）2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷(理)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.现要完成下列3项抽样调查：
①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；
②从某社区100户高收人家庭，270户中等收人家庭，80户低收人家庭中选出45户进行消费水平调查；
③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈。
较为合理的抽样方法是
A.①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样
B.①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样
C.①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样
D.①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样
2.圆心为(1，－1)且过原点的圆的一般方程是
A.x2＋y2＋2x－2y＋1＝0
B.x2＋y2－2x＋2y＝0
C.x2＋y2＋2x－2y＝0
D.x2＋y2－2x＋2y＋1＝0
3.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(－1，2)，且a//b，则tanθ的值是
A.－2
B.2 D.
4.直线l经过点(2，1)，且点A(1，1)和B(3，5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为
A.2x－y－3＝0
B.x＝2
C.2x－y－3＝0或x＝2
D.都不对
5.设α，β表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是
A.若m//α，α//β，则m//β
B.若m//α，m//β，则α//β
C.若m⊥α，m⊥β，则α//β
D.若m⊥α，α⊥β，则m//β
6.具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如表所示，y与x的回归直线方程为y＝3x－1.5，则m的值为
A.2.5
B.2
C.1.5
D.1
7.某几何体的三视图如图所示，则几何体最长棱的长度为
C.4 8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16，20，则输出的a ＝
A.0
B.2
C.4
D.6
9.一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中
A.AB//CD
B.AB 与CD 相交
C.AB ⊥CD
D.AB 与CD 所成的角为60°
10.已知三棱锥A －BCD 内接于球O ，AB ⊥平面BCD ，∠BCD 为直角，AB ＝BD ＝2，则球O 的表面积为
A.32π .16π .8π D.4π
11.著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可
M(x ，y)与点N(a ，
b)的距离结合上述观点，可得()f x =
12.过坐标原点O 作圆22
(3)(4)1x y -+-=的两条切线，切点为A ，B ，则弦AB 长度为
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
)
13.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A'C'＝3，B'C'＝2，则AB 边上的中线
的实际长度为__________。
14.已知实数x ，y 满足约束条件60
x y x y ππ+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，则cos(x ＋y)的取值范围为__________。
15.下列四种说法中正确的有__________。
(填序号)
①数据2，2，3，3，4，6，7，3的众数与中位数相等.
②数据1，3，5，7，9的方差是数据2，6，10，14，18的方差的一半。
③一组数据的方差大小反映该组数据的波动性，若方差越大，则波动性越大，方差越小，则波动性越小。
④频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数。
16.已知圆O 为坐标原点，点A 的坐标为(4，2)，点P 为线段OA 垂直平分线上的一点，若∠OPA 为钝角，则点P 横坐标的取值范围是__________。
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤)
17.(本小题满分10分)随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现.某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了200名用户，得到用户的满意度评分(满分10分)，现将评分分为5组，如下表：
(1)求表格中的a ，b ，c 的值；
(2)估计用户的满意度评分的平均数；
(3)若从这名用户中随机抽取人，估计满意度评分高于分的人数为多少
?
18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝CB ＝1，AB
，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点。
(1)证明：CD ⊥A 1E ；(2)求三棱锥D －A 1CE 的体积。
19.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ，为等比数列，且a 1＝2b 1，b 2(a 4－a 3)＝b 1。
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设2log n a n n c b =+，求数列{c n }的前n 项和T n 。
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx (2cos 2x －1)。
(1)若△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，锐角A 满足(
)26
A f π-=，求锐角A 的大小。
(2)在(1)的条件下，若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值。
21.(本小题满分12分)如图，在三棱锥D －ABC 中，已知△BCD 是正三角形，平面BCD ⊥平面ABC ，AB ＝BC ，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF ＝3FC 。
(1)求证：AC ⊥平面DEF ；
(2)若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN//平面DEF?若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由。
22.(本小题满分12分)已知圆C 与圆D ：x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0关于直线l ：x ＋y －2＝0对称。
(1)求圆C 的方程；
(2)过点Q(－1，－1)作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B 两点，若直线QA 、QB 的倾斜角互补，问直线AB 与直线l 是否垂直？请说明理由。
2019-2020学年江西省赣州市十四县(市)高二下学期期中联考数学(文)试题Word版含解析
2019-2020学年江西省赣州市十四县（市）下学期期中联考高二数学（文）试题一、单选题1．设复数21zi=-，则z的共轭复数是（）A.21i+ B. 12i+ C.21i- D. 12i-【答案】D【解析】211212, z i z ii=-=+∴=-Q选D.2．在独立性检验中，统计量2χ有三个临界值：2.706、3.841和6.635，在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1000人，经计算的2χ=18.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 ( )A. 有95%的把握认为两者无关B. 约有95%的打鼾者患心脏病C. 有99%的把握认为两者有关D. 约有99%的打鼾者患心脏病【答案】C【解析】因为统计量2χ有三个临界值：2.706、3.841和6.635，而2χ=18.87>6.635,所以有99%的把握认为两者有关，选C.3．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示变量Y 与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )A. r2<0<r1B. 0<r2<r1C. r2<r1<0D. r2＝r1【答案】A【解析】因为变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；所以Y与X之间的线性相关系数正相关，即10;r>因为U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，所以U与V之间的线性相关系数负相关，即20;r>因此选A.4．用反证法证明命题：“,a b N∈，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A. ,a b都能被5整除B. ,a b都不能被5整除C. ,a b不都能被5整除D. a不能被5整除【答案】B【解析】试题分析：由题为反证法，原命题的结论为：“至少有一个能被5 整除”。
江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷
江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷一、单选题1．已知点()1,0A ，(),B n m ，若直线AB 的斜率为2，则1n m-=（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．如图，若直线1234,,,l l l l 的斜率分别为1234,,,k k k k ，则（ ）A ．k k k k <<<₄₃₂₁B ．k k k k <<<₄₃₁₂C ．k k k k <<<₃₄₂₁D ．k k k k <<<₄₂₃₁3．已知点()()2,0,6,4M N ，则以MN 为直径的圆的方程为（ ） A ．()()224216x y ++-= B ．()()22428x y -++= C ．()()224216x y -+-=D ．()()22428x y -+-=4．已知圆221:463C x y x y ++-=，圆222:2279C x y x y +-+=，则圆1C ，2C 的位置关系为（ ） A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离5．已知点()()()(),1,,2,4,,1,0A m m B m m C m D +-，且直线AB 与直线CD 垂直，则m 的值为（ ） A ．−7或0B ．0或7C ．0D ．76．若圆C 的圆心为()3,1，且被y 轴截得的弦长为8，则圆C 的一般方程为（ ） A ．²²62150x y x y +-+-= B ．²²6270x y x y +-+-= C ．²²62150x y x y +---= D ．²²6270x y x y +---= 7．在ABC V 中，sin sin 2sin B C A +=，已知点()3,0B - ，()3,0C ，设点C 到直线AB 的最大距离为1d ，点A 到直线BC 的最大距离为2d ，则 12d d =（ ） ABCD8．已知F ₁，F ₂分别是椭圆 (2222:10x y E ab a b +=>）的左、右焦点，O 是坐标原点，以F ₁F ₂为直径的圆与E 在第一、二象限交于Q ，P 两点，PF ₂与QF ₁交于点M ，记△PF ₁M 的面积为S △PF ₁M ，△QF ₁F ₂的面积为S △QF ₁F ₂，若， 112:3:8PF M QF F S S =，则E 的离心率为（ ） A ．59BCD ．58二、多选题 9．若直线 1238:1:81520:8155015l y x l x y l x y =-+++=-+=，，则（ ） A ．1l 的截距式方程为 8115x y += B ．//l l ₁₂C ．1l 与2l 之间的距离为1D ．1l 与3l 的倾斜角互补10．已知直线30x -=被圆心在坐标原点的圆O 所截得的弦长为2，则（ ）A ．圆O 的方程是224x y +=B ．直线:370l x y -+=与圆O 相离C ．过点()1,1N 的直线被圆O所截得的弦的长度的最小值是D ．已知点M 是直线:40L x y -+=上的动点，过点M 作圆O 的两条切线，切点为,C D ，则四边形OCMD 面积的最小值是211．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆 (2222:10x y C a b a b+=>>）的左、右焦点分别为 12F F ，，上、下顶点分别为1B ，2B ，左、右顶点分1A ，2A ，1132OP OB =u u u r u u u r ，2232OP OB =u u u r u u ur ，设C 的离心率为e ，则（ ）A ．若1212//B F P A ，则23e =B ．四边形1122F B F B 的面积与C 的面积之比为2πeC ．四边形1122F B F B 的内切圆方程为()222222a ab x y b -+=D ．设条形阴影部分的面积为S 条，点形阴影部分的面积为S 底，则 S S >条底三、填空题12．直线()()4526R x m y m m +-=+∈恒过定点.13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形ABC ，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，若以A ，B 为焦点，且过点C 的椭圆方程为222149x y b+=，则直角三角形ABC 的“勾”“股”之积的最大值为.14．若过点()0,3-与圆 ²²20x y y m +-+=相切的两条直线的夹角为60︒，则 m =四、解答题15．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AC 边上的高BD 所在直线的方程为34200x y +-=，BC 所在直线的方程为20x y -=，点A 的坐标为2,6（）.(1)求直线AC 的方程;(2)求点B 的坐标及直线AB 的方程.16．已知圆C 过()2,4A -，()2,2B --两点，且圆心C 在直线460x y +-=上. (1)求圆C 的方程；(2)过点()7,1P -作圆C 的切线，求切线方程.17．已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，Q 是C上一动点，12QF QF +=12QF F V的周长为 4. (1)求椭圆C 的方程；(2)证明：无论动点Q 在C 上如何运动，212QF QF OQ ⋅+u u u r u u u u r u u u r 恒为一个常数. 18．已知圆 ()()22164:09C x a y a ++=>与圆 ()222249:339C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭相外切.(1)求圆1C 的标准方程；(2)若2n m =-，求的最小值； (3)已知()2,0A -，P 为圆1C 上任意一点，试问在x 轴上是否存在定点B （异于点A ），使得 PA PB为定值? 若存在，求点B 的坐标；若不存在，请说明理由.19．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ ₁C 对应图1，2C 对应图2）.(1)判断椭圆221:143x y C +=与椭圆222:11612x y C +=是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由；(2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；(3)已知椭圆22122:10x y C a b a b+=>>（），椭圆22222:10''x y C a b a b '+>'=>（）的离心率为e '，₁C 与2C 是．“相似椭圆．．．”，且1C 与2C 的相似比为:1k ，若2AF B V 的面积为S ，求''12A F F 'V 的面积（用e '，k ，S 表示）.。
2019-2020学年江西省赣州市十五县(市)高一上学期期中联考数学试题(解析版)
江西省赣州市十五县(市)高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．设集合{}10,1,2,3A =-，，集合{}2,1,0,1,2B =--，则A B =I （ ） A ．{}0,1,2 B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,2-【答案】B【解析】根据交集运算法则，即可求解. 【详解】由题意，{}1,0,1,2A B ⋂=- 故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2．函数lg(3)y x =-的定义域为( )A ．[)2,3-B ．(3,)+∞C ．[]2,3-D ．(,2]-∞-【答案】A【解析】由偶次方根的被开方数大于等于0，对数式的真数大于0联立得到不等式组，求解． 【详解】解：lg(3)y x =-Q2030x x +⎧∴⎨->⎩…，解得23x -<„． ∴函数(3)y lg x =-的定义域为[)2,3-．故选：A ． 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属于基础题． 3．下列各组函数中，表示为同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．1y =与0y x =C ．2(),()ln 2ln f x g x x x ==D ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）【答案】D【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可. 【详解】对于A ，2111x y x x -==+-定义域为{}1x x ≠， 1y x =+定义域为R ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，A 错；对于B ，函数01y x ==，定义域为{}0x x ≠，函数1y =的定义域为R ， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，B 错；对于C ，函数2()ln f x x =定义域为{}0x x ≠，函数()2ln g x x =定义域为()0+∞，，定义域不同不是同一函数；对于D ，log xa y a x ==，（0a >且1a ≠），两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以两个函数表示同一个函数. 故选：D 【点睛】本题考查同一函数的概念，需保证定义域、对应法则一致从而值域也一致，考查概念辨析，属于基础题.4．已知函数2(2)()ln 1(2)x e x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，那么()ln3f 的值是（ ）A ．0B ．1C ．()ln ln 2D ．2【答案】B【解析】根据分段函数概念，2ln3ln 2e <=代入第一段，即可求解 【详解】由题意，2ln3ln 2e <=，ln3(ln 3)21f e ∴=-=故选：B 【点睛】本题考查分段函数概念，属于基础题.5．已知全集U =R ，集合{}13A x x =≤≤，{}24B x x =<≤，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．[1,2](3,4]UB ．[1,2][3,4]UC ．[1,2)(3,4]UD ．(1,2)(3,4]U【答案】A【解析】分析Venn 图，可知阴影部分为()()U UA B B A ⋂⋃⋂痧，再根据集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，分析Venn 图，可知阴影部分为()()U UA B B A ⋂⋃⋂痧，[]1,2U A B ⋂=ð，(]34U B A ⋂=，ð ()()[](]1,23,4UUA B B A ⋂⋃⋂=⋃痧故选：A 【点睛】本题考查集合中Venn 图法，考查数形结合思想，属于基础题6．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()1f -=（ ）A ．-2B ．1C ．-1D ．2【答案】C【解析】利用函数的奇函数，将()1f -转化为()1f 进行求值. 【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以()()11f f -=-，Q 0x ≥时，()22f x x x =-，∴()()()11211f f -=-=--=-.故选：C 【点睛】本题考查奇函数定义，属于基础题.7．为了得到函数ln xy e=的图像，可以把函数ln y x =的图像（ ） A ．向下平移一个单位 B ．向上平移一个单位 C ．向左平移一个单位 D ．向右平移一个单位【答案】A【解析】根据对数运算法则，化简ln =ln 1xy x e=-，根据函数图象的平移法则，即可求解. 【详解】由题意，可知ln=ln 1xy x e=-，根据上加下减， 可以把函数ln y x =的图象向下平移一个单位，得到ln xy e=的图象. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的平移，属于基础题.8．已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（ ） A ．2()1y f x =+ B ．(21)y f x =+ C ．()y f x =- D ．|()|y f x =【答案】B【解析】已知()f x 的定义域和值域，然后可根据各选项所给函数的特点分别分析函数的值域；这里的选项所给的均是常见的平移、伸缩、对称、翻折变换，可从这几个方面入手. 【详解】()f x 的定义域为R ，值域为[1,2]-，即1()2f x -≤≤；∴A ．2()1[1,5]y f x =+∈-，即2()1y f x =+的值域为[1,5]-，∴该选项错误； B ．(21)[1,2]y f x =+∈-，即(21)y f x =+的值域为[1,2]-，∴该选项正确； C ．()[2,1]y f x =-∈-，即()y f x =-的值域为[2,1]-，∴该选项错误； D ．()[0,2]y f x =∈，即|()|y f x =的值域为[0,2]，∴该选项错误．故选B ． 【点睛】函数图象常见的四种变换：平移、伸缩、对称、翻折. 平移：()()y f x y f x A =⇒=+；伸缩：()()y f x y Af x =⇒=或者()y f Ax =；对称：()()y f x y f x =⇒=-（关于x 轴对称）或者()y f x =-（关于y 轴对称）；翻折：()|()|y f x y f x =⇒=（将x 轴下方图象翻折到上方）或者(||)y f x =（将y 轴右边图象翻折到左边）.9．已知幂函数()y f x =的图像过点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()4log 8f 的值为（ ）A ．34B ．34-C ．12D ．12-【答案】A【解析】根据幂函数的定义，求解幂函数解析式，再代入求值. 【详解】由题意，幂函数()y f x =的图像过点12⎛ ⎝⎭，设()f x x α=，代入，则1211==222α⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则1=2α， 12()f x x ∴=1322(8)82f ==()232423log 8=log 24f =故选：A 【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，考查对数运算法则，考查计算能力，属于基础题. 10．设()()f x x R ∈为偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，则()2f -，()f π-，1f e ⎛⎫⎪⎝⎭的大小顺序是（ ） A ．1()(2)f f f e π⎛⎫->>- ⎪⎝⎭B ．1()(2)f f f e π⎛⎫->-> ⎪⎝⎭C ．1()(2)f f f e π⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭D ．1()(2)f f f e π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据偶函数定义，()2(2)f f -=，()=()f f ππ-，比较12eπ，，的大小，即可求解. 【详解】由题意，()()f x x R ∈为偶函数，则()2(2)f f -=，()=()f f ππ-， 且()f x 在[)0,+∞上是增函数，12e π<<Q，1()(2)()f f f eπ∴<< 1()(2)()f f f eπ∴<-<-故选：B 【点睛】利用函数单调性和奇偶性结合，比较函数值的大小，考查转化与化归思想，本题属于基础题.11．集合{(,)|2}P x y y ==，{}(,)|xQ x y y a m ==+（0a >且1a ≠）已知P QI 有两个子集，那么实数m 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】由题意，已知P Q I 有两个子集，则P Q I 中只有1个元素，即2y =与x y a m =+交于一点，转化为方程2x a m +=仅有一根，即20x a m =-+>，即可求解. 【详解】由题意，已知P Q I 有两个子集，则P Q I 中只有1个元素，即2y =与xy a m =+交于一点，令2x a m +=，化简得到2x a m =-+ 方程2x a m =-+有且只有一个根，0x a >Q ，20m ∴-+> 解得2m <，即(),2m ∈-∞ 故选：B 【点睛】由集合交集中的元素个数转化成求解函数交于一点问题，再转化成方程有解问题，本题考查转化与化归思想解题，考查逻辑推理能力，属于中等题型.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数,例如: ,，已知函数,则函数的值域为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】先求的值域，再根据高斯函数的定义求的值域.【详解】的定义域为，，因为，所以，所以的值域为，所以的值域为，故选C.【点睛】函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.（2）利用导数讨论函数的性质，从而得到函数的值域.二、填空题13．集合{|20}M x Z x =∈-≤≤的真子集个数为____________. 【答案】7【解析】由题意，写出集合M ，通过公式21n -计算真子集个数. 【详解】由题意，可知{21,0}M =--，集合中有3个元素，则真子集个数为321=7-个. 故答案为：7 【点睛】本题考查集合中真子集个数的计算方法，属于基础题.14．16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即b a N = ⇔ log a b N =.现在已知23a =， 34b =，则ab =__________. 【答案】2【解析】先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算. 【详解】∵23a =， 34b = ∴2log 3a =， 3log 4b = ∴23ln3ln4ln4log 3log 42ln2ln3ln2ab =⋅=⋅== 故答案为2 【点睛】底数不同的两个对数式进行运算时，有时可以利用换底公式：log log log b b caa c=将其转化为同底数的对数式进行运算.15．若定义域为[]2,4a a -+的函数2()(2)(1)f x a x k x a =-++--是偶函数，则()y f x =的递减区间是____________.【答案】()3,1--,()0,1（或者[]3,1--，[]0,1）【解析】定义域为[]2,4a a -+的函数2()(2)(1)f x a x k x a =-++--是偶函数，得出240a a -++=，1k =，可得a ，即可求出 ()y f x =的递减区间. 【详解】Q 定义域为[]2,4a a -+的函数2()(2)(1)f x a x k x a =-++--是偶函数，∴240a a -++=，1k = ∴1a =-∴()[]()213,3f x x x =-+∈-∴()y f x =的递减区间是()()3,1,0,1--（或者[]3,1--，[]0,1）故答案为：()()3,1,0,1--（或者[]3,1--，[]0,1） 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域关于原点对称，属于中等题型.16．已知函数()2020)20201x x f x x -=+-+，若()lg21f =-，则1lg 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】3【解析】观察函数解析式，令()2020)2020x x g x x =+-，根据奇函数定义，可判断()()g x g x -=-；若()lg21f =-，则可求(lg 2)g ，再求1(lg 2)(lg )2g g -=，即可求解.【详解】由题意，令()2020)2020x x g x x =+-，则()2020)202020202020()x x x x g x x g x ---=+-=-++=-即()g x 为奇函数，若()lg21f =-，则(lg 2)(lg 2)12g f =-=-，1(lg )(lg 2)(lg 2)22g g g =-=-=则11(lg )(lg )1322f g =+= 故答案为：3 【点睛】本题考查构造奇函数，利用奇函数性质求值，考查计算能力，属于中等题型.三、解答题17．不用计算器求下列各式的值. （1）122302136(0.6)3(1.5)48--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1log 23log lg 25lg 473+++. 【答案】（1）32（2）154【解析】（1）根据指数运算法则，计算可得. （2）根据对数运算法则，计算可得. 【详解】（1）原式12223252731482--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12232235331222⨯-⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭225331222--⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32= （2）原式3433log lg(254)23=+⨯+1243log 3lg102-=++1152244=-++=【点睛】本题考查（1）指数运算法则（2）对数运算法则，考查计算能力，属于基础题. 18．已知函数f （x ）的定义域为A ，函数g （x ）（﹣1≤x ≤0）的值域为B ． （1）求A ∩B ；（2）若C ＝{x |a ≤x ≤2a ﹣1}且C ⊆B ，求a 的取值范围． 【答案】（1）A ∩B ＝{2}（2）【解析】（1）根据根式有意义的条件及指数函数的性质可得集合A ，B ，再进行集合的运算即可.（2）先根据集合C ，结合C ⊆B ，得出区间端点的不等关系，解不等式得到实数a 的取值范围． 【详解】（1）由题意得：函数f （x ）有意义，则，即，解得，∴A ＝{x |x ≥2}， 又g （x ）单调递减，∴B ＝{y |1≤y ≤2}，∴A ∩B ＝{2} （2）由（1）知：，当即时：满足题意；当即时：要使则解得综上，【点睛】本题考查了利用集合间的关系求参数的取值范围的方法，借助于区间端点间的大小关系列出不等式组是解题的关键，属于基础题．19．已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，且当[]0,3x ∈时，222,[0,2)()2,[2,3]x x f x x x ⎧-+=⎨-⎩.（1）平面直角坐标系中，画出函数()f x 的图像.（2）据图像，写出()f x 的单调增区间，同时写出函数的值域.【答案】（1）见解析（2）单调增区间为[]3,2--，[]1,1-，[]2,3，值域为[]3,3- 【解析】（1）根据分段函数特点，分段画出函数图象，再由奇函数画出对称区间上的图像.（2）根据图象直接写出函数单调区间和值域. 【详解】 （1）图见：（2）单调增区间为[]3,2--，[]1,1-，[]2,3（开区间也给满分）值域为[]3,3-.本题考查（1）分段函数的图像画法（2）由图象直接写出单调区间和值域，考查数形结合思想，属于基础题.20．经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系：第x （130x x N ≤≤∈，）天的销售价格（单位：元/件）为30,110()50,1030x x f x x x +≤≤⎧=⎨-<≤⎩，第x 天的销售量（单位：件）为()g x a x =-（a 为常数），且在第20天该商品的销售收入为600元（销售收入=销售价格×销售量）.（1）求a 的值，并求第15天该商品的销售收入； （2）求在这30天中，该商品日销售收入y 的最大值.【答案】（1）40a =，第15天该商品的销售收入为875元（2）最大值为1225元. 【解析】（1）根据题意，列出第20天的销售收入(20)(20)600f g =，可求a 值，再求第15天的销售收入；（2）由题意，销售价格为分段函数，则根据分段，分别求销售额的函数，再分别计算两段内的最大值，比较即可求解. 【详解】（1）当20x =时，由(20)(20)(5020)(20)600f g a =--=， 解得40a =.从而可得(15)(15)(5015)(4015)875f g =--=（元）， 即第15天该商品的销售收入为875元. （2）由题意可知(30)(40),110(50)(40),1030x x x y x x x +-≤≤⎧=⎨--<≤⎩，=22101200,110902000,1030x x x x x x ⎧-++≤≤⎨-+<≤⎩ 当110x ≤≤时，()2210120051225y x x x =-++=--+. 故当5x =时y 取最大值，max 1225y =. 当1030x <≤时，22902000(45)25y x x x =-+=--,210901020001200y ∴<-⨯+=.故当5x =时，该商品日销售收入最大，最大值为1225元.本题考查（1）分段函数解决实际问题（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.21．若{}3|0log 1A x R x =∈≤≤，函数1()4325x x f x m +=-⋅+（其中,x A m R ∈∈）（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的最小值.【答案】（1）[]1,3（2）2min2912328()5933869483m m f x m m m m ⎧⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎩【解析】（1）根据题意，解结合A 中对数不等式，即可求解.（2）根据换元法，令2(28)xt t =≤≤化成关于t 的函数，讨论对称轴分段求最小值【详解】（1）在A 中由30log 1x ≤≤得333log 1log log 3x ≤≤， ∴13x ≤≤，即函数()f x 的定义域为[]1,3. （2）()2()2625xx y f x m ==-⋅+令2(28)xt t =≤≤，则22265(3)95y t mt t m m =-+=--+，若32m ≤即23m ≤，则min (2)4125912y f m m ==-+=-， 若238m <<即2833m <<，则2min (3)59y f m m ==-，若38m ≥即83m ≥，则min (8)644856948y f m m ==-+=-，综上所述，2min 2912328()5933869483m m f x m m m m ⎧⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎩【点睛】本题考查（1）解对数不等式（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，考查计算能力，综合性较强，有一定难度.22．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称函数()f x 的一个上界.已知函数()21eexxf x a --=++，()121log 1x g x mx +=-.（1）若函数()g x 为奇函数，求实数m 的值；（2）在第（1）的条件下，求函数()g x 在区间9,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数α的取值范围. 【答案】(1)1m =；(2)[)3,+∞；(3)[]5,1-. 【解析】试题分析：（1）由函数为奇函数可得()()g x g x -=-，即112211log log 11x x mx mx -++=----，整理得1111x mx mx x -+-=--+，可得()2210m x -=，解得1m =±，经验证1m =-不合题意．（2）根据单调性的定义可证明函数()g x 在区间9,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，从而可得()g x 在区间9,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]3,1--，故()3g x ≤，从而可得所有上界构成的集合为[)3,+∞．（3）将问题转化为()3f x ≤在[)0,+∞上恒成立，整理得4e e 2e e x x x x a ----≤≤-在[)0,+∞上恒成立，通过判断函数的单调性求得()()maxmin4ee 2e e xxx x-----和即可得到结果．试题解析：（1）∵函数()g x 是奇函数， ∴()()g x g x -=-，即112211log log 11x x mx mx -++=----，∴1111x mx mx x -+-=--+，∴()2210m x -=， 解得1m =±，当1m =-时，11111x x mx x ++==----，不合题意，舍去．∴1m =.（2）由（1）得()121log 1x g x x +=-， 设()12111x u x x x +==+--， 令12,x x D ∈，且121x x <<， ∵()()121211u x u x x -=+- ()()()212122210111x x x x x ---=>---； ∴()11x u x x +=-在()1,+∞上是减函数， ∴()121log 1x g x x +=-在()1,+∞上是单调递增函数， ∴()121log 1x g x x +=-在区间9,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增， ∴()()937g g x g ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，即()31g x -≤≤-， ∴()g x 在区间9,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]3,1--，∴()3g x ≤，故函数()g x 在区间9,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合为[)3,+∞.（3）由题意知，()3f x ≤在[)0,+∞上恒成立， ∴()33f x -≤≤， ∴231e e 3x x a ---≤++≤，因此4e e 2e e x x x x a ----≤≤-在[)0,+∞上恒成立， ∴()()maxmin4e e2e e x xx xa ----≤≤-设e x t =，()14h t t t=--，()12p t t t=-，由[)0,x ∈+∞知1t ≥， 设121t t ≤<，则()()()()21121212410t t t t h t h t t t ---=>，()()()()12121212210t t t t p t p t t t -+-=<，∴()h t 在[)1,+∞上单调递减，()p t 在[)1,+∞上单调递增，∴()h t 在[)1,+∞上的最大值为()15h =-，()p t 在[)1,+∞上的最小值为()11p =， ∴51a -≤≤． ∴a 的取值范围[]5,1-. 点睛：（1）本题属于新概念问题，解题的关键是要紧紧围绕所给出的新定义，然后将所给问题转化为函数的最值（或值域）问题处理．（2）求函数的最值（或值域）时，利用单调性是常用的方法之一，为此需要先根据定义判断出函数的单调性，再结合所给的定义域求出最值（或值域）．。
选修2-1学霸必刷题 空间向量与立体几何(选择题、填空题)
空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单项选择题1．（江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二8月入学考试）已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（ ）A ．6或2-B ．6或2C ．3或4-D ．3-或4【答案】A【解析】AB ==()2216x -=，解得：2x =-或6x =．故选A2．（2020江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段PQ 的长度为( )A B ．5C D 【答案】B【解析】由题得2(3,4,0),35PQ PQ =∴=+=，所以线段PQ 的长度为5． 故答案为B3．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（ ）A ．13- B ．-3 C ．13D ．6【答案】A【解析】因为//m n ，所以,m n R μμ=∈，即：()3,1,3m ==(),,n μλμμμ--=， 所以3,1μλμ=-=，解得13λ=-．故选A ．4．（江西省新余一中、宜春一中2021届高二联考）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出NO 与AM 的坐标，即可判断位置关系．【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,0,1)M ，(1,1,0)O ，(2,1,2)N ，∴(1,0,2)NO =--，(2,0,1)AM =-．∵0NO AM ⋅=，∴直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直． 故选: C5．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．2aB ．212aC ．214a D 2 【答案】C【分析】由题意可得11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．【解析】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+=，故选C. 6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OBb =，OC c =则OP =（ ）A ．111666a b c ++B ．111333a b c ++C ．111633a b c ++D ．111366a b c ++【答案】C【解析】如图所示，连接ON ，∵OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，所以13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =，∴13OP ON NP ON NM =+=+121()333ON OM ON ON OM =+-=+21()32OB OC =⨯+1132OA +⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++．故选C ． 7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，则1l 和2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不确定【答案】A【解析】因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-， 所以212v ν=-，即2ν与1v 共线，所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行，故选A8．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ，再求向量模长即可． 【解析】()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，，(),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=，()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，，(2213a b ∴+=+-=，故选C ．9．（江西省宜春市2016-2017学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +-D ．221b 332a c -+-【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选B10．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期4月学情质量检测数学（理））如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF =（ ）A ．1122AA AB AD '++ B ．111222AA AB AD '++ C ．111266AA AB AD '++D ．111366AA AB AD '++【答案】D【解析】∵点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =， ∴111111()333236AF AE AA A E AA A C AA A C ⎛⎫''''''''==+=+=+ ⎪⎝⎭ 11()36AA A B A D '''''=++111366AA AB AD '=++，故选D ． 11．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D【解析】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅，AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，i AB BP ∴⋅=，21i AB AP AB ∴⋅==，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个，故选D .12．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为（ ） A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，－3) D ．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy 平面对称的点的,x y 坐标不变，只有z 坐标相反． 【解析】点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3-．故选D ．13．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ）A ．(4,1,0)-B ．(4,1,4)--C ．(4,1,0)-D ．(4,1,4)--【答案】C【分析】根据题意求出2(4,0,2)a=-，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果．【解析】因为向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2(4,0,2)a =-，则2(4,0,2)(0,1,2)(4,1,0)a b -=---=-，故选C ．14．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x y +等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】如图，()111111112AE AA A E AA A B A D =+=++ ()11111222AA AB AD AA AB AD =++=++，所以12x y ==，所以1x y +=．故选C15．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）空间直角坐标系O xyz -中，已知两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则这两点间的距离为（ ）A BC ．D ．18【答案】B【解析】根据题意，两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则12||PP =B ．16．（湖北省恩施高中2020届高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B ））已知向量()1,2a =，()3,b x =，()1,1c y =--，且//a b ，b c ⊥，则x y ⋅的值为（ ）A ．6B ．32 C ．9D ．132-【答案】C【解析】∵//a b ，∴60x -=，6x =，∴向量()3,6b =， ∵b c ⊥，∴()3610y -+-=，∴32y =，∴9x y ⋅=．故选C ． 17．（四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中，若()1,1,0A ，()13,0,12AB =，则点B 的坐标为（ ） A ．()5,1,2-- B ．()7,1,2- C ．()3,0,1 D ．()7,1,2【答案】D【分析】首先设出点(,,)B x y z ，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果． 【解析】设(,,)B x y z ，所以(1,1,)2(3,0,1)(6,0,2)AB x y z =--==，所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，所以712x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为(7,1,2)，故选D ．18．（广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c --B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +-D ．111442a b c -++【答案】D 【解析】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++．故选D ．19．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】因为向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，所以23p a b c =++， 设p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+⇒++-+，有13223x y x y x z +=⎧⎪-=⇒=⎨⎪=⎩，12y，3z =，p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．20．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2020-2021学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C所成角的余弦值为（ ）A． B ．15- C ．15D．5【答案】D【分析】用向量1,,AB BC BB 分别表示11,AM BC ，利用向量的夹角公式即可求解． 【解析】由题意可得221111111111,5,2A M AB B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,2BC BC BB B C BC BB =-=+=，()211111111111cos ,AB BB BC BB AB BC BB A M B C A M B C A M B C⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⋅⎝〈〉===0122cos604⨯⨯+⨯==故选D21．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A．9 B．9CD ．23【答案】A【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则1C E (1,1,1)=--，设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =，则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩，取n (2,2,1)=--，则1,cos n C E =11n C E nC E⋅9==，设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ，则9sin θ=，9cos θ==．故选A ． 22．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B tt ，则A ，B 两点的距离的最小值为A．10 B．5C．5D ．35【答案】C【分析】由两点之间的距离公式求得AB 之间的距离用t 表示出来，建立关于t 的函数，转化为求函数的最小值．【解析】因为点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，所以22222(1)(21)()522AB t t t t t t =++-+-=-+，有二次函数易知，当15t =时，取得最小值为95，AB ∴，故选C ．23．（湖南省邵阳市邵东县第十中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-，设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||(1PM ==||(11)(1PN z =--+=所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得||PQ ===12c =时，||PQ 取得最小值4，此时P 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点．故选B24．（云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二7月月考数学（理）试题）长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A BCD ．【答案】B【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值．【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,1,2C 、()2,1,1E ，()2,1,1AE =，()10,1,2BC =，111cos ,6AE BC AE BC AEBC ⋅<>===⋅． 因此，异面直线1BC 与AE ．故选B ． 25．（广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））在正方体ABCD --A 1B 1C1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A．5-B．5C ．D 【答案】B【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【解析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，， ∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，， 设平面1B BD 的法向量为() ,,x n y z =，∵ n BD ⊥，1n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，，∴10cos ,n BE n BE n BE ⋅==⋅，设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ．26．（陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练理科）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（ ）A ． BC ．D 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则2=1AB ，2=1AD ，21=4AA ，0AB AD ⋅=，111cos 1AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 1AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++()1222111222AB AD AA AB AA AB AD AD AA =+++⋅+⋅+⋅==，故选B ．27．（2020届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,4 B ．[]0,2 C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2．故选B ．【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题．28．（湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ）A ．52B ．2C ．32D ．116【答案】A【解析】由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝， 由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=．故选A ．29．（安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-， 所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以2cos QP QB QP QBx zα⋅==⋅+又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，sin QP CP QPβ⋅==所以cos β=cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 30．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53 C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值． 【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=，||BP ∴==9255=， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．31．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE的一个法向量(m x=+-，底面ABC的一个法向量为(0,0,1)n =，cos|cos,|m nα=<>==当1(0,)2x∈，cosα随着x增大而增大，则α随着x的增大而减小，当1(,2)2x∈，cosα随着x增大而减小，则α随着x的增大而增大．故选D．32．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）已知空间直角坐标系O xyz-中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q在直线OP上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】设(,,)Q x y z，根据点Q在直线OP上，求得(,,2)Qλλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB⋅取得最小值，即可求解．【解析】设(,,)Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数λ使得OQ OPλ=，即(,,)(1,1,2)x y zλ=，可得(,,2)Qλλλ，所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---，则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力．33．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.34．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ）A ．24B ．23 C ．3 D ．3 【答案】C【分析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量后可得所求线面角的余弦值． 【解析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1D B C A ∴()()()111,0,1,1,0,1,1,1,0BC A D BD =-=--=--， 设(),,n x y z =是平面1A BD 的一个法向量，∴100n A D n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =--，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ， ∴11126sin cos ,323BC nBC n BC nθ⋅-=〈〉===⨯， ∴23cos 1sin θθ=-1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是33， 故选C.【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角．35．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈， ()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2AP λ=，设1A P 与BD 所成角为θ，则cos 2DB APDB APθ⋅===⋅ ==12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ． 36．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理）试题）如图，矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（）A．4B ．6C．14D【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆， 以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)， 由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-，记直线1A C 与平面ABCD 所成角为θ，则11sin 4cos ||CA nCAn θ⋅===⋅设315cos ,,sin 222t αθ⎡⎤=+∈=≤=⎢⎥⎣⎦ 所以直线1A C 与平面ABCD ，故选A ． 二、多项选择题37．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a为单位向量 【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误； 对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则211a =+=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误．故选BD ．38．（2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（ ） A ．向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=．B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线． C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b 为钝角．D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅． 【答案】AB【解析】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选AB.39．（广东省中山市2019-2020学年高一下学期期末）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A ．点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4 B ．到()1,0,0的距离小于1的点的集合是()(){}222,,11x y z x y z -++<C ．点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()2,2,2D ．点()1,2,0关于平面yOz 对称的点的坐标为()1,2,0- 【答案】BCD【解析】对于选项A ：点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，所以A 不正确； 对于选项B ：点(),,x y z到()1,0,0的距离小于11<，所以B 正确；对于选项C ：点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()132231,,2222,2,2⎛⎫=⎪⎝⎭+++，所以C 正确；对于选项D ：由点(),,x y z 关于平面yOz 对称的点的坐标为(),,x y z -，所以D 正确． 故选B C D ．40．（山东省威海市文登区2019-2020学年高二上学期期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列结论正确的是（ ）A ．211AB AC a ⋅=- B ．212BD BD a ⋅= C ．21AC BA a⋅=- D ．212AB AC a ⋅=【答案】BC【解析】如下图所示：对于A 选项，()2211AB AC AB AC AB AB AD AB a ⋅=⋅=⋅+==，A 选项错误；对于B ，()()()()2221112BD BD AD AB BD DD AD AB AD AB AA AD AB a ⋅=-+=--+=+=，B 选项正确；对于C 选项，()()2211AC BA AB AD AA AB AB a ⋅=+⋅-=-=-，C 选项正确；对于D 选项，()2211AB AC AB AB AD AA AB a ⋅=⋅++==，D 选项错误．故选BC ．41．（福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-，所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确；()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.42．（海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD 【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． 43．（福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试）如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅不是定值 C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值 D ．11DC D P ⊥【答案】ACD【解析】A ．因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B ．11111111()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 11112cos 45cos901212AA DC A P DC =+=⨯⨯=，故11AP DC ⋅=，故B 不正确； C ．1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确； D ．111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，1111A D A B A =，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ⊂平面11A D P ，所以11DC D P ⊥，故D 正确．故选ACD44．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C ．设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确．故选ABC ．45．（河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一下学期期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-，设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =，所以(1,2,1)n =， 同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确； 三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确．故选CD ．46．（山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试）如图，棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱锥1D CDP -的体积为定值D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形 【答案】BC【解析】对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0D A C ，设()()1,,01,01P a b a b <<<< ()()11,,1,1,1,0D P a b AC =-=-，(111cos ,01D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<++-1301,01,,24a b D P AC ππ<<<<∴<<∴直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊥平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确；对于C ，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=为定值，故C 正确；对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D 错误；故选BC ．47．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCD C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等 D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】BD【解析】如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=-,∴x λ=，1y λ=-，1z =，∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--,()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠， ∴AC 与AF 不垂直，A 错误．E ，F 都在B ，D 上，又11//BD B D ，∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等，∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离，A 到11BDD B 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△，∴1134224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确．故选BD ．48．（江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高三上学期开学测试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，所有棱长为1，又BC '与B C '交于点O ，则（ ）A ．AO =111222AB AC AA '++ B ．AO B C '⊥C ．三棱锥A BB O '-D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱ABC A B C '''-如图所示，向量()()111222AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA ''=+=++=+-+ 111222AB AC AA '=++，故选项A 正确；在AOC △中，1AC =，22OC，1OA ==， 222OA OC AC +≠，所以AO 和B C '不垂直，故选项B 错误；在三棱锥A BB O '-中，14BB O S '=，点A 到平面BB O '的距离即ABC 中BC 边上的高，所以h =以111334A BB O BB O V S h ''-==⨯=C 正确； 设BC 中点为D ，所以AD BC ⊥，又三棱柱是正三棱柱，所以AD ⊥平面BB C C ''，所以AOD ∠即AO 与平面BB ′C ′C 所成的角，112cos 12OD AOD OA ∠===，所以3AOD π∠=，故选项D 错误．故选AC49．（山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一））如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC所成角的余弦值为3C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以Q ，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则3602260n AQ x zn AC ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==(1,2,3)n =--，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===，所以22cos 3θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以22222222a a ⎛⎫⎛++-=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以2236⎫=⎪⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确．故选BD.50．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+， 22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=，3PA PB PC PQ ∴++=，即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确；对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=，0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=，()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=，0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+==2MN ∴=D 错误．故选ABC.三、填空题51．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝_________．。
江西省赣州市十八县(市、区)二十四校2024-2025学年高三上学期期中考试 物理(含解析)
2024年赣州市十八县（市、区）二十四校期中联考高三物理试卷说明：1．全卷满分100分，考试时间为75分钟．2．请将答案写在答题卡上，否则不给分．一、选择题：本题共10小题，共46分．在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，每小题4分；第8～10题有多项符合题目要求，每小题6分，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．1．以下描述的四个不同的运动过程中，物体运动的加速度最大的是（）．A ．一架超音速飞机以的速度在天空沿直线匀速飞行的过程中B ．一列地铁以的速度减速进站过程中，共用了停靠站台C ．一辆动车在离开车站加速行驶中，用了使速度由增加到D ．桌球以的速度垂直撞击球桌边缘过程中，经以的速度反向弹回2．一质点沿y 轴正方向匀速运动，经过坐标原点O 点时，受到x 轴负方向的恒力作用，它的运动轨迹可能是（）．A ．B ．C ．D ．3．频闪摄影是研究变速运动常用的实验方法．在暗室中，照相机的快门处于常开状态，频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的物体，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置．如图是金属小球自由下落时某频闪照相机拍摄到的频闪照片示意图，照片中的数字是金属小球落下的距离（单位：cm ），重力加速度取．则该频闪照相机每秒可拍摄小球的位置数约为（）．A ．5个B ．10个C ．15个D ．25个4．质量为的汽车由静止开始沿水平公路直线行驶，当速度达到某数值后关闭发动机滑行，汽车的速度与时间的关系图像如图所示，汽车关闭发动机前瞬间牵引力的功率为（）．500m s 10s 72km h 20s 100s 72km h 144km h1.5m 0.08s 1.3m 210m 3510kgA ．B ．C ．D ．5．估算炮弹出膛的速度时，让炮弹沿与水平面成角的方向射出，假如不计空气阻力作用，其运动轨迹如图所示．如果把一小段抛物线看成圆弧，测得在其轨迹最高点P 处的曲率半径为，重力加速度为g ，则炮弹的出膛速度为（）．ABCD6．利用重力加速度反常可探测地下的物质分布情况．在地下某处（远小于地球半径）的球形区域内有一重金属矿，如图甲所示，探测人员从地面O 点出发，沿地面相互垂直的x 、y 轴两个方向测量不同位置的重力加速度值，得到重力加速度值随位置变化分别如图乙、丙所示．由此可初步判断（）．A ．重金属矿的位置坐标约为，且图像中B ．重金属矿的位置坐标约为，且图像中C ．重金属矿的位置坐标约为，且图像中D ．重金属矿的位置坐标约为，且图像中7．某同学身高、质量，站立举手摸高（手能摸到的最大高度），该同学用力蹬地，经过时间竖直离地跳起，摸高为．之后他竖直落在地面上，通过重心下降，减少地面对人的作用力，测得他减速到零时头顶距地面的高度为．假设该同学蹬地和落地过程受到地面的作用力为恒力，重力加速度取．则落地与蹬地受到地面的作用力大小之比为（）．A ．2.0B ．1.5C ．1.0D ．0.58．“天问一号”火星探测器绕火星运动，若把它看作匀速圆周运动，其运动轨道的半径为．已知火星的150kW 100kW 75kW 50kWαρtan α()0,10km 12g g ∆>∆()10km,012g g ∆>∆()0,10km 12g g ∆<∆()10km,012g g ∆<∆1.7m 50kg 2.1m 0.4s 2.9m 1.3m 210m s 1r卫星“火卫1”的轨道半径为，周期为T ．引力常量为G ，由上述条件可以求出（）．A ．火星的质量B ．火星的密度C ．“天问一号”的周期D ．“天问一号”受到的合力9．如图所示，甲、乙两根光滑细直长杆在外力作用下，保持在水平面平行放置，一质量为m 、半径为r 的．现将甲、乙两杆沿水平方向缓慢靠近直到两杆接触为止，在此过程中（）．A ．两杆对圆环弹力的合力不断减小B ．甲杆对圆环的最大弹力为C ．甲、乙两杆对圆环的弹力做不做功D ．甲、乙杆对圆环的弹力做负功，其值均为10．如图所示，某人站在力传感器上，先“下蹲”后“站起”过程中力传感器的示数随时间的变化情况．则人在整个运动过程中，下列关于速度和加速度的判断正确的是（）．A ．B ．C ．D ．二、非选择题：本题共5小题，共54分．11．（6分）某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，选出了如图所示的一条纸带（每两点间还有4个点没有画出来），纸带上方的数字为相邻两个计数点间的距离．打点计时器的电源频率为．（1）根据纸带上的数据，计算打下D 点时小车的速度__________（保留二位有效数字）．2r mg14mgr m 1.5m v =m 3.0m s v =2m 4m s a =2m 6m s a =50Hz D v =m s（2）该小车的运动__________（填“能”或“不能”）看作匀变速直线运动．（3）该小车做匀变速直线运动的加速度为__________（保留二位有效数字）．12．（9分）为研究物体做平抛运动，把一斜面固定在桌面上，桌面保持水平．在桌面边缘固定一坐标纸，使桌边缘的铅垂线与坐标纸竖直边线重合．让小球从斜面上的某一点自由放下，记下小球经过的一个位置P ．让小球从斜面上的同一位置出发，重复上面的实验，可记下小球经过的不同位置，然后将这些位置用平滑的曲线连接，即为小球运动轨迹．已知坐标纸的小方格边长为l ，重力加速度为g ．（1）小球每次都从斜面上同一位置自由放下的原因是__________．（2）不计空气阻力，请你准确画出小球经过图中虚线的位置．（3）以桌面边缘为坐标原点，取水平方向和竖直方向分别为坐标轴的x 轴、y 轴．不计空气阻力，请你用实线画出该小球的运动轨迹．（4）小球离开桌面边缘的速度大小为__________．（5）若考虑空气阻力的影响，这样测出的会__________（填“大于”“等于”“小于”）球的真实速度．请你用虚线画出该小球受空气阻力影响的轨迹．13．（10分）跳台滑雪是一种雪上竞技类的运动项目，运动员在滑雪道上获得一定的速度后从跳台上飞出，在空中飞行一段距离后着陆．现某运动员从跳台a 处沿水平方向飞出，在斜坡b 处着陆，如图所示．测得a 、b 间竖直的高度差，运动员着陆时的速度与水平方向成角，已知重力加速度，，，运动员在空中运动的空气阻力不计．求：（1）运动员在空中的飞行时间；（2）运动员离开跳台的速度大小；（3）斜坡与水平方向间的夹角．14．（11分）如图甲所示，光滑圆弧形轨道静止在水平地面上，水平，B 点为轨道的最低点，轨道下面安装有压力传感器．现有一质量为m 的小球，在时从距离轨道边缘A 点正上方高为h 的位置自由下落，小球进入圆弧轨道时无机械能损失，压力传感器的示数如图乙所示（图中、F 已知），已知圆弧轨道在水平外力作用下保持静止，圆弧对应的圆心角为，重力加速度为g，空气阻力不计．求：2m s v 测20m h =53︒210m g =sin 530.8︒=cos530.6︒=ABC AO 0t =0F BC θ（1）小球经过A 点时的速度大小；（2）该圆弧形轨道的半径；（3）小球离开圆弧轨道后距离地面的最大高度．15．（18分）如图所示，木板的质量，长，其右端固定有一竖直挡板（厚度不计），挡板与墙壁的距离，木板左端放有一质量的小铁块（可看作质点）．时，木板在水平向右的外力F 作用下，从静止开始向右运动，已知小铁块与木板间的动摩擦因数，木板与地面间的摩擦不计．木板与墙壁碰撞后停止运动但不粘连，同时撤去外力F ，且小铁块与挡板的碰撞不损失机械能．重力加速度．（1）若，求木板运动到墙壁时的速度大小；（2）若要使铁块不与挡板碰撞，求外力F 的最大值；（3）若铁块相对木板静止在木板的正中央，求它们相对静止的时刻．1.2kg M =3m l =1.0m d =0.8kg m =0t =0.5μ=210m s g =4.0N F =高三物理答案和评分标准一、选择题1．D提示：根据加速度的定义式计算判断，其中桌球的加速度大小为，最大．2．A提示：根据力与运动的关系可判断质点做类平抛运动，其轨迹为向x 轴负方向开口的抛物线．3．D提示：利用可求出曝光时间，所以内可拍摄到小球的位置为个．4．A提示：汽车受到的阻力，由解得汽车的牵引力，再由．5．B提示：炮弹在最高点时，向心加速度，炮弹做抛体运动过程中，水平速度不变，所以炮弹出膛速度6．C 提示：由图像可知，重力加速度最大的位置处于、的位置，由于在处重金属矿产生的引力和地球产生的引力直接相加，而在处是金属矿产生的引力分量和地球产生的引力相加，因此，在处重力加速度比处大，且无穷远处的加速度均为g ，所以．7．B提示：蹬地起跳时，，且，解得；落地时，，解得．所以．8．ACv a t ∆=∆235m s 2h gt ∆=0.04s t ≈1s 125n t ==32 2.510N f ma ==⨯1F f ma -=37.510N F =⨯51.510W P Fv ==⨯2v g ρ=0cos v v α==0x =10km y =()0,10km ()0,0()0,10km ()0,012g g ∆<∆1v F mg m t-=212v g h =∆11000N F =2222v F mg m h -=∆21500N F =21: 1.5F F =提示：由，可求得火星质量；因不知道火星的半径，无法求得火星的密度；根据开普勒第三定律，可求出火星探测器的周期；因不知道探测器的质量，无法求出它受到的合力．9．BD提示：作出圆环受力图，由圆环三力作用平衡可判断两杆靠近的过程中，杆对圆环弹力的合力等于环的重力，选项A 错误；杆对圆环的弹力逐渐减小，所以开始时弹力最大，求得弹力的最大值，选项B 正确；在这一过程中，合外力对圆环做功为零，即弹力做功，其中由几何可得，每根杆对圆环做的负功相同，其值均为，选项C 错，D 对．10．AD 提示：由图像可知此人的重力为，质量为．同时看出人下蹲到约时，人所受合力最大，从图像可看出最大合力，由可得加速度的最大值为；由合力可得，其中为合力图线围成的面积值，其值约为，由此可知约时，人的速度最大，最大速度约为．二、非选择题11．（1）1.2（1.1～1.3均给分）（2分）提示：（2）能（2分）提示：相邻两段时间内的位移之差均约等于．（3）2.1（2.0～2.2均给分）（2分）提示：12．（1）保持小球做平抛运动的初速度不变．（2分）（2）小球通过虚线的位置如图所示（2分）222224πMm G m r r T=23224πr M GT =T '=F mg =0W mg h +∆=12h r ∆=1124W W mgr '==500N 50kg 1.25s t =300N G N -=G N ma -=26m m v F ma t ∆==Ft m v =∆Ft 13000.52⨯⨯1.5s t = 1.5m 0.4932 1.2m s 40.4D BF v T ===0.1s 2.1cm ()220.4010.2132 2.1m s 0.093CF OCa T --===提示：小球从O 点开始平抛运动到P 点，经过虚线正好是时间的一半，因此下落的高度差是．（3）轨迹如图中实线所示．（1分）提示：要求用平滑曲线画出抛物线轨迹．（4）2分）提示：（5）小于（1分）轨迹如图中虚线所示（1分）13．（10分）（1）运动员在竖直方向做自由落体运动，有，（2分）解得运动员在空中运动时间为．（2分）（2）运动员着地时，竖直方向的速度为，（1分）根据速度的分解可得运动员水平方向的速度为．（2分）（3）运动员的水平位移为，（2分）设斜面与水平面的夹角为，则，（1分）即斜面夹角为．14．解：（1）小球自由落体，到达位置A 的速度为，根据机械能守恒得，（1分）解得：．（2分）（2）从图乙可以看出，小球未经过轨道时，压力大小为，小球经过轨道最低点B 时，压力大小为F ，根据牛顿运动定律可得，（1分）1:30v =21202l gt =030l v t=212h gt =2s t ===20m s y v gt ==015m s tan 53yv v ==︒015230m x v t ==⨯=θ2tan 3h x θ==2arctan 3θ=1v 212A mgh mv =A v =0F 0F G =轨道，（1分）且，（1分）解得．（1分）（3）小球经过C 点时的速度为，则，（1分）离开轨道C 点后做斜抛运动，其机械能守恒．故当它的速度最小时，离开地面的高度最大．最小速度为v ，则，（1分）根据机械能守恒定律得小球离开圆弧轨道后离地面的最大高度为H ，则，（1分）解得．（1分）15．（18分）提示：（1）根据牛顿第二定律可得，（2分）木板运动到墙壁时的速度大小为，（1分）解得．（2分）（2）设木板到达墙壁速度大小为，则铁块不与挡板碰撞的条件为，（1分）且，（1分），解得外力F 的最大值为．当，即时，铁块立即从木板上掉落．综上述，外力F 的最大值应该为．（1分）（3）①若铁块不碰撞挡板，静止在木板的中央，设木板撞击墙面后铁块经过时间静止，2B v F G mg m R--=轨道()212B mg h R mv +=023mgh R F F mg=--C v ()21cos 2C mg h R mv θ+=cos C v v θ=()212mg h R mv mgH +=+()32021cos sin 3mg H h F F mg θθ⎡⎤-⎢⎥=+--⎢⎥⎣⎦()1F M m a =+2112v a d =12m v =2v 222v gl μ≤2222v a d =()2F M m a =+30.0N F =F g M mμ>+10N F >10N 1t则，解得，（1分）则木板到达墙壁的速度为，（1分）设木板在外力作用下加速过程中的时间，则，解得，（1分）因此，铁块静止在木板上的时刻为．（1分）②若铁块撞击挡板后再与木板相对静止，设铁块撞击挡板的速度为，铁块与木板相对静止时的速度为v ，则有，，解得，，（2分）铁块撞击挡板后经过时间与木板相对静止，则，（1分）铁块在木板上的减速时间为，则，解得，（1分）木板碰撞墙壁的速度为，则，解得，所以木板在外力作用下加速到墙壁的时间为，（1分）因此，铁块与木板相对静止的时刻为或．（1分）21122l gt μ=1t =11m s v gt μ==2t 122v d t =2t =12t t t =+=0v ()0mv m M v =+()22011222l mg mv m M v μ=-+05m s v =2m v =1t 010.6s v v t g μ-==2t 202212l v t gt μ=+21s t ⎫=-⎪⎪⎭1v 22102v v gl μ-=1m v =312d t v ==123 1.35s t t t t =++=0.4s ⎫-⎪⎪⎭。
江西省赣州市十五县(市)2024-2024学年高二下学期期中全真演练物理试题
江西省赣州市十五县（市）2024-2024学年高二下学期期中全真演练物理试题一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题一个光子与一个静止的电子碰撞，光子并没有被吸收，只是被电子反弹回来。
则（ ）A．电子仍然静止B．光子的动量变小C．光子的速率变小D．光子的频率变大第(2)题新华社酒泉2022年11月30日电，神舟十五号航天员乘组于11月30日清晨入驻“天宫”空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，开启中国空间站长期有人驻留时代，空间站的运行轨道视为圆形轨道。
下列说法正确的是（ ）A．空间站的运行速度大于第一宇宙速度B．航天员在空间站中处于完全失重状态，不受地球的引力作用C．若已知空间站在轨运行周期、环绕速度及引力常量，则可估算出地球的质量D．航天员出舱时，若与空间站连接的安全绳脱落，航天员将做离心运动飞离空间站第(3)题已知氢原子的基态能量为E1，激发态能量，其中n=2，3…．用h表示普朗克常量，c表示真空中的光速，能使氢原子从第一激发态电离的光子的最大波长为（ ）A．B．C．D．第(4)题下列说法中正确的是（ ）A．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力与反作用力B ．根据表达式可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C．牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量GD．开普勒第三定律得出的表达式，其中k是一个与中心天体无关的常量第(5)题世界上首个第四代核能技术的钍基熔盐堆在我国甘肃并网发电，该反应堆以放射性较低的Th为核燃料。
已知的半衰期为24天，下列说法正确的是（）A．β衰变的电子来自于钍原子的核外电子B．通过物理方法或化学方法都能改变的半衰期C．4个经过48天后一定还剩余1个D．经过6次α衰变和4次β衰变可变成第(6)题O1O2是半圆柱形玻璃体的对称面和纸面的交线，A、B是关于O1O2等距且平行的两束不同单色细光束，从玻璃体右方射出后的光路如图所示，MN是垂直于O1O2放置的光屏，沿O1O2方向左右移动光屏，可在屏上得到一个光点P，不考虑光的反射，根据该光路图，下列说法正确的是（ ）A．在真空中A光的速度比B光的大B．在该玻璃体中，A光比B光的运动时间长C．B光比A光更容易发生衍射现象D．用同一装置做双缝干涉实验时A光产生的条纹间距比B光的大第(7)题已知无限长通电直导线在其周围某一点产生磁场的磁感应强度大小与通电电流I成正比、与导线到这一点的距离成反比，即（k为已知常量）。
江西省赣州市十五县(市)十六校2021届高三上学期期中联考试文数试卷+答案
6
2
A． 50 3
B． 50 7
C． 100 7
D． 200 7
10．已知函数 f (x) = ln x − ax 有两个零点，则实数 a 的取值范围为( )
π
A．向左平移 个单位 12
π
B．向右平移 个单位 12
A． a < 1 e
B． a < 0
C． a ≤ 0
D． 0 < a < 1 e
π
π
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
（2）若函数
f
(x)
的一个对称中心为
−
π 3
,
0
，现将
f
( x) 图象横坐标缩小为原来的
1 （纵坐 3
标不变），得到函数
y
=
g
(
x
)
的图象，当
x
∈
−
π 18
,
5π 18
时，求函数
g题满分 12 分）如图，在直角坐标系中有边长为 2 的正方形，取其对角线的一半，构 成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正
6
6
5．已知向量 a = 3, b = 1, a + b = a − b ，则 a 与 a − b 的夹角为( )
A． 30° B． 60° C．120° D．150°
11．如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2， ∠BAD = 60° ,点 E,F 分别在边 BC,DC 上，
B=E
λBC, D= F
（2）设 bn
=
1 an an+1
，求数列{bn } 的前
n 项和 Tn
江西省赣州市十二县(市)重点中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
命题学校：定南中学
试卷说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）
∵用分层抽样的方法在分数段 为 的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴需在 分数段内抽取2人，并分别记为 ;在 分数段内抽取4人，并分别记为 ;……………………………………………………………9分
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段 内”为事件A，则基本事件共有：
… … … 共15种.
则事件A包含的基本事件有:
A.①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用分层抽样法，②用随机抽样法
C.①用系统抽样法，②用分层抽样法D.①用分层抽样法，②用系统抽样法
2．设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()
A. B. C. D.
10．如图所示的几何体中，四边形 是矩形，平面 ⊥平面 ，已知 ，且当规定主(正)视图方向垂直平面 时，该几何体的左(侧)视图的面积为 .若 分别是线段 上的动点，则 的最小值为( )
江西省赣州市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷(理科)C卷
江西省赣州市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (共12题；共24分)1. （2分）已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A . ∀x∉R，2x=5B . ∀x∈R，2x≠5C . ∃x0∈R，=5D . ∃x0∈R，≠52. （2分） (2019高二上·吉林期中) 在中，“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）下列曲线中离心率为的是（）A .B .C .D .4. （2分）(2017高二下·河北期末) 已知为的导函数，若，且，则的最小值为（）B .C .D .5. （2分） (2017高三下·漳州开学考) 已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2 ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2 ，则e1e2的取值范围为（）A .B .C . （2，+∞）D .6. （2分） (2019高二上·榆林月考) 设等差数列的前项和为 ,若 ,则（）A . 12B . 8C . 20D . 167. （2分）(2017·西城模拟) 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A .C . 2D . 28. （2分）椭圆上一点与两焦点组成一个直角三角形，则点到轴的距离是（）A .B .C .D . 或9. （2分） (2015高三下·湖北期中) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A . 6B . 4C . 6D . 410. （2分） (2017高二下·成都期中) 若对任意的x＞0，恒有lnx≤px﹣1（p＞0），则p的取值范围是（）A . （0，1]B . （1，+∞）C . （0，1）D . [1，+∞）11. （2分）(2017·内江模拟) 已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）点有顶点A，O为坐标原点，以A为圆心与双曲线C的一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°且 =2 ，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·江西模拟) 已知过抛物线G：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方），满足，，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设向量=（1，3m﹣1，n﹣2），=（2，3m+1，3n﹣4），若∥，则=________14. （1分） (2016高一下·芦溪期末) x，y满足，则的最小值是________．15. （1分）(2020·陕西模拟) 已知双曲线上存在两点A ， B关于直线对称，且线段的中点在直线上，则双曲线的离心率为________.16. （1分）已知椭圆的左、右焦点为F1、F2 ，点F1关于直线y=﹣x的对称点P在椭圆上，则△PF1F2的周长为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一上·上海月考) 设p：实数满足，其中，命题q：实数x满足 .（1）若，且p、q同时为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18. （10分）(2020·宿迁模拟) 在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设是椭圆C长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆C于A，B两点，若的值与点P的位置无关，求k的值．19. （5分） (2017高二上·大连期末) 如图，已知长方形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．20. （15分）已知函数f（x）= ．（1）求证：f（x）+f（1﹣x）= ；（2）设数列{an}满足an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），求an；（3）设数列{an}的前项n和为Sn ，若Sn≥λan（n∈N*）恒成立，求实数λ的取值范围．21. （10分）直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AA1=AB=1，点O1、O分别是上下底菱形对角线的交点．（1）求证：A1O∥平面CB1D1；（2）求点O到平面CB1D1的距离．22. （10分） (2019高二下·宁夏月考) 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程：（2）设直线与曲线交于点 ,若点的坐标为 ,求的值．参考答案一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
江西省赣州市十四县(市)2021-2022学年高二期中联考数学(理)试卷 Word版含答案
2021-2022学年第一学期赣州市十四县（市）期中联考高二班级数学（理科）试卷本试卷分第I 和第II 卷，共150分.考试时间：120分钟 第I 卷(选择题共60分) 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设直线,01:,01:21=+-=+-ky x l y kx l 若21l l ⊥,则（ ）A.B. 1C. 1±D. 02.总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成。
利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开头由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 32049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01 3．已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 1312π+B. 112π+C. 134π+D.14π+4.在ABC ∆中，角C B A ，，所对边长分别为，，，c b a 若，2223b c a -=则C cos 的最小值为（ ）A.32B. 21C. 41D. 325．某中学接受系统抽样方法，从该校高一班级全体800名同学中抽50名同学做牙齿健康检查．现将800名同学从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（ ）A. 5B. 7C. 11D. 13 6.若样本nx x x x ++++1111321，，，， 的平均数是10，方差是2，则对样本nx x x x ++++2222321，，，， ，下列结论正确的是 ( )A. 平均数为10，方差为2B. 平均数为11，方差为3C. 平均数为11，方差为2D. 平均数为12，方差为47.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为20，则推断框中可以填（ ） (图形为第七题) A.7k > B. 8k > C. 7k < D. 8k <8．已知a ， b 为单位向量，且2a b a b+=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A.13 B. 63 C.263-D. 2239．若圆0342:22=+-++y x y x C 关于直线062=++by ax 对称，则由点()b a ,向圆C 所作切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610.下列命题中正确的个数有 ( ) ①αα////b a b a ，则，若⊂.②相交，有且仅有一条直线与上的定点，在为两异面直线，则过不，若b a A b a b a . ③两个不重合的平面,αβ，两条异面直线,a b ，若βαββαα//////////，则，，，b a b a . ④若平面EFGH 与平行四边形ABCD 相交于AB ,则EFGH CD 平面//.A.0个B.1个C.2个D.3个11. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1)1(20171434=-+-a a ）（，1)1(20171201432014-=-+-a a ）（，则下列结论正确的是（ ）A.4201420172017a a S <-=，B.420142017a 2017a S >=，C.4201420172017a a S >-=， D.4201420172017a a S <=，12.已知,x y 满足10,0,3,x y x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则)4(168123222++++++=y x y x xy y x z 的最小值是 （ ）A.223+B.203C.283 D.6第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上）13．已知数列{}n a 是递增的等比数列，，941=+a a ，832=a a {}项和是的前则数列n n a ________．14.中，在正方形1111D C B A ABCD -的中点，为1AA P 的中点，为1CC Q ，2=AB 则三棱锥PQD B -的体积为__________．15.三棱锥326===-BD AD AB BCD A ，，,底面BCD 为等边三角形，且ABD BCD ⊥平面平面,求三棱锥A BCD -外接球的表面积______________.16.中在直角梯形ABCD ，，，，，21//===⊥AB CD AD AB DC AD AB ,E F 分别为AC AB ，的中点，设以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上的动点为P (如图所示)，则AP PF •的取值范围是 ______________.三、解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明）17. (本题满分10分）中，如图，在四棱锥ABCD P -，平面ABCD PA ⊥是菱形，底面ABCD 的交点，与是对角线点BD AC O 的中点，是PD M ，且2=AB 3π=∠BAD 。